二次曲面方程化简方法探讨
二次曲线化简的方法
所以曲线的方程为： 又由于它是中心曲线故有 ② 当曲线为无心二次曲线时，取它的唯一主直径为 x 轴，而过顶点（即主直径与曲线 的交点）且以非渐进主方向为方向的直线（即过顶点垂直于主直径的直线）为 y 轴 建立坐标系，这时不妨假设曲线方程为：
由于此时主直径的共轭方向为 0 ：1，所以主直径的方程为：
为新坐标系 x’轴， 为 y’轴作坐标变换
变换公式：
解得
代入已知方程可得：
标准方程：
例 3【线心二次曲线】 化简 曲线为线心二次曲线，有唯一的主直径即中心直线，也是曲线的主直径 其方程是：x-y+1=0，取它为新坐标系的 x’轴， 在取任意垂直于中心线的直线如：x+y=0 为新坐标系 y’轴作坐标变换
②
方法介绍：
一、 直角坐标变换：
1、 坐标变换
一般的，在曲线有中心的前提下，为了计算方便，往往先移轴再转轴
非中心二次曲线先转轴再移轴。
① 移轴下（
）二次曲线的新方程为：
化简整理得：
这里有：
在移轴下，二次曲线方程系数的变化规律： （1） 二次项系数不变 （2）一次项系数变为 2F1（x0,y0） 与 2F2(x0,y0)
而 I3=I3’
所以 故可以推知上述内容 ② 无心二次曲线的简化方程是： (正负号任意选取) 分析：如果是无心二次曲线则有： 其简化方程为：
因此有：I1’=a22’=I1
而 I3’=I3,所以
从而推知上述内容 ③ 线心二次曲线的简化方程是：
分析：如果是线心二次曲线则有： 其简化方程为： 因此有 I1’=a22’=I1 而 K1 是线心曲线的不变量，从而我们有 K1’=K1 所以 从而推知上述内容
（3）常数项不变。 【例题详解方法】 例 1【无心二次曲线】 化简二次曲线方程，并画出它的图形 解：
毕业设计（论文）-二次曲面方程的化简与分类
二次曲面方程的化简与分类1.摘要对于给定的二次曲面方程,以前的方法是通过特征方程可求出它所对应的主方向.由于二次曲面的每个特征根至少对应一个主方向,也就是说二次曲面至少有一个主径面,而二次曲面的主径面又是二次曲面的对称面,因而选取主径面作为新坐标面,或者选取主方向为坐标轴方向,就成为二次曲面方程的化简方法，但本文应用“向量化”和“滤射变化”化简二次曲面方程.“向量化”在空间中的一个直角坐标系下，二次曲面方程F x,y,z=a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23xz+2a14x+2a24y+2a34z+a44阐明了存在着一个由方程中各系数表出的(自由)向量b,利用自由b不仅可以使得一般二次曲面方程的化简过程“向量化”,并且能够给出在化简过程中出现有关点的位置和数量的内在几何意义.“滤射变换”化简二次曲面方程，首先对二次曲面方程F x,y,z配方变形,利用直线与二次曲面相交时参数m的几何意义,以及滤射变换的性质,得到了二次曲面方程分类与化简的一种运算简单方便的方法.根据上述方法,本文通过对二次曲面方程进行化简,化简成五类方程和17种标准形式.2.二次曲面方程的问题分析2.1二次曲面方程的化简依据二次曲面的方程化简与二次曲线一样，而对于二次曲线的化简与作图，崔萍给出了比较详细的化简过程，将一个点对某个坐标系的坐标变换为该点对另外一种坐标系下的坐标，通过一系列的转轴与移轴，用坐标变换法来化简二次曲线.因此，二次曲面方程的化简关键在于能否适当的选取坐标系，在一些二次曲面中，其对称面即坐标面，对称轴即坐标轴，坐标原点即曲面中心（或为曲面顶点）.此即表明，使所选坐标系满足以上条件时，二次曲面的方程即为规范形式，分析可得，通过转轴和移轴可完成上述任务.对于中心型和非中心型二次曲面，进行不同程度的转轴和移轴，先后消去一次项和交叉项，方程即可转化为规范形式.平面上的二次方程：a11x2+a22y2+2a12xy+2a13x+2a23y+a33=02.2二次曲线方程的化简与作图首先把一个点进行行坐标平移变换：x=x′+x0y=y′+y0其中，( x ,y)表示平面内点A的旧坐标，x′,y′表示点A的新坐标,x0,y0表示原坐标系下的原点的新坐标.坐标旋转变换：x=x′cosα+y′sinαy=x′cosα+y′sinα其中α为坐标轴的旋转角.于是有，在坐标平移变换下，二次曲线方程二次项系数不变，一次项系数变为2F1x0,y0和2F2(x0,y0)，常数项变为F x0,y0.而在坐标旋转变换下，二次曲面的二次项和一次项系数分别只是原系数和旋转角度的因变量，与其他量无关，常数项保持不变.二次曲线方程的化简分为两大类：第一类：中心二次曲线方程，把新坐标系的原点移到二次曲线的中心，则得到F1x0,y0和F2(x0,y0).消去二次曲线中的一次项，常数项化为F(x0,y0).再通过旋转即可转化二次曲线方程为更简单的方程.第二类：无心二次曲面方程，转轴过后再平移，利用平面直角坐标变换.2.3常用的二次曲面方程的化简方法对于二次曲面方程的化简，常见的化简方法有通过特征方程求主径面，空间坐标变换（转轴和移轴），应用不变量等方法化简二次曲面方程，笔者所用化简方法与常见化简方法之间既存在着差异也有相似，为了方便读者更易读懂本文所用方法与常见方法之间的异同，在此列出常见特征方程法以作比较.以三个主方向建立的笛卡尔坐标系为新坐标系作坐标轴的旋转，曲面方程a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23xz+2a14x+2a24y+ 2a34z+a44=0以二次曲面的非奇主方向为新轴方向，以共轭于这个方向的主径面作为新坐标平面x′=0建立坐标系，则曲面方程化为：a11′x′2+a22′y′2+a33′z′2+2a12′x′y′+2a13′x′z′+2a23′y′z′+2a14′x′+2a24′y′+2a34′z′+a44′=0以x′作为主方向，得到与之共轭的主径面方程：a11′x′+a12′y′+a13′z′+a14′=0主径面方程式表x′=0当且仅当a11′≠0,a12′=a13′=a14′=0.当a23′=0,则a11′x′2+a22′y′2+a33′z′2+2a24′y′+2a34′z′+a44′=0当a23′≠0，则在y′o′z′平面内，将y轴与z轴旋转一角度θ，使cot2θ=a22′−a33′2a23′即通过直角坐标变换：x′=x′′y′=y′′cosθ−z′′sinθz′=y′′cosθ+z′′sinθ使yz项系数化为0，从而得到：a11′′x′′2+a22′′y′′2+a33′′z′′2+2a14′′x′′+2a24′′y′′+2a34′′z′′+a44′′=0即可化为：a11′x′2+a22′y′2+a33′z′2+2a14′x′+2a24′y′+2a34′z′+a44′=0 (1)一般情况下，将所得方程分为以下三种情况讨论：1.当a11′∙a22′∙a33′≠0(1)式通过配方和平移得到：a11′x′2+a22′y′2+a33′z′2+a44′=0(2) 在a44′≠0时当a11′，a22′，a33′同号但与，a44′′异号，（2）式表示椭球面；当a11′，a22′，a33′与a44′′同号，（2）式表示虚椭球面；当a44′′与a11′，a22′，a33′中的一个同号，（2）式表示单叶双曲面；当a44′′与a11′，a22′，a33′中的两个同号，（2）式表示双叶双曲面；在a44′′=0时：当a11′，a22′，a33′不同号，（2）式表示二次锥面；当a11′，a22′，a33′同号，（2）式表示一个点；2.a11′，a22′，a33′不妨设只有a33′=0，a34′≠0时：(1)式通过配方和平移得到：a11′x′′2+a22′y′′2+2a34′z′′=0(3) 若a11′，a22′同号，（3）式表示椭球抛物面；若a11′，a22′异号，（3）式表示双曲抛物面；在a34′=0时：(1)式通过配方和平移得到：a11′x′′2+a22′y′′2+a44′′=0（4）若a11′，a22′同号，但与a44′′异号，（4）式表示椭圆柱面；若a11′，a22′与a44′′同号,（4）式表示虚椭圆柱面；若a11′，a22′异号，a44′′≠0，（4）式表示双曲柱面；若a11′，a22′异号，a44′′=0，（4）式表示相交平面；若a11′，a22′同号，a44′′=0，（4）式表示一对虚相交平面；3.a11′，a22′，a33′中不妨假设只有a11′≠0(1)式通过配方和平移得到a11′x′′2+2a24′y′′2+2a34′z′′2+a44′′=0再通过作绕x′轴坐标变换，化为：a11′x′′′+2 a24′2+a34′2y′′′=0(5) (5)表示抛物柱面；当a24′=a34′=0时，可得：a11′x′′2+a44′′=0(6) 若a11′与a44′′异号，（6）式表示一对平行面；若a11′与a44′′同号，（6）式表示一对虚平行面；若a11′=a44′′=0，（6）式表示一对重合平面.2.4二次曲面方程化简的新方法从代数上看，进一步的化简是显然的了，即根据λi的值的情况进行“配方”. 按照“配方”记新坐标变数为X,Y,Z而一次项系数暂可写为0,B2,B3.(λ1≠0)这样(1)化为新坐标下的方程：λ1X2+λ2Y2+λ3Z2+2B2Y+2B3Z+A44=0注意上式中一次项系数所成的组0,B2,B3表示关于向量标架0;e1,e2,e3下的向量,特记为b，它关于oxyz下的表示为：b=B2e2+B3e3它特记将oxyz旋转到特征方向上去且按上述约定进行配方之后的a4.