四川省岳池一中2015年数学必修5导学案 1.2应用举例(练习)
《导学案》2015版高中数学(人教A版,必修5)教师用书(预学+导学+固学+思学)：第一章 解三角形
课程纲要课程类型:基础学科类课程资源:新编主持开发老师:参与开发老师:学习对象:高中一、二年级学生规模预设人学习时限:共36课时场地设备:教学班教室学生基本情况分析班级学生人数上学期测试情况分析优秀良好一般人数百分率人数百分率人数百分率最优学生姓名后进学生姓名特殊学生情况说明姓名情况说明一、课程元素1.课程内容本模块包含解三角形、数列、不等式三章内容.2.课程目标(1)解三角形①通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理;②能初步运用正弦定理、余弦定理解斜三角形;③能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法,解决一些与测量和几何计算有关的实际问题;④能够运用正弦定理、余弦定理解决一些三角恒等式的证明以及三角形中的有关计算问题.(2)数列①通过日常生活中的实例,了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式),了解数列是特殊的函数;②了解递推公式是给出数列的一种方法,能根据递推公式写出数列的前几项,能求某些数列的通项公式;③掌握等差数列、等差中项的概念,会用定义判定数列是否为等差数列;④掌握等差数列的通项公式及推导方法,会类比直线、一次函数等有关知识研究等差数列的性质,能运用数列通项公式求有关的量:a1,d,n,a n;⑤掌握等差数列的前n项和公式、通项公式,对于a1、d、n、a n、S n,已知三个量能求另外两个量,能灵活运用公式解决与等差数列有关的综合问题,能构建等差数列模型解决实际问题;⑥掌握等比数列、等比中项的概念,能利用定义判定数列是否为等比数列;⑦掌握等比数列的通项公式及推导方法,能类比指数函数等有关知识研究等比数列的性质,能熟练运用公式求有关的量:a1,q,n,a n;⑧掌握等比数列的前n项和公式、通项公式,会运用通项公式、前n项和公式,对于a1、q、n、a n、S n,已知三个量能求另外两个量,能灵活运用公式解决与等比数列有关的综合问题,能构建等比数列模型解决实际问题;⑨提高观察、概括、猜想、运算和论证的能力,能通过类比、转化等方法解决有关数列的一些问题.(3)不等式①通过具体情境,感受现实世界和生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景;②理解不等式的性质,能运用不等式的性质证明简单的不等式及解不等式;③经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程,通过图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的关系;④会解一元二次不等式,并解决一些实际问题;⑤了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组的解集;⑥能从实际问题中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决;⑦理解基本不等式,能用基本不等式解决简单的最大(小)值问题;⑧能将实际问题转化为数学问题,建立不等式模型,求解不等式.二、课程实施1.课时安排本模块安排30个课时.(具体见目录)2.学习时间安排学习时间从年月日至年月日.3.教材重难点分析第一章解三角形学习重点:运用正弦定理、余弦定理探求任意三角形的边角关系,解决与之相关的计算问题,运用这两个定理解决一些测量以及几何计算的有关问题.学习难点:两个定理的推导以及运用两个定理解决实际问题.第二章数列学习重点:数列的概念,等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式.学习难点:等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式的推导,以及它们的综合运用.第三章不等式学习重点:一元二次不等式的解法、基本不等式的应用以及简单的线性规划问题.学习难点:不等式的性质及其证明,不等式在实际问题中的应用.三、教学建议“学案导学法”根据不同的学习内容、不同的教学环节,教师可以采用三种不同的组织形式:分组讨论式、学生主讲式与教师主讲式.分组讨论式,把全班同学分成若干学习小组,一般按4至6名学生为一组划分,每个组都要有上中下三个层次的学生,指定其中一人为组长(也可以选举产生或自荐产生,过一段时间后需调换),由他组织学生进行自习讨论、分析讨论等活动,形成结论后推举一位为代表发言,与全班交流,其他人可以补充.各组之间可以采用多种形式的交流、竞赛等.注意:此种组织形式如果组织不当,将导致学生学习成绩两极分化更加严重.为避免这种情况,在采用此种组织形式时,需培养后进生,提高他们的学习成绩,教师要有意识地引导小组其他同学,尽量让他们鼓励后进生积极发言参与讨论或作为本组代表进行展示.学生主讲(教师在旁边指导)式,可由教师指定一人(也可以是几位学生合作,主讲人由学习小组推荐或自荐),先自行学习(与同学讨论及请求老师帮助与指导),然后在班级内主讲,主讲过程中教师要给予必要的指导和帮助.教师主要是利用他的学习活动带动全班学习.注意:此种组织形式如果组织不当,将会把学习成绩较差的、比较内向的学生排斥在外,需要十分重视.因此采用此种组织形式时,教师要有意识地让学习成绩中下的学生参与主讲,要多加鼓励,以提高他们学习积极性.如果是学习成绩较好的学生进行主讲,那么,教师要积极引导学习成绩中下的学生提出点评(教师可以给予提示或帮助).教师主讲式,就是教师主讲,采用设疑、提问、解惑、拓展等手段,引导学生认识、理解、掌握、探索,从而起到能力提升与素质提高的作用.这里的主讲式与原教学大纲时的主讲式是截然不同的,原主讲式近似于“报告式”,这里是“主持讨论式”,任何学生都可以提出不同意见,教师也可以故意设置陷阱,以揭示问题.注意:此种组织形式极易让课堂回归到原来教师一言堂的授课方式,因此,教师务必在问题设置、设疑提问、点拨探究等方面引起充分重视.这三种组织形式可以说是构成“学案导学法”的三个教学元素,教师要根据学习内容、学习时间、学生状态统筹兼顾,灵活安排,进行科学的组合,以充分发挥教学的有效性.四、课程观察安排本模块教学过程中,安排观察课两次,具体如下:课程观察课安排观察课课题实施时间实施班级负责人实施人说明(目的、条件、评估)五、测试与评估本模块结束后,采用书面考试的形式对学生的学习情况进行测试评估,考试时间120分钟,满分150分,题目难度比为容易题∶中档题∶难题=5∶4∶1.由学校统一组织命题,由教研组安排教师统一阅卷,测试成绩达到90分以上的均可获得2学分,对测试达不到标准的学生,给予一次补考机会.六、使用说明(一)构成本书集预、导、固、思四层级于一体,是一本真正意义上的导学案.本书给广大师生提供了一个选择的平台.学校、教师在使用时要根据各个学校的实际情况,其中包括学校课时安排、学生学习基础情况、学生学习态度情况、学校硬件设施情况等,对本导学案所列内容进行有效调整(如取舍、增减、重组等).每个模块都设置了《课程纲要》,目的是让学生能全面了解本模块的知识构成、课程目标、学习重点与难点及大致的学习时间与方法.它包含如下几个部分:课程元素:包括课程内容、课程目标,起到整体“导向”的作用.课程实施:包括课时安排、学习时间安排、教材重难点分析.教学建议:主要介绍“学案导学法”的几种组织形式.每章开始都设置了课标要求、单元结构和教学建议.单元结构以知识分类、知识综合、知识应用、知识拓展等形式描述出了本章的知识结构及与其他知识的联系,形成了完整的知识体系.(二)课时安排本书根据新课程标准与学校的教学实际情况,以方便教师教学与学生学习为目的,进行了科学的课时划分.此外,为方便教师进行每章复习与模块复习,每章结束与模块结束后均设置了复习课及章末测试与模块测试,供教师选择使用.(三)课时结构每课时分四个学习目标进行编写,方便学生自习与讨论.每课时开始,首先安排了《课程学习目标》,给学生指明了通过本课时的学习要达到的目标,让学生明确学习目标,起到“导向”的作用.第一层级为《知识记忆与理解》,包含两个内容:一是《知识体系梳理》,创设一个学生感兴趣又简单的情境,主要是引导学生认真阅读教材,一方面掌握书本基础知识,另一方面掌握“自习方法”,实施“依法自习”;二是《基础学习交流》,主要是引导学生应用教材的基础知识通过分析交流,解决简单的基础问题,初步学会分析与解决问题,是“导思”的初级阶段.第二层级为《思维探究与创新》,包含两个内容:一是《重点难点探究》,主要是根据知识要点,结合近年来高考趋势设计出具有代表性的探究题型,引导学生应用教材知识,通过“方法指导与解析”,解决有关问题,达到能力与技能的提升,起到“基本技能应用”的作用;二是《思维拓展应用》,主要是依据《重点难点探究》中的探究题型,设置了具有互补性、拓展性的问题,供学生讨论训练,达到巩固知识、提升能力的目的,起到“全面提升能力”的作用.第三层级为《技能应用与拓展》,包含两个内容:一是《基础智能检测》,主要是引导学生应用前面所学的基础知识通过智能化、迁移化,解决一些具有灵活性的基础问题;二是《全新视角拓展》,主要是结合近年来的高考真题、改编题或大型考试试题中对本节课相关知识的涉及作分析与讲解.第四层级为《总结评价与反思》,包含两个内容:一是《思维导图构建》,主要是根据学生的学习特点、思维情况、学习效果等方面对重点难点用形象的图形来复述;二是《学习体验分享》,主要是要求学生根据自身对本节课的参与情况、学习效果、学习体会等方面作出一个客观的评价.(四)课时学案的使用方法在进行教学时,教师应根据学校、学生的实际情况对导学案中的有关内容进行必要的选择与增减.对导学案的使用,一般按“自习预习、相互讨论——展示交流、相互补充——点评方法、总结规律——课外练习、反思评价”的循环形式,循序渐进.具体操作模式:要根据班级情况(学生学习基础与人数)确定分成若干学习小组,注意这里说的学习小组与原来班级的行政小组是有区别的,行政小组是属于班级组长管理范畴,各个学科是相同的,是相对固定的,由班主任负责分组;学习小组是由各学科教师根据教学需要而划分的,各个学科可以是不相同的,而且它呈现动态架构形式,一段时间后学科教师应根据小组学习状态进行适当调整.每个组设立一名组长,各组之间学习成绩层次的人数应基本相同.第一环节自习预习、相互讨论在上课前由各小组对学案所列的内容(包括第一、二学习目标的所有内容)进行讨论,共同分析研究,完成所有问题.这项工作都是在课外进行的,时间一般为40~50分钟.教师在课前把学案交给组长,由他组织组员进行自习与讨论.要做到定时间、定地点、定内容,一般分三步进行.第一步:自主学习.根据学案所列的问题,由学生自行阅读教材,完成第一层级学习目标所列的两类问题(允许有些问题不会或解答错误).这一步工作要求学生独立完成,一般限时15~20分钟.学生完成后按要求交给组长,然后交换批改.注意问题:学习自觉性较差的学生可能不会完成任务,基础较差的学生会无法完成任务.采取措施:对学习自觉性较差的学生采取一定的强制手段,规定他们必须完成,给组长以批评教育的权力,教师要加强思想工作;对基础较差的学生,一段时间内可以允许他们只完成部分问题,要求他们先做到认真、自主,然后逐步提高要求,必要时教师可以预先给予适当的辅导.