高中数学《椭圆的简单几何性质》导学案

2.1.2椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程□01x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)□02y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)范围□03－a≤x≤a且－b≤y≤b□04－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点□05A(±a,0)，B(0，±b)□06A(0，±a)，B(±b,0)轴长短轴长＝□072b，长轴长＝□082a焦点□09(±c,0)□10(0，±c)焦距|F1F2|＝□112c对称性对称轴□12x轴、y轴，对称中心□13(0,0)离心率e＝□14c a(0<e<1)1．椭圆几何性质的应用(1)椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定了椭圆的扁圆程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点；若已知椭圆的标准方程，则根据a，b的值可确定其性质．(2)明确a，b的几何意义，a是长半轴长，b是短半轴长，不要与长轴长、短轴长混淆，由c2＝a2－b2，可得“已知椭圆的两个顶点，求焦点”的几何作图法，只要以短轴的端点B1(或B2)为圆心，以a为半径作弧交长轴于两点，这两点就是焦点．(3)如图所示椭圆中的△OF2B2中，a，b，c，e对应的线段或量为a＝|F2B2|，b＝|OB2|，c＝|OF2|，e＝ca＝|OF2||F2B2|＝cos∠OF2B2.(4)若椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则椭圆与x轴的交点A1，A2到焦点F2的距离分别最大和最小，且|A1F2|＝a＋c，|A2F2|＝a－c.2．椭圆的离心率对椭圆形状的影响椭圆的焦距与长轴长的比称作椭圆的离心率，记作e＝2c2a＝ca.∵a>c>0，∴0<e<1.e越接近于1，则c就越接近于a，从而b＝a2－c2越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆，当且仅当a＝b时，c＝0，这时两个焦点重合，这时图形就变为圆，此时方程即为x2＋y2＝a2.3．利用方程研究曲线对称性的方法若把曲线方程中的x换成－x，y换成－y，方程不变，则曲线关于原点对称；若把曲线方程中的y换成－y，方程不变，则曲线关于x轴对称；若把曲线方程中的x换成－x，方程不变，则曲线关于y轴对称．4．点P(x0，y0)和椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的关系(1)P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2<1；(2)P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；(3)P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b2>1.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴长等于a.()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c.()(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．()答案(1)×(2)√(3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)椭圆x2＋9y2＝36的短轴的端点为________．(2)椭圆x24＋y29＝1的离心率e＝________.(3)设P(m，n)是椭圆x225＋y29＝1上任意一点，则m的取值范围是________．答案(1)(0,2)，(0，－2)(2)53(3)[－5,5]探究1 椭圆的简单几何性质例1 已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标．[解] 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2m m ＋3＝1，∵m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，∴m >mm ＋3.∴椭圆焦点在x 轴上．∴a 2＝m ，b 2＝mm ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3.由e ＝32得，m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1.∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2；短轴长为1；两焦点坐标分别为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0；四个顶点分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.拓展提升1.用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置． (3)求出a ，b ，c .(4)写出椭圆的几何性质．2．根据椭圆的几何性质求标准方程此类问题通常采用待定系数法，其步骤仍然是“先定型，后计算”，即首先确定焦点位置，其次根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求得参数．【跟踪训练1】 (1)求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标；解 椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6,2c ＝25， 焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，B 1(0，－2)，B 2(0,2)． (2)求适合下列条件的椭圆的标准方程． ①长轴长是短轴长的5倍，且过点A (5,0)； ②离心率e ＝35，焦距为12.解 ①若椭圆焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎨⎧2a ＝5×2b ，25a 2＋0b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1，故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1；若焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，由题意，得⎩⎨⎧2a ＝5×2b ，0a 2＋25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝5，故所求椭圆的标准方程为y 2625＋x 225＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1或y 2625＋x 225＝1.②由e ＝c a ＝35，2c ＝12，得a ＝10，c ＝6， ∴b 2＝a 2－c 2＝64.当焦点在x 轴上时，所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1；当焦点在y 轴上时，所求椭圆的标准方程为y 2100＋x 264＝1. 综上所述，所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1. 探究2 椭圆的离心率问题例2 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34[解析] 不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b )和左焦点(－c,0)，b >0，c >0，则直线l 的方程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bc b 2＋c 2＝14×2b ，解得b 2＝3c 2，又b 2＝a 2－c 2，所以c 2a 2＝14，即e 2＝14，所以e ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＝－12舍去.