第八章 8.7立体几何与空间向量

§8.7 立体几何的综合问题1.直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0. 2.空间中平行、垂直关系的证明方法 (1)利用空间平行、垂直关系的转化： 线线关系线面关系面面关系.(2)利用直线的方向向量和平面的法向量的关系. 3.求两条异面直线所成的角(1)用“平移法”作出异面直线所成角(或其补角). (2)用“向量法”求两直线的方向向量所成的锐角. 4.求直线与平面所成的角(1)按定义作出线面角(即找到斜线在平面内的射影)解三角形. (2)直线与平面所成角的求法设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，a 与n 的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝|a ·n ||a ||n |. 5.求二面角的大小(1)如图①，AB ，CD 分别是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉.(2)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角).题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面的单位法向量是唯一确定的.( × ) (2)若两平面的法向量平行，则两平面平行.( √ ) (3)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.( √ )(4)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( × )(5)两异面直线夹角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2，直线与平面所成角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2，二面角的范围是[0，π].( √ )(6)若二面角α－a －β的两个半平面α，β的法向量n 1，n 2所成角为θ，则二面角α－a －β的大小是π－θ.( × ) 题组二 教材改编2.[P104T2]设u ，v 分别是平面α，β的法向量，u ＝(－2，2，5)，当v ＝(3，－2，2)时，α与β的位置关系为__________；当v ＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________. 答案 α⊥β α∥β解析 当v ＝(3，－2，2)时，u ·v ＝(－2，2，5)·(3，－2，2)＝0得α⊥β. 当v ＝(4，－4，－10)时，v ＝－2u 得α∥β.3.[P111T3]如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON ，AM 的位置关系是________.答案 垂直解析 以A 为原点，分别以AB →，AD →，AA 1→所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.设正方体的棱长为1，则A (0，0，0)，M ⎝⎛⎭⎫0，1，12，O ⎝⎛⎭⎫12，12，0，N ⎝⎛⎭⎫12，0，1， AM →·ON →＝⎝⎛⎭⎫0，1，12·⎝⎛⎭⎫0，－12，1＝0，∴ON 与AM 垂直. 4.[P104T2]已知两平面的法向量分别为m ＝(0，1，0)，n ＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为________. 答案 45°或135° 解析 cos 〈m ，n 〉＝m·n|m||n |＝11·2＝22，即〈m ，n 〉＝45°. ∴两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°. 题组三 易错自纠5.直线l 的方向向量a ＝(1，－3，5)，平面α的法向量n ＝(－1，3，－5)，则有( ) A.l ∥α B.l ⊥α C.l 与α斜交 D.l ⊂α或l ∥α答案 B解析 由a ＝－n 知，n ∥a ，则有l ⊥α，故选B.6.已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l与α所成的角为________.答案 30°解析 设l 与α所成角为θ，∵cos 〈m ，n 〉＝－12，∴sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝12，∵0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.题型一 证明平行或垂直问题1.(2018·台州调研)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A.相交B.平行C.垂直D.MN 在平面BB 1C 1C 内答案 B解析 以点C 1为坐标原点，分别以C 1B 1，C 1D 1，C 1C 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由于A 1M ＝AN ＝2a 3，则M ⎝⎛⎭⎫a ，2a 3，a 3，N ⎝⎛⎭⎫2a 3，2a 3，a ，MN →＝⎝⎛⎭⎫－a 3，0，2a 3. 