《4.3 等比数列》等比数列的概念及通项公式优质教学课件(统编人教A版)
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4.3.1等比数列的概念(第二课时)课件——高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
是函数
f x a1
q
qx x R
当 x n 时的函数值，即 an = f n .
a4
(4, a4 )
反之：任给指数函数f(x)=kax ( k, a为常数, k≠0 , a>0, 且 a≠1 ), 则f(1)=ka, f(2)=ka2 , …, f(n)=kan…构成一个等比数列 {kan}，其首项为ka，公比为a．
是否一定是等比数列？如果数列{an}是各项均为正的等比数列， 那么数列{logb an}是否一定是等差数列？
➯ an1
b an1-an
d
b b b an
性质1：数列{an}是等差数列 ⇔数列{ban }是等比数列.
➯ logban1
logban
logb
an1 an
logbq
性质2：数列{an}是正项等比数 列⇔数列{logban}是等差数列.
∴a1＝－12. 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝13(an－1)－13(an－1－1)，
得aan－n 1＝－12.又 a1＝－12， 所以{an}是首项为－12，公比为－12的等比数列.
已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*有an＋Sn＝ n.
设bn＝an－1，求证：数列{bn}是等比数列；
判断一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法：若数列{an}满足aan＋n1 ＝q(q 为常数且不为零)或aan－n1 ＝q(n≥2，q 为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列． (2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为 an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列 {an}是等比数列． (3)等比中项法：若 a2n＋1 ＝anan＋2(n∈N*且 an≠0)，则数列{an}为等比数列． 说明：证明一个数列是等比数列，只能用定义法或等比中项法．
4.3.2 等比数列的性质(课件)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)
aman a q
2
1
m n2
as a1q s 1
2 s t 2
at a1q t 1 as at a1 q
am an as at
等比数列常用的性质
等比数列的性质
设等比数列 an , 公比为 q.
在等比数列{an}中，由 p+q=s+t
ap.aq=as.at
特别地：①若p+q=2t，则ap.aq=(at)2
(1)由题意，得
a4＋a6＝5，
a4＝2，
解得
a6＝3
a4＝3，
或
a6＝2，
a6
3 a6
2
2
2
∴a ＝q ＝2或a ＝q ＝3.
4
4
a9
又a ＝q2，且 q>1，
7
a9
3
∴a 的值为2.
7
(4)∵{an}成等比数列，
a6a7a8 24
∴a3·
a4·
a5，a6·
a7·
a8，a9·
考点三：等比数列的应用
练习 已知{an}为等差数列，且 a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记{an}的前 n 项和为 Sn, 若 a1，ak，Sk＋2 成等比数列，求正整数 k 的值。
解析：(1)设数列{an}的公差为 d，
2a1＋2d＝8，
由题意知
2a1＋4d＝12，
(2)利用等比数列的性质判断
.
n －1
q n＝1，∴1＝32×
4
3
又∵a
2
，解得
n＝6.
3 1
a7
3
3
4.3.1等比数列的概念(第1课时等比数列的概念及通项公式)课件高二上学期数学人教A版选择性
(3)若a2+a5=18,a3+a6=9,求a7.
1 = 3,
1 = 6,
解(1)设{an}的公比为 q,则
3 解得
1 所以{an}的通项公式为
4
1 = 8 ,
= 2,
an=6×
1 -1
.
2
(2)由a2=4,q=2,得a1=2,所以2×2n-1=128,解得n=7.
(3)设{an}的公比为 q.
的 公比
,公比通常用字母q表示(显然q≠0).
名师点睛
对等比数列定义的理解
(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.
(2)每一项与它的前一项的比必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等
比数列的基本特征).
(3)公比q是每一项(从第2项起)与它的前一项的比,不要把分子与分母弄颠
倒.
(4)等比数列中的任何一项均不能为零.
a1qn-1
.
名师点睛
已知等比数列的首项和公比,可以求得任意一项.已知a1,n,q,an四个量中的
三个,可以求得第四个量.
