工程流体力学第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动讲解
式的连续性方程
x
vx
y
v y
z
vz
t
0
或
(v) 0
t
连续性方程表示了单位时间内控制体内流体质量的增量等于流体在控
制体表面上的净通量。它适用于理想流体和粘性流体、定常流动和非定常
流动。
在定常流动中，由于 0 t
x
0
对于不可压缩流体 vr 1 v vz vr 0
r r z r
式中 r 为极径； 为极角
球坐标系中的表示式为:
1 (vrr 2 ) 1 (v sin ) 1 v 0
t r 2 r
r sin
r sin
在某流场O点邻近的任意点A上的速度可以分成三个部分： 分别为与O点相同的平移速度（平移运动）；绕O点转动在A点 引起的速度（旋转运动）；由于变形（包括线变形和角变形） 在A点引起的速度（变形运动）。
第三节 有旋流动和无旋流动
根据流体微团在流动中是否旋转，可将流体的流动分为两 类：有旋流动和无旋流动。
vx y
2 x
2 y
2 z
前面在流体微团的分析中，已给出E点的速度为 :
vxE
vx
vx x
dx
vx y
dy
vx z
dz
v yE
vy
vy x
dx
vy y
dy
vy z
dz
vzE
vz
vz x
dx
vz y
数学条件：
当
1
V
0
2
无旋流动
当
1
V
0
有旋流动
通常以
V
2
是否等于零作为判别流动是否有旋或无旋
的判别条件。
在笛卡儿坐标系中：
V
vz y
v y z
i
vx z
vz x
j
v y x
vx y
在角变形运动和旋转运动同时发生的情况下，将会有以下关系式：
1 2
1 2
于是沿z轴流体微团的旋转角速度分量：
z
dt
1 2
dt
dt
1 2
vy x
f (x, y) 0
vz 4(x y)z
第二节 流体微团的运动分析
流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变形。 因此，流体微团在运动过程中不但象刚体那样可以有移动和转 动，而且还会发生变形运动。一般情况下，流体微团的运动可 以分解为移动，转动和变形运动。
具体分析如下：
vy
vy x
方向的速度分量vz 。
【解】对不可压缩流体连续性方程为：
vx vy vz 0
x y z
将已知条件代入上式，有
vz 4x 4 y z
4x 4 y vz 0 z
vz 4(x y)z f (x, y)
又由已知条件对任何 x ， y ，当 z 0 时，vz 0 。故有
( v y x
vx y
)dx
1 2
( vz y
vy z
)dz
1 2
( v y x
vx y
)dx
vzE
vz
vz z
z
1 2
( vx z
vz x
)dx
1 2
( vz y
vy z
)dy
1 2
( vx z
vz x
)dx
1 2
dy
vz z
dz
如果在上式的第一式右端加入两组等于零的项：
vxE
vx
vx x
dx
vx y
dy
vx z
dz
1 vz dz 1 vz dz 2 x 2 x 1 vy dy 1 vy dy
2 x 2 x
其值不变。经过简单组合，可将该式写成 ：
第一节 流体流动的连续性方程
t
CV
dV
CS
vndA
0
(3-22)
首先推导在笛卡儿坐标系中微分形式的连续性方程
vz
在 x 方向上，单位时间通过EFGH面流入的流体质量为
vx
x
vxdx 2Fra bibliotekdydz
（a）
单位时间通过ABCD面流出的流体质量
v
k
即当流场速度同时满足：
vz vy y z
vx vz z x
vy vx x y
时流动无旋。
需要指出的是，有旋流动和无旋流动仅由流体微团本身是
否发生旋转来决定，而与流体微团本身的运动轨迹无关。
如图（a），流体微团的运动为旋转的圆周运动，其微团自 身不旋转，流场为无旋流动；图（b）流体微团的运动尽管为 直线运动，但流体微团在运动过程中自身在旋转，所以，该流 动为有旋流动。
( vz y
vy z
)dy
将旋转角速度分量，角变形速度之半代入以上三式，便可将式写
成
：
vxE
vx
vx x
dx x
( z
dy 2
y
dz 2
)
(
y
dz 2
z
dy ) 2
v yE
vy
v y y
dy 2
( x
dz 2
z
dx 2
)
(
z
dx 2
x
（a）
（b）
x a 【例7-2】 某一流动速度场为 vx ay ，vy vz 0，其中 是
