2009年中考数学压轴题汇编(含解答)

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2009年中考数学压轴题汇编(含解题过程)(三)

第23题图（1）第23题图（2）2009年中考数学压轴题汇编（含解题过程）（三）（2009年某某省）23．已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．【解】（2）写出批发该种水果的资金金额w （元）与批发量m （kg ）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么X 围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．【解】（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．【解】）23．（1）解：图①表示批发量不少于20kg 且不多于60kg 的该种水果，可按5元/kg 批发；……3分图②表示批发量高于60kg 的该种水果，可按4元/kg 批发．……………………………………………3分（2）解：由题意得： 2060 6054m m w m m ⎧=⎨⎩≤≤（））＞（，函数图象如图所示．………………………………………………………………7分由图可知资金金额满足240＜w ≤300时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果．……………………………8分（3）解法一：设当日零售价为x 元，由图可得日最高销量32040w m =- 当m ＞60时，x ＜6.5 由题意，销售利润为2(4)(32040)40[(6)4]y x m x =--=--+………………………………12分当x ＝6时，160y =最大值，此时m ＝80即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可获得最大利润160元．……………………………………………14分解法二：设日最高销售量为x kg （x ＞60）则由图②日零售价p 满足：32040x p =-，于是32040xp -= 销售利润23201(4)(80)1604040x y x x -=-=--+………………………12分当x ＝80时，160y =最大值，此时p ＝6即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，）当日可获得最大利润160元．……………………………………………14分（2009年某某省）25．如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.25．（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ． ······ 1分∵E 为AB 的中点， ∴122BE AB ==．在Rt EBG △中，60B =︒∠，∴30BEG =︒∠． ··· 2分A D EBFC图4（备用）AD EBFC图5（备用）A D E BF C图1 图2 A D EBFC PNM 图3A D EBFCPN M（第25题）图1A D E BF CG∴112BG BE EG ====，即点E 到BC··········· 3分（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变． ∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =，PM EG ==同理4MN AB ==． ·························· 4分如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．∴122PH PM == ∴3cos302MH PM =︒=．则35422NH MN MH =-=-=．在Rt PNH △中，PN === ∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=． ············ 6分 ②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形．当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．类似①，32MR =． ∴23MN MR ==． ··························· 7分 ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． ··········· 8分图2A D E BF CPNMG H当MP MN =时，如图4，这时3MC MN MP ===．此时，61353x EP GM ===--=-．当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠．则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠．因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形． ∴tan301MC PM =︒=．此时，6114x EP GM ===--=．综上所述，当2x =或4或()53-时，PMN △为等腰三角形． ······ 10分（2009年某某某某）25.（本小题满分14分）如图13，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，-1），ΔABC 的面积为45。

2009年中考数学压轴题汇编(九)

2009年中考数学压轴题汇编（九）（2009年江苏省）28．（本题满分12分）如图，已知射线DE 与x 轴和y 轴分别交于点(30)D ，和点(04)E ，．动点C 从点(50)M ，出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向左作匀速运动，与此同时，动点P 从点D 出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE 的方向作匀速运动．设运动时间为t 秒．（1）请用含t 的代数式分别表示出点C 与点P 的坐标；（2）以点C 为圆心、12t 个单位长度为半径的C ⊙与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），连接PA 、PB ．①当C ⊙与射线DE 有公共点时，求t 的取值范围； ②当PAB △为等腰三角形时，求t 的值．28．解：（1）(50)C t -，，34355P t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ··············· （2分）（2）①当C ⊙的圆心C 由点()50M ，向左运动，使点A 到点D 并随C ⊙继续向左运动时，有3532t -≤，即43t ≥．当点C 在点D 左侧时，过点C 作CF ⊥射线DE ，垂足为F ，则由CDF EDO ∠=∠，得CDF EDO △∽△，则3(5)45CF t --=．解得485t CF -=．由12CF ≤t ，即48152t t -≤，解得163t ≤． ∴当C ⊙与射线DE 有公共点时，t 的取值范围为41633t ≤≤．······· （5分） ②当PA AB =时，过P 作PQ x ⊥轴，垂足为Q ，有222PA PQ AQ =+221633532525t t t ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭． 2229184205t t t ∴-+=，即2972800t t -+=． O xyEP DA B M C解得1242033t t ==，． ·········· （7分）当PA PB =时，有PC AB ⊥，3535t t ∴-=-．解得35t =． ······ （9分）当PB AB =时，有222221613532525PB PQ BQ t t t ⎛⎫=+=+--+ ⎪⎝⎭． 221324205t t t ∴++=，即278800t t --=．解得452047t t ==-，（不合题意，舍去）． ··············· （11分）∴当PAB △是等腰三角形时，43t =，或4t =，或5t =，或203t =． ···· （12分） (2009浙江省杭州市)24. （本小题满分12分）已知平行于x 轴的直线)0(≠=a a y 与函数x y =和函数xy 1=的图象分别交于点A 和点B ，又有定点P （2，0）。

2009年中考数学压轴题汇编(含解题过程)(十)

