2020-2021下海杨浦高级中学高三数学下期末第一次模拟试卷及答案

2020-2021下海杨浦高级中学高三数学下期末第一次模拟试卷及答案一、选择题1．在复平面内，O 为原点，向量OA u u u v对应的复数为12i -+，若点A 关于直线y x =-的对称点为点B ，则向量OB uuu v对应的复数为( ) A ．2i -+ B ．2i -- C ．12i +D ．12i -+2．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（） A ．12B ．13C ．23D ．343．如图所示的组合体，其结构特征是（）A ．由两个圆锥组合成的B ．由两个圆柱组合成的C ．由一个棱锥和一个棱柱组合成的D ．由一个圆锥和一个圆柱组合成的4．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，如图所示，则截面的可能图形是（）A ．①③④B ．②④C ．②③④D ．①②③5．若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在圆229x y +=内的概率为（）A ．536B ．29C ．16D ．196．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙7．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（） A ．20种B ．30种C ．40种D ．60种8．命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，则下列假设正确的是（） A ．假设至少有一个钝角B ．假设至少有两个钝角C ．假设三角形的三个内角中没有一个钝角D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角 9．甲、乙、丙、丁四名同学组成一个4100米接力队，老师要安排他们四人的出场顺序，以下是他们四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒.老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定在老师安排的出场顺序中跑第三棒的人是( ) A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁10．函数()sin(2)2f x x π=-的图象与函数()g x 的图象关于直线8x π=对称，则关于函数()y g x =以下说法正确的是（） A ．最大值为1，图象关于直线2x π=对称B ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，为奇函数 C ．在3,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图象关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称 11．若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．设,a b ∈R ，数列{}n a 中，211,n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则（）A ．当101,102b a => B ．当101,104b a => C ．当102,10b a =-> D ．当104,10b a =->二、填空题13．设n S 是等差数列{}*()n a n N ∈的前n 项和，且141,7a a ==，则5______S =14．事件,,A B C 为独立事件，若()()()111,,688P A B P B C P A B C ⋅=⋅=⋅⋅=，则()P B =_____．15．双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2，则a=_______________. 16．371()x x+的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案）17．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为33，MN ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于． 18．设复数1(z i i =--虚数单位),z 的共轭复数为z ，则()1z z -⋅=________. 19．已知四棱锥S ABCD -的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积等于_________.20．已知α，β均为锐角，4cos 5α=，1tan()3αβ-=-，则cos β=_____．三、解答题21．已知数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++==+. （1）设2nn na b =，求数列{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）记()()211422nnn n n nn c a a +-++=，求数列{}n c 的前n 项和n T .22．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △6AP 的方程. 23．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边，3c asinC ccosA =-. (Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若a =2，ABC ∆3，求b ，c . 24．选修4-5：不等式选讲设函数()|2||1|f x x x =-++.（1）求()f x 的最小值及取得最小值时x 的取值范围；（2）若集合{|()10}x f x ax +->=R ，求实数a 的取值范围.25．商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1) 求的值；(2) 若商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大26．如图所示，已知正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为11D C ，11C B 的中点，AC BD P =I ，11A C EF Q =I .求证：（1）D B F E ，，，四点共面；（2）若1A C 交平面DBEF 于R 点，则P Q R ，，三点共线.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】【分析】首先根据向量OA u u u v对应的复数为12i -+，得到点A 的坐标，结合点A 与点B 关于直线y x =-对称得到点B 的坐标，从而求得向量OB uuu v对应的复数，得到结果.【详解】复数12i -+对应的点为(1,2)A -，点A 关于直线y x =-的对称点为(2,1)B -，所以向量OB uuu r对应的复数为2i -+．故选A ．【点睛】该题是一道复数与向量的综合题，解答本题的关键是掌握复数在平面坐标系中的坐标表示. 2．B解析：B【解析】试题分析：由题意知本题是一个古典概型概率的计算问题．从这4张卡片中随机抽取2张，总的方法数是246C=种，数学之和为偶数的有13,24++两种，所以所求概率为13，选B．考点：古典概型．3．D解析：D【解析】【分析】根据圆柱与圆锥的结构特征，即可判定，得到答案.【详解】根据空间几何体的结构特征，可得该组合体上面是圆锥，下接一个同底的圆柱，故选D.【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，其中解答熟记圆柱与圆锥的结构特征是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.4．A解析：A【解析】【分析】分别当截面平行于正方体的一个面时，当截面过正方体的两条相交的体对角线时，当截面既不过体对角线也不平行于任一侧面时，进行判定，即可求解.【详解】由题意，当截面平行于正方体的一个面时得③；当截面过正方体的两条相交的体对角线时得④；当截面既不过正方体体对角线也不平行于任一侧面时可能得①；无论如何都不能得②.故选A.【点睛】本题主要考查了正方体与球的组合体的截面问题，其中解答中熟记空间几何体的结构特征是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理能力，属于基础题.5．D解析：D【解析】掷骰子共有36个结果,而落在圆x2+y2=9内的情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)这4种,∴P=41 369=.故选D6．A解析：A【解析】【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A．【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．7．A解析：A【解析】【分析】【详解】根据题意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；据此分3种情况讨论，计算可得其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案．解：根据题意，要求甲安排在另外两位前面，则甲有3种分配方法，即甲在星期一、二、三；分3种情况讨论可得，甲在星期一有A42=12种安排方法，甲在星期二有A32=6种安排方法，甲在星期三有A22=2种安排方法，总共有12+6+2=20种；故选A．8．B解析：B【解析】用反证法证明数字命题时，应先假设要证的命题的否定成立，而要证命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，所以应假设三角形的内角至少有两个钝角，故选B．9．C解析：C【解析】【分析】跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意．【详解】由题意得乙、丙均不跑第一棒和第四棒， ∴跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意．故跑第三棒的是丙．故选：C ．【点睛】本题考查推理论证，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能力，是基础题．10．B解析：B 【解析】【分析】先求出函数y=g(x)的解析式，再利用三角函数的图像和性质对每一个选项逐一分析判断. 