不为零的常数，流线是平行于 轴的直线。试判别该流动是有 旋流动还是无旋流动。
【解】
由于
x
1 2
vz y
vy z
0
y
1 vx 2 z
x
vz x
p p dx x 2
f
x
fz
fx, fy, fz
微元体在质量力和表面力的作用下产生的加速度 a ，根
据牛顿第二定律 ：
Fx
m dvx dt
f
x
dxdydz
(
p
p x
dx )dydz 2
(
p
p x
dx )dydz 2
dxdydz
dvx dt
两端同除以微元体的质量 dxdydz ,并整理有：
x
x
vx
dx 2
dydz
（b）
则在 x 方向单位时间内通过微元体表面的净通量为（b）-（a），即
x
v
x
dx
dydz
（c1）
z 同理可得y 和 方向单位时间通过微元体表面的净通量分别为
y
v
y
dxdydz
（c2）
z
vz
dxdydz
（c3）
因此，单位时间流过微元体控制面的总净通量为
第七章 理想不可压缩流体的有 旋流动和无旋流动
本章内容：在许多工程实际问题中，流动参数 不仅在流动方向上发生变化，而且在垂直于流 动方向的横截面上也要发生变化。要研究此类 问题，就要用多维流的分析方法。本章主要讨 论理想流体多维流动的基本规律，为解决工程 实际中类似的问题提供理论依据，也为进一步 研究粘性流体多维流动奠定必要的基础。
dz ) 2
vzE
vz
vz z
dz 2
( y
dx 2
x
dy 2
)
(
x
dy 2
y
dx ) 2
上式表明：各速度分量的第一项是平移速度分量，第二、 三、四项分别是由线变形运动、角变形运动和旋转运动所引起 的线速度分量。此关系也称为海姆霍兹(Helmholtz)速度分解 定理，该定理可简述为：
vr 1 v 1 v 2vr v cot 0
r r r sin r
r
式中 r 为径矩；为纬度； 为径度。
【例7-1】已知不可压缩流体运动速度 v 在 x ，y 两个轴方向的分量
为 vx 2x2 y ，vy 2y2 z 。且在 z 0 处，有 vz 0 。试求 z 轴
CS
vn dA
x
vx
y
v y
z
vz
dxdydz
（c）
微元六面体内由于密度随时间的变化而引起的质量的变化率为：
t
CV
dV
t
CV
dxdydz
t
dxdydz
（d）
将式（c），（d）代入式（3-22），同除以dxdydz ，则可得到微分形
x
vx
y
v y
z
vz
t
0
或
(v) 0
t
连续性方程表示了单位时间内控制体内流体质量的增量等于流体在控
制体表面上的净通量。它适用于理想流体和粘性流体、定常流动和非定常
流动。
在定常流动中，由于 0 t
x
0
对于不可压缩流体 vr 1 v vz vr 0
r r z r
式中 r 为极径； 为极角
球坐标系中的表示式为:
1 (vrr 2 ) 1 (v sin ) 1 v 0
t r 2 r
r sin
r sin
在某流场O点邻近的任意点A上的速度可以分成三个部分： 分别为与O点相同的平移速度（平移运动）；绕O点转动在A点 引起的速度（旋转运动）；由于变形（包括线变形和角变形） 在A点引起的速度（变形运动）。
第三节 有旋流动和无旋流动
根据流体微团在流动中是否旋转，可将流体的流动分为两 类：有旋流动和无旋流动。
vx y
2 x
2 y
2 z
前面在流体微团的分析中，已给出E点的速度为 :
vxE
vx
vx x
dx
vx y
dy
vx z
dz
v yE
vy
vy x
dx
vy y
dy
vy z
dz
vzE
vz
vz x
dx
vz y
数学条件：
当
1
V
0
2
无旋流动
当
1
V
0
有旋流动
通常以
V
2
是否等于零作为判别流动是否有旋或无旋
的判别条件。
在笛卡儿坐标系中：
V
vz y
v y z
i
vx z
vz x
j
v y x
vx y
在角变形运动和旋转运动同时发生的情况下，将会有以下关系式：
1 2
1 2
于是沿z轴流体微团的旋转角速度分量：
z
dt
1 2
dt
dt
1 2
vy x
f (x, y) 0
vz 4(x y)z
第二节 流体微团的运动分析
流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变形。 因此，流体微团在运动过程中不但象刚体那样可以有移动和转 动，而且还会发生变形运动。一般情况下，流体微团的运动可 以分解为移动，转动和变形运动。
具体分析如下：
vy
vy x
方向的速度分量vz 。