2009年中考数学压轴题汇编（含解题过程）（十）(2009年某某省某某市)24．如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =．（1）求x 的取值X 围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值；（3）探究：△ABC 的最大面积？24．（1）在△ABC 中，∵1=AC ，x AB =，x BC -=3． ∴⎩⎨⎧>-+->+x x x x 3131，解得21<<x ． 4分（2）①若AC 为斜边，则22)3(1x x -+=，即0432=+-x x ，无解． ②若AB 为斜边，则1)3(22+-=x x ，解得35=x ，满足21<<x ． ③若BC 为斜边，则221)3(x x +=-，解得34=x ，满足21<<x ． ∴35=x 或34=x ． ···························· 9分（3）在△ABC 中，作AB CD ⊥于D ，设h CD =，△ABC 的面积为S ，则xh S 21=． ①若点D 在线段AB 上，则x h x h =--+-222)3(1．∴22222112)3(h h x x h x -+--=--，即4312-=-x h x ． ∴16249)1(222+-=-x x h x ，即16248222-+-=x x h x ． ∴462412222-+-==x x h x S 21)23(22+--=x （423x <≤）．········ 11分当23=x 时（满足423x <≤），2S 取最大值21，从而S2②若点D 在线段MA 上，则x h h x =----2221)3(．ABNM（第24题）AB NM（第24题-1）D BAD MN同理可得，462412222-+-==x x h x S 21)23(22+--=x （413x <≤），易知此时22<S ．综合①②得，△ABC 的最大面积为22． ···················· 14分（2009年某某省某某市） 24．（本小题12分）已知抛物线22y x x a =-+（0a <）与y 轴相交于点A ，顶点为M .直线12y x a =-分别与x 轴，y 轴相交于B C ，两点，并且与直线AM 相交于点N .(1)填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标，则()()M N ，，，； (2)如图，将NAC △沿y 轴翻折，若点N 的对应点N ′恰好落在抛物线上，AN ′与x 轴交于点D ，连结CD ，求a 的值和四边形ADCN 的面积；(3)在抛物线22y x x a =-+（0a <）上是否存在一点P ，使得以P A C N ，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，试说明理由.四、自选题：（本题5分）请注意：本题为自选题，供考生选做，自选题得分将计入本学科总分，但考试总分最多为120分.第（2）题备用图（第24题）B '25．若P 为ABC △所在平面上一点，且120APB BPC CPA ∠=∠=∠=°，则点P 叫做ABC △的费马点.（1）若点P 为锐角ABC △的费马点，且60ABC PA PC ∠===°，3，4，则PB 的值为________；（2）如图，在锐角ABC △外侧作等边ACB △′连结BB ′. 求证：BB ′过ABC △的费马点P ，且BB ′=PA PB PC ++.24.（本小题12（1）()411133M a N a a ⎛⎫--⎪⎝⎭，，，.……………4分（2）由题意得点N 与点N ′关于y 轴对称，N '∴4133a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，将N ′的坐标代入22y x x a =-+得21168393a a a a -=++，10a ∴=（不合题意，舍去），294a =-.……………2分334N ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，，∴点N 到y 轴的距离为3.904A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，N '334⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴直线AN '的解析式为94y x =-，它与x 轴的交点为904D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，，点D 到y 轴的距离为94. 1919918932222416ACN ACD ADCN S S S ∴=+=⨯⨯+⨯⨯=△△四边形.……………2分（3）当点P 在y 轴的左侧时，若ACPN 是平行四边形，则PN 平行且等于AC ，第（2）题备用图∴把N 向上平移2a -个单位得到P ，坐标为4733a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，代入抛物线的解析式，得：27168393a a a a -=-+ 10a ∴=（不舍题意，舍去），238a =-，12P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭7，8.……………2分当点P 在y 轴的右侧时，若APCN 是平行四边形，则AC 与PN 互相平分，OA OC OP ON ∴==，．P ∴与N 关于原点对称，4133P a a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，，将P 点坐标代入抛物线解析式得：21168393a a a a =++， 10a ∴=（不合题意，舍去），2158a =-，5528P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，．……………2分 ∴存在这样的点11728P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，或25528P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，能使得以P A C N ，，，为顶点的四边形是平行四边形．四、自选题（本题5分） 25．（1）……………2分（2）证明：在BB '上取点P ，使120BPC ∠=°，连结AP ，再在PB '上截取PE PC =，连结CE ． 120BPC ∠=°，60EPC ∴∠=°，PCE ∴△为正三角形，……………1分 60PC CE PCE CEB '∴=∠=∠，°，=120°， ACB '△为正三角形，AC B '∴=C ACB '∠，=60°，BB 'PCA ACE ACE ECB '∴∠+∠=∠+∠=60°， PCA ECB '∴∠=∠′， ACP B '∴△≌△CE ．APC B '∴∠=∠120CE PA EB '==°，， 120APB APC BPC ∴∠=∠=∠=°，P ∴为ABC △的费马点，BB '∴过ABC △的费马点P ，且BB '=EB '+PB PE PA PB PC +=++．……………2分(2009年某某省某某市)29.（本题满分9分）如图①，正方形ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点P 在正方形ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当P 点到达D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．(1)当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度； (2)求正方形边长及顶点C 的坐标；(3)在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标；(4)如果点P 、Q 保持原速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．29.（本题满分9分）解：（1）Q （1，0）点P 运动速度每秒钟1个单位长度．（2）过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，BE ⊥x 轴于点E ，则BF ＝8，4OF BE ==．∴1046AF =-=．在Rt △AFB 中，10AB == 3分过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，与FB 的延长线交于点H ． ∵90,ABC AB BC ∠=︒=∴△ABF ≌△BCH ． ∴6,8BH AF CH BF ====． ∴8614,8412OG FH CG ==+==+=． ∴所求C 点的坐标为（14，12）．4分（3）过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，PN ⊥x 轴于点N ，则△APM ∽△ABF ． ∴AP AM MP AB AF BF ==．1068t AM MP∴==． ∴3455AM t PM t ==，．∴3410,55PN OM t ON PM t ==-==．设△OPQ 的面积为S （平方单位）∴213473(10)(1)5251010S t t t t =⨯-+=+-（0≤t ≤10） ··············· 5分说明:未注明自变量的取值X 围不扣分．∵310a =-<0 ∴当474710362()10t =-=⨯-时，△OPQ 的面积最大． ········· 6分此时P 的坐标为（9415，5310）． ······················· 7分（4）当53t =或29513t =时， OP 与PQ 相等． ················· 9分对一个加1分，不需写求解过程．。

2009年全国各地中考数学模拟试题分类汇编压轴题

2009年中考模拟分类汇编压轴题一、解答题1、(2009年某某随州十校联考数学试题) 如图所示，在平面直角坐标系中．二次函数y=a(x-2)2-1图象的顶点为P ，与x 轴交点为 A 、B ，与y 轴交点为C ．连结BP 并延长交y 轴于点D. 连结AP ，△APB 为等腰直角三角形。