【详解】设点P(x,y)是函数()y g x =图像上的任意一点，则点Q (x ,)4y π-+在函数y=f(x)的图像上，sin[2(-x+)]sin 2()42y x g x ππ=-=-=，对于选项A,函数y=g(x)的最大值为1，但是()012g π=≠±，所以图象不关于直线2x π=对称，所以该选项是错误的；对于选项B,()()g x g x -=-，所以函数g(x)是奇函数，解222+22k x k ππππ-≤≤得+44k x k ππππ-≤≤，)k Z ∈（,所以函数在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以该选项是正确的；对于选项C,由前面分析得函数y=g(x)的增区间为3[+,]()44k k k Z ππππ+∈,且函数y=g(x)不是偶函数，故该选项是错误；对于选项D,函数的周期为π，解2,,2k x k x ππ=∴=所以函数图像的对称中心为,0)(k Z)2k π∈（,所以该选项是错误的. 故选：B【点睛】本题主要三角函数的解析式的求法，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11．A解析：A 【解析】【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.12．A解析：A 【解析】【分析】对于B ，令214x λ-+=0，得λ12=，取112a =，得到当b 14=时，a 10＜10；对于C ，令x 2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1，取a 1＝2，得到当b ＝﹣2时，a 10＜10；对于D ，令x 2﹣λ﹣4＝0，得12λ±=112a +=，得到当b ＝﹣4时，a 10＜10；对于A ，221122a a =+≥，223113()224a a =++≥，4224319117()14216216a a a =+++≥+=＞，当n ≥4时，1n n a a +=a n 12n a +＞11322+=，由此推导出104a a ＞（32）6，从而a 1072964＞＞10．【详解】对于B ，令214x λ-+=0，得λ12=，取112a =，∴2111022n a a ==L ，，＜，∴当b 14=时，a 10＜10，故B 错误；对于C ，令x 2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1，取a 1＝2，∴a 2＝2，…，a n ＝2＜10， ∴当b ＝﹣2时，a 10＜10，故C 错误；对于D ，令x 2﹣λ﹣4＝0，得12λ±=取1a =，∴2a =，…，n a =10， ∴当b ＝﹣4时，a 10＜10，故D 错误；对于A ，221122a a =+≥，223113()224a a =++≥， 4224319117()14216216a a a =+++≥+=＞，a n +1﹣a n ＞0，{a n }递增，当n ≥4时，1n na a +=a n 12na +＞11322+=， ∴5445109323232a a a a aa ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⋅⎨⎪⋅⎪⋅⎪⎪⎪⎪⎩＞＞＞，∴104a a ＞（32）6，∴a 1072964＞＞10．故A 正确．故选A ．【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.二、填空题13．25【解析】由可得所以解析：25 【解析】由141,7a a ==可得11,2,21n a d a n ===-，所以5(19)5252S +⨯==．14．【解析】【分析】【详解】分析：根据独立事件的关系列出方程解出详解：设因为所以所以所以点睛：本题主要考查相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系属于中档题解析：12【解析】【分析】【详解】分析：根据独立事件的关系列出方程，解出()P B . 详解：设()()()P A a,P B b,P C c ===, 因为()()()111,,688P A B P B C P A B C ⋅=⋅=⋅⋅=，所以()()16118118ab b c ab c ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩所以111a ,b ,324c === 所以()1P B 2=点睛：本题主要考查相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系，属于中档题．15．2【解析】试题分析：因为四边形是正方形所以所以直线的方程为此为双曲线的渐近线因此又由题意知所以故答案为2【考点】双曲线的性质【名师点睛】在双曲线的几何性质中渐近线是其独特的一种性质也是考查的重点内容解析：2 【解析】试题分析：因为四边形OABC 是正方形，所以45AOB ∠=︒，所以直线OA 的方程为y x =，此为双曲线的渐近线，因此a b =，又由题意知OB =，所以22222a b a a +=+=，2a =．故答案为2．【考点】双曲线的性质【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线. 16．【解析】由题意二项式展开的通项令得则的系数是考点：1二项式定理的展开式应用解析：35【解析】由题意，二项式371()x x +展开的通项372141771()()r r r r r r T C x C x x--+==，令2145r -=，得4r =，则5x 的系数是4735C =. 考点：1.二项式定理的展开式应用.17．【解析】【分析】【详解】设AB=2作CO ⊥面ABDEOH ⊥AB 则CH ⊥AB ∠CHO 为二面角C−AB−D 的平面角CH=3√OH=CHcos ∠CHO=1结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为解析：16【解析】【分析】【详解】设AB =2,作CO ⊥面ABDEOH ⊥AB ，则CH ⊥AB ，∠CHO 为二面角C −AB −D 的平面角，CH =3√，OH =CH cos ∠CHO =1，结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥， 3,11(),2212AN EM CH ANAC AB EM AC AE AN EM ====+=-∴⋅=u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r故EM ,AN 112633=⋅， 18．【解析】分析：由可得代入利用复数乘法运算法则整理后直接利用求模公式求解即可详解：因为所以故答案为点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算属于中档题解题时一定要注意和解析：10【解析】分析：由1i z =--，可得1i z =-+，代入()1z z -⋅，利用复数乘法运算法则整理后，直接利用求模公式求解即可.详解：因为1i z =--，所以1i z =-+，()()()()()111121z z i i i i ∴-⋅=++⋅-+=+⋅-+39110i =-+=+=，故答案为10.点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++19．【解析】【分析】先还原几何体再从底面外心与侧面三角形的外心分别作相应面的垂线交于O 即为球心利用正弦定理求得外接圆的半径利用垂径定理求得球的半径即可求得表面积【详解】由该四棱锥的三视图知该四棱锥直观图解析：1015π 【解析】【分析】先还原几何体，再从底面外心与侧面三角形SAB 的外心分别作相应面的垂线交于O ，即为球心，利用正弦定理求得外接圆的半径，利用垂径定理求得球的半径，即可求得表面积.【详解】由该四棱锥的三视图知，该四棱锥直观图如图，因为平面SAB ⊥平面ABCD ，连接AC,BD 交于E ，过E 作面ABCD 的垂线与过三角形ABS 的外心作面ABS 的垂线交于O ，即为球心，连接AO 即为半径，令1r 为SAB ∆外接圆半径，在三角形SAB 中，SA=SB=3,AB=4,则cos 23SBA ∠=, ∴sin 5SBA ∠=，∴132sin 5r SBA ==∠，∴125r =，又OF=12AD =, 可得2221R r OF =+，计算得，28110112020R =+= ，所以210145S R ππ==. 故答案为101.5π 【点睛】本题考查了三视图还原几何体的问题，考查了四棱锥的外接球的问题，关键是找到球心，属于较难题.20．【解析】【分析】先求得的值然后求得的值进而求得的值【详解】由于为锐角且故由解得由于为锐角故【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正切公式属于中档题解析：1050【解析】【分析】先求得tan α的值，然后求得tan β的值，进而求得cos β的值.【详解】由于α为锐角，且4cos 5α=，故23sin 1cos 5αα=-=，sin 3tan cos 4ααα==.由()tan tan 1tan 1tan tan 3αβαβαβ--==-+⋅，解得13tan 9β=，由于β为锐角，故22222cos 1cos cos cos sin 1tan ββββββ===++910=. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正切公式，属于中档题.三、解答题21．（1）n b n =（2）()1122n n S n +=-+（3）()()()114123312n n n n +++---+⋅ 【解析】【分析】【详解】（1）由1122n n n a a ++=+得11n n b b +=+，得n b n =；（2）易得2n n a n =g ，1223112222,212222,n n n n S n S n +=⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯L L 错位相减得12111222222212n n n n n S n n ++--=+++-⨯=⨯-⨯-L 所以其前n 项和()1122n n S n +=-+；（3）()()()()()()()()()()2221111422142121·2?12?12?12n n n n n n n n n n n n n n n n n c n n n n n n +++-++-++-++++===+++ ()()()()()()1111111111112?21?222?21?2nn n n n n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫---⎛⎫ ⎪=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()()()()()2231212231111111111122221?22?22?23?2?21?2n n n n n n T n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪=-+-++-+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L ()()1112113621?2n n n n ++-⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭或写成()()()11412331?2n n n n +++---+. 