6.5二次曲面方程的化简与位置确定

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二次曲线方程的化简和作图

目录摘要 (2)关键词 (2)1引言 (2)2预备知识 (2)3二次曲线的分类 (4)4二次曲线方程的化简 (4)4.1中心二次曲线方程的化简 (4)4.2无心二次曲线方程的化简 (7)4.3线心二次曲线方程的化简 (10)参考文献 (12)英文题目 (12)英文摘要 (12)英文关键词 (12)二次曲线方程的化简与作图曾XX 2008111XXXX数学科学学院数学与应用数学专业 2008级汉班指导老师李XX摘要：二次曲线方程的化简是解析几何中的重难点之一，本文简单介绍了二次曲线方程的分类，将其分为中心、无心、线心曲线三类，并运用待定系数法与配方法相结合的方法，详细介绍了这三类曲线方程的化简，并举例进行了说明.关键词：二次曲线、方程、待定系数、化简1引言我们知道，在不同的坐标系下，同一点有不同的坐标，因而同一图形有不同的方程，方程的形式越简单，它的图形的几何性质就越明显.对于给定的图形，我们就需要选取合适的坐标系，使它的方程更简单，这就涉及到方程的化简问题.二次曲线方程的化简与作图是大学空间解析几何的重点内容之一，它也是解析几何中的一个难点.如何把二次方程代表的曲线化简并作图，以便更容易看出方程所代表的二次曲线的类型，确定曲线的性质、形状以及在坐标中的位置，这具有重要的意义。

纵观有关资料对此问题的研究与讨论，给出了以下几种二次曲线方程化简的方法：坐标变化法、主直径法、不变量与半变量法、参数法、配方法、正交配方法、因式分解法等，这些方法各有优劣。

本文经过深入分析有关二次曲线方程化简的知识，在已知二次曲线分类的基础上，通过对二次曲线化简后所得方程以及其图形形状的探索，运用待定系数法与配方法、因式分解法相结合的方法求出二次曲线方程化简过程中所要知道的未知量，从而求出简化方程，为学习二次曲线方程的化简提供了一定的指导.2预备知识定义1 在平面直角坐标系中，由二元二次方程221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++= (2221112220a a a ++≠) （1）表示的曲线称为二次曲线.为了方便起见，引进下面一些记号：22111222132333(,)222F x y a x a xy a y a x a y a =+++++；1111213(,)F x y a x a y a =++； 2122223(,)F x y a x a y a =++； 3132333(,)F x y a x a y a =++；11122I a a =+；1112221122121222a a I a a a a a ==-； 1112133122223132333a a a I a a a a a a =. 定义2 把一个点对于某一坐标系的坐标变换为同一个点对于另外一个坐标系的坐标，这种变换称为坐标变换.设在直角坐标系xoy 里给定了两条互相垂直的直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=如果取直线1l 为新坐标的横轴''o x ，而直线2l 为纵轴''o y ，并设平面上任意点p 的旧坐标与新坐标分别是(,)x y 与''(,)x y ，则由点到直线的距离公式我们有''x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩去掉绝对值便有''x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (2)其中正负号的选取要使'x 中的x 与'y 中的y 的系数同号.3二次曲线的分类4二次曲线方程的化简4.1中心二次曲线方程的化简对于中心二次曲线方程的化简，实质上是把坐标轴变换到与二次曲线的对称轴（即主直径）重合的位置，坐标原点与曲线中心重合，因此，对中心二次曲线方程的化简，只要先求出曲线的两条互相垂直的主直径，然后以它们作为新坐标轴，作坐标变换即可化为最简单的形式.设中心二次曲线两条互相垂直的主直径分别a kx y +=与b x k y +-=1，则以主直径为新的x 轴、y 轴可以将原方程化0)1()(22=+-++--C b x ky B a kx y A的形式，这里理论上是可以求出待定系数的，但是比较麻烦，因此我们不妨从主直径入手，先求出主直径的方程，从而得出简化方程.二次曲线的特征方程为0-212=+I I λλ，其特征根为2422112,1I I I -±=λ，如果判别式04)(421222211221=+-=-=∆a a a I I ，那么2211a a =，012=a ，这时的中心曲线为圆（包括点圆、虚圆），它的特征根为一对二重根，)0(2211≠==a a λ，任何方向都是圆的渐进主方向，从而通过圆心的任何直线都是圆的主直径.如果特征方程的判别式04)(421222211221>+-=-=∆a a a I I ，那么特征根为两不等的非零实根1λ、2λ，则由特征根1λ与2λ确定的主方向分别为122211111211:)()(::a a a a Y X -=-=λλ，（3）122221121222:)()(::a a a a Y X -=-=λλ，（4）从而曲线的主直径为0),(),(2111=+y x F Y y x F X 与0),(),(2212=+y x F Y y x F X ，从而我们可以将方程（1）化为0)],(),([)],(),([2221222111=++++C y x F Y y x F X B y x F Y y x F X A （5）把他与方程（1）的系数作比较，从而可以求出待定系数C B A ，，的值.现在我们把直线0),(),(2111=+y x F Y y x F X 作为新坐标的x 轴，把直线0),(),(2212=+y x F Y y x F X 作为新坐标的y 轴，这里需要注意，一般我们常将斜率大于0的主直径作为新坐标的x 轴，以确保在旋转变换时，其转角θ为锐角.假设两主直径方程中，y x 、的系数分别为11B A 、与22B A 、，作变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=，，)],(),([1)],(),([121112121'22122222'y x F Y y x F X B A y y x F Y y x F X B A x （6）则二次曲线方程（1）可以化为0)()(2'21212'2222=++++C y B A B x B A A做适当变换即可得到下列五种曲线中的一种形式：[1]12222=+b y a x (椭圆)；[2] 12222-=+by a x （虚椭圆）；[3] 12222=-by a x （双曲线）；[4] 02222=+by a x （点或者相交于实点的共轭虚直线）；[5] 02222=-by a x （两相交直线）.例1 化简二次曲线方程01616854822=--+++y x y xy x ，并作出它的图形.解因为0365228135821≠===+=I I ，，所以曲线为中心二次曲线，曲线的特征方程是03613-2=+λλ，解得两特征根为，，942,1==λλ因而由公式（3）与（4）知，曲线的两个主方向为）（2-:1)84(:2:11=-=Y X 1:28-9:2:22==）（Y X曲线的两主直径为0)852(2428=-+-++y x y x ）（与 0)852()428(2=-++++y x y x ，即 052=+-y x 与02=+y x .设原方程可以化为0)2()52(22=++++-C y x B y x A ，与原方程系数比较可得365954-===C B A ，，，由（6），作变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=),52(51-),2(51''y x y y x x 则原方程可化为036942'2'=-+x y ，化为标准方程得1942'2'=+y x ，这是椭圆，图形如图一所示4.2无心二次曲线方程的化简由二次曲线的分类我们知道无心二次曲线可以化为02''132''22=+x a y a 的形式，设对任意给定的无心二次曲线方程可以表示为：0)()(2=+-+++b y kx B a ky x A的形式，展开得0)()2()2(22222=++-+++++bB A a y B aAk x Bk aA y Ak Akxy Ax ，将其待定系数与方程（1）对比，我们可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=-=+==,,22,22,22,33223131211a bB A a a B aAk a Bk aA a kA a A 解之得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+-+-+=+-=++==,,))((2)()(,2,,112122112311131211223121311112212211332122112311131211212211231213111112a A a a a a a a a a a a a a a a a b a a a a a a a B a a a a a a a a a k （7）现在我们分别把直线0=++a ky x 与直线0=+-b y kx 作为新坐标的x 轴、y 轴，同样的，一般我们常将斜率大于0的直线作为新坐标的x 轴，以确保'x 轴与x 轴的夹角为锐角。

一般二次曲面方程的化简与分类研究.