【解】对不可压缩流体连续性方程为：
vx vy vz 0
x y z
将已知条件代入上式，有
vz 4x 4 y z
4x 4 y vz 0 z
vz 4(x y)z f (x, y)
又由已知条件对任何 x ， y ，当 z 0 时，vz 0 。故有
( v y x
vx y
)dx
1 2
( vz y
vy z
)dz
1 2
( v y x
vx y
)dx
vzE
vz
vz z
z
1 2
( vx z
vz x
)dx
1 2
( vz y
vy z
)dy
1 2
( vx z
vz x
)dx
1 2
dy
vz z
dz
如果在上式的第一式右端加入两组等于零的项：
vxE
vx
vx x
dx
vx y
dy
vx z
dz
1 vz dz 1 vz dz 2 x 2 x 1 vy dy 1 vy dy
2 x 2 x
其值不变。经过简单组合，可将该式写成 ：
第一节 流体流动的连续性方程
t
CV
dV
CS
vndA
0
(3-22)
首先推导在笛卡儿坐标系中微分形式的连续性方程
vz
在 x 方向上，单位时间通过EFGH面流入的流体质量为
vx
x
vxdx 2Fra bibliotekdydz
（a）
单位时间通过ABCD面流出的流体质量
v
k
即当流场速度同时满足：
vz vy y z
vx vz z x
vy vx x y
时流动无旋。
需要指出的是，有旋流动和无旋流动仅由流体微团本身是
否发生旋转来决定，而与流体微团本身的运动轨迹无关。
如图（a），流体微团的运动为旋转的圆周运动，其微团自 身不旋转，流场为无旋流动；图（b）流体微团的运动尽管为 直线运动，但流体微团在运动过程中自身在旋转，所以，该流 动为有旋流动。
( vz y
vy z
)dy
将旋转角速度分量，角变形速度之半代入以上三式，便可将式写
成
：
vxE
vx
vx x
dx x
( z
dy 2
y
dz 2
)
(
y
dz 2
z
dy ) 2
v yE
vy
v y y
dy 2
( x
dz 2
z
dx 2
)
(
z
dx 2
x
（a）
（b）
x a 【例7-2】 某一流动速度场为 vx ay ，vy vz 0，其中 是
不为零的常数，流线是平行于 轴的直线。试判别该流动是有 旋流动还是无旋流动。
【解】
由于
x
1 2
vz y
vy z
0
y
1 vx 2 z
x
vz x
p p dx x 2
f
x
fz
fx, fy, fz
微元体在质量力和表面力的作用下产生的加速度 a ，根
据牛顿第二定律 ：
Fx
m dvx dt
f
x
dxdydz
(
p
p x
dx )dydz 2
(
p
p x
dx )dydz 2
dxdydz
dvx dt
两端同除以微元体的质量 dxdydz ,并整理有：
x
x
vx
dx 2
dydz
（b）
则在 x 方向单位时间内通过微元体表面的净通量为（b）-（a），即
x
v
x
dx
dydz
（c1）
z 同理可得y 和 方向单位时间通过微元体表面的净通量分别为
y
v
y
dxdydz
（c2）
z
vz
dxdydz
（c3）
因此，单位时间流过微元体控制面的总净通量为
第七章 理想不可压缩流体的有 旋流动和无旋流动
本章内容：在许多工程实际问题中，流动参数 不仅在流动方向上发生变化，而且在垂直于流 动方向的横截面上也要发生变化。要研究此类 问题，就要用多维流的分析方法。本章主要讨 论理想流体多维流动的基本规律，为解决工程 实际中类似的问题提供理论依据，也为进一步 研究粘性流体多维流动奠定必要的基础。
dz ) 2
vzE
vz
vz z
dz 2
( y
dx 2
x
dy 2
)
(
x
dy 2
y
dx ) 2
上式表明：各速度分量的第一项是平移速度分量，第二、 三、四项分别是由线变形运动、角变形运动和旋转运动所引起 的线速度分量。此关系也称为海姆霍兹(Helmholtz)速度分解 定理，该定理可简述为：
vr 1 v 1 v 2vr v cot 0
r r r sin r
r
式中 r 为径矩；为纬度； 为径度。
【例7-1】已知不可压缩流体运动速度 v 在 x ，y 两个轴方向的分量
为 vx 2x2 y ，vy 2y2 z 。且在 z 0 处，有 vz 0 。试求 z 轴
CS
vn dA
x
vx
y
v y
z
vz
dxdydz
（c）
微元六面体内由于密度随时间的变化而引起的质量的变化率为：
t
CV
dV
t
CV
dxdydz
t