以下即将看到,这时的坐标系与使新坐标下的方程化为标准形状的坐标系已无多大差别,不妨就称之为标准坐标系.再来确定x0,y0,z0.x0a1=y0a2+z0a3+a4=b (7)a11x0+a12y0+a13z0+a14=b1a21x0+a22y0+a23z0+a24=b2a31x0+a32y0+a33z0+a34=b3若已知b,从方程组(7)的解集便可知应将坐标系oxyz平移到什么样的位置上，称（7）为二次曲面的定位方程组.特别的，当b=0时，上述方程组可写为:a11x+a12y+a13z+a14=0a21x+a22y+a23z+a24=0a31x+a32y+a33z+a34=0它就是通常的所谓中心方程.定理3：设 (x,y,z)是定位方程组(7)的任一个解,则量J= b+a4∙x,y,z+a44的值与坐标系无关.系1：当b=0时，量J=a4∙x,y,z+a44在所有中心处取同一个常值，得到X2+λ2Y2+λ3Z2+J=0.系2：当b≠0时，方程b+a4∙x,y,z+a44=0与定位方程组联立的解集与坐标系无关.这时必有零根出现,I3=0,分别两种情况讨论如下:(i)若I2≠0,(1)成为λ1X2+λ2Y2+2B3Z+A44=0特别地,将它移到平面(7)与(1)的交点O′处，我们有X2p +Yq=2Z.(ii)I2=0,(1)成为λ1X2+2B2Y+A44(x0,y0,z0)=0同（i）一样，特别地,将它移到平面(7)与(1)的交点O′处，则上述方程中的常数项就消失了，我们有X2=2p Y.方法一：向量化设在空间中的一个直角笛卡尔坐标系（一下均简称坐标系）oxy z下给定一个二次方程为a11x2+2a12xy+a22y2+2a13xz+2a23yz+a33z2+2a41x+ 2a42y+2a43z+a44=0存在着一个由二次方程中诸系数表出的（自由）向量b,利用它，可以使得一般二次方程化简程序“向量化”.在坐标变换下方程中诸系数的变化律a=a i1,a i2,a i3,i=1,2,3,4.a为半向量，易知在坐标系下作平移:x=x′+x0 ,y=x′+x0 ,x′+x0诸半向量变化律为:a1′=a1 ,a4′=a4+x0a1+y0a2+z0a3此外有a44′=a(x0 ,y0 ,z0),其中，我们用a(x ,y ,z)简记原二次方程左边部分.为写出在坐标系的旋转下方程中诸系数的的变化律，我们采用矩阵运算符号.二次方程成为x ,y ,z a ij xyz+2x ,y ,za41a42a43+a44=0 (8)据此易知，若将坐标旋转公式写为:x ,y ,z=x′ ,y′ ,z′T其中T记相应的直角方阵，则有a ij′=T∙ a ij∙T′ (T′记T的转置) (9)又有a41 ,a42 ,a43=a′41 ,a′42 ,a′43T (10) 这里已知直角方阵的性质T的转置等于T的逆,最后对坐标系的旋转：a44′=a44由(9)(10)二式看出，在坐标系旋转下,a4如向量一样变化，而a1，a2,a3则不然，如果分别用e1，e2,e3简记T的第一，二，三个列矢，那么据(8)式可写出a i ,( i=1,2,3)的诸分量之变化式如下：a i1=a1 ,e1e11+a2 ,e1e12+a3 ,e1e13a i2 =a1 ,e1e21+a2 ,e1e22+a3 ,e1e23a i3 =a1 ,e1e31+a2 ,e1e32+a3 ,e1e33为了以下应用，我们将(8)式变形如下，用x ,y ,z,左乘(8)的两边,应用坐标旋转公式得：x ,y ,z a ij′=x ,y ,z a ij∙T′.又用T右乘上式两式得:x ,y ,z a ij=x ,y ,z′ a′ij∙T′和坐标旋转公式比较知，在坐标系的旋转下，三数组a11x ,a12y ,a13z ,a21x ,a22y ,a23z ,a31x ,a32y ,a33z如同一个向量的坐标数组一样变化.为了化简原二次方程，首要问题是去寻找这样的旋转，使得在新的坐标ox′y′z′下有:a ij=0 ,(i≠j)显然，这就是要寻求e1=e i1 ,e i2 ,e i3 ,i=1,2,3使上式成立.记e i1 ,e i2 ,e i3=x i ,y i ,z i据(8)得:a11x i+a12y i+a13z i=a ii x ia21x i+a22y i+a23z i=a ii y ia31x i+a32y i+a33z i=a ii z i如果略去下标i并令λ=a ii则知这些向量满足同一个方程组:a11x+a12y+a13z=a iiλxa21x+a22y+a23z=a iiλya31x+a32y+a33z=a iiλz或者(a11−λ)x+a12y+a13z=0a21x+(a22−λ)y+a23z=0a31x+a32y+(a33−λ)z=0上述方程组有解的充要条件为方程的系数矩阵行列式为零，即：a11−λa12a13a21a22−λa23=0a31a32a33−λ和方程组的特征方程的解，使下式成立：λ3+i1λ2+i2λ−i3=0其中λ为特征根.定理1:必存在坐标系的旋转使二次方程的二次部化为对角形(这即是主轴变换的存在性).系1：当a ij=a ji时,特征方程的根全是实数.系2：若λ0为m重根，则特征方程有m个独立解.系3：若λ1≠λ2,则相应的特征方向必正交.结论：在任一坐标系下，主方向平面由a1 ,a2 ,a3张成：记为πa1 ,a2 ,a3. 定理2：在任一坐标系下纯形式表出的b=a4−π(a1 ,a2 ,a3)a4代表同一个向量.设已经求出λi和相应的e i (i=1 ,2 ,3)那么施行旋转便可将方程组写成为：λ1x2+λ2y2+λ3z2+2a14x+2a24y+2a34z+a44=0从代数上看，进一步的化简是显然的了，即根据λi的值的情况进行“配方”.按“配方”记新坐标变数为X,Y,Z,一次项系数暂可写为0,B2,B3.(λ1≠0)这样上述方程可化为：λ1X2+λ2Y2+λ3Z2+2B2Y+2B3Z+A44=0注意该式中一次项系数所成的组0,B2,B3表示关于向量标架0;e1,e2,e3下的向量,特记为b，它关于oxyz下的表示为：b=B2e2+B3e3它特记将oxyz旋转到特征方向上去且按上述约定进行配方之后的a4.以下即将看到,这时的坐标系与使新坐标系下的方程化为标准形状的坐标系已无多大差别,不妨就称之为标准坐标系.x0a1=y0a2+z0a3+a4=b若已知b,此方程组的解集便可知应将坐标系oxyz平移到什么样的位置上，称其为二次曲面的定位方程组：a11x0+a12y0+a13z0+a14=b1a21x0+a22y0+a23z0+a24=b2a31x0+a32y0+a33z0+a34=b3特别的，当b=0时，定位方程组写为:a21x+a22y+a23z+a24=0a31x+a32y+a33z+a34=0它就是通常的所谓中心方程.定理3：设 (x,y,z)是定位方程组的任一个解,则量J= b+a4∙x,y,z+a44的值与坐标系无关.系1：当b=0时，量J=a4∙x,y,z+a44在所有中心处取同一个常值，得到X2+λ2Y2+λ3Z2+J=0.系2：当b≠0时，方程 b+a4∙x,y,z+a44=0与定位方程组联立的解集与坐标系无关.这时必有零根出现,I3=0,分别两种情况讨论如下: (i)若I2≠0,原二次方程成为λ1X2+λ2Y2+2B3Z+A44=0特别地,将它移到平面定位方程组与二次方程的交点O′处，我们有X2p +Yq=2Z.(ii)I2=0,原二次方程成为λ1X2+2B2Y+A44(x0,y0,z0)=0同（i）一样，特别地,将它移到平面定位方程组与二次方程的交点O′处，则上述方程中的常数项就消失了，我们有X2=2p Y.方法二：滤射变换在空间直角坐标系下，由三元二次方程F x,y,z=a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23xz+2a14x+2a24y+2a34z+a44所表示的曲面，叫做二次曲面.对于二次曲面方程的分类与化简，再次给出一种方法，通过对三元二次方程F x,y,z=0配方变形，利用直线与二次曲面方程相交时参数t的几何意义，以及滤射变换的性质，得到了二次曲面方程化简的一种简单，比较为大多数读者接受的方法.性质一：在空间直角坐标系下，二次曲面方程经过线性滤射变换:y=a2x2+b2y2+c2z2+d2z=a3x3+b3y3+c3z3+d3其中一次项对应系数行列式的值不为零.图形为同类型的二次曲面，并且原二次曲面的中心在滤射变换下仍对应于新二次曲面的中心.性质二：在空间直角坐标系下，若直线方程x=x0+rXy=y0+rYz=z0+rZ与二次曲面F x,y,z相交，则交点所对应的参数r满足φX,Y,Z r2+2F1x0,y0,z0∙X+F2x0,y0,z0Y+F3x0,y0,z0∙Z∙r+F x0,y0,z0=0其中φX,Y,Z=a11X2+a22Y2+a33Z2+2a12XY+2a13XZ+2a23YZF1x0,y0,z0=a11x0+a12y0+a13z0+a14F2x0,y0,z0=a12x0+a22y0+a23z0+a24F3x0,y0,z0=a13x0+a23y0+a33z0+a34对于向量β=X,Y,Z,在此设定该向量为单位向量，r表示r所对应的交点与直线上的定点φx0,y0,z0之间的距离；当φx0,y0,z0为两个交点的中点时，交点所对应的参数r2=−F x0,y0,z0φX,Y,Z性质三：以三个主方向建立的笛卡尔坐标系为新坐标系作坐标轴的旋转，曲面方程F x,y,z=a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23xz+2a14x+2a24y+2a34z+a44以二次曲面的非奇主方向为新轴方向，以共轭于这个方向的主径面作为新坐标平面.