一般二次曲面方程的化简与分类研究[摘要]本文通过对一般二次曲面方程进行化简与分类,化简成五类方程和17种标准形式.最后介绍了一般二次曲面方程分类与化简的应用.[关键词]二次曲面;分类;化简;应用１引言对于给定的二次曲面方程,通过特征方程可求出它所对应的主方向.由于二次曲面的每个特征根至少对应一个主方向,也就是说二次曲面至少有一个主径面,而二次曲面的主径面又是二次曲面的对称面,因而选取主径面作为新坐标面,或者选取主方向作为坐标轴方向,就成为化简二次曲面方程的主要方法.2 预备知识定义 2.1[3]果二次曲面的径面垂直于它所共轭的方向,那么这个径面就叫做二次曲面的主径面.显然主径面就是二次曲面的对称面.定义 2.2[4]二次曲面主径面的共轭方向（即垂直于主径面的方向）,或者二次曲面的奇向,叫做二次曲面的主方向.引理 2.1[5]二次曲面平行于非渐近方向的一族平行弦中点的轨迹是一个平面.其方程为1234(,,)(,,)(,,)(,,)0X Y Z x X Y Z y X Y Z z X Y Z φφφφ+++=. (1)注1：二次曲面沿非渐近方程::X Y Z 的所有平行弦中点所在的平面叫做平面共轭于非渐进方向::X Y Z 的径面,而平行弦叫做这个径面的共轭弦.注2：如果二次曲面的径面垂直于它所共轭的方向,那么这个径面就叫做二次曲面的主径面.实际上,主径面垂直于所平分的一组弦,是二次曲面的对称平面. 引理2.2 二次曲面的特征方程为1112131322231323330a a a a a a a a a λλλ--=- 即321230I I I λλλ-+-+=.其中λ是二次曲面的特征根.引理2.3 一般二次曲面的主方向方程组()()()1112131222231323330,0,0.a X a Y a Z a X a Y a Z a X a Y a Z λλλ-++=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩ 其中::X Y Z 是二次曲面(2)的非渐近方向.引理2.4 空间直角坐标变换设在空间给定了两个由标架{};;;o i j k 与{}'''';;;o i j k 决定的右手直角坐标系,前面一个叫做旧坐标系,后面的一个叫做新坐标系.它们之间的位置关系完全可由新坐标系的原点'o 在旧坐标系内的坐标,以及新坐标系的坐标矢量在旧坐标系内的分量所决定.2.4.1移轴设'o 在旧坐标系下的坐标为{}000,,x y z ,p 为空间任意一点,它在{};;;o i j k 与{}'''';;;o i j k 下的坐标分别是{},,x y z 与{}''',,x y z .其中移轴表换公式为'0'0'0x x x y y y z z z ⎧=+⎪=+⎨⎪=+⎩, 移轴公式为'0'0'x x x y y y z z z ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩.转轴经过转轴变换后,新旧坐标轴间的交角如下表所示其中转轴变换公式为：'''123'''123'''123cos cos cos ,cos cos cos ,cos cos cos .x x y z y x y z z x y z αααβββγγγ⎧=++⎪=++⎨⎪=++⎩, 其中转轴逆变换公式为：'111'222'333cos cos cos ,cos cos cos ,cos cos cos .x x y z y x y z z x y z αβγαβγαβγ⎧=++⎪=++⎨⎪=++⎩ 3 二次曲面方程的化简定理以三个主方向所建立的右手直角坐标系为新坐标系而作坐标轴的旋转，那么曲面方程222112233121323142434442222220a x a y a z a xy a xz a yz a x a y a z a +++++++++=.(2)在新坐标系中具有如下形式：''2''2''2'''''''112233142434442220a x a y a z a x a y a z a ++++++=. (3)证明因为二次曲面至少有一个非奇主方向，以这个主方向作为新轴方向，以共轭于这个方向的主径面作为新坐标平面'0x =，建立直角坐标系''''o x y z -，设在这个新坐标系下，曲面的方程为''2''2''2'''''''''''''''112233121323142434442222220a x a y a z a x y a x z a y z a x a y a z a +++++++++=.在新坐标系下,曲面以'x 轴方向作为主方向1:0:0,代入式（1）,得与之共轭的主径面方程为'''''''111213140a x a y a z a +++=.那么这个方程表示坐标平面'0x =的充要条件是''''111213140,0a a a a ≠===.所以曲面在新坐标系下的方程为''2''2''2'''''''''11223323243444112220(0)a x a y a z a y z a y a z a a ++++++=≠.如果'230a =,那么有''2''2''2''''''11223324344411220(0)a x a y a z a y a z a a +++++=≠.如果'230a ≠,可在'''y o z 平面内,将y 轴与z 轴旋转一角度θ（保持x 轴不动）,并且适合''2233'23cot 22a a a θ-=,即经直角坐标变换'''''''''''''cos sin sin cos x x y y z z y z θθθθ⎧=⎪=-⎨⎪=+⎩, 就可使yz 项系数也等于零,从而得到''''2''''2''''2''''''''''''''112233142434442220a x a y a z a x a y a z a ++++++=.由定理可知,经过适当的坐标变换,二次曲面（2）总可以化为''2''2''2''''''''11223314243444112220(0)a x a y a z a x a y a z a a ++++++=≠.4 二次曲面方程的分类下面对(3)中系数的所有可能情形加以讨论.4.1 若'22a 和'33a 都不为零,作移轴变换'''''''24'22''''34'33x xa y y a a z z a ⎧⎪=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪⎪=-⎪⎩,则方程(3)可化为(I ) ''''2''''2''''2''112233440a x a y a z a +++= 4.2 若'22a 和'33a 中有一个为零,不妨假设'330a =,'220a ≠,则方程（3）化为 ''2''2''''''1122243444220a x a y a y a z a ++++=. (4) ① 若'340a ≠,作移轴变换'''''''24'22'''2'''224424''22342x x a y y a a a a z z a a ⎧⎪=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪-⎪=-⎪⎩, 则方程(4)化为(II ) '''2'''2''''11223420a x a y a z ++=② 若'340a =,作移轴变换'''''''24'22,x x a y y a ⎧=⎪⎨=-⎪⎩, 方程(4)化为(III ) '''2'''211220a x a y c ++=若'24a 和'34a 都为零,则方程（3）化为''2'''''11243444220a x a y a z a +++= (5)③ 若'24a 和'34a 不全部为零,因平面'''''243444220a y a z a ++=.与坐标平面'0x =垂直,则利用坐标变换''''''''''x x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩使这个平面作为新坐标平面'0y =,此时方程（5）化为(IV ) '''2'''112420a x a y +=.④ ''24340a a ==,则方程（5）化为 (V ) '''2'11440a x a +=.综合以上的讨论,二次曲面方程（1）经过直角坐标变换总可以化为以下五种形式之一：(I ) 2220Ax By Cz D +++= （0ABC ≠）;(II ) 2220Ax By Pz ++= （0ABP ≠）; (III ) 220Ax By E ++= （0AB ≠）; (IV ) 220Ax QY += （0AQ ≠）; (V ) 20Ax R += （0A ≠）;这同中心分类是一致的.下面对二次曲面(1)的五种形式中的每一个就系数可能出现的情况作进一步的讨论,以便得出二次曲面的详细分类.5 二次曲面标准形式分类5.1 在方程(I )中, 若0D ≠,把方程(I )的两端除以D 并令222111,,,A B C D a D b D c=±=±=±其中正负号的选取使,,a b c 都是实数. ① 若,,A B C 同号,但与D 异号,则方程(I )化为2222220x y z a b c++=. (6)它表示椭球面.