又C 1D 1⊥平面BB 1C 1C ，所以C 1D 1→＝(0，a ，0)为平面BB 1C 1C 的一个法向量. 因为MN →·C 1D 1→＝0，所以MN →⊥C 1D 1→，又MN ⊄平面BB 1C 1C ，所以MN ∥平面BB 1C 1C .2.(2010·浙江)设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( ) A.若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥α B.若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α C.若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m D.若l ∥α，m ∥α，则l ∥m答案 B解析 对于A ，由l ⊥m 及m ⊂α，可知l 与α的位置关系有平行、相交或在平面内三种，故A 不正确.B 正确.对于C ，由l ∥α，m ⊂α知，l 与m 的位置关系为平行或异面，故C 不正确.对于D ，由l ∥α，m ∥α知，l 与m 的位置关系为平行、异面或相交，故D 不正确.3.如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°.点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，P A ＝AC ＝4，AB ＝2.求证：MN ∥平面BDE .证明 如图，以A 为原点，分别以AB →，AC →，AP →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.由题意，可得A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，4，0)，P (0，0，4)，D (0，0，2)，E (0，2，2)，M (0，0，1)，N (1，2，0). DE →＝(0，2，0)，DB →＝(2，0，－2). 设n ＝(x ，y ，z )为平面BDE 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝0，n ·DB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，2x －2z ＝0.不妨设z ＝1，可得n ＝(1，0，1).又MN →＝(1，2，－1)，可得MN →·n ＝0. 因为MN ⊄平面BDE ，所以MN ∥平面BDE .4.如图所示，已知四棱锥P —ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ，侧面PBC ⊥底面ABCD .证明：(1)P A ⊥BD ；(2)平面P AD ⊥平面P AB .证明 (1)取BC 的中点O ，连接PO ，∵平面PBC ⊥底面ABCD ，△PBC 为等边三角形， 平面PBC ∩底面ABCD ＝BC ，PO ⊂平面PBC ， ∴PO ⊥底面ABCD .以BC 的中点O 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，过点O 与AB 平行的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.不妨设CD ＝1，则AB ＝BC ＝2，PO ＝3，∴A (1，－2，0)，B (1，0，0)，D (－1，－1，0)，P (0，0，3)，∴BD →＝(－2，－1，0)，P A →＝(1，－2，－3). ∵BD →·P A →＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－3)＝0， ∴P A →⊥BD →，∴P A ⊥BD .(2)取P A 的中点M ，连接DM ，则M ⎝⎛⎭⎫12，－1，32.∵DM →＝⎝⎛⎭⎫32，0，32，PB →＝(1，0，－3)，∴DM →·PB →＝32×1＋0×0＋32×(－3)＝0，∴DM →⊥PB →，即DM ⊥PB .∵DM →·P A →＝32×1＋0×(－2)＋32×(－3)＝0，∴DM →⊥P A →，即DM ⊥P A .又∵P A ∩PB ＝P ，P A ，PB ⊂平面P AB ， ∴DM ⊥平面P AB .∵DM ⊂平面P AD ，∴平面P AD ⊥平面P AB .思维升华 (1)证明平行或垂直问题要以两条直线的平行或垂直为基础，灵活转化线线、线面、面面的关系.(2)利用向量法证明平行、垂直问题时，要充分应用直线的方向向量和平面的法向量，将空间线面关系转化为向量的关系. 题型二 空间角的计算命题点1 求直线和平面所成的角例1 (2018·温州高考适应性测试)如图，在四面体ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝33BD ＝12AD ＝1，平面ABD ⊥平面CBD .(1)求AC 的长；(2)点E 是线段AD 的中点，求直线BE 与平面ACD 所成角的正弦值. 解 (1)∵AB ＝1，BD ＝3，AD ＝2， ∴AD 2＝AB 2＋BD 2，即AB ⊥BD .又平面ABD ⊥平面CBD ，平面ABD ∩平面CBD ＝BD ，AB ⊂平面ABD ， ∴AB ⊥平面CBD ，∴AB ⊥BC ， ∵AB ＝BC ＝1，∴AC ＝ 2.