2014-2015学年河南省南阳市高一(上)期中数学试卷(理科)(解析版)
河南省南阳市2014届高三五校联谊期中考试试卷数学(理)Word版含答案
2013年秋期南阳市五校联谊高中三年级期中考试数学试题（理）考试说明：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）和答题卷三部分，其中第Ⅰ卷（选择题）1～3面，第Ⅱ卷（非选择题）3～4面，另附答题卷。
共150分，考试时间120分钟。
2、答题前，务必将自己的姓名、考号填写在机读卡和答题卷规定的位置上；所有题目必须在答题卷上作答，在试题卷上答题无效。
3、请将本试卷第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分答案答在答题卷上指定区域内，超出答题区域的答案无效。
用机读卡的同学直接把第Ⅰ卷（选择题）的答案用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
4、考试结束后，将答题卷和机读卡交上，试题卷自己保存。
第Ⅰ卷 （选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．若集合A ＝{x ｜｜x ｜＝x}，B ＝{x ｜2x －x ＞0}，则A ∩B ＝A ．[0，1]B ．（－∞，0）C ．（1，＋∞）D ．（－∞，－1） 2．下列说法中，正确的是A ．命题“若a ＜b ，则a 2m ＜b 2n ”的否命题是假命题．B ．设α，β为两个不同的平面，直线l ⊂α，则“l ⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件． C ．命题“存在x ∈R ，2x －x ＞0”的否定是“对任意x ∈R ，2x －x ＜0”． D ．已知x ∈R,则“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件． 3．设a ＝0.5log 0.41[]3，b ＝0.4log 0.51[]3，c ＝ln 23，则a ，b ，c 的大小关系是A ．c ＞b ＞aB ．c ＞a ＞bC ．a ＞b ＞cD ．a ＞c ＞b 4．已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是A ．3B ．4C ．92 D ．1125．若f （x ）＝3sin ,112,12x x x x ⎧⎨⎩＋－≤≤ ＜≤，则21()f x dx ⎰－＝A ．0B ．1C ．2D ．36．已知A （x A ，y A ）是单位圆上（圆心在坐标原点O ）任意一点，射线OA 绕O 点逆时针旋转30°到OB 交单位圆于点B （x B ，y B ），则x A －y B 的最大值为 ABC ．1D ．127．函数f （x ）＝Asin （ωx ＋ϕ）（其中A ＞0，｜ϕ｜＜2π）的部分图象如图所示，为了得到g （x ）＝cos2x 的图象，则只要将f （x ）的图象 A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度8．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD ，2AB BD ，BC ＝2BD ，则sinC的值为A BC D 9．已知－9，a 1，a 2，a 3，－1成等比数列，－9，b 1，b 2，－1成等差数列，则a 2（b 1－b 2）＝ A ．－98B ．8C ．－8D ．±8 10．已知函数f （x ）＝x 3＋3x ，g （x ）＝－f （｜x ｜），若g （lgx ）＞g （1），则x 的取值范围是A ．（10，＋∞）B ．（110，10） C ．（0，10） D ．（0，110）∪（10，＋∞）11．已知函数f （x ）＝1＋x －22x ＋33x －44x ＋…＋20132013x 则下列结论正确的是A ．f （x ）在（0，1）上恰有一个零点B ．f （x ）在（0，1)上恰有两个零点C ．f （x ）在（－1，0）上恰有一个零点D ．f （x ）在（－1，0）上恰有两个零点 12．若f （x ）＝－212x ＋b ln （x ＋2）在（－1，＋∞）上是减函数，则b 的取值范围是 A ．[－1,＋∞） B ．（－1，＋∞） C ．（－∞，－1] D ．（－∞，－1）第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知两个不共线向量a r ，b r ，｜a r ｜＝2，｜b r ｜＝3，a r·（b r －a r ）＝1，则｜b r －a r｜＝_________．14．已知实数x, y 满足1,1,,y y x x m ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤2－＋y ≤，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于_______________． 15．已知函数f （x ）＝cosx ，x ∈（2π，3π），若方程f （x ）＝m 有三个不同的实根，且从小到大依次成等比数列，则m 的值为_____________．16．已知函数f （x ）＝x e －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是_______________．三、解答题（本大题6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足S ＝222a b c ＋－） （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sinA ＋sinB 的最大值． 18．（本小题满分12分） 已知数列{n a }的前n 项和n S ＝－212n ＋kn （其中k ∈N ＋），且n S 的最大值为8． （Ⅰ）确定常数k ，并求n a ; （Ⅱ）求数列{92nna －2}的前n 项和n T ． 19．（本小题满分12分）已知a r ＝（cosx ，cosx ），b r ＝（sinx ，2cosx ），设函数f （x ）＝a r ·b r＋｜b r ｜2＋32． （Ⅰ）当x ∈[6π，2π]，求函数f （x ）的值域； （Ⅱ）当x ∈[6π，2π]时，若f （x ）＝8，求函数f （x －12π）的值.20．（本小题满分12分）已知等差数列{n a }的首项a 1＝1，公差d ＞0．且a 2，a 5，a 14分别是等比数列{n b }的b 2， b 3，b 4．（Ⅰ）求数列{n a }与{n b }的通项公式；（Ⅱ）设数列{n c }对任意自然数n 均有11c b ＋22c b ＋…＋n nc b ＝1n a ＋成立，求1c ＋2c ＋…＋2013c 的值．21．（本小题满分12分）设函数f （x ）＝－313x ＋212x ＋2ax （Ⅰ）若函数f （x ）在（23，＋∞）上存在单调递增区间，求a 的取值范围；（Ⅱ）当0＜a ＜2时，f （x ）在[1，4]上的最小值为－163，求f （x ）在该区间上的最大值．22．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝ln （x ＋1）＋k 2x （k ∈R ）．（Ⅰ）若函数y ＝f （x ）在x ＝1处取得极大值，求k 的值； （Ⅱ）当x ∈[0，＋∞）时，函数y ＝f （x ）图象上的点都在0x y x ⎧⎨⎩≥－≥0所表示的区域内，求k 的取值范围；（Ⅲ）证明：1221ni i -∑＝－ln （2n ＋1）＜2，n ∈N ＋．。
【最新经典文档】年河南省南阳市高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)
的值．
18．（ 12 分）设曲线 f （x） =x2+1 和 g（ x）=x3+x 在其交点处两切线的夹角为 θ， 求 cosθ．
19．（ 12 分）已知△ ABC中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a，b，
c 成等比数列，
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）设
的值．
20．（ 12 分）设数列 { an} 的各项都是正数，且对任意 n∈N* ，都有 an2=2Sn﹣an， 其中 Sn 为数列 { an} 的前 n 项和． （Ⅰ）求数列 { an} 的通项公式； （Ⅱ）设 bn=3n+（﹣ 1）n﹣1?λ ?a2n（λ为非零整数， n∈ N*），试确定 λ的值，使得
）
A．
B．
C．
D．
【解答】 解：∵ f（x）=bsinx，
第 6 页（共 21 页）
∴ f ′（ x）=bcosx， 则 f ′（ ）=bcos = ， ∵图象在点 A（ ，f （ ））处的切线与直线 x﹣2y+3=0 平行，
∴切线斜率 k= = ，解得 b=1．
∴ an=n2+bn=an=n2+n=n（n+1），
）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（5 分）已知向量 的模为 2 ， =（1，﹣ 2），条件 p：向量 的坐标为（ 4，
2），条件 q： ⊥ ，则 p 是 q 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．（ 5 分）设函数 f（x）=bsinx 的图象在点 A（ ，f（ ））处的切线与直线 x
最大值． 22．（ 12 分）设 f（x）= +xlnx，g（ x） =x3﹣ x2﹣3，
2014-2015上期高二数学期中试题(理)(解析版)