第二步:互相讨论.对第一步中出现的不同意见、第二层级学习目标所列问题,学生在组内展开讨论,形成统一意见,完成任务.这一步一般限时30分钟左右.注意问题:①讨论过程成为学习成绩较好的学生的“主题发言”过程,学习成绩较差与性格内向的学生默不作声,不发表意见.②错误意见或不成熟意见成为学生取笑的对象,久而久之,那些学生就不参加讨论了.采取措施:教师要注意引导学习成绩较好的学生一方面先不要抢着发言,另一方面要启发其他同学发言;对学习成绩较差与性格内向的学生要注意肯定、鼓励、表扬,让他们找到自信,达到踊跃参与的目的.第三步:达成共识.通过前两步的学习,在组内形成统一意见,并选出在课内展示的代表,鼓励组内学生自我推荐.同时对全组成员给出适当评价,并要求组内同学在讨论结束后继续反思讨论的过程与有关结论,对新发现、新问题鼓励组员在课堂展示时发表意见.注意问题:学习成绩较差与性格内向的学生不敢参与课堂展示.采取措施:初期采取一定的强制性措施,教师要动员学习成绩较好的学生帮助其他同学做好展示的准备工作.特别说明:对于一些内容比较少、比较容易的课时,第一环节也可以放在课堂内完成,但这只是在时间上的不同处理,在讨论方法、步骤、注意问题等方面都不能变化.第二环节展示交流、相互补充在课堂上,各组派代表在演示板(黑板、屏幕等)上展示各自的研究成果,组内成员可对此予以补充或说明.课堂展示是“学案导学法”的关键一环,对不同的问题要采用不同的展示形式,这一环节一般分两步进行.第一步:简单展示.第一层级学习目标所列问题一般可采用简单展示法,即由某个小组成员报出答案,教师直接在演示板上显示,其他各组如无异议,就不必议论,教师也只作简单总结或拓展.这段时间一般限制在5~8分钟.第二步:综合展示.第二层级学习目标所列问题一般采用综合展示法,即对某个问题先由某个小组成员展示出他们讨论的结论(课堂内一般是几个组同时进行,同一时间展示出所列的全部问题),组内成员可以补充,教师组织其他各组分别对各个问题的结论进行讨论、批评、修改或提出其他结论与方法,教师对大家所提问题、结论、方法等作出总结或拓展.对具有拓展性的问题可采用启发式展示法,即在教师的启发、点拨、提醒、引导下对问题逐步深入,挖掘规律性的结论.这段时间一般限制在25~30分钟.这一环节的注意问题与采取措施列表如下:注意问题采取措施1.课堂内缺乏组织,整个课采取逐题讨论,逐题总结堂如一盘散沙2.学生发表的意见不全面加强课前准备,预先全面解题,注意引导、启发、点拨3.问题较难,学生发表不出分解问题,对问题做一些铺垫意见4.课堂时间无法控制,造成注意统筹,课前分解好每题的讨论时间,控制使用拖课第三环节点评方法、总结规律教师总结归纳(也可以由学生进行归纳),把讨论得出的结论归纳成一般的理性结论,提炼解题的一般方法.同时对本课时学习情况进行总结,肯定成绩,指出问题及改进要求,安排课后练习、课程评价与下一课时的学习内容.第四环节课外练习、反思评价学生自主完成作业,完成后交由小组交流批改,教师也可以指定此项训练交由教师批改,完成后学生先各自反思本课时的学习过程,总结经验教训,再由小组或教师对每个学生这节课的学习情况(如学习态度、自觉性、创新性、成效性、进步性等)作出一个评价.评价要从鼓励进步的角度出发,作出有利于学生更好地发挥学习积极性的评价.这个环节一般需要一个小时左右.完成这一环节工作后,即转入下一课时的第一个环节,事实上,上一课时的第四环节与下一课时的第一环节是连在一起进行的.知识点新课程标准的要求层次要求领域目标要求正弦定理和余弦定理 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理 2.掌握正弦定理、余弦定理的变形公式 1.通过对三角形边角关系的探究学习,体验数学探究活动的过程,培养探索精神和创新意识 2.通过“应用举例”,提高应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作的能力3.通过学习和运用,进一步体会数学的科学价值、应用价值,进而领会数学的人文价值,提高自身修养解三角形 1.能够运用正、余弦定理求解三角形的边、角2.能够运用正、余弦定理解斜三角形(无解型、一解型、两解型) 正、余弦定理在几何问题中的应用 1.能够运用三角形的面积公式计算与面积相关的问题2.能够运用正、余弦定理证明三角恒等式正、余弦定理在实际问题中的应用1.能够运用正、余弦定理解决不能到达位置的距离、高度的测量问题 2.能够运用正、余弦定理解决角度测量问题本章的重点内容主要有:两个定理(正弦定理和余弦定理)、利用两个定理解三角形、三角形的面积公式及其应用、利用两个定理解决一些实际问题等.在教学时应注意以下几点:1.在讲解两个定理时,要引导学生对它们进行全方位地理解,知道定理的来龙去脉,如何应用,应用时应注意的问题等.例如:对于余弦定理,要求学生要掌握它的推导过程(可利用向量来进行证明)、定理及其推论的形式、适用的解三角形的类型等.2.教学过程中要引导学生有意识地总结一些规律方法.例如:利用正弦定理和余弦定理判断三角形形状的方法,一种是将条件中的边全部化为角的正弦或余弦值,然后利用三角变换及三角形内角和定理得到角的关系,从而判断三角形的形状;另一种是将条件中的所有角的三角函数值化为边的关系,通过代数式的运算得出边的关系,从而判断出三角形的形状.3.引导学生多注意一些易错点.例如:当已知两边和其中一边的对角时,若用正弦定理求另一个边所对的角会产生解的不确定性,对于此类问题要通过各种方式提醒学生解题时要加倍小心,以免漏解或多解.4.解三角形实际上是三角函数知识在三角形中的应用,因此三角函数的有关知识,如三角函数的定义,相关公式(同角三角函数基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式等),三角函数的图象和性质等要求学生必须熟练掌握.第1课时 正 弦 定 理1.掌握正弦定理及其证明过程.2.根据已知三角形的边和角,利用正弦定理解三角形.3.能根据正弦定理及三角变换公式判断三角形的形状.重点:正弦定理在解三角形中的应用.难点:三角形多解情况的判断.古埃及时代,尼罗河经常泛滥,古埃及人为了研究尼罗河水运行的规律,准备测量各种数据.当尼罗河涨水时,古埃及人想测量某处河面的宽度(如图),如果古埃及人通过测量得到了AB的长度,∠BAC,∠ABC的大小,那么就可以求解出河面的宽度CD,古埃及人是如何利用这些数据计算的呢?问题1:在上面的问题中,△ABC的已知元素有∠ABC、∠BAC和边AB.若AB=2,∠ABC=30°,∠BAC=120°,则BC=2,CD= .解三角形:已知三角形的几个元素求其他元素的过程.问题2:正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对的角的正弦的比相等,即==.问题3:正弦定理的拓展:①a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;②设R为△ABC外接圆的半径,则===2R.问题4:在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下:A为锐角A为钝角或直角图形关系式①a=b sin A ②b sin A<a<b③a≥b a>b解的个数一解两解一解一解正弦定理是由伊朗著名的天文学家阿布尔·威发首先发现与证明的.中亚细亚人阿尔比鲁尼给正弦定理作出了一个证明,也有说正弦定理的证明是13世纪的那希尔丁在《论完全四边形》中首次清楚地论证了正弦定理.他还指出,由球面三角形的三个角,可以求得它的三条边,或由三边去求三个角,也就是正弦定理向球面三角学中的拓展.1.在△ABC中,下列等式总能成立的是().A.a cos C=c cos AB.b sin C=c sin AC.ab sin C=bc sin BD.a sin C=c sin A【解析】根据正弦定理有:=,所以a sin C=c sin A,故选D.【答案】D2.已知△ABC中,a=4,b=5,A=30°.下列对三角形解的情况的判断中,正确的是().A.一解B.两解C.无解D.一解或无解【解析】因为a,b,A的关系满足b sin A<a<b,故有两解.【答案】B3.在△ABC中,已知a=5,c=10,A=30°,则B等于.【解析】根据正弦定理得: sin C===,∴C=45°或135°,故B=105°或15°.【答案】105°或15°4.在△ABC中,已知b=5,B=,tan A=2,求sin A和边a.【解析】因为△ABC中,tan A=2,所以A是锐角,又=2,sin2A+cos2A=1,联立解得sin A=,再由正弦定理得=,代入数据解得a=2.利用正弦定理判断三角形的形状在△ABC中,若sin A=2sin B cos C,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状.【方法指导】先利用正弦定理将“sin2A=sin2B+sin2C”转化为三角形边之间的关系,再结合第一个条件进行转化判断.【解析】在△ABC中,根据正弦定理:===2R,∵sin2A=sin2B+sin2C,∴()2=()2+()2,即a2=b2+c2,∴A=90°,∴B+C=180°-A=90°.由sin A=2sin B cos C,得sin 90°=2sin B cos(90°-B),∴sin2B=.∵B是锐角,∴sin B=,∴B=45°,C=45°.∴△ABC是等腰直角三角形.【小结】(1)判断三角形的形状,可以从三边的关系入手,也可以从三个内角的关系入手.从条件出发,利用正弦定理进行代换、转化,求出边与边的关系或求出角与角的关系,从而作出准确判断.(2)判断三角形的形状,主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形等,要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.已知两角及其中一角的对边,解三角形在△ABC中,已知c=10,A=45°,C=30°,解这个三角形.【方法指导】由A+B+C=180°可求出B,再由=和=,求出a和b.【解析】∵A=45°,C=30°,∴B=180°-(A+C)=105°.由=得a===10.由=得b===20sin 75°,∵sin 75°=sin(30°+45°)=sin 30°cos45°+cos 30°sin45°=,∴b=20×=5+5.【小结】解三角形时,如果已知三角形的任意两个角与一边,由三角形内角和定理,可以计算出三角形的另一个角,由正弦定理可计算出三角形的另两边.已知两边及其中一边的对角,解三角形在△ABC中,a=,b=,B=45°.求角A,C和边c.【方法指导】已知两边及其中一边的对角,要根据正弦定理先求解另一角,再求出三角形的另外两个元素.【解析】由正弦定理得=,=,∴sin A=,∴A=60°,C=180°-45°-60°=75°,由正弦定理得:c==.[问题]本题中根据sin A=得出的角A一定是60°吗?[结论]角A不一定是60°,由于a>b,所以角A还可能是120°.于是正确的解答如下:由正弦定理得=,=,∴sin A=.∵a>b,∴A=60°或A=120°.当A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,c==;当A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,c==.【小结】已知三角形的两个角求第三个角时注意三角形内角和定理的运用,求边时可用正弦定理的变式,把要求的边用已知条件表示出来再代入计算.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时,首先运用正弦定理求出另一边对角的正弦值,再利用三角形中大边对大角看能否判断所求的这个角是锐角,当已知的角为大边对的角时,则能判断另一边所对的角为锐角;当已知小边对的角时,则不能判断.在△ABC中,若==,则△ABC是().A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形【解析】由正弦定理得a=2R sin A,b=2R sin B,c=2R sin C(R为△ABC外接圆的半径),∴==,即tan A=tan B=tan C,∴A=B=C.【答案】B在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则A=,b=,c=.【解析】A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°.由正弦定理=,得b===4,由=,得c====4(+1).【答案】45°44(+1)在△ABC中,已知a=,c=2,A=60°,求B、C及b的值.【解析】由正弦定理==,得sin C===.。