dxdydz
（d）
将式（c），（d）代入式（3-22），同除以dxdydz ，则可得到微分形
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第七章 不可压缩流体动力学基础
zz dz z
zx
应力状态：
zx dz z
xx
xy
xy x
dx
yx
xx
z
y
xz zx
yz
zz
yx
xx dx x
粘性流场中任意一点的应力有9 个分量，包括3个正应力分量和 6个切应力分量：
yx y
dy
x
切应力互等定律
恒定流或非恒定流； 理想液体或实际液体。
一维流动的连续方程
1 A1 2 A2
连续性方程是流体流动微分方程最基本的方程 之一。任何流体的连续运动均必须满足。
例：已知不可压流体速度,
u x y z , v xy yz zx
2 2 2
u v w 解： 不可压流体 V 0 0 x y z w 2x x z 0 z w 3 x z z 1 2 w z 3 xz f ( x , y , t ) 2
vD D uD C vC
v yt y
D
B A
uC
y
v A u B vB uB
u x t x
x
线变形率
u x x
x
7.1 流体微团的运动分 析 三、角变形率
1. 角变形
y
u yt y
u tg t C y
D vD D uD C uC vC
第七章
不可压缩流体动力学 基础
重点、难点内容
流体微团运动的分析 有旋流动、无旋流动 理想流体运动微分方程 涡线、涡管以及斯托克斯定理
第一节
流体微团运动的分析
分析流场中任意流体微团运动是研 究整个流场运动的基础。 流体运动要比刚体运动复杂得多， 流体微团基本运动形式有平移运动，旋 转运动和变形运动等，而变形运动又包 括线变形和角变形两种。
流体力学第七章理想不可压缩流体无旋运动
m y 2 2 2 x y
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28
A W ( z) z
Ax 2 2 x y
Ax 2 2 x y
Ay 流线 2 C1 2 x y
c2 c2 x y 2 2
2 2 2
Ax 等势线 2 C3 2 x y
u ,v y x
(M ) (M 0 )
M
M0
vdx udy y
方一红
天津大学力学系
11
流函数的性质
1） 流函数可以差一任意常数，而不影响流体的 运动。 运动 2） 流函数与流线 数 线
x, y C
3） 流函数与体积流量
——流线
0
( div v 0 )
C11 C22 Cnn
天津大学力学系 方一红
2
0 2 p ~ V V f t t 2
t t 0 : v v r , p p r
dW u iv i U dz
W ( z) U z
天津大学力学系
方一红
21
2 点源与点汇
z x iy y re
i
W ( z ) a ln z
W ( z ) i a ln l r ia
天津大学力学系
方一红
22
a ln r , a
方一红
天津大学力学系
7
速度势函数性质
1） 速度势函数可允许相差一任意常数，而不影响 流体运动 流体运动。 2） 速度势的方向导数。
v m vm m
3）等势线。
( x, y ) C
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28
A W ( z) z
Ax 2 2 x y
Ax 2 2 x y
Ay 流线 2 C1 2 x y
c2 c2 x y 2 2
2 2 2
Ax 等势线 2 C3 2 x y
u ,v y x
(M ) (M 0 )
M
M0
vdx udy y
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11
流函数的性质
1） 流函数可以差一任意常数，而不影响流体的 运动。 运动 2） 流函数与流线 数 线
x, y C
3） 流函数与体积流量
——流线
0
( div v 0 )
C11 C22 Cnn
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2
0 2 p ~ V V f t t 2
t t 0 : v v r , p p r
dW u iv i U dz
W ( z) U z
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21
2 点源与点汇
z x iy y re