2014----2015学年上学期期中考试高二年级数学（理）试卷 考试时间：120分钟 命题人：耿耀辉一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.不等式221x x -≤的解集为（ ）A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21B. 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121. D.[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121,2.等差数列{}n a 中，19,793==a a ，则5a 为（ ） A ．13 B ．12 C ．11 D ．103.已知数列,则是它的第（ ）项.A.19B.20C.21D.224.已知ABC ∆中，05,3,120a b C ===，则sin A 的值为（ ） A 、1435 B 、1435- C 、1433 D 、1433- 5.已知等比数列{n a }满足：9273π=⋅a a ,则5cos a =（ ）A ．21-B ．21C ．±21D ．±236.设变量,x y 满足121y y x x y m ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤-+≤，若目标函数1z x y =-+的最小值为0，则m 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．77.若不等式a b >与11a b>同时成立，则必有（ ）A. 0a b >>B. 110a b >>C. 0a b >>D. 110a b>>8.在△ABC 中，若2cosBsinA ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形 9.已知正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+,若数列中存在两项,m n a a14a =，则14m n+的最小值为（ ） A. 9 B. 43 C. 53 D. 3210.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则a b ≤“”是sin sin A B ≤“”的（ ） A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件11.已知1,1x y >>,且11ln ,,ln 44x y 成等比数列,则xy( )A ．有最大值eB ．有最小值e 12.在锐角．．三角形ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若2A B =，给出下列命题： ①ππ64B <<；②a b∈；③22a b bc =+.其中正确的个数是 （ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）13．在△ABC 中，三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，若2220a b c +-+=，则角C 的大小为 ．14.等差数列{}n a 中，n S 是它的前n 项之和，且67S S <，78S S >，则： ①此数列的公差0d <； ②9S 一定小于6S ；③7a 是各项中最大的一项； ④7S 一定是n S 中的最大值． 其中正确的是____________________（填入你认为正确的所有序号）．15.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且c o s c o s c Cb B-=，则B 的大小为_________． 16.设,x y R ∈，若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值是_________. 三、解答题（本大题共6小题，满分70分） 17.（本题10分）已知()|||1|f x x x =-+. (1)求不等式()0f x ≤的解集A;(2)若不等式10mx m +->对任何x A ∈恒成立,求m 的取值范围.18.（本题12分）已知数列{}n a 与{}n b ，若13a =且对任意正整数n 满足12,n n a a +-= 数列{}n b 的前n 项和2n n S n a =+．（1）求数列{}{}n n a b ,的通项公式；（2）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和.n T19.（本题12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知C B C B cos cos 41)cos(2=+- （1）求角A 的大小；（2）若72=a ，△ABC 的面积为32，求c b +．20.（本题12分）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足*)(2N n a n S n n ∈=+． （1）证明：数列}1{+n a 为等比数列，并求数列{n a }的通项公式；（2）数列{n a }满足*))(1(log 2N n a a b n n n ∈+⋅=，其前n 项和为n T ，试求满足201522>++nn T n 的最小正整数n ．21.（本题12分）在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且三角形的面积为B ac S cos 23=． （1）求角B 的大小（2）已知4c aa c+=,求sinAsinC 的值22.（本题12分）如图,经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A),要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米).如何设计, 可以使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．郑州二中2014----2015学年上学期期中考试高二年级数学（理）答案一、选择题1.A2.C3.C4.A5.B6.B7.A8.C9.D 10.A 11.D 12.C二、填空题13．34π 14.①②④ 15.4π三、解答题（本大题共6小题，满分70分）17.【解析】(1)22|||1|(1)x x x x ≤+⇔≤+12x ⇔≥-∴1[,)2A =-+∞ 5分(2)1,102x mx m ∀≥-+->恒成立11m x ⇔>+对12x ≥-恒成立.max 1()21m x ⇔>=+∴m 取值范围是(2,)+∞ 10分 18.【解析】 （1）由题意知数列{}n a 是公差为2的等差数列 又因为13a = 所以21n a n =+ 当1n =时，114b S ==；当2n ≥时，()()()22121121121n n n b S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=+⎣⎦对1=4b 不成立所以，数列{}n b 的通项公式: 4,(1)2n 1,(n 2)n n b =⎧=⎨+≥⎩ 5分（2）1n =时，1121120T b b ==2n ≥时，111111()(21)(23)22123n n b b n n n n +==-++++ 所以1111111111612025779212320101520(23)n n n T n n n n --⎛⎫=+-+-++-=+= ⎪++++⎝⎭ 1n =仍然适合上式综上，116120101520(23)n n n T n n --=+=++ 12分 19.【解析】（1）∵C B C B cos cos 41)cos(2=+-，∴C B C B C B cos cos 41)sin sin cos (cos 2=++可得1)cos(2=+C B ，∴21)cos(=+C B ． ∵π<+<C B 0，可得3π=+C B ．∴32π=A ． 5分（2）由（1）得32π=A ．∵S △ABC =32 ∴3232sin21=πbc ，解得bc=8．① 7分 由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，得2822=++bc c b ， 即28)(2=-+bc c b ．② 将①代入②，可得6=+c b ． 12分 20.【解析】（1）当1n =时，111121a a a +=⇒=； 当2n ≥时，1111212221(1)2n nn n n n n n n S n a a a a a a S n a ----+=⎫⇒+=-⇒=+⎬+-=⎭；即112(1)n n a a -+=+（2n ≥），且112a +=，故{}1n a +为等比数列1221n n n n a a +=⇒=-（*n N ∈）. 5分（2）(21)2n n n b n n n =-⋅=⋅-设231222322n n K n =⨯+⨯+⨯++⨯… ①23121222(1)22n n n K n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯… ②①-②：231112(12)222222(1)2212n n n n n n K n n n +++--=++++-⨯=-⨯=-⨯--…∴1(1)22n n K n +=-⨯+， ∴1(1)(1)222n n n n T n ++=-⨯+-， 21(1)22201582n n n n T n n +++=-⨯+>⇒≥，∴满足条件的最小正整数8n =. 12分21.【解析】（1）在三角形ABC中B ac S sin 21=,由已知B ac S cos 23=可得B ac B ac cos 23sin 21=∴=∴为三角形内角，B 3tan B 0﹤B ﹤π∴ 3B π= 5分 （2）4cos 2222=+=+=+acB ac b ac c a c a a c ac b B 332=∴=π由正弦定理可得 C A B sin sin 3sin 2= 41sin sin 3=∴=C A B π12分 22.【解析】解法一：设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，sin 60MN︒＝()sin 120AM θ︒-．因为MN ＝2,所以AM ＝sin(120°－θ）． 2分 在△APM 中,cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ). 4分AP 2＝AM 2＋MP 2－2 AM ²MP ²cos ∠AMP ＝163sin 2(120°－θ)＋4－2³2³3sin(120°θ）cos(60°＋θ） 6分＝163sin 2(θ＋60°)θ＋60°）cos(θ＋60°)＋4＝83[1－cos (2θ＋120°)]sin(2θ＋120°)＋4＝－83θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°),θ∈(0,120°)． 10分当且仅当2θ＋150°＝270°,即θ＝60°时,AP 2取得最大值12,即AP 取得最大值答：设计∠AMN 为60°时,工厂产生的噪声对居民的影响最小． 12分解法二(构造直角三角形)： 设∠PMD ＝θ,在△PMD 中,∵PM ＝2,∴PD ＝2sin θ,MD ＝2cos θ. 2分在△AMN 中,∠ANM ＝∠PMD ＝θ,∴sin 60MN ︒＝sin AMθ,AM ＝3sin θ,∴AD ＝3sin θ＋2cos θ,(θ≥2π时,结论也正确). 4分AP 2＝AD 2＋PD 2＝θ＋2cos θ)2＋(2sin θ)2＝163sin 2θsin θcos θ＋4cos 2θ＋4sin 2θ 6分＝163²12cos 22θ-sin2θ＋4sin2θ－83cos2θ＋203＝203＋163sin(2θ－6π),θ∈(0,23π). 10分当且仅当2θ－6π＝2π，即θ＝3π时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值此时AM ＝AN ＝2,∠PAB ＝30° 12分。
2014年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含答案及解析)