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.22．（Ⅰ）22413y x +=， 24y x =.（Ⅱ）330x +-=，或330x -=. 【解析】试题分析：由于A 为抛物线焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12，则12a c -=，又椭圆的离心率为12，求出,,c a b ，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则(1,0)A ，设直线AP 方程为设1(0)x my m =+≠，解出P Q 、两点的坐标，把直线AP 方程和椭圆方程联立解出B 点坐标，写出BQ 所在直线方程，求出点D 的坐标，最后根据APD △的面积为m ，得出直线AP 的方程. 试题解析：（Ⅰ）解：设F 的坐标为(),0c -.依题意，12c a =，2p a =，12a c -=，解得1a =，12c =，2p =，于是22234b ac =-=. 所以，椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24y x =. （Ⅱ）解：设直线AP 的方程为()10x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点21,P m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故21,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭.将1x my =+与22413y x +=联立，消去x ，整理得()223460m y my ++=，解得0y =，或2634m y m -=+.由点B 异于点A ，可得点222346,3434m m B m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭.由21,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可学*科.网得直线BQ 的方程为()222623*********m m x y m m m m ⎛⎫--+⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令0y =，解得222332m x m -=+，故2223,032m D m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭.所以222223613232m m AD m m -=-=++.又因为APD V 的面积为2，故22162232m m m ⨯⨯=+，整理得2320m -+=，解得m =m =.所以，直线AP 的方程为330x -=，或330x -=.【考点】直线与椭圆综合问题【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考都是较有难度的压轴题，不论第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线方程，还是第二步联立方程组求出点的坐标，写直线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想，就是利用大熟地方法解决几何问题，坐标化，方程化，代数化是解题的关键.23．(1)3A π=(2)b c ==2【解析】【分析】【详解】(Ⅰ)由sin cos c C c A =-及正弦定理得sin cos sin sin A C A C C -=由于sin 0C ≠，所以1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0A π<<，故3A π=. (Ⅱ)ABC ∆的面积S =1sin 2bc A=3,故bc =4，而2222cos a b c bc A =+-故22c b +=8，解得b c ==224．（1）min ()3f x =，此时x ∈[]1,2-（2）()1,2-【解析】【分析】（1）利用绝对值不等式公式进行求解；（2）集合(){}10x f x ax R +-=表示x R ∀∈，()1f x ax >-+，令()1g x ax =-+，根据几何意义可得()y f x =的图像恒在()y g x =图像上方，数形结合解决问题.【详解】解（1）因为()()21213x x x x -++≥--+=，当且仅当()()210x x -+≤，即12x -≤≤时，上式“=”成立，故函数()21f x x x =++-的最小值为3，且()f x 取最小值时x 的取值范围是[]1,2-.（2）因为(){}10x f x ax R +-=，所以x R ∀∈，()1f x ax >-+. 函数()21f x x x =-++化为()21,13,1221,2x x f x x x x -+<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩.令()1g x ax =-+，其图像为过点()0,1P ，斜率为a -的一条直线.如图，()2,3A ，()1,3B -.则直线PA 的斜率131120k -==-，直线PB 的斜率231210k -==---. 因为()()f x g x >，所以21a -<-<，即12a -<<，所以a 的范围为()1,2-.【点睛】本题考查了绝对值不等式问题与不等式恒成立问题，不等式恒成立问题往往可以借助函数的图像来研究，数形结合可以将抽象的问题变得更为直观，解题时应灵活运用. 25．(1)因为时，所以；(2)由(1)知该商品每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获得的利润：222()(3)[10(6)]210(3)(6),363f x x x x x x x =-+-=+--<<-； /2()10[(6)2(3)(6)]30(4)(6)f x x x x x x =-+-----，令/()0f x =得4x =函数在(3,4)上递增，在(4,6)上递减，所以当时函数取得最大值答：当销售价格时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.【解析】(1)利用销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．把x=5,y=11代入,解关于a 的方程即可求a..(2)在（1）的基础上，列出利润关于x 的函数关系式，利润=销售量⨯（销售单价－成品单价），然后利用导数求其最值即可.26．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由中位线定理可知//EF BD ，故四点共面（2）PQ 是平面11AAC C 与平面DBFE 的交线，可证R 是两平面公共点，故PQ 过R ，得证.【详解】证明：（1）EF Q 是111D B C ∆的中位线， 11//EF B D ∴.在正方体1AC 中，11//B D BD ，//EF BD ∴.,EF BD ∴确定一个平面，即D B F E ，，，四点共面.（2）正方体1AC 中，设11A ACC 确定的平面为α，又设平面BDEF 为β.11,Q AC Q α∈∴∈Q .又Q EF ∈，Q β∴∈，则Q 是α与β的公共点， a PQ β∴⋂=.又11,AC R R AC β⋂=∴∈. R a ∴∈，且R β∈，则R PQ ∈，故P Q R ，，三点共线.【点睛】本题主要考查了多点共面及多点共线问题，主要利用平面的基本性质解决，属于中档题.。

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上海市杨浦区2020届高三一模数学试卷及详细解析(Word版)

上海市杨浦区2020届高三一模数学试卷及详细解析2019. 12一、填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分,共54分)1. 函数2()f x x =的定义域为______2. 关于x 、y 的方程组2130x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为______ 3. 已知函数()f x 的反函数12()log f x x -=，则(1)f -=______4. 设a ∈R ，2(1)i a a a a --++为纯虚数（i 为虚数单位），则a =______5. 己知圆锥的底面半径为1cm ，侧面积为22cm π，则母线与底面所成角的大小为______6. 已知7(1)ax+二项展开式中3x 的系数为280，则实数a =______7. 椭圆22194x y +=焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，若PF =15，则12cos F PF ∠=______8. 已知数列{n a }的通项公式为1(2)1()32n n n n a n -≤⎧⎪=⎨≥⎪⎩(n ∈N *)，n S 是数列{n a }的前n 项和.则lim n x S →∞=______ 9. 在直角坐标平面xOy 中，A (-2,0)，B (0,1)，动点P 在圆C ：222x y +=上，则 PA PB ⋅的取值范围为______10. 已知六个函数：①21y x=；②cos y x =；③12y x =；④arcsin y x =；⑤1lg()1x y x+=-；⑥1y x =+.从中任选三个函数，则其中既有奇函数又有偶函数的选法有______种11. 已知函数1|1()|xf x =-，（0x >），若关于x 的方程[]2()()230f x mf x m +++=有三个不相等的实数解，则实数m 的取值范围为______12. 向量集合S ={(),|,,a a x y x y =∈R }，对于任意α、S β∈,以及任意λ∈(0,1)，都有()12S λαβ+-∈，则称S 为“C 类集”.现有四个命题：①若S 为“C 类集”，则集合M ={,|a a S R μμ∈∈}也是“C 类集”； ②若S 、T 都是“C 类集”，则集合M ={|,a b a S b T +∈∈}也是“C 类集”； ③若1A 、2A 都是“C 类集”，则12A A 也是“C 类集”；④若1A 、2A 都是“C 类集”，且交集非空，则12A A 也是“C 类集”. 