理论力学2-平面汇交力系与平面力偶系

2.4 平面力偶
2.4.1力偶与力偶矩
由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系， 称为力偶，记为(F, F')。力偶的两力之间的垂直距离d称为力臂， 力偶所在的平面称为力偶作用面。 力偶不能合成为一个力，也不能用一个力来平衡。力和力 偶是静力学的两个基本要素。
2.4.1 力偶与力偶矩
力偶是由两个力组成的特殊力系，它的作用只改变物体的 转动状态。力偶对物体的转动效应用力偶矩来度量。平面力偶 对物体的作用效应由以下两个因素决定：
R C 3137 N
2.1.1 平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则
结论：平面汇交力系合成的结果是一个合力， 合力的作用线通过各力作用线的汇交点，其大 小和方向可由力矢多边形的封闭边来表示，即 等于各力矢的矢量和(几何和)，合力的作用线 通过汇交点。 用矢量式表示为：
R F 1 F 2 F n F
2 2

( X i ) ( Yi )
2
2
0
Xi 0
Yi 0
上式称为平面汇交力系的平衡方程。
平面汇交力系平衡的解析条件是：各分力在两个坐标 轴上投影的代数和等于零。
[例2] 已知 P=2kN
求SCD , RA
解:
1. 取AB杆为研究对象 2. 画AB的受力图
3. 列平衡方程
2 2
( X i ) ( Yi )
2
2
cos
Rx R
cos
Ry R
合力投影定理：合力在某轴上的投影等于 其分力在同一轴上投影的代数和。 适用于力矢也适用于其他矢量。
——合矢量在某轴上的投影，各等于其分矢量 在同一轴上投影的代数和。
2.2.4 平面汇交力系的平衡方程
R ( Rx ) ( R y )
2.2.1 力在坐标轴上的投影
y
X F co s
Y F co s
F Y


x
O
X
力在某轴的投影=力的大小×力与坐标轴正向之间夹 角的余弦。 力的投影时代数量（标量），正负号由夹角决定。
2.2.2 力的正交分解与力的解析表达式
y
Fy
F
Fx
x
j
O
F y Y j Fx Xi F F x F y X iY j
所谓力偶系的平衡，就是合力偶的矩等于零。因此， 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩 的代数和等于零，即
n

i 1
Mi 0
[例4] 图示结构，已知M=800N.m，求A、C两点的约束反力。
M
AC
R C d 0 . 255 R C ( N .m )
M
AC
M
i
0
M 0
第2章
平面汇交力系
2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
2.1.1 平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则
c F1 A F3 d F4 e d F4 e FR F1 a F3
F2
F3
F2
F2
b
F1 a FR
c
F4
b
各力矢与合力矢构成的多边形称为力矢多边形。 力矢多边形中表示合力矢量的边称为力多边形的封闭边。 用力矢多边形求合力的几何作图规则称为力的多边形法 则。作图方法称为几何法。
2.4.2 同平面内力偶的等效定理定理
定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼 此等效。 推论： (1) 任一力偶可以在它的作用面内 任意移转，而不改变它对刚体的作 用。因此，力偶对刚体的作用与力 偶在其作用面内的位置无关。 (2) 只要保持力偶矩的大小和力偶 的转向不变，可以同时改变力偶中 力的大小和力偶臂的长短，而不改 变力偶对刚体的作用。
力在轴上的投影是代数量，沿坐标轴方向的分解为矢 量。若平面上的两坐标轴不垂直时，两者大小不同。
i
2.2.3 合力投影定理 平面汇交力系的合力在某轴上的投影，等 于力系中各个分力在同一轴上投影的代数和。
Rx X i
R y Yi
2.2.4 平面汇交力系合成的解析法
R Rx Ry

X 0
R A cos S CD cos 45 0
0
0 Y 0 P R A sin S CD sin 45 0
4. 解方程 由EB=BC=0.4m， 解得：
tg EB 0 .4 1 AB 1 .2 3

cos450 S CD 4.24 kN ； R A S CD 3.16 kN 0 0 sin 45 cos45 tg cos
P
2.3 平面力对点之矩的概念及计算
2.3.1 力对点之矩（力矩）
B MO(F) r O h F A
力F与点O位于同一平面内， 点O称为矩心，点O到力的作用 线的垂直距离h称为力臂。
力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力 臂的乘积，它的正负可按下法确定：力使物体绕矩心逆时针转 动时为正，反之为负。 M O ( F ) F h 2 A O A B 力矩的单位常用N· m或kN· m。
(1) 力偶矩的大小； (2) 力偶在作用面内的转向。
平面力偶可视为代数量，以M 或M(F, F')表示，
M F d 2 A A B C
A
F
D
C
d
B
F'
平面力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小ห้องสมุดไป่ตู้力偶 臂的乘积，正负号表示力偶的转向：一般以逆时针转向为正， 反之则为负。力偶的单位与力矩相同。
[例1] 已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过h=8cm的障碍 物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。
解： ①选碾子为研究对象
②取分离体画受力图 ∵当碾子刚离地面时NA=0,拉力F最大,
这时拉力F和自重及支反力NB构成一平衡力系。
由平衡的几何条件，力多边形封闭，故
如果一力与某一力系等效，则此力称为该 力系的合力。
2.1.2 平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的必要与充分条件是： 力矢多边形自行封闭或该力系的合力等于零。 用矢量式表示为：
F 0
在平衡的情形下，力多边形中最后一力的 终点与第一力的起点重合，此时的力多边形称 为封闭的力多边形。于是，平面汇交力系平衡 的必要与充分条件是：该力系的力多边形自行 封闭，这是平衡的几何条件。
2.4.2 同平面内力偶的等效定理定理 力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量，只有 力偶矩才是力偶作用的唯一量度。今后常用如图所示 的符号表示力偶。M为力偶的矩。
2.4.3 平面力偶系的合成
M 1 F1 d 1 F3 d F F3 F 4
M
2
F2 d 2 F4 d
F F3 F 4
M1(F1, F'1)， M2(F2, F'2)
2
M F d ( F3 F 4 ) d F3 d F 4 d M 1 M
在同平面内的任意个力偶可以合成为一个合力偶， 合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。
M

i 1
n
M
i
2.4.4 平面力偶系的平衡条件
xF y yFx
Fy
A
O x y
F
q
Fx x
已知F＝1400 N, r＝60 mm, a＝20°，求力Fn对O点的矩。
例1
Ft Fn Fn
Fr
M O ( F ) F h F r co s 7 8 .9 3 N m M O ( F ) M O ( F r ) M O ( F t ) M O ( F t ) F cos r
F P tg
NB
P cos
又由几何关系：
tg
r 2 (r h)2 rh
0 . 577
所以
F=11.5kN , NB=23.1kN
由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN。 此题也可用力多边形方法用比例尺去量。
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
2.3.2 合力矩定理与力矩的解析表达式
(1) 合力矩定理
平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于 所有各分力对于该点之矩的代数和。
M O (F R )

i 1
n
M O (F i )
y
(2) 力矩的解析表达式 M O ( F ) x F s in q y F c o s q