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2} 2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．54．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．15．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.456．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．78．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．39．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10B．8C．3D．210．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．【解答】解：z1=2+i对应的点的坐标为（2，1），∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），则对应的复数，z2=﹣2+i，则z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，故选：A．【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．5【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．【解答】解：∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4•=10﹣6=4，即•=1，故选：A．【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．1【考点】HR：余弦定理．【专题】56：三角函数的求值．【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考虑：当B为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可．【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，即sinB=，当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=，当B为锐角时，cosB==，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC=．故选：B．【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，解得p=0.8，故选：A．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．7【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．【解答】解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．8．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．3【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】52：导数的概念及应用．【分析】根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．【解答】解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故选：D．【点评】本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10B．8C．3D．2【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（5，2）代入目标函数z=2x﹣y，得z=2×5﹣2=8．故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B 两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．【解答】解：由y2=2px，得2p=3，p=，则F（，0）．∴过A，B的直线方程为y=（x﹣），即x=y+．联立，得4y2﹣12y﹣9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y 1+y 2=3，y 1y 2=﹣．∴S△OAB =S △OAF +S△OFB =×|y 1﹣y 2|==×=．故选：D ．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题．11．（5分）直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ） A ．B ．C ．D ．【考点】LM ：异面直线及其所成的角．【专题】5F ：空间位置关系与距离．【分析】画出图形，找出BM 与AN 所成角的平面角，利用解三角形求出BM 与AN 所成角的余弦值．【解答】解：直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，如图：BC 的中点为O ，连结ON ，，则MN0B 是平行四边形，BM 与AN 所成角就是∠ANO ，∵BC=CA=CC 1，设BC=CA=CC 1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===， 在△ANO 中，由余弦定理可得：cos ∠ANO===．故选：C ．【点评】本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈Z，再由题意可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，可得m2 ＞m2+3，由此求得m的取值范围．【解答】解：由题意可得，f（x0）=±，即=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，即x02+3＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．求得m＞2，或m＜﹣2，故选：C．【点评】本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x7的系数，再根据x7的系数为15，求得a的值．【解答】解：（x+a）10的展开式的通项公式为T r=•x10﹣r•a r，+1令10﹣r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3•=120a3=15，∴a=，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为1．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sinx，从而求得函数的最大值．【解答】解：函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）=sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos （x+φ）=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ=sin[（x+φ）﹣φ]=sinx，故函数f（x）的最大值为1，故答案为：1．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用，正弦函数的最值，属于中档题．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（﹣1，3）．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到结论．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2）是解决本题的关键．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1] ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】5B：直线与圆．【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．【考点】87：等比数列的性质；8E：数列的求和．【专题】14：证明题；54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即=常数，又首项不为0，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）将进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．【解答】证明（Ⅰ）==3，∵≠0，∴数列{a n+}是以首项为，公比为3的等比数列；∴a n+==，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当n≥2时，∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1，∴＜=，∴当n=1时，成立，当n≥2时，++…+＜1+…+==＜．时，++…+＜．∴对n∈N+【点评】本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属于中档题．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，（2分）EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，∴CD⊥MD．∵二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，∴PD=2，E为PD的中点．AE=1，∴DM=，CD==．三棱锥E﹣ACD的体积为：==．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】BK：线性回归方程．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，=×（1+2+3+4+5+6+7）=4，=×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，∴== =0.5，=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．∴y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得：=0.5×9+2.3=6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．【点评】本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．