该三元二次方程所表示曲面的主径面为:XF1x,y,z+YF2x,y,z+ZF3(x,y,z)=0其中F1x,y,z=a11x+a12y+a13z+a14F2x,y,z=a21x+a22y+a23z+a24F3(x,y,z)=a31x+a32y+a33z+a34X,Y,Z是特征方程组(a11−τ)X+a12Y+a13Z=0a21X+a22−τY+a23Z=0a31X+a32Y+(a33−τ)Z=0的解，而τ是特征行列式a11−τa12a13a21a22−τa23a13a23a33−τ=0的解.由性质可知，三元方程F x,y,z通过配方得F x,y,z=a11(x+b1y+c1z+d1)2+a22y+c2z+d22+a33z+d32+k1=0.根据性质一，二次曲面的中心为方程组x+b1y+c1z+d1=0y+c2z+d2=0z+d3=0的解.由性质三，可以求出对称面的方程，设对称面的法向量ρ=(A,B,C)次曲面的中心为O x0,y0,z0,由此可得新坐标系的一条轴x′的方程为x=x0+AXy=y0+BYz=z0+CZ而新二次曲面的三条轴可以利用新坐标轴与原二次曲面的交点和O之间的距离来确定.由性质二可知，轴x′与二次曲面的交点所对应的参数r2=−F x0,y0,z0φ A，B，C若r2>0，对应的半长轴为：x′=r A2+B2+C2;若r2<0，对应的半轴长为a′=−r2A2+B2+C2,且当标准方程中右边是1或0，所对应的项是负项，因此可得如下化简方法：第一：利用配方法得:F x,y,z=a11x+b1y+c1z+d12+a22y+c2z+d22+a33z+d32+k2=0.第二，解方程组x+b1y+c1z+d1=0y+c2z+d2=0z+d3=0，求出二次曲面的中心O（x0,y0,z0)第三，由性质三求出二次曲面方程的三个对称面y′o′z′,z′o′x′,x′o′y′.第四，过中心O（x0,y0,z0)且垂直与三个对称面的直线为新坐标轴a′,b′,c′.由性质二可知，半长轴a′,b′,c′与二次曲面的交点所对应的参数分别为r i2=−F x0,y0,z0φA，B，C，(i=1,2,3)第五：若r i2>0,当标准方程的右边是1或0，所对应的项是正项.若r i2<0当标准方程的右边是1或0，所对应的项是负项.由此可得到二次曲面的标准方程.例：化简二次曲面方程x2+y2+5z2−6xy−2xz+2yz−6x+6y−6z+10=0.解：通过配方法可变形为：（x−3y−z−3)2−8(y+14z+14)2+29z−12+1=0由前面可知，该二次曲面方程是双叶双曲面.解方程组：x−3y−z−3=0y+14z+14=0z−1=0可知二次曲面的中心是O(1,-1,1).解特征方程1−zτ−3−1−31−τ1−115−τ=0得τ=6,3，-2.将三个值分别代入方程组1−τX−3Y−Z=0−3X+1−τY+Z=0X+Y+5−τZ=0解得三个对称面的方程为:x−2y−2z=0,x−y+z−3=0,x+y=0即新坐标方程的方向向量分别为:μ1=1,−1,2，μ2=1,−1,1，μ3=(1,1,0）而r12=−F1,−1,1φ1,−1,2=−19<0r22=−F 1，−1,1φ 1，−1,1=−136<0r32=−F 1，−1,1φ 1，−1,0=1>0即双叶双曲面的三个半长轴分别为:a′= −r12∙A12+B12+C12=1 6b′= −r22∙A22+B22+C22=1 3c′= −r32∙A32+B32+C32=1 2故二次曲面的标准方程为x ′21 6+y′213−z′212=−13.二次曲面方程的分类据以前的方法，二次曲面方程可以化简成十七种标准式F x,y,z=a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23xz+2a14x+2a24y+2a34z+a44[1]x 2a2+y2b2+z2c2=1(椭球面)[2]x 2a2+y2b2+z2c2=−1（虚椭球面）[3]x 2a2+y2b2−z2c2=0（点或称虚母线二次锥面）[4]x 2a2+y2b2−z2c2=1（单叶双曲面）[5]x 2a2+y2b2−z2c2=−1（双叶双曲面）[6]x 2a2+y2b2−z2c2=0(二次锥面)[7]x 2a2+y2b2=2z(椭圆抛物面)[8]x 2a2+y2b2=2z(双曲抛物面)[9]x 2a2+y2b2=1(椭圆柱面)[10]x 2a2+y2b2=−1(虚椭圆柱面)[11]x 2a2+y2b2=0(交于一条实直线的一对共轭虚平面)[12]x 2a2−y2b2=1(双曲柱面)[13]x 2a2−y2b2=0(一对相交平面)[14]x2=2py(抛物柱面)[15]x2=a2(一对平行平面)[16]x2=−a2(一对平行的共轭虚平面)[17]x2=0(一对重合平面)4.评价“向量化”化简二次曲面方程，在空间中的一个直角坐标系下,二次曲面方程a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23xz+2a14x+2a24y+2a34z+a44=0上文中阐明了存在着一个由二次曲面方程中各系数表出的(自由)向量b,利用自由向量b不仅可以使得一般二次曲面方程的化简过程“向量化”,并且能够给出在化简过程中出现有关点的位置和数量的内在几何意义.“滤射变换”化简二次曲面方程，首先对二次曲面方程F x,y,z=0配方变形,利用直线与二次曲面相交时参数m的几何意义,以及滤射变换的性质,得到了二次曲面方程分类与化简的一种运算简单方便的方法.对于二次曲面的分类与化简,空间解析几何中,一般是首先确定二次曲面的对称面,使对称面为新坐标系的坐标面,然后通过坐标系的平移、旋转,把二次曲面方程分类并化简为标准方程，或者通过不变量进行分类、化简.这些方法要么运算复杂,要么无法确定图形的具体位置,然而本文的方法操作简单，化简过程易懂，是一种比较好的化简方法.5.创新—高维二次曲面下文将给出一个化简二次曲面方程的简便方法,使得化简二次曲面有了一个的创新的方法.a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23xz+2a14x+2a24y+2a34z+a44=0均可化简成:X′A X+αX+a44=0其中A=a11a12a13 a12a22a23 a13a23a33 X=xyzα=a14,a24,a34化简二次曲面方程的步骤如下:1、求出A的所有特征根β1,β2,β3,(非零),并求出非零特征根单位特征向量αi=(αi1,αi2,αi3)尤其,若秩(A)=0,则A仅有的非零特征根β1,单位特征向量可直接取为β1=a11+a22+a33,并且A的属于βi的单位特征向量可直接取为αi=（a11r ,a22r,a33r,）,r=a112+a122+a1322.若β1β2β3≠0，令α14=α1βi.αi′3.对每个非零特征根βi，算出a44-(β1α142+β2α242+β3α342)=ω4，将二次曲面方程化为:βi,(αi1x+αi2y+αi3z)2+ω4=02a142a24 2a34 a44-βiαi2α112α122α13α14=ω1ω2ω3ω4①若ω12+ω22+ω32≠0，则原二次曲面方程可化为：βi,(αi1x+αi2y+αi3z)2+ω4=0②ω12+ω22+ω32=0则原二次曲面方程可化为：βi(α11x+α12y+α13z+α14)2+ω4=0例1：化简二次曲面方程x2+y2+2xy+3x+y=0解:A=1111，则A的秩为1，β1=2，α1=22α13=α1β1,α1′=2a132a23a33β1α132α112α12α13=31−22222222=1−1−1故原方程化为：222+222=0标准方程为x′2=-2y′，其中x′=2（x+y+1），y′=2(x−y−1)显然这种化简二次曲面方程的方法对高维二次超曲面也适用.6.二次曲面方程的推广在前面二次曲面方程的探讨中，一直是在实数域上进行的.如果把实数域扩充为复数域或椭球面，则二次曲面方程的化简与分类将更为复杂，值得读者探讨.7.参考文献[1]空间解析几何引论.吴大任等编.人民教育出版社.[2]吕林根.解析几何学习辅导书[M].北京:高等教育出版社,2006.[3]席高文,刘晓君.二次曲线方程分类与化简的新方法[J].许昌师专学报,2001.[4]马世祥.二次曲线的三种分类方法分析[J].天水师范学院学报,2003.[5]方丽菁.无心二次曲线位置的确定[J].广西民族学院学报,2003,9(3).[6]车明刚,王海涛.关于非退化二次曲线定义的等价[J].绥化学院学报,2006.[7]裘旭浩.两条二次曲线不变量的一个应用[J].宁波大学学报,2006.[8]张泽相.解析几何讲义[M].上海:上海教育出版社,1984.[9]朱德祥.新编解析几何学[M].北京:人民教育出版社,1962.。
一般二次曲面方程的化简与分类研究.