思考辨析
已知等比数列{an}的通项公式an=2×3n,那么这个数列的首项和公比分别
为多少?
提示 首项a1=6,公比q=3.
自主诊断
[人教B版教材习题]已知{an}为等比数列,填写下表.
1 + 1 4 = 18,
(方法 1)由已知,得
1 2 + 1 5 = 9,
1 = 32,
1
6
解得
故 a7=a1q =32×
1
2
= ,
6
2
(方法 2)因为 a3+a6=q(a2+a5),所以
1 = 3,
1 = 6,
解(1)设{an}的公比为 q,则
3 解得
1 所以{an}的通项公式为
4
1 = 8 ,
= 2,
an=6×
1 -1
.
2
(2)由a2=4,q=2,得a1=2,所以2×2n-1=128,解得n=7.
(3)设{an}的公比为 q.
的 公比
,公比通常用字母q表示(显然q≠0).
名师点睛
对等比数列定义的理解
(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.
(2)每一项与它的前一项的比必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等
比数列的基本特征).
(3)公比q是每一项(从第2项起)与它的前一项的比,不要把分子与分母弄颠
倒.
(4)等比数列中的任何一项均不能为零.
a1qn-1
.
名师点睛
已知等比数列的首项和公比,可以求得任意一项.已知a1,n,q,an四个量中的
三个,可以求得第四个量.
思考辨析
已知等比数列{an}的通项公式an=2×3n,那么这个数列的首项和公比分别
为多少?
提示 首项a1=6,公比q=3.
自主诊断
[人教B版教材习题]已知{an}为等比数列,填写下表.
1 + 1 4 = 18,
(方法 1)由已知,得
1 2 + 1 5 = 9,
1 = 32,
1
6
解得
故 a7=a1q =32×
1
2
= ,
6
2
(方法 2)因为 a3+a6=q(a2+a5),所以
高二上学期数学人教A版选择性必修第二册4.3.1等比数列的概念课件
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“我珍视类比胜于任何别的东西，它
• 二级
是我最可信赖的老师，它能揭示自然
• 三级
的奥秘，在几何学中它应该是最不容
• 四级
• 五级
忽视的。” ——开普勒
德国天文学家、数学家
（1571-1630）
2024/11/9
19
例1若等比数列{an }的第4项和第6项分别是48和12，求{an }的第5项
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§4.3.1
• 二级
等比数列的概念
• 三级
• 四级
• 五级
2024/11/9
1
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事实
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下定义
• 二级
• 三级
• 四级
• 五级
等差中项
等差数列
通项公式
性质
等差数列
前n项和
2024/11/9
2
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• 二级
等差数列
• 三级
n 1
n
累
加
• 四级
法
代数运算
• 五级 抽象概念 归纳法
类比
累
乘
等比数列
法
an 1
q
an
an am (n m)d
an a1 (n 1)d
通项公式
an a1q n 1
一次函数
函数角度
？
指数函数
an am q n m
数
2024/11/9
• 二级
• 等比数列的任意一项都
三级
• 四级
可以由数列的某一项和
“我珍视类比胜于任何别的东西，它
• 二级
是我最可信赖的老师，它能揭示自然
• 三级
的奥秘，在几何学中它应该是最不容
• 四级
• 五级
忽视的。” ——开普勒
德国天文学家、数学家
（1571-1630）
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19
例1若等比数列{an }的第4项和第6项分别是48和12，求{an }的第5项
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§4.3.1
• 二级
等比数列的概念
• 三级
• 四级
• 五级
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事实
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下定义
• 二级
• 三级
• 四级
• 五级
等差中项
等差数列
通项公式
性质
等差数列
前n项和
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• 二级
等差数列
• 三级
n 1
n
累
加
• 四级
法
代数运算
• 五级 抽象概念 归纳法
类比
累
乘
等比数列
法
an 1
q
an
an am (n m)d
an a1 (n 1)d
通项公式
an a1q n 1
一次函数
函数角度
？
指数函数
an am q n m
数
2024/11/9
• 二级
• 等比数列的任意一项都
三级
• 四级
可以由数列的某一项和
人教A版(2019)选择性必修第二册 4-3-1等比数列的概念 课件(53张)
他5年内每年末得到的本利和分别是
2
3
4
5
a (1 + r ), a(1 + r ) , a(1 + r ) , a(1 + r ) , a(1 + r ) .
