信息论与密码学介绍
信息论的形成、发展及主要内容
信息论的形成、发展及主要内容一、引言信息论是一门研究信息传输、存储和处理的科学，其应用范围涵盖了通信、数据压缩、密码学等多个领域。
本文将介绍信息论的起源、经典信息论的发展、现代信息论的突破以及信息论在各个领域的应用。
二、信息论的起源信息论的起源可以追溯到20世纪初，当时电信和广播业开始快速发展，需要有一种度量信息的方法。
1928年，美国数学家哈特利提出用消息发生的概率来定义消息的熵，从而为信息论的发展奠定了基础。
三、经典信息论的发展1948年，美国数学家香农在《贝尔系统技术》杂志上发表了经典论文《通信的数学理论》，标志着信息论的诞生。
香农提出了信息的度量方法，即信息熵，并且给出了信息的传输速率的上限。
此外，香农还研究了信息的存储和检索问题，提出了数据压缩的理论基础。
四、现代信息论的突破随着技术的发展，现代信息论在经典信息论的基础上有了新的突破。
首先，现代信息论不仅关注信息的传输和存储问题，还关注信息的处理和理解问题。
其次，现代信息论引入了更多的数学工具和概念，如概率图模型、贝叶斯网络等，使得信息论的应用更加广泛和深入。
五、信息论在通信中的应用信息论在通信领域的应用是最为广泛的。
例如，香农的信道编码定理告诉我们，在传输过程中可以通过增加冗余信息来降低错误概率，从而提高通信的可靠性。
此外，信息论还被应用于调制解调、信号检测和同步等领域。
六、信息论在数据压缩中的应用数据压缩是信息论的一个重要应用领域。
通过去除数据中的冗余信息，数据压缩可以减小数据的存储空间和传输时间。
例如，香农提出的哈夫曼编码是一种有效的无损数据压缩算法，被广泛应用于图像、视频和音频数据的压缩。
七、信息论在密码学中的应用密码学是信息安全领域的重要分支，而信息论为其提供了理论基础。
在密码学中，信息论用于分析信息的保密性、认证性、完整性和可用性等安全属性。
例如，基于信息熵的加密算法可以用于评估加密数据的保密性程度。
此外，信息论还被应用于数字签名、身份认证等领域。
信息安全与密码学
19
1.2 密码学理论和发展
1.2.1 密码体制及分类
密码学主要包括两个既对立又统一的分支：密码编码学 （ Cryptography ）和密码分析学（ Cryptanalytics ）。研究 密码编制的科学称为密码编制学，研究密码破译的科学称为密 码分析学，密码编制学和密码分析学共同组成密码学（ Cryptology）。
1.1.2 信息安全的基本属性
信息安全的基本属性体现在：保密性、完整性、可用 性、可控性和不可否tiality) 保密性是指信息不被泄漏给非授权的用户、实体或进程， 或被其利用的特性。
保证信息不被非授权访问，即使非授权用户得到信息也 无法知晓信息的内容，因而不能使用。
4
• “网络安全”与“信息安全”
– “信息安全”的概念更广，包含着“网络安全” –信息安全——信息在处理、存储、传输和使用中 的保密性、完整性和可用性。包含制度法规等管 理要素 –网络安全——支撑信息处理、存储、传输和使用 的网络资源的保护，网络设备、连接线路、网络 协议……
5
Ｐage5
我国法律将信息安全定义为“保障计算机及其相关的 、配套的设备和设施（网络）的安全，运行环境的安全， 保障信息的安全，保障计算机功能的正常发挥，维护计算 机信息系统的安全运行”。 信息安全主要指计算机信息系统的安全，具体反映在 以下三个层面： (1) 实体安全（又称物理安全）：防止计算机及其网络 的硬件设备遭到自然或人为破坏，确保计算机信息系统硬 件的稳定运行。 (2) 数据安全（即狭义的“信息安全”）：防止信息 在收集、处理、存储、检索、传输和交换等过程中被非法 泄漏、篡改、窃取、仿冒或抵赖。 (3) 运行安全（又称系统安全），即：确保计算机及其 6 网络系统的软件稳定运行。
《信息论》第六章 密码 PPT课件
* 保密措施： a.信道保密——专人、专线 、 信道掩蔽等 b.消息（信号）保密——对信息进行掩蔽和保护。
（3）通信加密的分类