i
W ( z ) a ln z
W ( z ) i a ln l r ia
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22
a ln r , a
方一红
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7
速度势函数性质
1） 速度势函数可允许相差一任意常数，而不影响 流体运动 流体运动。 2） 速度势的方向导数。
v m vm m
3）等势线。
( x, y ) C
理想不可压缩流体的平面势流及旋涡运动
同心圆。当 ，
故源点是奇点，
不讨论。
流函数ψ
由
0
积分
ψ＝const 为流线，即θ=const，流线是 半射线。等φ线与等ψ线正交。
3.点源的压力分布 在源上任取一点与无穷远处写能量方程
将 ， 代入
p
有
P与r成抛物线正比。r
p;r p
r r0
三、点涡
点涡：无限长的直 线涡束所形成的平 面流动。除涡线本 身有旋外涡线外的 流体绕涡线做等速 圆周运动且无旋。
α
L
将矢量 、 分别 表示：
故对封闭周线 L的环量为：
环量是一个标量，它的正负取决 于速度方与线积分的方向。
当速度方向与线积分方向同向时取正， 反向时取负。若是封闭周线，逆时针 为正，顺时针为负。
例：不可压缩流体平面流动的
速度分布为
，
求绕圆
的速度环量。
解：
积分路径在圆上，有
四、斯托克斯定理 斯托克斯定理：任意面积A上的旋
由高数知识可知，柯西—黎曼条件是使 成为某一个函数
全微分的充要条件，即
而当 t 为参变量，
的全微分为
比较两 式有：
柱坐标
把
称为速度势函数简称势函数
无论流体是否可压缩，是否定常 流只要满足无旋条件 ，总有势函数存 在。故理想流体无旋流也称势流。
用势函数表示速度矢量：
2、势函数的性质
1）流线与等势面垂直
3）流函数ψ与势函数φ的关系：
对不可压平面势流，流函数和势函数同时 存在，它们之间关系是
a:
b: 等φ线与等ψ线垂直
前已证明，流线与等势面垂直，
而
的线是流线故等φ
线与等ψ线垂直。
第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动 §7-1 流体流动的连续性方程
亥姆霍兹第三定理（涡管强度守恒定理）
理想正压性流体在有势的质量力作用下，任一涡管强 度不随时间变化。
作业：7-2(1)、(3)， 7-5
x
vx
y
v y
z
vz
dxdydz
微元体内总质量的变化率为 ：
t
CV
dV
t
CV
dxdydz
t
dxdydz
取极限：CV→0，控制体收缩为质点，得：
t
x
vx
y
vy
z
vz
0
写为矢量形式 ：
(v) 0
t
讨论：1. 定常流动 (v) 0
2. 不可压缩流体流动
v 0
divv 0
vx x
dx
vx y
dy
y
vy
v y y
dy
C
C’
vy
B
v y x
dx
v y y
dy
dβ
dy
vx vy
o
dα
dx
A
A’
vx vy
vx x v y x
dx dx
d(dx) vx dxt dx vx t
x
x
x
d(dy) vy dyt dy vy t
y
y
1. 平移运动
y
C
B
dy
vx
o
dx
A vy
x
v2 2
PF
2
yvz
zvy
dx
y
v2 2
PF
2zvx
xvz
dy
z
v2 2
PF
2
xvy
yvx
dz
理想正压性流体在有势的质量力作用下，任一涡管强 度不随时间变化。
作业：7-2(1)、(3)， 7-5
x
vx
y
v y
z
vz
dxdydz
微元体内总质量的变化率为 ：
t
CV
dV
t
CV
dxdydz
t
dxdydz
取极限：CV→0，控制体收缩为质点，得：
t
x
vx
y
vy
z
vz
0
写为矢量形式 ：
(v) 0
t
讨论：1. 定常流动 (v) 0
2. 不可压缩流体流动
v 0
divv 0
vx x
dx
vx y
dy
y
vy
v y y
dy
C
C’
vy
B
v y x
dx
v y y
dy
dβ
dy
vx vy
o
dα
dx
A
A’
vx vy
vx x v y x
dx dx
d(dx) vx dxt dx vx t
x
x
x
d(dy) vy dyt dy vy t
y
y
1. 平移运动
y
C
B
dy
vx
o
dx
A vy
x
v2 2
PF
2
yvz
zvy
dx
y
v2 2
PF
2zvx