高中数学必修5导学案
§1.1.1 正弦定理学习目标1. 掌握正弦定理的内容；2. 掌握正弦定理的证明方法；3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．学习过程一、课前准备试验：固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动．思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二、新课导学※ 学习探究探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ∆ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C==．(探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B=， 同理可得sin sin c b C B=， 从而sin sin a b A B =sin c C=．类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即sin sin a b A B =sin c C=．试试：（1）在ABC ∆中，一定成立的等式是（ ）．A ．sin sin a A bB = B .cos cos a A b B =C . sin sin a B b A =D .cos cos a B b A =（2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ．[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =；（2）sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C． （3）正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B=；b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， 如sin sin a A B b=；sin C = ． （4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．※ 典型例题例1. 在ABC ∆中，已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形．变式：在ABC ∆中，已知45B =，60C =，12a =cm ，解三角形．例2. 在6,45,2,,ABC c A a b B C ∆===中，求和．变式：在3,60,1,,ABC b B c a A C ∆===中，求和．三、总结提升※ 学习小结1. 正弦定理：sin sin a b A B =sin c C= 2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法.3．应用正弦定理解三角形：①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角．※ 知识拓展 sin sin a b A B =2sin c R C==，其中2R 为外接圆直径. 学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 在ABC ∆中，若cos cos A b B a=，则ABC ∆是（ ）. A ．等腰三角形 B ．等腰三角形或直角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形2. 已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，则a ∶b ∶c 等于（ ）.A ．1∶1∶4B ．1∶1∶2C ．1∶1∶3D ．2∶2∶33. 在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（ ）.A. A B >B. A B <C. A ≥BD. A 、B 的大小关系不能确定4. 已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则::a b c = ．5. 已知∆ABC 中，∠A 60=︒，3a =，则sin sin sin a b c A B C++++= ．课后作业1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，解此三角形．2. 已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k ≠0)，求实数k 的取值范围为．§1.1.2 余弦定理学习目标1. 掌握余弦定理的两种表示形式；2. 证明余弦定理的向量方法；3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．学习过程一、课前准备复习1：在一个三角形中，各和它所对角的的相等，即= = ．复习2：在△ABC中，已知10c=，A=45︒，C=30︒，解此三角形．思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？二、新课导学※探究新知问题：在ABC∆中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b.∵AC =，∴AC AC∙=同理可得：2222c o sa b c b c A=+-，2222cosc a b ab C=+-．cabA BC新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍．思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2b c a A bc+-=， ， ．[理解定理]（1）若C =90︒，则cos C = ，这时222c a b =+由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．（2）余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角．试试：（1）△ABC 中，33a =，2c =，150B =，求b ．（2）△ABC 中，2a =，2b =，31c =+，求A ．※ 典型例题例1. 在△ABC 中，已知3a =，2b =，45B =，求,A C 和c ．变式：在△ABC中，若AB＝5，AC＝5，且cos C＝910，则BC＝________．例2. 在△ABC中，已知三边长3a=，4b=，37c=，求三角形的最大内角．变式：在∆ABC中，若222a b c bc=++，求角A．三、总结提升※学习小结1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；2. 余弦定理的应用范围：①已知三边，求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边．※知识拓展在△ABC中，若222a b c+=，则角C是直角；若222a b c+<，则角C是钝角；若222a b c+>，则角C是锐角．学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 已知a＝3，c＝2，B＝150°，则边b的长为（）.A. 342B. 34C.222D. 222. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（）.A．60B．75C．120D．1503. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（）.A．513x<<B．13＜x＜5C．2＜x＜5D．5＜x＜54. 在△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝2，AB与AC的夹角为60°，则|AB－AC|＝________．5. 在△ABC中，已知三边a、b、c满足222b ac ab+-=，则∠C等于．课后作业1. 在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cos C＝1314，求最大角的余弦值．2. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，求AB BC的值.§1.1 正弦定理和余弦定理（练习）学习目标1. 进一步熟悉正、余弦定理内容；2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形．学习过程一、课前准备复习1：在解三角形时已知三边求角，用定理；已知两边和夹角，求第三边，用 定理； 已知两角和一边，用 定理．复习2：在△ABC 中，已知 A ＝6π，a ＝252，b ＝502，解此三角形．二、新课导学※ 学习探究探究：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形.① A ＝6π，a ＝25，b ＝502； ② A ＝6π，a ＝5063，b ＝502； ③ A ＝6π，a ＝50，b ＝502.思考：解的个数情况为何会发生变化？新知：用如下图示分析解的情况（A 为锐角时）．