(1)求a 的值和点P 、C 、D 的坐标；(2)连结BC 、AC 、AD 。

将△BCD 绕点线段CD 上一点E 逆时针方向旋转90°，得到一个新三角形．设该三角形与△ACD 重叠部分的面积为S 。

①当点E 在（0，1）时，在图25—1中画出旋转后的三角形，并出求S.②当点E 在线段CD(端点C 、D 除外)上运动时，设E(0，b)，用含b 的代数式表示S ，并判断当b 为何值时,重叠部分的面积最大?写出最大值．解：（1）a=1 P （2，-1） C （0，3） D （0，-3），（各1分，共4分）（2）画出图形（1分）可用相似三角形的面积求S=23（2分）（3）当b ≥0如图，可用相似三角形的面积求21(3)6s b =- （2分）当b=0时，S=32（1分）当b ＜0时 BD 旋转后经过A 时，b=-1① -1＜b ≤0时，（2分） ② b ＜-1时（2分）2、(2009年某某一中摸底试卷)如图等腰直角三角形纸片ABC 中，AC=BC=4,90oACB ∠=直角边AC 在x 轴上，B 点在第二象限，A(1，0)，AB 交y 轴于E ，将纸片过E 点折叠使BE 与EA 所在直线重合，得到折痕EF （F 在x 轴上），再展开还原沿EF 剪开得到四边形BCFE ，然后把四边形BCFE 从E 点开始沿射线EA 平移，至B 点到达A 点停止．设平移时间为t(s)，移动速度为每秒1个单位长度，平移中四边形BCFE 与AEF ∆重叠的面积为S ． (1)求折痕EF 的长；(2)是否存在某一时刻t 使平移中直角顶点C 经过抛物线342++=x x y 的顶点？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；(3)直接写出．．．．S 与t 的函数关系式及自变量t 的取值X 围.解：（1）折痕2EF =（2）2t = （s ）（3）212,(02).2s t t t =-≤≤222).s t =≤2121,(2232).4s t t t =--≤≤21228,(3242).4s t t t =-+≤≤3、（2009泰兴市济川实验初中初三数学阶段试题）如图，矩形A’B’C’D’是矩形OABC(边OA 在x 轴正半轴上，边OC 在y 轴正半轴上)绕B 点逆时针旋转得到的，O ’点在x 轴的正半轴上，B 点的坐标为(1，3)．O’C’与AB 交于D 点.(1)如果二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象经过O ，O ’两点且图象顶点M 的纵坐标为1-，求这个二次函数的解析式； (2)求D 点的坐标．(3)若将直线OC 绕点O 旋转α交点为点P ，则以O 、O’、B 、P 四边形？若能，求出αtan 的值；若不能，请说明理由．解：(1)x x y 22-=……3 分(2)D(1,34) ……7分 (3)tan α=1或31……12分(求出一个得3分,求两个得5分)4、（2009年某某三维斋一模试题）如图所示，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标．（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP （3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．解：（1）令0y =，得210x -= 解得1x =±令0x =，得1y =-∴A (1,0)-B (1,0)C (0,1)- ···· （2分）（2）∵O A =O B =O C =1∴∠BAC =∠AC O=∠BC O=45∵A P ∥CB ， ∴∠P AB =45过点P 作P E ⊥x 轴于E ，则∆A P E 为等腰直角三角形令O E =a ，则P E =1a +∴P (,1)a a +第28题图∵点P 在抛物线21y x =-上 ∴211a a +=-解得12a =，21a =-（不合题意，舍去）∴P E =3 ··········· 4分） ∴四边形ACB P 的面积S =12AB •O C +12AB •P E =112123422⨯⨯+⨯⨯= ············ 6分） (3)假设存在∵∠P AB =∠BAC =45∴P A ⊥AC∵MG ⊥x 轴于点G ， ∴∠MG A =∠P AC =90 在Rt △A O C 中，O A =O C =1∴AC在Rt △P AE 中，AE =P E =3∴AP=·················· 7分）设M 点的横坐标为m ，则M 2(,1)m m - ①点M 在y 轴左侧时，则1m <- (ⅰ) 当∆A MG ∽∆P CA 时，有AG PA =MGCA∵A G=1m --，MG=21m -2= 解得11m =-（舍去） 223m =（舍去）(ⅱ) 当∆M A G ∽∆P CA 时有AG CA =MGPA即2= 解得：1m =-（舍去） 22m =-∴M (2,3)- ························· （10分）② 点M 在y 轴右侧时，则1m > (ⅰ) 当∆A MG ∽∆P CA 时有AG PA =MGCA∵A G=1m +，MG=21m -2= 解得11m =-（舍去） 243m =∴M 47(,)39(ⅱ) 当∆M A G ∽∆P CA 时有AG CA =MGPA即2= 解得：11m =-（舍去） 24m =∴M∴存在点M ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆P CA 相似M 点的坐标为(2,3)-，47(,)39，(4,15) ··········· （12分）5、(2009年某某市数学模拟试卷)如图13，已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的象经过A (－1，0)、B (3，0)、N (2，3)三点，且与y 轴交于点C ． (1)（3分）求顶点M 及点C 的坐标；(2)（3分）若直线y =kx ＋d 经过C 、M 两点，且与x 轴交于点D ，试证明四边形CDAN 是平行四边形；(3)（4分）点P 是这个二次函数的对称轴上一动点，请探索：是否存在这样的点P ，使以点P 为圆心的圆经过A 、B 两点，并且与直线CD 相切，如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．解：图13解：(1)因为二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象经过点A (－1，0)、B (3，0)、N (2，3)所以，可建立方程组：⎪⎩⎪⎨⎧++=++=+-=c b a c b a c b a 2433900，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==-=321c b a所以，所求二次函数的解析式为y=－x 2＋2x ＋3，所以，顶点M (1，4)，点C (0，3) -------2分 (2)直线y=kx+d 经过C 、M 两点，所以⎩⎨⎧=+=43d k d ，即k ＝1，d ＝3，直线解析式为y ＝x ＋3令y ＝0，得x ＝－3，故D (－3，0） ∴ CD ＝23，AN ＝23，AD=2，=2 ∴CD ＝AN ，AD=∴四边形CDAN 是平行四边形(3)假设存在这样的点P ，使以点P 为圆心的圆经过A 、B 两点，并且与直线CD 相切，因为这个二次函数的对称轴是直线x =1，故可设P (1，0y )，则PA 是圆的半径且PA 2=y 02＋22，过P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，则PQ ＝PA 时以P 为圆心的圆与直线CD 相切。

2009中考数学压轴题精选12题及答案

2009中考数学压轴题精选12题2009年9月11日星期五1、（四川省达州市）如图11，抛物线)1)(3(-+=x x a y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 右侧），过点A 的直线交抛物线于另一点C ，点C 的坐标为（-2，6）.(1)求a 的值及直线AC 的函数关系式；(2)P 是线段AC 上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点M ，交x 轴于点N.①求线段PM 长度的最大值；②在抛物线上是否存在这样的点M ，使得△CMP 与△APN 相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由.2、（四川省资阳市）如图9，已知抛物线y =12x 2–2x ＋1的顶点为P ，A 为抛物线与y 轴的交点，过A 与y 轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B ，与抛物线对称轴交于点O ′，过点B 和P 的直线l 交y 轴于点C ，连结O ′C ，将△ACO ′沿O ′C 翻折后，点A 落在点D 的位置．(1) (3分) 求直线l 的函数解析式； (2) (3分) 求点D 的坐标；(3) (3分) 抛物线上是否存在点Q ，使得S △DQC = S △DPB ? 若存在，求出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．3、（四川省绵阳市）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC 在第一象限内，E 是边OB 上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90︒，使EF 交矩形的外角平分线BF 于点F ，设C （m ，n ）．（1）若m = n 时，如图，求证：EF = AE ；（2）若m ≠n 时，如图，试问边OB 上是否还存在点E ，使得EF = AE ？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若m = tn （t ＞1）时，试探究点E 在边OB 的何处时，使得EF =（t + 1）AE 成立？并求出点E 的坐标．图9A y CFAy CFAyCFO11xy4、（四川省眉山市）已知：直线112y x =+与y 轴交于A ，与x 轴交于D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标．（3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使||AM MC -的值最大，求出点M 的坐标． 5、（四川省成都市）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=2(1)(0)a x c a ++>与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，其顶点为M,若直线MC的函数表达式为3y kx =-,与x 轴的交点为N ，且COS∠BCO＝31010。

2009年【中考数学压轴题汇编(含解题过程)】

冲刺2010 ——2009年中考数学压轴题汇编(含解题过程)（2009年湖北省孝感市）25．（本题满分12分）如图，点P 是双曲线11(00)k y k x x=<<，上一动点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，交双曲线y =x k 2（0＜k 2＜|k 1|）于E 、F 两点．（1）图1中，四边形PEOF 的面积S 1= ▲ (用含k 1、k 2的式子表示)；（3分）（2）图2中，设P 点坐标为（－4，3）．①判断EF 与AB 的位置关系，并证明你的结论；（4分）②记2PEF OEF S S S ∆∆=-，S 2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．（5分）25．解：（1）21k k -； … ………………………………3分（2）①EF ∥AB ． ……………………………………4分证明：如图，由题意可得A （–4，0），B （0，3），2(4,)4k E --，2(,3)3kF ．∴PA =3，PE =234k +，PB =4，PF =243k +． ∴223121234PA k PE k ==++，224121243PBk PF k ==++ ∴PA PBPE PF =． ………………………… 6分又∵∠APB =∠EPF ．∴△APB ∽△EPF ，∴∠PAB =∠PEF ．∴EF ∥AB ． …………………………… 7分②S 2没有最小值，理由如下：过E 作EM ⊥y 轴于点M ，过F 作FN ⊥x 轴于点N ，两线交于点Q ．由上知M （0，24k -），N （23k ，0），Q （23k ，24k -）． ……………… 8分而S △EFQ = S △PEF ，∴S 2＝S △PEF －S △OEF ＝S △EFQ －S △OEF ＝S △EOM ＋S △FON ＋S 矩形OMQN ＝4321212222k k k k ⋅++ ＝222112k k +=221(6)312k +-． ………………………… 10分当26k >-时，S 2的值随k 2的增大而增大，而0＜k 2＜12． …………… 11分∴0＜S 2＜24，s 2没有最小值． …………………………… 12分说明：1．证明AB ∥EF 时，还可利用以下三种方法．方法一：分别求出经过A 、B 两点和经过E 、F 两点的直线解析式，利用这两个解析式中x 的系数相等来证明AB ∥EF ；方法二：利用tan PAB ∠＝tan PEF ∠来证明AB ∥EF ；方法三：连接AF 、BE ，利用S △AEF ＝S △BFE 得到点A 、点B 到直线EF 的距离相等，再由A 、B 两点在直线EF 同侧可得到AB ∥EF ．2．求S 2的值时，还可进行如下变形：S 2＝ S △PEF －S △OEF ＝S △PEF －（S 四边形PEOF －S △PEF ）＝2 S △PEF －S 四边形PEOF ，再利用第（1）题中的结论．。