一般二次曲面方程的化简与分类研究[摘 要]本文通过对一般二次曲面方程进行化简与分类,化简成五类方程和17种标准形式.最后介绍了一般二次曲面方程分类与化简的应用.[关键词]二次曲面;分类;化简;应用１ 引言对于给定的二次曲面方程,通过特征方程可求出它所对应的主方向.由于二次曲面的每个特征根至少对应一个主方向,也就是说二次曲面至少有一个主径面,而二次曲面的主径面又是二次曲面的对称面,因而选取主径面作为新坐标面,或者选取主方向作为坐标轴方向,就成为化简二次曲面方程的主要方法.2 预备知识定义 2.1[3]果二次曲面的径面垂直于它所共轭的方向,那么这个径面就叫做二次曲面的主径面.显然主径面就是二次曲面的对称面.定义 2.2[4]二次曲面主径面的共轭方向（即垂直于主径面的方向）,或者二次曲面的奇向,叫做二次曲面的主方向.引理 2.1[5]二次曲面平行于非渐近方向的一族平行弦中点的轨迹是一个平面.其方程为1234(,,)(,,)(,,)(,,)0X Y Z x X Y Z y X Y Z z X Y Z φφφφ+++=. (1)注1：二次曲面沿非渐近方程::X Y Z 的所有平行弦中点所在的平面叫做平面共轭于非渐进方向::X Y Z 的径面,而平行弦叫做这个径面的共轭弦.注2：如果二次曲面的径面垂直于它所共轭的方向,那么这个径面就叫做二次曲面的主径面.实际上,主径面垂直于所平分的一组弦,是二次曲面的对称平面. 引理2.2 二次曲面的特征方程为1112131322231323330a a a a a a a a a λλλ--=- 即321230I I I λλλ-+-+=.其中λ是二次曲面的特征根.引理2.3 一般二次曲面的主方向方程组()()()1112131222231323330,0,0.a X a Y a Z a X a Y a Z a X a Y a Z λλλ-++=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩ 其中::X Y Z 是二次曲面(2)的非渐近方向.引理2.4 空间直角坐标变换设在空间给定了两个由标架{};;;o i j k 与{}'''';;;o i j k 决定的右手直角坐标系,前面一个叫做旧坐标系,后面的一个叫做新坐标系.它们之间的位置关系完全可由新坐标系的原点'o 在旧坐标系内的坐标,以及新坐标系的坐标矢量在旧坐标系内的分量所决定.2.4.1移轴设'o 在旧坐标系下的坐标为{}000,,x y z ,p 为空间任意一点,它在{};;;o i j k 与{}'''';;;o i j k 下的坐标分别是{},,x y z 与{}''',,x y z .其中移轴表换公式为'0'0'0x x x y y y z z z ⎧=+⎪=+⎨⎪=+⎩, 移轴公式为'0'0'x x x y y y z z z ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩.转轴经过转轴变换后,新旧坐标轴间的交角如下表所示其中转轴变换公式为：'''123'''123'''123cos cos cos ,cos cos cos ,cos cos cos .x x y z y x y z z x y z αααβββγγγ⎧=++⎪=++⎨⎪=++⎩, 其中转轴逆变换公式为：'111'222'333cos cos cos ,cos cos cos ,cos cos cos .x x y z y x y z z x y z αβγαβγαβγ⎧=++⎪=++⎨⎪=++⎩ 3 二次曲面方程的化简定理 以三个主方向所建立的右手直角坐标系为新坐标系而作坐标轴的旋转，那么曲面方程222112233121323142434442222220a x a y a z a xy a xz a yz a x a y a z a +++++++++=.(2)在新坐标系中具有如下形式：''2''2''2'''''''112233142434442220a x a y a z a x a y a z a ++++++=. (3)证明 因为二次曲面至少有一个非奇主方向，以这个主方向作为新轴方向，以共轭于这个方向的主径面作为新坐标平面'0x =，建立直角坐标系''''o x y z -，设在这个新坐标系下，曲面的方程为''2''2''2'''''''''''''''112233121323142434442222220a x a y a z a x y a x z a y z a x a y a z a +++++++++=.在新坐标系下,曲面以'x 轴方向作为主方向1:0:0,代入式（1）,得与之共轭的主径面方程为'''''''111213140a x a y a z a +++=.那么这个方程表示坐标平面'0x =的充要条件是''''111213140,0a a a a ≠===.所以曲面在新坐标系下的方程为''2''2''2'''''''''11223323243444112220(0)a x a y a z a y z a y a z a a ++++++=≠.如果'230a =,那么有''2''2''2''''''11223324344411220(0)a x a y a z a y a z a a +++++=≠.如果'230a ≠,可在'''y o z 平面内,将y 轴与z 轴旋转一角度θ（保持x 轴不动）,并且适合''2233'23cot 22a a a θ-=,即经直角坐标变换'''''''''''''cos sin sin cos x x y y z z y z θθθθ⎧=⎪=-⎨⎪=+⎩, 就可使yz 项系数也等于零,从而得到''''2''''2''''2''''''''''''''112233142434442220a x a y a z a x a y a z a ++++++=.由定理可知,经过适当的坐标变换,二次曲面（2）总可以化为''2''2''2''''''''11223314243444112220(0)a x a y a z a x a y a z a a ++++++=≠.4 二次曲面方程的分类下面对(3)中系数的所有可能情形加以讨论.4.1 若'22a 和'33a 都不为零,作移轴变换'''''''24'22''''34'33x xa y y a a z z a ⎧⎪=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪⎪=-⎪⎩,则方程(3)可化为(I ) ''''2''''2''''2''112233440a x a y a z a +++= 4.2 若'22a 和'33a 中有一个为零,不妨假设'330a =,'220a ≠,则方程（3）化为 ''2''2''''''1122243444220a x a y a y a z a ++++=. (4) ① 若'340a ≠,作移轴变换'''''''24'22'''2'''224424''22342x x a y y a a a a z z a a ⎧⎪=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪-⎪=-⎪⎩, 则方程(4)化为(II ) '''2'''2''''11223420a x a y a z ++=② 若'340a =,作移轴变换'''''''24'22,x x a y y a ⎧=⎪⎨=-⎪⎩, 方程(4)化为(III ) '''2'''211220a x a y c ++=若'24a 和'34a 都为零,则方程（3）化为''2'''''11243444220a x a y a z a +++= (5)③ 若'24a 和'34a 不全部为零,因平面'''''243444220a y a z a ++=.与坐标平面'0x =垂直,则利用坐标变换''''''''''x x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩使这个平面作为新坐标平面'0y =,此时方程（5）化为(IV ) '''2'''112420a x a y +=.④ ''24340a a ==,则方程（5）化为 (V ) '''2'11440a x a +=.综合以上的讨论,二次曲面方程（1）经过直角坐标变换总可以化为以下五种形式之一：(I ) 2220Ax By Cz D +++= （0ABC ≠）;(II ) 2220Ax By Pz ++= （0ABP ≠）; (III ) 220Ax By E ++= （0AB ≠）; (IV ) 220Ax QY += （0AQ ≠）; (V ) 20Ax R += （0A ≠）;这同中心分类是一致的.下面对二次曲面(1)的五种形式中的每一个就系数可能出现的情况作进一步的讨论,以便得出二次曲面的详细分类.5 二次曲面标准形式分类5.1 在方程(I )中, 若0D ≠,把方程(I )的两端除以D 并令222111,,,A B C D a D b D c=±=±=±其中正负号的选取使,,a b c 都是实数. ① 若,,A B C 同号,但与D 异号,则方程(I )化为2222220x y z a b c++=. (6)它表示椭球面.②,,,A B C D 都同号，则得22222x y z a b+=±. (7)它表示虚椭球面.③ 若,,A B C 中有两个同号,且D 与另一个同号,则得22222x y z a b-=±. (8)它表示单叶双曲面.④ 中有两个同号,且D 与这两个同号,则得22221x y a b+=. (9)它表示双叶双曲面.5.2 在方程(I )中,若0D =,在方程(I )中,令222111,,A B C a b c =±=±=±. ① 若,,A B C 中有两个同号,则方程(I )化为2222220x y z a b c+-=. (10) 它表示二次锥面.② 若,,A B C 同号,则得2222220x y z a b c++=. (11)它表示虚二次锥面由此可知,中心型二次曲面有且仅有六种. 5.3 在方程(II )中,令2211,A B P a P b=±=±. ① 若,A B 同号,则得22222x y z a b+=±. (12)它表示椭圆抛物面.② 若,A B 异号,则得22222x y z a b-=±. (13)它表示双曲抛物面.5.4 在方程(III )中,若0E ≠,令2211,A B E a E b=±=±. ① 若,A B 同号,且与E 异号,则得22221x y a b+=. (14) 它表示椭圆柱面.② 若,A B 同号,且与E 同号,则得22221x y a b+=-. (15) 它表示虚椭圆柱面.③ 若,A B 异号,则得22221x y a b-=±. (16)它表示双曲柱面.5.5 在方程(III )中,若0E =① 若,A B 异号,则得22220x y a b-=. (17) 它表示一对相交平面. ② 若,A B 同号,则得22220x y a b+=. (18) 它表示一对虚相交平面或z 轴.5.6 方程(IV )可以化为22x py =. (19) 它表示抛物柱面.5.7 在方程(V ) (ⅴ)中,若0R ≠① 若,A R 异号,则得220x a -=. (20) 它表示一对平行平面.② 若,A R 同号,则得220x a +=. (21) 它表示一对虚平行平面.5.8 在方程(V )中,若0R =,则得20x =. (22) 它表示一对重合平面.由上可知,非中心型二次曲面有且仅有11种.综上所述,一般二次曲面(2)经过坐标变换,总可以简化成十七种标准方程中的一种.6 二次曲面方程的化简与应用例1 化简二次曲面方程2225622666100x y z xy xz yz x y z ++--+-+-+=.解 二次曲面的矩阵为13133113115333310---⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭, 1237,0,36I I I ===-,所以曲面的特征方程为327360λλ-+-=,即 (6)(3)(2)0λλλ--+=, 因此二次曲面的三特征根为6,3,2λ=-.(1) 与特征根6λ=对应的主方向::X Y Z 由方程组530,350,0X Y Z X Y Z X Y Z ---=⎧⎪--+=⎨⎪-+-=⎩决定,所以对应于特征根6λ=主方向为::X Y Z =311553::511335----------=8:8:161:1:2-=-, 与它共轭的主径面为20x y z -++=.(2) 与特征根3λ=对应的主方向::X Y Z 由方程组230,320,20X Y Z X Y Z X Y Z ---=⎧⎪--+=⎨⎪-++=⎩决定,所以对应于特征根3λ=的主方向为::X Y Z =311223::211332----------=5:5:(5)1:(1):1--=-, 与它共轭的主径面为30x y z -+-=.(3) 与特征根2λ=-对应的主方向为::X Y Z 由方程组330,330,70.X Y Z X Y Z X Y Z --=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩决定,所以主方向为::X Y Z =311333::177111----=20:20:01:1:0=, 与它共轭的主径面为0x y +=.