②,,,A B C D 都同号，则得22222x y z a b+=±. (7)它表示虚椭球面.③ 若,,A B C 中有两个同号,且D 与另一个同号,则得22222x y z a b-=±. (8)它表示单叶双曲面.④ 中有两个同号,且D 与这两个同号,则得22221x y a b+=. (9)它表示双叶双曲面.5.2 在方程(I )中,若0D =,在方程(I )中,令222111,,A B C a b c =±=±=±. ① 若,,A B C 中有两个同号,则方程(I )化为2222220x y z a b c+-=. (10) 它表示二次锥面.② 若,,A B C 同号,则得2222220x y z a b c++=. (11)它表示虚二次锥面由此可知,中心型二次曲面有且仅有六种. 5.3 在方程(II )中,令2211,A B P a P b=±=±. ① 若,A B 同号,则得22222x y z a b+=±. (12)它表示椭圆抛物面.② 若,A B 异号,则得22222x y z a b-=±. (13)它表示双曲抛物面.5.4 在方程(III )中,若0E ≠,令2211,A B E a E b=±=±. ① 若,A B 同号,且与E 异号,则得22221x y a b+=. (14) 它表示椭圆柱面.② 若,A B 同号,且与E 同号,则得22221x y a b+=-. (15) 它表示虚椭圆柱面.③ 若,A B 异号,则得22221x y a b-=±. (16)它表示双曲柱面.5.5 在方程(III )中,若0E =① 若,A B 异号,则得22220x y a b-=. (17) 它表示一对相交平面. ② 若,A B 同号,则得22220x y a b+=. (18) 它表示一对虚相交平面或z 轴.5.6 方程(IV )可以化为22x py =. (19) 它表示抛物柱面.5.7 在方程(V ) (ⅴ)中,若0R ≠① 若,A R 异号,则得220x a -=. (20) 它表示一对平行平面.② 若,A R 同号,则得220x a +=. (21) 它表示一对虚平行平面.5.8 在方程(V )中,若0R =,则得20x =. (22) 它表示一对重合平面.由上可知,非中心型二次曲面有且仅有11种.综上所述,一般二次曲面(2)经过坐标变换,总可以简化成十七种标准方程中的一种.6 二次曲面方程的化简与应用例1 化简二次曲面方程2225622666100x y z xy xz yz x y z ++--+-+-+=.解二次曲面的矩阵为13133113115333310---⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭, 1237,0,36I I I ===-,所以曲面的特征方程为327360λλ-+-=,即 (6)(3)(2)0λλλ--+=, 因此二次曲面的三特征根为6,3,2λ=-.(1) 与特征根6λ=对应的主方向::X Y Z 由方程组530,350,0X Y Z X Y Z X Y Z ---=⎧⎪--+=⎨⎪-+-=⎩决定,所以对应于特征根6λ=主方向为::X Y Z =311553::511335----------=8:8:161:1:2-=-, 与它共轭的主径面为20x y z -++=.(2) 与特征根3λ=对应的主方向::X Y Z 由方程组230,320,20X Y Z X Y Z X Y Z ---=⎧⎪--+=⎨⎪-++=⎩决定,所以对应于特征根3λ=的主方向为::X Y Z =311223::211332----------=5:5:(5)1:(1):1--=-, 与它共轭的主径面为30x y z -+-=.(3) 与特征根2λ=-对应的主方向为::X Y Z 由方程组330,330,70.X Y Z X Y Z X Y Z --=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩决定,所以主方向为::X Y Z =311333::177111----=20:20:01:1:0=, 与它共轭的主径面为0x y +=.取这三主径面为新坐标平面作坐标变换,得变换公式为：'''x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩解出,,x y z 得''''''''1,1,1,x x y z y x y z z x y ⎧=+++⎪⎪⎪=+-⎨⎪⎪=++⎪⎩代入原方程得曲面得简化方程为'2'2'263210x y z +-+=.曲面的标准方程为'2'2'21111632x y z +-=-. 这是一个双叶双曲面.例2 化简二次曲面方程22222342246230x y z xy xz yz x y z +++++-+-+=.解因为1237,10,0I I I ===,所以曲面的特征方程为327100λλλ-+-=,特征根为 5,2,0λ=.非零特征根5λ=所对应的主方向由方程组320,230,20X Y Z X Y Z X Y Z -++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩决定,所以与5λ=所对应的主方向为::1:1:1X Y Z =,与这主方向共轭的主径面为0x y z ++=.非零特征根2λ=所对应的主方向由方程组20,20,0Y Z X Z X Y Z +=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩决定,所以与2λ=所对应的主方向为::1:1:(2)X Y Z =-,与这主方向共轭的主径面为22430x y z +-+=.取上面的两个主径面分别作为新坐标系''''o x y z -的'''y o z 和'''x o z 坐标面,再任意取与这两主径面都垂直的平面,比如 0x y -+=,为'''x o y 坐标面,作坐标变换,得变换公式为'''x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩解出,,x y z 得''''''''1,241,41,332x y z y x y z z x y ⎧=--⎪⎪⎪⎪=+-⎨⎪⎪=-+⎪⎪⎩代入原方程得'2'2'95204x y +++=, 所以'2'2'52040x y z +++=. 再作移轴''''''''',,40x x y y z z ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩得曲面的简化方程为''2''2''520x y ++=.这是一个椭圆抛物面.7 小结二次曲面方程的化简二次曲线一样,它的关键是适当选取坐标系,如果所取的坐标系深红x ）是曲面的对称面,那么新方程里只含有这个对应坐标（例如x）的有一坐标面（例如0平平方项,曲面的方程就比较简单了,二次曲面的主径面就是它的对称面,因而选取主径面作为新坐标面,或者选取主方向为坐标轴的方向,就成为化简二次曲面方程的主要方法了.参考文献[1] 吕林根等.解析几何（第三版）[M].北京:高等教育出版社,2001.[2] 吴大任等.解析几何引论（第二版）[M].北京:高等教育出版社,1989.[3] 朱鼎勋.空间解析几何[M].上海:上海科学技术出版社,1986.[4] 李厚源.空间解析几何[M].山东:山东科学技术出版社,1983.[5] 南开大学编写组.空间解析几何引论[M]. 北京:高等教育出版社,1989.[6] 郑文晶.解析几何[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2008.6.[7] 崔冠之.唐宗李等编,空间解析几何.北京：中央民族学院出版社.1989.11[8] 华东师范大学数学系几何教研室,解析几何习题集, 华东师范大学出版社,1982.[9] (前苏联)A.B.波格列诺夫、姚志亭译,人民教育出版社,1982.[10] 陈绍菱、傅若男,空间解析几何习题试析,北京师范大学出版社,1984.Classification and Simpification of Generalquadric surface equationLei Song(Grade 06, Class 5, Major in Mathematics and Applied Mathematics, Department of Mathematics, Shaanxi University of Technology, Hanzhong, 723000, Shaanxi)Tutor: Sangang GuoAbstract:This article through carries on the simplification and the classification to the generalquadric equation, simplifies five class equations and 17 standard forms. Finally introduced the generaltwo tunesKey words:Quadratic surface; Classification; Simplification; Using。