2009全国各地中考数学试题压轴题汇总1

2009年中考压轴题精选/台州9．2则下列判断中正确的是( )A ．抛物线开口向上B ．抛物线与y 轴交于负半轴C ．当x ＝4时，y ＞0D ．方程02=++c bx ax 的正根在3与4之间 10．若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式．．．．．，如a b c ++就是完全对称式.下列三个代数式：①2)(b a -；②ab bc ca ++；③222a b b c c a ++．其中是完全对称式的是( )A ．①②B ．①③C ． ②③D ．①②③ 15．如图，三角板ABC 中，︒=∠90ACB ，︒=∠30B ，6=BC ．三角板绕直角顶点C 逆时针旋转，当点A 的对应点'A 落在AB 边的起始位置上时即停止转动，则点B 转过的路径长为．16．将正整数1，2，3，…从小到大按下面规律排列．若第4行第2列的数为32，则①n = ；②第i 行第j 列的数为（用i ，j 表示）．23．定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内．．点．．如图1，PH PJ =，PI PG =，则点P 就是四边形ABCD 的准内点．（1）如图2， AFD ∠与DEC ∠的角平分线,FP EP 相交于点P ．求证：点P 是四边形ABCD 的准内点．（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”． ①任意凸四边形一定存在准内点．( ) ②任意凸四边形一定只有一个准内点．( )③若P 是任意凸四边形ABCD 的准内点，则PD PC PB PA +=+ 或PD PB PC PA +=+．( )（第23题）图2 图4 F EDC B A PG HJ I 图1 B J I H GD C A P24．如图，已知直线121+-=x y 交坐标轴于B A ，两点，以线段AB 为边向上作正方形ABCD ，过点C D ，A ，的抛物线与直线另一个交点为E ．（1）请直接写出点D C ,的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线AB 下滑，直至顶点D 落在x 轴上时停止．设正方形落在x 轴下方部分的面积为S ，求S 关于滑行时间t 的函数关系式，并写出相应自变量t 的取值范围；（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时D 停止，求抛物线上E C , 两点间的抛物线弧所扫过的面积．2009年中考压轴题精选/台州参考答案15．16．10，1010-+j i （第一空2分，第二空3分；答j i +-)1(10给3分，答j i n +-)1(给2分）23．（12分）（1）如图2，过点P 作AD PJ CD PI BC PH AB PG ⊥⊥⊥⊥,,,， ∵EP 平分DEC ∠， ∴PH PJ =．……………3分同理 PI PG =．…………………………………1分∴P 是四边形ABCD 的准内点．…………………1分（2）（第24题）yx121+-=x y图2 FE DC B A P G HJ I 图3（1）图4图3（2）BB D D B F……………………………………………………………………………4分平行四边形对角线BD AC ,的交点1P 就是准内点，如图3（1）. 或者取平行四边形两对边中点连线的交点1P 就是准内点，如图3（2）；梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点2P 就是准内点．如图4.（3）真；真；假．……………………………………………………………………3分（各1分，若出现打“√”“×”或写“对”“错”同样给分．）24．（14分）（1）)3,1(),2,3(D C ；…………………………………………………2分（2）设抛物线为c bx ax y ++=2，抛物线过),1,0()3,1(),2,3(，⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=.239,3,1c b a c b a c 解得5,617,61.a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩…………………………………………………2分∴1617652++-=x x y ．……………………………………………………………1分（3）①当点A 运动到点F 时，,1=t当10≤<t 时，如图1，∵'OFA GFB ∠=∠， ,21tan ==∠OF OA OFA ∴,215''''tan ===∠t GB FB GB GFB ∴,25't GB = ∴2'4525521''21t t t GB FB S G FB =⨯⨯=⨯=∆；……2分 ②当点C 运动到x 轴上时，2=t ，当21≤<t 时，如图2，''A B AB ===∴,55'-=t F A ∴255'-=t G A ，图 1图2∵25't H B =， ∴''1'')''2A B HG S A G B H A B =+⨯梯形（ 5)25255(21⨯+-=t t 4525-=t ；…………（2分） ③当点D 运动到x 轴上时，3=t ，当32≤<t 时，如图3，∵255'-=t G A ， ∴25532555'tt GD -=--=， ∵1,12121==⨯⨯=∆OA S AOF ， AOF ∆∽'GD H ∆∴2')'(OAGD S S AOF H GD =∆∆，∴2')2553(t S H GD -=∆，∴22'''GA B C H S =-五边形 =425215452-+-t t ．………（2分）（解法不同的按踩分点给分）（4）∵3=t ,53''==AA BB ,∴''''BB C C AA D D S S S ==阴影矩形矩形 ………………………………………………（2分） ='AA AD ⨯=15535=⨯．……………………………………………………………（1分）图 4图32009年中考压轴题精选/河南5.如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，0）和（2，0）.月牙①绕点B顺时针旋转900得到月牙②，则点A的对应点A’的坐标为( )（A）（2，2）（B）（2，4）(C)（4，2）(D)（1，2）6.一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图是它的主视图和俯视图，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为( )（A）3（B）4 (C) 5 (D)614.动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5.如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A’处，折痕为PQ，当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为.15.，圆心角等于450的扇形AOB内部作一个正方形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在AB上，则阴影部分的面积为（结果保留）.21. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, ∠B =60°，BC=2．点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.(1)①当α=________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________；②当α=________度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________；(2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．23.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax 2+bx 过A 、C 两点.(1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G.当t 为何值时，线段EG 最长?②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的t 值.2009年中考压轴题精选/河南参考答案21.（1）①30，1；②60，1.5； ……………………4分（2）当∠α=900时，四边形EDBC 是菱形. ∵∠α=∠ACB=900，∴BC //ED .∵CE //AB , ∴四边形EDBC 是平行四边形. ……………………6分在Rt △ABC 中，∠ACB =900，∠B =600,BC =2,∴∠A =300.∴AB =4,AC .∴AO =12AC ……………………8分在Rt △AOD 中，∠A =300，∴AD =2. ∴BD =2.∴BD =BC .又∵四边形EDBC 是平行四边形，∴四边形EDBC 是菱形 ……………………10分 23.(1)点A 的坐标为（4，8） …………………1分将A (4,8)、C （8，0）两点坐标分别代入y=ax 2+bx8=16a +4b得0=64a +8b解得a =-12,b =4 ∴抛物线的解析式为：y =-12x 2+4x …………………3分（2）①在Rt △APE 和Rt △ABC 中，tan ∠PAE =PE AP =BC AB ,即PE AP =48∴PE =12AP =12t ．PB=8-t ．∴点Ｅ的坐标为（4+12t ，8-t ）.∴点G 的纵坐标为：-12（4+12t ）2+4(4+12t ）=-18t 2+8. …………………5分∴EG=-18t 2+8-(8-t )=-18t 2+t .∵-18＜0，∴当t =4时，线段EG 最长为2. …………………7分②共有三个时刻. …………………8分t 1=163， t 2=4013，t 3． …………………11分2009年中考压轴题精选/长春7．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示.