2021学年高中数学第一章立体几何初步1.7.3球课件北师大版必修2.ppt
规律方法 多面体之间或多面体与球之间的切接关系，是一 种空间简单几何体之间的位置关系．处理这类问题时，一般可以 采用两种转化方法：一是转化为平面图形之间的内切或外接关 系；二是利用分割的方式进行转化，使运算和推理变得简单，这 里体现的转化思想是立体几何中非常重要的思想方法．
类型一 球的表面积 【例 1】 已知：圆柱的底面直径与高都等于球的直径． 求证：(1)球的表面积等于圆柱的侧面积； (2)球的表面积等于圆柱表面积的23.
【证明】 (1)如图，设球的半径为 R，则圆柱的底面半径为 R，高为 2R，得 S 球＝4πR2，S 圆柱侧＝2πR·2R＝4πR2.
∴S 球＝S 圆柱侧 . (2)∵S 圆柱表＝4πR2＋2πR2＝6πR2， S 球＝4πR2，∴S 球＝23S 圆柱表 .
一个空间几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都 是半径为 1 的圆，且这个几何体是实心球体的一部分，则这个几 何体的表面积是 4π .
解析：由已知可得，该几何体是一个球截去四分之一后剩余 的部分．又因为 R＝1，所以表面积 S＝34×4×π×12＋2×12×π×12 ＝4π.
类型三 球的接与切问题 【例 3】 有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与 这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求 这三个球的表面积之比． 【思路探究】 作出截面图，分别求出三个球的半径．
提示：通过画过球心的截面来分析．例如，底面半径为 r，高为 h 的圆锥内部有一球 O，且球与圆锥的底面和侧面均相切．过球心 O 作球的截面，如图所示，则球心是等腰三角形 ABC 的内切圆的圆心， AB 和 AC 均是圆锥的母线，BC 是圆锥底面直径，D 是圆锥底面的 圆心．
用同样的方法可得以下结论： ①长方体的 8 个顶点在同一个球面上，则长方体的体对角线是 球的直径； 球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长； 球与正方体的 12 条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角 线． ②球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高， 也等于圆柱底面圆的直径． ③球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．
第一章
立体几何初步
§7 简单几何体的再认识
7.3 球
01 预习篇
0பைடு நூலகம்课堂篇
03提高篇
04 巩固篇
课时作业
知识点 球的表面积与体积
[填一填]
1．球的体积 球的半径为 R，那么它的体积是 V＝
43πR3
.
2．球的表面积 球的半径为 R，那么它的表面积是 S＝ 4πR2 .
[答一答] 怎样分析与球有关的组合体问题？
规律方法 要解决两几何体间的体积(面积)关系，必须首先 算出球的体积(表面积)与圆柱的体积(侧面积)，算出球的体积(表 面积)与圆柱的体积(侧面积)要知道球的半径，球的半径可设为 R.
(1)球的体积是332π，则此球的表面积是( B )
A．12π
B．16π
16 C. 3 π
64 D. 3 π
解析：43πR3＝332π，故 R＝2，球的表面积为 4πR2＝16π.
【解】 设正方体的棱长为 a. ①正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个 面的中心，经过四个切点及球心作截面， 如下图(1)所示，则有 2r1＝a， 即 r1＝a2，所以 S1＝4πr21＝πa2.
②球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点， 过球心作正方体的对角面得截面，如上图(2)所示，则 2r2＝ 2 a，即 r2＝ 22a，所以 S2＝4πr22＝2πa2. ③正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得
1．球的体积和表面积都是关于半径 R 的函数，因此求体积 和表面积时，只需求出半径即可．
2．确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可 以利用公式求它的表面积和体积；反过来已知体积或表面积也可 以求其半径．
3．球的截面在解决球的有关计算问题中起着关键的作用， 要注意球的半径与截面圆半径的关系．
A．1 C．4
B．2 D．8
【解析】 如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合 体，球的半径为 r，圆柱的底面半径为 r，高为 2r，则表面积 S ＝12×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又 S＝16＋20π，∴(5π＋ 4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故选 B.
规律方法 求球的体积与表面积的方法 (1)要求球的体积或表面积，必须知道半径 R 或者通过条件 能求出半径 R，然后代入体积或表面积公式求解． (2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算 球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了． (3)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或 体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视 图中数据的含义．根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其 表面积或体积．此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的 圆．
所以 R＝
12· x2＋y2＋z2＝12 14.所以 S 球＝4πR2＝14π.
——规范解答系列—— 球的实际应用问题
(2)两个球的体积之比是 8 27，那么这两个球的表面积之
比是( B )
A．2 3
B．4 9
C. 2 3
D. 8 27
解析：体积之比是 8 27，则半径之比是 2 3，表面积之 比是 4 9.
类型二 与球有关的组合体的表面积与体积 【例 2】 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r) 组成一个几何体，该几何体三视图中的主视图和俯视图如图所 示．若该几何体的表面积为 16＋20π，则 r＝( B )
长方体的三个相邻面的面积分别为 2,3,6，这个长方体的顶
点都在同一个球面上，则这个球的表面积为( C )
A.72π
B．56π
C．14π
D．64π
解析：设此长方体有公共顶点的三条棱的长分别为 x，y，z，
xy＝2， 则 由 已 知 条 件 ， 得 yz＝3，
xz＝6.
x＝2， 解 得 y＝1，
z＝3.
北师大版必修2高中数学第一章《立体几何初步》ppt章末归纳提升课件
【证明】 ∵E，F分别是B1B和D1D的中点，∴D1F綊BE， ∴BED1F是平行四边形， ∴D1E∥BF， 又∵D1 E 平面BGF，BF 平面BGF， ∴D1E∥平面BGF. ∵FG是△DAD1的中位线， ∴FG∥AD1， 又AD1 平面BGF，FG 平面BGF， ∴AD1∥平面BGF. 又∵AD1∩D1E＝D1， ∴平面AD1E∥平面BGF.