取这三主径面为新坐标平面作坐标变换,得变换公式为：'''x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩解出,,x y z 得''''''''1,1,1,x x y z y x y z z x y ⎧=+++⎪⎪⎪=+-⎨⎪⎪=++⎪⎩代入原方程得曲面得简化方程为'2'2'263210x y z +-+=.曲面的标准方程为'2'2'21111632x y z +-=-. 这是一个双叶双曲面.例2 化简二次曲面方程22222342246230x y z xy xz yz x y z +++++-+-+=.解 因为1237,10,0I I I ===,所以曲面的特征方程为327100λλλ-+-=,特征根为 5,2,0λ=.非零特征根5λ=所对应的主方向由方程组320,230,20X Y Z X Y Z X Y Z -++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩决定,所以与5λ=所对应的主方向为::1:1:1X Y Z =,与这主方向共轭的主径面为0x y z ++=.非零特征根2λ=所对应的主方向由方程组20,20,0Y Z X Z X Y Z +=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩决定,所以与2λ=所对应的主方向为::1:1:(2)X Y Z =-,与这主方向共轭的主径面为22430x y z +-+=.取上面的两个主径面分别作为新坐标系''''o x y z -的'''y o z 和'''x o z 坐标面,再任意取与这两主径面都垂直的平面,比如 0x y -+=,为'''x o y 坐标面,作坐标变换,得变换公式为'''x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩解出,,x y z 得''''''''1,241,41,332x y z y x y z z x y ⎧=--⎪⎪⎪⎪=+-⎨⎪⎪=-+⎪⎪⎩代入原方程得'2'2'95204x y +++=, 所以'2'2'52040x y z +++=. 再作移轴''''''''',,40x x y y z z ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩得曲面的简化方程为''2''2''520x y ++=.这是一个椭圆抛物面.7 小结二次曲面方程的化简二次曲线一样,它的关键是适当选取坐标系,如果所取的坐标系深红x ）是曲面的对称面,那么新方程里只含有这个对应坐标（例如x）的有一坐标面（例如0平平方项,曲面的方程就比较简单了,二次曲面的主径面就是它的对称面,因而选取主径面作为新坐标面,或者选取主方向为坐标轴的方向,就成为化简二次曲面方程的主要方法了.参考文献[1] 吕林根等.解析几何（第三版）[M].北京:高等教育出版社,2001.[2] 吴大任等.解析几何引论（第二版）[M].北京:高等教育出版社,1989.[3] 朱鼎勋.空间解析几何[M].上海:上海科学技术出版社,1986.[4] 李厚源.空间解析几何[M].山东:山东科学技术出版社,1983.[5] 南开大学编写组.空间解析几何引论[M]. 北京:高等教育出版社,1989.[6] 郑文晶.解析几何[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2008.6.[7] 崔冠之.唐宗李等编,空间解析几何.北京：中央民族学院出版社.1989.11[8] 华东师范大学数学系几何教研室,解析几何习题集, 华东师范大学出版社,1982.[9] (前苏联)A.B.波格列诺夫、姚志亭译,人民教育出版社,1982.[10] 陈绍菱、傅若男,空间解析几何习题试析,北京师范大学出版社,1984.Classification and Simpification of Generalquadric surface equationLei Song(Grade 06, Class 5, Major in Mathematics and Applied Mathematics, Department of Mathematics, Shaanxi University of Technology, Hanzhong, 723000, Shaanxi)Tutor: Sangang GuoAbstract:This article through carries on the simplification and the classification to the generalquadric equation, simplifies five class equations and 17 standard forms. Finally introduced the generaltwo tunesKey words:Quadratic surface; Classification; Simplification; Using。
二次曲线方程的化简与分类
§7 二次曲线方程的化简与分类一 方程的化简：1 中心曲线方程的化简：对中心曲线F （x,y ）=0，令O ′（0x ，0y ）为其中心，若将坐标原点平移至O ′，则新方程中将不含一次项，再选取适当的θ角，作旋转变换，还可消去方程中的交叉乘积项，最终中心曲线的方程可化简为033222211='+''+''a y a x a （1）由于022112≠''='a a I ， ∴''2211,a a 全不为0，从而中心曲线（1）关于新系的x ′， y ′轴对称，即以中心曲线的二主直径作为坐标轴建立新坐标系时，则曲线的方程便简化为（1）例1：化简二次曲线方程x ²-xy+y ²+4x-2y=0解：所给二次曲线的二主直径为x+y+2=0 ，x-y+2=0 取坐标变换公式 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--='-+=')2(21)2(21y x y y x x 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+'+'='-'=2)(21)(21y x y y x x代入原方程有x ′²+3y ′²-8=0即138822='+'y x 2 无心曲线方程的化简：对无心曲线F （x,y ）=0，选取适当的θ角作旋转变换，可消去方程中的交叉乘积项，即 方程简化为022332313222211='+''+''+''+''a y a x a y a x a由于02211=''a a ∴''2211,a a 有且仅有一为0，不妨设'11a =0 ，再配方有 0)(2)(0132022='+''+'+''x x a y y a作平移⎪⎩⎪⎨⎧'+'='''+'=''00y y y x x x则方程最终简化为0213222=''"+''"x a y a （2）由于 231322121211:::a a a a a a ≠= ∴013≠"a从而无心曲线（2）关于x ″轴对称，即x ″轴是其一主直径，且x ″州与曲线的交点是新坐标系的坐标原点。
二次曲面的化简与分类方法探讨
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ：ｑ ｕ ａ ｄ ｒ ｉ ｃ ｓ ｕ ｒ ｆ ａ ｃ ｅ ；ｓ ｉ ｍｐ ｌ ｉ ｆ ｉ ｅ ｄ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ；ｃ ｌ ａ ｓ ｓ ｉ ｆ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ；ｓ ｔ ａ ｂ ｌ ｅ ｐ ｏ ｉ ｎ ｔ ；ｅ ｉ ｇ ｅ ｎ ｖ ａ ｌ ｕ ｅ ｏ ｆ ａ ｍａ ｔ ｒ ｉ ｘ
ｍｏ ｎ ｌ ｙ ｕ ｓ ｅ ｄ ｉ ｎ ｃ ａ ｌ ｃ ｕ ｌ ｕ ｓ ａ ｎ ｄ ｍａ ｔ ｒ ｉ ｘ ｅ ｉ ｇ ｅ ｎ ｖ ａ ｌ ｕ ｅ ｉ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ａ ｌ ｇ ｅ ｂ ｒ ａ ，ｓ ｉ ｍｐ ｌ ｉ ｆ ｉ ｅ ｄ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｏ ｆ ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｌ ｑ ｕ ａ ｄ ｒ ｉ ｃ ｓ ｕ ｒ ｆ ａ ｃ ｅ ｓ ｆ ｏ ｒ ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｃ ａ ｓ ｅ ｓ ｗｅ ｒ ｅ ｃ ｈ ａ ｒ ａ ｃ ｔ ｅ ｒ ｉ ｚ ｅ ｄ ．Ｔｈ ｅ ｎ，ｓ ｕ ｆ ｆ ｉ ｃ ｉ ｅ ｎ ｔ ａ ｎ ｄ ｎ ｅ ｃ ｅ ｓ ｓ ａ ｒ ｙ ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｆ ｏ ｒ ｑ ｕ ａ ｄ ｒ ｉ ｃ ｓ ｕ ｒ ｆ ａ ｃ ｅ ｓ ｃ ｌ ａ ｓ ｓ ｉ ｆ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｓ ｔ ａ ｂ ｌ ｅ ｐ ｏ ｉ ｎ ｔ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｉ ｒ ｃ ｏ ｒ ｒ ｅ ｓ ｐ ｏ ｎ ｄ ｉ ｎ ｇ ｑ ｕ ａ ｄ ｒ ａ ｔ ｉ ｃ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｎ ｕ ｍｂ ｅ ｒ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｓ ｉ ｇ ｎ ｏ ｆ ｎ ｏ ｎ － ｚ ｅ ｒ ｏ ｅ ｉ ｇ ｅ ｎ ｖ ａ ｌ ｕ ｅ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｒ ｉ ｘ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｉ ｒ ｑ ｕ ａ ｄ ｒ ａ ｔ ｉ ｃ ｔ ｅ ｒ ｍｓ ｗｅ ｒ ｅ
数学专业毕业论文_二次曲线方程的化简及应用
二次曲线方程的化简及应用作 者：。
0 引言二次曲线方程的化简是二次曲线理论的重要内容，是《解析几何》课程教学的一个难点.文献[1]给出的化简方法（坐标变换法和不变量法）各有优缺点，具有一定的局限性.为此，文献[2-4]利用参数法将坐标变换和主直径有机地结合起来，给出方程化简第一种较简便的方法；文献[5]和文献[6]从坐标变换下二次曲线方程系数变化规律入手，给出了第二种新的化简方法；文献[7]借助多项式可约性及因式分解给出第三种化简方法；文献[8]和文献[9]分别利用矩阵理论及六元非线性方程给出了另外两种化简方法.但文献给出的化简方法均未涉及到方法之间的内在联系.本文归纳总结了二次曲线方程的一般化简方法，进一步探讨了坐标变换法和不变量法的内在联系，在文献[2]的基础上通过进一步论证，又得到了三个新的定理，并借助实例，探究了这种方法在问题过程中的具体应用. 1 预备知识 1.1 定义[]1定义1 在平面上,由二次方程()22111222132333,2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++= （*）所表示的曲线,叫做二次曲线[]1.定义2 有唯一中心的二次曲线叫做中心二次曲线;没有中心的二次曲线叫做无心二次曲线;有一条中心直线的二次曲线叫做线心二次曲线.无心二次曲线与线心二次曲线统称为非中心二次曲线[]1.定义 3 把一个点对于某一坐标系的坐标变换称为同一个点对于另一种坐标系的坐标,这种变换称为坐标变换[]1.定义4 由曲线方程的系数给出的函数,如果在经过任意一个直角坐标变换后,它的函数值不变,就称这个函数是该曲线的一个正交不变量,简称不变量.定义5 二次曲线的垂直于其共轭弦的直径叫做二次曲线的主直径. 1.2 直角坐标变换下二次曲线方程的系数变化规律 1.2.1 移轴对二次曲线方程系数的影响规律[]1二次曲线方程（*）在移轴公式'0'0x x x y y y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩下,其中(,)x y 表示平面内一点P 的旧坐标,(,)x y ''表示P 点的新坐标, (,)x y ''表示新坐标系的原点在旧坐标系下的坐标,二次曲线方程系数分别为:'''111112122222'1311012013100'2312022023200'3300,,(,)(,)(,)a a a a a a a a x a y a F x y a a x a y a F x y a F x y ====++==++==由此可知系数变化规律为： 1）二次项系数不变；2）一次项系数变为),(22001'13y x F a =,),(22002'23y x F a =；3) 常数项变为),(00'33y x F a =. 