*按消息与信号的类型：
a.模拟加密——对模拟信号的置乱。 b.数字加密——按采用密钥类型：
单钥制、双钥制。
*按加密体制： a.单钥制：指通信双方采用同一种密钥——又
3）当窃得足够长密文时，理论上仍可 分析出密钥。
c.“一次一密”体制： 在保密理论上它属于完全保密体制。 密钥要求： 1）永不重复的无限长的随机的密码序列，已知起始状态。 2）密钥序列K与明文序列m在统计上完全独立。
明 文 序 列 m (m1 mi )
密 钥 序 列 K (k1 ki )
密文序列
窃听者 密钥
k2
密 钥 源 K2
明文空间 ： 密钥空间 ：
M m1m2 mi mn
K k1k2 k j km
密文空间 ： C c1c2 cl cL
则：明文熵：
n
H (M ) p(mi ) log p(mi ) i 1
m
密钥熵为： H (K ) p(k j ) log p(k j ) j 1
* 密码分析学：窃听者在仅知密文或已知明文或既 知密文又可自选任意数量的明文而获得的密文的条 件下，分析推导出明文。
* 用户分类： a.授权的合法用户。 b.非授权的非法用户。
发端非授权的非法接入者——伪造者； 收端非授权的非法接入者——窃听者。
• 密码学的基本任务： 解决两个合法授权用户间的安全、保密通信，防止
第6章 密 码
6.1 密码学的基本概念 6.2 保密学的理论基础 6.3 序列(流)密码 6.4 分组(块)密码 *6.5 公开密钥密码 *6.6 认 证 系 统 6.7 模拟消息加密体制 6.8 GSM的鉴权与加密
密码学是什么
密码学是什么1、什么是密码学密码学（Cryptography）是一门研究保护信息安全的学科，旨在发明和推广应用用来保护信息不被未经授权的实体获取的一系列技术。
它的研究规定了认证方式，加密算法，数字签名等技术，使得信息在网络上传输的安全性得到有效保障。
2、密码学发展历史从古代祭祀文本，到中世纪以前采用信封保护信息，再到如今运用根据科学原理设计的隐藏手段来免受攻击，形成了自己独特的新时代——密码学从古至今飞速发展。
在古代，人们提出基于门限理论的“将信息隐藏在古文献中”的想法，致使密码学技术的研究进入一个全新的研究水平。
噬血无声的18世纪，密码学技术得到了按比例加密法、变换锁以及一些其他加密技术的发明，使得发送者可以保护其传输的信息安全性。
20世纪，随着计算机科学、数学和通信学的迅猛发展，对于密码学的研究不断深入，密码破译也得到了彻底的结束。
3、密码学的应用密码学技术的应用正在不断的扩大，已经影响到计算机安全，电子商务，社交媒体，安全性协议。
其中，在计算机安全领域，应用的最广的就是网络安全了，例如使用数字签名，校验数据完整性及可靠性；实现密码认证，提高网络安全性；确保交易安全，实现交易无痕迹。
此外，在其他领域，还应用于支付货币，移动通信，数字信息传输，数字家庭，多媒体看门狗等。
4、密码学体系建设根据国家科学研究规划，国家建立自己的密码体系，推动密码学发展，建立一套完整的标准化体系，促进社会的网络安全发展，促进新的网络体系的快速发展，并且提出国家大力研究密码学，在国际技术水平上更具有单调作用和竞争优势。
5、总结综上所述，我们可以看到，密码学是一门相对年轻的学科，但是它在近十数年中有着突飞猛进的发展，并且把它妥善运用到了当今信息时代。
密码学研究实际上在不断推动并加强现代通信网络的安全性，使得更多的人群乐于在网上购买等等，为人们的网络安全提供了有效的保障。
只要把它的研究应用得当，密码学必将为更多的人带来更多的安全保障。
浅谈信息论在密码学中的应用
浅谈信息论在密码学中的应用什么是信息论信息论是研究信息传输、压缩和存储等问题的科学。
它是在20世纪40年代由克劳德·香农提出的。
根据香农的理论，信息是能够消除不确定性的东西，即信息的基本作用是减少不确定性。
信息能够通过比特位来表现，比特位有“0”和“1”两种状态，这些比特位可以组成数字、字符串等各种形式的信息。
密码学中的应用信息量与密码强度信息论中，我们用“比特”单位来衡量一个信息的量，表示一个信息的含义是否被压缩。
