自动控制第四章 频率响应法c2

Z=P-N
系统的开环频率特性不包含 (-1,j0)点。 N＝0 系统的右半平面的开环极点数 P＝0 Z=P-N Z＝0 闭环系统稳定。
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例4-4-2设系统的开环传递函数
判断闭环系统的稳定性 解
闭环系统在右半s平面有两个极点，不稳定。
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例4-4-3 判断系统的稳定性，并讨论K值对稳定性的 影响。
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补画半径为无穷大的1/4圆。 P=0, N=0，Z=0，
所以，闭环系统稳定。
奈氏曲线图
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例4-4-6 给出含有两个积分环节的开环系统
幅相曲线，试判断系统的稳定性。
(b)由于ν＝2，从 点逆时针
补画半径为无穷大的半圆。
P=0, N=0，Z=0，
所以，闭环系统稳定。
奈氏曲线图
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(c)由于ν＝2，从
获得广泛的应用。
1
乃奎斯特稳定判据
一、乃奎斯特稳定判据 当ω从-∞变化到+∞时，系统的开环频率特性 G(jω)H(jω)按逆时针方向包围(-1,j0)点次数 N=P-Z
Z=P-N
P ——右半s平面开环极点数。 Z ——右半s平面闭环极点数。
闭环控制系统稳定的充分必要条件是 Z=0
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例4-4-1设系统的开环频率特性 用乃氏判据判别系统的稳定性。 解
P——开环传递函数位于s右半平面的极点个数。 Z——闭环系统位于s右半平面上的极点个数。 N——开环幅相曲线包围(-1,j0)点的圈数， 逆时针包围为正，顺时针包围为负。 时，则闭环系统是稳定的。
9 表明时闭环系统在s右半平面上无极点，则系统稳定。
N 的确定方法
闭合曲线ГGH包围(-1,j0)点的圈数，仅仅与幅相曲线 穿越实轴区间(-,-1)的次数有关。 把自上向下(逆时针)穿越这个区间的次数表示为 把自下向上(顺时针)穿越这个区间的次数表示为 注意：若穿越时从这个区间的实轴上开始时 记为半次正(半次负)穿越。 右图中
幅相曲线在负实轴(-.-1) ຫໍສະໝຸດ Baidu间的正负穿越如图所示
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稳定性分析举例 (1)开环传递函数不含积分环节（0型系统） 直接采用Z=P-2N的稳定性判据
例4-4-5 给出来三个开环传递函数不含有积分环节 的奈氏曲线，试判断系统的稳定性。
P=0, N=0 Z=P-2N=0 该闭环系统稳定。
（a）P＝0 奈氏曲线
1
c
=0+
G(jc)
∠G(jc)
相角裕度 =180o +∠G(jc)
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稳定裕度的定义续1
幅值裕度: hdB=－20lg
0dB
c
20lg
c
∠ G(jc)
-180o
x

相角裕度: =1800+ ∠ G(jc)
稳定裕度的定义续2
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- ＋ 1
－ -1
（a）稳定系统
（b）不稳定系统
开环频率特性G(jω)H(jω)沿着半径为无穷大的 圆弧按顺时针方向从
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例4-4-4 某I型系统的开环频率特性如图所示，没有 开环不稳定极点，判断系统的闭环稳定性。P=0
没有闭环不稳定极点。闭 环稳定
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基于幅相特性的奈奎斯特稳定性判据
幅相曲线图上绘制
由
的奈氏曲线
闭环系统位于s右半平面上的极点个数为Z，则
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已知系统的开环传递函数， 例4.5.1：
试计算K=4、10的稳定裕度。
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例4.5.2
已知单位负反馈二阶系统的开环传函 试计算其相位裕量与阻尼比 解 的关系。
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例
一单位反馈系统的开环传递函数为
求 K=1时系统的相位裕度和增益裕度。 相位穿越频率 解： 增益裕度
即 特殊 算法

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34
二、二阶系统的频域性能指标
35
二、二阶系统的频域性能指标
对于给定的谐振峰值Mr，调节时间ts与带宽 反比，频带宽度越大则调节时间越短。
成
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举例 说明
(a)
(b)
(c)
(d)
a系统不稳 定
c、d系统稳定 b系统临 18 界稳定 幅相曲线越远离临界点系统 的稳定程度越好
幅值裕度又称增益裕度(Gain Margin)
相角为-180°点频率为相角交界频率
定义幅值裕度为
幅值裕度h的物理意义：
对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大 h倍，则系统将变为临界稳定状态。h值越大，保证 系统稳定工作的前提下，允许开环增益变化值特大。 若以分贝表示，则有
点逆时针
补画半径为无穷大的半圆。 P=0, N=-1，Z=2 该闭环系统不稳定。
(d)ν=1,从
点逆时针
补画半径为无穷大的1/4圆。 虚线的终端落在负实轴上 P=1, N=-1/2， Z=1-2(-1/2)=2
奈氏曲线图
该闭环系统不稳定。
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二、 在对数坐标图上应用奈奎斯特稳定性
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4.5 相对稳定性分析
在
处的开环对数幅值为
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相位裕度
增益穿越频率
截止频率
根据K=1时的开环传递函数

