面与面垂直判定
面面垂直的判定定理课件
Part
04
面面垂直的判定定理在几何中 的应用
应用场景一：多面体
在多面体中，如果一个平面与多面体的一个面相交，并且交线与多面体的一个顶 点垂直，则该平面与多面体的所有面都垂直。这个判定定理在证明多面体的性质 和解决相关问题时非常有用。
例如，利用面面垂直的判定定理可以证明正方体的六个面都是正方形，也可以证 明长方体的相对两面平行。
复杂几何问题的思考
问题1
在长方体中，如果一个顶点上的 三条棱分别与另一个顶点上的三 条棱垂直，那么这两个顶点是否
在同一平面上？
问题2
在四面体中，如果一个顶点上的三 条棱分别与另一个顶点上的三条棱 垂直，那么这两个顶点是否在同一 平面上？
问题3
在球体中，是否存在两个点，使得 从一个点出发的三条射线分别与从 另一个点出发的三条射线垂直？
符号表示
设平面α内有两条相交直线$a$和$b$， 平面β内有一直线$c$，若$a ⊥ c$，$b ⊥ c$，则平面α与平面β互相垂直，记 作α⊥β。
定理证明
• 证明过程：首先，由于直线$a$和$b$在平面α内相交，且都与直线$c$垂直，根据空间几何的性质，我们知道两条相 交的直线确定一个平面。因此，我们可以确定直线$a$和$b$确定的平面记作γ。接下来，由于直线$c$与平面γ内的 两条相交直线$a$和$b$都垂直，根据面面垂直的判定定理，我们可以得出结论：平面α与平面γ互相垂直。
相关定理与公式的关联性探讨
定理1
如果一个平面内的两条相交 直线分别与另一个平面垂直 ，那么这两个平面垂直。
定理2
如果一个平面内的任意一条 直线都与另一个平面垂直， 那么这两个平面垂直。
公式1
在直角三角形中，斜边的 平方等于两直角边的平方 和。
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质
空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式:直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果 ,那么这两个平面互相垂直。
推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥证明:平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝2,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您的结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,使平面EDB ⊥平面ABD 、求证:AB DE ⊥VDC B A SAB9、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别就是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,、过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别就是棱SC SA ,的中点。
线面垂直、面面垂直的性质与判定定理
a
l
a
a l
作用： 面面垂直线面垂直
垂直体系
判定
判定
线线垂
线面垂直 面面垂直
直
定义
性质
问题2 , a , a ,判断a与位置关系
α
a
a //
l
问题3： β
思考：已知平面，，直线a,且 , AB,
a //, a AB,试判断直线a与平面的位置关系。
α
Aa
β
a⊥β
符号语言：
ab
a ,b a / /b
α
线面垂垂直的性质
温故知新
面面垂直的判定方法： 1、定义法：
找二面角的平面角
说明该平面角是直角。
2、判定定理：
要证两平面垂直，只要在其中一个平面内找到 另一个平面的一条垂线。
（线面垂直面面垂直）
知识探究：
思考1:如果平面α与平面β互相垂直，
S
平面SAB∩平面SBC=SB，
∴AD⊥平面SBC
∵BC 平面SBC
A
C
∴AD⊥BC
∵SA⊥平面ABC，BC 平面ABC
B
∴SA⊥BC
“从已知想性质，从求证
∵SA∩AD=A，
想判定”这是证明几何问
∴BC⊥平面SAB
题的基本思维方法．
∵AB 平面ABC ∴AB⊥BC
课堂小结
1、证题原则：注从已意知想辅性助质，线从求的证作想判用定
B
例3 , a , a ,判断a与位置关系
证明：设 l
α a //
在α内作直线b⊥l
b
a
l
β
b
bl
l
b 又a
线面垂直
a // b 性质
线面垂直面面垂直的判定定理和性质定理
线面垂直面面垂直的判定定理和性质定理
线面垂直面面垂直的判定定理是指两个射线有一定的关系即垂直面是垂直的，其中一个起点在另一个终点上。
简单来说就是两线垂直于一个面，则这两条线的垂直的面也是垂直的。
由线面垂直面面垂直的判定定理可以得出线面垂直面面垂直的性质定理，这是建立在线面垂直面面的判断定理的基础之上的定理。
线面垂直面面垂直的性质定理：若两个射线分别与两个平面成垂直，则它们两个平面所成的平面也是垂直的。
该定理也可以用图形来表示，如下图所示：
