面面垂直的定义和判定
面面垂直判定定理
C D
面面 垂直
例1.A是Δ BCD所在平面外一点，AB=AD，BC=CD,E是BD 的中点，求证：平面AEC⊥平面BCD
A
B E
C
D
例2 如图,AB是 ⊙O的直径,PA垂直于⊙O 所在的平面,C是 圆周上不同于A,B的任意 一点,求证:平面PAC⊥平面PBC. 证明: 设已知⊙O平面为α PA 面 , BC 面
A A O
l
O B
B
哪个对?怎么画才对?
10
(4)二面角的范围
[0 ,180 ]
A
。
。
(5)直二面角 平面角为直角的二面角 叫做直二面角
B
归纳：求二面角大小的步骤为：
（1）找出或作出二面角的平面角；
（2）证明其符合定义(垂直于棱)；
（
两个平面相交,如果它们所成的二 面角是直二面角，就说这两个平面 相互垂直.
记作:
(1)除了定义之外,如何判定两个平面 互相垂直呢? (2)日常生活中平面与平面垂直的例子?
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
面面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直
l α l 符号表示： αβ B l β
面面垂直的判定定理
复 习
1．线面垂直的定义
如果直线 l 与平面内的任意一条直线都 垂直，则称直线 l 和平面 互相垂直． 记作：l⊥
2．线面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交 直线都垂直，则该直线与此平面垂 直．
1 二面角及二面角的平面角
(1)半平面: 平面的一条直线把平面分 为两部分，其中的每一部 分都叫做一个半平面。 (2)二面角:从一条直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二 面角。
面面垂直的判定和性质
1、半平面—— 平面的一条直线把平面分为两部分， 其中的每一部分都叫做一个半平面。
l
α
.
1
二面角
2、二面角的定义
从空间一直线出发的两个半
α
平面所组成的图形叫做二面角
ι
β
记作：
3、二面角的平面角
一个平面垂直于二面角 的 棱 ， 并 与 两 半 平 面 分 别 相 交 于 射 线 PA 、 P B
性质定理
• 面面垂直线面垂直； （线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）
• 平面 ⊥平面β，要过平面 内一点引平
面β的垂线，只需过这一点在平面 内作
交线的垂线。
Aα
α
A
D
β
B
D
β
B
C
C
问题 发现练猜习2想 证明 证明过.程 结论 注注
14
应用
例1、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面， A为垂足。 求证：平面PAC平面PBD。
P
A
D
O
B
C
例1题目 解答
.
15
例1已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面， A为垂足。求证：平面PAC平面PBD。
P
证明： 正方形ABCD中 C，BDA
P B
A平 D平
面 面
AA BBPCCA DDB
D
A
D
A
C平
面
P
A
C， 平P面A
PA
C
B
O
C
A C P AA
B D平 面 P A C平 面 PA平C面 B D平 面 P B D
问题 发发现现 猜想 证明 证明 过. 程 结论 注
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质
空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式:直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果 ,那么这两个平面互相垂直。
推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥证明:平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝2,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您的结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,使平面EDB ⊥平面ABD 、求证:AB DE ⊥VDC B A SAB9、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别就是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,、过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别就是棱SC SA ,的中点。
面面垂直的证明方法
面面垂直的证明方法在几何学中，面面垂直是一个非常基础且重要的概念。
在解决几何题目时，我们经常会用到面面垂直的性质来求解问题。
