高中数学必修5第二章数列单元试题

新课标数学必修5第二章数列单元试题

说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答．共100分，考试时间90分钟．

第Ⅰ卷（选择题 共30分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．在正整数100至500之间能被11整除的个数为（ ）

A ．34

B ．35

C ．36

D ．37

2．在数列{a n }中，a 1=1，a n +1=a n 2－1（n ≥1），则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5等于（ ）

A ．－1

B ．1

C ．0

D ．2

3．{a n }是等差数列，且a 1+a 4+a 7=45，a 2+a 5+a 8=39，则a 3+a 6+a 9的值是（ ）

A ．24

B ．27

C ．30

D ．33

4．设函数f （x ）满足f （n +1）=2

)(2n n f +（n ∈N *）且f （1）=2，则f （20）为（ ） A ．95 B ．97 C ．105 D ．192

5．等差数列{a n }中，已知a 1=－6，a n =0，公差d ∈N *，则n （n ≥3）的最大值为（ ）

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

6．设a n =－n 2+10n +11，则数列{a n }从首项到第几项的和最大（ ）

A ．第10项

B ．第11项

C ．第10项或11项

D ．第12项

7．已知等差数列{a n }的公差为正数，且a 3·a 7=－12，a 4+a 6=－4，则S 20为（ ）

A ．180

B ．－180

C ．90

D ．－90

8．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为（ ）

A ．9

B ．10

C ．19

D ．29

9．由公差为d 的等差数列a 1、a 2、a 3…重新组成的数列a 1+a 4， a 2+a 5， a 3+a 6…是（ ）

A ．公差为d 的等差数列

B ．公差为2d 的等差数列

C ．公差为3d 的等差数列

D ．非等差数列

10．在等差数列{a n }中，若S 9=18，S n =240，a n －4=30，则n 的值为（ ）

A ．14

B ．15

C ．16

D ．17

第Ⅱ卷（非选择题 共70分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

11．在数列{a n }中，a 1=1，a n +1=22+n n a a （n ∈N *），则7

2是这个数列的第_________项． 12．在等差数列{a n }中，已知S 100=10，S 10=100，则S 110=_________．

13．在－9和3之间插入n 个数，使这n +2个数组成和为－21的等差数列，则n =_______．

14．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若n n T S =1

32+n n ，则1111b a =_________．

三、解答题（本大题共5小题，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本小题满分8分）若等差数列5，8，11，…与3，7，11，…均有100项，问它们有多少相同的项？

16．（本小题满分10分）在等差数列{a n }中，若a 1=25且S 9=S 17，求数列前多少项和最大．

17．（本小题满分12分）数列通项公式为a n =n 2－5n +4，问

（1）数列中有多少项是负数？（2）n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．

18．（本小题满分12分）甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第一分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m ．

（1）甲、乙开始运动后，几分钟相遇．

（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？

19．（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n ·S n －1=0（n ≥

2），a 1=2

1． （1）求证：{

n S 1}是等差数列； （2）求a n 表达式；

（3）若b n =2（1－n ）a n （n ≥2），求证：b 22+b 32+…+b n 2<1．

参考答案：

1. 考查等差数列的应用．

【解析】观察出100至500之间能被11整除的数为110、121、132、…它们构成一个等差数列，公差为11，数a n =110+（n －1）·11=11n +99，由a n ≤500，解得n ≤36．4，n ∈N *，∴n ≤36．

【答案】C

2. 考查数学建模和探索问题的能力．

【解析】1+2+3+…+n <200，即

2

)1(-n n <200． 显然n =20时，剩余钢管最少，此时用去22019⨯=190根． 【答案】B

3.考查等差数列的运用．

【解析】由等差数列性质，a 4+a 6=a 3+a 7=－4与a 3·a 7=－12联立，即a 3，a 7是方程x 2+4x －12=0的两根，又公差d >0，∴a 7>a 3⇒a 7=2，a 3=－6，从而得a 1=－10，d =2，S 20=180．

【答案】A

4.考查等差数列的通项．

【解析】a n =a 1+（n －1）d ，即－6+（n －1）d =0⇒n =d

6+1 ∵d ∈N *，当d =1时，n 取最大值n =7．

【答案】C

5.考查数列通项的理解及递推关系．

【解析】由已知：a n +1=a n 2－1=（a n +1）（a n －1），

∴a 2=0，a 3=－1，a 4=0，a 5=－1．

【答案】A

6.考查等差数列的性质及运用．

【解析】a 1+a 4+a 7，a 2+a 5+a 8，a 3+a 6+a 9成等差数列，故a 3+a 6+a 9=2×39－45=33．

【答案】D

7.考查递推公式的应用．

【解析】f （n +1）－f （n ）=2n ⇒⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎧⨯=-⨯=-⨯=-1921)19()20( 221)2()3(121)1()2(f f f f f f 相加得f （20）－f （1）=2

1（1+2+…+19）⇒f （20）=95+f （1）=97． 【答案】B

8.考查数列求和的最值及问题转化的能力．

【解析】由a n =－n 2+10n +11=－（n +1）（n －11），得a 11=0，而a 10>0，a 12<0，S 10=S 11．

【答案】C

9. 考查等差数列的性质．