从图中可以看出，射线AB和CD都是垂直于两个平面m、n，其中AB与m，CD与n成垂直。
而平面m和n又组成一个新平面mn，根据线面垂直面面垂直的性质定理可以知道AB与mn也是垂直的，同样CD也与mn是垂直的。
线面垂直面面垂直的定理主要应用在几何中，它可以用来证明两个平面的面积计算方法是正确的，也可以用来证明两个球面的夹角是垂直的。
同时，它同样可以应用在工程技术中，例如对于地面上的建筑物，我们可以用它来判断其是否与地面垂直。
由此可以看出，线面垂直面面垂直的判定定理和性质定理对于各类几何计算和工程技术应用具有十分重要的意义。
它能有效地帮助人们判断两面之间是否是垂直的关系，从而实现各种几何计算和工程技术应用。
面面垂直的判定与性质课件
如果两个平面都与同一直线垂直，那 么这两个平面之间的夹角为90度，即 这两个平面互相垂直。
性质3：垂直于同一平面的两条直线互相平行
总结词
如果两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行。
详细描述
如果两条直线都与同一个平面垂直，那么这两条直线之间的夹角为0度，即这两 条直线互相平行。
应用场景1：建筑学中的面面垂直
逆定理的表述
• 逆定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一 个平面垂直，则这两个平面互相垂直。
逆定理的证明
• 证明：设两条相交直线为$a$和$b$，它们与平面$\alpha$垂直。根据直线与平面垂直的性质，有$a \perp \alpha$和$b \perp \alpha$。由于$a$和$b$相交，根据平面的性质，过$a$和$b$的平面$\beta$与平面$\alpha$垂直。因此，逆定理 得证。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面之间的距离相等。
详细描述
根据面面垂直的性质，如果两个平面都与第三个平面垂直，那么这两个平面之间的距离 是相等的。这是因为它们都与第三个平面形成相同的角度，所以它们之间的距离也是相
等的。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一条直线，则 这两个平面之间的距离相等。
电子设备设计中，面面垂直的应用有助于提高设备的性能和稳定性。
详细描述
在电子工程中，电路板和电子元件的布局都需要遵循面面垂直的判定与性质。例如，在制造手机的过程中，利用 面面垂直的判定方法可以确保屏幕与机壳之间的垂直度，从而提高手机的显示效果和使用寿命。此外，在制造高 精度传感器的过程中，也需要利用面面垂直的判定方法来确保传感器的精确度和稳定性。
两平面垂直的判定与性质
05
两平面垂直的实例分析
实例一：简单的几何图形
总结词
通过观察几何图形，可以直观地判断两平面是否垂直。
详细描述
在平面几何中，常见的图形如矩形、正方形和正六面体等，它们的相对面都是垂直的。通过观察这些图形的角和 边，可以直观地判断两平面是否垂直。
பைடு நூலகம்
实例二：建筑模型的分析
总结词
建筑模型中的墙面和地面通常都是垂直的。
判定定理的应用
应用场景
判定两平面是否垂直，特别是在几何、工程和物理学等领域中，两平面垂直的判 定定理具有广泛的应用价值。
实际应用
在建筑学中，为了确保结构的稳定性和安全性，需要判定各个平面是否垂直；在 机械工程中，判定两平面是否垂直对于零件的设计和制造至关重要；在物理学中 ，两平面垂直的判定定理可用于研究物体的运动轨迹和力的分布。
判定定理的证明
• 证明过程：设两平面分别为α和β，且α内的两条相交直线a和b 分别与β垂直。在直线a上任取一点A，由于a与β垂直，作直线c 平行于a且在β内，使得A落在c上。同理，在直线b上任取一点B， 作直线d平行于b且在β内，使得B落在d上。由于a和b相交，所 以点A和B确定了一个平面γ。由于c和d都在β内，且c与d相交， 所以β包含在γ内。又因为α与γ内的两条相交直线a和b都垂直， 所以α与γ垂直。由此可知，α与β垂直。
详细描述
在建筑领域，墙面和地面通常都是垂直的。这是因为垂直的 平面能够提供更好的支撑和稳定性。通过观察建筑物的结构 和设计，可以分析出两平面是否垂直。
实例三：物理实验的现象分析
总结词
物理实验中经常涉及到两平面垂直的情 况，如重力的方向与地面垂直。
VS
详细描述
在物理实验中，很多现象都涉及到两平面 垂直的情况。例如，在研究重力时，重力 的方向总是垂直于地面向下。通过分析这 些实验的现象和结果，可以深入理解两平 面垂直的性质和应用。
线面垂直、面面垂直的性质与判定定理
垂直体系
判定
判定
线线垂
线面垂直 面面垂直
直
定义
性质
问题2 ,a ,a ,判 断 a 与 位 置 关 系
α
a
a //
l
问题3： β
思考：已 ， 知 ，平 直 a,且 面 线 ,A,B
a//,aA,B 试判断 a与 直 平 线 的 面位置关
α
Aa
β
a⊥β
B
例3 ,a ,a ,判 断 a 与 位 置 关 系
∵BC 平面SBC
A
C
∴AD⊥BC
∵SA⊥平面ABC，BC 平面ABC
B
∴SA⊥BC
“从已知想性质，从求证
∵SA∩AD=A，