⑥
导入新课
思考：类比等差数列你能通过运算发现以下数列的取值规律吗？
9, 92 , 93 ， … ，910；
100, 1002, 1003，…，10010；
q
但前一种设法的公比为 q2，只适合数列的各项同正或同负．
a
a
(3)五个数成等比数列，一般可设为 2 ，q ，a，aq，aq2.
q
变式练习
变式3 有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8；
后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数．
b
解：由题意设这四个数分别为q ，b，bq，a，
an＝1，∴32×2
n－1 ＝1，即 26-n＝20，解得 n＝6.
深入探究
等比数列的通项公式的推广
复习：等差数列{an}的 a a ( n 1)d 或a a ( n m )d .
n
1
n
m
通项公式：
例2 已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an.
q ③
a1
a3
an an 1
a4 a 3 a 2
或an
a1
an 1 an 2
a3 a2 a1
a……
n 1
q n 2
an 2
q q
q q q a1 =a1q n1
an
q n 1
n-1个
an 1
2
3
4
5
a (1 + r ), a(1 + r ) , a(1 + r ) , a(1 + r ) , a(1 + r ) .
⑥
导入新课
思考：类比等差数列你能通过运算发现以下数列的取值规律吗？
9, 92 , 93 ， … ，910；
100, 1002, 1003，…，10010；
q
但前一种设法的公比为 q2，只适合数列的各项同正或同负．
a
a
(3)五个数成等比数列，一般可设为 2 ，q ，a，aq，aq2.
q
变式练习
变式3 有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8；
后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数．
b
解：由题意设这四个数分别为q ，b，bq，a，
an＝1，∴32×2
n－1 ＝1，即 26-n＝20，解得 n＝6.
深入探究
等比数列的通项公式的推广
复习：等差数列{an}的 a a ( n 1)d 或a a ( n m )d .
n
1
n
m
通项公式：
例2 已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an.
q ③
a1
a3
an an 1
a4 a 3 a 2
或an
a1
an 1 an 2
a3 a2 a1
a……
n 1
q n 2
an 2
q q
q q q a1 =a1q n1
an
q n 1
n-1个
an 1
4.3.1等比数列的概念及通项公式课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
a2 a1 d a2 a1 d
a3 a2 d a3 a1 2d
a4 a3 d a4 a1 3d
a3
2
q a3 a1q
a2
不完全归纳法得
an=a1+(n-1)d
类比
a4
3
q a4 a1q
a3
不完全归纳法得an=a1qn-1
a1 a3 a9 3a1 10 d 13d 13
a2 a4 a10 3a1 13 d 16d 16
13
16 .
____
对照归纳总结
等差数列
等比数列
通项公式
推导方法
累加法
不完全归纳法
定义式
a n 1 a n d ( n N )
公差公比
通项公式
等差/比中项
累乘法
不完全归纳法
*
a n 1
*
q( n N ), q 0
an
公差d可正、可负、可为零 公比d可正、可负、不可为零
a n a1 ( n 1)d
an am ( n m) d
A是a与b的等差中项
2 A a b.
n 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
an a1q
an am q n m
2
a与b的等比中项G ab (ab 0).
G b
a G
注：①同号的两数才有等比中项，且等比中项有2个，它们互为相反数；
②若a,G,b组成等比数列，则必有G2=ab；
而G2=ab并不能说明a,G,b组成等比数列，如a=G=0,b=5时不成等比.