b a b a b a b a a 已知边a,b 和∠A仅有一个解有两个解仅有一个解无解a ≥b CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinAA CB ACB1A B A C B2C HH H试试：1. 用图示分析（A 为直角时）解的情况？2．用图示分析（A 为钝角时）解的情况？※ 典型例题例1. 在∆ABC 中，已知80a =，100b =，45A ∠=︒，试判断此三角形的解的情况．变式：在∆ABC 中，若1a =，12c =，40C ∠=︒，则符合题意的b 的值有_____个．例2. 在∆ABC 中，60A =︒，1b =，2c =，求sin sin sin a b c A B C++++的值．变式：在∆ABC 中，若55a =，16b =，且1sin 22032ab C =，求角C ．三、总结提升※ 学习小结1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和无解三种情况）．※ 知识拓展在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况 ：①当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解；②当A 为锐角时，如果a ≥b ，那么只有一解；如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sin a b A >，则有两解；（2）若sin a b A =，则只有一解； （3）若sin a b A <，则无解．学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且sin 2sin 3A B =，则a b b +的值=（ ）. A. 13 B. 23 C. 43 D. 532. 已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（ ）.A ．135°B ．90°C ．120°D ．150°3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（ ）.A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加长度决定4. 在△ABC 中，sin A :sin B :sin C ＝4:5:6，则cos B ＝ ．5. 已知△ABC 中，cos cos b C c B =，试判断△ABC 的形状 ．课后作业1. 在∆ABC 中，a xcm =，2b cm =，45B ∠=︒，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围．2. 在∆ABC中，其三边分别为a、b、c，且满足2221sin24a b cab C+-=，求角C．§1.2应用举例—①测量距离学习目标能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题学习过程一、课前准备复习1：在△ABC中，∠C＝60°，a＋b＝232+，c＝22，则∠A为.复习2：在△ABC中，sin A＝sin sincos cosB CB C++，判断三角形的形状.二、新课导学※典型例题例1. 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=51︒，∠ACB=75︒. 求A、B两点的距离(精确到0.1m).提问1：∆ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边.新知1：基线在测量上，根据测量需要适当确定的叫基线.例2. 如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法.分析：这是例1的变式题，研究的是两个的点之间的距离测量问题.首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点.根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC 和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离.变式：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得∠BCA=60°，∠ACD=30°，∠CDB=45°，∠BDA =60°.练：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为多少？三、总结提升※ 学习小结1. 解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.2．基线的选取：测量过程中，要根据需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 水平地面上有一个球，现用如下方法测量球的大小，用锐角45︒的等腰直角三角板的斜边紧靠球面，P 为切点，一条直角边AC 紧靠地面，并使三角板与地面垂直，如果测得PA =5cm ，则球的半径等于（ ）.A ．5cmB ．52cmC ．5(21)cm +D ．6cm 2. 台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为（ ）.A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时3. 在ABC ∆中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，则ABC ∆的形状（ ）.A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形4.在ABC ∆中，已知4a =，6b =，120C =，则sin A 的值是 ．5. 一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60，行驶４h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为 km ．P A C课后作业1. 隔河可以看到两个目标，但不能到达，在岸边选取相距3km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，A、B、C、D在同一个平面，求两目标A、B间的距离.2. 某船在海面A处测得灯塔C与A相距103海里，且在北偏东30︒方向；测得灯塔B与A 相距156海里，且在北偏西75︒方向. 船由A向正北方向航行到D处，测得灯塔B在南偏西60︒方向. 这时灯塔C与D相距多少海里？§1.2应用举例—②测量高度学习目标1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题；2. 测量中的有关名称.学习过程一、课前准备复习1：在∆ABC中，cos5cos3A bB a==，则∆ABC的形状是怎样？复习2：在∆ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若::a b c=1:1:3，求A:B:C 的值.二、新课导学※学习探究新知：坡度、仰角、俯角、方位角方位角---从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角；坡度---沿余坡向上的方向与水平方向的夹角；仰角与俯角---视线与水平线的夹角当视线在水平线之上时，称为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角.探究：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.分析：选择基线HG，使H、G、B三点共线，要求AB，先求AE在ACE∆中，可测得角，关键求AC在ACD∆中，可测得角，线段，又有α故可求得AC※典型例题例1. 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α=5440'︒，在塔底C处测得A处的俯角β=501'︒. 已知铁塔BC部分的高为27.3 m，求出山高CD(精确到1 m)例2. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15︒的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25︒的方向上，仰角为8︒，求此山的高度CD.问题1：欲求出CD，思考在哪个三角形中研究比较适合呢？问题2：在∆BCD中，已知BD或BC都可求出CD，根据条件，易计算出哪条边的长？变式：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A、B两个目标，测得目标A在南偏西57°，俯角是60°，测得目标B在南偏东78°，俯角是45°，试求山高.三、总结提升※学习小结利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化.※知识拓展在湖面上高h处，测得云之仰角为α，湖中云之影的俯角为β，则云高为sin() sin() hαβαβ+-.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 在∆ABC中，下列关系中一定成立的是（）.A．sina b A>B．sina b A=C．sina b A<D．sina b A≥2. 在∆ABC中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC上的高为（）.A．322B．332C．32D．333. D、C、B在地面同一直线上，DC=100米，从D、C两地测得A的仰角分别为30和45，则A点离地面的高AB等于（）米．A．100 B．503C．50(31)-D．50(31)+4. 在地面上C点，测得一塔塔顶A和塔基B的仰角分别是60︒和30︒，已知塔基B高出地面20m，则塔身AB的高为_________m．5. 在∆ABC中，22b=，2a=，且三角形有两解，则A的取值范围是．课后作业1. 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，则塔AB的高度为多少m？2. 在平地上有A、B两点，A在山的正东，B在山的东南，且在A的南25°西300米的地方，在A 侧山顶的仰角是30°，求山高.§1.2应用举例—③测量角度学习目标能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.学习过程一、课前准备复习1：在ABC △中，已知2c =，3C π=，且1sin 32ab C =，求a b ，.复习2：设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A =60，3c =，求a c的值.二、新课导学※ 典型例题例1. 如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75︒的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32︒的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离?