(2)方法一 由(1)可知AB ⊥平面CBD ，如图，过点B 作BG ⊥DC 的延长线于点G ，连接AG ，则有CD ⊥平面ABG ， ∴平面AGD ⊥平面ABG ， 过点B 作BH ⊥AG 于点H ， 平面AGD ∩平面ABG ＝AG ， ∴BH ⊥平面AGD ，连接HE ，则∠BEH 为直线BE 与平面ACD 所成的角. 由BC ＝CD ＝1，BD ＝3，易得∠BCD ＝120°， ∴BG ＝32.又AB ＝1， ∴AG ＝72，BH ＝217. 又BE ＝12AD ＝1，∴sin ∠BEH ＝BH BE ＝217，即直线BE 与平面ACD 所成角的正弦值为217.方法二 在平面BCD 上作BF ⊥BC ，分别以B 为原点，BC ，BF ，BA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则有C (1，0，0)，D ⎝⎛⎭⎫32，32，0，A (0，0，1)，设平面ACD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∵AC →＝(1，0，－1)，CD →＝⎝⎛⎭⎫12，32，0，又⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·CD →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝0，12x ＋32y ＝0，令y ＝－1，则x ＝z ＝3，∴n ＝(3，－1，3)是平面ACD 的一个法向量. 又BE →＝⎝⎛⎭⎫34，34，12，设直线BE 与平面ACD 所成的角为θ， ∴sin θ＝|cos 〈BE →，n 〉|＝|BE →·n ||BE →||n |＝31×7＝217.命题点2 求二面角例2 (2018·浙江名校(诸暨中学)交流卷四)如图，已知△ABC 为等边三角形，M 为AB 的中点，AA 1，BB 1分别垂直平面ABC 于点A ，B ，AA 1＝AB ，BB 1＝12AB ，MN ⊥A 1B 1，垂足为N .(1)求证：CN ⊥A 1B 1；(2)求平面ABC 与平面A 1B 1C 所成的锐二面角的正切值.(1)证明 因为AA 1，BB 1分别垂直平面ABC 于点A ，B ，所以平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ， 又M 为AB 的中点，所以CM ⊥AB ， 于是CM ⊥平面A 1ABB 1，所以CM ⊥A 1B 1. 又因为MN ⊥A 1B 1，CM ∩MN ＝M ，所以A 1B 1⊥平面CMN ，又CN ⊂平面CMN ， 所以A 1B 1⊥CN .(2)解 方法一 如图，延长AB ，A 1B 1相交于点D ，连接CD ，则CD 为所求二面角的棱.因为BB 1＝12AA 1，BB 1∥AA 1，所以DB DA ＝12，于是BD ＝BC ＝BA ，于是∠ACD ＝90°，即CD ⊥CA . 又因为CD ⊥AA 1，CA ∩AA 1＝A ， 所以CD ⊥平面AA 1C ，所以CD ⊥CA 1. 于是∠A 1CA 即为所求二面角的平面角.在Rt △A 1AC 中，AA 1＝AB ＝AC ，所以∠A 1CA ＝45°， 所以tan ∠A 1CA ＝1.综上，平面ABC 与平面A 1B 1C 所成的锐二面角的正切值为1.方法二 如图，以M 为原点，MA 为x 轴，MC 为y 轴建立空间直角坐标系，设AB ＝2.则C (0，3，0)，A 1(1，0，2)，B 1(－1，0，1)，CA 1→＝(1，－3，2)，A 1B 1――→＝(－2，0，－1)， 设平面A 1B 1C 的法向量为n 1＝(x ，y ，z ). 由CA 1→·n 1＝0，A 1B 1――→·n 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋2z ＝0，－2x －z ＝0，取x ＝1，则y ＝－3，z ＝－2， 故n 1＝(1，－3，－2). 设所求二面角的大小为θ，又平面ABC 的一个法向量为n 2＝(0，0，1). 所以cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝222＝22，所以tan θ＝1. 思维升华 (1)利用定义法计算空间角的三步曲：一作二证三计算.(2)利用向量法求角时，可利用基底法或建立空间直角坐标系，要注意两个向量的夹角和所求角的关系.跟踪训练 (2018·宁波模拟)如图，四边形ABCD 为梯形，AB ∥CD ，∠C ＝60°，点E 在线段CD 上，满足BE ⊥CD ，且CE ＝AB ＝14CD ＝2，现将△ADE 沿AE 翻折到△AME 位置，使得MC ＝210.(1)证明：AE ⊥MB ；(2)求直线CM 与平面AME 所成角的正弦值.(1)证明 方法一 在梯形ABCD 中，连接BD 交AE 于点N ，由条件易得BD ＝43， ∴BC 2＋BD 2＝CD 2，故BC ⊥BD . 又BC ∥AE ，∴AE ⊥BD ，从而AE ⊥BN ，AE ⊥MN ，且BN ∩MN ＝N ， ∴AE ⊥平面MNB ，又MB ⊂平面MNB ，∴AE ⊥MB .方法二 由ME ＝DE ＝6，CE ＝2，MC ＝210， 得ME 2＋CE 2＝MC 2，故CE ⊥ME . 又CE ⊥BE ，且ME ∩BE ＝E ， ∴CE ⊥平面BEM .∵MB ⊂平面BEM ，∴CE ⊥MB ， 又AB ∥CE ，∴AB ⊥MB . 易得AM ＝AD ＝27， 则在Rt △ABM 中，MB ＝26，又BE ＝23，∴ME 2＝MB 2＋BE 2，故BE ⊥MB . 