xvz
dy
z
v2 2
PF
2
xvy
yvx
dz
第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动
第三节 理想流体的旋涡运动
本节主要讲述理想流体有旋运动的理论基础，重点是速度环 量及其表征环量和旋涡强度间关系的斯托克斯定理。
一、涡线、涡管、涡束和旋涡强度
涡量用来描述流体微团的旋转运动。涡量的定义为：
2 V 也称为旋度
涡量是点的坐标和时间的函数。它在直角坐标系中的投影为：
x
根据流体微团在流动中是否旋转，可将流体的流动分为两类：
有旋流动和无旋流动。
当
1
V
0
2
无旋流动
当
1
V
0
2
有旋流动
通常以
V
是否等于零作为判别流动是否有旋或无旋的
判别条件。
在笛卡儿坐标系中：
V
vz y
v y z
i
vx z
Байду номын сангаас
w x
2020/1/30 第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动
（4）旋转运动 dα dβ 且符号相反
则流体微团只发生旋转，不发生角变形 大多数情况下，流体微团在发生角变形的同时，还 要发生旋转运动。
2020/1/30 第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动
旋转角速度： dα v dt
还是无旋流动。
【解】：由于
x
1 2
vz y
v y z
0
y
1 vx 2 z
x
vz
x
0
z
1 2
v y x
第七章_理想流体二元不可压缩流动
1 1 1 vr z ( ( rv ) ) 2 r r r
代入速度分布可得
z 0
故该流动是无旋的。
20
7.3不可压缩理想流体平面势流的基本方程
工程上有许多问题可简化为理想流体的
无旋流动问题，如流体机械内的流动。利 用无旋流动的特性，可建立线性运动方程 来求解流体的速度分布，从而避开求解欧 拉方程的困难。
21
7.3.1速度势函数
对于无旋流动，速度的旋度为零，即
v 2 0
此时流体质点都要满足以下条件
vx v y vz vx v y vz , , y x x z z y
22
由数学分析，上面的三个方程是
vx dx v y dy vz dz
即单位时间内直角改变量的一半。 同理对三维空间可写出
1 vz v y x ( ) 2 y z
1 v x v z y ( ) 2 z x
剪变形角速度是流体微团中某一直角的减 小速度的一半。
10
三、平均旋转角速度
y I׳ 虚线是初始位置， C׳ I D׳ 经过∆t时间后，流体微 D C (α+β)/2 团运动到AB׳C׳D。׳由几 α 何关系 B׳
vx , vy y x
36
平面流动的流线方程为
vx dy vy dx 0
所以在流线上有
d 0或 const
在每条流线上函数ψ都有不同的值，故ψ被称 为流函数。在引出流函数时，并未涉及到流 体的粘性和是否为有势流动，只要是不可压 缩流体的平面流动，就必然存在流函数。在 三维流动中一般不存在流函数，轴对称流动 除外。
38
dq vx dy vy dx
流体的有旋流动与无旋流动
图 4－4
微团线变形运动分析
流体微团的线变形速度是用直线距离上单位时间内单位长度的伸长量(或缩短量)来表示 的。线变形速度在各个坐标轴上的分量分别用 εx、εy、εz 表示。如图 4－4 所示，在流场中任 取一流体微团，形心点为 O，OA 平行于 x 轴，长度为 dx，OB 平行于 y 轴，长度为 dy，OC 平行于 z 轴(垂直于纸面)，长度为 dz。形心 O 点处流体质点的速度 u 在各坐标轴上的分量为 ux、uy、uz。A 点的 x 向分速度和 B 点的 y 向分速度及 C 点的 z 向分速度可按泰勒级数展开 并略去高阶无穷小量得到，它们分别为 u x +
向的伸长量(或缩短量)为 量为
∂u z d z dτ 。 则在 x 轴方向上流体微团在单位时间内单位长度的伸长 ∂z
∂u x d x dτ ∂u ∂x εx = = x d x dτ ∂x
在 y 轴方向上流体微团在单位时间内单位长度的缩短量为
d y dτ ∂u y ∂y εy = = d y dτ ∂y
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ux 和 uy。A 点在 y 轴方向的分速度和 B 点在 x 轴方向的分速度可按泰勒级数展开，并略去高 阶无穷小量而得到，它们分别为 u y +