在密码学中，比特也被用来衡量密码系统的强度。
根据香农的理论，密码强度取决于密码中每个字符所包含的信息量。
如果一个密码中的字符越无序，所含信息量就越高，密码强度就越强。
信息熵与密码强度信息熵是描述随机变量不确定性的一个量，它是香农提出的一个重要概念。
在密码学中，信息熵被用来衡量密码系统的不确定性，因为密码系统真正的难度在于其不确定性。
一个好的密码系统应该是不确定性越大，安全性越高。
信息熵越大，表示密码越难被破解，因此信息熵成为密码强度的重要指标。
数据压缩与密码分析信息论有一项重要的应用就是数据压缩，数据压缩的目的是为了减少数据的存储空间，因此在传输时可以减少带宽占用。
在数据压缩中，我们可以应用信息论的原理来帮助我们进行密码分析。
例如，在一段文本中出现某些字母的概率很高，就可以进行字母频率分析，推断出加密算法。
因此，信息论可以帮助我们提高密码的安全性，同时也可以帮助我们进行密码破解。
信息论在密码学中的应用是多方面的，它可以帮助我们衡量密码的强度、不确定性和安全性。
同时，信息论也可以帮助我们进行密码分析和密码破解。
因此，在密码学中，信息论是一个非常重要的理论基础。
密码学重要知识点
密码学重要知识点0x01 密码学定义密码学（Cryptograghy）是研究编制密码和破译密码的技术科学，是研究如何隐密地传递信息的学科。
研究密码变化的客观规律，应用于编制密码以保守通信秘密的，称为编码学；应用于破译密码以获取通信情报的，称为破译学，总称密码学。
在现代特别指对信息以及其传输的数学性研究，常被认为是数学和计算机科学的分支，和信息论也密切相关。
著名的密码学者 Ron Rivest 解释道：“密码学是关于如何在敌人存在的环境中通讯”，自工程学的角度，这相当于密码学与纯数学的异同。
密码是通信双方按约定的法则进行信息特殊变换的一种重要保密手段。
依照这些法则，变明文为密文，称为加密变换；变密文为明文，称为脱密变换。
密码在早期仅对文字或数码进行加、脱密变换，随着通信技术的发展，对语音、图像、数据等都可实施加、脱密变换。
现代密码学所涉及的学科包括：信息论、概率论、数论、计算复杂性理论、近世代数、离散数学、代数几何学和数字逻辑等。
0x02 密码发展史根据国家密码管理局给出的全面文件指出古典密码在古代很多国都有所使用。
古代中国：从古到今，军队历来是使用密码最频繁的地方，因为保护己方秘密并洞悉敌方秘密是克敌制胜的重要条件。
中国古代有着丰富的军事实践和发达的军事理论，其中不乏巧妙、规范和系统的保密通信和身份认证方法。
中国古代兵书《六韬》中的阴符和阴书：《六韬》又称《太公六韬》或《太公兵法》，据说是由西周的开国功臣太公望(又名吕尚或姜子牙，约公元前1128—公元前1015)所著。
书中以周文王和周武王与太公问答的形式阐述军事理论，其中《龙韬•阴符》篇和《龙韬•阴书》篇，讲述了君主如何在战争中与在外的将领进行保密通信。
以下是关于“阴符”使用方法对话的译文。
武王问太公说：领兵深入敌国境内，军队突然遇到紧急情况，战事或有利，或失利。
我要与各军远近相通，内外相应，保持密切的联系，以便及时应对战场上军队的需求，应该怎么办呢?太公回答说：国君与主将之间用阴符秘密联络。
数学与计算机科学密码学的数学基础
数学与计算机科学密码学的数学基础密码学作为计算机科学的一个重要分支，其核心是研究如何保护信息的安全性和隐私性。
而要理解密码学的数学基础，就必须掌握数学与计算机科学密切相关的数学知识。
本文将简要介绍密码学的数学基础，包括数论、代数、离散数学和信息论等方面。
一、数论1. 整数与素数：在密码学中，整数和素数是非常重要的概念。
我们需要了解整数的性质，包括奇偶性、质因数分解等。
而素数则在密码学中用于生成密钥和构建加密算法。
2. 模运算：模运算在密码学中有着广泛的应用。
我们需要了解模运算的基本定义和性质，如同余定理、模逆元等，并掌握如何使用模运算进行加密和解密操作。
3. 欧拉函数与欧拉定理：欧拉函数是指小于某个正整数n且与n互质的正整数的个数。