又AB ∩BE ＝B ，∴MB ⊥平面ABE ， 又AE ⊂平面ABE ，∴AE ⊥MB .(2)解 方法一 设直线MC 与平面AME 所成角为θ， 则sin θ＝hMC ，其中h 为点C 到平面AME 的距离.∵AE ∥BC ，∴点C 到平面AME 的距离即为点B 到平面AME 的距离. 由V M —ABE ＝13S △ABE ·MB ＝V B —AME ＝13S △AME ·h ，得h ＝S △ABE ·MB S △AME ＝263，∴sin θ＝h MC ＝1515.方法二 ∵MB ⊥平面ABCE ，∴建立空间直角坐标系如图所示，则A (0，2，0)，C (23，－2，0)，E (23，0，0)，M (0，0，26)， 则AM →＝(0，－2，26)，AE →＝(23，－2，0)，MC →＝(23，－2，－26). 设平面AME 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·AM →＝0，m ·AE →＝0，可取m ＝(2，6，1).设直线CM 与平面AME 所成角为θ， 则sin θ＝|cos 〈m ，MC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ·MC →|m ||MC →|＝1515.利用空间向量求空间角例 (15分)如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，侧面PCD 为正三角形且二面角P —CD —A 的大小为60°.(1)设侧面P AD 与侧面PBC 的交线为m ，求证：m ∥BC ； (2)设直线AB 与侧面PBC 所成的角为θ，求sin θ的值.思维点拨 本题主要考查线线平行的证明，线面角的正弦值的求法以及空间中线线、线面、面面间的位置关系等，意在考查考生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算. 规范解答(1)证明 因为BC ∥AD ，BC ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，所以BC ∥侧面P AD . 又侧面P AD ∩侧面PBC ＝m ，所以m ∥BC .[5分](2)解 方法一 取CD 的中点M ，AB 的中点N ，连接PM ，MN ，则PM ⊥CD ，MN ⊥CD .所以∠PMN 是侧面PCD 与底面ABCD 所成二面角的平面角， 从而∠PMN ＝60°.作PO ⊥MN 于点O ，则PO ⊥底面ABCD . 因为CM ＝2，所以PM ＝23， 所以OM ＝3，OP ＝3.[9分]以O 为原点，ON 所在直线为x 轴，OP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A (4－3，－2，0)，B (4－3，2，0)，C (－3，2，0)，P (0，0，3)，AB →＝(0，4，0)，PB →＝(4－3，2，－3)，PC →＝(－3，2，－3). 设n ＝(x ，y ，z )是平面PBC 的法向量，则⎩⎨⎧(4－3)x ＋2y －3z ＝0，－3x ＋2y －3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，2y ＝3z .取n ＝(0，3，2).则sin θ＝|cos 〈n ，AB →〉|＝1213×4＝31313.[15分]方法二 如图，取CD 的中点M ，AB 的中点N ，连接PM ，MN ，则PM ⊥CD ，MN ⊥CD ，所以∠PMN 是侧面PCD 与底面ABCD 所成二面角的平面角，从而∠PMN ＝60°. 作PO ⊥MN 于点O ，则PO ⊥底面ABCD . 因为CM ＝2，所以PM ＝23，所以OP ＝3.[9分] 作OE ∥AB 交BC 于点E ，连接PE . 因为BC ⊥PO ，BC ⊥OE ，OP ∩OE ＝O ， 所以BC ⊥平面POE . 从而平面POE ⊥平面PBC .所以∠PEO 就是直线OE 即直线AB 与平面PBC 所成的角. 所以∠PEO ＝θ.在Rt △POE 中，tan θ＝PO OE ＝32，故sin θ＝31313.[15分]利用向量求空间角的步骤第一步：建立空间直角坐标系，确定点的坐标； 第二步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标； 第三步：计算向量的夹角(或函数值)，并转化为所求角.1.若直线l 的方向向量为a ＝(1，0，2)，平面α的法向量为n ＝(－2，1，1)，则( )A.l ∥αB.l ⊥αC.l ⊂α或l ∥αD.l 与α斜交答案 C解析 ∵a ＝(1，0，2)，n ＝(－2，1，1)， ∴a ·n ＝0，即a ⊥n ，∴l ∥α或l ⊂α.2.如图，在空间直角坐标系中，有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1所成角的余弦值为( )A.55 B.53 C.56 D.54答案 A解析 设CA ＝2，则C (0，0，0)，A (2，0，0)，B (0，0，1)，C 1(0，2，0)，B 1(0，2，1)，可得向量AB 1→＝(－2，2，1)，BC 1→＝(0，2，－1)，由向量的夹角公式得cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝AB 1→·BC 1→|AB 1→||BC 1→|＝0＋4－14＋4＋1×0＋4＋1＝15＝55，故选A.3.