∂ uy ∂x
d x 和 ux +
∂ ux d y ，相对于 O 点而言，A 点在 y ∂y
(a)有旋流动 图 4－3
(b)无旋流动 流体微团的运动轨迹
对于圆柱坐标系来说
r r r r u = u r ir + u θ iθ + u z iz
因此，用上述类似的分析方法可以得到圆柱坐标系下的流体微团的旋转角速度及涡量的计算 公式，即
第7章 不可压缩流体动力学基础
dz
ρvx dydz
∂( ρvx ) dxdydz ρvx + ∂x
＝
微元体内的 质量变化率
dx x y 微元体及其表面的质量通量
34
连续性方程
1、x方向：dt时间内沿从六面体 x 处与 x+dx 处输 、 方向 方向： 时间内沿从六面体 入与输出的质量差： 入与输出的质量差：
25
涡线
26
涡管
在涡量场中任意画一封闭曲线， 在涡量场中任意画一封闭曲线，通过这条曲线 上的每一点所作出的涡线构成一管状的曲面， 上的每一点所作出的涡线构成一管状的曲面，称为 涡管。 涡管。
27
涡通量
28
涡管强度守恒定理
涡管截面愈小的地方，流体的旋转角速度愈大。 涡管截面愈小的地方，流体的旋转角速度愈大。
31
斯托克斯定理
沿任意封闭曲线s的速度环量等于通过以该曲 沿任意封闭曲线 的速度环量等于通过以该曲 的涡通量。 线为边界的曲面 A 的涡通量。
32
33
第三节 不可压缩流体连续性微分方程
直角坐标系中的连续性方程 直角坐标系中的连续性方程
z dy
质量守恒
输入微元体 输出微元体 的质量流量－ 的质量流量
8
平移运动速度
微团上各点公有的分速度 ux 和uy ，使它们在 dt 时间内均沿 x 方向移动一距离 uxdt , 沿 y 方向移 因而，我们把中心点 动一距离 uydt 。因而，我们把中心点 M 的速度 ux 定义为流体微团的平移运动速度。 和 uy ，定义为流体微团的平移运动速度。
9
线变形运动
13
旋转角速度
y B t M^
∂u x dydt ∂y
t+dt
ρvx dydz
∂( ρvx ) dxdydz ρvx + ∂x
＝
微元体内的 质量变化率
dx x y 微元体及其表面的质量通量
34
连续性方程
1、x方向：dt时间内沿从六面体 x 处与 x+dx 处输 、 方向 方向： 时间内沿从六面体 入与输出的质量差： 入与输出的质量差：
25
涡线
26
涡管
在涡量场中任意画一封闭曲线， 在涡量场中任意画一封闭曲线，通过这条曲线 上的每一点所作出的涡线构成一管状的曲面， 上的每一点所作出的涡线构成一管状的曲面，称为 涡管。 涡管。
27
涡通量
28
涡管强度守恒定理
涡管截面愈小的地方，流体的旋转角速度愈大。 涡管截面愈小的地方，流体的旋转角速度愈大。
31
斯托克斯定理
沿任意封闭曲线s的速度环量等于通过以该曲 沿任意封闭曲线 的速度环量等于通过以该曲 的涡通量。 线为边界的曲面 A 的涡通量。
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33
第三节 不可压缩流体连续性微分方程
直角坐标系中的连续性方程 直角坐标系中的连续性方程
z dy
质量守恒
输入微元体 输出微元体 的质量流量－ 的质量流量
8
平移运动速度
微团上各点公有的分速度 ux 和uy ，使它们在 dt 时间内均沿 x 方向移动一距离 uxdt , 沿 y 方向移 因而，我们把中心点 动一距离 uydt 。因而，我们把中心点 M 的速度 ux 定义为流体微团的平移运动速度。 和 uy ，定义为流体微团的平移运动速度。
9
线变形运动
13
旋转角速度
y B t M^
∂u x dydt ∂y
t+dt
不可压缩流体的有旋流动和二维无旋流动—工程流体力学
29.05.2020
工程流体力学
流体的无旋流动虽然在工程上出现得较少，但 无旋流动比有旋流动在数学处理上简单 得多，因 此，对二维平面势流在理论研究方面较成熟。对 工程中的某些问题，在特定条件下对黏性较小的 流体运动进行无旋处理，用势流理论去研究其运 动规律，特别是绕流物体的流动规律，对工程实 践具有指导意义和应用价值。因此，本章先阐述 有旋流动的基本概念及基本性质，然后再介绍二
29.05.2020
工程流体力学
一、表示流体微团运动特征的速度表达式
在运动流体中，在时刻t 任取一正交六面体流体微团，其边长分别为 dx 、d y 、dz ，