∠AOC=45°， OC=2，则点B 的坐标为( ) （A ）(2,1). （B ）(1,2).（C ）(2+1，1). （D ）(1，2+1).8．如图，动点P 从点A 出发，沿线段AB 运动至点B 后，立即按原路返回.点P 在运动过程中速度大小不变.则以点A 为圆心，线段AP 长为半径的圆的面积S 与点P 的运动时间t 之间的函数图象大致为( )（第7题）13．用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第n 个图案中正三角形的个数为（用含n 的代数式表示）.14．如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为（结果保留π）.25．某部队甲、乙两班参加植树活动.乙班先植树30棵，然后甲班才开始与乙班一起植树.设甲班植树的总量为y 甲（棵），乙班植树的总量为y 乙（棵），两班一起植树所用的时间（从甲班开始植树时计时）为x （时）.y 甲、y 乙分别与x 之间的部分函数图象如图所示.（1）当0≤x ≤6时，分别求y 甲、y 乙与x 之间的函数关系式.（3分）（2）如果甲、乙两班均保持前6个小时的工作效率，通过计算说明，当x=8时，甲、乙两班植树的总量之和能否超过260棵.（3分）（3）如果6个小时后，甲班保持前6个小时的工作效率，乙班通过增加人数，提高了工作效率，这样继续植树2小时，活动结束.当x=8时，两班之间植树的总量相差20棵，求乙班增加人数后平均每小时植树多少棵.（4分）26．如图，直线643+-=x y 分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点；直线x y 45=与AB 交于点C ，与过点A 且平行于y 轴的直线交于点D.点E 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿x 轴向左运动.过点E 作x 轴的垂线，分别交直线AB 、OD 于P 、Q 两点，以PQ 为边向右作正方形PQMN.设正方形PQMN 与△ACD 重叠部分（阴影部分）的面积为S （平方单位），点E 的运动时间为t （秒）. （1）求点C 的坐标.（1分）（2）当0<t<5时，求S 与t 之间的函数关系式.（4分）（3）求（2）中S 的最大值.（2分）（第8题）（第13题）（第14题）（4）当t>0时，直接写出点（4，29）在正方形PQMN 内部时t 的取值范围.（3分）【参考公式：二次函数y=ax 2+bx+c 图象的顶点坐标为（ab ac a b 44,22--）.】2009年中考压轴题精选/长春参考答案7．C 8．A 13．2n+2 14．83π 25．解：（1）设y 甲=k 1x ，把（6，120）代入，得k 1=20，∴y 甲=20x.当x=3时，y 甲=60.设y 乙=k 2x+b ，把（0，30），（3，60）代入，得b=30, 3k 2+b=60. 解得k 2=10， b=30.∴y 乙=10x+30. （3分）（2）当x=8时，y 甲=8×20=160， y 乙=8×10+30=110. ∵160+110=270>260，∴当x=8时，甲、乙两班植树的总量之和能超过260棵. （6分）（3）设乙班增加人数后平均每小时植树a 棵.当乙班比甲班多植树20棵时，有6×10+30+2a-20×8=20. 解得a=45.当甲班比乙班多植树20棵时，有20×8-(6×10+30+2a)=20. 解得a=25.所以乙班增加人数后平均每小时植树45棵或25棵. （10分）26．解：（1）由题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=.45,643x y x y 解得⎪⎩⎪⎨⎧==.415,3y x∴C （3,415）. （1分）（2）根据题意，得AE=t ，OE=8-t.∴点Q 的纵坐标为45(8-t)，点P 的纵坐标为43t ， ∴PQ=45 (8-t)-43t=10-2t. 当MN 在AD 上时，10-2t=t ，∴t=310. （3分）当0<t ≤310时，S=t(10-2t)，即S=-2t 2+10t.当310≤t<5时，S=(10-2t)2，即S=4t 2-40t+100. （5分）（3）当0<t ≤310时，S=-2（t-25）2+225，∴t=25时，S 最大值=225.当310≤t<5时，S=4(t-5)2，∵t<5时，S 随t 的增大而减小，∴t=310时，S 最大值=9100.∵225>9100，∴S 的最大值为225. （7分）（4）4<t<522或t>6. （10分）2009年中考压轴题精选/黄石9．如图，ABC △为O ⊙的内接三角形，130AB C =∠=，°，则O ⊙的内接正方形的面积为（） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 10．已知二次函数2y ax bx c =++①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（） A ．①② B ． ①③④ C ．①②③⑤ D ．①②③④⑤15．下图中正比例函数与反比例函数的图象相交于A B 、两点，分别以A B 、两点为圆心，画与x 轴相切的两个圆，若点A 的坐标为（2，1），则图中两个阴影部分面积的和是． 16．若抛物线23y ax bx =++与232y x x =-++的两交点关于原点对称，则a b 、分别为． 25．（本小题满分10分）正方形ABCD 在如图所示的平面直角坐标系中，A 在x 轴正半轴上，D 在y 轴的负半轴上，AB 交y 轴正半轴于E BC ，交x 轴负半轴于F ，1OE =，抛物线24y ax bx =+-过A D F 、、三点．（1）求抛物线的解析式；（3分）（2）Q 是抛物线上D F 、间的一点，过Q 点作平行于x 轴的直线交边AD 于M ，交BC 所在直线于N ，若32FQN AFQM S S =△四边形，则判断四边形AFQM 的形状；（3分）（3）在射线DB 上是否存在动点P ，在射线CB 上是否存在动点HAP PH =，若存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由．（42009年中考压轴题精选/青海11．如图4，函数y x =与4y x=的图象交于A、B 两点，过点A 作AC 垂直于y 轴，垂足为C ，则ABC △的面积为．12．观察下面的一列单项式：x ，22x -，34x ，48x -，…根据你发现的规律，第7个单项式为；第n 个单项式为．19．如图7是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则这个几何体的左视图为（）13 2 1 图7A ．B ．C ．D ．20．将三个均匀的六面分别标有1、2、3、4、5、6的正方体同时掷出，出现的数字分别为a b c 、、，则a b c 、、正好是直角三角形三边长的概率是（） A ．1216B ．172C ．112D ．13627．请阅读，完成证明和填空．九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：（1）如图12-1，正三角形ABC 中，在AB AC 、边上分别取点M N 、，使BM AN =，连接BN CM 、，发现BN CM =，且60NOC ∠=°．请证明：60NOC ∠=°．（2）如图12-2，正方形ABCD 中，在AB BC 、边上分别取点M N 、，使A M B N =，连接AN DM 、，那么AN = ，且DON ∠= 度．（3）如图12-3，正五边形ABCDE 中，在AB BC 、边上分别取点M N 、，使A M B N =，连接AN EM 、，那么AN = ，且EON ∠= 度．（4）在正n 边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．请大胆猜测，用一句话概括你的发现：．28．矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图13所示，A C 、两点的坐标分别为(60)A ，，(03)C -，，直线34y x =-与BC 边相交于D 点．（1）求点D 的坐标；（2）若抛物线294y ax x =-经过点A ，试确定此抛物线的表达式；（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD 交于点M ，点P 为对称轴上一动点，以A A AB B BC C CD D O O O MM MN N N E图12-1 图12-2 图12-3…P O M 、、为顶点的三角形与OCD △相似，求符合条件的点P 的坐标．2009年中考压轴题精选/青海参考答案27．（1）证明：∵ABC 是正三角形， ∴60A ABC AB BC ∠=∠==°，，在ABN △和BCM △中，AB BC A ABC AN BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABN BCM △≌△． ············································································ （2分） ∴ABN BCM ∠=∠．又∵60ABN OBC ∠+∠=°， ∴60BCM OBC ∠+∠=°， ∴60NOC ∠=°． ··················································································· （4分）注：学生可以有其它正确的等价证明．（2）在正方形中，90AN DM DON =∠=，°． ··········································· （6分）（3）在正五边形中，108AN EM EON =∠=，°． ······································· （8分）注：每空1分．（4）以上所求的角恰好等于正n 边形的内角(2)180n n-°． ··························· （10分）注：学生的表述只要合理或有其它等价且正确的结论，均给分．本题结论着重强调角和角的度数．28．