数学人教A版选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式课件
a1 1 q
Sn
1 q
前
n
项
和
首
项
公
比
特殊情况：
n
项
数
a1 an q
q 1
1 q
通
项
a1 1 q n
Sn
1 q
a1 an q
Sn
1 q
回顾思考
国王需要给发明者多少粒小麦？
估计1000粒麦子的质量约为40g，那么麦粒
的总质量超过了7000亿吨，而目前世界年度
4.3.2 等比数列前n项和公式
复习回顾
等比数列的有关概念
an 1
q an 0, n N *
1. 定义:
an
2.通项公式：
an a1q
n 1
新课引入
国际象棋的传说
相传古印度的国王打算重赏国际象棋的发明者——宰相西萨。
于是，这位国王对宰相说:我可以满足你的任何要求.
陛下，赏小
等比数列求和问题
Sn a1 a2 a3 a4 an
Sn a1 a1q a1q a1q 究
问题2:当公比为时,等比数列前项和是什么呢？
Sn a1 a1q a1q a1q a1q
2
3
n -1
1
1 q
1
n
1 q
a1 , q, n, Sn , an ，五个基本量，知三求二．
特殊情况：
数学思想：特殊到一般、归纳猜想、分类讨论、方程思想。
课后作业
课本37页练习题
等差数列求和
高斯用首尾相加法来“消项”
人教A版高中数学选择性必修第二册【整合课件】4.3.1_等比数列的概念1
推
=⋯
导
= 1 + − 1 .
等比数列
根据等比数列的定义，
= −
= − ×
= −
= − ×
= − −
=⋯
= − .
新知探究
（二）等比数列的通项公式
等差数列
通
项
公
式
的
推
导
通
项
公
式
公
差
等比数列
= 1 + − 1
【解题反思】在等比数列{an}中，如何求解a1，q，n，an中的量？
答：在上述四个量中，至少要知道其中的三个量，才能求其他
的量，而且求解时常常利用方程思想，通过方程组解得．
典例突破
（三）等差数列的项
变式3. 在等比数列{an}中，已知a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，求an.
2 + 5 = 1 + 1 4 = 18
新知探究
（二）等比数列的通项公式
等差数列
等比数列
根据等差数列的定义， −
根据等比数列的定义，
= ，
通
−
−1 = ，−1 − −2 = ，
项
−2 − −3 = ，…，2 − 1 − = ，− = ，…， = .
−
−
(放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期)
【解析】设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩留量是an.
由条件可得数列{an}是一个等比数列．其中a1＝0.84，q＝0.84.
设an＝0.5，则0.84n＝0.5. 两边取对数，得nlg 0.84＝lg 0.5，用计
算器算得n≈4.
∴ 这种物质的半衰期大约为4年．
=⋯
导
= 1 + − 1 .
等比数列
根据等比数列的定义，
= −
= − ×
= −
= − ×
= − −
=⋯
= − .
新知探究
（二）等比数列的通项公式
等差数列
通
项
公
式
的
推
导
通
项
公
式
公
差
等比数列
= 1 + − 1
【解题反思】在等比数列{an}中，如何求解a1，q，n，an中的量？
答：在上述四个量中，至少要知道其中的三个量，才能求其他
的量，而且求解时常常利用方程思想，通过方程组解得．
典例突破
（三）等差数列的项
变式3. 在等比数列{an}中，已知a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，求an.
2 + 5 = 1 + 1 4 = 18
新知探究
（二）等比数列的通项公式
等差数列
等比数列
根据等差数列的定义， −
根据等比数列的定义，
= ，
通
−
−1 = ，−1 − −2 = ，
项
−2 − −3 = ，…，2 − 1 − = ，− = ，…， = .
−
−
(放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期)
【解析】设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩留量是an.
由条件可得数列{an}是一个等比数列．其中a1＝0.84，q＝0.84.
设an＝0.5，则0.84n＝0.5. 两边取对数，得nlg 0.84＝lg 0.5，用计
算器算得n≈4.
∴ 这种物质的半衰期大约为4年．
4.3.1等比数列的概念第1课时(等比数列的概念、通项公式)课件(人教版)
,1 8
,1 16
,1 32
,
3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就
通过分裂繁育一代，那么一个这种细菌从第1次
分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是：
复利是指把
2，4，8，16，32，64…
前一期的利息和
4.某人存入银行a元,存期为5年,年利率为r, 本金加在一起算.