【分析】对第（Ⅰ）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；对第（Ⅱ）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在[0+∞）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g′（x）＞0是否成立”的问题；对第（Ⅲ）问，根据第（Ⅱ）问的结论，设法利用的近似值，并寻求ln2，于是在b=2及b＞2的情况下分别计算，最后可估计ln2的近似值．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）得f′（x）=e x+e﹣x﹣2，即f′（x）≥0，当且仅当e x=e﹣x即x=0时，f′（x）=0，∴函数f（x）在R上为增函数．（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，则g′（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣2）]=2[（e x+e﹣x）2﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣4）]=2（e x+e﹣x﹣2）（e x+e﹣x+2﹣2b）．①∵e x+e﹣x＞2，e x+e﹣x+2＞4，∴当2b≤4，即b≤2时，g′（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．②当b＞2时，若x满足2＜e x+e﹣x＜2b﹣2即，得，此时，g′（x）＜0，又由g（0）=0知，当时，g（x）＜0，不符合题意．综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．（Ⅲ）∵1.4142＜＜1.4143，根据（Ⅱ）中g（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，为了凑配ln2，并利用的近似值，故将ln即代入g（x）的解析式中，得．当b=2时，由g（x）＞0，得，从而；令，得＞2，当时，由g（x）＜0，得，得．所以ln2的近似值为0.693．【点评】1．本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题．2．从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口．3．本题的难点在于如何寻求ln2，关键是根据第（2）问中g（x）的解析式探究b的值，从而获得不等式，这样自然地将不等式放缩为的范围的端点值，达到了估值的目的．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【考点】N4：相似三角形的判定；NC：与圆有关的比例线段．【专题】17：选作题；5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程，利用cos2t+sin2t=1进而得出参数方程．（2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，则直线CD的斜率与直线l的斜率相等，即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标．【解答】解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，可得C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1（0≤y≤1）．可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant=，t=．故D的直角坐标为，即（，）．【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
河南省实验中学2014-2015学年高二上学期期中考试 数学(理) Word版含答案
河南省实验中学2014——2015学年上期期中试卷高二 理科数学命题人：李士彬 审题人：李红霞（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．命题“若A ⊆B ，则A ＝B ”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A ．4B ．0C ．2D ．32．在△ABC 中，若a ＝2，b ＝2，A ＝π4，则B 等于 ( )A.π12B.π6C.π6或56πD.π12或1112π 3．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶3∶2，则cos A 的值是 ( ) A ．－14B.14C ．－23D.234．已知x >1，y >1且lg x ＋lg y ＝4，则lg x lg y 的最大值是 ( ) A ．4B ．2C ．1D.145 .设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，x －y ≥－1，y ≥1，则目标函数z ＝4x ＋2y 的最大值为 ( )A ．12B ．10C ．8D ．26. 在ABC ∆中，3B π∠=，三边长a ，b ，c 成等差数列，且6ac =，则b 的值是 （ ）A B C D7．数列{a n }的通项式902+=n na n ，则数列{a n }中的最大项是（ ）A 、第9项B 、第10项和第9项C 、第10项D 、第9项和第8项8．已知等差数列{}n a 中，有011011<+a a ，且该数列的前n 项和n S 有最大值，则使得0n S > 成立的n 的最大值为( ) A ．11B ．20C ． 19D ．21 9 设x ，y 都是正数，且21x y += ，则11x y+的最小值是( )A B C 2+ D 3+10.数列{a n }的首项为1，{b n }是以2为首项，以2为公比的等比数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)则n a =（ ）A ．21n-B ．2n C ．121n +-D ．22n-11.若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项的和为n A ，n B .且4555n n A n B n +=-，则135135b b a a ++= （ ） A.97 B.78 C.2019 D.8712 已知平面区域D 由以()3,1A 、()2,5B 、()1,3C 为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D 上有无穷多个点()y x ,可使目标函数my x z +=取得最小值，则=mA. 2-B. 1-C. 1D. 4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）13．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a 、b 、c 的大小顺序是________．14．已知不等式20x ax b --<的解集为（2，3），则不等式210bx ax -->的解集为___________________.15.把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，则第100个括号内的数为________. 16．在三角形ABC 中，若角A B C 、、所对的三边a 、b 、c 成等差数列，则下列结论中正确的是____________.（把所有正确结论的序号都填上）①b 2≥ac； ②b c a 211≤+； ③2222c a b +≤； ④(0,]3B π∈三、解答题（本大题共6小题，70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题10分）设命题p ：22310x x -+≤，命题2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤，若命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18 （本小题12分）△ABC 在内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin a b C c B =+ （1）求B ；（2）若2b =，求△ABC 面积的最大值。
2014-2015年河南省南阳市高二上学期数学期中试卷带答案(理科)
2014-2015学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知数列，则是它的第（）项．A．19 B．20 C．21 D．222．（5分）在△ABC中，∠A=30°，AB=4，满足此条件的△ABC有两解，则BC边长度的取值范围为（）A．（2，4）B．（2，4） C．（4，+∞）D．（2，4）3．（5分）若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（﹣1，2）D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）4．（5分）已知{a n}为等比数列，下面结论中正确的是（）A．a1+a3≥2a2B．a12+a32≥2a22C．若a1=a3，则a1=a2D．若a3＞a1，则a4＞a25．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知三角形ABC的面积S=，则∠C的大小是（）A．45°B．30°C．90°D．135°6．（5分）对于数列{a n}，定义数列{a n+1﹣a n}为数列a n的“差数列”若a1=1，{a n}的“差数列”的通项公式为3n，则数列{a n}的通项公式a n=（）A．3n﹣1 B．3n+1+2 C．D．7．（5分）在△ABC中，若tanAtanB＞1，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定8．（5分）若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是（）A．48 B．30 C．24 D．169．（5分）若方程x2+ax﹣2=0在区间（1，+∞）上有解，则实数a的取值范围为（）10．（5分）已知数列{a n}为等差数列，若＜﹣1，且它们的前n项和S n有最大值，则使得S n＞0的n的最大值为（）A．21 B．20 C．19 D．1811．（5分）设a＞b＞0，则的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1；b n=（﹣1）n a n（n∈N*）；则数列{b n}的前50项和为（）A．49 B．50 C．99 D．100二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）不等式组的解集为．14．（5分）已知3是9m与3n的等比中项，且m，n均为正数，则+的最小值为．15．（5分）如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为海里/时．