根据上述规律，通过计算可以得到：'1'22'1122111I a a a a I =+=+=，'22'12'22'112122211221212112I a a a a a a a a a a I =-=-==,33323132322121312113I a a a a a a a a a I '==.1.2.2 转轴对二次曲线方程系数的影响规律[]1二次曲线方程(*)在转轴公式''''cos sin sin cos x x y y x y αααα⎧=-⎪⎨=+⎪⎩下,其中, α为坐标轴的旋转角. 二次曲线方程系数分别为：33'332313'232313'1322212211'22121122'1222212211'11cos sin sin cos cos 2sin sin 2cos 2sin )(21sin 2sin cos a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-=+=+-=+-=++=αααααααααααα由此可知系数变化规律为：1）二次项系数的变化仅与原方程的二次项系数和转角有关；2）一次项系数的变化仅与原方程的一次项系数和转角有关，特别是，当原方程无一次项时，转轴后也无一次项；二次曲线方程的化简及应用3）常数项不变.根据上述规律，通过计算可以得到：'1'22'1122111I a a a a I =+=+=，'22'12'22'1121222112I a a a a a a I =-=-=2 二次曲线方程的化简方法 2.1 参数法若(,)0F x y =（0222212211≠++a a a ）为中心二次曲线，其中心为),(000y x P 则过),(000y x P 的任一直线的参数方程为()00cos 0sin x x t y y t ααπα=+⎧≤<⎨=+⎩ 将上式代入(,)0F x y =得：2()(,)0o o t F x y λα+=其中22111222()cos 2cos sin sin a a a λααααα=++引理[]21 设(,)0F x y =)0(222212211≠++a a a 为中心二次曲线若()λα定号：当0),()(<o o y x F αλ时，二次曲线为实椭圆，方程可化简为1)()(min2'max 2'22=+t yt x 当()0,)(00>y x F αλ时，二次曲线为虚椭圆；当()00,0F x y =时，二次曲线为点椭圆.若)(αλ变号：当0),()(<o o y x F αλ时，二次曲线为双曲线，方程可化简为'2'222min max1()()x y t t -=当0),(=o o y x F 时，二次曲线为两相交直线. 例1 化简二次曲线方程01656522=-++y xy x .解 由于01635522>=-⨯=I ,故二次曲线为椭圆型中心曲线.解⎩⎨⎧=+=+0530350000y x y x 得 ⎩⎨⎧==0000y x 即二次曲线的中心为坐标原点. 设过中心的任一直线的参数方程为cos (0)sin x t y t ααπα=⎧≤<⎨=⎩，其中t 为参数．将参数方程代入二次曲线的原方程得222(5cos 6cos sin 5sin )160t αααα++-=令22()5cos 6cos sin 5sin 53sin 2λαααααα=++=+ 当22πα=，即max ()84παλα==时，，当232πα=，即min 3()24παλα==时，， 故2816)(8216)(min 22max 22=--===--==t b t a ，， 即原方程化简为1282'2'=+y x .2.2 不变量法[]5引理[]12 如果0,032≠≠I I , 则二次曲线（*）为中心曲线，那么它的方程总可以化简为'2'231220I x y I λλ++= (012>a ) 其中，1λ,2λ为二次曲线特征方程的两个根.如果0,032≠=I I , 则二次曲线（*）为无心曲线，那么它的方程总可以化简为210I y '±= 如果0,032==I I ,则二次曲线（*）为线心曲线，那么它的方程总可以化简为'21110K I y I += 其中，33232322331313111a a a a a a a a K +=例2 (1) 化简22442210x xy y x y -++--=. 解 由题意可得123121125,0,241124111I I I --====--=---- 所以二次曲线为无心曲线,由不变量法知可化简为'2'50y ±=.即'2'y x =或'2'y x =.二次曲线方程的化简及应用(2)021*******=+-++-y x y xy x解 由题意可得 45215551235231,45123231,2321-=----=-=--==I I I 所以二次曲线为中心二次曲线， 而主方向特征方程为0212=+-I I λλ,即04522=--λλ, 所以252121=-=λλ 故由不变量法可知二次曲线可化简为 02522=+'+'-y x(3) 0124422=+-++-y x y xy x解 由题意可得 012112112124,01224,5321=----==--==I I I 所以二次曲线为线心二次曲线, 又415121211111433232322331313111=--+=+=a a a a a a a a K所以由不变量法可化简为 04352=+'y用不变量法化简二次曲线，可直接由公式得到化简方程,计算比较简单，但无法确定二次曲线在坐标系中的确切位置,故还不能直接由此做出图形,仍需要进一步的确定计算.2.3 坐标变换法[]72.3.1 利用系数的影响规律化简方程[]1当02≠I 时，二次曲线()*为中心二次曲线，其中心00(,)x y 满足⎩⎨⎧++=++=230220122130120111),(),(a y a x a y x F a y a x a y x F o o o o 根据移轴对二次曲线方程系数的影响规律，若取00(,)x y 为坐标原点，则二次曲线方程可化简为：02'332'22''122'11=+++a y a y x a x a其中),(,00'332211'22'11y x F a a a a a =+=+由此可知中心二次曲线的化简一般是先移轴后转轴.当02=I 时，即（*）为非中心二次曲线,如果012≠a 时，取转角α满足12221122cot a a a -=α， 使得0)sin (cos cos sin )(22121122'12=-+-=ααααa a a a 从而消去方程中的交叉项，由此可知非中心二次曲线的化简一般是先转轴后移轴. 例3 化简024222=--++-y x y xy x ,并作出几何草图.解 因0434111212112≠=-=--=I ,故曲线为中心二次曲线.解11021202x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩ 得000,2x y ==, 取(0,2)为坐标原点,作移轴''2x xy y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩ 根据移轴对系数的影响规律，可将方程化简为 '2'''260x x y y -+-=再作转轴消去''y x 交叉项,令022cot 122211=-=a a a α， 取,4πα=得cos αα==二次曲线方程的化简及应用作转轴 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧''+''=''-''=)(21)(21''y x y y x x经转轴后曲线的方程化为：0623212''2''=-+y x 图形如下图1对于坐标变换法,一般需先求旋转角,算出转轴公式,再代入二次曲线的方程,算出新方程的系数,然后再移轴,确定图形位置,虽然方法简单,但计算量大,且灵活性较强，不易掌握.2.3.2主直径法[]1对于中心二次曲线,我们取它的一对既共轭又互相垂直的主直径作为坐标轴，则方程可化为''2''2'1122330a x a y a ++=.对于无心二次曲线,取它的唯一主直径为'x 轴,而过顶点(即主直径与曲线的交点)且与非渐近主方向为方向的直线(即过顶点垂直与主直径的直线)为'y 轴建立坐标系.则方程可化为''2''221320a y a x +=.对于线心二次曲线,我们取它的中心直线(即曲线的唯一直径也是主直径)为'x 轴,任意垂直它的直线为'y 轴建立坐标系.则方程可化为''2'22330a y a +=.例 4 化简2222220x xy y x y -++--=,并做出草图. 解 因为123111112,0,111011112I I I --====--=---所以曲线为线心曲线.故有唯一的直径即中心线，其方程为10x y -+=取它为新坐标系的'x 轴，再取任意垂直于此中心线的直线0x y +=为新坐标系的'y 轴，作坐标变换，这时的变换公式为''x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解,x y 得''''122212x x y y y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入已知方程，经过整理得'2230y -=.即'y =或'y =.二次曲线方程的化简及应用显然用坐标变换法化简二次曲线的方程，计算量大，但能做出几何图形. 下面将探究坐标变换法和不变量法的内在联系,给出了三个新定理及证明,使二次曲线的化简计算量小,同时还能快速做出图形. 2.4 主要结果的证明及应用 2.4.1主要的定理及证明定理1 []12 二次曲线（*）为非圆时，在坐标变换''''cos sin sin cos x x y x y x y y αααα⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩ 下方程总可以化简为:'2'231220I x y I λλ++= 其中),(o o y x 为中心坐标，)2,0(2cot 21122211πα∈-=a a a arc 且1212()0a λλ->, 12,λλ是特征方程2120I I λλ-+=的特征根.二次曲线(*)为圆时,在坐标变换⎪⎩⎪⎨⎧+=+=0''y y y x x x 下方程总可以化简为 0232'222'11=++I I y a x a 其中),(o o y x 为中心坐标.证明 将坐标变换公式y x ,代入二次曲线方程(*)得到'''(,)0F x y =， 经整理，系数变为:),(cos ),(sin ),(sin ),(cos )(cos 2sin sin 2cos 2sin )(21sin 2sin cos '3321'232,1'1322212211'22121122'1222212211'11o o o o o o o o o o y x F a y x F y x F a y x F y x F a a a a a a a a a a a a a =+-=+=+-=+-=++=αααααααααααα 因为),(o o y x 为二次曲线的中心,所以12(,)0,(,)0o o o o F x y F x y =='1312(,)cos (,)sin 0o o o o a F x y F x y αα=+=0cos ),(sin 2'23=+=ααo o y x F a .由于转角)2,0(2cot 21122211πα∈-=a a a arc ,且此时有αα2sin )(2cos 2221112a a a -= )]cos 2sin sin ()sin 2sin cos [(2)(2222122112221221112122211ααααααa a a a a a a a a a +--++='-' ()]2sin 22cos [212221112ααa a a a +-=()αα2sin 42cos 2212221112a a a a +-=()02sin ]4[21222211>+-=αa a a即方程最终可化为:0'332''222''11=++a y a x a又2'22'1112211'22'11,I a a I a a a a ==+=+，根据根与系数的关系得'22'11a a 与是特征方程2120I I λλ-+=的两根，且1212()0a λλ->.令2'221'11,λλ==a a 则12,λλ分别是二次曲线的特征根.由于),(o o y x 是中心坐标,且22312131102232213120,I a a a a y I a a a a x -=='3301023(,)(,)(,)(,)o o o o o o o o a F x y x F x y y F x y F x y ==++13023033a x a y a =++121311131112132333222312231222232a a a a a a a a a a a a a a a I I I -+==因此非圆的中心二次曲线方程在坐标变换''''0cos sin sin cos x x y x y x y y αααα⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩下总可以化简为'2'231220I x y I λλ++=. 当二次曲线为圆时,同理可证曲线方程总可以化简为0232'222'11=++I I y a x a . 