第六章二次曲面的一般理论

第六章二次曲面的一般理论教学目的: 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面奇向、主径面与主方向等重要概念,从不同角度对二次曲面进行了分类.研究了二次曲面的几何性质,并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式,化二次曲面的一般方程为规范方程,对二次曲面进行了分类和判定,是二次曲面理论的推广和扩充.教学重难点: 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为规范方程,既是重点又是难点. 基本概念二次曲面: 在空间,由三元二次方程022222244342414231312233222211=+++++++++a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a （1）所表示的曲面.虚元素:空间中，有序三复数组),,(z y x 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是实数，那么它对应的点是实点，否则叫做虚点二次曲面的一些记号≡),,(z y x F 44342414231312233222211222222a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a +++++++++ 141312111),,(a z a y a x a z y x F +++≡242323122),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 343323133),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 443424144),,(a z a y a x a z y x F +++≡yz a xz a xy a z a y a x a z y x 231312233222211222),,(+++++≡Φz a y a x a z y x 1312111),,(++≡Φ z a y a x a z y x 2322122),,(++≡Φz a y a x a z y x 3323133),,(++≡Φ z a y a x a z y x 3424144),,(++≡Φ即有恒等式成立: ≡),,(z y x F ),,(),,(),,(),,(4321z y x F z y x zF z y x yF z y x xF +++),,(),,(),,(),,(321z y x z z y x y z y x x z y x Φ+Φ+Φ≡Φ二次曲面),,(z y x F 的系数矩阵: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=44342414343323132423221214131211a a a a a a a a a a a a a a a a A 而由),,(z y x Φ的系数矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*332313232212131211a a a a a a a a a A 二次曲面（1）的矩阵A 的第一，第二，第三，与第四行的元素分别是),,(1z y x F ，),,(2z y x F ，),,(3z y x F ，),,(4z y x F 的系数。

二次曲线方程的化简与分类

(x0 cos y0 (x0 sin
sin )
y0 cos
)
（5.6-4）
平面直角坐标变换公式（5.6-3）是由新坐标系原
点的坐标 (x0, y0 ) 与坐标轴的旋转角决定的。
确定坐标变换公式，除了上
面的这种情况外，还可以有
其它的方法。
y
M x/ y/
例如给出了新坐标系的两坐标轴在旧坐标
tg Y a12 a11 , X a22 a12
(aa1211X()aX22a12)YY
0, 0.
ctg 2
1 tg 2 2tg
1 (
2
a12 )2 a22 a12
a22
1 ( a12 )( a11 )
a22 a12
2a12
a11 a22 2a12
a22
因此，上面介绍的通过转轴与移轴来化简二次曲线方程的方法，实际是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径（即对称轴）重合的位置。
例 1 已知两垂直的直线 l1: 2x y 3 0 与
l2 : x 2 y 2 0 ，取 l1为Ox 轴，l2 为Oy 轴，求
坐标变换公式。
解设 M (x, y) 的新坐标为 (x, y)，那么有
x x 2 y 2 , y 2x y 3 ,
5
5
根据上面的符号选取法则得变换公式为
项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关，而
与一次项系数及常数项无关。
2o 一次项系数一般要改变。新方程的一次
项系数
a13 a13 cos a23 sin , a23 a13 sin a23 cos ,
解出 a13, a23 得
a13 a13 cos a23 sin , a23 a13 sin a23 cos ,