(角度精确到0.1︒，距离精确到0.01n mile)分析：首先由三角形的内角和定理求出角∠ABC，然后用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角∠CAB.例2. 某巡逻艇在A处发现北偏东45︒相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75︒的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？※动手试试练1. 甲、乙两船同时从B点出发，甲船以每小时10(3＋1)km的速度向正东航行，乙船以每小时20km的速度沿南60°东的方向航行，1小时后甲、乙两船分别到达A、C两点，求A、C两点的距离，以及在A点观察C点的方向角.练2. 某渔轮在A 处测得在北45°的C 处有一鱼群，离渔轮9海里，并发现鱼群正沿南75°东的方向以每小时10海里的速度游去，渔轮立即以每小时14海里的速度沿着直线方向追捕，问渔轮应沿什么方向，需几小时才能追上鱼群？三、总结提升※ 学习小结1. 已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之.；2．已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.※ 知识拓展已知∆ABC 的三边长均为有理数，A =3θ，B =2θ，则cos5θ是有理数，还是无理数？ 因为5C πθ=-，由余弦定理知222cos 2a b c C ab+-=为有理数， 所以cos5cos(5)cos C θπθ=--=-为有理数. 学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为（ ）.A ．α>βB ．α=βC ．α+β=90D ．α+β=1802. 已知两线段2a =，22b =，若以a 、b 为边作三角形，则边a 所对的角A 的取值范围是（ ）.A ．(,)63ππB ．(0,]6π C ．(0,)2π D ．(0,]4π3. 关于x 的方程2sin 2sin sin 0A x B x C ++=有相等实根，且A 、B 、C 是∆的三个内角，则三角形的三边a b c 、、满足（ ）.A ．b ac =B ．a bc =C ．c ab =D ．2b ac =4. △ABC 中，已知a :b :c =(3+1) :(3-1): 10，则此三角形中最大角的度数为 .5. 在三角形中，已知:A ，a ，b 给出下列说法:(1)若A ≥90°，且a ≤b ，则此三角形不存在(2)若A ≥90°，则此三角形最多有一解(3)若A ＜90°，且a =b sin A ，则此三角形为直角三角形，且B =90°(4)当A ＜90°，a <b 时三角形一定存在(5)当A ＜90°，且b sin A <a <b 时，三角形有两解其中正确说法的序号是 .课后作业1. 我舰在敌岛A 南偏西50︒相距12海里的B 处，发现敌舰正由岛沿北偏西10︒的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？2.§1.2应用举例—④解三角形学习目标1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题；2. 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用；3. 能证明三角形中的简单的恒等式．学习过程一、课前准备复习1：在∆ABC 中（1）若1,3,120a b B ===︒，则A 等于 ．（2）若33a =，2b =，150C =︒，则c = _____．复习2：在ABC ∆中，33a =，2b =，150C =︒，则高BD = ，三角形面积= ．二、新课导学※ 学习探究探究：在∆ABC 中，边BC 上的高分别记为h a ，那么它如何用已知边和角表示？h a =b sin C =c sin B根据以前学过的三角形面积公式S =12ah ， 代入可以推导出下面的三角形面积公式，S =12ab sin C ，或S = ，同理S = ．新知：三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之积的一半．※ 典型例题例1. 在∆ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.1cm 2）：（1）已知a =14.8cm ，c =23.5cm ，B =148.5︒；（2）已知B =62.7︒，C =65.8︒，b =3.16cm ；（3）已知三边的长分别为a =41.4cm ，b =27.3cm ，c =38.7cm ．变式：在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m，88m，127m，这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm2）例2. 在∆ABC中，求证：（1）222222sin sinsina b A Bc C++=；（2）2a+2b+2c=2（bc cos A+ca cos B+ab cos C）．小结：证明三角形中恒等式方法：应用正弦定理或余弦定理，“边”化“角”或“角”化“边”．※动手试试练1. 在∆ABC中，已知28a cm=，33c cm=，45B=，则∆ABC的面积是．练2. 在∆ABC中，求证：22(cos cos)c a B b A a b-=-．三、总结提升※学习小结1. 三角形面积公式：S =12ab sin C = = ． 2. 证明三角形中的简单的恒等式方法：应用正弦定理或余弦定理，“边”化“角”或“角”化“边”．※ 知识拓展 三角形面积()()()S p p a p b p c =---， 这里1()2p a b c =++，这就是著名的海伦公式． 学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 在ABC ∆中，2,3,60a b C ︒===，则ABC S ∆=（ ）.A. 23B. 32C. 3D. 322. 三角形两边之差为2，夹角的正弦值为35，面积为92，那么这个三角形的两边长分别是（ ）.A. 3和5B. 4和6C. 6和8D. 5和73. 在ABC ∆中，若2cos sin sin B A C ⋅=，则ABC ∆一定是（ ）三角形．A. 等腰B. 直角C. 等边D. 等腰直角4. ABC ∆三边长分别为3,4,6，它的较大锐角的平分线分三角形的面积比是 ．5. 已知三角形的三边的长分别为54a cm =，61b cm =，71c cm =，则∆ABC 的面积是 ．课后作业2. 已知在∆ABC 中，∠B =30︒，b =6，c =63，求a 及∆ABC 的面积S ．2. 在△ABC 中，若sin sin sin (cos cos )A B C A B +=⋅+，试判断△ABC 的形状.§1.2应用举例（练习）学习目标1．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量的实际问题；2．三角形的面积及有关恒等式．学习过程一、课前准备复习1：解三角形应用题的关键：将实际问题转化为解三角形问题来解决．复习2：基本解题思路是：①分析此题属于哪种类型（距离、高度、角度）；②依题意画出示意图，把已知量和未知量标在图中；③确定用哪个定理转化，哪个定理求解；④进行作答，并注意近似计算的要求．二、新课导学※典型例题例1. 某观测站C在目标A的南偏西25方向，从A出发有一条南偏东35走向的公路，在C 处测得与C相距31km的公路上有一人正沿着此公路向A走去，走20km到达D，此时测得CD距离为21km，求此人在D处距A还有多远？例2. 在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进103m至D点，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．例3. 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC=60°，AC=7，AD=6，S△ADC=1532，求AB的长．AD※动手试试练1. 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，则塔AB的高度为多少m？练2. 两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东30°，灯塔B 在观察站C 南偏东60°，则A 、B 之间的距离为多少？三、总结提升※ 学习小结1. 解三角形应用题的基本思路，方法；2．应用举例中测量问题的强化.※ 知识拓展秦九韶“三斜求积”公式： 222222142c a b S c a ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 某人向正东方向走x km 后，向右转150，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好3km ，则x 等于（ ）.A ．3B ．23C ．3或23D ．32.在200米的山上顶，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30,60，则塔高为（）米．A．2003B．20033C．4003D．400333. 在∆ABC中，60A∠=︒，16AC=，面积为2203，那么BC的长度为（）.A．25B．51C．493D．494. 从200米高的山顶A处测得地面上某两个景点B、C的俯角分别是30º和45º，且∠BAC ＝45º，则这两个景点B、C之间的距离．5. 一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°相距20里处，随后货轮按北偏西30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45︒，则货轮的速度．课后作业1. 3.5米长的棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离堤足1.2米地面上，另一端在沿堤上2.8米的地方，求堤对地面的倾斜角.2. 已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝（3,1-），n＝（cos A，sin A）. 若m⊥n，且a cos B+b cos A=c sin C，求角B.第一章解三角形（复习）学习目标能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题．学习过程一、课前准备复习1： 正弦定理和余弦定理（1）用正弦定理：①知两角及一边解三角形；②知两边及其中一边所对的角解三角形（要讨论解的个数）．（2）用余弦定理：①知三边求三角；②知道两边及这两边的夹角解三角形．