定理1证毕.定理2[]7 无心二次曲线(,)0F x y =()012≠a 在坐标变换二次曲线方程的化简及应用''''cos sin sin cos x x y x y x y y αααα⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩ 下方程总可以化简为'2'10I y -= 其中),(00y x 为二次曲线的顶点，1112tan a a α=-,且cos α与12a 同号.证明 将y x ,代入二次曲线方程（*）中， 曲线方程可化简为:''2'''''2'''''1112221323332220a x a x y a y a x a y a +++++=因为1112tan a a α=-且cos α与12a 同号，可得cos αα==将1112tan a a α=-代入''1122,a a 得 ()1112222222212211'11tan 2tan cos sin cos sin 2cos a a a a a a a ++=++=ααααααα2cos 1112111221211222=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=a a a a a a a α()'222211122222111222sin sin 2cos cos tan 2tan a a a a a a a αααααα=-+=-+2212111111122222111212122a a a a a a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=⋅--⋅-+ ⎪ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1122a a =+)12()()1cos 2(cos sin )(2cos 2sin )(212122112121221221112212211111112212112212112212=-+++⋅+-⋅-=-+-=+-='a a a a a a a aa a a a a a a a a a a ααααα'13100200(,)cos (,)sin a F x y F x y αα=+212211112302212212211121312011)()(a a a a y a x a a a a a y a x a o o +⋅++-+⋅++=22112132223131222311212211231113122a a aa a a a a a a a a a a a ++--=+-=== 由于()00,x y 是顶点，故1110012200(,)(,)0a F x y a F x y +=,所以'23100200122001110012(,)sin (,)cos cos [(,)(,)]a F x y F x y a F x y a F x y a ααα=-+=+ 0=0'33=a因此无心曲线方程在坐标变换''0''cos sin sin cos x x y x y x y y αααα⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩下总可以化简为'2'10I y -= 定理2证毕.定理3[]7 线心二次曲线(,)0F x y =在坐标变换''''cos sin sin cos x x y x y x y y αααα⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩ 下方程总可以化简为:'21110K I y I += 其中13230011221122,a a x y a a a a =-=-++，1112tan aa α=-且cos α与12a 同号.二次曲线方程的化简及应用证明 将y x ,代入二次曲线方程(*) 曲线方程可化简为0222'33''23''132''22'''122''11=+++++a y a x a y a y x a x a由于转角为1112tan a a α=-.由定理2的证明过程可知 ''1122112210,a a a a I ==+=由于13230011221122,a a x y a a a a =-=-++代入可得),(132211231222111311130120111=++-++-=++=a a a a a a a a a a y a x a y x F o o,232211232222111312230220122=++-++-=++=a a a a a a a a a a y a x a y x F o o ）（所以0'23'13==a a .'333001302303322132333112211221113222313332333112211(,)a F x y a x a y a a a a a a a a a a a a a a a a a a K I ==++--=+++++=+=因而线心曲线方程在坐标变换''''cos sin sin cos x x y x y x y y αααα⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩下总可以化简为 '21110K I y I += 2.4.2主要结果的应用举例例5 求曲线012656522=-+-+-y x y xy x 的简化方程并做出草图.解 因为01653351021≠=--==I I ，,即二次曲线为中心二次曲线.由⎩⎨⎧=++=--01530335000y x y x 得中心坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==17717600y x 由1222112cot 21a a a arc -=α知，取4πα=，则 21cos ,21sin ==αα又481131533353-=----=I , 故3164823-=-=I I . 又因为.0312<-=a 即由定理1知21λλ<而21,λλ又是特征方程016102=+-λλ的两根，所以8221==λλ，.所以曲线方程在坐标变换()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+-=1772117621''''y x y y x x 下可化简以为03822'2'=-+y x图形如下二次曲线方程的化简及应用图3例6 求二次曲线01610222=+--+-y x y xy x 简化方程并做出草图. 解 123115112,0,11364,11531I I I ---====--=----即曲线为无心曲线.由定理4知1211tan a a -=α且cos a 与12a 同号，故 21sin ,21cos -=-=αα由()()()00002200000015130210610x y x y x x y y x y ⎧-⋅--+⋅-+-=⎪⎨-+--+=⎪⎩得顶点坐标为001212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 因为0112<-=a ，由定理2知''1122a a <即''112211220,2a a a a ==+=所以曲线的方程在坐标变换''''1212x x y y x y ⎧=++⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩下可以化简为.03222'2'=±x y即'2'y =或'2'.y =-图形如下图4例7 化简2244210x xy y x y -++-+=并做出草图.解 由于012112112124,01224,5321=----==--==I I I ,故为线心二次曲线. 由定理3知 0011,,510x y =-= 又由2tan 1211=-=a a α且cos α与12a 同号知 52sin ,51cos -=-=αα433121211111433232322331313111=--+=+=a a a a a a a a K所以曲线的方程在坐标变换''''15110x x y y x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩下总可以化简为'23504y +=图形如下图5结束语二次曲线方程的化简是大学空间几何研究的重点内容之一,且对二次曲线内容的教学有非常重要的指导作用.本文就二次曲线方程的化简与作图,介绍了五种方法,分别是二次曲线方程的化简及应用参数法、不变量法、坐标变换法、主直径法、与上述四种方法相比较稍微简单的一种新方法.本文通过归纳以上前四种方法之间的联系,即从应用不变量法来化简方程与应用移轴、转轴来作图,给出一种相对于前四种方法更为简洁的方法,得出三个新定理的证明及具体应用.本文通过借鉴国内二次曲线方程化简与作图的方法,寻找它们之间的联系,找到一种即易于化简又易于作图的方法,从而告诉我们,思维要善于发散,对于同一道题,要应用不同的方法进行解答,再从所有的解法中找出一种最简便的方法,同时这对深入研究中学数学数学二次曲线也提供了相应的指导.本文针对所查文献资料给出的四种方法进行归纳,并结合这四种方法给出一种既易于二次曲线方程的化简又易于作图的简便方法.这种新方法是否就是最简单的方法还有待于进一步考证.二次曲线是中学平面解析几何的重点内容之一,是高考的一个热点,也是教师的教和学生的学的一大难点.如何更好地把大学空间解析几何里的研究二次曲线的相关内容与高中二次曲线的内容有机地结合起来,更好地指导中学二次曲线的教学,为学生的学习提供相应的帮助是一个值得进一步去研究的方法.今后可在不同的几何观点下去研究二次曲线的相关问题,而用高观点去指导中学有关内容的教学.参考文献[1] 吕林根,许子道.解析几何[M].北京:高等教育出版社,1987.[2] 张卯.化简二次曲线方程的一种简捷方法[J].周口师专学报,1996,13(4):11-16.[3] 翟娟,席芳渊.参数法化简二次曲线方程[J].中学数学教学,1994,(4):24-25.[4] 苏婷.二次曲线方程化简[J].陕西师范大学继续教育学报,2006,23:247-249.[5] 文开庭.二次曲线的一种化简方法[J].毕节师专学报,1995,(2):66-71.[6] 林梦雷.二次曲线方程的化简[J].漳州师范学院学报,1999,12(1):22-26.[7] 席高文,刘晓君.二次曲线方程分类与化简的新方法[J].许昌师专学报,2001,20(2):6-13.[8] 李永林,陈点波,孙维君.二次曲线方程的化简和位置的确定[J].淄博学院学报,2001,3(3):5-8.[9] 李根友,二次曲线方程的化简和讨论[J]. 湖州师范学院学报,1990,S(1):29-34.[10] 廖民勋.二次曲线方程的化简及作图[J].广西师院学报,1997,14(2):76-81.[11] 于中文.平面解析几何学习指导[M].济南:山东教育出版社.1982:240-250.[12] 崔萍,高真秋.二次曲线方程化简与作图的简易方法[J].曲靖师范学院学报.2007,11(16):26-87.。
一般二次曲线的化简与分类
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结构设计
在建筑和土木工程中，二次曲线 可以用来描述结构的形状和受力 情况，例如拱桥的拱形结构和高 层建筑的抗风设计。
机械设计
在机械设计中，二次曲线可以用 来描述机器零件的形状和运动轨 迹，例如曲轴和凸轮的设计。
航空航天
在航空航天领域中，二次曲线可 以用来描述飞行器的飞行轨迹和 气动外形，例如飞机和导弹的设 计。
二次曲线标准形式的性质
总结词
二次曲线的标准形式具有一些重要的几何和代数性质。
详细描述
例如，圆的标准形式是$x^2 + y^2 = r^2$，它表示一个以原点为中心、半径 为$r$的圆；双曲线的标准形式是$x^2 - y^2 = r^2$或$y^2 = mx + n$，表 示两条渐近线与坐标轴成45°的角。这些性质在解决几何问题时非常有用。
未来研究方向与展望
研究方向
未来对于二次曲线化简与分类的研究可 以从多个方向展开，如探索新的化简与 分类方法、研究二次曲线的性质和特点 、将二次曲线化简与分类应用于实际问 题中等。
VS
展望
随着数学和其他学科的发展，二次曲线化 简与分类的研究将不断深入，有望在理论 和应用方面取得更多的突破和创新。同时 ，随着计算机技术的发展，也可以利用计 算机进行二次曲线化简与分类的计算和模 拟，提高研究的效率和精度。
虚轴焦点
当判别式小于0时，二次曲线与x轴无交点，但与y 轴有两个交点，即有两个虚轴焦点。
无焦点
当判别式等于0时，二次曲线与x轴只有一个交点 ，即没有焦点。
根据对称性的分类
对称二次曲线
当二次曲线关于x轴或y轴对称时，称 为对称二次曲线。
非对称二次曲线
当二次曲线既不关于x轴也不关于y轴 对称时，称为非对称二次曲线。
二次曲面和二次曲线方程的化简
A 1) T
=0. a44 1
( x, y, z )可以表示成 ( x, y, z) T A
记:
1 ( x, y, z ) a11 x a12 y a13 z,
2 ( x, y, z ) a12 x a22 y a23 z,
' 1 x2 2 y2 2a34 z a44 0.