数学专业毕业论文_二次曲线方程的化简及应用

二次曲线方程的化简及应用作者：。

0 引言二次曲线方程的化简是二次曲线理论的重要内容，是《解析几何》课程教学的一个难点.文献[1]给出的化简方法（坐标变换法和不变量法）各有优缺点，具有一定的局限性.为此，文献[2-4]利用参数法将坐标变换和主直径有机地结合起来，给出方程化简第一种较简便的方法；文献[5]和文献[6]从坐标变换下二次曲线方程系数变化规律入手，给出了第二种新的化简方法；文献[7]借助多项式可约性及因式分解给出第三种化简方法；文献[8]和文献[9]分别利用矩阵理论及六元非线性方程给出了另外两种化简方法.但文献给出的化简方法均未涉及到方法之间的内在联系.本文归纳总结了二次曲线方程的一般化简方法，进一步探讨了坐标变换法和不变量法的内在联系，在文献[2]的基础上通过进一步论证，又得到了三个新的定理，并借助实例，探究了这种方法在问题过程中的具体应用. 1 预备知识 1.1 定义[]1定义1 在平面上,由二次方程()22111222132333,2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++= （*）所表示的曲线,叫做二次曲线[]1.定义2 有唯一中心的二次曲线叫做中心二次曲线;没有中心的二次曲线叫做无心二次曲线;有一条中心直线的二次曲线叫做线心二次曲线.无心二次曲线与线心二次曲线统称为非中心二次曲线[]1.定义 3 把一个点对于某一坐标系的坐标变换称为同一个点对于另一种坐标系的坐标,这种变换称为坐标变换[]1.定义4 由曲线方程的系数给出的函数,如果在经过任意一个直角坐标变换后,它的函数值不变,就称这个函数是该曲线的一个正交不变量,简称不变量.定义5 二次曲线的垂直于其共轭弦的直径叫做二次曲线的主直径. 1.2 直角坐标变换下二次曲线方程的系数变化规律 1.2.1 移轴对二次曲线方程系数的影响规律[]1二次曲线方程（*）在移轴公式'0'0x x x y y y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩下,其中(,)x y 表示平面内一点P 的旧坐标,(,)x y ''表示P 点的新坐标, (,)x y ''表示新坐标系的原点在旧坐标系下的坐标,二次曲线方程系数分别为:'''111112122222'1311012013100'2312022023200'3300,,(,)(,)(,)a a a a a a a a x a y a F x y a a x a y a F x y a F x y ====++==++==由此可知系数变化规律为： 1）二次项系数不变；2）一次项系数变为),(22001'13y x F a =,),(22002'23y x F a =；3) 常数项变为),(00'33y x F a =. 根据上述规律，通过计算可以得到：'1'22'1122111I a a a a I =+=+=，'22'12'22'112122211221212112I a a a a a a a a a a I =-=-==,33323132322121312113I a a a a a a a a a I '==.1.2.2 转轴对二次曲线方程系数的影响规律[]1二次曲线方程(*)在转轴公式''''cos sin sin cos x x y y x y αααα⎧=-⎪⎨=+⎪⎩下,其中, α为坐标轴的旋转角. 二次曲线方程系数分别为：33'332313'232313'1322212211'22121122'1222212211'11cos sin sin cos cos 2sin sin 2cos 2sin )(21sin 2sin cos a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-=+=+-=+-=++=αααααααααααα由此可知系数变化规律为：1）二次项系数的变化仅与原方程的二次项系数和转角有关；2）一次项系数的变化仅与原方程的一次项系数和转角有关，特别是，当原方程无一次项时，转轴后也无一次项；二次曲线方程的化简及应用3）常数项不变.根据上述规律，通过计算可以得到：'1'22'1122111I a a a a I =+=+=，'22'12'22'1121222112I a a a a a a I =-=-=2 二次曲线方程的化简方法 2.1 参数法若(,)0F x y =（0222212211≠++a a a ）为中心二次曲线，其中心为),(000y x P 则过),(000y x P 的任一直线的参数方程为()00cos 0sin x x t y y t ααπα=+⎧≤<⎨=+⎩ 将上式代入(,)0F x y =得：2()(,)0o o t F x y λα+=其中22111222()cos 2cos sin sin a a a λααααα=++引理[]21 设(,)0F x y =)0(222212211≠++a a a 为中心二次曲线若()λα定号：当0),()(<o o y x F αλ时，二次曲线为实椭圆，方程可化简为1)()(min2'max 2'22=+t yt x 当()0,)(00>y x F αλ时，二次曲线为虚椭圆；当()00,0F x y =时，二次曲线为点椭圆.若)(αλ变号：当0),()(<o o y x F αλ时，二次曲线为双曲线，方程可化简为'2'222min max1()()x y t t -=当0),(=o o y x F 时，二次曲线为两相交直线. 例1 化简二次曲线方程01656522=-++y xy x .解由于01635522>=-⨯=I ,故二次曲线为椭圆型中心曲线.解⎩⎨⎧=+=+0530350000y x y x 得 ⎩⎨⎧==0000y x 即二次曲线的中心为坐标原点. 设过中心的任一直线的参数方程为cos (0)sin x t y t ααπα=⎧≤<⎨=⎩，其中t 为参数．将参数方程代入二次曲线的原方程得222(5cos 6cos sin 5sin )160t αααα++-=令22()5cos 6cos sin 5sin 53sin 2λαααααα=++=+ 当22πα=，即max ()84παλα==时，，当232πα=，即min 3()24παλα==时，，故2816)(8216)(min 22max 22=--===--==t b t a ，，即原方程化简为1282'2'=+y x .2.2 不变量法[]5引理[]12 如果0,032≠≠I I , 则二次曲线（*）为中心曲线，那么它的方程总可以化简为'2'231220I x y I λλ++= (012>a ) 其中，1λ,2λ为二次曲线特征方程的两个根.如果0,032≠=I I , 则二次曲线（*）为无心曲线，那么它的方程总可以化简为210I y '±= 如果0,032==I I ,则二次曲线（*）为线心曲线，那么它的方程总可以化简为'21110K I y I += 其中，33232322331313111a a a a a a a a K +=例2 (1) 化简22442210x xy y x y -++--=. 解由题意可得123121125,0,241124111I I I --====--=---- 所以二次曲线为无心曲线,由不变量法知可化简为'2'50y ±=.即'2'y x =或'2'y x =.二次曲线方程的化简及应用(2)021*******=+-++-y x y xy x解由题意可得 45215551235231,45123231,2321-=----=-=--==I I I 所以二次曲线为中心二次曲线，而主方向特征方程为0212=+-I I λλ,即04522=--λλ, 所以252121=-=λλ 故由不变量法可知二次曲线可化简为 02522=+'+'-y x(3) 0124422=+-++-y x y xy x解由题意可得 012112112124,01224,5321=----==--==I I I 所以二次曲线为线心二次曲线, 又415121211111433232322331313111=--+=+=a a a a a a a a K所以由不变量法可化简为 04352=+'y用不变量法化简二次曲线，可直接由公式得到化简方程,计算比较简单，但无法确定二次曲线在坐标系中的确切位置,故还不能直接由此做出图形,仍需要进一步的确定计算.2.3 坐标变换法[]72.3.1 利用系数的影响规律化简方程[]1当02≠I 时，二次曲线()*为中心二次曲线，其中心00(,)x y 满足⎩⎨⎧++=++=230220122130120111),(),(a y a x a y x F a y a x a y x F o o o o 根据移轴对二次曲线方程系数的影响规律，若取00(,)x y 为坐标原点，则二次曲线方程可化简为：02'332'22''122'11=+++a y a y x a x a其中),(,00'332211'22'11y x F a a a a a =+=+由此可知中心二次曲线的化简一般是先移轴后转轴.当02=I 时，即（*）为非中心二次曲线,如果012≠a 时，取转角α满足12221122cot a a a -=α，使得0)sin (cos cos sin )(22121122'12=-+-=ααααa a a a 从而消去方程中的交叉项，由此可知非中心二次曲线的化简一般是先转轴后移轴. 例3 化简024222=--++-y x y xy x ,并作出几何草图.解因0434111212112≠=-=--=I ,故曲线为中心二次曲线.解11021202x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩ 得000,2x y ==, 取(0,2)为坐标原点,作移轴''2x xy y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩ 根据移轴对系数的影响规律，可将方程化简为 '2'''260x x y y -+-=再作转轴消去''y x 交叉项,令022cot 122211=-=a a a α，取,4πα=得cos αα==二次曲线方程的化简及应用作转轴 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧''+''=''-''=)(21)(21''y x y y x x经转轴后曲线的方程化为：0623212''2''=-+y x 图形如下图1对于坐标变换法,一般需先求旋转角,算出转轴公式,再代入二次曲线的方程,算出新方程的系数,然后再移轴,确定图形位置,虽然方法简单,但计算量大,且灵活性较强，不易掌握.2.3.2主直径法[]1对于中心二次曲线,我们取它的一对既共轭又互相垂直的主直径作为坐标轴，则方程可化为''2''2'1122330a x a y a ++=.对于无心二次曲线,取它的唯一主直径为'x 轴,而过顶点(即主直径与曲线的交点)且与非渐近主方向为方向的直线(即过顶点垂直与主直径的直线)为'y 轴建立坐标系.则方程可化为''2''221320a y a x +=.对于线心二次曲线,我们取它的中心直线(即曲线的唯一直径也是主直径)为'x 轴,任意垂直它的直线为'y 轴建立坐标系.则方程可化为''2'22330a y a +=.例 4 化简2222220x xy y x y -++--=,并做出草图. 解因为123111112,0,111011112I I I --====--=---所以曲线为线心曲线.故有唯一的直径即中心线，其方程为10x y -+=取它为新坐标系的'x 轴，再取任意垂直于此中心线的直线0x y +=为新坐标系的'y 轴，作坐标变换，这时的变换公式为''x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解,x y 得''''122212x x y y y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入已知方程，经过整理得'2230y -=.即'y =或'y =.二次曲线方程的化简及应用显然用坐标变换法化简二次曲线的方程，计算量大，但能做出几何图形. 下面将探究坐标变换法和不变量法的内在联系,给出了三个新定理及证明,使二次曲线的化简计算量小,同时还能快速做出图形. 2.4 主要结果的证明及应用 2.4.1主要的定理及证明定理1 []12 二次曲线（*）为非圆时，在坐标变换''''cos sin sin cos x x y x y x y y αααα⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩ 下方程总可以化简为:'2'231220I x y I λλ++= 其中),(o o y x 为中心坐标，)2,0(2cot 21122211πα∈-=a a a arc 且1212()0a λλ->, 12,λλ是特征方程2120I I λλ-+=的特征根.二次曲线(*)为圆时,在坐标变换⎪⎩⎪⎨⎧+=+=0''y y y x x x 下方程总可以化简为 0232'222'11=++I I y a x a 其中),(o o y x 为中心坐标.