如图1－5所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中， AB＝3，AA1＝4，M为AA1中点，P是BC上一点，且由P沿棱 柱侧面过棱CC1到M的最短距离为 29 ，设这条最短路线与 CC1的交点为N.求：
图1－5 (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC与NC的长．
【思路点拨】 借助于侧面展开图计算最短路线问题． 【规范解答】 (1)三棱柱ABC－A1B1C1侧面展开图是一 个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为 92＋42＝ 97. (2)如图，将侧面BB1C1C绕CC1旋转120°使其与侧面 AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1， 则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线．
一个圆锥底面半径为R，高为 3 R，求此圆锥 的内接正四棱柱表面积的最大值．
【思路点拨】 画出其轴截面，转化为平面问题．
【规范解答】
设正四棱柱高为h，底面正方形边长为a，则DE＝
2 2 a.
∵△SDE∽△SAO，∴DAOE＝SSOE .
∵AO＝R，SO＝
2
3 R，∴
2a ＝ R
3R－h， 3R
∴h＝
几何体的结构、表面积与体积
准确理解几何体的定义，熟练掌握直观图与三视图的画 法，能更好地把握几何体的特征．三视图是几何体的平面表 示形式，常与几何体的结构、表面积与体积结合命题，是高 考命题的热点，解决此类问题的关键是利用三视图获取表面 积、体积公式中所涉及的基本量的有关信息，进而解决问题．
高中数学必修二第一章立体几何初步第一节简单几何体北师大版ppt课件
A1B1C1D1 .
D1 A1
B1 C1
D A
C B
1.用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，
则这个几何体一定是 ( C )
A.圆柱
B.圆锥
C.球体
D.圆柱，圆锥，球体的组合体
【解析】当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形 和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．
2.下列说法正确的是( D ) A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱. B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫 棱柱. C.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫 棱锥. D.棱台各侧棱的延长线交于一点.
线段叫作球的半径. 5.连接_球__面__上两点并且过_球__心__的线段叫作球的
直径.
直径 球面
球心
半径
二、圆柱、圆锥、圆台
（Hale Waihona Puke ）圆柱1.以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余 各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作 圆柱. 2.在旋转轴上这条边的长度叫做圆柱的高. 3.垂直于旋转轴的边旋转形成的圆面叫做圆 柱的底面.
第一章 立体几何初步
§1 简单几何体
情境引入
课堂探究
简单旋转体 一、球
1.以半圆的_直__径__所__在__的__直__线__为旋转轴，将半圆旋
转所形成的曲面叫作球面. 2._球__面__所围成的几何体叫作球体，
简称球.
3.半圆的_圆__心__叫作球心.
O
4.连接球心和_球__面__上__任__意__一__点__的
3.以下四个叙述：
① 正棱锥的所有侧棱相等；
② 直棱柱的侧面都是全等的矩形；
③ 圆柱的母线垂直于底面；
第1章 §2 直观图-2020秋北师大版高中数学必修二课件(共55张PPT)
小 结
·
探
提
新 你发现直观图的面积与原图形面积有何关系？
素
知
养
合
课
作
时
探
分
究
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
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32
·
自
课
主
堂
预
小
习
结
探
提示：由题意，易知在△ABC 中，AC⊥AB，且 AC＝6，AB＝3， 提
·
新
素
知
∴S△ABC＝12×6×3＝9.
养
合
课
作 探 究
又
S△A′B′C′＝12×3×(3sin
45°)＝9 4 2，∴S△A′B′C′＝
结
探
OB＝2O′B′＝2 2，OC＝O′C′＝AB＝
·
提
新
素
知 A′B′＝1，
养
·
·
合
且 AB∥OC，∠BOC＝90°.
BC ＝ B′C′ ＝ 1 ＋
2，在
y
轴上截取线段
BA ＝
课 堂
预
小
习 2B′A′＝2.
·
结
探
提
新 知
过 A 作 AD∥BC，截取 AD＝A′D′＝1.
素 养
·
·
合
连接 CD，则四边形 ABCD 就是四边形 A′B′C′D′的平面图 课
作
时
探 形．
分
究
层
释 疑
四边形 ABCD 为直角梯形，上底 AD＝1，下底 BC＝1＋
自
课
主
堂
预
小
习
结
高中数学 第1章 立体几何初步 1-7-3 球学案 北师大版必修2-北师大版高一必修2数学学案
7.3 球1．球的截面(1)球面被经过球心的平面截得的圆叫作球的大圆；被不经过球心的平面截得的圆叫作球的小圆．(2)球的截面性质 ①球的截面是圆面．②球心和截面圆心的连线垂直于截面．③球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面圆半径r 有如下关系：r ＝R 2－d 2. 2．球的切线(1)当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，其中它们的交点称为直线与球的切点． (2)过球外一点的所有切线的长度都相等． 3．球的表面积和体积(1)球的表面积公式S 球面＝4πR 2(R 为球的半径)． (2)球的体积公式V 球＝43πR 3.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个球的半径之比为1∶3，则其表面积之比为1∶9.( ) (2)经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．( ) (3)用任意平面截球，所得截面都是圆．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√题型一球的表面积和体积 【典例1】 (1)球的体积是32π3，则此球的表面积是 ( ) A ．12π B．16π C.16π3 D.64π3(2)两个半径为1的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半径为________．[思路导引] (1)求球的半径是求球表面积与体积的关键． (2)利用体积相等，求大球半径．[解析] (1)43πR 3＝32π3，故R ＝2，球的表面积为4πR 2＝16π.(2)两个小铁球的体积为2×43π×13＝8π3，即大铁球的体积为43π×R 3＝8π3，所以半径为32.[答案] (1)B (2)32解决球的表面积和体积时注意两点(1)一个关键抓住球的表面积公式S 球＝4πR 2，球的体积公式V 球＝43πR 3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了．(2)两个结论①两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方； ②两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方．[针对训练1] (1)把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的( ) A ．2倍 B ．22倍 C.2倍 D.32倍(2)一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是( ) A.6π6 B.π2 C.2π2 D.6π6[解析] (1)球的表面积扩大到原来2倍，半径扩大到原来的2倍，体积扩大到原来的22倍．(2)设正方体的边长为a ，球的半径为R ，则6a 2＝4πR 2.