故选B.[答案] B[解法探究] 例2有没有其他解法呢？ 解 如图，由题意得在椭圆中，OF ＝c ，OB ＝b ，OD ＝14×2b ＝12b ，BF ＝a .在Rt △OFB 中，|OF |·|OB |＝|BF |·|OD |，即c ·b ＝a ·12b ，解得c a ＝12，所以椭圆的离心率e ＝12.拓展提升求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca 求解．若已知a ，b 或b ，c 可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝ca 求解．(2)方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围．【跟踪训练2】 (1)已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22答案 C解析 设P (m ，n )，PF 1→·PF 2→＝c 2＝(－c －m ，－n )·(c －m ，－n )＝m 2－c 2＋n 2，∴m 2＋n 2＝2c 2,2c 2－m 2＝n 2①，把P (m ，n )代入椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1得b 2m 2＋a 2n 2＝a 2b 2②，把①代入②得m 2＝a 2b 2－2a 2c 2b 2－a 2≥0，∴a 2b 2≤2a 2c 2，∴b 2≤2c 2，∴a 2≤3c 2，∴e ＝c a ≥33.又m 2＝a 2b 2－2a 2c 2b 2－a 2≤a 2，∴a 2≥2c 2，∴e ＝c a ≤22.综上知此椭圆离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.故选C.(2)已知F 1为椭圆的左焦点，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB (O 为椭圆中心)时，求椭圆的离心率．解 解法一：由已知可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，c 2＝a 2－b 2，F 1(－c,0)，∵PF 1⊥F 1A ， ∴P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 1－c 2a 2，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ， ∵AB ∥PO ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac ，∴b ＝c ，∴a 2＝2c 2，∴e ＝c a ＝22.解法二：由解法一知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，又△PF 1O ∽△BOA ，∴PF 1BO ＝F 1OOA ，∴b 2a b ＝c a ，即b ＝c ，∴a 2＝2c 2， ∴e ＝c a ＝22.探究3 直线与椭圆的位置关系例3 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆E 上．(1)求椭圆E 的方程；(2)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.[解] (1)由已知，a ＝2b .又椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，故34b 2＋14b 2＝1，解得b 2＝1，所以a 2＝4， 所以椭圆E 的方程是x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线l 的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝12x ＋m ，得x 2＋2mx ＋2m 2－2＝0， ① 方程①的判别式为Δ＝4(2－m 2)， 由Δ>0，即2－m 2>0，解得－2<m < 2. 由①得x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2，所以M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ，m 2，直线OM 的方程为y ＝－12x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－12x ，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，22，D ⎝⎛⎭⎪⎫2，－22或C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－22，D ⎝⎛⎭⎪⎫－2，22，所以|MC |·|MD |＝52(－m ＋2)·52(2＋m )＝54(2－m 2)，又|MA |·|MB |＝14|AB |2＝14[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2]＝516[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝516[4m 2－4(2m 2－2)]＝54(2－m 2)，所以|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.拓展提升1.利用设而不求的方法解决直线与椭圆位置关系问题的解题步骤 (1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (2)联立直线与椭圆的方程．(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程． (4)利用根与系数的关系设而不求．(5)把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2，进而求解． 2．直线与椭圆相交弦长的有关问题(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式． (3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．【跟踪训练3】 (1)在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短，并求出最短距离．解 设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为y ＝32x ＋m ，代入x 24＋y 27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0，Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0⇒m 2＝16⇒m ＝±4，故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4，显然y ＝32x －4距l 最近，d ＝|16－8|32＋(－2)2＝813，切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－74.(2)已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(ⅰ)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (ⅱ)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．解 (ⅰ)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52.(ⅱ)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(ⅰ)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)， 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m 225－45(m 2－1) ＝2510－8m 2.所以当m ＝0时，|AB |最大，此时直线方程为y ＝x .