解：（1）点D 的坐标为(43)-，． ·························································· （2分）（2）抛物线的表达式为23984y x x =-． ······················································ （4分）（3）抛物线的对称轴与x 轴的交点1P 符合条件．∵OA CB ∥，∴1POM CDO ∠=∠． ∵190OPM DCO ∠=∠=°， ∴1Rt Rt POM CDO △∽△． ······················ （6分） ∵抛物线的对称轴3x =，∴点1P 的坐标为1(30)P ，． ········································································· （7分）过点O 作OD 的垂线交抛物线的对称轴于点2P ． ∵对称轴平行于y 轴， ∴2P MO DOC ∠=∠． ∵290P OM DCO ∠=∠=°，∴21Rt Rt P M O DOC △∽△． ··································································· （8分） ∴点2P 也符合条件，2OP M ODC ∠=∠．∴121390PO CO P PO DCO ==∠=∠=，°， ∴21Rt Rt P PO DCO △≌△． ···································································· （9分） ∴124PP CD ==． ∵点2P 在第一象限， ∴点2P 的坐标为2P (34)，，∴符合条件的点P 有两个，分别是1(30)P ，，2P (34)，． ································· （11分）2009年中考压轴题精选/钦州9．如图，P A 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交P A 、PB 于点E 、F ，切点C 在AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是．10．一组按一定规律排列的式子：－2a ，52a ，－83a ，114a ，…，（a ≠0）则第n 个式子是______________（n 为正整数）．17．如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有（） A ．AB 垂直平分CD B ．CD 垂直平分AB C ．AB 与CD 互相垂直平分D ．CD 平分∠ACB18．如图，有一长为4cm ，宽为3cm 的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上的顶点A 的位置变化为A →A 1→A 2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿A 2C 与桌面成30°角，则点A 翻滚到A 2位置时，共走过的路径长为（） A ．10cm B ．3.5πcm C ．4.5πcmD ．2.5πcm25．（本题满分10分）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 上的点O 为圆心，OB 的长为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ．（1）求证：BC ＝CD ；（2）求证：∠ADE ＝∠ABD ；（3）设AD ＝2，AE ＝1，求⊙O 直径的长． 26．（本题满分10分）如图，已知抛物线y ＝34x 2＋bx ＋c 与坐标轴交于A 、B 、C 三点， A 点的坐标为（－1，0），过点C 的直线y ＝34tx －3与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，过P 作PH ⊥OB 于点H ．若PB ＝5t ，且0＜t ＜1．（1）填空：点C 的坐标是，b ＝，c ＝；（2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示）；（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．2009年中考压轴题精选/钦州ABCD EO参考答案9．410．31(1)n na--∴OB ⊥BC ． ·················································· 1分 ∵OB 是⊙O 的半径，∴CB 为⊙O 的切线． ······································· 2分又∵CD 切⊙O 于点D ，∴BC ＝CD ； ·················································· 3分（2）∵BE 是⊙O 的直径，∴∠BDE ＝90°．∴∠ADE ＋∠CDB ＝90°． ······························· 4分又∵∠ABC ＝90°，∴∠ABD ＋∠CBD ＝90°． ······························································· 5分由（1）得BC ＝CD ，∴∠CDB ＝∠CBD ．∴∠ADE ＝∠ABD ； ······································································ 6分（3）由（2）得，∠ADE ＝∠ABD ，∠A ＝∠A ．∴△ADE ∽△ABD ． ······································································ 7分 ∴AD AB ＝AEAD ． ············································································ 8分 ∴21BE +＝12，∴BE ＝3，······························································ 9分 ∴所求⊙O 的直径长为3． ·························································· 10分26．解：（1）（0，－3），b ＝－94，c ＝－3． ························································ 3分（2）由（1），得y ＝34x 2－94x －3，它与x 轴交于A ，B 两点，得B （4，0）．∴OB ＝4，又∵OC ＝3，∴BC ＝5．由题意，得△BHP ∽△BOC ， ∵OC ∶OB ∶BC ＝3∶4∶5，∴HP ∶HB ∶BP ＝3∶4∶5，∵PB ＝5t ，∴HB ＝4t ，HP ＝3t ．∴OH ＝OB －HB ＝4－4t ．由y ＝34tx －3与x 轴交于点Q ，得Q （4t ，0）．∴OQ ＝4t ． ·············································································· 4分 ①当H 在Q 、B 之间时， QH ＝OH －OQ＝（4－4t ）－4t ＝4－8t ． ·······················································5分 ②当H 在O 、Q 之间时，∙ABCD EOQH ＝OQ －OH＝4t －（4－4t ）＝8t －4． ······················································· 6分综合①，②得QH ＝｜4－8t ｜； ······················································ 6分（3）存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似． ················ 7分①当H 在Q 、B 之间时，QH ＝4－8t ，若△QHP ∽△COQ ，则QH ∶CO ＝HP ∶OQ ，得483t -＝34tt，∴t ＝732． ··············································································· 7分若△PHQ ∽△COQ ，则PH ∶CO ＝HQ ∶OQ ，得33t ＝484tt -，即t 2＋2t －1＝0．∴t 11，t 2－1（舍去）． ·········································· 8分 ②当H 在O 、Q 之间时，QH ＝8t －4．若△QHP ∽△COQ ，则QH ∶CO ＝HP ∶OQ ，得843t -＝34tt，∴t ＝2532． ··············································································· 9分若△PHQ ∽△COQ ，则PH ∶CO ＝HQ ∶OQ ，得33t ＝844t t -，即t 2－2t ＋1＝0． ∴t 1＝t 2＝1（舍去）．································································ 10分综上所述，存在t 的值，t 1－1，t 2＝732，t 3＝2532． ···················· 10分2009年中考压轴题精选/重庆9．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=1，动点P 从点B 出发，沿路线B→C→D 作匀速运动，那么△ABP 的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（） A B C D10．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90º，AC=8，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD=CE ，连接DE 、DF 、EF 。