欧拉定理则是指在模n的情况下，若a与n互质，那么a的欧拉指数一定是n的欧拉函数的倍数。
这些概念在密码学中用于生成RSA加密算法的密钥。
二、代数1. 群论与环论：密码学中的加密算法和解密算法可以视为群的运算过程。
我们需要了解群和环的基本定义，以及群论和环论的一些基本性质，如封闭性、结合律、单位元等。
2. 有限域与扩域：有限域是一种具有有限个元素的域，而扩域则是指通过扩展域中的元素来生成新的域。
在密码学中，有限域和扩域被广泛应用于椭圆曲线密码和有限域上的运算。
三、离散数学1. 图论与网络流：密码学中的一些加密算法可以利用图论和网络流的方法进行建模与分析。
我们需要了解图的基本概念，如顶点、边、路径等，以及网络流的基本算法，如最大流最小割定理等。
2. 组合数学：组合数学是研究离散对象的组合与排列问题的数学分支。
在密码学中，我们需要掌握组合数学的基本概念和技巧，例如排列组合、二项式系数等。
四、信息论1. 熵与信息量：信息论是研究信息传输、压缩和保密性的数学分支。
在密码学中，我们需要了解熵的概念和计算方法，以及信息量的度量和编码技术。
2. 纠错码与检验码：为了确保信息传输的可靠性，我们需要借助纠错码和检验码来检测和纠正传输过程中的错误。
密码学的数学基础
密码学的数学基础密码学是研究加密和解密技术的学科，涉及保护通信、数据传输和信息安全的领域。
它建立在数学和计算机科学的基础之上，其中数学起到了至关重要的作用，为密码学提供了理论基础和加密算法的设计原理。
1.数论数论是密码学中的核心数学学科之一，尤其是在公钥密码学领域。
数论的重要概念和原理包括：•素数理论：素数是密码学中的关键概念，例如，RSA算法就是基于大素数分解的难解性。
•模运算：模运算（ 取模运算）在加密算法中有广泛的应用，例如在对称密码学和公钥密码学中都有用到。
2离散数学离散数学提供了密码学中许多重要概念和工具，例如：•布尔代数：对称密码学中的代换和置换操作可以用布尔代数进行描述。
•图论：在密码学中，图论用于描述和分析各种密码算法的结构。
3.线性代数线性代数在密码学中的应用主要涉及到向量、矩阵和线性空间：•矩阵运算：许多密码算法（ 比如AES）使用了矩阵运算来进行加密和解密。
•向量空间：在错误检测和纠正、密码系统设计中有广泛应用。
4.复杂性理论和算法复杂性•复杂性理论：对称密码学和公钥密码学中的许多算法都基于某些数学难题的困难性，如大素数分解、离散对数等。
•算法复杂性：设计有效的加密算法需要考虑到算法的复杂性，使其具有足够的安全性和效率。
5.概率论与信息论•概率论：在密码学中，概率论用于分析密码算法的安全性，并评估密码系统受到攻击的概率。
•信息论：信息论涉及信息的量度和传输，为密码学提供了一些加密和解密的基本原理。
这些数学学科为密码学提供了理论基础和设计加密算法的数学原理。
通过利用数学难题的困难性，结合算法设计和信息理论，密码学可以实现信息的安全传输和储存，保障信息的机密性和完整性。
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熵
有限值
确定值 与信源是否输出无关 信源的平均不确定度
信息量
可为无穷大
一般为随机量 接收后才得到信息 消除不定度所需信息
信源熵与信息量的比较
总括起来，信源熵有三种物理含义： 1 信源熵H(X)表示信源输出后，离散消息
所提供的平均信息量。
2 3
信源熵H(X)表示信源输出前，信源的平 均不确定度。 信源熵H(X)反映了变量X的随机性
2
条件熵
p(ai b j ) I (ai b j )
j 1 i 1
m
H ( X Y ) E[ I (ai b j )]
m n
p(ai b j ) log p(ai b j )
j 1 i 1
n
H (Y X ) E[ I (b j ai )]
p(ai b j ) log p(b j ai )
对消息ai 确定一个非负的实数 i , 作为消 息的 重量 ，即权重系数。