想判定”这是证明几何问
∴BC⊥平面SAB
题的基本思维方法．
∵AB 平面ABC ∴AB⊥BC
课堂小结
1、证题原则 注从已意知想辅性助质，线从求的证作想判用定
： 2、会利用“转化思想”解决垂直问题
A
DE ⊥AB
则 CD 是 E二面 -A B 角 的平面
由 ⊥β 得CD ⊥ DE
又CD ⊥ AB, 且DE ∩ AB =D
所以直线CD⊥平面β
平面与平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面垂直。
符号语言：
β
a
l
A α
a
l
a
a l
作用： 面面垂直线面垂直
的位置关系有哪几种可能？
α l
β
平行
α
l
β
相交
α
l β
线在面内
知识探究：
思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂 直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？ 若存在，怎样画线？
面面垂直的判定公开
几何问题解决的实例解析
例1
一个正方形ABCD中，E为CD的中点，F为AD的中 点，求证：平面ABE垂直于平面BCF。
例2
一个圆柱体中，底面半径为r，高为h，求证：底面 与顶面垂直。
分析
要证明两个平面垂直，我们需要证明一个平面内 的一条直线与另一个平面垂直。在这个例子中， 我们可以选择AB作为平面ABE内的直线，然后证 明它与平面BCF垂直。
判定定理
如果两个平面内分别有一条直线相互垂直，那么这两个平面相互垂直。
符号表示
如果直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a⊥b，则α⊥β。
判定定理的证明
• 证明：假设两个平面α和β相交，且在α内有直线a与β相交于点 A，在β内有直线b与α相交于点B。如果a⊥b，那么线段AB是 两个平面的交线。由于a⊥b，所以a与b的夹角为90°。因此， 平面α与平面β的夹角也为90°，即α⊥β。
03 面面垂直的判定方法
判定方法的分类
定义法
根据面面垂直的定义，如果两个 平面内各有一条直线互相垂直，
则这两个平面垂直。
判定定理法
利用面面垂直的判定定理，如果一 个平面内的两条相交直线与另一个 平面垂直，则这两个平面垂直。
三垂线定理法
三垂线定理指出，如果一个平面内 的一条直线与另一个平面的一条斜 线在平面内射影垂直，则这两个平 面垂直。
判定方法的步骤
第一步，在其中一个 平面内取一条直线。
第三步，根据三垂线 定理得出结论。
第二步，判断这条直 线是否与另一个平面 的斜线在平面内射影 垂直。
判定方法的实例解析
定义法实例
三垂线定理法实例
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面PAC 面PBC
探究1：如图为正方体,请问哪些平面与 面A1B 垂直?
D1 A1
C1 B1
面A1B 面AC
面A1B 面BC1 面A1B 面A1C1
D
C 面A1B 面AD1
A
B
面面垂直 线面垂直 线线垂直
例2、正方体ABCD-A1B1C1D1中， 已知E，F，G，H
分别是A1D1，B1C1，D1D，C1C的中点.
求证：平面AH⊥平面DF
D1
C1
E
A1
G
F
B1Hຫໍສະໝຸດ D AC B探究2： 已知AB 面BCD, BC CD
请问哪些平面互相垂直的,为什么?
面ABC 面BCD AB 面BCD A
面ABC 面ACD CD 面ABC
面ABD 面BCD AB 面BCD
面面垂直的定义：
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面 角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
(1)除了定义之外,如何判定两个平面 互相垂直呢?
(2)日常生活中平面与平面垂直的例子?
平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这
两个平面垂直.
β
a
符号:
A α
a a 面
简记：线面垂直，则面面垂直
B
D C
例3、正方体ABCD-A1B1C1D1中
求证: 面AA1C1C 面A1BD
D1
证明: AA1 面ABCD
又BD 面ABCD
A1
AA1 BD
BD AC
D
且AC AA1 A
A
BD 面AA1C1C
BD 面A1BD
面AA1C1C 面A1BD
C1 B1
C B
学完一节课或一个内容，
应当及时小结，梳理知识
1、证明面面垂直的方法：
（1）证明二面角为直角 （2）用面面垂直的判定定理
2、线线垂直 线面垂直面面垂直
线线垂直
线面垂直
面面垂直
例1、如图,AB是 ⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在 的平面,C是 圆周上不同于A,B的任意一点,求证: 平面PAC⊥平面PBC.
证明: 设已知⊙O平面为α PA 面, BC 面
PA BC 又 AB为圆的直径
AC BC PA BC AC BC
PA AC A PA 面PAC, AC 面PAC