则a R ＝6π3，则a 343πR3＝34π·⎝ ⎛⎭⎪⎫6π33＝6π6. [答案] (1)B (2)A 题型二球的截面【典例2】 在球内有相距9 cm 的两个平行截面面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求此球的表面积．[思路导引] 用平面去截球体，所得截面是圆面，截面圆心与球心的连线与截面垂直，这就构造了直角三角形．[解] (1)若两截面位于球心的同侧．解法一：如图(1)所示的是经过球心O 的大圆截面，C ，C 1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R cm ，截面圆的半径分别为r cm ，r 1 cm.由πr 21＝49π，得r 1＝7(r 1＝－7舍去)， 由πr 2＝400π，得r ＝20(r ＝－20舍去)． 在Rt △OB 1C 1中，OC 1＝R 2－r 21＝R 2－49， 在Rt △OBC 中，OC ＝R 2－r 2＝R 2－400.由题意可知OC 1－OC ＝9，即R 2－49－R 2－400＝9， 解此方程，取正值得R ＝25.解法二：同解法一，得OC 21＝R 2－49，OC 2＝R 2－400， 两式相减，得OC 21－OC 2＝400－49 ⇔(OC 1＋OC )(OC 1－OC )＝351. 又OC 1－OC ＝9，∴OC 1＋OC ＝39， 解得OC 1＝24，OC ＝15， ∴R 2＝OC 2＋r 2＝152＋202＝625， ∴R ＝25 cm.(以下略)(2)若球心在截面之间，如图(2)所示，OC 1＝R 2－49，OC ＝R 2－400.由题意可知OC1＋OC＝9，即R2－49＋R2－400＝9.整理，得R2－400＝－15，此方程无解，这说明第二种情况不存在．综上所述，此球的半径为25 cm.∴S球＝4πR2＝4π×252＝2500π(cm2)．设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面．[针对训练2] 把本例的条件改为“球的半径为5，两个平行截面的周长分别为6π和8π”，则两平行截面间的距离是( )A．1 B．2C．1或7 D．2或6[解析] 画出球的截面图，如图所示．两平行直线是球的两个平行截面的直径，有两种情形：①两个平行截面在球心的两侧，②两个平行截面在球心的同侧．对于①，m＝52－32＝4，n＝52－42＝3，两平行截面间的距离是m＋n＝7；对于②，两平行截面间的距离是m－n＝1.故选C.[答案] C题型三与球有关的切和接问题【典例3】 (1)设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 2(2)求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比．[思路导引] (1)长方体的体对角线即是外接球的直径． (2)充分利用轴截面去寻找有关量之间的关系是解决问题的关键．[解析] (1)长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为(2a )2＋a 2＋a 2＝6a ， 得球的半径为62a ，则球的表面积为4π⎝ ⎛⎭⎪⎫62a 2＝6πa 2. (2)如图等边△ABC 为圆锥的轴截面，截球面得圆O . 设球的半径OE ＝R ，OA ＝OEsin30°＝2OE ＝2R ，∴AD ＝OA ＋OD ＝2R ＋R ＝3R ，BD ＝AD ·tan 30°＝3R ，∴V 球＝43πR 3， V 圆锥＝13π·BD 2×AD ＝13π(3R )2×3R ＝3πR 3，则V 球∶V 圆锥＝4∶9. [答案] (1)B (2)4∶9(1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图①.(2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r 2＝22a ，如图②. (3)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 3＝12a 2＋b 2＋c 2，如图③.(4)正方体的外接球正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝3a . (5)正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝62a . [针对训练3] (1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A ．1∶ 3 B ．1∶3 C ．1∶3 3 D ．1∶9(2)长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3、5、15，则它的外接球表面积为________．[解析] (1)设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为12，外接球的直径为正方体的体对角线，∴外接球的半径为32， ∴其体积比为43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫123∶43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝1∶3 3.(2)设长方体共顶点的三条棱长分别为a 、b 、c ，则⎩⎨⎧ab ＝3，bc ＝5，ac ＝15，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1，c ＝5，∴外接球半径为a 2＋b 2＋c 22＝32， ∴外接球表面积为4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝9π.[答案] (1)C (2)9π1．如果两个球的半径之比为1∶3，那么这两个球的表面积之比为( ) A ．1∶9 B ．1∶27 C ．1∶3 D ．1∶1[解析] 设两球的半径分别为r,3r ，则表面积之比为4πr 24π(3r )2＝19.[答案] A2．若把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( ) A ．R B ．2R C ．3R D ．4R[解析] 设圆柱的高为h ，则πR 2h ＝3×43πR 3，所以h ＝4R .[答案] D3．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积和的( )A ．1倍B ．2倍C ．3倍D ．4倍[解析] 设三个球的半径分别为x,2x,3x ，则最大球的体积V 大＝4π3×(3x )3＝36πx 3，另两球的体积之和V 和＝4π3x 3＋4π3×(2x )3＝12πx 3，所以V 大＝3V 和．[答案] C4．若用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为( ) A ．8π B.32π3 C.8π3 D.82π3[解析] 作轴截面如图所示，则OO 1＝1.设截面圆的半径为r ，球的半径为R .由已知可得πr 2＝π，所以r ＝1，R＝ 2.故S 球＝4πR 2＝8π.[答案] A课后作业(十六) (时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，这两个球的半径之差为( )A ．4B ．3C ．2D ．1[解析] 令S 球1＝4πR 2，S 球2＝4πr 2， 由题可知4πR 2－4πr 2＝48π，① 又2πR ＋2πr ＝12π，② ①②得R －r ＝2. [答案] C2．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的八个顶点落在球O 的表面上，已知AB ＝3，AD ＝4，BB 1＝5，那么球O 的表面积为( )A ．25π B．200π C．100π D．50π [解析] 由长方体的体对角线为外接球的直径， 设球半径为r ，则2r ＝9＋16＋25＝52， 则r ＝522，S 表＝4πr 2＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫5222π＝50π.[答案] D3．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是( )A ．4B ．3C ．2D ．5 [解析] BD ＝5，AC ＝22，CD ＝OD －OC＝R 2－BD 2－R 2－AC 2＝R 2－5－R 2－8＝1. 