16．（5分）已知f（x）是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立．数列{a n}满足a n=f（2n）（n∈N*），且a1=2．则数列的通项公式a n=．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（1）求{a n}的通项公式．（2）若等比数列{b n}满足b1=8，b2=a1+a2+a3，求{b n}的前n项和公式．18．（12分）已知f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．（1）求f（x）的解析式；（2）对于任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，求t的范围．19．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A，B，C成等差数列，△ABC的面积为，（1）求证：a，2，c，成等比数列；（2）求△ABC的周长L的最小值，并说明此时△ABC的形状．20．（12分）某人上午7：00乘汽车以v1千米/小时（30≤v1≤100）匀速从A地出发到距300公里的B地，在B地不作停留，然后骑摩托车以v2千米/小时（4≤v2≤20）匀速从B地出发到距50公里的C地，计划在当天16：00至21：00到达C地．设乘汽车、骑摩托车的时间分别是x，y小时，如果已知所需的经费p=100+3（5﹣x）+2（8﹣y）元，那么v1，v2分别是多少时走的最经济，此时花费多少元？21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知csinA=acosC．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=3sin2A，求△ABC的面积．22．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+na n=（1）求数列{a n}的通项a n；（2）求数列{n2a n}的前n项和T n；（3）若存在n∈N*，使得a n≥（n+1）λ成立，求实数λ的取值范围．2014-2015学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知数列，则是它的第（）项．A．19 B．20 C．21 D．22【解答】解：数列，中的各项可变形为：，，，，，…，∴通项公式为a n==，令=，得，n=21故选：C．2．（5分）在△ABC中，∠A=30°，AB=4，满足此条件的△ABC有两解，则BC边长度的取值范围为（）A．（2，4）B．（2，4） C．（4，+∞）D．（2，4）【解答】解∵三角形ABC有两解，∴ABsin30°＜BC＜4，∴2＜BC＜4，故选：B．3．（5分）若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（﹣1，2）D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）【解答】解：因为不等式ax﹣b＞0的解集是（1，+∞），所以a=b＞0，所以等价于（x+1）（x﹣2）＞0，所以x＜﹣1或x＞2故选：A．4．（5分）已知{a n}为等比数列，下面结论中正确的是（）A．a1+a3≥2a2B．a12+a32≥2a22C．若a1=a3，则a1=a2D．若a3＞a1，则a4＞a2【解答】解：设等比数列的公比为q，则a1+a3=，当且仅当a2，q同为正时，a1+a3≥2a2成立，故A不正确；，∴，故B正确；若a1=a3，则a1=a1q2，∴q2=1，∴q=±1，∴a1=a2或a1=﹣a2，故C不正确；若a3＞a1，则a1q2＞a1，∴a4﹣a2=a1q（q2﹣1），其正负由q的符号确定，故D 不正确故选：B．5．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知三角形ABC的面积S=，则∠C的大小是（）A．45°B．30°C．90°D．135°【解答】解：∵△ABC中，S=absinC，a2+b2﹣c2=2abcosC，且S=，∴absinC=abcosC，整理得：sinC=cosC，即tanC=1，则∠C=45°，故选：A．6．（5分）对于数列{a n}，定义数列{a n+1﹣a n}为数列a n的“差数列”若a1=1，{a n}的“差数列”的通项公式为3n，则数列{a n}的通项公式a n=（）A．3n﹣1 B．3n+1+2 C．D．【解答】解：∵a1=1，a n+1﹣a n=3n，∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=3n﹣1+3n﹣2+…+31+1==．故选：C．7．（5分）在△ABC中，若tanAtanB＞1，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定【解答】解：因为A和B都为三角形中的内角，由tanAtanB＞1，得到1﹣tanAtanB＜0，且得到tanA＞0，tanB＞0，即A，B为锐角，所以tan（A+B）=＜0，则A+B∈（，π），即C都为锐角，所以△ABC是锐角三角形．故选：A．8．（5分）若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是（）A．48 B．30 C．24 D．16【解答】解：满足约束条件的可行域如图所示在坐标系中画出可行域，平移直线5y﹣x=0，经过点B（8，0）时，5y﹣x最小，最小值为：﹣8，则目标函数z=5y﹣x的最小值为﹣8．经过点A（4，4）时，5y﹣x最大，最大值为：16，则目标函数z=5y﹣x的最大值为16．z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是：24．故选：C．9．（5分）若方程x2+ax﹣2=0在区间（1，+∞）上有解，则实数a的取值范围为（）【解答】解：x2+ax﹣2=0在区间（1，+∞）上有解，即a=﹣x在在区间（1，+∞）上有解令y=﹣x，则y′=﹣﹣1＜0对x∈（1，+∞）恒成立，∴y=﹣x在（1，+∞）上是递减函数故y＜y（1）=1，故函数的值域为：（﹣∞，1），故a的取值范围是：（﹣∞，1），故答案为：（﹣∞，1）．10．（5分）已知数列{a n}为等差数列，若＜﹣1，且它们的前n项和S n有最大值，则使得S n＞0的n的最大值为（）A．21 B．20 C．19 D．18【解答】解：由＜﹣1，可得＜0，由它们的前n项和S n有最大可得数列的d＜0，∴a10＞0，a11+a10＜0，a11＜0，∴a1+a19=2a10＞0，a1+a20=a11+a10＜0．∴使得S n＞0的n的最大值n=19．故选：C．11．（5分）设a＞b＞0，则的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：=≥4当且仅当取等号即取等号．∴的最小值为4故选：D．12．（5分）数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1；b n=（﹣1）n a n（n∈N*）；则数列{b n}的前50项和为（）A．49 B．50 C．99 D．100【解答】解：∵数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1，∴a1=s1=3，当n≥2时，a n=S n ﹣s n﹣1=n2+n+1﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）+1]=2n，故a n=．∴b n=（﹣1）n a n =，∴数列{b n}的前50项和为（﹣3+4）+（﹣6+8）+（﹣10+12）+…（﹣98+100）=1+24×2=49，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）不等式组的解集为（1，0]∪[2，3）．【解答】解：不等式组解不等式①得1＜x＜3，解不等式②得x≤0，或x≥2，故不等式组的解集为（1，0]∪[2，3），故答案为；（1，0]∪[2，3），14．（5分）已知3是9m与3n的等比中项，且m，n均为正数，则+的最小值为．【解答】解：∵3是9m与3n的等比中项，∴9m•3n=（3）2，即32m+n=33，即2m+n=3，∴+=（+）（2m+n）=（3+）≥，当且仅当n=m时取等号∴+的最小值为．故答案为：．15．（5分）如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为20（﹣）海里/时．【解答】解：由题意知PM=20海里，∠PMB=15°，∠BMN=30°，∠PNC=45°，∴∠NMP=45°，∠MNA=90°﹣∠BMN=60°，∴∠PNM=105°，∴∠MPN=30°，∵sin105°=sin（60°+45°）=sin60°cos45°+cos60°sin45°=，∴在△MNP中利用正弦定理可得，解得：MN=10（﹣）海里，∴货轮航行的速度v==20（﹣）海里/小时．故答案为：20（﹣）16．（5分）已知f（x）是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立．数列{a n}满足a n=f（2n）（n∈N*），且a1=2．则数列的通项公式a n=n2n．【解答】解：由于a n=f（2n）则a n+1=f（2n+1）且a1=2=f（2）∵对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）∴令x=2n，y=2则f（2n+1）=2n f（2）+2f（2n）=2a n+2×2n∴a n+1∴∴数列{}是以为首项公差为1的等差数列∴∴a n=n2n三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（1）求{a n}的通项公式．（2）若等比数列{b n}满足b1=8，b2=a1+a2+a3，求{b n}的前n项和公式．【解答】解：（1）∵{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0，∴，解得a1=﹣10，d=2，∴a n=﹣10+（n﹣1）×2=2n﹣12．（2）∵等比数列{b n}满足b1=8，b2=a1+a2+a3=﹣10﹣8﹣6=﹣24，∴q===﹣3，∴{b n}的前n项和公式：S n==2﹣2（﹣3）n．18．（12分）已知f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．（1）求f（x）的解析式；（2）对于任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，求t的范围．【解答】解：（1）∵f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．∴2x2+bx+c=0的两根为0，5∴∴b=﹣10，c=0∴f（x）=2x2﹣10x；（2）要使对于任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，只需f（x）max ≤2﹣t即可∵f（x）=2x2﹣10x=2，x∈[﹣1，1]，∴f（x）max=f（﹣1）=12∴12≤2﹣t∴t≤﹣1019．