那么，如何证明两个面是垂直的呢？下面我们将介绍几种证明方法。
首先，我们来看垂直的定义。
两个面如果相交成直角，则它们是垂直的。
也就是说，它们的交线是垂直于它们的。
那么，如何证明两个面相交成直角呢？下面是几种常见的证明方法。
1. 利用垂直的性质。
我们知道，两个向量的内积为0时，它们是垂直的。
同样，两个面的法向量如果满足内积为0的条件，那么这两个面就是垂直的。
因此，我们可以通过计算两个面的法向量，然后判断它们的内积是否为0来证明它们是垂直的。
2. 利用平行四边形的性质。
如果我们能够构造出一个平行四边形，其中的一条对角线是两个面的交线，另一条对角线是两个面的垂线，那么我们就可以利用平行四边形的性质来证明这两个面是垂直的。
3. 利用垂直的定义。
根据垂直的定义，两个面如果相交成直角，则它们是垂直的。
因此，我们可以通过构造出两个面的交线，并证明这个交线是垂直于这两个面来证明它们是垂直的。
4. 利用投影的性质。
我们知道，如果两个向量的投影为0，则它们是垂直的。
同样，如果两个面的投影相互垂直，则这两个面也是垂直的。
因此，我们可以通过计算两个面在某个方向上的投影，然后判断它们是否相互垂直来证明它们是垂直的。
总结起来，证明两个面是垂直的方法有很多种，我们可以根据具体的题目要求来选择合适的方法进行证明。
在实际问题中，我们经常会遇到需要证明两个面是垂直的情况，因此掌握这些证明方法对于我们解决几何问题非常重要。
希望以上方法能够帮助大家更好地理解和运用面面垂直的概念。
《面面垂直的判定》课件
2 解决方法
通过计算两个平面的法线向量，并判断它们是否相互垂直。
面面垂直和其他几何概念的关系
面面垂直和其他几何概念，如平行、垂直和平面之间的交点等，都有密切的联系。理解它们之间的关系有助于 解决更复杂的几何问题。
面面垂直和平行的关系
面面垂直和平行是几何中常见的关系。如果两个平面之间垂直，它们不能同 时平行。然而，两个面面垂直的平面可以是平行的。
建筑设计
面面垂直的概念是建筑设计 师在设计房屋和建筑物时必 须考虑的重要因素。
地理测量
面面垂直的知识对于测量地 球表面的起伏和海拔高度非 常几何问题和定理证明的 关键概念。
面面垂直和水平垂直的区别
尽管面面垂直和水平垂直都涉及到垂直关系，但它们的定义和应用领域有所 不同。面面垂直是两个平面之间的垂直关系，而水平垂直是指物体与地球表 面的垂直关系。
《面面垂直的判定》PPT 课件
欢迎来到《面面垂直的判定》课件！在本课程中，我们将探讨面面垂直的定 义、原理、计算方法以及应用场景。让我们一起开始这个令人兴奋的学习之 旅吧！
什么是面面垂直？
面面垂直是指两个平面之间的夹角为90度。它是几何学中重要的概念，被广 泛应用于建筑、地理和数学等领域。
面面垂直的应用场景和优势
面面垂直的原理和定义
面面垂直的原理是通过两个平面的法线向量判断它们之间的垂直关系。当两 个平面的法线向量相互垂直时，这两个平面就是面面垂直的。
面面垂直的计算方法
计算面面垂直的方法包括求解两个平面的法线向量，并进行向量运算来判断它们之间是否垂直。
面面垂直的常见问题及解决方法
1 问题
如何确定两个平面之间的垂直关系？
面面垂直判定定理
面面垂直在解析几何中的应用
判定定理的应用
在解析几何中，利用面面垂直的判定定理可以确定两个平面是否垂直，进而解决与垂直相关的问题。
空间角的计算
通过面面垂直的关系，可以计算两个平面之间的夹角，即二面角的大小。
面面垂直的推广与应用前景
推广至一般曲面
在机械工程中的应用
将面面垂直的概念推广至一般曲面， 研究曲面间的垂直关系及其性质。
判定条件的证明
条件一的证明
假设有两个平面α和β，且α∩β=l ，如果直线m⊥α且m⊂β，那么 根据面面垂直的定义，我们可以 得出α⊥β。
条件二的证明
假设有两个平面α和β，且直线 m⊥α，如果m∥β，那么我们可 以过直线m作一个平面γ，使得γ 与β相交于一条直线n。由于m∥n 且m⊥α，根据线面垂直的性质定 理，我们可以得出n⊥α。又因为 n⊂β，所以根据面面垂直的判定 定理，我们可以得出α⊥β。
条件三的证明
假设有两个平面α和β，它们的法 向量分别是n1和n2。如果 n1·n2=0（即n1和n2互相垂直） ，那么根据面面垂直的定义，我 们可以得出α⊥β。
03
面面垂直的性质
面面垂直与线面垂直的关系
01
如果两个平面互相垂直，那么在 一个平面内垂直于它们交线的直 线垂直于另一个平面。
02
如果两个平面互相垂直，那么经 过第一个平面内的一点并垂直于 第二个平面的直线在第一个平面 内。
机械制造
在机械制造中，许多零部件需要保持 严格的垂直关系以确保设备的正常运 行。例如，机床的主轴与工作台需要 保持垂直，以确保加工的精度和效率 。
06
面面垂直的拓展与延伸
面面垂直与空间向量的关系
空间向量法
利用空间向量的数量积判断两个平面的法向量是否垂直，从而确定两个平面是否垂直。
面面垂直的判定5个条件
面面垂直的判定5个条件一、引言在几何学中，垂直是一个重要的概念。
当平面或直线与另一平面或直线垂直时，它们被称为面面垂直或线面垂直。
面面垂直的判断条件可以帮助我们解决几何学问题，并深入理解空间中不同几何对象之间的关系。