探究4 椭圆的中点弦问题例4 已知椭圆x 216＋y 24＝1，过点P (2,1)作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程．[解] 解法一：如图，易知直线斜率存在，设所求直线的方程为y －1＝k (x －2)，代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0，(*) 又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是(*)方程的两个根， ∴x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.∵P 为弦AB 的中点，∴x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1＝2.解得k ＝－12，且满足Δ>0. ∴所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.解法二：设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵P 为弦AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又∵A ，B 在椭圆上，∴x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16. 两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)＝－12，即k AB ＝－12.∴所求直线方程为y －1＝－12(x －2)， 即x ＋2y －4＝0.解法三：设所求直线与椭圆的一交点为A (x ，y )，另一交点为B (4－x,2－y )，∵A ，B 在椭圆上，∴x 2＋4y 2＝16，① (4－x )2＋4(2－y )2＝16.②①－②得x ＋2y －4＝0，则A ，B 在直线x ＋2y －4＝0上，而过A ，B 的直线只有一条，∴所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 拓展提升解决椭圆中点弦问题的三种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P (x 0，y 0)，设其一交点为A (x ，y )，则另一交点为B (2x 0－x ，2y 0－y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，(2x 0－x )2a 2＋(2y 0－y )2b 2＝1，两式作差即得所求直线方程．这三种方法中又以点差法最为常用，点差法中体现的设而不求思想还可以用于解决对称问题，因为这类问题也与弦中点和斜率有关．与弦中点有关的问题有平行弦的中点轨迹、过定点且被定点平分的弦所在的直线方程等．这类问题的解决，从不同的角度体现了判别式、根与系数的关系、点差法、椭圆的性质、线段的垂直平分线的性质等知识在直线与椭圆的位置关系中的作用，解法多、方法活．【跟踪训练4】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．解 (1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4. 所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证法一：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1，得 (2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M＝－12k ，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值． 证法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 218＋y 214＝1，①x 228＋y 224＝1，②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)8＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4＝0，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－4(x 1＋x 2)8(y 1＋y 2)＝－12·x My M .又k OM ＝y M x M，∴k AB ·k OM ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．1.求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法；(2)方程法.2.判断直线与椭圆的位置关系的方法3.求弦长的两种方法(1)求出弦两端点的坐标，然后利用两点间的距离公式求解； (2)结合根与系数的关系，利用弦长公式 l ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] 或l ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]求解. 4.两个特殊结论(1)如图，过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦|AB |＝2b 2a ，称为通径. (2)椭圆上的点到一焦点的最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c . 5.解决椭圆中点弦问题的三种方法(1)根与系数的关系法. (2)点差法. (3)共线法.1．椭圆4x 2＋49y 2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．7,2，357 B ．14,4，357 C ．7,2，57 D ．14,4，－57答案 B解析 先将椭圆方程化为标准形式：x 249＋y 24＝1，其中b ＝2，a ＝7，c ＝35，则2a ＝14,2b ＝4，e ＝c a ＝357.故选B.2．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( ) A ．－2<a < 2 B ．a <－2或a > 2 C ．－2<a <2 D ．－1<a <1 答案 A解析 由已知可得a 24＋12<1，∴a 2<2，即－2<a < 2.3．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.52B.33C.12D.13 答案 B解析 ∵PF 1⊥F 1F 2，F 1F 2＝2c ，∠F 1PF 2＝60°，∴|PF 1|＝233c ，|PF 2|＝433c ，∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴233c ＋433c ＝2a ，得e ＝c a ＝33.4．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13解析 把y ＝x ＋1代入椭圆方程，整理得3x 2＋4x －2＝0，所以弦的中点坐标(x 0，y 0)满足x 0＝x 1＋x 22＝－23，y 0＝x 0＋1＝－23＋1＝13，所以中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13.5．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．解 直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎨⎧y ＝2x ＋m ，x 24＋y 22＝1，消去y ，得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.①方程①的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程①有两个不同的实数解，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．A 级：基础巩固练一、选择题1．已知椭圆C 1：x 212＋y 24＝1，C 2：x 216＋y 28＝1，则( ) A ．C 1与C 2顶点相同 B ．C 1与C 2长轴长相同 C ．C 1与C 2短轴长相同 D ．