复习2：应用举例① 距离问题，②高度问题，③ 角度问题，④计算问题．练：有一长为2公里的斜坡，它的倾斜角为30°，现要将倾斜角改为45°，且高度不变. 则斜坡长变为___ ．二、新课导学※ 典型例题例1. 在ABC ∆中tan()1A B +=，且最长边为1，tan tan A B >，1tan 2B =，求角C 的大小及△ABC 最短边的长．例2. 如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？例3. 在∆ABC中，设tan2,tanA c bB b-=求A的值．※ 动手试试练1. 如图，某海轮以60 n mile/h 的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东60°，向北航行40 min 后到达B 点，测得油井P 在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80 min 到达C 点，求P 、C 间的距离．练2. 在△ABC 中，b ＝10，A ＝30°，问a 取何值时，此三角形有一个解？两个解？无解？60°30°60°A BC P 北三、总结提升※ 学习小结1. 应用正、余弦定理解三角形；2. 利用正、余弦定理解决实际问题（测量距离、高度、角度等）；3．在现实生活中灵活运用正、余弦定理解决问题. （边角转化）．※ 知识拓展设在ABC ∆中，已知三边a ，b ，c ，那么用已知边表示外接圆半径R 的公式是 ()()()abc R p p a p b p c =--- 学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，则△ABC 的面积为（ ）.A ．9B ．18C ．9D ．1832.在△ABC 中，若222c a b ab =++，则∠C =（ ）.A ． 60°B ． 90°C ．150°D ．120°3. 在∆ABC 中，80a =，100b =，A =30°，则B 的解的个数是（ ）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．不确定的4. 在△ABC 中，32a =，23b =，1cos 3C =，则ABC S =△_______ 5. 在∆ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，若2222sin a b c bc A =+-，则A =___ ____.课后作业1. 已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若1cos cos sin sin 2B C B C -=． （1）求A ；（2）若23,4a b c =+=，求ABC ∆的面积．2. 在△ABC中，,,a b c分别为角A、B、C的对边，2228 5 bca c b-=-，a=3，△ABC的面积为6，（1）求角A的正弦值；（2）求边b、c.§2.1数列的概念与简单表示法(1)学习目标1. 理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；2. 了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式.学习过程一、课前准备（预习教材P28 ~ P30 ，找出疑惑之处）复习1：函数，当x依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？复习2：函数y=7x+9，当x依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？二、新课导学※学习探究探究任务：数列的概念⒈数列的定义：的一列数叫做数列.⒉数列的项：数列中的都叫做这个数列的项.。
四川省岳池县第一中学高中数学 1.2 应用举例学案 新人教A版必修5
§1.2应用举例（练习）学习目标1．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量的实际问题；2．三角形的面积及有关恒等式．教学重点推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目教学难点利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题学习过程一、课前准备复习1：解三角形应用题的关键：将实际问题转化为解三角形问题来解决．复习2：基本解题思路是：①分析此题属于哪种类型（距离、高度、角度）；②依题意画出示意图，把已知量和未知量标在图中；③确定用哪个定理转化，哪个定理求解；④进行作答，并注意近似计算的要求．二、新课导学※典型例题例1. 某观测站C在目标A的南偏西25 方向，从A出发有一条南偏东35 走向的公路，在C处测得与C相距31km的公路上有一人正沿着此公路向A走去，走20km到达D，此时测得CD距离为21km，求此人在D 处距A还有多远？例2. 在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进至D点，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．例3. 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC=60°，AC=7，AD=6，S△ADCAB的长．B C※动手试试练1. 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B 的俯角为45°，则塔AB的高度为多少m？练2. 两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为多少？三、总结提升※学习小结1. 解三角形应用题的基本思路，方法；2．应用举例中测量问题的强化.※知识拓展秦九韶“三斜求积”公式：※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 某人向正东方向走x km 后，向右转150 ，然后朝新方向走3km km ，则x 等于（ ）.A ． C D ．32.在200米的山上顶，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30,60 ，则塔高为（ ）米．A ．2003 B C ．4003 D3. 在∆ABC 中，60A ∠=︒，16AC =，面积为BC 的长度为（ ）.A ．25B ．51C ．．494. 从200米高的山顶A 处测得地面上某两个景点B 、C 的俯角分别是30º和45º，且∠BAC ＝45º，则这两个景点B 、C 之间的距离 ．5. 一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°相距20里处，随后货轮按北偏西30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45︒，则货轮的速度 ．1. 3.5米长的棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离堤足1.2米地面上，另一端在沿堤上2.8米的地方，求堤对地面的倾斜角.2. 已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m 1-），n ＝（cos A ，sin A ）. 若m ⊥n ，且a cos B +b cos A =c sin C ，求角B .。
人教A版必修5数学 精品导学案：1.2应用举例—①
§1.2应用举例—①班级姓名学号学习目标能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题学习过程一、课前准备复习1：在△ABC中，∠C＝60°，a＋b＝232+，c＝22，则∠A为.复习2：在△ABC中，sin A＝sin sincos cosB CB C++，判断三角形的形状.二、新课导学※典型例题例1. 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是a，∠BAC=α，∠ACB=β. 求A、B两点的距离.分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题例2. 如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法.例3、坡度、仰角、俯角、方位角探究：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.例4. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15︒的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25︒的方向上，仰角为8︒，求此山的高度CD.1. 台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为（ ）.A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时2. 在ABC ∆中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，则ABC ∆的形状（ ）.A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形3.在ABC ∆中，已知4a =，6b =，120C =，则sin A 的值是 ．4.在∆ABC 中，cos 5cos 3A bB a ==，则∆ABC 的形状是、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，若::a b c A:B:C 的值.1. 隔河可以看到两个目标，但不能到达，的C 、D 两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，A、B、C、D在同一个平面，求两目标A、B间的距离.2. 在∆ABC中，b=2a=，且三角形有两解，则A的取值范围是．教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
人教A版高中数学必修5数学导学案应用举例2