其中正确的命题有______二、选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)13. 已知实数a 、b 满足a b >，则下列不等式中恒成立的是( )A. 22a b >B. 11a b< C. |a ||b |> D. 22a b > 14. 要得到函数2sin(2)3y x π=+的图象，只要将2sin2y x =的图象( )A. 向左平移6π个单位B. 向右平移6π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3π个单位 15. 设1z 、2z 为复数，则下列命题中一定成立的是( )A. 如果120z z ->，那么12z z >B. 如果12z z =，那么12z z =±,C. 如果12||1z z >，那么12z z >D. 如果22120z z +=,那么120z z == 16. 对于全集R 的子集A ，定义函数1(()0())A x f x x A A ⎧=∈⎨⎩∈R为A 的特征函数.设A 、B 为全集R 的子集，下列结论中错误的是( )A. 若A B ∈，则()()A B f x f x ≤B. ()1()A A f x f x =-RC. ()()()A A B B f x f x f x =⋅D. ()()()A A B B f x f x f x =+三、解答题(本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分)17. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥底面ABCD ，AB =P A =1，AD =3，E 、F 分别为棱PD 、P A 的中点.(1)求证：B 、C 、E 、F 四点共面；(2)求异面直线PB 与AE 所成的角.18. 已知函数()22x xa f x =+，其中a 为实常数. (1) (0)7f =，解关于x 的方程()5f x =；(2) 判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由.19. 东西向的铁路上有两个道口A 、B ，铁路两侧的公路分布如图，C 位于A 的南偏西15°，且位于B 的南偏东15°方向，D 位于A 的正北方向，AC =AD =2km ，C 处一辆救护车欲通过道口前往D 处的医院送病人，发现北偏东45°方向的E 处(火车头位置)有一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要1分钟，救护车和火车的速度均为60 km /h .(1) 判断救护车通过道口A 是否会受到火车影响，并说明理由；(2) 为了尽快将病人送到医院，救护车应选择A 、B 中的哪个道口?通过计算说明.20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，己知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点A 是第一象限内抛物线C 上的一点，点D 的坐标为(,0t )，0t >,(1)若||5OA =，求点A 的坐标；(2)若△AFD 为等腰直角三角形，且FAD ∠=90o ，求点D 的坐标；(3)弦AB 经过点D ，过弦AB 上一点P 作直线x t =-的垂线，垂足为点Q ，求证：“直线QA 与抛物线相切” 的一个充要条件是“p 为弦AB 的中点”.21. 已知无穷数列{n a }的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数n ，均有210n S -≥，20n S ≤,则称数列{n a }具有性质P .(1) 判断首项为1，公比为2-的无穷等比数列{n a }是否具有性质P ，并说明理由；(2) 已知无穷数列{n a }具有性质P ，且任意相邻四项之和都相等，求证：40S =；(3) 已知21n b n =-，n ∈N *,数列{n c }是等差数列，122n n n b n a c n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，若无穷数列{n a }具有性质P ，求2019c 的取值范围.上海市杨浦区2020届高三一模数学试卷及详细解析。

2020届上海市杨浦区高三第一次模拟(期末)数学试题

【题干序号】1 函数()12f x x-=的定义域为_______.【答案序号】【来源】2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题【答案】(0,)+∞ 【解析】Q ()12f x x -=化简可得:()f x=, ∴定义域为0x >.故答案为:(0,)+∞.【题干序号】2 关于x 、y 的方程组2130x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为________【答案序号】【来源】2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题【答案】211130-⎛⎫⎪⎝⎭【解析】∵方程组2130x y x y -=⎧⎨+=⎩，∴它的增广矩阵为211130-⎛⎫⎪⎝⎭，故答案为：211130-⎛⎫⎪⎝⎭．【题干序号】3己知函数()f x 的反函数()12log fx x -=,则()1f -=_______【答案序号】【来源】2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题【答案】12【解析】Q ()12log fx x -=∴()2x f x =可得()11122f --==故答案为:12.【题干序号】4设()2,21a R a a a i ∈--++为纯虚数(i 为虚数单位),则a =________.【答案序号】【来源】2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题【答案】2【解析】Q ()221a a a i --++,为纯虚数即实部为0,虚部不为0∴22010a a a ⎧--=⎨+≠⎩ 解得:2a = 故答案为:2.【题干序号】5己知圆锥的底面半径为1cm ，侧面积为22cm π，则母线与底面所成角的大小为_____.【答案序号】【来源】2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题【答案】3π 【解析】设底面半径为r ,母线SA 长为l ,底面中心为O , 如图:Q 12S rl l πππ==⋅⋅=圆锥侧面积解得:2l =在SOA Rt ∆中,1cos 2OA SAO SA ∠== ∴3SAO π∠=故母线与底面所成角的大小为:3π. 故答案为:3π.【题干序号】6已知7(1)ax +的展开式中，含3x 项的系数等于280，则实数a =________.【答案序号】【来源】2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题【答案】2【解析】∵（1+ax ）７的展开式为 T r +1rC =７•（ax ）r ，令r ＝3，可得含x 3项的系数等于a 3•3C =７280，解得 a ＝2，故答案为：2．【题干序号】7椭圆22194x y +=的焦点为12,F F P ，为椭圆上一点,若15PF =,则12cos F PF ∠=_________.【答案序号】【来源】2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题【答案】35【解析】Q 椭圆22194x y+=可得:3a =,2b =,c =根据椭圆定义可得:1226PF PF a +==, 122F F c ==可得252PF a +=解得:225651PF a =-=-=. 在三角形12F PF ∆中由余弦定理:2221212112251203cos 22515PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===⋅⨯⨯,故答案为:35.【题干序号】8己知数列{}n a 的通项公式为()()()12132n n n n a n N n *-⎧≤⎪=∈⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，nS是数列{}n a 的前n 项和，则lim n n S →+∞=________.【答案序号】【来源】2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题【答案】72【解析】Q {}n a 的通项公式为()()()12132n n n n a n N n *-⎧≤⎪=∈⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩∴()123lim lim n n n n S a a a a →+∞→+∞=+++L .()1234lim n n a a a a a →+∞=+++++L21273lim3=112112211144n n -→+∞⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎛⎫ ⎪⎝⎭=+=+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7lim 2n n S →+∞=∴ 故答案为:72.【题干序号】9在直角坐标平面xOy 中，)2,0,,1( 0A B -）（，动点P 在圆22:2C x y +=上，则PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围为_______.【答案序号】【来源】2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题【答案】[2-+【解析】Q 动点P 在圆22:2C x y +=上∴令)([0,2])P θθθπ∈ Q )2,0,,1( 0A B -）（∴(2,)PA θθ=-u u u r ,(,1)PB θθ=u u u r(2,)(,1)PA PB θθθθ⋅=-⋅-u u u r u u u r222cos 2sin θθθθ=++-2)θϕ=++Q )[θϕ+∈∴2)[2θϕ++∈+∴PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围:[2-+故答案为:[2.【题干序号】10己知六个函数:①21y x =;②cos y x =;③12y x =;④arcsin y x =;⑤1lg 1x y x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭;⑥1y x =+,从中任选三个函数,则其中既有奇函数又有偶函数的选法共有_______种.