证明将坐标变换公式y x ,代入二次曲线方程(*)得到'''(,)0F x y =，经整理，系数变为:),(cos ),(sin ),(sin ),(cos )(cos 2sin sin 2cos 2sin )(21sin 2sin cos '3321'232,1'1322212211'22121122'1222212211'11o o o o o o o o o o y x F a y x F y x F a y x F y x F a a a a a a a a a a a a a =+-=+=+-=+-=++=αααααααααααα 因为),(o o y x 为二次曲线的中心,所以12(,)0,(,)0o o o o F x y F x y =='1312(,)cos (,)sin 0o o o o a F x y F x y αα=+=0cos ),(sin 2'23=+=ααo o y x F a .由于转角)2,0(2cot 21122211πα∈-=a a a arc ,且此时有αα2sin )(2cos 2221112a a a -= )]cos 2sin sin ()sin 2sin cos [(2)(2222122112221221112122211ααααααa a a a a a a a a a +--++='-' ()]2sin 22cos [212221112ααa a a a +-=()αα2sin 42cos 2212221112a a a a +-=()02sin ]4[21222211>+-=αa a a即方程最终可化为:0'332''222''11=++a y a x a又2'22'1112211'22'11,I a a I a a a a ==+=+，根据根与系数的关系得'22'11a a 与是特征方程2120I I λλ-+=的两根，且1212()0a λλ->.令2'221'11,λλ==a a 则12,λλ分别是二次曲线的特征根.由于),(o o y x 是中心坐标,且22312131102232213120,I a a a a y I a a a a x -=='3301023(,)(,)(,)(,)o o o o o o o o a F x y x F x y y F x y F x y ==++13023033a x a y a =++121311131112132333222312231222232a a a a a a a a a a a a a a a I I I -+==因此非圆的中心二次曲线方程在坐标变换''''0cos sin sin cos x x y x y x y y αααα⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩下总可以化简为'2'231220I x y I λλ++=. 当二次曲线为圆时,同理可证曲线方程总可以化简为0232'222'11=++I I y a x a . 定理1证毕.定理2[]7 无心二次曲线(,)0F x y =()012≠a 在坐标变换二次曲线方程的化简及应用''''cos sin sin cos x x y x y x y y αααα⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩ 下方程总可以化简为'2'10I y -= 其中),(00y x 为二次曲线的顶点，1112tan a a α=-,且cos α与12a 同号.证明将y x ,代入二次曲线方程（*）中，曲线方程可化简为:''2'''''2'''''1112221323332220a x a x y a y a x a y a +++++=因为1112tan a a α=-且cos α与12a 同号，可得cos αα==将1112tan a a α=-代入''1122,a a 得 ()1112222222212211'11tan 2tan cos sin cos sin 2cos a a a a a a a ++=++=ααααααα2cos 1112111221211222=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=a a a a a a a α()'222211122222111222sin sin 2cos cos tan 2tan a a a a a a a αααααα=-+=-+2212111111122222111212122a a a a a a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=⋅--⋅-+ ⎪ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1122a a =+)12()()1cos 2(cos sin )(2cos 2sin )(212122112121221221112212211111112212112212112212=-+++⋅+-⋅-=-+-=+-='a a a a a a a aa a a a a a a a a a a ααααα'13100200(,)cos (,)sin a F x y F x y αα=+212211112302212212211121312011)()(a a a a y a x a a a a a y a x a o o +⋅++-+⋅++=22112132223131222311212211231113122a a aa a a a a a a a a a a a ++--=+-=== 由于()00,x y 是顶点，故1110012200(,)(,)0a F x y a F x y +=,所以'23100200122001110012(,)sin (,)cos cos [(,)(,)]a F x y F x y a F x y a F x y a ααα=-+=+ 0=0'33=a因此无心曲线方程在坐标变换''0''cos sin sin cos x x y x y x y y αααα⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩下总可以化简为'2'10I y -= 定理2证毕.定理3[]7 线心二次曲线(,)0F x y =在坐标变换''''cos sin sin cos x x y x y x y y αααα⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩ 下方程总可以化简为:'21110K I y I += 其中13230011221122,a a x y a a a a =-=-++，1112tan aa α=-且cos α与12a 同号.二次曲线方程的化简及应用证明将y x ,代入二次曲线方程(*) 曲线方程可化简为0222'33''23''132''22'''122''11=+++++a y a x a y a y x a x a由于转角为1112tan a a α=-.由定理2的证明过程可知 ''1122112210,a a a a I ==+=由于13230011221122,a a x y a a a a =-=-++代入可得),(132211231222111311130120111=++-++-=++=a a a a a a a a a a y a x a y x F o o,232211232222111312230220122=++-++-=++=a a a a a a a a a a y a x a y x F o o ）（所以0'23'13==a a .'333001302303322132333112211221113222313332333112211(,)a F x y a x a y a a a a a a a a a a a a a a a a a a K I ==++--=+++++=+=因而线心曲线方程在坐标变换''''cos sin sin cos x x y x y x y y αααα⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩下总可以化简为 '21110K I y I += 2.4.2主要结果的应用举例例5 求曲线012656522=-+-+-y x y xy x 的简化方程并做出草图.解因为01653351021≠=--==I I ，,即二次曲线为中心二次曲线.由⎩⎨⎧=++=--01530335000y x y x 得中心坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==17717600y x 由1222112cot 21a a a arc -=α知，取4πα=，则 21cos ,21sin ==αα又481131533353-=----=I , 故3164823-=-=I I . 又因为.0312<-=a 即由定理1知21λλ<而21,λλ又是特征方程016102=+-λλ的两根，所以8221==λλ，.所以曲线方程在坐标变换()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+-=1772117621''''y x y y x x 下可化简以为03822'2'=-+y x图形如下二次曲线方程的化简及应用图3例6 求二次曲线01610222=+--+-y x y xy x 简化方程并做出草图. 解 123115112,0,11364,11531I I I ---====--=----即曲线为无心曲线.由定理4知1211tan a a -=α且cos a 与12a 同号，故 21sin ,21cos -=-=αα由()()()00002200000015130210610x y x y x x y y x y ⎧-⋅--+⋅-+-=⎪⎨-+--+=⎪⎩得顶点坐标为001212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 因为0112<-=a ，由定理2知''1122a a <即''112211220,2a a a a ==+=所以曲线的方程在坐标变换''''1212x x y y x y ⎧=++⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩下可以化简为.03222'2'=±x y即'2'y =或'2'.y =-图形如下图4例7 化简2244210x xy y x y -++-+=并做出草图.解由于012112112124,01224,5321=----==--==I I I ,故为线心二次曲线. 由定理3知 0011,,510x y =-= 又由2tan 1211=-=a a α且cos α与12a 同号知 52sin ,51cos -=-=αα433121211111433232322331313111=--+=+=a a a a a a a a K所以曲线的方程在坐标变换''''15110x x y y x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩下总可以化简为'23504y +=图形如下图5结束语二次曲线方程的化简是大学空间几何研究的重点内容之一,且对二次曲线内容的教学有非常重要的指导作用.本文就二次曲线方程的化简与作图,介绍了五种方法,分别是二次曲线方程的化简及应用参数法、不变量法、坐标变换法、主直径法、与上述四种方法相比较稍微简单的一种新方法.本文通过归纳以上前四种方法之间的联系,即从应用不变量法来化简方程与应用移轴、转轴来作图,给出一种相对于前四种方法更为简洁的方法,得出三个新定理的证明及具体应用.本文通过借鉴国内二次曲线方程化简与作图的方法,寻找它们之间的联系,找到一种即易于化简又易于作图的方法,从而告诉我们,思维要善于发散,对于同一道题,要应用不同的方法进行解答,再从所有的解法中找出一种最简便的方法,同时这对深入研究中学数学数学二次曲线也提供了相应的指导.本文针对所查文献资料给出的四种方法进行归纳,并结合这四种方法给出一种既易于二次曲线方程的化简又易于作图的简便方法.这种新方法是否就是最简单的方法还有待于进一步考证.二次曲线是中学平面解析几何的重点内容之一,是高考的一个热点,也是教师的教和学生的学的一大难点.如何更好地把大学空间解析几何里的研究二次曲线的相关内容与高中二次曲线的内容有机地结合起来,更好地指导中学二次曲线的教学,为学生的学习提供相应的帮助是一个值得进一步去研究的方法.今后可在不同的几何观点下去研究二次曲线的相关问题,而用高观点去指导中学有关内容的教学.参考文献[1] 吕林根,许子道.解析几何[M].北京:高等教育出版社,1987.[2] 张卯.化简二次曲线方程的一种简捷方法[J].周口师专学报,1996,13(4):11-16.[3] 翟娟,席芳渊.参数法化简二次曲线方程[J].中学数学教学,1994,(4):24-25.[4] 苏婷.二次曲线方程化简[J].陕西师范大学继续教育学报,2006,23:247-249.[5] 文开庭.二次曲线的一种化简方法[J].毕节师专学报,1995,(2):66-71.[6] 林梦雷.二次曲线方程的化简[J].漳州师范学院学报,1999,12(1):22-26.[7] 席高文,刘晓君.二次曲线方程分类与化简的新方法[J].许昌师专学报,2001,20(2):6-13.[8] 李永林,陈点波,孙维君.二次曲线方程的化简和位置的确定[J].淄博学院学报,2001,3(3):5-8.[9] 李根友,二次曲线方程的化简和讨论[J]. 湖州师范学院学报,1990,S(1):29-34.[10] 廖民勋.二次曲线方程的化简及作图[J].广西师院学报,1997,14(2):76-81.[11] 于中文.平面解析几何学习指导[M].济南:山东教育出版社.1982:240-250.[12] 崔萍,高真秋.二次曲线方程化简与作图的简易方法[J].曲靖师范学院学报.2007,11(16):26-87.。