构造重量空间
X a1 , a2 , , ai , , an W ( X ) , ,, ,, 1 1 i n
定义信息的 加权熵
n
加权熵从某种 程度上反映了 人的主观因素。
提醒:不确定度表示含有多少信息，信息量表示随机事件
发生后可以得到多少信息。
2
联合自信息量
I (aib j ) log p(aib j )
当X与Y相互独立时 ,有 p(ai b j ) p(ai ) p(b j )，
有
I (ai b j ) log p(ai ) log p(b j ) I (ai ) I (b j )
信息论与密码学
之后，信息理论安全模型又引入到模糊提 取中，即从生物特征等模糊保密数据中直接提 取出密码体制中所需要的密钥。无条件安全密 钥协商和模糊提取有共同之处，都需要纠错和 从部分保密的数据中提取密钥，因此信息论、 纠错码、无条件认证码等理论与技术的成熟为 无条件安全密钥协商和模糊提取的研究奠定了 坚实的基础。
i 1 j 1
n
m
p(ai b j ) log
i 1 j 1
n
m
p(ai b j ) p(ai )
同理，X对Y的平均互信息：
I (Y ; X ) p (ai b j ) log
i 1 j 1
n
m
p (b j ai ) p (b j )
平均互信息的物理意义
I ( X ;Y ) p(aib j ) log p(ai b j ) log p(ai )
i 1 j 1
n
X Y H(X Y)
称疑义度,或损失熵.
X Y H (Y X )
称噪声熵.
X Y H ( XY )
4
加权熵
香农信息的局限： 没有考虑收信者的主观特性和主观意义, 不考虑收信者主观感受的不同，同一消 息对任何收信者，所得信息量相同。
设信源为:
X a1 , a2 , , ai , , an P ( X ) p (a ), p ( a ), , p (a ), , p (a ) 1 2 i n
正好是经过信道传输后，所消除的信源的不确定性， 从而获得的信息.
先验不确度 后验不确定度
I (Y ; X ) H (Y ) H (Y X )
表示发送X前、后，关于Y的平均不确定
度减少的量。
H(Y/X)正好是通信后，所消除的信宿Y的不确 定性，从而获得了一些信息.
各种熵之间的关系
H(X) ,H(Y) －信源熵，无条件熵 H(X/Y) －疑义度，损失熵
H(X ) H(X Y )
i 1 j 1 n m
平均互信息量是收到Y前、后关于X的 不确定度减少的量，即由Y获得的关于X的平
均信息量。
H(X/Y) 表示输出端在收到Y后，信源X的不确定
度, 说明经过信道传输，总能消除一些信源的不确定 性，从而获得一些信息。则: I(X;Y)=H(X)-H(X/Y)
图示
X Y
无 H (X ) 条 件 熵
H (Y )
X Y
名称 符号
关系式
图示
X Y Y Y H ( ) H ( ) H ( XY ) H ( X ) X X
条 件 熵
H (Y ) I ( X ; Y )
X ) H ( XY ) H (Y ) H ( Y H (X ) Y H ( X ) I ( X ;Y )
i 1 n
考虑有两个随机事件的离散信源数学模型 为：
XY a1b1 , , a1bm , , anb1 , , anbm P( XY ) p(a b ), , p(a b ), , p(a b ), , p(a b ) 11 1 m n 1 n m 其中， 0 p(ai b j ) 1(i 1,2, , n; j 1,2, , m)，
i 1 j 1 n m
H(X/Y) 表示输出端在收到一个符号后，信源X的
不确定度,若H(X/Y)0,表示信源X尚存不确定性，所 以这个条件熵称为信道疑义度，也是因为信道干扰 造成了信息的损失，因此也称损失熵. 如果没有损失, 那么损失熵H(X/Y)=0,一般情况下不确定度H(X/Y)小 于H(X)，说明经过信道传输，总能消除一些信源的 不确定性，从而获得一些信息。
H ( X ) i p(ai ) log p(ai )