2009年中考数学压轴题汇编(含解题过程)(四)

2009年中考数学压轴题汇编（含解题过程）（四）(2009某某省某某市)26（本小题满分10分）如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD。

（1）求证：BE=AD；（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；（3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由。

26、（本小题满分10分）证明：（1）∵∠ABC=90°，BD⊥EC，∴∠1与∠3互余，∠2与∠3互余，∴∠1=∠2…………………………………………………1分∵∠ABC=∠DAB=90°，AB=AC∴△BAD≌△CBE…………………………………………2分∴AD=BE……………………………………………………3分（2）∵E是AB中点，∴EB=EA由（1）AD=BE得：AE=AD……………………………5分∵AD∥BC∴∠7=∠ACB=45°∵∠6=45°∴∠6=∠7由等腰三角形的性质，得：EM=MD，AM⊥DE。

即，AC是线段ED的垂直平分线。

……………………7分（3）△DBC是等腰三角（CD=BD）……………………8分理由如下：由（2）得：CD=CE 由（1）得：CE=BD ∴CD=BD∴△DBC 是等腰三角形。

……………………………10分（2009年威海市）25．（12分）一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，与反比例函数ky x=的图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂足分别为F D ，，AC 与BD 交于点K ，连接CD ．（1）若点A B ，在反比例函数ky x=的图象的同一分支上，如图1，试证明： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形； ②AN BM =．（2）若点A B ，分别在反比例函数ky x=的图象的不同分支上，如图2，则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．25．（本小题满分12分）解：（1）①AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，∴四边形AEOC 为矩形．BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，)（第25题图1）（第25题图2）∴四边形BDOF 为矩形．AC x ⊥轴，BD y ⊥轴，∴四边形AEDK DOCK CFBK ，，均为矩形． ·· 1分1111OC x AC y x y k ===，，， ∴11AEOC S OC AC x y k ===矩形2222OF x FB y x y k ===，，，∴22BDOF S OF FB x y k ===矩形． ∴AEOCBDOF S S =矩形矩形．AEDK AEOC DOCK S S S =-矩形矩形矩形，CFBK BDOF DOCK S S S =-矩形矩形矩形，∴AEDKCFBK S S =矩形矩形． ······················· 2分②由（1）知AEDKCFBK S S =矩形矩形．∴AK DK BK CK =． ∴AK BKCK DK=． ······························ 4分 90AKB CKD ∠=∠=°，∴AKB CKD △∽△．··························· 5分 ∴CDK ABK ∠=∠．∴AB CD ∥． ······························ 6分AC y ∥轴，∴四边形ACDN 是平行四边形．∴AN CD =． ······························ 7分同理BM CD =．AN BM ∴=． ······························ 8分（2）AN 与BM 仍然相等． ························ 9分AEDK AEOC ODKC S S S =+矩形矩形矩形， BKCF BDOF ODKC S S S =+矩形矩形矩形，又AEOC BDOF S S k ==矩形矩形，∴AEDKBKCF S S =矩形矩形． ······ 10分∴AK DK BK CK =． ∴CK DKAK BK=．K K ∠=∠，∴CDK ABK △∽△．∴CDK ABK ∠=∠．∴AB CD ∥． ······························ 11分AC y ∥轴，∴四边形ANDC 是平行四边形．∴AN CD =．同理BM CD =．∴AN BM =． ······························ 12分（2009年某某市）26．(本题满分14分)如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，且经过点(23)a -，，对称轴是直线1x =，顶点是M ．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）经过C,M 两点作直线与x 轴交于点N ，在抛物线上是否存在这样的点P ，使以点P AC N ，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设直线3y x =-+与y 轴的交点是D ，在线段BD 上任取一点E （不与B D ，重合），经过AB E ，，三点的圆交直线BC 于点F ，试判断AEF △的形状，并（第26题图）图2说明理由；（4）当E 是直线3y x =-+上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）．26．（本题满分14分）解：（1）根据题意，得34231.2a a b b a-=+-⎧⎪⎨-=⎪⎩，2分解得12.a b =⎧⎨=-⎩，∴抛物线对应的函数表达式为223y x x =--． ·· 3分（2）存在．在223y x x =--中，令0x =，得3y =-．令0y =，得2230x x --=，1213x x ∴=-=，．(10)A ∴-，，(30)B ，，(03)C -，．又2(1)4y x =--，∴顶点(14)M -，． ···················· 5分容易求得直线CM 的表达式是3y x =--．在3y x =--中，令0y =，得3x =-．(30)N ∴-，，2AN ∴=． ························· 6分在223y x x =--中，令3y =-，得1202x x ==，．2CP AN CP ∴=∴=，．AN CP ∥，∴四边形ANCP 为平行四边形，此时(23)P -，． ········· 8分（3）AEF △是等腰直角三角形．理由：在3y x =-+中，令0x =，得3y =，令0y =，得3x =．M（第26题图）∴直线3y x =-+与坐标轴的交点是(03)D ，，(30)B ，．OD OB ∴=，45OBD ∴∠=°． ······················ 9分又点(03)C -，，OB OC ∴=．45OBC ∴∠=°． ··············10分由图知45AEF ABF ∠=∠=°，45AFE ABE ∠=∠=°． ··········· 11分 90EAF ∴∠=°，且AE AF =．AEF ∴△是等腰直角三角形． ········· 12分（4）当点E 是直线3y x =-+上任意一点时，（3）中的结论成立． ······· 14分（2009年某某省日照）24． (本题满分10分)已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）求证：EG =CG ；（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）24．（本题满分10分）解：（1）证明：在Rt △FCD 中， ∵G为DF 的中点，∴ CG= FD ．………………1分同理，在Rt △DEF中， EG= FD ． ………………2分FBDC第24题图①BDCE第24题图②BC第24题图③∴ CG=EG．…………………3分（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．…………………………4分证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG．∴ AG=CG．………………………5分在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG．∴ MG=NG在矩形AENM中，AM=EN．……………6分在Rt△AMG 与Rt△ENG中，∵ AM=EN， MG=NG，∴△AMG≌△ENG．∴ AG=EG．∴ EG=CG．……………………………8分证法二：延长CG至M,使MG=CG，连接MF，ME，EC，……………………4分在△DCG 与△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG ≌△FMG．∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG．∴MF∥CD∥AB．………………………5分∴．在Rt△MFE 与Rt△CBE中，∵ MF=CB，EF=BE，∴△MFE ≌△CBE ．∴ ．…………………………………………………6分∴∠MEC ＝∠MEF ＋∠FEC ＝∠CEB ＋∠CEF ＝90°． …………7分 ∴△MEC 为直角三角形． ∵ MG = CG ， ∴ EG= MC ．∴ ．………………………………8分（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG ．其他的结论还有:EG ⊥CG ．……10分（2009年潍坊市）24．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆的圆心O 在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A B C D 、、、四点．抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点D ，与直线y x =交于点M N 、，且MA NC 、分别与圆O 相切于点A 和点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连结DE ，并延长DE 交圆O 于F ，求EF 的长．（3）过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ，判断点P 是否在抛物线上，说明理由．24．（本小题满分12分）解：（1）圆心O 在坐标原点，圆O 的半径为1，∴点A B C D 、、、的坐标分别为(10)(01)(10)(01)A B C D --，、，、，、，抛物线与直线y x =交于点M N 、，且MA NC 、分别与圆O 相切于点A 和点C ，∴(11)(11)M N --，、，． ·························· 2分点D M N 、、在抛物线上，将(01)(11)(11)D M N --，、，、，的坐标代入2y ax bx c =++，得：111c a b c a b c =⎧⎪-=-+⎨⎪=++⎩ 解之，得：111a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为：21y x x =-++． ··················· 4分（2）2215124y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭∴抛物线的对称轴为12x =，12OE DE ∴===，． ····· 6分连结90BF BFD ∠=，°，BFD EOD ∴△∽△，DE ODDB FD∴=，又12DE OD DB ===，，5FD ∴=，5210EF FD DE ∴=-=-=． ··················· 8分（3）点P 在抛物线上． ·························· 9分设过D C 、点的直线为：y kx b =+，将点(10)(01)C D ，、，的坐标代入y kx b =+，得：11k b =-=，，∴直线DC 为：1y x =-+． ························ 10分过点B 作圆O 的切线BP 与x 轴平行，P 点的纵坐标为1y =-，将1y =-代入1y x =-+，得：2x =．∴P 点的坐标为(21)-，，·························· 11分当2x =时，2212211y x x =-++=-++=-，所以，P 点在抛物线21y x x =-++上． ··················· 12分说明：解答题各小题中只给出了1种解法，其它解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应的分数．。