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第六节系统的频率特性及频域性能指标
1.谐振峰值 闭环幅频特性的最大值。
2. 谐振频率
3.频带宽度(截止频率) 指衰减到0.707M(0)所 对应的频率，也叫通频带。
闭环幅频特性
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一、系统的频域性能指标
带宽较宽，表明系统能通过 较高频率的输入信号，通频 带较宽的系统一方面复现输 入信号的能力较强，另一方 面抑制输入端高频干扰的能 力较弱。 带宽和调节时间也有着密切 的关系，越大，调节时间越 短。 闭环幅频特性
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(b) P=0, Z=P-2N=2 闭环系统不稳定。 (c) P=1, Z=P-2N=0 奈氏曲线图 闭环系统稳定。
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(2)开环传递函数含ν 个积分环节 ν型系统 绘制开环幅相曲线后，应从频率0+对应的点开始， 逆时针补画ν/4个半径无穷大的圆。
例4-4-6 给出含有1个积分环节的开环系统幅相曲 线，试判断系统的稳定性。 (a)ν=1,从 点逆时针
例4-4-3 判断系统的稳定性，并讨论K值对稳 定性的影响。 K<1时，不包含(-1,j0)点， N=0，而P=1， 所以Z=P-N=1，系统不稳定。 K>1时，逆时针包含(-1,j0) 点一周，N=1，所以Z=PN=0，系统稳定。 开环系统不稳定，闭环系统 稳定。
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一、乃奎斯特稳定判据
若开环传递函数中含有 个积分环节
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相角裕度又称相位裕度(Phase Margin)
设系统的截止频率为
定义相角裕度为
相位裕度的物理意义： 对于闭环稳定系统，如果开环相频特性再滞后 度，则系统将变为临界稳定。
为了使最小相位系统稳定，相角裕度必须为正。 在对数坐标图上的临界稳定点为0分贝和－1800
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系统临界稳定，见右图：
相对稳定性反映出系统稳定程度的好坏。闭环控 制系统相对稳定性（时域中，超调量 % ，根与虚 轴距离）可以通过开环频率特性加以描述。奈氏（幅
相）曲线与临界点（－1，0j）的靠近程度，可以 用来度量稳定裕度，在实际工程系统（控制、电子、 通信系统）中常用相角（位）裕度（量）和幅值裕 度（量）Kg=h表示。 一般来说，相角裕度和幅值裕度概念只适用于 最小相位控制系统(但可含滞后环节)。 17
第四节乃奎斯特稳定判据
奈氏判据特点： （1）根据闭环系统的开环频率特性判断闭环系统
稳定性的一种判据，当系统含某些非最小相
位环节(如延迟环节)也能判断。 （2）该判据可以通过实验法获得系统开环频率特性 来判断闭环系统的稳定性，使用方便。 （3）该判据能指出提高和改善系统动态性能的途径
(环节类型和参数变化)，因而这种方法在工程上
G(j)曲线过(-1,j0)点时
j
G(j) =1 ∠ G(j) = -180o
G(j)
-1
1 =0
0
同时成立！
=0+
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稳定裕度的定义图示法
G(jc) ？= 1
∠G(jx) -？ = –180o 幅值裕度
G(jx) -1 x
j

G(j)
0
1
=0
h= G(jx)
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dB 0
dB h h
0
正幅值裕度 ＋
负幅值裕度
x
x －
正相角裕度
负相角裕度
(a)稳定系统
（b）不稳定系统
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相角裕度和幅值裕度小结：
相角裕度和幅值裕度是系统的极坐标图对(-1,j0) 点靠近程度的度量。这两个裕度可以作为设计准则。 最小相位系统的相位裕度和增益裕度都是正值时， 系统才是稳定的。负的裕度表示系统不稳定。 适当的相角裕度和幅值裕度可以防止系统参数变化 造成的影响，并且指明了频率值。 工程（实践）上满足 控制系统的性能要求: 相角裕度: 幅值裕度: