自动控制原理05第五章 频率响应法c1
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自动控制原理简明教程 第五章 频率响应法
这时，求扰动输入下的误差传递函数 en(s) ，
先求 E(s) 0 C(s) 1GG（（s）s） N（s）
而
e（n s）
NE（（ss））
1
G（s） G（s）
则 ess（2 t） An e（n j）sin(t en( j))
幅频特性
相频特性
二.频率特性的物理意义及求解方法
R
ur
C uc
RC网络微分方程为:
优点:
(1).可以根据系统的开环频率特性判断闭环系 统的稳定性,而不必求解特征方程。
(2).很容易研究系统的结构,参数变化对系统性 能的影响,并可指出改善系统性能的途径,便于
对系统进行校正。
(3).提供了一种通过实验建立元件或系统数 学模型的方法。
(4).可以方便地设计出使系统噪声小到规定 程度的系统。
一.比例环节
传递函数为G(s)=k
频率特性为 G( jw) ke j 0
幅频特性为 A(w)=k
相频特性为 (w) 0
极坐标图和伯德图为：
L(w)(dB)
20lgk
(w)(度) 0.1 1 10 100
w
0
w
-30
Bode图
j
w=0
w
0k
w
极坐标图
二.积分环节和微分环节
积分环节: G(s) C(s) R(s) 1/ s
w? ?
450 W=1/T
1 W=0 w
对数幅频特性：L(w) 20lg 1 T 2w2 1
20lg T 2w2 1
当wT≥1时,L(w)≈-20lgwT
当wT≥1时,L(w)可用一条斜率为-20dB/dec的渐近 直线来表示。
当wT≤1时,L(w)≈0,是一条与0分贝线重合的直线。 两直线交于横坐标w=1/T的地方。
自动控制原理简明教程第二版5 第五章 频率响应分析法
15
5.2.2. 典型环节的频率特性曲线绘制方法
（1）比例环节 ） （2）惯性环节 ） （3）振荡环节 ） （4）积分环节 ） （5）其他典型环节与最基本环节的关系 ）
16
(1) 比例环节的幅相频率特性曲线
传递函数： 传递函数： G ( s ) = K ( K > 0) 由传递函数得频率特性表达式: 由传递函数得频率特性表达式:
2 2
ω 2ζ ωn ϕ (ω ) = −arctg ω 1 − ( )2 ωn
对数频率特性
2 2 ω 2 ω L(ω ) |= 20 lg A(ω ) = -10 lg 1 − ( ) + 2ζ ωn ωn ω
8
2．对数频率特性曲线（对数坐标图或伯德图） ．对数频率特性曲线（对数坐标图或伯德图） 对数频率特性曲线包括对数幅频特性和对数相频特性两条曲线 由频率特性 G( jω) =
1 jϕ(ω) = A(ω)e 1+ jωT
对数幅频特性 L(ω) = 20lg G( jω) = 20lg A(ω) = −20lg
U2 (s) 1 = U1(s) Ts +1
G(s) =
输入正弦信号 u1 ( t ) = A sin ω t
1 1 Aω U1(s) = ⋅ 2 输出响应 U2 (s) = Ts +1 Ts +1 s +ω2
3
5.1.2 频率特性的定义
输出响应 U2 (s) = 输出响应
u2 t) = （
1 1 Aω U1(s) = ⋅ 2 Ts +1 Ts +1 s +ω2
13
5.2.1. 典型环节
5.频率响应法
1 V , = − ωT 1 + ω2T 2 U 1 ⇒U = V2 1+ 2 U ⇒ U 2 −U +V 2 = 0 1 1 ⇒ (U − ) 2 + V 2 = ( ) 2 2 2
Im
0
1 2 ω =0
1
ω = +∞
Re
ω
《自动控制原理》 自动控制原理》第五章 频率响应法
上海交通大学电子信息与电气工程学院
与虚轴负段 重合 的 直线。
G (s ) = s
G ( j ω ) = jω ∠G ( jω ) = 90° G ( jω ) = ω
Im ω =∞
G (s ) =
1 s
ω =0 0 Re
1 jω 1 G ( jω ) = ω ∠G ( jω) = −90° G ( jω ) =
Im
0
ω =∞ ω =0
l l
实验法：通过实验的方法直接测得 解析法：根据传递函数求取
l
用 s=jω代入 系统的传递函数
R(s)
G (s)
C (s)
C(s) b m s m + b m −1s m −1 + LL + b1 s + b 0 G(s) = = R(s) a n s n + a n −1s n −1 + LL + a 1s + a 0 C(jω ) b m (jω ) m + b m −1 (jω ) m −1 + LL + b1 (jω ) + b 0 ⇒ G(jω ) = = R(jω ) a n (jω ) n + a n −1 (jω ) n −1 + LL + a 1 (jω ) + a 0 = A(ω )e jϕ (ω ) = U(ω ) + jV(ω )
自动控制原理第五章-频率响应法
Im
（K，0°）
0
Re
图5.5 比例环节乃氏图
南京工业职业技术学机械学院——自动控制原理
L( )
0
( )
dB K>1
K=1 K<1
lg
0
lg
图5.6 比例环节的Bode图
作用：比例环节只改变原系统的幅值（K＜1，降低；K ＞ 1， 抬高），不改变原系统的相位。
南京工业职业技术学机械学院——自动控制原理
➢ 乃氏图的绘制—— “三点法”
G(jω)= A(ω)ejφ(ω) →
A(ω)：起止位置 φ(ω) ：起止方向
起点：ω→0，[A(0),φ(0)] 终点： ω→∞，[A(∞),φ(∞)] 与负实轴的交点：令φ(ω) =-180°→ ωx
相位截止频 率或相位剪
切频率
则交点为[A(ωg)，-180°]
注意：由φ(0) → φ(∞)的变化范围可判断乃氏图所在 的 象限。
2 ( )
1 ( )
图5.8 积分、微分环节Bode图
南京工业职业技术学机械学院——自动控制原理
3. 纯微分环节
G(s) s
G( j) j e j90
传递函数与积分 环节互为倒数
Im
A()
（1）乃氏图 ( ) 90
起点：[0, 90°]；终点： [∞, 90°]
0
Re
图5.9 微分环节乃氏图
I ( )
T 1 2T
2
联立消去ω可以得到实部和虚部 的关系式：
[R( ) 0.5]2 [I( )]2 0.52
故，惯性环节的乃氏图是圆心为点（0.5，j0）上，半径为 0.5的半园（ω=0~∞）。
（2）Bode图
自动控制原理(第三版)第五章频率响应法
频段的两条直线组成的折线近似表示, 如图5-18的渐近线所
示。 这两条线相交处的交接频率ω=1/T, 称为振荡环节的无阻尼
自然振荡频率。在交接频率附近, 对数幅频特性与渐近线存在
一定的误差, 其值取决于阻尼比ζ的值, 阻尼比越小, 则误差越大, 如表5-4所示。当ζ＜0.707时, 在对数幅频特性上出现峰值。根
一个单位长度。设对数分度中的单位长度为L, ω0为参考点, 则 当ω以ω0为起点, 在10倍频程内变化时, 坐标点相对于ω0的距离
为表5-1中的第二行数值乘以L。
第五章 频 率 响 应 法
图 5-4 对数分度和线性分度
第五章 频 率 响 应 法
表 5-1 10倍频程内的对数分度
第五章 频 率 响 应 法
第五章 频 率 响 应 法
图 5-7 比例环节的伯德图
第五章 频 率 响 应 法
2. 积分环节 积分环节的频率特性为
其幅频特性和相频特性为
(5.18)
(5.19)
由式(5.19)可见,它的幅频特性与角频率ω成反比, 而相频特性恒
为-90°。对数幅频特性和相频特性为
(5.20)
第五章 频 率 响 应 法
T), 则有
因此有
这表明φ(ω)是关于ω=1/T, φ(ω)=-45°这一点中心对称的。 用
MATLAB画出的惯性环节的伯德图如图5-14所示(T=1)。
第五章 频 率 响 应 法
图 5-14 MATLAB绘制的惯性环节的伯德图
第五章 频 率 响 应 法
5. 一阶微分环节 一阶微分环节的频率特性为 幅频特性和相频特性为
即 所以, 惯性环节的奈氏图是圆心在(0.5, 0), 半径为0.5的半圆 (
见图5-12)。 对数幅频特性和相频特性为
示。 这两条线相交处的交接频率ω=1/T, 称为振荡环节的无阻尼
自然振荡频率。在交接频率附近, 对数幅频特性与渐近线存在
一定的误差, 其值取决于阻尼比ζ的值, 阻尼比越小, 则误差越大, 如表5-4所示。当ζ＜0.707时, 在对数幅频特性上出现峰值。根
一个单位长度。设对数分度中的单位长度为L, ω0为参考点, 则 当ω以ω0为起点, 在10倍频程内变化时, 坐标点相对于ω0的距离
为表5-1中的第二行数值乘以L。
第五章 频 率 响 应 法
图 5-4 对数分度和线性分度
第五章 频 率 响 应 法
表 5-1 10倍频程内的对数分度
第五章 频 率 响 应 法
第五章 频 率 响 应 法
图 5-7 比例环节的伯德图
第五章 频 率 响 应 法
2. 积分环节 积分环节的频率特性为
其幅频特性和相频特性为
(5.18)
(5.19)
由式(5.19)可见,它的幅频特性与角频率ω成反比, 而相频特性恒
为-90°。对数幅频特性和相频特性为
(5.20)
第五章 频 率 响 应 法
T), 则有
因此有
这表明φ(ω)是关于ω=1/T, φ(ω)=-45°这一点中心对称的。 用
MATLAB画出的惯性环节的伯德图如图5-14所示(T=1)。
第五章 频 率 响 应 法
图 5-14 MATLAB绘制的惯性环节的伯德图
第五章 频 率 响 应 法
5. 一阶微分环节 一阶微分环节的频率特性为 幅频特性和相频特性为
即 所以, 惯性环节的奈氏图是圆心在(0.5, 0), 半径为0.5的半圆 (
见图5-12)。 对数幅频特性和相频特性为
自动控制原理第五章频率响应法
智能化和自适应频率响应分析方法
随着人工智能和机器学习技术的发展，将人工智能和机器学习技术应用于频率响应分析中 ，可以大大提高分析的准确性和效率，是未来研究的一个重要方向。
06
参考文献
参考文献
01
《现代控制系统分析与设计（第八版）》作者： Richard C. Dorf and Robert H. Bishop
01
频率响应法的起源可以追溯到20世纪30年代，当时研究者开始 使用频率响应法来分析电气系统的稳定性。
02
随着计算机技术和信号处理技术的发展，频率响应法的应用范
围不断扩大，分析精度和计算效率也不断提高。
目前，频率响应法已经成为自动控制原理中最重要的分析方法
03
之一，广泛应用于控制系统的分析和设计。
02
非线性系统的频率响应分析
非线性系统的频率响应分析是研究非线性系统对不同频率输入信号的响应特性。由于非线性系统的输出与输入之间不存在明 确的函数关系，因此需要采用特殊的方法进行分析。
在实际应用中，非线性系统的频率响应分析广泛应用于音频处理、图像处理、通信等领域。通过分析非线性系统的频率响应 特性，可以揭示系统的内在规律，为系统设计和优化提供依据。
02
《自动控制原理（第五版）》作者：孙亮
03
《控制系统设计指南（第二版）》作者：王树青
感谢您的观看
THANKS
对数坐标图分析法
对数坐标图分析法也称为伯德图，通过将系统 的频率响应以对数坐标的形式表示出来，可以 方便地观察系统在不同频率下的性能变化。
在对数坐标图中，幅值响应和相位响应分别以 对数形式表示，这样可以更好地展示系统在不 同频率下的变化趋势。
对数坐标图分析法适用于分析各种类型的系统 和多输入多输出系统，对于非线性系统也可以 进行一定的分析。
随着人工智能和机器学习技术的发展，将人工智能和机器学习技术应用于频率响应分析中 ，可以大大提高分析的准确性和效率，是未来研究的一个重要方向。
06
参考文献
参考文献
01
《现代控制系统分析与设计（第八版）》作者： Richard C. Dorf and Robert H. Bishop
01
频率响应法的起源可以追溯到20世纪30年代，当时研究者开始 使用频率响应法来分析电气系统的稳定性。
02
随着计算机技术和信号处理技术的发展，频率响应法的应用范
围不断扩大，分析精度和计算效率也不断提高。
目前，频率响应法已经成为自动控制原理中最重要的分析方法
03
之一，广泛应用于控制系统的分析和设计。
02
非线性系统的频率响应分析
非线性系统的频率响应分析是研究非线性系统对不同频率输入信号的响应特性。由于非线性系统的输出与输入之间不存在明 确的函数关系，因此需要采用特殊的方法进行分析。
在实际应用中，非线性系统的频率响应分析广泛应用于音频处理、图像处理、通信等领域。通过分析非线性系统的频率响应 特性，可以揭示系统的内在规律，为系统设计和优化提供依据。
02
《自动控制原理（第五版）》作者：孙亮
03
《控制系统设计指南（第二版）》作者：王树青
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THANKS
对数坐标图分析法
对数坐标图分析法也称为伯德图，通过将系统 的频率响应以对数坐标的形式表示出来，可以 方便地观察系统在不同频率下的性能变化。
在对数坐标图中，幅值响应和相位响应分别以 对数形式表示，这样可以更好地展示系统在不 同频率下的变化趋势。
对数坐标图分析法适用于分析各种类型的系统 和多输入多输出系统，对于非线性系统也可以 进行一定的分析。
自动控制原理 矿大05第五章 频率响应法1 (1)
微分方程
G (s )
传递函数 控制系统 频率特性
G( jω)
s = jω
8
线性、定常、 线性、定常、零初始值的系统
频率特性（极坐标表示） 频率特性（极坐标表示）
-----Nyquist图 图
幅相频率特性曲线， 幅相频率特性曲线，又称为极坐标图
G( jω ) = A(ω)e
jϕ (ω )
变化时， 当输入信号的频率 ω → 0 ~ ∞ 变化时，向量 G ( jω ) 的幅值和相位也随之作相应的变化， 的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平 面上移动的轨迹称为极坐标图: 奎斯特(Nyquist) 面上移动的轨迹称为极坐标图:奈奎斯特 曲线,又称奈氏图 曲线 又称奈氏图 Im
n
稳态响应
趋向于零（ →∞ →∞） 瞬态响应 趋向于零（t→∞）
C ss (t ) = Ae − jω t + A e jω t
A = G(s)
系数 A、A 用留数法获取
Arω Arω −A (s + jω) s=− jω = G(− jω) (s + jω) s=− jω = G(− jω) r s2 +ω2 (s + jω)(s − jω) 2j
结论
同频率的正弦，幅值随频率变 相角也随频率变 同频率的正弦，幅值随频率变，相角也随频率变。 的正弦
Ar=1 ω=0.5
=1
=2
=2.5
=4
3
频率特性(公式推导 频率特性 公式推导) 公式推导
设稳定的线性定常控制系统
b0 sm + b1sm−1 +L+ bm 传递函数： 传递函数： G(s) = a0sn + a1sn−1 +L+ an
自动控制原理05频率响应法
9
（2）通过截止频率c的斜率为-40dB/dec 宽度：2 c 3
假设系统是稳定的，并近似认为整个开环特性为-40dB/dec
则，开环传递函数为
G(s)
K s2
c2
s2
对单位反馈系统，其闭环传递函数为
(s) G(s) c2 / s2 c2 1 G(s) 1c2 / s2 s2 c2
相位裕度为0，系统处于临界稳定状态，动态过程持续振荡。
1
(1
2 n2
)2
(2
n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
)2
0 0.707 时，产生谐振
2
(
)
arctg
1
n 2
n2
令
dM
d
0
得谐振频率r
n
1 2 2
将 r 代入M表达式，得谐振峰值 M r 2
1
1 2
M= 2 时的频率值 B 称截止频率。
5
2
时域指标与二阶系统参数 ,n 有下面的关系：
% e / 12 100%
▪ 谐振峰值 Mr 和峰值频率r
谐振峰值 Mr 表征了系统的相对稳定性 Mr 越大，则系统的稳定性越差
1.0 Mr 1.4(0 : 3dB) 时，相当于有效阻尼比在(0.4~0.7)， 系统可以获得满意的瞬态响应特性。
M r 1.5 时，阶跃瞬态响应将出现较大的超调。 M
Mr
r
tr
M (0)
开环幅频特性
G(
j)
(
K (1 j 1)( 2 j 1) ( m j j) (T1 j 1)(T2 j 1) (Tn
1)
j 1)
▪ 闭环幅频特性的零频值M(0)
对单位反馈系统，若系统为无静差系统，在常值信号作用 下，稳态时输出等于输入，有：
（2）通过截止频率c的斜率为-40dB/dec 宽度：2 c 3
假设系统是稳定的，并近似认为整个开环特性为-40dB/dec
则，开环传递函数为
G(s)
K s2
c2
s2
对单位反馈系统，其闭环传递函数为
(s) G(s) c2 / s2 c2 1 G(s) 1c2 / s2 s2 c2
相位裕度为0，系统处于临界稳定状态，动态过程持续振荡。
1
(1
2 n2
)2
(2
n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
)2
0 0.707 时，产生谐振
2
(
)
arctg
1
n 2
n2
令
dM
d
0
得谐振频率r
n
1 2 2
将 r 代入M表达式，得谐振峰值 M r 2
1
1 2
M= 2 时的频率值 B 称截止频率。
5
2
时域指标与二阶系统参数 ,n 有下面的关系：
% e / 12 100%
▪ 谐振峰值 Mr 和峰值频率r
谐振峰值 Mr 表征了系统的相对稳定性 Mr 越大，则系统的稳定性越差
1.0 Mr 1.4(0 : 3dB) 时，相当于有效阻尼比在(0.4~0.7)， 系统可以获得满意的瞬态响应特性。
M r 1.5 时，阶跃瞬态响应将出现较大的超调。 M
Mr
r
tr
M (0)
开环幅频特性
G(
j)
(
K (1 j 1)( 2 j 1) ( m j j) (T1 j 1)(T2 j 1) (Tn
1)
j 1)
▪ 闭环幅频特性的零频值M(0)
对单位反馈系统，若系统为无静差系统，在常值信号作用 下，稳态时输出等于输入，有：
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ˉ
11
10 en ( j ) 0.1( j ) 2 j 10K
ˉ
n(t ) 0.1sin(100t )
要求系统的稳态误差不大于0.001
10 K 0.1 2
10 (10K 0.1 2 ) j
ˉ
10 (10K 0.1 )
2 2 2
arctg
i 1 i 1
18
N
N
典型环节的幅相频率特性— Nyquist曲线
1 放大环节 K>0
传递函数 G( s) K 频率特性
Im
G( j) K
G ( j ) Ke
A( ) K
j00
K 0j
幅频特性和相频特性
0
0
Re
19
() 0
0
放大环节的幅相特性曲线
第五章 线性系统的频率分析法
分析自动控制系统，可以采用时域分析法，根轨 迹分析法，也可以利用系统的频率特性分析系统的性 能——频率分析法，又称频域响应法（图解法）。它 是分析和设计系统的一种有效经典方法。 1932年，Nyquist提出了一种根据闭环控制系统的 开环频率特性，确定闭环控制系统稳定性（相对）的 方法。频率分析法用于通讯领域控制领域。 本章研究内容（ 12学时） 频率特性概念及表示法、典型环节的频率特性 绘制（ Nyquist图、 Bode图）、系统开环频率特性 的绘制、 Nyquist稳定判据、稳定裕度、频域指标。
1
频率分析法的特点
（1）频率特性具有明确的物理意义，它可以用实 验的方法来确定，这对于难以列写微分方程式的元 部件或系统来说，具有重要的实际意义。 （2）由于频率响应法主要通过闭环系统中的开环 频率特性的图形对系统进行分析，因而具有形象直 观和计算量少的特点。 （3）用频域法设计控制系统，可以兼顾动态、稳 态和噪声抑制三方面要求。 （4）频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且 还适用于传递函数不是有理数的含滞后环节系统和 部分非线性控制系统的分析。 2
1
2
2
2
e
( arctg ) j 2
7
S S j
r (t ) 2 sin(t 300 )
1
2
2
2
e
arctg j 2
1
j
1 1 tg 1 1 j 26.6 2 j 1 e 0.45e j1 2 12 22
E (S )
B(S)
1 ( m l ) 2 i 1
G (S ) H (S )
C(S)
Ke G(S ) H (S ) S
TS
( S 1) (
i i 1 1 ( n h ) 2 j 1 j 2 j
l
2 i
S 2 i i S 1)
2 2
(T S 1) (T
幅频特性和相频特性
A( ) 1 T 2 2 1
( ) arctanT
T I ( ) 2 2 T 1
22
实频特性和虚频特性
1 R ( ) 2 2 1 T
幅相曲线为圆心在点（1/2,j0）上，半径为1/2的半园
Im 0
45
1 2 1 2 2 ( Re ) I m ( ) 2 2
干扰信号n(t)=0.1sin100t，要求系统的稳态误差不 大于0.001，试确定K值的可调范围
N(s) R(s) E(s) C(s)
E(s)=-C(s)
-
K
10 s(0.1s 1)
ˉ
10 E (s) s (0.1s 1) ˉ 10 en ( s) N ( s) 1 10K 0.1s 2 s 10K s(0.1s 1)
N i 1
[ Ai ( )]e
i 1
j[
i ( ) ]
i 1
N
幅频特性：A( ) Ai ( )， 相频特性： ( ) i ( )
N i 1
系统开环对数幅频特性
L() 20lg A() 20lg Ai ( ) Li ( )
0.001
(10 K 1000 ) 2 100 2 1000
K 2 200K 100 0
K 199 .5 或者0 K 0.505
13
频率特性、传递函数和微分方程 频率特性、传递函数和微分方程的关系
G( j) G(s) s j 描述等价的条件是什么？
5-1 频率特性(图说明)
设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。
输入一个幅值不变，频率不断增大的正弦信号。 曲线如下:
结论
Ar=1 =0.5
给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入
同频率的正弦，幅值随频率变，相角也随频率变。
=1
=2
=2.5
=4
3
相角延迟问题
AA
① 稳态输出 延迟于输入的 角度为： B = 360o A
css (t ) 2 0.45sin t 30 26.6 0.9 sin t 3.4
0 0
0
8
例题2 系统结构图如下图所示，确定在输入信号r(t) 作用下，系统的稳态误差ess(t)。
r (t ) sin(t 30o ) cos(2t 45o )
R(s) E(s)
j 2
Im
G( j ) j
G( j ) j e
0
幅频特性和相频特性
0
A( )
( )
2 与无关
0
微分环节的幅相特性曲线
Re
21
4 惯性环节
传递函数
1 G( s) Ts 1
1 1 j arctanT e 频率特性 G( j ) 2 2 Tj 1 T 1
0
A( ) T 1
2 2
0
1
一次微分环节 幅相特性曲线
Re
( ) arctan T
24
（6）振荡环节 传递函数：
2 n
T
1
n
0, 0 1
1 1 G( S )＝ 2 2 2 S 2 2 S T S 2 TS 1 S 2n S n ( n ) 2 ( n ) 1
2 积分环节
1 传递函数 G ( s) s
频率特性
1 1 G（j） e j
j
Im 0
2
Re
0
幅频特性和相频特性
A( ) 1
0
1 G ( j ) j
2 无无关
( )
积分环节的幅相特性曲线
20
3 微分环节
传递函数 频率特性
G(s) s
G( j) G(s) |s j
G( j ) C ( j ) R( j )
5
A() G( j) () G( j)
幅频特性：输出与输入的幅值比 相频特性：输出与输入的相角差
Ar sin(t)
G( j)
Ar | G( j) | sin(t G( j))
1
0.707
0 Re
1 G ( j ) Tj 1
惯性环节的幅相特性曲线
23
1 T
5 一次微分环节
传递函数 G ( s ) Ts 1 频率特性
Im
G( j ) jT 1
G( j ) Tj 1 T 2 2 1earctan T
幅频特性和相频特性
②该角度与输入信 号的初始角度无关
B B
A与B比值不变
4
稳定的线性系统：Css(t)输出与输入r(t)具有相同频率 的正弦信号
频率特性定义：零初始条件时线性系统在正弦信号 作用下，输出响应的稳态分量与输入量之比。
更为广泛的定义：输出量与输入量的傅立叶变换之比。
C ( j ) G ( j ) R ( j ) | C ( j ) | | G ( j ) | | R( j ) |
-
1 s 1
C(s)
E (S ) 1 e S R( S ) G(S ) 1
1 S 1 1 S 2 S 1 1
9
E (s) s j 1 1 e ( j ) R(s) s j2 2
r (t ) sin(t 30 ) cos(2t 45 )
频率特性：
G ( j ) 1 1
2 2 ( j ) 2 ( j ) 1 1 ( ) 2 ( ) j n n n n
25
G ( j )
2 2 ( j ) 2 ( j ) 1 1 ( ) 2 ( ) j n n n n
e
ess (t ) 0.1
10
(10K 1000 2 1002 ) 10 ess max 0.1 0.001 2 2 (10K 1000 100 )
sin[100t ( )]
12
ess max 0.1
10 (10K 1000 100 )
2 2
o o
1 j 1 e j 1 1j 2 2 j 1 e j 2 2j2
12 12 tg e 2 2 1 2
2 2
1 1 tg 1 1 1 2
j
0.63e
18.40 j
2 1 tg e 2 2 22
P d dt
微分方程
G (s )
传递函数 控制系统 频率特性
G ( j )
s j
11
10 en ( j ) 0.1( j ) 2 j 10K
ˉ
n(t ) 0.1sin(100t )
要求系统的稳态误差不大于0.001
10 K 0.1 2
10 (10K 0.1 2 ) j
ˉ
10 (10K 0.1 )
2 2 2
arctg
i 1 i 1
18
N
N
典型环节的幅相频率特性— Nyquist曲线
1 放大环节 K>0
传递函数 G( s) K 频率特性
Im
G( j) K
G ( j ) Ke
A( ) K
j00
K 0j
幅频特性和相频特性
0
0
Re
19
() 0
0
放大环节的幅相特性曲线
第五章 线性系统的频率分析法
分析自动控制系统，可以采用时域分析法，根轨 迹分析法，也可以利用系统的频率特性分析系统的性 能——频率分析法，又称频域响应法（图解法）。它 是分析和设计系统的一种有效经典方法。 1932年，Nyquist提出了一种根据闭环控制系统的 开环频率特性，确定闭环控制系统稳定性（相对）的 方法。频率分析法用于通讯领域控制领域。 本章研究内容（ 12学时） 频率特性概念及表示法、典型环节的频率特性 绘制（ Nyquist图、 Bode图）、系统开环频率特性 的绘制、 Nyquist稳定判据、稳定裕度、频域指标。
1
频率分析法的特点
（1）频率特性具有明确的物理意义，它可以用实 验的方法来确定，这对于难以列写微分方程式的元 部件或系统来说，具有重要的实际意义。 （2）由于频率响应法主要通过闭环系统中的开环 频率特性的图形对系统进行分析，因而具有形象直 观和计算量少的特点。 （3）用频域法设计控制系统，可以兼顾动态、稳 态和噪声抑制三方面要求。 （4）频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且 还适用于传递函数不是有理数的含滞后环节系统和 部分非线性控制系统的分析。 2
1
2
2
2
e
( arctg ) j 2
7
S S j
r (t ) 2 sin(t 300 )
1
2
2
2
e
arctg j 2
1
j
1 1 tg 1 1 j 26.6 2 j 1 e 0.45e j1 2 12 22
E (S )
B(S)
1 ( m l ) 2 i 1
G (S ) H (S )
C(S)
Ke G(S ) H (S ) S
TS
( S 1) (
i i 1 1 ( n h ) 2 j 1 j 2 j
l
2 i
S 2 i i S 1)
2 2
(T S 1) (T
幅频特性和相频特性
A( ) 1 T 2 2 1
( ) arctanT
T I ( ) 2 2 T 1
22
实频特性和虚频特性
1 R ( ) 2 2 1 T
幅相曲线为圆心在点（1/2,j0）上，半径为1/2的半园
Im 0
45
1 2 1 2 2 ( Re ) I m ( ) 2 2
干扰信号n(t)=0.1sin100t，要求系统的稳态误差不 大于0.001，试确定K值的可调范围
N(s) R(s) E(s) C(s)
E(s)=-C(s)
-
K
10 s(0.1s 1)
ˉ
10 E (s) s (0.1s 1) ˉ 10 en ( s) N ( s) 1 10K 0.1s 2 s 10K s(0.1s 1)
N i 1
[ Ai ( )]e
i 1
j[
i ( ) ]
i 1
N
幅频特性：A( ) Ai ( )， 相频特性： ( ) i ( )
N i 1
系统开环对数幅频特性
L() 20lg A() 20lg Ai ( ) Li ( )
0.001
(10 K 1000 ) 2 100 2 1000
K 2 200K 100 0
K 199 .5 或者0 K 0.505
13