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6
6
解得 h1
=
7 5
，h2
=
−2
（舍去）．
y Q
AP
E
(Q) D(P) B(P)
Q
O
G
HC
x
∴Q
⎛ ⎜ ⎝
12 5
，7 5
⎞ ⎟ ⎠
．············································（12
分）
综上所述，存在三个满足条件的点 Q ，
即
Q(2，2)
或
Q
⎛⎜⎝1，73
QOM ∥ AD ① 当 AD = OP 时，四边形 DAOP是平行四边形
y
M
D
C
∴OP = 6 ∴ t = 6(s) ················································· 5 分
② 当 DP ⊥ OM 时，四边形 DAOP是直角梯形
P H A
过 O 作 OH ⊥ AD 于 H ， AO = 2，则 AH = 1
又Q ∠FAD = ∠GKD = 90°， ∴△DAF ≌△ DKG ． ∴ KG = AF =1． ∴GO = 1．············································································································ （8 分） ∴ EF = 2GO ．
③ 当 PD = OA时，四边形 DAOP是等腰梯形
∴OP = AD− 2 AH = 6 − 2 = 4 ∴ t = 4(s)
综上所述：当 t = 6、5、4 时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形．··7 分（3）由（2）及已知， ∠COB = 60° ，OC = OB ， O△CB是等边三角形则 OB = OC = AD = 6，OP = t， BQ= 2 t，∴ OQ= 6 −2 t(0 < t <3)
∴0 = 9a + 3 3∴a = − 3 ·························································································· 1 分 3
∴二次函数的解析式为： y = − 3 x2 + 2 3 x + 8 3 ·················································· 3 分
3
3
3
（2）Q D 为抛物线的顶点∴ D(1，3 3) 过 D 作 DN ⊥ OB于 N ，则 DN = 3 3 ，
AN = 3，∴ AD = 32 + (3 3)2 = 6 ∴∠DAO = 60°···················································· 4 分
（3）Q点 P 在 AB 上， G(1，0) ， C(3，0) ，则设 P(1，2) ．
∴ PG2 = (t −1)2 + 22 ， PC2 = (3 − t) 2 + 2 2 ， GC = 2 ．
①若 PG = PC ，则 (t −1)2 + 22 = (3 − t) 2 + 2 2 ，
解得 t = 2 ．∴ P(2，2) ，此时点 Q 与点 P 重合．
∴ Q(2，2) ．··········································································································· （9 分）
②若 PG = GC ，则 (t −1)2 + 22 = 22 ，解得 t = 1，∴P(1，2) ，此时 GP⊥ x轴．
O EN Q B x
（如果没求出 ∠DAO = 60°可由 Rt△OHA ∽ Rt△ DNA求 AH = 1）
∴OP = DH = 5 t = 5(s)····························································································· 6 分
GP 与该抛物线在第一象限内的交点 Q 的横坐标为 1，
∴点 Q 的纵坐标为 7 ．
3
∴
Q ⎛⎜⎝ 1，73
⎞ ⎟ ⎠
．·······································································································
单位和 2 个长度单位的速度沿 OC 和 BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停
止运动．设它们的运动的时间为 t (s) ，连接 PQ ，当 t 为何值时，四边形 BCPQ的面积最
小？并求出最小值及此时 PQ 的长．
y
M
D C
P
A O
Q Bx
*26．解：（1）Q抛物线 y = a( x −1)2 + 3 3(a ≠ 0) 经过点 A(−2，0) ，
BC 的延长线于点 E. （1）求 D 点的坐标；
（2）作 C 点关于直线 DE 的对称点 F,分别连结 DF、EF，若过 B 点的直线 y = kx + b 将
四边形 CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
（3）设 G 为 y 轴上一点，点 P 从直线 y = kx+ b 与 y 轴的
t
−
3 2
2
⎞ ⎟ ⎠
+
63 8
3 ······················································································ 9 分
当t
=
3 2
时，
SBCPQ 的面积最小值为
63 8
3 ······························································ 10 分
⎞ ⎟ ⎠
或
Q
⎛12
⎜ ⎝
5
，7 5
⎞ ⎟ ⎠
．
（2009 年重庆綦江县）26．（11 分）如图，已知抛物线 y = a( x −1)2 + 3 3(a ≠ 0) 经过点
A(−2，0) ，抛物线的顶点为 D ，过 O 作射线 OM ∥ AD ．过顶点 D平行于 x 轴的直线交
射线 OM 于点 C ， B 在 x 轴正半轴上，连结 BC ．
F Ｍ
将点 D、M 的坐标分别代入，得
A
D
B
⎧2k ⎪
+
b1
=
2，
⎨6
12
⎪⎩ 5 k + b1 = 5 .
解得
⎧⎪k ⎨
=
−
1 2
，
⎪⎩b1 = 3．
E
O
GK C
x
∴ DM 的解析式为 y = − 1 x + 3 ．········································································· （6 分） 2
交点出发，先沿 y 轴到达 G 点，再沿 GA 到达 A 点，若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍，试确定 G 点的位置，使 P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间最短。（要求：简述确定 G 点位置的方法，但不要求证明）
（2009 年重庆市）26．已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边 OA 在 y
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个长度单位的速度沿射线 OM 运动，设点 P 运动
的时间为 t( s) ．问当 t 为何值时，四边形 DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？
（3）若 OC = OB ，动点 P 和动点 Q分别从点 O和点 B 同时出发，分别以每秒 1 个长度
∴ F (0，3)， EF = 2 ．··························································································· （7 分）
过点 D 作 DK ⊥ OC 于点 K ，则 DA = DK ． Q∠ADK = ∠FDG = 90°， ∴∠FDA = ∠GDK ．
y
A
D
B
E
O
x C
26 题图
26．解：（1）由已知，得 C(3，0) ， D(2，2) ，
Q∠ADE = 90°− ∠CDB = ∠ BCD， ∴ AE = AD tan ∠ADE = 2× tan∠BCD = 2× 1 = 1．
2
∴ E(0，1)．············································································································ （1 分）
冲刺 2010 ——2009 年中考数学压轴题汇编(含解题过程)
（2009 年北京）25.如图，在平面直角坐标系 xOy 中， ABC 三个机战的坐标分别为
( ) A(−6, 0) ， B (6, 0)， C 0, 4 3 ，延长 AC 到点 D,使 CD= 1 AC ,过点 D 作 DE∥AB 交 2
（10
分）
③若 PC = GC，则 (3 − t) 2 + 2 2 = 2 2 ，
解得 t = 3 ，∴P(3，2) ，此时 PC = GC = 2， △PCG 是等腰直角三角形．