【答案序号】【来源】2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题【答案】12【解析】对于①,因为21y x =,定义域为()(),00,-∞⋃+∞且满足()()f x f x -=,故为偶函数;对于②,因为cos y x =,定义域为R 且满足()()f x f x -=,故为偶函数; 对于③,因为12y x =,定义域为[)0,+∞,故非奇非偶函数;对于④,因为arcsin y x =,定义域为[]1,1-且满足()()f x f x -=-,故为奇函数; 对于⑤,因为1lg 1x y x +⎛⎫=⎪-⎝⎭,定义域为()1,1-且满足()()f x f x -=-,故为奇函数; 对于⑥,因为1y x =+,根据函数图象可知为非奇非偶函数.综上所述,函数中奇函数的有④⑤,偶函数的有①②,③⑥为非奇非偶函数. 任选3个函数,既有奇函数又有偶函数的情况分类讨论:当选1奇和2偶时,21⨯种; 当选2奇和1偶时,12⨯种;当选1奇,1偶,1非奇非偶时,2228⨯⨯=种. ∴一共有12种选法. 故答案为:12.【题干序号】11 己知函数()()110f x x x=->，若关于x 的方程()()2[]230f x mf x m +++=有三个不相等的实数解，则实数m 的取值范围为_________.【答案序号】【来源】2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题【答案】34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】Q ()()110f x x x=-> ∴()11,0111,1x xf x x x ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩画出()f x 函数图象:设(),f x t =()()2[]230f x mf x m +++=Q 有三个不同实数解,∴方程2230t mt m +++=有两个根其中一个在区间()0,1上,一个根为0或在区间[1,)+∞上, 若方程2230t mt m +++=一个根为0,∴32m =-,另一根为32,不满足条件. 故方程2230t mt m +++=有两个根,其中一个在区间()0,1上,一个在区间[1,)+∞令2()23g t t mt m =+++ ①当(1)0g ≠时则(0)230(1)340g m g m =+>⎧⎨=+≤⎩解得:34,23m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭②当(1)0g =时即340m +=,故43m =-, 将43m =-代入2230t mt m +++= 可得:241033t t -⋅+=,解得:1222t t ==满足方程2230t mt m +++=两个根中,一个在区间()0,1上,一个在区间[1,)+∞ 综上所述,实数m 的取值范围为:34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦. 故答案为:34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦.【题干序号】12向量集合(){},,,S a a x y x y R ==∈v v,对于任意,S αβ∈,以及任意()0,1λ∈,都有()1S λαλβ+-∈,则称S 为“C 类集”,现有四个命题:①若S 为“C 类集”,则集合{},M a a S R μμ=∈∈v v也是“C 类集”;②若S ,T 都是“C 类集”,则集合{},M a b a S b T =+∈∈v v v v也是“C 类集”;③若12,A A 都是“C 类集”,则12A A ⋃也是“C 类集”;④若12,A A 都是“C 类集”,且交集非空,则12A A ⋂也是“C 类集”. 其中正确的命题有________(填所有正确命题的序号)【答案序号】【来源】2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题【答案】①②④【解析】Q 集合(){},,,S a a x y x y R ==∈v v,对于任意,S αβ∈, 且任意()0,1λ∈,都有()1S λαλβ+-∈∴可以把这个“C 类集”理解成,任意两个S 中的向量所表示的点的连线段上所表示的点都在S 上,因此可以理解它的图象成直线对于①,{},M a a S R μμ=∈∈v v,向量a r 整体μ倍,还是表示的是直线,故①正确;对于②,因为S ,T 都是“C 类集”,故{},M a b a S b T =+∈∈v v v v还是表示的是直线,故②正确;对于③,因为12,A A 都是“C 类集”,可得12A A ⋃是表示两条直线,故③错误;对于④,12,A A 都是“C 类集”,且交集非空,可得12A A ⋂表示一个点或者两直线共线时还是一条直线.综上所述,正确的是①②④. 故答案为:①②④.【题干序号】13已知,a b 为非零实数，且a b >，则下列不等式成立的是（） A ．22a b >B ．11a b< C ．||||a b >D ．22a b >【答案序号】【来源】2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题【答案】D【解析】A 选项不正确，当1,2a b ==-时，不等式就不成立； B 选项不正确，因为1,2a b ==-时，不等式就不成立； C 选项不正确，因为1,2a b ==-时，不等式就不成立；D 选项正确，因为2x y =是一个增函数，故当a b >时一定有22a b >，故选D.【题干序号】14要得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象,只要将2sin 2y x =的图象( )A ．向左平移6π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3π个单位【答案序号】【来源】2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题【答案】A【解析】Q 将函数22y sin x =的图象向左平移6π个单位长度, 可得函数2sin 22sin 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象∴将2sin 2y x =的图象向左平移6π个单位长度,即可得到2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选:A.【题干序号】15设12,z z 为复数,则下列命题中一定成立的是( ) A ．如果120z z ->,那么12z z > B ．如果12=z z ,那么12=±z zC ．如果121z z >,那么12z z > D ．如果22120z z +=,那么12 0z z ==【答案序号】【来源】2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题【答案】C【解析】对于A,取13z i =+,21z i =+时,120z z ->,即31i i +>+,但虚数不能比较大小, ,故A 错误;对于B,由12=z z ,可得2222+=+a b c d ,不能得到12=±z z ,故B 错误;对于C,因为121z z >,所以12z z >,故C 正确; 对于D,取11z =,2z i =,满足22120z z +=,但是12 0z z ≠≠,故D 错误. 故选:C.【题干序号】16对于全集U 的子集A 定义函数()()()1A U x A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩ð为A 的特征函数,设,A B 为全集U 的子集,下列结论中错误的是( )A ．若,AB ⊆则()()A B f x f x ≤ B ．()()1R A A f x f x =-ðC ．()()()A B A B f x f x f x =⋅ID ．()()()A B A B f x f x f x =+U【答案序号】【来源】2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题【答案】D【解析】Q ()()()10A U x A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩ð对于A,Q A B ⊆, 分类讨论：①当x A ∈,则,x B ∈此时()()1A B f x f x ==②当x A ∉且x B ∉,即U x B ∈ð,此时()()0A B f x f x ==， ③当x A ∉且x B ∈,即()U x A B ∈⋂ð时,()0,()1A B f x f x ==,此时()()A B f x f x ≤ 综合所述,有()()A B f x f x ≤,故A 正确;对于B ,1,()1()0,A UU A x Af x f x x A∈⎧==-⎨∈⎩ðð ,故(2)正确；对于C ,1,()0,()A B U x A Bf x x C A B ⋂∈⋂⎧=⎨∈⋂⎩ ()1,0,U U x A Bx C A C B ∈⋂⎧=⎨∈⋃⎩1,1,0,0,U U x A x B x C A x C B ⎧∈∈⎧⎪=⋅⎨⎨∈∈⎪⎩⎩()()A B f x f x =⋅,故C 正确;对于D ,0,()()()1,()A B A B U x A Bf x f x f x x C A B ⋃∈⋃⎧=≠+⎨∈⋃⎩,故D 错误. 故选:D.【题干序号】17如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥底面ABCD ,1AB PA ==,AD = ,F F 分别为棱,PD PA 的中点.（1）求证:B 、C 、E 、F 四点共面；（2）求异面直线PB 与AE 所成的角.【答案序号】【来源】2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题【答案】（1）证明见解析（2）arccos 4【解析】（1）Q 在PAD ∆中,由E 、F 为PD 、PA 中点得:EF 为中位线, ∴EF ∥AD又Q 底面为矩形,AD ∥BC ,∴EF ∥BC∴由平行线确定唯一平面得E 、F 、B 、C 在同一平面上.（2）以A 为原点建立坐标系,其中AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴, 如图:可得(0,0,0)A ,(1,0,0)B ,(0,0,1)P,10,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∴(1,0,1)=-u u u r PB,12AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ,故:||cos 4|1|||PB AE PB AE θ⋅===⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ∴异面直线PB 与AE 夹角:arccos 4.