二、面面垂直的定义面面垂直是指两个平面之间的垂直关系。
当两个平面的法线向量垂直时，这两个平面被认为是面面垂直的。
两个平面的法线向量的点积为0时，即可判定两个平面垂直。
三、面面垂直的判定条件判定两个平面是否面面垂直，我们可以根据以下五个条件进行判断：1.条件一：两个平面互相垂直的法线向量–按一定方法找出两个平面的法线向量；–计算两个法线向量之间的点积；–若点积为0，则两个平面面面垂直。
2.条件二：直线与平面垂直的法线向量–首先找出直线上的两个点；–找出直线的方向向量；–找出所给平面的法线向量；–计算直线的方向向量和平面的法线向量的点积；–若点积为0，则直线与平面垂直。
3.条件三：两个平面的法线与直线垂直–首先找出直线上的一点；–找出直线的方向向量；–找出两个平面的法线向量；–分别计算直线的方向向量和两个平面法线向量的点积；–若两个点积都为0，则两个平面的法线与直线垂直。
4.条件四：两个平面的夹角为直角–找出两个平面的法线向量；–计算两个法线向量的点积；–若点积为0，则两个平面的夹角为直角。
5.条件五：两个垂直平面的公共直线–找出两个平面的法线向量；–求解两个法线向量的向量积，得到一条直线；–若该直线与两个平面都相交，则该直线为两个平面的公共直线，两个平面是垂直的。
四、面面垂直的应用举例面面垂直的判断条件在几何学中有广泛的应用。
下面将举例说明面面垂直的应用场景：1.平面几何中的垂足定理在平面直角坐标系中，平面上的一个点到直线的距离最短当且仅当从该点到直线上的垂线段垂直于直线。
2.空间几何中的曲面垂直在三维空间中，两个曲面在某一点处的法线向量垂直，可以判定这两个曲面在该点处垂直。
例如，球面和切平面在切点处垂直。
两个平面垂直的判定和性质
D1 E B1
C1
F
G
D
C
A
B
例3 P 为ABC 所在平面外一点，PA 面ABC
ABC 90 ，AE PB于 E ，AF PC 于 F ，求证
（1）平面AEF 平面 PBC
P
（2）平面AEF 平面 PAC
F
E
A
C
B
例4 P 是ABC 所在平面外一点，ABC 90 ,
黑龙一样,分成三团.而是分成两团,一团继续在灵魂海洋内游走,绞杀着恶魔黑龙,另外一份却是朝蓝色护罩闪电般冲去.居然没有去理会,冲去白色桥和黑线の恶魔气息化成の黑龙…奥巴玛大喜,就算灵魂海洋和蓝色护罩这边の恶魔气息全部被绞碎.但只要魔化了这桥梁,通过这桥梁迅速の朝两 边灵魂蔓延而去.当自己魔化了一半灵魂之后,就能获得白重炙灵魂の控制权.那么这些雷龙也会听从灵魂の指挥,到时候胜局已定！雷龙全力对付三分之二の恶魔气息化成の黑龙,很轻易の就占据了上风,携风雷之势,一鼓作气,彻底将两团恶魔气息绞杀.灵魂海洋上再次下起了黑色の雨！"杂碎, 狗屎！这是什么鬼东西?这是什么鬼灵魂…"另外一团七八条恶魔气息黑龙,很轻易就冲到了桥梁之上,留下一条朝那截黑线冲去.其余の全部钻进了那座散发着白色柔和光芒の桥梁内！可是——让奥巴玛想死の是,黑龙竟然渗透不进去,并且这一刻桥梁突然神圣の光芒大作,桥梁上突然冒出一些 白色护罩.他の恶魔气息一旦碰触,那白色护罩就宛如水遇到了烧红の铁钳般,立刻被蒸发…外面の那条恶魔气息黑龙,到时很轻易の进入了黑线内,并且也感觉到了那里面蕴含の澎湃の黑暗之力.只是可惜,那雷龙绞杀了他所有の恶魔气息黑龙,而后数十条雷龙,从四面八方呼啸而来,将那黑龙瞬 间剿灭！奥巴玛强大の黑暗之力,此刻四分之三已经被雷龙消灭了.还有四分之一却是被困在了桥梁之上,连动都不
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
面面垂直的定义和判定
定义：若两个平面的二面角为直二面角(平面角是直角的二面角)，则这两个平面互相垂直。
判定：1、一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。
2、如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。
3、如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。
判定面面垂直的方法：
1、面面垂直的定义。
2、面面垂直的判定定理
在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直。
转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直。
在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决，如有平面垂直时，一般要用性质定理。
几个常用的结论：
1、过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直。
2、过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直。
解决此类问题常用的方法有：①依据定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形作出判断；②否定命题时只需举一个反例；③寻找恰当的特殊模型(如构造长方体)进行筛选。