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A，B，C成等差数列，△ABC的面积为，（1）求证：a，2，c，成等比数列；（2）求△ABC的周长L的最小值，并说明此时△ABC的形状．【解答】解（1）证明：∵A、B、C成等差数列，∴B=60°，又△ABC的面积为，∴acsin60°=，即ac=4，∵ac=22，∴a、2、c成等比数列；（2）在△ABC中，根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accos60°=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac=4，∴b≥2，当且仅当a=c时，等号成立，∴△ABC的周长L=a+b+c≥2+b=4+b，当且仅当a=c时，等号成立，∴L≥4+2=6，当且仅当a=c时，等号成立，∴△ABC周长的最小值为6，∵a=c，B=60°，∴此时△ABC为等边三角形．20．（12分）某人上午7：00乘汽车以v1千米/小时（30≤v1≤100）匀速从A地出发到距300公里的B地，在B地不作停留，然后骑摩托车以v2千米/小时（4≤v2≤20）匀速从B地出发到距50公里的C地，计划在当天16：00至21：00到达C地．设乘汽车、骑摩托车的时间分别是x，y小时，如果已知所需的经费p=100+3（5﹣x）+2（8﹣y）元，那么v1，v2分别是多少时走的最经济，此时花费多少元？【解答】解：由题意得，，∵30≤v1≤100，4≤v2≤20∴由题设中的限制条件得9≤x+y≤14于是得约束条件目标函数p=100+3（5﹣x）+2（8﹣y）=131﹣3x﹣2y（6分）做出可行域（如图），当平行移动到过（10，4）点时纵截距最大，此时p最小．所以当x=10，y=4，即v1=30，v2=12.5时，p min=93元（12分）（没有图扣2分）21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知csinA=acosC．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=3sin2A，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵csinA=acosC，∴由正弦定理，得sinCsinA=sinAcosC结合sinA＞0，可得sinC=cosC，得tanC=∵C是三角形的内角，∴C=60°；（Ⅱ）∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sinBcosA，而3sin2A=6sinAcosA∴由sinC+sin（B﹣A）=3sin2A，得sinBcosA=3sinAcosA当cosA=0时，∠A=，可得b==，可得三角△ABC的面积S==当cosA≠0时，得sinB=3sinA，由正弦定理得b=3a…①，∵c=，∠C=60°，c2=a2+b2﹣2abcosC∴a2+b2﹣ab=7…②，联解①①得a=1，b=3，∴△ABC的面积S=absinC=×1×3×sin60°=．综上所述，△ABC的面积等于或．22．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+na n=（1）求数列{a n}的通项a n；（2）求数列{n2a n}的前n项和T n；（3）若存在n∈N*，使得a n≥（n+1）λ成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）因为a1+2a2+3a3+…+na n=所以a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n=（n≥2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1﹣1分）两式相减得na n=所以=3（n≥2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）因此数列{na n}从第二项起，是以2为首项，以3为公比的等比数列所以na n=2•3n﹣2（n≥2）﹣﹣﹣﹣（3分）故a n=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）由（1）可知当n≥2n2a n=2n•3n﹣2当n≥2时，T n=1+4•30+6•31+…+2n•3n﹣2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∴3T n=3+4•31+…+2（n﹣1）•3n﹣2+2n•3n﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）两式相减得（n≥2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）又∵T1=a1=1也满足上式，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）所以T n=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（3）a n≥（n+1）λ等价于λ≤，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）由（1）可知当n≥2时，设f（n）=，则f （n +1）﹣f （n ）=＜0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴，又及，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）∴所求实数λ的取值范围为λ≤﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321DA1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +bx -b-ab 45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．DABFEDCF。
2014-2015学年度高一数学期中试卷(含答案解析)
第1页 共10页 ◎ 第2页 共10页绝密★启用前2014-2015学年度期中卷高一数学考试范围：必修一；考试时间：120分钟；命题人： 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．已知集合{}1,2,3M =，{}2,3,4N =，则 （ ） A ．M N ⊆ B ．N M ⊆ C ．{}1,4MN = D ．{}2,3M N =【答案】D【解析】解：因为根据已知 的集合，可以判定集合间的关系，以及集合的运算，那么显然选项D 成立。
2．设集合}1,0,1{-=M ，},{2a a N =，则使M∩N＝N 成立的a 的值是（ ） A ．1 B ．0 C ．－1 D ．1或－1 【答案】C 【解析】试题分析：由于集合中的元素互不相同，所以20,1a a a a ≠⇒≠≠.又因为M∩N＝N ，所以1a =-. 考点：集合的特征及集合的基本运算. 3．设，则（ ）A ．﹣2＜x ＜﹣1B ．﹣3＜x ＜﹣2C ．﹣1＜x ＜0D ．0＜x ＜1 【答案】A【解析】因为y=3x在R 上单调递增，又，故﹣2＜x ＜﹣1故选A4．若0.90.48 1.54,8,0.5a b c -===则（ ）A .c b a >> B. a c b >> C.b a c >> D.b c a >> 【答案】D【解析】0.9 1.80.48 1.44 1.5 1.542,82.(0.5)2.-===函数2x y =是增函数，1.8 1.5 1.44,>>所以.a c b >>故选D5．函数()f x =的定义域是 A. {x ︱34x >} B. {01x x <≤} C. {1x x ≥} D. {x ︱314x <≤} 【答案】D 【解析】略6．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f xf f +=+=则=)5(f （）A．0B ．1C ．25D ．5【答案】C【解析】令x=-1可得(1)(1)(2)(1)(2),(2)2(1)1,f f f f f f f =-+=-+∴==13(3)(1)(2)122f f f ∴=+=+=,35(5)(3)(2)122f f f =+=+=.7．某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往旅游，他先前进了a km ，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了b km(b <a ), 当他记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进. 则该同学离起点的距离s 与时间t 的函数关系的图象大致为 ( )【答案】C【解析】分析：本题根据运动变化的规律即可选出答案．依据该同学出门后一系列的动作，匀速前往对应的图象是上升的直线，匀速返回对应的图象是下降的直线，等等，从而选出答案． 解答：解：根据他先前进了akm ，得图象是一段上升的直线，DCBA第3页 共10页 ◎ 第4页 共10页由觉得有点累，就休息了一段时间，得图象是一段平行于t 轴的直线，由想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了bkm （b ＜a ），得图象是一段下降的直线， 由记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进，得图象是一段上升的直线， 综合，得图象是C ， 故选C ．点评：本小题主要考查函数的图象、运动变化的规律等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题． 8．函数的单调增区间为（ ）A ．B ．（3，+∞）C ．D ．（﹣∞，2）【答案】D【解析】由题意知，x 2﹣5x+6＞0∴函数定义域为（﹣∞，2）∪（3，+∞），排除A 、C ， 根据复合函数的单调性知的单调增区间为（﹣∞，2），故选D9．若函数()1(0,1)1x mf x a a a =+>≠-是奇函数，则m 为 A.1- B.2 C.1 D.2-【答案】B 【解析】 试题分析：111111x a(),()()xxxm m mf x f x aaa --=+=+-=-+--- 由于函数是奇函数，()(),f x fx ∴-=-即x a (1)1(1)2111x x x x m m m a a a a -+=-+∴=--- 所以2m =，故选：B.考点：函数的奇偶性10． 下列每组中两个函数是同一函数的组数共有（ ） （1）2()1f x x =+和2()1f v v =+(2) y =和y =(3) y=x 和321x xy x +=+ (4) y=和y(A) 1组 (B) 2组 (C) 3组 (D) 4组 【答案】C【解析】根据同意哈函数的定义可知选项A 中定义域和对应关系相同，成立，选项B 中，定义域相同，对应关系相同，选项C 中，相同，选项D 中，定义域不同，故是同一函数的 组数有3组，故选C 11．已知1a >，函数x y a =与log ()a y x =-的图像可能是（ ）【答案】B【解析】试题分析：因为根据1a >,可知指数函数递增函数，排除C ，D 选项，同时在选项A,B 中，由于对数函数log ()a y x =-的图像与log a y x =的图像关于y 轴堆成，那么可知.排除A.正确的选项为B.考点：本题主要是考查同底的指数函数与对数函数图像之间的关系的运用。