解得R ＝3. [答案] B4．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图)，则球的半径是( )A. 3 cm B ．2 cm C ．3 cmD ．4 cm[解析] 设球的半径为r ， 则V 水＝8πr 2，V 球＝4πr 3， 加入小球后，液面高度为6r ，所以πr 2·6r ＝8πr 2＋4πr 3，解得r ＝4.故选D. [答案] D5．已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，则该圆柱的体积是( )A ．π B.3π4 C.π2D ．6π[解析] 如图所示，圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，所以该圆柱底面圆周半径为r ＝22－12＝3，所以该圆柱的体积为V ＝Sh ＝π·(3)2·2＝6π.故选D. [答案] D6．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．[解析] 设正方体的棱长为a ，则6a 2＝18， ∴a ＝ 3.设球的半径为R ，则由题意知2R ＝a 2＋a 2＋a 2＝3， ∴R ＝32.故球的体积V ＝43πR 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝9π2.[答案]9π27．已知棱长为2的正方体的体积与球O 的体积相等，则球O 的半径为________． [解析] 设球O 的半径为r ，则43πr 3＝23，解得r ＝36π.[答案] 36π8．底面为正方形，顶点在底面的投影为底面中心的棱锥P －ABCD 的五个顶点在同一球面上，若该棱锥的底面边长为4，侧棱长为26，则这个球的表面积为________．[解析] 正四棱锥P －ABCD 外接球的球心在它的高PO 1上，记为O ，OP ＝OA ＝R ，PO 1＝4，OO 1＝4－R ，或OO 1＝R －4(此时O 在PO 1的延长线上)．在Rt △AO 1O 中，R 2＝8＋(R －4)2得R ＝3，所以球的表面积S ＝36π.[答案] 36π9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．[解] 该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π.该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l ＝43π×13＋π×12×3＝13π3. 10．已知正方体的棱长为a ，分别求出它的内切球、外接球及与各棱都相切的球半径．[解] (1)正方体的内切球与各面的切点为正方体各面的中心，故作出经过正方体相对两面的中心且与棱平行的截面，则球的一个大圆是其正方形截面的内切圆，如图①所示，易得r 内＝a 2. (2)正方体的外接球与正方体的连接点为正方体各个顶点，故应作正方体的对角面，则球的一个大圆为对角面矩形的外接圆，如图②所示，设球半径为R ，则(2R )2＝(2a )2＋a 2⇒R ＝32a . (3)与正方体的各棱均相切的球与正方体相连接的点是正方体各棱的中点，应作出经过正方体一组平行棱中点的截面，则球的轴截面是其正方形截面的外接圆，如图③所示，易求得球的半径为22a . 应试能力等级练(时间25分钟)11．若圆柱的高与底面直径都和球的直径相等，则圆柱的表面积与球的表面积之比是( )A ．6∶5B ．5∶4C ．4∶3D ．3∶2[解析] 设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，母线长为2R ，则圆柱的表面积为2πR2＋2πR ×2R ＝6πR 2，球的表面积为4πR 2.所以圆柱的表面积与球的表面积之比是6πR 2∶4πR 2＝3∶2.[答案] D12．球面上有三点A ，B ，C 组成这个球的一个截面的内接三角形的三个顶点，其中AB ＝18，BC ＝24，AC ＝30，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则该球的表面积为( )A ．1200π B．1400π C．1600π D．1800π[解析] ∵AB 2＋BC 2＝182＋242＝302＝AC 2，∴△ABC 为直角三角形，且其外接圆的半径为AC 2＝15，即截面圆的半径r ＝15.又球心到截面的距离为d ＝12R (R 为球的半径)，∴R 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12R 2＝152，∴R ＝10 3.∴球的表面积S ＝4πR 2＝4π×(103)2＝1200π.[答案] A13．若一个四面体的四个面中，有两个面都是直角边长为1的等腰直角三角形，另两个面都是直角边长分别为1和2的直角三角形，则该四面体的外接球的表面积为________．[解析] 满足题意的四面体为如图所示的正方体中的三棱锥V －ABC ，所以VA ＝AB ＝BC ＝1，VB ＝AC ＝2，其外接球即为该正方体的外接球，故其半径为R ＝32， 所以该四面体外接球的表面积为4π×⎝⎛⎭⎪⎫322＝3π. [答案] 3π 14．已知三棱锥P －ABC ，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝2，AC ＝BC ＝1，则三棱锥P －ABC 外接球的体积为________．[解析] 如图所示取PB 的中点O ，∵PA ⊥平面ABC∴PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，又BC ⊥AC ，PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC ∴BC ⊥P C.∴OA ＝12PB ，OC ＝12PB ，∴OA ＝OB ＝OC ＝OP ，故O 为外接球的球心． 又PA ＝2，AC ＝BC ＝1， ∴AB ＝2，PB ＝ 6∴外接球的半径R ＝62. ∴V 球＝43πR 3＝4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫623＝6π. [答案] 6π15．在半径为15的球O 内有一个底面边长为123的内接正三棱锥A －BCD ，求此正三棱锥的体积．[解] ①如图甲所示的情形，显然OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝15.设H 为△BCD 的中心，则A ，O ，H 三点在同一条直线上．∵HB ＝HC ＝HD ＝23×32×123＝12， ∴OH ＝OB 2－HB 2＝9，∴正三棱锥A －BCD 的高h ＝9＋15＝24.又S △BCD ＝34×(123)2＝1083， ∴V 三棱锥A －BCD ＝13×1083×24＝864 3.②对于图乙所示的情形，同理，可得正三棱锥A －BCD 的高h ′＝15－9＝6，S △BCD ＝1083，∴V 三棱锥A －BCD ＝13×1083×6＝216 3. 综上，此正三棱锥的体积为8643或216 3.。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.7.1 柱、锥、台的侧面展开与面积课件高一数学课件
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3．如何求简单多面体的侧面积？ 提示：(1)关键：找到多面体的特征几何图形，如棱柱中的矩 形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与 斜高、侧棱、底面边长间的桥梁，架起了求侧面积公式中未知量 与条件中已知几何元素间的桥梁． (2)策略：①正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面的面积都相 等，因此求侧面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的 个数；②解决台体的问题，通常要补上截去的小棱锥，寻找上下 底面之间的关系．
B．100π
C．168π
4 4，母线长为 D．169π
解析：
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先画轴截面，圆台的轴截面如图，则它的母线长 l＝ h2＋r2－r12
＝ 4r12＋3r12＝5r1＝10，∴r1＝2，r2＝8，∴S 侧＝π(r2＋ r1)l＝π×(8＋2)×10＝100π，S 表＝S 侧＋πr12＋πr22＝100π＋4π＋64π ＝168π.