i 1
5
平均互信息量
I (ai ; b j )和I (b j ; ai )还是一个随机变量值 ， 还不能从整体上作为信 道中信息流通 的度量。
Y对X的 平均互信息量
也称平均交互信息量或交互熵
I ( X ;Y ) E[ I (ai ; b j )] p(aib j ) I (ai ; b j )
ck 是 bj ，也是 a i 的已知条件。
信源整体的信息量如何度量？
加权熵
信源熵
联合熵 条件熵
信源整 体的信 息量
平均互信息量
1
信源熵
信源熵：各离散消息自信息量的数 学期望，即信源的平均自信息量。 还称为信源的信息熵；香农熵；无条 件熵；熵函数；熵的单位：比特/符号。
n 1 H ( X ) E[ I (ai )] E[log2 ] p(ai ) log2 p(ai ) p(ai ) i 1
p(a b ) 1。
i 1 j 1 i j
n
m
对单个信息 a i
自信息量 联合自信息量 条件自信息量 互信息量
信息量
条件互信息量
1
自信息量
I (ai ) log p (ai )
单位：比特(2为底)、奈特（e为底）、
笛特/哈特（10为底）
I (ai ) 有两个含义： 1、当事件发生前，表示该事件发生的不确定性； 2、当事件发生后，表示该事件所提供的信息量。
定义b j 对ai的互信息量为 I (ai ; b j ) log2 p (ai b j ) p (ai )
(i 1,2, , n; j 1,2, , m)
p(ai b j ) 称为后验概率 ， 是指b j已知的情况下ai的概率;
p(ai )称为先验概率 , 是指对b j 一无所知的情况下的概 率。
4
互信息量
信宿Y的数学模型为：
Y b1 , b 2 , , b j , , b m P(Y ) p(b ), p(b ), , p(b ), , p(b ) 2 j m 1 0 p(b j ) 1, p(b j ) 1
j 1 m
X Y
名称
符号
关系式
图示
X Y
H ( XY ) H ( X ) H (Y ) X 联 X ) H ( Y ) H ( H ( XY ) 合 Y H ( X ) H (Y ) I ( X ; Y ) 熵 H ( X ) H (Y ) I ( X ; Y ) Y X
联合自信息量代表X与Y同时发生 (ai bj ) log p(ai bj )
I (b j ai ) log p(b j ai )
自信息量、条件自信息量和联合自信息 量之间有如下关系式：
I (aib j ) log p(aib j ) log p(ai )p(b j ai ) I (ai ) I (bj ai ) log p(b j )p(ai b j ) I (b j ) I (ai b j )
一、如何度量信息 二、信道容量 三、信息率失真函数 四、香农三大编码定理 五、常用的编码方法 六、信息论与密码体制的安全测度
一、如何度量信息
二、信道容量 三、信息率失真函数 四、香农三大编码定理 五、常用的编码方法 六、信息论与密码体制的安全测度
一、如何度量信息
信息是由信源发出的，在研究度量信息之前，首先研究一下信源。
现代密码学——
信息论与密码学介绍
计算机科学与技术学院
信息论与密码学
信息论从一诞生就与密码学结下了不解之 缘。Shannon最早在1949年将信息论引入到 密码学中，提出了完善保密的体制；而完善保 密体制要求密钥和明文至少一样长，使得完善 保密在现实中难以实现。直到最近十几年量子 密码的研究，又使得信息理论安全模型重新被 推回到研究者的视野中，无条件安全密钥协商 成为研究热点。
信源发出消息ai,信宿收到bj,二者的比正好体 现出其交互信息量.
5
条件互信息量
I (ai ; b j ck ) log p(ai b j ck ) p(ai ck )
I (ai ; b j ck ) I (ai ; ck ) I (ai ; b j ck ) I (ai ; ck b j ) I (ai ; b j ) I (ai ; ck b j )