【题干序号】18己知函数()22x x a f x =+其中a 为实常数. （1）若()07f =,解关于x 的方程()5f x =;（2）判断函数()f x 的奇偶性,并说明理由.【答案序号】【来源】2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题【答案】（1）1x =或2log 3（2）答案见解析【解析】（1）Q ()22x xa f x =+, ∴()07f =,即17a +=解得:6a =可得:6()22x x f x =+ Q ()5f x = ∴6252x x += 令2x t =(0t >) ∴65t t+=,即:2560t t -+= 解得:12t =或23t =即:122x =,223x =∴11x =或22log 3x =.（2）函数定义域为R ,①当()f x 为奇函数时,Q 根据奇函数性质()()f x f x -=- 可得2222x x x x a a --⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭恒成立即1(1)202x x a ⎛⎫+⋅+= ⎪⎝⎭恒成立, ∴1a =-.②当()f x 为偶函数时,根据偶函数性质()()f x f x -=可得2222x x x xa a --+=+恒成立即1(1)202x x a ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭恒成立, ∴1a =.③当1a ≠±时,函数为非奇非偶函数.【题干序号】19东西向的铁路上有两个道口A 、B ,铁路两侧的公路分布如图,C 位于A 的南偏西15︒,且位于B 的南偏东15︒方向,D 位于A 的正北方向,2AC AD km ==,C 处一辆救护车欲通过道口前往D 处的医院送病人,发现北偏东45︒方向的E 处(火车头位置)有一列火车自东向西驶来,若火车通过每个道口都需要1分钟,救护车和火车的速度均为60/km h .（1）判断救护车通过道口A 是否会受火车影响,并说明理由;（2）为了尽快将病人送到医院,救护车应选择A 、B 中的哪个道口？通过计算说明.【答案序号】【来源】2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题【答案】（1）救护车通过A 会受影响，详见解析（2）选择B 过道，详见解析【解析】（1）Q C 位于A 的南偏西15︒,E 在C 北偏东45︒方向上∴在ACE ∆中,2AC =,105,45,30E CA A E E C ︒︒︒∠=∠=∠=正弦定理可得:sin sin AE AC ACE E=∠∠122AE ∴=解得:AE =Q 救护车和火车的速度均为60/km h∴救护车到达A 处需要时间:/212min 6030km km h h ==,又Q 火车到达A 处需要时间: 1.41min 60h =,火车影响A 道口时间为1],Q 21]∈∴救护车通过A 会受影响.（2）若选择A 道口:一共需要花费时间为:2160(3 4.41min 60A t =++⨯=+= 若选择B 道口:Q BE BC >通过B 道口不受火车影响,∴一共需要花费时间为:60B BC BD t h += 由余弦定理求AB 长:2222cos AB BC AC BC AC ACB =+-⋅∠AB ∴=∴BD ==∴60min 4.25min 60B A BC BD t h t +===<. ∴选择B 过道.【题干序号】20如图,在平面直角坐标系xOy 中,己知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,点A 是第一象限内抛物线C 上的一点,点D 的坐标为()(),00t t >（1）若OA =求点A 的坐标;（2）若AFD ∆为等腰直角三角形,且90FAD ∠=o ,求点D 的坐标;（3）弦AB 经过点D ,过弦AB 上一点P 作直线 x t =-的垂线,垂足为点Q ,求证:“直线QA 与抛物线相切”的一个充要条件是“P 为弦AB 的中点”.【答案序号】【来源】2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题【答案】（1）(1,2)A （2）(5+（3）证明见解析【解析】（1）Q 点A 是第一象限内抛物线C 上的一点,且OA 设00(,)A x y ,则 020222004||5y x OA x y ⎧=⎨=+=⎩ 解得:0012x y =⎧⎨=⎩,即(1,2)A . （2）设(,)A x y ,由(1,0)F ,(,0)D t可得:(1,)AF x y =--u u u r ,(,)AD t x y =--u u u rQ 90FAD ︒∠=∴AF AD ⊥u u u r u u u r2(1,)(,)(1)()0AF AD x y t x y x t x y ⋅=--⋅--=--+=u u u r u u u r ——① 又Q AFD ∆等腰,得A 点在x 轴投影为F 、D 中点,即:12t x +=. 将12t x +=,24y x =代入①得:15t =+250t =-<(舍去) ∴D点坐标为(5+.（3）Q AB l 过点(,0)D t设AB l 为:x my t =+,点()11,A x y ,点()22,B x y ,其AB 中点()00,P x y , 可得:221212,44y y x x == 联立直线与抛物线得24x my t y x=+⎧⎨=⎩,消掉x 可得:2440y my t --=根据韦达定理可得:12042y y m y +==∴02y m =设点A 处抛物线得切线为()11x x a y y -=-联立直线与抛物线得:()1124x x a y y y x ⎧-=-⎨=⎩,消掉x 可得:()211440y ay ay x -+-=∴()211(4)440a ay x ∆=-⋅-= ∴2102y a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,可得:12y a = ∴过A 处切线方程为()211142y y x x y y -⋅=⋅- 化简得()112yy x x =+求切线()112yy x x =+与直线x t =-得交点Q 可得()1101122222Q my t t x t y m y y y +--==== ∴PQ x ⊥轴,AQ ∴与24y x =相切时,P 为AB 中点Q 以上各步骤,均可逆∴“直线QA 与抛物线相切”的一个充要条件是“P 为弦AB 的中点”.【题干序号】21己知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ,若对于任意的正整数n ,均有2120,0n n S S -≥≤,则称数列{}n a 具有性质P .（1）判断首项为1,公比为2-的无穷等比数列{}n a 是否具有性质P ,并说明理由; （2）己知无穷数列{}n a 具有性质P ,且任意相邻四项之和都相等,求证:40S =;（3）己知()21n b n n N *=-∈,数列{}n c 是等差数列,()()12n n n b n a c n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数,若无穷数列{}n a 具有性质P ,求2019c 的取值范围.【答案序号】【来源】2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析（3）2019[4039,4037]c ∈--【解析】（1）Q 首项为1,公比为2-的无穷等比数列{}n a ∴111(2)n n n a a q --==-根据等比数列前n 项和公式可得:()()21212121*2111(2)111(1)21201(2)33n n n n n S n N -----⎡⎤⨯--⎣⎦⎡⎤==--⋅=+>∈⎣⎦--, ()22221211(2)111(1)21201(2)33n n n n n S -⎡⎤⨯--⎣⎦⎡⎤==--⋅=-<⎣⎦-- ∴数列{}n a 满足具有性质P .（2）Q 无穷数列{}n a 具有性质P ,且任意相邻四项之和都相等 ∴{}n a 满足周期性,且4n n a a +=可得44n S nS =Q {}n a 具备性质P∴满足:40n S ≤,410n S +≥利用反正法证明:若40S <,则4144141n n n S S a nS a ++=+=+, 令141a n S ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦∴得:410n S +<(注:当141a n S =-+时,410n S +=,则当141a n S ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦时,410n S +<) 与410n S +≥矛盾. ∴40S ≥,又∴40n S ≤,∴40S =.证明完毕.（3）Q 数列{}n c 是等差数列∴{}n c 的前n 项和为:2n T An Bn =+, Q {}n b 前n 项和为:2n R n =由{}n a 具备性质P ,则21200n nS S -≥⎧⎨≤⎩ 其中21n S -中包含n 项奇数项,1n -项偶数项, 有:()()2113212422n n n S a a a a a a ---=+++++++L L ()()12121n n b b b c c c -=+++++++L L 22(1)(1)n A n B n =+-+-其中2n S 中包含n 项奇数项,n 项偶数项, 故:()()21321242n n n S a a a a a a -=+++++++L L ()()1212n n b b b c c c =+++++++L L 22n An Bn =++由性质:P 21200n nS S -≥⎧⎨≤⎩ 可得22(1)(2)()0(1)0A n AB n A B A n Bn ⎧++-++-≥⎨++≤⎩,对任意*n N ∈成立 ∴A 、B 满足:1020A B B A =-⎧⎪≤⎨⎪-≥⎩,解得:1[2,0]A B =-⎧⎨∈-⎩ ∴2019201920184037[4039,4037]c T T B =-=-∈--.。

2020-2021上海杨浦高级中学高三数学上期末第一次模拟试卷及答案