§1.2应用举例—②班级 姓名 学号1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.2. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题；复习1：在ABC △中，已知2c =，3C π=，且1sin 2ab C a b ，.复习2：设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A =60，3c =，求a c的值.二、新课导学※ 典型例题例1. 如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75︒的方向航行67.5 n mile 后到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东32︒的方向航行54.0 n mile 后达到海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C ，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离?(角度精确到0.1︒，距离精确到0.01n mile)例2. 某巡逻艇在A 处发现北偏东45︒相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75︒的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？例3、在∆ABC中，边BC上的高分别记为ha，那么它如何用已知边和角表示？ha=b sin C=c sin B根据以前学过的三角形面积公式S=12 ah，代入可以推导出下面的三角形面积公式，S=12ab sin C，或S= ，同理S= ．变式：在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m，88m，127m，这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm2）例2. 在∆ABC中，求证：（1）222222sin sinsina b A Bc C++=；（2）2a+2b+2c=2（bc cos A+ca cos B+ab cos C）．练1. 在∆ABC 中，已知28a cm =，33c cm =，45B =，则∆ABC 的面积是 ．练2. 在∆ABC 中，求证：22(cos cos )c a B b A a b -=-．三、总结提升※ 学习小结1. 三角形面积公式：S =12ab sin C = = ． 2. 证明三角形中的简单的恒等式方法：应用正弦定理或余弦定理，“边”化“角”或“角”化“边”．※ 知识拓展三角形面积S =1()2p a b c =++，这就是著名的海伦公式．1. 在ABC ∆中，2,60a b C ︒===，则ABC S ∆=（ ）.A. B. C. D. 32 2. 三角形两边之差为2，夹角的正弦值为35，面积为92，那么这个三角形的两边长分别是（ ）.A. 3和5B. 4和6C. 6和8D. 5和73. 在ABC ∆中，若2cos sin sin B A C ⋅=，则ABC ∆一定是（ ）三角形．A. 等腰B. 直角C. 等边D. 等腰直角4. ABC ∆三边长分别为3,4,6，它的较大锐角的平分线分三角形的面积比是 ．5. 已知三角形的三边的长分别为54a cm =，61b cm =，71c cm =，则∆ABC 的面积是 ．2. 已知在∆ABC 中，∠B =30︒，b =6，c a 及∆ABC 的面积S ．2. 在△ABC中，若+=⋅+，试判断△ABC的形状.sin sin sin(cos cos)A B C A B3.在ABCC=︒，则高BD= ，三角形面积= ．∆中，a=2b=，150。
四川省岳池县第一中学高中数学1.1.1导数的概念导学案(无答案)新人教A版选修2_2
第一章 导数及其应用1.1.1 导数的概念学习目标：1．了解导数概念的实际背景．2．会求函数在某一点附近的平均变化率．3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．学习重点：会利用导数的定义求函数在某点处的导数．学习难点：会利用导数的定义求函数在某点处的导数．课前预习案一，新课导学 _______0函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的____________称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作____________________，即f ′(x 0) ＝lim Δx →0Δy Δx ＝___________________. 课内探究案探究点一 平均变化率的概念问题1 气球膨胀率很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？问题2 高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)存在函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10.计算运动员在下列时间段内的平均速度v ，并思考平均速度有什么作用？问题3 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？探究点二 函数在某点处的导数 问题1 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？问题2 如何描述物体在某一时刻的运动状态？二．合作探究例1 已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx； (2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx；(3)若设x 2＝x 1＋Δx .分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义．例2 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数．三．当堂检测1.求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．2高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，求运动员在t ＝6598s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．四．课后反思课后训练案1．在导数的定义中，自变量的增量Δx 满足 ( )A ．Δx <0B ．Δx >0C ．Δx ＝0D ．Δx ≠02．函数f (x )在x 0处可导，则lim h →0 f x 0＋h －f x 0h( )A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关3．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx 等于 ( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )24．已知函数f (x )＝1x，则f ′(1)＝________.。
人教新课标版数学高二必修5导学案 1.2 应用举例(一)学生版
1.2 应用举例（一）学习目标1.会用正弦、余弦定理解决生产实践中有关不可到达点距离的测量问题.2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力．学习过程一、自主学习1.在解决实际问题时常会遇到一些有关角的术语，请查阅资料后填空：(1)方向角指北或指南方向线与目标方向所成的小于________度的角．(2)仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线________时叫仰角，目标视线在水平线________时叫俯角．(如下图所示)二、合作探究探究点1：有关不可到达点距离的测量问题问题1:试画出“北偏东60°”和“南偏西45°”的示意图．问题2:如何不登月测量地月距离？例1如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC＝51°，∠ACB＝75°.求A，B两点间的距离．(精确到0.1m)探究点2：测量两个不可到达点间的距离例2 如图，A 、B 两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A 、B 两点间距离的方法．引申探究:对于例2，给出另外一种测量方法．三、当堂检测1．如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者与A 在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C ，测出A ，C 的距离为50m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．502mB ．503mC ．252m D.2522m 2．某人向东方向走了x 千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好13千米，那么x 的值是________．3．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，A，B，C，D四点共圆，则AC 的长为________km.四、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?五、学后反思1、我的疑问：2、我的收获：。
高中数学必修5高中数学必修5《1.2应用举例(四)》教案
1.2解三角形应用举例 第四课时一、教材分析《解三角形应用举例》是人教版新课标教材高中数学必修五第一章《解三角形》第2节的内容，是学完了正弦定理和余弦定理后对定理的应用，共四课时，本节课为第四课时。
本节课重点是推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目，运用正、余弦定理来解决解三角形相关的问题，让学生亲身经历和体验运用三角函数来解决实际问题的过程，培养学生抽象、概括、分析问题和解决问题的能力，使学生感受到“生活处处有数学”，提高应用数学的意识。
二、学生学习情况分析本节课的学生情况分析主要是根据教师平时对学生的了解而做出的：⑴学生是棉城中学高一级学生；⑵学生已经熟练掌握利用正、余弦定理解三角形的解法；⑶学生对生活中的数学问题兴趣浓厚，有多次小组合作解决实习作业的体验；⑷学生数学建模的能力还不强。
三、设计思想学生是教学的主体，本节课要给学生提供各种参与机会，为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动，本节课可利用多媒体辅助教学，引导学生从实例中认识三角形模型，让学生亲身经历和体验运用三角函数来解决实际问题的过程。
在教学重难点上，步步设问、启发学生的思维，通过例题、学生讨论的方式来加深理解，更好地突破难点和提高教学效率。
让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。
四、教学目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用2、本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。
另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。
只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点。