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类型二 锥体的侧面积与表面积 【例 2】 正四棱锥底面边长为 4 cm，高和斜高的夹角为 30°，如图，求正四棱锥的侧面积．
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【解】 正棱锥的高 PO、斜高 PE、底面边心距 OE 组成 Rt △POE.
∵OE＝2 cm，∠OPE＝30°， ∴PE＝siOn3E0°＝4 cm. 因此 S 棱锥侧＝12ch′＝12×4×4×4＝32(cm2)．
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知识点二 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 [填一填]
高中数学第一章立体几何初步7简单几何体的再认识7.1柱、锥、台的侧面展开与面积课件北师大版必修2
【自主解答】 设正三棱锥底面边长为 a，斜高为 h′，如图所示，过 O 作 OE⊥AB，连接 SE，则 SE⊥AB，且 SE＝h′.
因为 S 侧＝2S 底， 所以12×3a×h′＝ 43a2×2，所以 a＝ 3h′. 因为 SO⊥OE，所以 SO2＋OE2＝SE2， 所以 32＋ 63× 3h′2＝h′2， 所以 h′＝2 3，所以 a＝ 3h′＝6，
图 1-7-2
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【提示】 几何体的表面积为 S＝6×22－π×0.52×2＋2π×0.5×2＝24－ 0.5π＋2π＝24＋1.5π.
第二十五页，共43页。
探究 2 一个几何体的三视图如图 1-7-3 所示，请求出该几何体的表面积．
图 1-7-3
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【提示】 该几何体的直观图如图所示．
【答案】 6＋2 3
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5．如图 1-7-7 是一建筑物的三视图(单位：m)，现需将其外壁用油漆粉刷一 遍，已知每平方米用漆 0.2 kg，问需要油漆多少千克？(无需求近似值)
图 1-7-7
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【解】 由三视图知，建筑物为一组合体，自上而下分别是圆锥和正四棱 柱，并且圆锥的底面半径为 3 m，母线长为 5 m，正四棱柱的高为 4 m，底面为 边长为 3 m 的正方形，圆锥的表面积为 πr2＋πrl＝9π＋15π＝24π(m2)；四棱柱的 一个底面积为 9 m2，正四棱柱的侧面积为 4×4×3＝48(m2)，所以外壁面积为 24π －9＋48＝(24π＋39)(m2)，
大正棱锥侧
小正棱锥侧
＝4×12×8×PE－4×12×4×PE1
＝4×12×8×4 15－4×12×4×2 15
高中数学北师大版必修二课件：第一章 立体几何初步
向量的加法运算：向量加法遵循平行四边形 法则如(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)
添加 标题
向量的减法运算：向量减法遵循平行四边形 法则如(x1, y1, z1) - (x2, y2, z2) = (x1x2, y1-y2, z1-z2)
向量积的坐标表示：两个向量的向 量积的坐标表示为两个向量坐标的 乘积
添加标题
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混合积：三个向量的混合积是一个 向量其坐标表示为三个向量坐标的 乘积
混合积的坐标表示：三个向量的混 合积的坐标表示为三个向量坐标的 乘积
总结与展望
本章内容的总结与回顾
本章主要介绍了立体几何的基本概念和性质包括点、线、面、体等。 学习了立体几何的度量方法如长度、角度、体积等。 掌握了立体几何的证明方法如平行、垂直、相似等。 学习了立体几何的应用如空间图形的绘制、空间物体的测量等。 展望未来我们将继续深入学习立体几何掌握更多的知识和技能为未来的学习和工作打下坚实的基础。
棱锥的表面积和体积
棱锥的定义： 由一个多边 形底面和若 干个侧面组 成的几何体
棱锥的表面 积：底面积+ 侧面积
棱锥的体积： 底面积×高 ÷3
棱锥的表面 积和体积的 计算公式： S=πr²+n(l ×h)V=πr²h /3
棱锥的表面 积和体积的 应用：建筑、 工程等领域
球的表面积和体积
球的表面积：4πr^2 球的体积：4/3πr^3 球的表面积和体积公式推导 球的表面积和体积在实际生活中的应用
几何性质：立体几何具有空间位置、 形状、大小等性质平面几何具有位 置、形状等性质
高中数学 第一章 立体几何初步 1.7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积 1.7.3 球
7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积7.3 球的表面积和体积学习目标 1.理解柱体、锥体、台体的体积公式(重点)；2.理解球的表面积和体积公式(重点)；3.能运用体积公式求解有关的体积问题，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系(重、难点).知识点一 柱、锥、台体的体积公式几何体体积公式柱体圆柱V 柱体＝ShS —柱体底面积 h —柱体的高棱柱 锥体圆锥V 锥体＝13ShS —锥体底面积 h —锥体的高 棱锥 台体圆台V 台体＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)·hS 上、S 下—台体的上、下底面面积，h —高棱台【预习评价】简单组合体分割成几个几何体，其表面积如何变化？其体积呢？ 提示 表面积变大了，体积不变. 知识点二 球的体积公式与表面积公式 1.球的体积公式V ＝43πR 3(其中R 为球的半径).2.球的表面积公式S ＝4πR 2. 【预习评价】球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？ 提示 球没有底面，球的表面不能展开成平面.题型一 柱体、锥体、台体的体积【例1】 (1)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.解析 由所给三视图可知，该几何体是由相同底面的两个圆锥和一个圆柱组成，底面半径为1 m ，圆锥的高为1 m ，圆柱的高为2 m ，因此该几何体的体积V ＝2×13×π×12×1＋π×12×2＝83π(m 3). 答案 83π(2)在四棱锥E －ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD ，2AB ＝3CD ，M 为AE 的中点，设E －ABCD 的体积为V ，那么三棱锥M －EBC 的体积为多少？解 如图，设点B 到平面EMC 的距离为h 1，点D 到平面EMC 的距离为h 2. 连接MD .因为M 是AE 的中点， 所以V M －ABCD ＝12V .所以V E －MBC ＝12V －V E －MDC .而V E －MBC ＝V B －EMC ，V E －MDC ＝V D －EMC ， 所以V E －MBC V E －MDC ＝V B －EMC V D －EMC ＝h 1h 2. 因为B ，D 到平面EMC 的距离即为到平面EAC 的距离，而AB ∥CD ，且2AB ＝3CD ，所以h 1h 2＝32.