2020-2021上海杨浦高级中学高三数学上期末第一次模拟试卷及答案一、选择题1．已知正数x 、y 满足1x y +=，且2211x y m y x +≥++，则m 的最大值为（） A ．163B ．13C ．2D ．42．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且239522,1a a a a ⋅==，则1a = ( )A ．12B ．2 CD．23．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =，则96S S =（） A ．2B ．73C ．83D ．34．设x y ，满足约束条件10102x y x y y -+≤⎧⎪+-⎨⎪≤⎩＞，则yx 的取值范围是（）A ．()[),22,-∞-+∞UB ．(]2,2-C ．(][),22,-∞-+∞UD ．[]22-,5．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2b c =，a =7cos 8A =，则ABC ∆的面积为（） AB ．3CD6．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（） A ．138B ．135C ．95D ．237．设变量,x y 、满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（）A ．2B ．3C ．4D ．98．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A．1 B．1 C ．＋2D ．29．已知正项等比数列{}n a 的公比为3，若229m n a a a =，则212m n+的最小值等于（）A ．1B ．12C ．34D ．3210．等差数列{}n a 中，已知611a a =，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( ) A ．6B ．7C ．8D ．911．已知x 、y 满足约束条件50{03x y x y x -+≥+≥≤，则24z x y =+的最小值是（）A ．6-B ．5C ．10D ．10-12．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，数列{}n b 满足1sin2n n n b a π+=，记数列{}n b 的前n 项和为nT，则2017T =（） A ．2016B ．2017C ．2018D ．2019二、填空题13．若首项为1a ，公比为q （1q ≠）的等比数列{}n a 满足21123lim()2n n a q a a →∞-=+，则1a 的取值范围是________.14．已知x y ，满足20030x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，，，，则222x y y ++的取值范围是__________.15．已知n S 为数列{a n }的前n 项和，且22111n n n a a a ++-=-，21313S a =，则{a n }的首项的所有可能值为______16．设0a >，若对于任意满足8m n +=的正数m ，n ，都有1141a m n ++≤，则a 的取值范围是______.17．已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a =g ，记数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则使不等式112020|1|13n nT a -->成立的最大正整数n 的值是__________．18．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且13a =，131n n a S +=+，*n ∈N ，则5S =______. 19．设(3()lg f x x x =+，则对任意实数,a b ，“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的_________条件．（填“充分不必要”.“必要不充分”.“充要”.“既不充分又不必要”之一）20．已知不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，则不等式250bx x a -+>的解集是_________.三、解答题21．在条件①()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，②sin cos()6a Bb A π=+，③sinsin 2B Cb a B +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a bc ，6b c +=，a =， . 求ABC ∆的面积.22．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ，设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，53A B =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设11n n n n c b a a +=+•，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：2(1)n S n <+.23．设}{n a 是等差数列，公差为d ，前n 项和为n S . （1）设140a =，638a =，求n S 的最大值.（2）设11a =，*2()na nb n N =∈，数列}{n b 的前n 项和为n T ，且对任意的*n N ∈，都有20n T ≤，求d 的取值范围.24．已知等差数列{}n a 的前n 项和为254,12,16n S a a S +==． (1)求{}n a 的通项公式； (2)数列{}n b 满足141n n n b T S =-，为数列{}n b 的前n 项和，是否存在正整数m ，()1k m k <<，使得23k m T T =?若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由．25．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin tan cos sin tan cos b B C b B a A C a A -=-．（1）求证：A B =；（2）若c =3cos 4C =，求ABC ∆的周长．26．设递增等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝3，S 3＝13，数列{b n }满足b 1＝a 1，点P （b n ，b n +1）在直线x ﹣y +2＝0上，n ∈N *. （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）设c n nnb a =，求数列{c n }的前n 项和T n .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除1．B 解析：B 【解析】【分析】由已知条件得()()113x y +++=，对代数式2211x y y x +++变形，然后利用基本不等式求出2211x y y x +++的最小值，即可得出实数m 的最大值. 【详解】正数x 、y 满足1x y +=，则()()113x y +++=，()()()()()()222222221212111111111111y x y x y x x y y x y x y x y x +-+-⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦+=+=+=+++++++++444444141465111111y x x y y x x y x y =+-+++-+=+++-=+-++++++()()14441111525311311y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=++++-=++-⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++⎝⎭⎝⎭412533⎛≥⨯+-= ⎝，当且仅当12x y ==时，等号成立，即2211x y y x +++的最小值为13，则13m ≤. 因此，实数m 的最大值为13. 故选：B. 【点睛】本题考查利用基本不等式恒成立求参数，对代数式合理变形是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.2．D解析：D 【解析】设公比为q ，由已知得()22841112a q a q a q ⋅=，即22q=，又因为等比数列{}n a 的公比为正数，所以q 21a a q ===，故选D. 3．B解析：B 【解析】首先由等比数列前n项和公式列方程，并解得3q，然后再次利用等比数列前n项和公式，则求得答案．【详解】设公比为q，则6163 63313(1)1113(1)11a qS qqqa qS qq---===+=---，∴32q=，∴93962611271123S qS q--===--．故选：B．【点睛】本题考查等比数列前n项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时也可以利用连续等长片断的和序列仍然成等比数列，进行求解.4．A解析：A【解析】【分析】根据题意，作出可行域，分析yx的几何意义是可行域内的点(),x y与原点O连线的斜率，根据图象即可求解.【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示，yx的几何意义是可行域内的点(),x y与原点O连线的斜率，由102x yy-+=⎧⎨=⎩，得点A的坐标为()1,2，所以2OAk=，同理，2OBk=-，所以yx的取值范围是()[),22,-∞-+∞U.故选：A【点睛】本题考查简单的线性规划，考查斜率型目标函数问题，考查数形结合思想，属于中等题型.5．D解析：D 【解析】【分析】三角形的面积公式为1sin 2ABC S bc A ∆=，故需要求出边b 与c ，由余弦定理可以解得b 与c . 【详解】解：在ABC ∆中，2227cos 28b c a A bc +-==将2b c =，a =22246748c c c +-=，解得：2c =由7cos 8A =得sin 8A ==所以，11sin 242282ABC S bc A ∆==⨯⨯⨯=故选D. 【点睛】三角形的面积公式常见形式有两种：一是12（底⨯高），二是1sin 2bc A .借助12（底⨯高）时，需要将斜三角形的高与相应的底求出来；借助1sin 2bc A 时，需要求出三角形两边及其夹角的正弦值.6．C解析：C 【解析】试题分析：∵24354{10a a a a +=+=，∴1122{35a d a d +=+=，∴14{3a d =-=， ∴1011091040135952S a d ⨯=+⨯=-+=．考点：等差数列的通项公式和前n 项和公式．7．D解析：D 【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.