3、让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验五、教学重点、难点重点：推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题六、教具：多媒体七、教学方法：引导、探究式八、教学过程Ⅰ.课题导入[创设情境]师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。
高中数学 1.2应用举例(2)导学案 新人教A版必修5
1.2应用举例第2课时预习案【学习目标】1.2.学会用正弦定理、有关的实际问题的方法。
3分析问题和解决问题的能力。
.【重点】 ： 问题。
【难点】 将预习不能解决的问题中标出来，并写到后面“我的疑惑”处.Ⅰ.相关知识 仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在 上方的角叫仰角，在 下方的角叫俯角(如图①)．2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如②)．Ⅱ.教材助读1. 课本例3可转化为“已知任意两角与 ”的解三角形问题，可利用 定理得到解决。
2. 在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做 ，一般来说， 越长，测量的精度 。
例3中 是基底。
【预习自测】如图所示，B 、C 、D 在地平面同一直线上，DC ＝10 m ，从D 、C 两地测得A 的仰角分别为30°、45°，则点A 距地面的距离等于( )A ．10 mB ．5 3 mC ．5(3－1) mD ．5(3＋1) m图1【我的疑惑】探究案Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究探究点1：测量底部不能到达的某物体的高度（重点） 【例1】 如图2，测量河对岸的塔高AB 时，可以 选与塔底在同一水平面内的两个测量点C 与D. 现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在点C 处 测得塔顶A 的仰角为θ,求塔高AB.图2【规律方法总结】解决该类问题时，一定要准确理解和的概念.Ⅱ.我的知识网络图→训练案一、基础巩固------把简单的事做好就叫不简单！2.如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离.二、综合应用-----挑战高手，我能行！3.(09·宁夏海南)如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝80 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝110 m，求∠DEF的余弦值．1．在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30 m至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进103 m至D点，测得顶端A的仰角为4θ.则θ的值为( )A．15°B．10°C．5°D．20°三、拓展探究题------战胜自我，成就自我！4.为了测量两山顶M,N间的距离，飞机沿水平方向在A,B,M,N在同一个铅垂平面飞机能够测量的数据有俯角和A,B间的距离。
高中数学1.2应用举例1导学案新必修5
1.2应用举例第1课时预习案【学习目标】1.了解常用的测量相关术语，把一些简单的实际问题转化为数学问题，培养数学的应用意识。
2.学会用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量距离或宽度(有障碍物)有关的实际问题的方法。
3．让学生在独立思考，合作探究中激发学习数学的兴趣，体会数学建模的基本思想，培养其分析问题和解决问题的能力。
.【重点】 ： 综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决生活中的测量距离或宽度(有障碍物)问题。
【难点】：根据题意建立数学模型，画出示意图，并从中找出解决问题的关键条件。
将预习不能解决的问题中标出来，并写到后面“我的疑惑”处.Ⅰ.相关知识1.什么是正弦定理？ 有几种变式？2.什么是余弦定理？3.利用正弦定理可解决哪几类解三角形的问题？4.利用余弦定理可解决哪几类解三角形的问题？Ⅱ.教材助读1. 课本例1可转化为“已知任意两角与 ”的解三角形问题，可利用 定理得到解决。
2. 在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做 ，一般来说， 越长，测量的精度 。
【预习自测】1. 某学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图所示，测量AC 的长度为4m ，A=6π，则期跨度AB 的长为（ ） CC.33mD.43 2，（2011，上海）在相距2km 的A,B 两点处测量目标点C ，若075=∠CAB 060=∠CBA ,则A,C 两点之间的距离是 km【我的疑惑】探究案Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究探究点：【例1】 如图1，A ，B 选定一点C ，测出A ，C 两点间的距离是68 m ，∠BAC=50°，∠ACB=80°.求A ，B 两点间 的距离.(精确到0.1 m)【例2】如图2所示，隔河可看到两目标 A ，B ，但不能到达，在岸边选取相距3 km 的C ，D 两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°， ∠ADC=30°，∠ADB=45°，A ，B ，C ，D 在同一平面内，求两目标A ，B 之间的距离.图2【规律方法总结】测量有关距离问题的应用题可分以下两类：（1）当时,如图3所示,选取基线 , 测出的度数及的长,运用可求AB.（2）当时,如图4所示,选取基线 ,测出的度数及的长,可以先由在△ADC和△BDC中求出AC和BC,再在△ABC中由求AB.一、基础巩固------把简单的事做好就叫不简单！1．如图,在河岸AC处测量河的宽度BC，需测量到下列四组数据，较适宜的是（）A、c与αB、 c 与bC、 c与βD、 b与α2. 如图，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时最适合用的数据（）A .a、ɑ、b B.、ɑ、β、a C.a 、 b、γ D.α、β、b3.为了开凿隧道，要测量隧道上D、E间的距离，为此在山的一侧选取适当点C，如下图，测得CA=400m，CB=600m，600∠ACB，又测得A，B两点到隧道口的距离AD=80m，BE=40m=（A、D、E、B在一条直线上），计算隧道DE的长。
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§1.2应用举例（练习）
学习目标
1．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量的实际问题；
2．三角形的面积及有关恒等式．
教学重点
推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目
教学难点
利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题
学习过程
一、课前准备
复习1：解三角形应用题的关键：将实际问题转化为解三角形问题来解决．
复习2：基本解题思路是：
①分析此题属于哪种类型（距离、高度、角度）；
②依题意画出示意图，把已知量和未知量标在图中；
③确定用哪个定理转化，哪个定理求解；
④进行作答，并注意近似计算的要求．
二、新课导学
※典型例题
例1. 某观测站C在目标A的南偏西25方向，从A出发有一条南偏东35走向的公路，在C处测得与C相距31km的公路上有一人正沿着此公路向A走去，走20km到达D，此时测得CD距离为21km，求此人在D处距A还有多远？
例2. 在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为 ，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A
的仰角为2θ，再继续前进
至D 点，测得顶端A 的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE 的高．
例3. 如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ABC =60°，AC =7，AD =6，S △ADC
AB 的长．
※ 动手试试
练1. 为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30°，测得
C B B C
塔基B的俯角为45°，则塔AB的高度为多少m？
练2. 两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B 在观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为多少？
三、总结提升
※学习小结
1. 解三角形应用题的基本思路，方法；
2．应用举例中测量问题的强化.
※ 知识拓展
秦九韶“三斜求积”公式：
S =
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 某人向正东方向走x km 后，向右转150，然后朝新方向走3km km ，则x 等于（ ）.
A B ． C D ．3
2.在200米的山上顶，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30,60，则塔高为（ ）米．
A ．2003
B
C ．4003
D
3. 在∆ABC 中，60A ∠=︒，16AC =，面积为BC 的长度为（ ）.
A ．25
B ．51
C ．
D ．49
4. 从200米高的山顶A 处测得地面上某两个景点B 、C 的俯角分别是30º和45º，且∠BAC ＝45º，则这两个景点B 、C 之间的距离 ．
5. 一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°相距20里处，随后货轮按北偏西30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45︒，则货轮的速度 ．
1. 3.5米长的棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离堤足1.2米地面上，另一端在沿堤上
2.8米的地方，求堤对地面的倾斜角.
2. 已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝1-），n ＝（cos A ，sin A ）. 若m ⊥n ，且a cos B +b cos A =c sin C ，求角B .。