所以V E －MBC ＝V M －EBC ＝310V .规律方法 (1)求柱体的体积关键是求其底面积和高，底面积利用平面图形面积的求法，常转化为三角形及四边形，高常与侧棱、斜高及其在底面的投影组成直角三角形，进而求解. (2)锥体的体积公式V ＝13Sh 既适合棱锥，也适合圆锥，其中棱锥可以是正棱锥，也可以不是正棱锥.(3)三棱锥的体积求解具有较多的灵活性，因为三棱锥的任何一个面都可以作为底面，所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换，这一方法叫作等积法.(4)台体的体积计算公式是V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h ，其中S 上，S 下分别表示台体的上、下底面的面积.计算体积的关键是求出上、下底面的面积及高，求解相关量时，应充分利用台体中的直角梯形、直角三角形.另外，台体的体积还可以通过两个锥体的体积差来计算. 【训练1】 某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1 B.π2＋3 C.3π2＋1 D.3π2＋3 解析 由三视图可知原几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，半圆锥的底面半径为1，高为3，三棱锥的底面积为12×2×1＝1，高为3.故原几何体体积为：V ＝12×π×12×3×13＋1×3×13＝π2＋1.答案 A【训练2】 四边形ABCD 中，A (0，0)，B (1，0)，C (2，1)，D (0，3)，绕y 轴旋转一周，求所得旋转体的体积.解 ∵C (2，1)，D (0，3)， ∴圆锥的底面半径r ＝2，高h ＝2. ∴V 圆锥＝13πr 2h ＝13π×22×2＝83π. ∵B (1，0)，C (2，1)，∴圆台的两个底面半径R ＝2，R ′＝1，高h ′＝1. ∴V 圆台＝13πh ′(R 2＋R ′2＋RR ′)＝13π×1×(22＋12＋2×1)＝73π， ∴V ＝V 圆锥＋V 圆台＝5π.【训练3】 如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明PQ ⊥平面DCQ ；(2)求棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值. (1)证明 由条件知PDAQ 为直角梯形. 因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD . 又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ， 所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC . 在直角梯形PDAQ 中可得DQ ＝PQ ＝22PD ，则PQ ⊥QD .又DC ∩QD ＝D .所以PQ ⊥平面DCQ . (2)解 设AB ＝a .由题设知AQ 为棱锥Q －ABCD 的高， 所以棱锥Q －ABCD 的体积V 1＝13a 3.由(1)知PQ 为棱锥P －DCQ 的高. 而PQ ＝2a ，△DCQ 的面积为22a 2， 所以棱锥P －DCQ 的体积V 2＝13a 3.故棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值为1.题型二 球的表面积和体积【例2】 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为5003π，求它的表面积.解 (1)设球的半径为R ，则4πR 2＝64π，解得R ＝4， 所以球的体积V ＝43πR 3＝43π·43＝2563π.(2)设球的半径为R ，则43πR 3＝5003π，解得R ＝5，所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×52＝100π.规律方法 (1)已知球的半径，可直接利用公式求它的表面积和体积. (2)已知球的表面积和体积，可以利用公式求它的半径.【训练4】 (1)若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比是________.(2)如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为________.解析 (1)设圆锥的底面半径为R ， 由题意知球的半径为R2， V 圆锥＝13πR 2h (h 为圆锥的高)，V 球＝43π(R 2)3＝16πR 3，∴13πR 2h ＝16πR 3，h ＝12R ，则圆锥的母线l ＝R 2＋h 2＝52R ， 圆锥的侧面积为π×R ×52R ＝52πR 2. 球的表面积为4π×(R2)2＝πR 2. ∴圆锥的侧面积与球面面积之比为5∶2.(2)由三视图知该几何体由圆锥和半球组成，且球的半径和圆锥底面半径都等于3，圆锥的母线长等于5，所以该几何体的表面积为S ＝2π×32＋π×3×5＝33π. 答案 (1)52(2)33π【例3】 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的直径为( )A.3172B.210C.13D.310解析 因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直.△ABC 的外心是斜边的中点，上下底面的中心连线垂直底面ABC ，其中点是球心，即侧面B 1BCC 1，经过球的球心，球的直径是侧面B 1BCC 1的对角线的长，因为AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，BC 1＝52＋122＝13，所以球的直径为13.答案 C【迁移1】 本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R ，内切球的半径为r . 又正方体的棱长为4，故其体对角线长为43， 从而V 外接球＝43πR 3＝43π×(23)3＝323π，V 内切球＝43πr 3＝43π×23＝32π3. 【迁移2】 本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S 1与其内切球的表面积S 2的比值为多少？解 设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径r 为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2πa 26＝63π. 【迁移3】 本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是32的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？解 依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为32×2＝6，高为（32）2－（12×6）2＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.规律方法 空间几何体与球接、切问题的求解方法：(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解. (2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解(其R为球的半径).