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( ) A.12 B.23 C.33 D.22 答案 B解析 以A 为原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，设棱长为1，则A 1(0，0，1)，E ⎝⎛⎭⎫1，0，12，D (0，1，0)， ∴A 1D →＝(0，1，－1)，A 1E →＝⎝⎛⎭⎫1，0，－12. 设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ A 1D →·n 1＝0，A 1E →·n 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ y －z ＝0，1－12z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝2，∴n 1＝(1，2，2).∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23，即所成的锐二面角的余弦值为23.4.(2018·金华模拟)如图，平面α⊥β，α∩β＝l ，A ∈α，B ∈β，A ，B 到l 的距离分别是a 和b ，AB 与α，β所成的角分别是θ和φ，线段AB 在α，β内的射影长分别是m 和n ，若a >b ，则()A.θ>φ，m >nB.θ>φ，m <nC.θ<φ，m <nD.θ<φ，m >n答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧AB 2＝a 2＋n 2＝b 2＋m 2，a >b ，tan φ＝a n，tan θ＝b m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m >n ，θ<φ，故选D.5.已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，AB ＝AA 1＝2，则异面直线AB 1与CA 1所成角的余弦值为( )A.0B.－14C.14D.12答案 C解析 以A 为原点，在平面ABC 内过A 作AC 的垂线为x 轴，以AC 所在直线为y 轴，以AA 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B 1(3，1，2)，A 1(0，0，2)，C (0，2，0)， AB 1→＝(3，1，2)，A 1C →＝(0，2，－2)， 设异面直线AB 1和A 1C 所成的角为θ， 则cos θ＝|AB 1→·A 1C →||AB 1→||A 1C →|＝|－2|8×8＝14.∴异面直线AB 1和A 1C 所成的角的余弦值为14.6.(2018·宁波十校高三适应性考试)如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点P 是棱AB 上的动点(P 点可以运动到端点A 和B )，设在运动过程中，平面PDB 1与平面ADD 1A 1所成的最小角为α，则cos α等于( )A.22 B.23 C.33 D.63答案 D解析 以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，AP ＝a (0≤a ≤1)，则易得D (0，0，0)，P (1，a ，0)，B 1(1，1，1)，则DP →＝(1，a ，0)，DB 1→＝(1，1，1)，设平面PDB 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧DP →·n ＝x ＋ay ＝0，DB 1→·n ＝x ＋y ＋z ＝0， 令x ＝a ，得平面PDB 1的一个法向量为n ＝(a ，－1，－a ＋1)，易得平面ADD 1A 1的一个法向量为m ＝(0，1，0)，由图易得平面PDB 1与平面ADD 1A 1所成的二面角为锐角，设其为θ，则其余弦值为cos θ＝⎪⎪⎪⎪n·m |n||m |＝|－1|a 2＋(－1)2＋(－a ＋1)2＝12⎝⎛⎭⎫a －122＋32，易得当二面角取得最小值α时，a ＝12，此时有cos α＝63，故选D.7.在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CP 的中点，AB ＝AC ＝1，P A ＝2，则直线P A 与平面DEF 所成角的正弦值为________. 答案55解析 以A 为原点，AB ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由AB ＝AC ＝1，P A ＝2，得A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (0，1，0)，P (0，0，2)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0， E ⎝⎛⎭⎫12，12，0，F ⎝⎛⎭⎫0，12，1. ∴P A →＝(0，0，－2)，DE →＝⎝⎛⎭⎫0，12，0，DF →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，1. 设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝0，n ·DF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，－x ＋y ＋2z ＝0.