二次曲面方程的标准化及其图形实质

(b1′ , b2 ′ )=( B Tη 1,
2 2 ( BTη BTη 2) +( 3))
( 5)
根据定理 1 与定理 2 , 我们有以下结论。定理 3 : 空间中任意二次曲面方程经过一次旋转变换和一次平移变换总可以化为标准方程。定理 4 : 已知曲面 ∑ 的方程 F (x , y , z )=0 先通过一次旋转变换 σ: X = PX 1 p 11 p 12 p 13 x x1 , X 1 = y1 z1 , 这里矩阵 P = p 21 p 22 p 23 , X = y
cos θ -sin θ =Λ
而 B PQ =B T ( η Q 1 η 2 η 3)
第 3 期贡韶红 : 二次曲面方程的标准化及其图形实质的列向量。示什么曲面 ? 0 解: 这里矩阵 A = 1 1 1
· 51 ·
0 1 , 解特征方程 λ E -A
1 1 0 =0 , 得 λ 1 =2 , λ 2 =λ 3 =-1 同前 , 可求得矩阵 A 对应于 λ 1 =2 , λ 2 =λ 3 = -1 的单位正交特征向量 1 1 1 T 1 1 , , , - ,0 ,η 2= 3 3 3 2 2 1 1 2 T , , η 3 =η 1 ×η 2= 6 6 6 1 1 1 3 2 6 η 1= 构造矩阵 P = 1 3 1 3 x 作旋转变换 y z 形
2 λ ′ x 1 +b 2 ″ y1 1 x 2 +b 1
其中 b′ = PE 0 下 , 曲面方程也变换为标准形 +c = 0 , 这里(b 1 ′ , b 2′ )=( B η 1,
T T 2 T 2
( B η B η 2) +( 3) ) 证明 : 显然这里 X = PX 1 是旋转变换。记矩阵 P = (η 1, η 2,η 3) , 1 0 则 P A P =P

二次曲面的一般理论

一般二次曲线的化简与分类

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结构设计
在建筑和土木工程中，二次曲线可以用来描述结构的形状和受力情况，例如拱桥的拱形结构和高层建筑的抗风设计。
机械设计
在机械设计中，二次曲线可以用来描述机器零件的形状和运动轨迹，例如曲轴和凸轮的设计。
航空航天
在航空航天领域中，二次曲线可以用来描述飞行器的飞行轨迹和气动外形，例如飞机和导弹的设计。
二次曲线标准形式的性质
总结词
二次曲线的标准形式具有一些重要的几何和代数性质。
详细描述
例如，圆的标准形式是$x^2 + y^2 = r^2$，它表示一个以原点为中心、半径为$r$的圆；双曲线的标准形式是$x^2 - y^2 = r^2$或$y^2 = mx + n$，表示两条渐近线与坐标轴成45°的角。这些性质在解决几何问题时非常有用。
未来研究方向与展望
研究方向
未来对于二次曲线化简与分类的研究可以从多个方向展开，如探索新的化简与分类方法、研究二次曲线的性质和特点、将二次曲线化简与分类应用于实际问题中等。
VS
展望
随着数学和其他学科的发展，二次曲线化简与分类的研究将不断深入，有望在理论和应用方面取得更多的突破和创新。同时，随着计算机技术的发展，也可以利用计算机进行二次曲线化简与分类的计算和模拟，提高研究的效率和精度。
虚轴焦点
当判别式小于0时，二次曲线与x轴无交点，但与y 轴有两个交点，即有两个虚轴焦点。
无焦点
当判别式等于0时，二次曲线与x轴只有一个交点，即没有焦点。
根据对称性的分类
对称二次曲线
当二次曲线关于x轴或y轴对称时，称为对称二次曲线。
非对称二次曲线
当二次曲线既不关于x轴也不关于y轴对称时，称为非对称二次曲线。

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§6.5 二次曲面方程的化简与位置确定本节重点：掌握利用不变量化简二次曲面的方法并能确定新坐标系的位置一有心二次曲面对于有心二次曲面，取其一个中心为新坐标原点'O ，这时在新坐标系下，'O 的坐标为)0,0,0(，它满足关于中心的方程⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++000'34''33''32''31'24''23''22''21'14''13''12''11a z a y a x a a z a y a x a a z a y a x a (6.5.1) 把)0,0,0(代入(6.5.1)便得到'34'24'14a a a ==，因此有 6.5.1定理若取有心二次曲面的一个中心为原点，则这个二次曲面在这个坐标系下的一次项系数为0。