2014-2015学年度高一数学检测试题(含参考答案)
2014-2015学年第二学期高一数学试题【考试时间：120分钟，分值：150分】一、选择题：（本大题共10小题，共50分，在下列的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．设 0 < b < a < 1，则下列不等式成立的是（ ）(A) ab < b 2 < 1 (B) log 12 b < log 12 a < 0 (C) 2 b <2 a < 2(D) a 2 < ab < 12．在△ABC 中，a=2 3 ，b=2 2 ，B ＝45°，则A 等于（ ） (A) 30° (B) 60° (C) 60°或 120°(D) 30°或150°3．在△ABC 中∠A = 60︒，b = 1，△ABC 的面积为 3 ，则△ABC 外接圆的直径为（ ） (A)2393(B)2633(C) 3 3(D) 2924．已知,3,2,==⊥b a b a 且b a 23+与b a-λ垂直，则实数λ的值为（ ）)(A ;23- )(B ;23 )(C ;23± )(D ;15．设a ＞1＞b ＞－1,则下列不等式中恒成立的是 ( )A ．ba 11< B ．b a 11> C ．a ＞b 2 D ．a 2＞2b6．不等式组131y x y x ≥-⎧⎪⎨≤-+⎪⎩的区域面积是( )A ．1B ．12 C ． 52 D ． 327. 有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积及体积分别为( )A ．24πcm 2,12πcm 3B ．15πcm 2,12πcm 3C ．24πcm 2,36πcm 3D ．以上都不正确8．在等差数列{a n }中，已知32na n =-，则该数列前20项之和是（ ）A ．295B ．390C ．590D ．7809．等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，当首项a 1和d 变化时，a 2＋a 8＋a 11是一个定值，则下列各数也为定值的是A ．S 7B ．S 8C ．S 13D ．S 1510．如果a 、x 1、x 2、b 成等差数列，a 、y 1、y 2、b 成等比数列，那么1212x x y y +等于（ ） A ．a b a b +- B ．b a ab - C ．ab a b + D ．a bab+二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）11．在等腰三角形ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝1∶2，底边BC ＝10，则△ABC 的周长是__________．12．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于__________． 13．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是__________．14.已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是__________．三、解答题（本大题共6小题，共80分。
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2014-2015学年河南省南阳市高一（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则∁U（M∩N）=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{2，4}D．{1，4}2．（5分）函数的定义域是（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．[﹣1，1）∪（1，+∞）3．（5分）下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）=3﹣x B．f（x）=x2﹣3x C．f（x）=﹣D．f（x）=﹣|x| 4．（5分）若f：A→B能构成映射，下列说法正确的有（）（1）A中的任一元素在B中必须有像且唯一；（2）A中的多个元素可以在B中有相同的像；（3）B中的多个元素可以在A中有相同的原像；（4）B中的任一元素在A中必须有像．A．1个 B．2个 C．3个 D．0个5．（5分）在下列区间中，函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的区间为（）A．（，）B．（﹣，0）C．（0，）D．（，）6．（5分）若a=20.5，b=logπ3，c=log20.5，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a7．（5分）设函数f（x）=，则f（f（2））的值为（）A．3 B．2 C．1 D．08．（5分）函数y=f（x）与y=g（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）•g（x）的图象可能是（A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈（﹣1，0）时，有f（x）=2x，则当x∈（﹣3，﹣2）时，f（x）等于（）A．2x B．﹣2x C．2x+2D．﹣2﹣（x+2）10．（5分）若a∈R，且log a（2a+1）＜log a（3a）＜0，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）11．（5分）若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增加的，又f（3）=0，则不等式＜0的解集为（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞） B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）12．（5分）已知y=f（x）是偶函数，当x＞0时f（x）=（x﹣1）2，若当x∈[﹣2，﹣]时，n≤f（x）≤m恒成立，则m﹣n的最小值为（）A．B．C．D．1二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x．则f （1）=．14．（5分）已知函数，且对于任意的x恒有f（x）≥f（x0），则x0=．15．（5分）若函数f（x）=lg|x﹣1|﹣m有两个零点x1和x2，则x1+x2=．16．（5分）函数y=f（x）是定义在a，b上的增函数，其中a，b∈R且0＜b＜﹣a，已知y=f（x）无零点，设函数F（x）=f2（x）+f2（﹣x），则对于F（x）有以下四个说法：①定义域是[﹣b，b]；②是偶函数；③最小值是0；④在定义域内单调递增．其中正确的有（填入你认为正确的所有序号）三．解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）求值：（1）；（2）．18．（12分）已知集合A={x|﹣4＜x＜2}，B={x|x＜﹣5或x＞1}，C={x|m﹣1＜x＜m+1}．（1）求A∪B，A∩（∁R B）；（2）若B∩C=∅，求实数m的取值范围．19．（12分）某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？20．（12分）已知二次函数f（x）满足f（﹣1）=f（3）=3，f（1）=﹣1（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）在[a﹣1，a+1]上有最小值﹣1，最大值f（a+1），求a的取值范围．21．（12分）已知函数y=f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x＞0时，f（x）＜0恒成立．（1）证明函数y=f（x）在R上的单调性；（2）讨论函数y=f（x）的奇偶性；（3）若f（x2﹣2）+f（x）＜0，求x的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx，（k∈R）为偶函数．（1）求k的值；（2）若方程f（x）=log4（a•2x﹣a）有且只有一个根，求实数a的取值范围．2014-2015学年河南省南阳市高一（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则∁U（M∩N）=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{2，4}D．{1，4}【解答】解：∵M={1，2，3}，N={2，3，4}，∴M∩N={2，3}，则∁U（M∩N）={1，4}，故选：D．2．（5分）函数的定义域是（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．[﹣1，1）∪（1，+∞）【解答】解：由题意可得，∴x≥﹣1且x≠1，故函数的定义域是为：{x|x≥﹣1且x≠1}．故选：D．3．（5分）下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）=3﹣x B．f（x）=x2﹣3x C．f（x）=﹣D．f（x）=﹣|x|【解答】解：∵f（x）=3﹣x在（0，+∞）上为减函数，∴A不正确；∵f（x）=x2﹣3x是开口向上对称轴为x=的抛物线，所以它在（0，+∞）上先减后增，∴B不正确；∵f（x）=﹣在（0，+∞）上y随x的增大而增大，所它为增函数，∴C正确；∵f（x）=﹣|x|在（0，+∞）上y随x的增大而减小，所以它为减函数，∴D不正确．故选：C．4．（5分）若f：A→B能构成映射，下列说法正确的有（）（1）A中的任一元素在B中必须有像且唯一；（2）A中的多个元素可以在B中有相同的像；（3）B中的多个元素可以在A中有相同的原像；（4）B中的任一元素在A中必须有像．A．1个 B．2个 C．3个 D．0个【解答】解：根据映射的定义：给出A，B两个非空集合及一个对应关系f，在对应关系f的作用下，对集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一确定的像与之相对应．若f：A→B能构成映射，那么，A中的任一元素在B中必须有像且唯一，故结论（1）正确，结论（3）不正确；A中的多个元素可以在B中有相同的像，故结论（2）正确．B中的元素未必有原像，结论（4）不正确．