课堂达标1.设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是( ) A.43π B.8π3C.43πD.323π解析 由题意可知，6a 2＝24，∴a ＝2. 设正方体外接球的半径为R ，则3a ＝2R ，∴R ＝3，∴V 球＝43πR 3＝43π.答案 C2.已知高为3的直棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B 1－ABC 的体积为( ) A.14 B.12 C.36D.34解析 S 底＝12×1×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34，所以V 三棱锥B 1－ABC ＝13S 底·h ＝13×34×3＝34.答案 D3.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________.解析 由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面圆面积的和，即12×4π＋π＝3π.答案 3π4.一个几何体的三视图(单位：m)如图所示，则该几何体的体积为________ m 3.解析 由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为32；上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1， 所以V ＝43π×278×2＋1×3×6＝9π＋18(m 3).答案 9π＋185.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的表面积. 解 如图，设球心为O ，半径为r ，则Rt△AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2，解得r ＝94，∴该球的表面积为4πr 2＝4π×(94)2＝814π.课堂小结1.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为2.在三棱锥A －BCD 中，若求点A 到平面BCD 的距离h ，可以先求V A －BCD ，h ＝3VS △BCD.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V 一般用换顶点法求解，即V A －BCD ＝V B －ACD ＝V C －ABD ＝V D －ABC ，求解的原则是V 易求，且△BCD 的面积易求.3.求几何体的体积，要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解.4.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算.5.解决球与其他几何体的切接问题，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算.基础过关1.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A.16B.13C.23D.1解析 如图，三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，有一条侧棱和底面垂直，且其长度为2，故三棱锥的高为2，故其体积V ＝13×12×1×1×2＝13，故选B. 答案 B2.已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线的长是214，则这个长方体的体积是( ) A.6B.12C.24D.48解析 设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为x 、2x 、3x (x >0)，又对角线长为214，则x 2＋(2x )2＋(3x )2＝(214)2，解得x ＝2，∴三条棱长分别为2、4、6，∴V 长方体＝2×4×6＝48. 答案 D3.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.2π＋2 3B.4π＋2 3C.2π＋233D.4π＋233解析 该空间几何体由一圆柱和一四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为13×(2)2×3＝233，所以该几何体的体积为2π＋233.答案 C4.圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.解析 设球的半径为r ，则圆柱形容器的高为6r ，容积为πr 2×6r ＝6πr 3，高度为8 cm 的水的体积为8πr 2，3个球的体积和为3×43πr 3＝4πr 3，由题意6πr 3－8πr 2＝4πr 3，解得r ＝4 cm. 答案 45.如图为某个几何体的三视图，则该几何体的体积为________.解析 由三视图可知，该几何体是由一个正四棱柱挖掉一个半圆锥所得到的几何体，其直观图如图所示，其中正四棱柱的底面正方形的边长a ＝2，半圆锥的底面半径r ＝1，高h ＝3，所以正四棱柱的体积V 1＝a 2h ＝22×3＝12，半圆锥的体积V 2＝12×π3r 2h ＝π6×12×3＝π2，所以该几何体的体积V ＝V 1－V 2＝12－π2. 答案 12－π26.如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求A 到平面A 1BD 的距离d .解 在三棱锥A 1－ABD 中，AA 1⊥平面ABD ，AB ＝AD ＝AA 1＝a ，A 1B ＝BD ＝A 1D ＝2a ，∵V A 1－ABD ＝V A －A 1BD ，∴13×12a 2×a ＝13×12×2a ×32×2a ×d . ∴d ＝33a . 7.已知底面半径为 3 cm ，母线长为 6 cm 的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积及体积.解 作轴截面如图，设挖去的圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则l ＝（6）2＋（3）2＝9＝3(cm)，r ＝ 3 (cm).故几何体的表面积为 S ＝πrl ＋πr 2＋2πrAD＝π×3×3＋π×(3)2＋2π×3× 6＝33π＋3π＋62π＝(33＋3＋62)π(cm 2).几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝πr 2AD －13πr 2AD ＝π×3×6－13×π×3× 6 ＝26π(cm 3).能力提升8.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A.πB.3π4C.π2D.π4 解析 如图画出圆柱的轴截面ABCD ，O 为球心.球半径R ＝OA ＝1，球心到底面圆的距离为OM ＝12. ∴底面圆半径r ＝OA 2－OM 2＝32，故圆柱体积V ＝πr 2h ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫322×1＝3π4. 答案 B9.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( )A.500π3cm 3 B.866π3 cm 3 C.1 372π3 cm 3 D.2 048π3 cm 3 解析 作出该球的轴截面图如图所示，依题意BE ＝2，AE ＝CE ＝4，设DE ＝x ，故AD ＝2＋x ，因为AD 2＝AE 2＋DE 2，解得x ＝3，故该球的半径AD ＝5，所以V ＝43πR 3＝500π3(cm 3). 