取z ＝1，则n ＝(2，0，1)，设直线P A 与平面DEF 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n ，P A →〉|＝|P A →·n ||P A →||n |＝55，∴直线P A 与平面DEF 所成角的正弦值为55. 8.如图，在正方形ABCD 中，EF ∥AB ，若沿EF 将正方形折成一个二面角后，AE ∶ED ∶AD ＝1∶1∶2，则AF 与CE 所成角的余弦值为________.答案 45解析 ∵AE ∶ED ∶AD ＝1∶1∶2，∴AE ⊥ED ，即AE ，DE ，EF 两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝EF ＝CD ＝2，则E (0，0，0)，A (1，0，0)，F (0，2，0)，C (0，2，1)，∴AF →＝(－1，2，0)，EC →＝(0，2，1)， ∴cos 〈AF →，EC →〉＝AF →·EC →|AF →||EC →|＝45，∴AF 与CE 所成角的余弦值为45.9.如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是__________.答案 60°解析 以B 点为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，BB 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.设AB ＝BC ＝AA 1＝2，则C 1(2，0，2)，E (0，1，0)，F (0，0，1)， 则EF →＝(0，－1，1)，BC 1→＝(2，0，2)， ∴EF →·BC 1→＝2，∴cos 〈EF →，BC 1→〉＝EF →·BC 1→|EF →||BC 1→|＝22×22＝12，∵异面直线所成角的范围是(0°，90°]， ∴EF 和BC 1所成的角为60°.10.已知点E ，F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则平面AEF 与平面ABC 所成的锐二面角的正切值为________. 答案23解析 方法一 延长FE ，CB 相交于点G ，连接AG ，如图所示.设正方体的棱长为3，则GB ＝BC ＝3，作BH ⊥AG 于点H ，连接EH ，则∠EHB 为所求锐二面角的平面角. ∵BH ＝322，EB ＝1，∴tan ∠EHB ＝EB BH ＝23.方法二 如图，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz ，设DA ＝1，由已知条件得A (1，0，0)，E ⎝⎛⎭⎫1，1，13，F ⎝⎛⎭⎫0，1，23，AE →＝⎝⎛⎭⎫0，1，13， AF →＝⎝⎛⎭⎫－1，1，23， 设平面AEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AF →＝0，得⎩⎨⎧y ＋13z ＝0，－x ＋y ＋23z ＝0.令y ＝1，z ＝－3，x ＝－1，则n ＝(－1，1，－3)， 取平面ABC 的法向量为m ＝(0，0，－1)， 设平面AEF 与平面ABC 所成的锐二面角为θ， 则cos θ＝|cos 〈n ，m 〉|＝31111，tan θ＝23. 11.(2018·嘉兴基础测试)如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为菱形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ＝2，E 为CD 的中点，∠ABC ＝60°.(1)求证：AE ⊥平面P AB ；(2)求直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值.(1)证明 由题易知∠ADE ＝∠ABC ＝60°，AD ＝CD ，E 是CD 的中点，∴AE ⊥CD . 又AB ∥CD ，∴AE ⊥AB .∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AE ，又P A ∩AB ＝A ， ∴AE ⊥平面P AB .(2)解 方法一 连接PE ，过点A 作AH ⊥PE 于点H (图略). ∵CD ⊥EA ，CD ⊥P A ，EA ∩P A ＝A ， ∴CD ⊥平面P AE ，∴CD ⊥AH .又AH ⊥PE ，CD ∩PE ＝E ，CD ，PE ⊂平面PCD ， ∴AH ⊥平面PCD .∴∠AEP 为直线AE 与平面PCD 所成的角. 在Rt △P AE 中，P A ＝2，AE ＝3，∴PE ＝7， ∴sin ∠AEP ＝P A PE ＝27＝277，∴直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值为277.方法二 以A 为坐标原点，AB ，AE ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，P (0，0，2)，E (0，3，0)，C (1，3，0)，D (－1，3，0)， ∴AE →＝(0，3，0)，PC →＝(1，3，－2)，DC →＝(2，0，0). 