故选：B．5．（5分）在下列区间中，函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的区间为（）A．（，）B．（﹣，0）C．（0，）D．（，）【解答】解：∵函数f（x）=e x+4x﹣3∴f′（x）=e x+4当x＞0时，f′（x）=e x+4＞0∴函数f（x）=e x+4x﹣3在（﹣∞，+∞）上为f（0）=e0﹣3=﹣2＜0f（）=﹣1＞0f（）=﹣2=﹣＜0∵f（）•f（）＜0，∴函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的区间为（，）故选：A．6．（5分）若a=20.5，b=logπ3，c=log20.5，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【解答】解：∵20.5＞20=1，0＜logπ3＜logππ=1，log20.5＜log21=0，∴a＞b＞c．故选：A．7．（5分）设函数f（x）=，则f（f（2））的值为（）A．3 B．2 C．1 D．0【解答】解：函数f（x）=，则f（2）==1．f（f（2））=f（1）=2×11﹣1=2．故选：B．8．（5分）函数y=f（x）与y=g（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）•g（x）的图象可能是（A．B．C．D．【解答】解：∵y=f（x）的有两个零点，并且g（x）没有零点；∴函数y=f（x）•g（x）也有两个零点M，N，又∵x=0时，函数值不存在∴y在x=0的函数值也不存在当x∈（﹣∞，M）时，y＜0；当x∈（M，0）时，y＞0；当x∈（0，N）时，y＜0；当x∈（N，+∞）时，y＞0；只有A中的图象符合要求故选：A．9．（5分）已知函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈（﹣1，0）时，有f（x）=2x，则当x∈（﹣3，﹣2）时，f（x）等于（）A．2x B．﹣2x C．2x+2D．﹣2﹣（x+2）【解答】解：令x∈（﹣3，﹣2），则x+2∈（﹣1，0），∵当x∈（﹣1，0）时，有f（x）=2x，∴f（x+2）=2x+2，∵f（x+2）=f（x），∴f（x+2）=f（x）=2x+2，x∈（﹣3，﹣2）．故选：C．10．（5分）若a∈R，且log a（2a+1）＜log a（3a）＜0，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）【解答】解：∵2a+1＞0，3a＞0，当a＞1时，2a+1＜3a＜1，解得：a∈∅；当0＜a＜1时，原不等式可转化为：2a+1＞3a＞1，解得：＜a＜1．故选：D．11．（5分）若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增加的，又f（3）=0，则不等式＜0的解集为（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞） B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）【解答】解：由已知条件知f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，f（﹣x）=﹣f（x），f（3）=f（﹣3）=0；∴由原不等式得，所以：（1），或（2）；∵f（x）在（0，+∞）和（﹣∞，0）上都是增函数；∴解不等式（1）（2）得﹣3＜x＜0或0＜x＜3；∴原不等式的解集为（﹣3，0）∪（0，3）．故选：B．12．（5分）已知y=f（x）是偶函数，当x＞0时f（x）=（x﹣1）2，若当x∈[﹣2，﹣]时，n≤f（x）≤m恒成立，则m﹣n的最小值为（）A．B．C．D．1【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，有f（﹣x）=（﹣x﹣1）2=（x+1）2，原函数是偶函数，故有f（x）=f（﹣x）=（x+1）2，即x＜0时，f（x）=（x+1）2．该函数在[﹣2，﹣]上的最大值为1，最小值为0，依题意n≤f（x）≤m恒成立，∴n≤0，m≥1，即m﹣n≥1．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x．则f（1）=﹣3．【解答】解：∵f（﹣1）=2+1=3∵f（x）是定义在R上的奇函数∴f（﹣1）=﹣f（1）∴f（1）=﹣3故答案为：﹣3．14．（5分）已知函数，且对于任意的x恒有f（x）≥f（x0），则x0=0．【解答】解：∵，∴f′（x）=2x•2•ln2，令f′（x）=2x•2•ln2=0，得x=0．列表，讨论∴函数在x=0处取得极小值f（0）=2．∵函数只有一个极小值，故这个极小值就是函数的最小值．∵函数对于任意的x恒有f（x）≥f（x0），∴f（x）≥f（x）min=f（0），∴x0=0．故答案为：0．15．（5分）若函数f（x）=lg|x﹣1|﹣m有两个零点x1和x2，则x1+x2=2．【解答】解：令g（x）=lg|x﹣1|，画出函数g（x）的图象，如图示：，显然：图象关于直线x=1对称，∴=1，即x1+x2=2，故答案为：2．16．（5分）函数y=f（x）是定义在a，b上的增函数，其中a，b∈R且0＜b＜﹣a，已知y=f（x）无零点，设函数F（x）=f2（x）+f2（﹣x），则对于F（x）有以下四个说法：①定义域是[﹣b，b]；②是偶函数；③最小值是0；④在定义域内单调递增．其中正确的有①②（填入你认为正确的所有序号）【解答】解：根据题意，依次分析4个命题：对于①，对于F（x）=f2（x）+f2（﹣x），有a≤x≤b，a≤﹣x≤b，而又由0＜b＜﹣a，则F（x）=f2（x）+f2（﹣x）中，x的取值范围是﹣b≤x≤b，即其定义域是[﹣b，b]，则①正确；对于②，F（﹣x）=f2（﹣x）+f2（x）=F（x），且其定义域为[﹣b，b]，关于原点对称，则F（x）为偶函数，②正确；对于③，由y=f（x）无零点，假设f（x）=2x，F（x）=22x+2﹣2x=22x+≥2，其最小值为2，故③错误；对于④，由于F（x）是偶函数，则F（x）在[﹣b，0]上与[0，b]上的单调性相反，故F（x）在其定义域内不会单调递增，④错误；故答案为①②．三．解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）求值：（1）；（2）．【解答】解：（1）原式=﹣+（×=﹣+25×=﹣+2=（2）原式=lg（2lg+lg5）+（1﹣lg）（8分）=lg lg10+1﹣lg=1 （10分）18．（12分）已知集合A={x|﹣4＜x＜2}，B={x|x＜﹣5或x＞1}，C={x|m﹣1＜x＜m+1}．（1）求A∪B，A∩（∁R B）；（2）若B∩C=∅，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵集合A={x|﹣4＜x＜2}，B={x|x＜﹣5或x＞1}，∴A∪B={x|x＜﹣5，或x＞﹣4}，又∵∁R B={x|﹣5≤x≤1}，…（4分）∴A∩（∁U B）={x|﹣4＜x≤1}；…（6分）（2）∵B={x|x＜﹣5或x＞1}，C={x|m﹣1＜x＜m+1}，若B∩C=∅，则需，解得，…（10分）故实数m的取值范围为[﹣4，0]．…（12分）19．（12分）某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？【解答】解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，所以这时租出了88辆车．（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为，整理得．所以，当x=4050时，f（x）最大，最大值为f（4050）=307050，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．20．（12分）已知二次函数f（x）满足f（﹣1）=f（3）=3，f（1）=﹣1（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）在[a﹣1，a+1]上有最小值﹣1，最大值f（a+1），求a的取值范围．【解答】解（Ⅰ）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），∵f（﹣1）=f（3）=3，f（1）=﹣1，∴，解之得：a=1，b=﹣2，c=0，∴f（x）=x2﹣2x；（Ⅱ）∵f（x）在[a﹣1，a+1]上有最小值﹣1，最大值f（a+1），f（1）=﹣1，∴函数f（x）的对称轴在区间[a﹣1，a+1]上，a+1离对称轴远，∴，解之得：1≤a≤2，∴a的取值范围为[1，2]．21．（12分）已知函数y=f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x＞0时，f（x）＜0恒成立．（1）证明函数y=f（x）在R上的单调性；（2）讨论函数y=f（x）的奇偶性；（3）若f（x2﹣2）+f（x）＜0，求x的取值范围．【解答】（1）证明：设x1＞x2，则x1﹣x2＞0，而f（a+b）=f（a）+f（b）∴f（x1）﹣f（x2）=f（（x1﹣x2）+x2）﹣f（x2）=f（x1﹣x2）+f（x2）﹣f（x2）=f（x1﹣x2），又当x＞0时，f（x）＜0恒成立，∴f（x1）＜f（x2），∴函数y=f（x）是R上的减函数；（2）由f（a+b）=f（a）+f（b），得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），即f（x）+f（﹣x）=f（0），而f（0）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），即函数y=f（x）是奇函数．（3）（方法一）由f（x2﹣2）+f（x）＜0，得f（x2﹣2）＜﹣f（x），又y=f（x）是奇函数，即f（x2﹣2）＜f（﹣x），又y=f（x）在R上是减函数，∴x2﹣2＞﹣x解得x＞1或x＜﹣2．（方法二））由f（x2﹣2）+f（x）＜0且f（0）=0，得f（x2﹣2+x）＜f（0），又y=f（x）在R上是减函数，∴x2﹣2+x＞0，解得x＞1或x＜﹣2．22．（12分）已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx，（k∈R）为偶函数．（1）求k的值；（2）若方程f（x）=log4（a•2x﹣a）有且只有一个根，求实数a的取值范围．【解答】解：（I）由题意得f（﹣x）=f（x），即，化简得，…（2分）从而4（2k+1）x=1，此式在x∈R上恒成立，∴…（6分）（II）由题意，原方程化为且a•2x﹣a＞0即：令2x=t＞0…（8分）函数y=（1﹣a）t2+at+1的图象过定点（0，1），（1，2）如图所示：若方程（1）仅有一正根，只有如图的三种情况，可见：a＞1，即二次函数y=（1﹣a）t2+at+1的开口向下都可，且该正根都大于1，满足不等式（2），…（10分）当二次函数y=（1﹣a）t2+at+1的开口向上，只能是与x轴相切的时候，此时a＜1且△=0，即也满足不等式（2）综上：a＞1或…（12分）。