如图 4-1 所示。当选取该流体微团上的 F(x ，y ， z )点为参考点时，则该点的速度分
量分别为u (x ， y ，z )、v(x ， y ，z )、w (x ，y ，z )，其他各点的速度均可利用泰勒级
维平面势流理论。
29.05.2020
工程流体力学
第一节 流体微团运动分析
刚体的一般运动可以分解为移动和转动 两部分。流体与刚体的主要不同在于它具 有流 动性，极易变形。因此，任一流体微 团在运动过程中不但与刚体一样可以移动 和转动，而且还会发生变形运动。所以， 在一般情况下流体微团的运动可以分解为 移动、转动和变形运动三部分。
v c v y v d 1 2 y x v u y d x 1 2 v z w y d z 1 2 x v u y d x 1 2 w y v z d z
w c w w z d z 1 2 w x u z d x 1 2 w y v z d y 1 2 w y v z d z 1 2 u z w x d x
各点的速度分量如图4-2所示。由于微团上各点的 速度不同，经过时间 ，d t势必发生不同的运动， 微团的位置和形状都将发生变化，现分析如下。
第七章 理想不可压缩流体无旋运动PPT课件
液体，通常情况下。 气体，低速绕流运动（流速<< 声速），
例如飞机速度<100m/s时。 3）无旋运动：在以上近似下，有势体力场中流体涡旋运动性质
具有保持性，即初始无旋则永远无旋。在流体从静止开始的运 动中和无穷远均匀来流绕流物体的运动等，流动均无旋。此模 型是对一类广泛存在的流动问题的理想近似。
3
1) 流函数可允许相差一任意常数，而不影响流体的运动；
2) (x, y)常数是流线，它的切线方向和速度矢量的方向重合：
根据定义，流线方程为：
dx dy uv
vdxudy0
v u
x
y
dxdy0
x y
d 0
(x, y)常数是流线
18
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
3) 通过曲线NN0的流量等于这两点处流函数的差值：
数学表达
1) 流体运动只在与Oxy平面平行的平面内进行，w=0；
2) 在与Oz轴平行的直线上所有物理量不变，即：
0
z
8
绕无限翼展的流动(平面流动)
9
绕有限翼展的流动(三维流动)
10
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
二、速度势函数
对平面运动：w=0 0 z
i jk
rotv
x y z uv0
二、基本方程组
第一节 引言
V 0
dV dt
F
p
t
0,
V
V
r ,
p
p r
B oundary condition s
方程组求解的困难: (1) 惯性项非线性；(2) 速度v与压力p相互关 联，需要联立求解
4
若运动无旋，则： rotv0
例如飞机速度<100m/s时。 3）无旋运动：在以上近似下，有势体力场中流体涡旋运动性质
具有保持性，即初始无旋则永远无旋。在流体从静止开始的运 动中和无穷远均匀来流绕流物体的运动等，流动均无旋。此模 型是对一类广泛存在的流动问题的理想近似。
3
1) 流函数可允许相差一任意常数，而不影响流体的运动；
2) (x, y)常数是流线，它的切线方向和速度矢量的方向重合：
根据定义，流线方程为：
dx dy uv
vdxudy0
v u
x
y
dxdy0
x y
d 0
(x, y)常数是流线
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第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
3) 通过曲线NN0的流量等于这两点处流函数的差值：
数学表达
1) 流体运动只在与Oxy平面平行的平面内进行，w=0；
2) 在与Oz轴平行的直线上所有物理量不变，即：
0
z
8
绕无限翼展的流动(平面流动)
9
绕有限翼展的流动(三维流动)
10
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
二、速度势函数
对平面运动：w=0 0 z
i jk
rotv
x y z uv0
二、基本方程组
第一节 引言
V 0
dV dt
F
p
t
0,
V
V
r ,
p
p r
B oundary condition s
方程组求解的困难: (1) 惯性项非线性；(2) 速度v与压力p相互关 联，需要联立求解
4
若运动无旋，则： rotv0