答案 A10.若球的半径由R 增加为2R ，则这个球的体积变为原来的________倍，表面积变为原来的________倍.解析 球的半径为R 时，球的体积为V 1＝43πR 3，表面积为S 1＝4πR 2，半径增加为2R 后，球的体积为V 2＝43π(2R )3＝323πR 3，表面积为S 2＝4π(2R )2＝16πR 2. 所以V 2V 1＝323πR 343πR 3＝8，S 2S 1＝16πR 24πR 2＝4， 即体积变为原来的8倍，表面积变为原来的4倍.答案 8 411.已知三棱锥A －BCD 的所有棱长都为2，则该三棱锥的外接球的表面积为________. 解析 如图，构造正方体ANDM －FBEC .因为三棱锥A －BCD 的所有棱长都为2，所以正方体ANDM －FBEC 的棱长为1.所以该正方体的外接球的半径为32. 易知三棱锥A －BCD 的外接球就是正方体ANDM －FBEC 的外接球，所以三棱锥A －BCD 的外接球的半径为32.所以三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为S 球＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3π. 答案 3π12.已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝18，BC ＝24，AC ＝30，求球的表面积和体积.解 ∵AB ∶BC ∶AC ＝18∶24∶30＝3∶4∶5，∴△ABC 是直角三角形，∠B ＝90°.∵球心O 到截面△ABC 的投影O ′为截面圆的圆心，也即是Rt△ABC 的外接圆的圆心，∴斜边AC 为截面圆O ′的直径(如图所示).设O ′C ＝r ，OC ＝R ，则球半径R ，截面圆半径r ，在Rt△O ′CO 中，由题设知sin∠O ′CO ＝OO ′OC ＝12， ∴∠O ′CO ＝30°，∴rR ＝cos 30°＝32，即R ＝23r ，① 又2r ＝AC ＝30⇒r ＝15，代入①得R ＝10 3.∴球的表面积为S ＝4πR 2＝4π(103)2＝1 200π.球的体积为V ＝43πR 3＝43π(103)3＝4 0003π. 13.(选做题)有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度. 解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面.根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r ，水面的半径为3r ，则容器内水的体积为V＝V 圆锥－V 球＝13π·(3r )2·3r －43πr 3＝53πr 3， 而将球取出后，设容器内水的深度为h ，则水面圆的半径为33h ， 从而容器内水的体积是V ′＝13π·(33h )2·h ＝19πh 3，由V ＝V ′，得h ＝315r . 即容器中水的深度为315r .。
北师大版高中数学必修2课件-垂直关系的性质
D．A1A
B [可证 BD⊥平面 AA1C1C，而 CE 平面 AA1C1C，故 BD⊥CE.]
2．若平面 α⊥β，直线 a∥α，则( )
A．a⊥β
B．a∥β 或 a β
C．a 与 β 相交
D．a β 或 a∥β 或 a 与 β 相交
D [a 与 β 三种位置关系都有可能．]
3．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该
第一章 立体几何初步
§6 垂直关系 6.2 垂直关系的性质
学习目标
核心素养
1.理解直线与平面、平面与平面垂 1.通过学习直线与平面、平面与平
直的性质定理．(重点) 面垂直的性质定理提升数学抽象、
2．理解并掌握空间“平行”与 直观想象素养．
“垂直”之间的相互转化．(难点、 2．通过应用线面与面面垂直的性
()
[解析] (3)×，α∥γ 或 α∩γ＝l. [答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．已知平面 α⊥平面 β，α∩β＝l，点 P∈l，给出下面四个结论：
①过 P 与 l 垂直的直线在 α 内；
②过 P 与 β 垂直的直线在 α 内；
③过 P 与 l 垂直的直线必与 α 垂直；
④过 P 与 β 垂直的平面必与 l 垂直．
立体几何中的垂直关系有三类：线线垂直、线面垂直、面面垂 直．处理垂直问题时，要注意三者之间的内在联系．转化思想是立体 几何中解决垂直问题的重要思想．垂直关系的转化如下：
课堂 小结 提素 养
1．线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系 的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．
[解] (1)证明：设 G 为 AD 的中点，连接 PG，BG，
∵△PAD 为正三角形，∴PG⊥AD. 在菱形 ABCD 中，∠DAB＝60°， G 为 AD 的中点，∴BG⊥AD. 又 BG∩PG＝G，∴AD⊥平面 PGB. ∵PB 平面 PGB，∴AD⊥PB. (2)当 F 为 PC 的中点时，满足平面 DEF⊥平面 ABCD.
2020_2021学年高中数学第一章立体几何初步本章知识体系ppt课件北师大版必修2
解析：①三线平行公理，②两直线同时平行于一平面，这两 直线可相交、平行或异面，③两平面同时平行于一直线，这两个 平面相交或平行，④面面平行的传递性，⑤一直线和一平面同时 平行于另一直线，这条直线和这个平面平行或直线在平面内，⑥ 一直线和一平面同时平行于另一平面，这条直线和这个平面可能 平行也可能直线在平面内，故①④正确．故选 C.
【例 5】 如图所示一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它 们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等， 且液面高度 h 正好相同，求 h.
【解答】 设圆锥形容器的液体面的半径为 R，
则液体的体积为13πR2h.
圆柱形容器内的液体体积为 π(a2)2h，
根据题意，有13πR2h＝π(a2)2h.解得 R＝ 23a.
证明：EF∥B1C.
证明：由正方形的性质可知 A1B1∥AB∥DC，且 A1B1＝AB＝ DC，所以四边形 A1B1CD 为平行四边形，从而 B1C∥A1D，又 A1D 平面 A1DFE，B1C⃘平面 A1DFE，于是 B1C∥平面 A1DFE.又 B1C ⊂平面 B1CD1，平面 A1DFE∩平面 B1CD1＝EF，所以 EF∥B1C.
【例 3】 如图，直棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是直角梯形．∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2.
(1)求证：AC⊥平面 BB1C1C； (2)在 A1B1 上是否存在一点 P，使得 DP 与平面 ACB1 和平面 BCB1 都平行？请证明你的结论． 【思路探究】 A1B1 的中点即是存在的 P 点，可证明 B1P ∥DC，且 B1P＝DC.
3
再根据圆锥轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得
2a a
＝ha，所以