设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧PC →·n ＝0，DC →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －2z ＝0，2x ＝0，令y ＝1，则n ＝⎝⎛⎭⎫0，1，32为平面PCD 的一个法向量， 设直线AE 与平面PCD 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈AE →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AE →·n |AE →|·|n |＝277. ∴直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值为277.12.(2018·浙江“七彩阳光”联盟联考)如图，四边形ABCD 为正方形，四边形PDCE 为直角梯形，PD ∥CE ，∠PDC ＝90°，平面ABCD ⊥平面PDCE ，且PD ＝AD ＝2EC ＝2.(1)若PE 和DC 的延长线交于点F ，求证：BF ∥平面P AC ；(2)若Q 为EC 边上的动点，求直线BQ 与平面PDB 所成角的正弦值的最小值. (1)证明 ∵在梯形PDCE 中，PD ＝2EC ， ∴C 为DF 的中点，∴CF ＝CD ＝AB ，又AB ∥CF ，∴四边形ABFC 为平行四边形，∴BF ∥AC ，又AC ⊂平面P AC ，BF ⊄平面P AC ， ∴BF ∥平面P AC .(2)解 方法一 设点Q 在平面PBD 上的射影为O ，连接OQ ，OB (图略)，则∠QBO 为直线BQ 与平面PDB 所成的角.∵EC ∥PD ，EC ⊄平面PBD ，∴EC ∥平面PBD . ∵四边形ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD ，又平面ABCD ⊥平面PDCE ，平面ABCD ∩平面PDCE ＝CD ，PD ⊥DC ，PD ⊂平面PDCE ， ∴PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AC ， 又∵BD ∩PD ＝D ，∴AC ⊥平面PBD ， ∴点C 到平面PBD 的距离为 2. ∵EC ∥平面PBD ，∴点Q 到平面PBD 的距离OQ ＝ 2. 令CQ ＝k (0≤k ≤1)，∴BQ ＝k 2＋4， ∴sin ∠QBO ＝OQBQ＝2k 2＋4≥212＋4＝105.故直线BQ 与平面PDB 所成角的正弦值的最小值为105. 方法二 ∵平面ABCD ⊥平面PDCE ，平面ABCD ∩平面PDCE ＝CD ，PD ⊥DC ，PD ⊂平面PDCE ，∴PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥DA .以D 为坐标原点，DA →，DC →，DP →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，易知A (2，0，0)，C (0，2，0)，B (2，2，0)，平面PDB 的一个法向量为AC →＝(－2，2，0)，设Q (0，2，t )(0≤t ≤1)，∴BQ →＝(－2，0，t )，记直线BQ 与平面PDB 所成的角为α， ∴sin α＝|BQ →·AC →||BQ →||AC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪48t 2＋4≥212＋4＝105.故直线BQ 与平面PDB 所成角的正弦值的最小值为105.13.(2019·金华模拟)已知点P 是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1表面上一动点，且满足P A ＝2PB ，设PD 1与平面ABCD 所成的角为θ，则θ的最大值为( )A.π4B.π3C.π6D.π2 答案 A解析 以B 为坐标原点，BC ，BA ，BB 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，P (x ，y ，z )，则A (0，2，0)，因为P A ＝2PB ， 所以(x －0)2＋(y －2)2＋(z －0)2＝2x 2＋y 2＋z 2，即x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋232＋z 2＝169，所以点P 的轨迹为以点Q ⎝⎛⎭⎫0，－23，0为球心，43为半径的球与正方体表面的交线，即为如图的EMG 、GSF 、ENF ，要使得PD 1与底面ABCD 所成的角最大，则PD 1与底面ABCD 的交点R 到点D 的距离最短，从而点P 在ENF 上，且在QD 上，则DP ＝DQ －43＝103－43＝2，从而tan θ的最大值为1，故θ的最大值为π4.14.(2018·浙江名校联盟联考)在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC ＝π2，AB ＝AC ＝AA 1＝1，已知G 和E 分别为A 1B 1和CC 1的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点)，若GD ⊥EF ，则线段DF 的长度的取值范围为____________. 