频率特性、传递函数和微分方程 频率特性、传递函数和微分方程的关系
G( j) G(s) s j 描述等价的条件是什么？
5-1 频率特性(图说明)
设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。
输入一个幅值不变，频率不断增大的正弦信号。 曲线如下:
结论
Ar=1 =0.5
给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入
同频率的正弦，幅值随频率变，相角也随频率变。
=1
=2
=2.5
=4
3
相角延迟问题
AA
① 稳态输出 延迟于输入的 角度为： B = 360o A
css (t ) 2 0.45sin t 30 26.6 0.9 sin t 3.4
0 0
0
8
例题2 系统结构图如下图所示，确定在输入信号r(t) 作用下，系统的稳态误差ess(t)。
r (t ) sin(t 30o ) cos(2t 45o )
R(s) E(s)
j 2
Im
G( j ) j
G( j ) j e
0
幅频特性和相频特性
0
A( )
( )
2 与无关
0
微分环节的幅相特性曲线
Re
21
4 惯性环节
传递函数
1 G( s) Ts 1
1 1 j arctanT e 频率特性 G( j ) 2 2 Tj 1 T 1
0
A( ) T 1
2 2
0
1
一次微分环节 幅相特性曲线
Re
( ) arctan T
24
（6）振荡环节 传递函数：
2 n
T
1
n
0, 0 1
1 1 G( S )＝ 2 2 2 S 2 2 S T S 2 TS 1 S 2n S n ( n ) 2 ( n ) 1
2 积分环节
1 传递函数 G ( s) s
频率特性
1 1 G（j） e j
j
Im 0
2
Re
0
幅频特性和相频特性
A( ) 1
0
1 G ( j ) j
2 无无关
( )
积分环节的幅相特性曲线
20
3 微分环节
传递函数 频率特性
G(s) s
G( j) G(s) |s j
G( j ) C ( j ) R( j )
5
A() G( j) () G( j)
幅频特性：输出与输入的幅值比 相频特性：输出与输入的相角差
Ar sin(t)
G( j)
Ar | G( j) | sin(t G( j))
1
0.707
0 Re
1 G ( j ) Tj 1
惯性环节的幅相特性曲线
23
1 T
5 一次微分环节
传递函数 G ( s ) Ts 1 频率特性
Im
G( j ) jT 1
G( j ) Tj 1 T 2 2 1earctan T
幅频特性和相频特性
②该角度与输入信 号的初始角度无关
B B
A与B比值不变
4
稳定的线性系统：Css(t)输出与输入r(t)具有相同频率 的正弦信号
频率特性定义：零初始条件时线性系统在正弦信号 作用下，输出响应的稳态分量与输入量之比。
更为广泛的定义：输出量与输入量的傅立叶变换之比。
C ( j ) G ( j ) R ( j ) | C ( j ) | | G ( j ) | | R( j ) |
-
1 s 1
C(s)
E (S ) 1 e S R( S ) G(S ) 1
1 S 1 1 S 2 S 1 1
9
E (s) s j 1 1 e ( j ) R(s) s j2 2
r (t ) sin(t 30 ) cos(2t 45 )
频率特性：
G ( j ) 1 1
2 2 ( j ) 2 ( j ) 1 1 ( ) 2 ( ) j n n n n
25
G ( j )
2 2 ( j ) 2 ( j ) 1 1 ( ) 2 ( ) j n n n n
e
ess (t ) 0.1
10
(10K 1000 2 1002 ) 10 ess max 0.1 0.001 2 2 (10K 1000 100 )
sin[100t ( )]
12
ess max 0.1
10 (10K 1000 100 )
2 2
o o
1 j 1 e j 1 1j 2 2 j 1 e j 2 2j2
12 12 tg e 2 2 1 2
2 2
1 1 tg 1 1 1 2
j
0.63e
18.40 j
2 1 tg e 2 2 22
P d dt
微分方程
G (s )
传递函数 控制系统 频率特性
G ( j )
s j