C 1与C 2焦距相等答案 D解析 由两个椭圆的标准方程可知，C 1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C 2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为4 2.故选D.2．椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E 的标准方程为( )A.x 22＋y 22＝1B.x 22＋y 2＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.y 24＋x 22＝1答案 C解析 设椭圆E 的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，则由题意得|AF 1|＝|AF 2|＝a ＝2，|F 1F 2|＝22，c ＝b ＝2，所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 22＝1.3．若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( ) A.63 B ．－63 C ．±63 D ．±33 答案 C解析 把y ＝kx ＋2代入x 23＋y 22＝1得(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0，由于Δ＝0，∴k 2＝23，∴k ＝±63.4．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|为( )A.32B. 3C.72 D ．4 答案 C解析 ∵|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|＝b 2a ＝12，∴|PF 2|＝4－12＝72.5．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 答案 C解析 由MF 1→·MF 2→＝0知MF 1⊥MF 2，∴椭圆上的点均满足∠F 1MF 2<90°，∴只需F 1，F 2与短轴端点形成的角为锐角，所以c <b ⇒c 2<b 2＝a 2－c 2，即2c 2<a 2，解得e ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，22.6．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)的位置( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情形都有可能 答案 A解析 由e ＝12知c a ＝12，a ＝2c .由a 2＝b 2＋c 2得b ＝3c ，代入ax 2＋bx －c ＝0，得2cx 2＋3cx －c ＝0，即2x 2＋3x －1＝0，则x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－12，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝74<2.二、填空题7．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆C 的标准方程为________．答案 x 24＋y 23＝1解析 由题意可知a ＋c ＝3，a －c ＝1，解得a ＝2，c ＝1，则b 2＝3，又焦点在x 轴上，∴椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1.8．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________．答案 6解析 由椭圆x 24＋y 23＝1可得F (－1,0)，O (0,0)．设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14x 2＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.9．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点和上顶点分别为A 和B ，右焦点为F .若|AF |，|AB |,3|BF |成等比数列，则该椭圆的离心率为________．答案3－52解析 ∵|AF |＝a －c ，|AB |＝a 2＋b 2，3|BF |＝3a ，∴由|AF |·3|BF |＝|AB |2得，a 2＋b 2＝3a (a －c )， ∵b 2＝a 2－c 2，∴c 2－3ac ＋a 2＝0，则e 2－3e ＋1＝0，解得e ＝3－52或e ＝3＋52(舍去)．三、解答题10．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝13，又知椭圆上一点M ，它的横坐标等于焦点的横坐标，纵坐标是4，求此椭圆的方程．解 ∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵e ＝c a ＝13，∴a ＝3c .∵b 2＝a 2－c 2，∴b 2＝9c 2－c 2＝8c 2. 又∵M (c,4)在椭圆上，∴c 29c 2＋168c 2＝1， 解之得c 2＝94， ∴a 2＝814，b 2＝18， ∴所求椭圆的方程为x 2814＋y 218＝1.B 级：能力提升练1．焦点分别为(0,52)和(0，－52)的椭圆截直线y ＝3x －2所得弦的中点的横坐标为12，求此椭圆的方程．解 解法一：设椭圆的方程为x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)，且a 2－b 2＝(52)2＝50.①由⎩⎨⎧x 2b 2＋y 2a 2＝1，y ＝3x －2，消去y 得(a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋4b 2－a 2b 2＝0.设弦两端点横坐标分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝12b 2a 2＋9b 2. ∵x 1＋x 22＝12，∴6b 2a 2＋9b 2＝12， 即a 2＝3b 2.②由①②得a 2＝75，b 2＝25，此时Δ>0. ∴椭圆的方程为x 225＋y 275＝1.解法二：设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，直线y ＝3x －2与椭圆交于A ，B 两点，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21a 2＋x 21b 2＝1， ①y 22a 2＋x 22b 2＝1.②①－②得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)a 2＝－(x 1＋x 2)(x 1－x 2)b 2，即y 1－y 2x 1－x 2＝a 2(x 1＋x 2)－b 2(y 1＋y 2)＝－a 2(x 1＋x 2)b 2(y 1＋y 2). ∵k AB ＝3，AB 中点为(x 0，y 0)，x 0＝12，y 0＝－12， ∴3＝－a 2b 22×122×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝a 2b 2，即a 2＝3b 2.又a 2－b 2＝(52)2＝50， ∴a 2＝75，b 2＝25， ∴椭圆方程为y 275＋x 225＝1.数学•选修1－12．如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．解 (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12. (2)直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )． 将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，－335c . 所以|AB |＝1＋3·⎪⎪⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c . 由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝a 2－c 2＝32a ＝5 3.。