答案 ⎣⎡⎭⎫55，1解析 如图，以A 为坐标原点，AB →，AC →，AA 1→的方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系Axyz ，则E ⎝⎛⎭⎫0，1，12，G ⎝⎛⎭⎫12，0，1，令D (0，b ，0)，F (a ，0，0)，0<a <1，0<b <1， 则DG →＝⎝⎛⎭⎫12，－b ，1，EF →＝⎝⎛⎭⎫a ，－1，－12， ∵DG →⊥EF →，∴DG →·EF →＝0，∴12a ＋b －12＝0，即a ＝1－2b ，而0<a <1，∴0<b <12， ∴DF ＝a 2＋b 2＝(1－2b )2＋b 2＝5b 2－4b ＋1＝5⎝⎛⎭⎫b －252＋15， ∴当b ＝25时，DF 取得最小值55，又0<b <12，∴DF <1，故DF 的取值范围是⎣⎡⎭⎫55，1.15.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝2，点P 为△BDC 1内一点(不含边界)，则△A 1PC 1不可能为( )A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形答案 A解析连接AC与BD交于点O，连接A1O，C1O，A1B，A1D，依题意得，AC⊥BD，AA1⊥BD，又AC∩AA1＝A，∴BD⊥平面AA1C1C.∴BD⊥A1O，BD⊥C1O，故∠A1OC1为二面角A1－BD －C1的平面角.易知A1O＝C1O＝2，A1C1＝22，由勾股定理的逆定理，知∠A1OC1＝90°，故平面A1BD⊥平面C1BD.连接PO，若∠A1PC1为直角，即A1P⊥PC1，又A1O⊥PC1，A1P∩A1O ＝A1，∴C1P⊥平面POA1，则C1P⊥PO，此时P在△BDC1内的一段圆弧(该圆弧所在的圆的直径为C1O)上，符合题意；当P在OC1上时，△A1PC1为钝角三角形；当P无限接近B或D 时，△A1PC1为锐角三角形；若△A1PC1为等腰三角形，∵A1C1＝22，BC1＝6，当A1C1为等腰三角形A1PC1的一个腰时，C1P，A1P均不可能为22，不符合题意，当A1C1为等腰三角形A1PC1的底边时，点P与A1C1中点的连线必垂直于A1C1，此时，在△BDC1内部不存在这样的点P.故选A.16.(2018·杭州地区四校联考)如图，在四棱锥P—ABCD中，P A⊥平面ABCD，P A＝AD＝2，BC＝CD＝AB＝1，AD∥BC.(1)若M是PD的中点，证明：CM∥平面P AB.(2)若∠DAB＝60°，PD上是否存在一点E，使得直线BE与平面PCD所成角的正弦值为42 14？若存在，求出点E在直线PD上的位置；若不存在，请说明理由.(1)证明 如图，取AP 的中点F ，连接MF ，BF .则MF ∥AD ，MF ＝12AD ，又BC ∥AD ，BC ＝12AD ，所以MF ∥BC ，MF ＝BC ， 所以四边形MFBC 是平行四边形， 所以CM ∥BF ，又BF ⊂平面P AB ，CM ⊄平面P AB ， 所以CM ∥平面P AB .(2)解 假设存在满足条件的点E .方法一 如图，过点B 作BH ⊥平面PCD ，连接EH ，则∠BEH 即直线BE 与平面PCD 所成的角.连接BD ，易知S △BCD ＝12×1×1×sin 120°＝34，V P —BCD ＝13×34×2＝36.连接AC ，易知AC ＝3，在△PCD 中，PC ＝P A 2＋AC 2＝4＋3＝7，PD ＝22，CD ＝1，所以PC 2＋CD 2＝PD 2，所以PC ⊥CD ，所以S △CPD ＝12×7×1＝72.因为V P —BCD ＝V B —PCD ， 所以36＝13×72×BH ， 可得BH ＝37＝217，由sin ∠BEH ＝BH BE ＝217BE ＝4214，得BE ＝2，在△PBD 中，PB ＝5，BD ＝3，PD ＝22， 所以PB 2＋BD 2＝PD 2， 所以PB ⊥BD ， 所以cos ∠BPD ＝PB PD ＝104. 又BE 2＝PB 2＋PE 2－2PB ·PE ·cos ∠BPE ， 即2＝5＋PE 2－2×5×PE ×104， 所以PE ＝2或322，又PD ＝22，所以当E 是线段PD 的中点或是线段PD 的靠近点D 的四等分点时，直线BE 与平面PCD 所成角的正弦值为4214. 方法二 建立如图所示的空间直角坐标系，其中O ，G ，N 分别为AD ，BC ，PD 的中点，则B ⎝⎛⎭⎫32，－12，0，D (0，1，0)，P (0，－1，2)，C ⎝⎛⎭⎫32，12，0，所以PC →＝⎝⎛⎭⎫32，32，－2，PD →＝(0，2，－2)，BP →＝⎝⎛⎭⎫－32，－12，2， 设PE →＝λPD →＝(0，2λ，－2λ)，BE →＝BP →＋PE →＝⎝⎛⎭⎫－32，2λ－12，2－2λ， |BE →|＝34＋⎝⎛⎭⎫2λ－122＋(2－2λ)2＝8λ2－10λ＋5.设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧PC →·n ＝0，PD →·n ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 32x ＋32y －2z ＝0，2y －2z ＝0，令y ＝1，则z ＝1，x ＝33， 所以n ＝⎝⎛⎭⎫33，1，1为平面PCD 的一个法向量，|n |＝73， 设直线BE 与平面PCD 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，BE →〉|＝|n ·BE →||n ||BE →|＝⎪⎪⎪⎪－32×33＋2λ－12＋2－2λ738λ2－10λ＋5＝4214， 解得λ＝12或34， 所以当点E 是线段PD 的中点或是线段PD 的靠近点D 的四等分点时，直线BE 与平面PCD 所成角的正弦值为4214.。