则有
（1） a34 0，再作移轴
化简得：
7o 12 >0，则同于形式
x2 y 2 2 2 z. 2 a b
x" x' " ' y y ' a z " z ' 44 2a 34
0
2 2
1o 1 , 2 , 3与a44同号，则同于形式
x y z 虚椭球面 1 0 . 2 2 2 a b c
2
2o 1 , 2 , 3同号但与a44异号，则同于形式
x2 y2 z2 2 2 1 0. 2 a b c
椭球面
3o a44与1 , 2 , 3中的一个同号，则同于形式
则有：
F ( x, y, z )
2 2 2 a34 2 a14 a34 a14 2 a24 2 a24 1 ( x ) 2 ( y ) 3 ( z ) a44 1 2 3 1 2 3
0
令常数项为 a （ 1） a
' 44
' 44 ，得
2 2 2 ' 1 x 2 y 3 z a44 0
记F ( x, y, z )的二次部分为 ( x, y , z ) a11 x 2 a22 y 2 a33 z 2 2a12 xy 2a13 xz 2a23 yz
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二次曲面方程化简方法探讨
[摘要] 三元二次方程表示的是三维空间的二次曲面,如果能选择适当的坐标系将三元二次方程化为标准形式,该二次曲面的形状也就容易判定了。
空间解析几何中给出了由旋转或平移化简二次曲面方程的方法,但是旋转所采用的坐标变换却不容易求得。
而旋转的作用恰好是将二次型化为标准型,于是可以借助二次型的知识化简二次曲面方程。
本文介绍了将一般二次曲面方程化为标准方程的几种常用方法。
[关键词] 二次曲面方程标准方程正交变换合同变换偏导数
二次曲面的一般方程为:
一般二次曲面或是基本类型二次曲面,共9种;或是退化二次曲面,共5种;或是无轨迹(虚图形),共3种。
为了便于判定以一般方程给出的二次曲面方程的类型,有必要把一个二次曲面的一般方程化为标准方程。
二次曲面的标准方程:
1)没有坐标的交叉项xy,xz,yz;
2)如果有某个坐标的二次项,就没有这个坐标的一次项;
3)如果有某个坐标的一次项,就没有其他坐标的一次项,并且这时方程的左边不再有常数项。
满足上述3个条件的二次曲面方程称为标准方程。
[1]定理1:任意二次曲面(1)通过适当的的旋转,都可以使新坐标系中不再含有形如的交叉项,即在新的坐标系中方程化为:
(a,b,…,d)为新的系数,为新坐标)
[1]定理2:对于不含交叉项xy,xz,yz的二次曲面方程:
可以适当的坐标变换进一不化简,使它成为如下5种方程之一:
定理1,定理2给出了化简一般二次曲面方程的一般步骤:
第一步:将一般二次曲面方程中的交叉项去掉,即将方程中的二次项部分化为平方和;
第二步:将新的只剩平方项、一次项、常数项的方程化为标准方程。
注:第一步消去方程中的交叉项实质上是将方程中的二次项部分化为标型(二次型→标准型),而问题的关键就在这一步,于是问题转化为:先求实二次型的标准型,再作一次可逆线性替换。
遵循以上两步,应用二次型的知识,可以用如下几种方法化简一般二次曲面方程:
一、正交变换法:
使它成为有平方项的二次齐次式,有了平方项后,集中含有某一个有平方的变量的所有项,然后配方,对剩下的两个变量进行同样的变形,化成平方项后,再经过可逆线性变换就得到标准型。
要将实二次型化为标准型f=XTAX,就是要寻求一个可逆变换C使CTAC是一个对角阵,则二次型YT(CTAC)Y就是要求的标准型,而寻求C可以用合同变换法。
三、合同变换法
合同变换的规则如下:
(1)交换两行后交换两列,记为P();
(2)第行乘后,第列乘,记为P( ());
(3)第行的倍加到第行后,再把第列的倍加到第列,记为P( ())。
合同变换:
(其中B为对角阵)
于是:C’AC=B
(H:对A作合同变换,而对E只作相应的行变换)
原始的合同变换是进行一次行初等变换后,紧接着进行一次相应的列初等变换,要一步一步的仔细计算,而且每一步都要写出来,比较麻烦。
于是可将原始的合同变换改进为如下步骤:
第一步:作分块矩阵(),看左上角元素a11是否为零,若a11=0,则设法找一个,将第j行加到第一行上使左上角元素非零(如这时对一切j=2,3,…,n成立,则由A的
对称性,j=2,3,…,n成立,即A的第一行第一列元素都为零,这时就可以不管A的第一行第一列元素,只须对A剩下的元素进行变换即可)。
然后再将()的第j列加到第一列上。
第二步:用行初等变换将a21a31,…an1都变为零,再应用相应的列初等变换将a12,a13,…a1n都变为零(实际上由A的对称性,只要将a12,a13,…a1n直接写为零即可)。
第三步:将A的第一行第一列除(1,1)元素外的所有元素都变为零后,再用同样的方法继续做下去,直到将A变为对角阵为止。
基于上述第二步:用行初等变换将a21,a31,...an1都变为零,再将a12,a13, (1)
直接写为零,于是可将上述合同变换进一步改进:
只用第三种初等行变换,将A化为上三角阵即可(但是当A的主对角元素全为0时,须先对A进行初等行变换再作相应初等列变换,使(1,1)元素非0)。
即:
(B:上三角阵;H:第三种初等行变换)
例3:将实二次型:
化为平方和。
解:系数矩阵
由例3可以看到,连续用第三种初等行变换,能够快速的将二次型化为标准型,同时求出变换阵P,经过改进的合同变换与原始的合同变换比较起来简捷得多,当然比正交变换和配方法都简捷。
《解析几何》教材中介绍了二次曲面方程的不变量完全系统,即一般二次曲面方程可以直接由它的不变量写出,于是就有了化简二次曲面方程的行列式法(不变量法):
四、行列式法
对于二次曲面C:XTAX=0,系数矩阵:
(、、、称为C的不变量)
;
(、称为C的条件(半)不变量)
特征方程:,
[1]定理3:二次曲面C在OXYZ中的标准方程可用其不变量及特征根给出如下([1]中):
Ⅰ、当为中心型曲面:
;
Ⅱ、当时,C为抛物面:
;
Ⅲ、当时,
;
Ⅳ、当时,
;
Ⅴ、当时,
;
(注:此法简单明了,故不再举例详述。
)
有了行列式法,在求二次曲面的标准方程时,如果不需要知道所用的线性变换,就可以通过计算一系列行列式,而直接写出标准方程。
但有时会遇到某些行列式不易计算,所以行列式法有很大的局限性。
前面四种方法在《解析几何》或《高等代数》教材中都作了介绍,而下面将介绍的偏导数法却不常见。
偏导数法虽然本质上属于配方法,但它与与配方法比较起来,是一种公式化了的方法,操作简单。
五、偏导数法
将二次型简记为,将它的标准型简记为,则偏导数法的公式如下:
(1)当中含有某变数的平方项为的系数且时,有公式:
(甲)
其中为不含变数的实二次型,只要作适当的线性变数替换,公式(甲)中第一式的第一项可化为新变数的平方项,而且由于中含有变数,而中不含,这就从根本上保证了所作的变数替换是满秩线性变换;由其第二式求得的如果不是标准型,若中仍含有变数的平方项,则对它再运用公式(甲),若中不含变数的平方项,则对再运行下面给出的公式(乙)化为标准型。
当不含变数的平方项是,在中任选一项,例如选(系数),则有公式:
(乙)
其中是不含变数和的实二次型,只要作适当的线性变数替换,(乙)中的第一式的第一项可化为新变数的平方项,而且多项式[]与[]的变数对应项不可能完全成比例,这两个多项式都含有和,而中不含和,这也就从根本上保证了所作变数替换是满秩线性变换,由其第二式求得的如果不是标准型,并且仍不含变数的平方项则对它继续运用公式(乙),如果中含有变数的平方项,则对它再用公式(甲)处理,如此反复演算直至把化为标准型。
(注:公式(甲),公式(乙)的推导参见[5],这里不详述,下面举例说明:)
例4:化二次型:
为标准型,并求出所用的满秩线性变换及其变换阵。
解:令,这是一个含有变数平方项的二次型,可在其中任选一个平方项系数,如不妨选取来用公式(甲)演算,有:
因为二次型不是标准型且仍含有平方项,故再对运用公式(甲)演算,易见的平方项有两个,不妨选取其中的系数,于是有
已经是标准型了。
将③代入②,并将其结果代入①,得
④
在④中令:,
即:
则所求的二次型的标准型为:
所采用的满秩线性变换为:
即:
其变换阵为:P=
结束语
化一般二次曲面方程为标准方程的方法很多,本文介绍了:正交变换法、配方法、合同变换法、行列式法、偏导数法。
而前三种方法都是通过求实二次型的标准型间接地求曲面标准方程。
配方法采用的是初等代数中的把二次式化为一次式平方的知识,好学易懂。
但配方时要靠一系列的观察,最后求变换阵时还要作一系列的矩阵求逆和乘法运算,加大了难度。
正交变换法采用的变换阵是正交阵,所求得的是一种特殊的标准型,即其各平方项系数必须是该二次型矩阵的特征值,演算繁。
然而,有些问题又必须用正交变换法去做。
合同变换法是一种普遍的方法,利用矩阵成队初等变换求得标准型的同时也求到了所用的线性变换,并且灵活性大,规律性强。
行列式法是一种公式化了的方法,但要计算的行列式较多,特别是行列式法受到一定条件限制,而且没有给出所用的线性变换,所以它不是一种普遍的方法。
但是当某些实际问题不需要知道所采用的线性替换是可采用此法。
偏导数法也是一种公式化了的方法,不需要作一系列的观察,这是它的一大优点。
但求所采用的线性变换时也不如合同变换法简捷。
总之,应该视具体情况灵活的选用化一般二次曲面方程为标准方程的方法。
参考文献
[1]杨文茂,李全英.《空间解析几何》.武汉:武汉大学出版社,2002.2
[2]孙振绮,丁效华.《空间解析几何与线性代数》.北京:机械工业出版社,2004.6
[3]北京大学数学系.《高等代数》(第二版).北京:高等教育出版社,1988.3
[4]陈志杰等.《高等代数与解析几何习题精解》.北京:科学出版社,2002.2
[5]姜铁轮.化实二次型为标准型的偏导数法.教学与科技,1994(1):4—10。