结合上节结果得到，若二次曲面是有心二次曲面，则取其一个中心为新原点，对应于两个相异特征根21,λλ的两个单位特征向量为新坐标向量→→'',j i ，取另一个坐标向量为→→→⨯='''j i k ，那么在这个新坐标系下，二次曲面的方程为0'442'32'22'1=+++a z y x λλλ其中3λ是这个二次曲面的另一个特征根，至于'44a 可用下面方法得到 (1) 用中心的坐标表示'44a ，因为转轴不改变常数项，因此常数项由移轴决定，由(6.3.20)可得),,(000'44z y x F a =其中),,(000z y x 是新原点上的坐标。

但因为),,(),,(),,(),,(),,(0004000300002000010000z y x F z y x F z z y x F y z y x F x z y x F +++=而),,(000z y x 是二次曲面中心，因此)3,2,1(),,,(000=i z y x F i 因此),,(0004'44z y x F a =(2) 用不变量求'44a若二次曲面是中心二次曲面，则3I 是其中心方程组的系数行列式，因此03≠I ，即00000321321'33≠===λλλλλλI I而'44321'44321'44000000000a a I I λλλλλλ===因此34'44I I a =二、无心二次曲面在§6.4中我们看到无心二次曲面只有两种抛物面和抛物柱面。

(1)抛物面抛物面的最简方程为02''342'22'1=++z a y x λλ其中21,λλ是这个抛物面的两个非零特征根。

因此，2'3421'34'3421'44000000000a a a I I λλλλ-=== 因此214'34λλI a -±=，其正负号由所取坐标向量的指向确定。

为确定的位置，先考察它的最简方程，→→'',j i 分别是21,λλ对应的特征向量，它们所对应的主径面分别是'''z O y 面和'''zO x 面，新原点'O 在该曲面上。

从上面分析得到，对于抛物面，可取其两个非零特征根对应的单位特征向量为新标向量→→'',j i ，从而得到另一坐向量→→→⨯='''j i k ，→→'',j i 所对应的主径面分别为'''z O y 面和'''z O x 面，两主径面的交线为'z 轴，'z 轴与曲面的交点为新原点'O ，现在→→→''',,k j i 的指向已完全确定。

由(6.3.22)得到()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000044434241343332312423222114131211333'34z y x a a a a a a a a a a a a a a a a Z Y X a 其中},,{333Z Y X 是→'k 的坐标，),,(000z y x 是新原点的坐标。

由于→'k 是对应于特征根0=λ的特征向量，所以从上式得343243143'34a Z a Y a X a ++=(2)抛物柱面抛物柱面的最简方程为02''242''33=+y a z a ，其中'33a 为其唯一的非零特征根，与它对应的特征向量与'z 轴共线。

这个特征向量所对应的主径面为'''y O x 面，'x 轴是这个主径面与二次曲面的交线。

由此我们得到化简这类曲面的方法：先求出其唯一的非零特征根3λ，3λ所对应的单位特征向量为→'k ，→'k 所对应的主径面取为'''y O x 面，'''y O x 面与曲的交线取为'x 轴，'x 轴上可任取一点为新原点'O ，这时得到一个直角坐标变换，在这样取定的新坐标系下，二次曲面的方程为02''242'3=+y a z λ其中3λ是唯一的非零特征根，类似抛物面情形中求'34a 的方法，'24a 可直接计算如下：()34224214200044434241343332312423222114131211222'2410a Z a Y a X z y x a a a a a a a a a a a a a a a a Z Y X a ++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 其中},,{222Z Y X 是新坐标向量→'j 的坐标，),,(000z y x 是新原点坐标。

例１、化简二次曲面方程并给出得到化简方程的坐标变换公式：0106662265222=+-+-+--++z y x yz xz xy z y x解：二次曲面的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------10333351131133131 3607321-===I I I曲面特征方程为036723=-+-λλ解得三个特征根为2,3,6321-===λλλ与61=λ对应的特征向量由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+--=---0053035Z Y X Z Y X Z Y X 决定。

解此方程组得}62,61,61{-是与61=λ对应的特征向量。

取它为→'i 。

由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+--=---02023032Z Y X Z Y X Z Y X 解得与32=λ对应的单位特征向量}31,31,31{-，取它为→'j ，则 }0,21,21{}31,31,31{}62,61,61{'=-⨯-=→k 再由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++-=+++-=---035033033000000000z y x z y x z y x 解得唯一中心)1,1,1(-1)1,1,1(4=-F由此得到简化方程为012362'2'2'=+-+z y x坐标变换公式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=-+-=+++-=1316212131611213161''''''''y x z z y x y z y x x例２、化简二次曲面方程03264224322222=+-+-+++++z y x yz xz xy z y x解：二次曲面的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----313213113122212212501074321-====I I I I特征方程为 010723=-+-λλλ 解得特征根为 0,2,5321===λλλ方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+++=-++01303220222000000000z y x z y x z y x 的前两个方程矛盾，所以方程组无解，因此，这是无心二次曲面，又因为它有两个非零特征根，因此它是一个抛物面，其简化方程为02525'2'2'=±+z y x例３、试求例２中得到简化方程的坐标变换解：在例２中，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=++-02032023Z Y X Z Y X Z Y X 解得对应于特征根51=λ的单位特征向量}31,31,31{，取为→'i ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=+00202Z Y X Z X Z Y 解得对应于特征根22=λ的单位特征向量}62,61,61{-，取为→'j}0,21,21{'''-=⨯=→→→j i k与}31,31,31{共轭的主径面为0=++z y x与}62,61,61{-共轭的主径面为03422=+-+z y x这两个主径面与二次曲面的公共交点由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-+++++=+-+=++03264224322034220222z y x yz xz xy z y x z y x z y x 决定，解得交点为}21,4019,401{--取为原点，由此得到坐标变换公式 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=-++=--+=2162314019216131401216131''''''''y x z z y x y z y x x二次曲面在新坐标系下的方程为02525'2'2'=++z y x例４、化简二次曲面042210642222=+---++z y x xy y x 解：二次曲面的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----4253200050223022004321===I I I特征方程为 0423=+-λλ 解得特征根为 4032,1==λλ方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-+=-+02052203220000y x y x 是矛盾方程，因此，该二次曲面是无心二次曲面，又因为它只有一个非零特征根，因此是抛物柱面。

非零特征根43=λ，对应的特征向量为方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=+-04022022Z Y X Y X 确定，因此}0,21,21{是对应于43=λ的特征向量，取→'k 与}0,21,21{共轭的主径面为0844=-+y x它是唯一的主径面，它与二次曲面交线为⎩⎨⎧=+---++=-+0422106422084422z y x xy y x y x 即⎩⎨⎧=-=-+02202z y y x 它的一个单位向量为}22,21,21{--，取为→'i ，则 }22,21,21{'''--=⨯=→→→i k j ，因此，2222)5(21)3)(21('24-=--+--=a 所以该二次曲面的简化方程为044'2'=-y z即0'2'=-y z例５、求二次曲面012322226633222=-++--+-++z y x yz xz xy z y x 的简化方程。