那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分 作本金，再计算
a1qn1
a1 q
qn
可知，当q>0且
f(x)
q≠1时,等比数列{an}的第n项an是指数函数 a5
f ( x )
a1 q
qx
(x∈R)当x=n时的函数值，即
a4
f(x)=
a1 q
qx
(5,a5)
(4,a4)
an=f(n)(如右图所示).
a3
反之，任给指数函数f(x)=kax(k,a为常 a2
数,k≠0,a>0,且a≠1),则f(1)=ka,f(2)=ka2, a1
…，f(n)=kan，…构成一个等比数列{kan}，
其首项为ka,公比为a.
O
(3,a3) (2,a2) (1,a1)
1 2 3 4 5x
五、等比数列的单调性
公比q>0且q≠1的 等比数列{an}的图象有 什么特点?
类比指数函数的性质，说说 公比q>0的等比数列的单调性.
q>1
0<q<1
q=1
a1>0
如果G是a与b的等比中项，则a、b的符号有什么特点？你能用 a、b表示G吗？
a、b同号， G2=ab
Hale Waihona Puke 四、等比数列的通项公式你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗? 定义，可设得一个aan等n1 比 q数即列a{n+a1n=}a的nq首, 项为a1，公比为q.根据等比数列的 所以
4.3.1等比数列的概念(第2课时)课件(人教版)
∵
，
dn
bn 1an r
a1
q
∴数列{d n }是以 为首项, 为公比的等比数列.
b1
r
应用小结
由等比数列衍生的新数列
n}为递减数列；
0<q<1
q>1
q＝1
(3)当______________________时，等比数列{a
n}为常数列(这个常数列中各项均不等于 0)；
q<0
(4)当______________________时，等比数列{a
n}为摆动数列．
笔记小结
由等比数列的通项公式可知，公比影响数列各项的符号：
结论：等比数列的单调性
已知等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则
a1>0
a1<0
或பைடு நூலகம்
q>1
0<q<1
(1)当______________________时，等比数列{a
n}为递增数列；
a1>0
a1<0
或
(2)当______________________时，等比数列{a
∴an2 an 1an 1 ,∴an 1 ,an ,an 1是等比数列.
同理可证,当n k 0时,an2 an k an k ,∴an k ,an ,an k 也是等比数列.
新知探究三：等比数列的判断
例 3.在数列{an }中，若 an >0，且 an ＋1＝2an ＋3(n∈N*)．证明：
∴a52 a3 a7 ,∴a3 ,a5 ,a7是等比数列.
同理可得a52 a1a9 ,∴a1 ,a5 ,a9也是等比数列.
，
dn
bn 1an r
a1
q
∴数列{d n }是以 为首项, 为公比的等比数列.
b1
r
应用小结
由等比数列衍生的新数列
n}为递减数列；
0<q<1
q>1
q＝1
(3)当______________________时，等比数列{a
n}为常数列(这个常数列中各项均不等于 0)；
q<0
(4)当______________________时，等比数列{a
n}为摆动数列．
笔记小结
由等比数列的通项公式可知，公比影响数列各项的符号：
结论：等比数列的单调性
已知等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则
a1>0
a1<0
或பைடு நூலகம்
q>1
0<q<1
(1)当______________________时，等比数列{a
n}为递增数列；
a1>0
a1<0
或
(2)当______________________时，等比数列{a
∴an2 an 1an 1 ,∴an 1 ,an ,an 1是等比数列.
同理可证,当n k 0时,an2 an k an k ,∴an k ,an ,an k 也是等比数列.
新知探究三：等比数列的判断
例 3.在数列{an }中，若 an >0，且 an ＋1＝2an ＋3(n∈N*)．证明：
∴a52 a3 a7 ,∴a3 ,a5 ,a7是等比数列.
同理可得a52 a1a9 ,∴a1 ,a5 ,a9也是等比数列.