画出满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩的可行域，如图，画出可行域ABC ∆，(2,0)A ，(1,1)B ，(3,3)C ，平移直线2z x y =+，由图可知，直线2z x y =+经过(3,3)C 时目标函数2z x y =+有最大值，2z x y =+的最大值为9.故选D. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8．D解析：D 【解析】由a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－3，得(a ＋c )·(a ＋b )＝4－3 ∵a 、b 、c >0.∴(a ＋c )·(a ＋b )≤22b c 2a ++⎛⎫ ⎪⎝⎭(当且仅当a ＋c ＝b ＋a ，即b ＝c 时取“＝”)，∴2a ＋b ＋c 423－＝31)＝3－2.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误9．C解析：C 【解析】∵正项等比数列{}n a 的公比为3，且229m n a a a =∴2224222223339m n m n a a a a --+-⋅⋅⋅=⋅=∴6m n +=∴121121153()()(2)(2)62622624m n m n m n n m ⨯++=⨯+++≥⨯+=，当且仅当24m n ==时取等号. 故选C.点睛：利用基本不等式解题的注意点：（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立．（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．（3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．10．C解析：C 【解析】因为等差数列{}n a 中，611 a a =，所以6116111150,0,,2a a a a a d =-=-，有2[(8)64]2n dS n =--，所以当8n =时前n 项和取最小值.故选C. 11．A解析：A 【解析】【分析】【详解】作出不等式50{03x y x y x -+≥+≥≤所表示可行域如图所示，作直线:24l z x y =+，则z 为直线l 在y 轴上截距的4倍，联立3{x x y =+=，解得3{3x y ==-，结合图象知，当直线l 经过可行域上的点()3,3A -时，直线l 在y 轴上的截距最小，此时z 取最小值，即()min 23436z =⨯+⨯-=-，故选A. 考点：线性规划12．A解析：A 【解析】【分析】由2n S n n =-得到22n a n =-，即n b =2(1)cos2n n π-，利用分组求和法即可得到结果. 【详解】由数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-，当1n =时，11110a S ==-=；当2n …时，1n n n a S S -=-22(1)(1)22n n n n n ⎡⎤=-----=-⎣⎦，上式对1n =时也成立， ∴22n a n =-， ∴cos2n n n b a π==2(1)cos 2n n π-，∵函数cos 2n y π=的周期242T ππ==，∴()2017152013T b b b =++++L (26b b +)2014b ++L ()()3720154820162017b b b b b b b +++++++++L L02(152013)0=-+++++L 2(3+72015)045042016+++=⨯=L ，故选：A. 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．二、填空题13．【解析】【分析】由题意可得且即且化简可得由不等式的性质可得的取值范围【详解】解：故有且化简可得且即故答案为：【点睛】本题考查数列极限以及不等式的性质属于中档题解析：33(0,)(,3)22U【解析】【分析】由题意可得1q <且0q ≠，即11q -<<且0q ≠，211232a a a =+，化简可得13322a q =+由不等式的性质可得1a 的取值范围. 【详解】解：21123lim()2n n a q a a →∞-=+Q 21123lim 2n a a a →∞∴=+，lim 0nn q →∞= 故有11q -<<且0q ≠，211232a a a =+ 化简可得13322a q =+ 103a ∴<<且132a ≠即133(0,)(,3)22a ∈U 故答案为：33(0,)(,3)22U本题考查数列极限以及不等式的性质，属于中档题.14．；【解析】【分析】利用表示的几何意义画出不等式组表示的平面区域求出点到点的距离的最值即可求解的取值范围【详解】表示点到点的距离则三角形为等腰三角形则点到点的距离的最小值为：1最大值为所以的最小值为：解析：[]0,9；【解析】【分析】利用()()2201x y -++表示的几何意义，画出不等式组表示的平面区域，求出点(0,1)A -到点(,)x y 的距离的最值，即可求解222x y y ++的取值范围.【详解】()()22222011x y y x y ++=-++-()()2201x y -++表示点(0,1)A -到点(,)x y 的距离1AO =，1910,9110AD AC =+==+=ACD 为等腰三角形则点(0,1)A -到点(,)x y 的距离的最小值为：110 所以222x y y ++的最小值为：2110-=，最大值为：101=9-故222x y y ++的取值范围为[]09，故答案为：[]09，【点睛】本题主要考查了求平方和型目标函数的最值，属于中档题.15．【解析】【分析】根据题意化简得利用式相加得到进而得到即可求解结果【详解】因为所以所以将以上各式相加得又所以解得或【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式应用其中解答中利用数列的递推关系式得到关于数列首解析：34，- 【解析】根据题意，化简得22111n n n a a a ++-=-，利用式相加，得到2213113112S a a a --=-，进而得到211120a a --=，即可求解结果.【详解】因为22111n n n a a a ++-=-，所以22111n n n a a a ++-=-，所以2222222213321313121,1,,1a a a a a a a a a -=--=--=-L ，将以上各式相加，得2213113112S a a a --=-，又21313S a =，所以211120a a --=，解得13a =-或14a =.【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式应用，其中解答中利用数列的递推关系式，得到关于数列首项的方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.16．【解析】【分析】由题意结合均值不等式首先求得的最小值然后结合恒成立的条件得到关于a 的不等式求解不等式即可确定实数a 的取值范围【详解】由可得故：当且仅当即时等号成立故只需又则即则的取值范围是【点睛】在解析：[)1,+∞【解析】【分析】由题意结合均值不等式首先求得141m n ++的最小值，然后结合恒成立的条件得到关于a 的不等式，求解不等式即可确定实数a 的取值范围. 【详解】由8m n +=可得19m n ++=，故：()1411411411419191n m m n m n m n m n +⎛⎫⎛⎫+=+++=+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭11419⎛⨯++= ⎝≥，当且仅当12141n mn m mn +=⎧⎪+⎨=⎪+⎩，即3m =，5n =时等号成立，故只需11a≤，又0a >，则1a ≥. 即则a 的取值范围是[)1,+∞. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．17．8【解析】【分析】根据求得再求出带入不等式解不等式即可【详解】因为数列为正项的递增等比数列由解得则整理得：使不等式成立的最大整数为故答案为：【点睛】本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和同时考解析：8 【解析】【分析】根据1524158281a a a a a a +=⎧⎨==⎩，求得15181a a =⎧⎨=⎩，13-=n n a .再求出13(1)3n n T =-，带入不等式112020|1|13n nT a -->，解不等式即可.【详解】因为数列{}n a 为正项的递增等比数列，由1524158281a a a a a a +=⎧⎨==⎩，解得15181a a =⎧⎨=⎩.则3q =，13-=n n a .1(1)1323(1)1313n n n T -=⨯=--. 112020|1|13n n T a -->⇒1112020|11|133n n ---->. 整理得：38080n <.使不等式成立的最大整数n 为8. 故答案为：8 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.18．853【解析】【分析】由与的关系可得即进而得到是以为首项为公比的等比数列可得令即可得到的值【详解】由题即则是以为首项为公比的等比数列即当时故答案为：853【点睛】本题考查等比数列通项公式考查由与的关解析：853 【解析】【分析】由n S 与n a 的关系可得,131n n n S S S +-=+,即141n n S S +=+,进而得到13n S ⎧+⎫⎨⎬⎩⎭是以103为首项,4为公比的等比数列,可得1101433n n S -=⋅-,令5n =,即可得到5S 的值【详解】由题,1131n n n n a S S S ++=-=+,即141n n S S +=+,则()14n n S S λλ++=+143n n S S λ+∴=+,13λ∴=13a =Q ,111110333S a ∴+=+=,∴13n S ⎧+⎫⎨⎬⎩⎭是以103为首项,4为公比的等比数列,∴1110433n n S -+=⋅,即1101433n n S -=⋅- 当5n =时,51510110142568533333S -=⨯-=⨯-= 故答案为：853 【点睛】本题考查等比数列通项公式,考查由n S 与n a 的关系求n S ,根据1n n S k S b +=⋅+,可构造数列{}n S λ+为等比数列,公比为k19．充要【解析】所以为奇函数又为单调递增函数所以即是的充要条件点睛：充分必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断若则若则的真假并注意和图示相结合例如⇒为真则是的充分条件2等价法：利用⇒与非⇒非⇒与非⇒非解析：充要【解析】33()()lg(()lg(lg10f x f x x x x x +-=++-+-== ，所以()f x 为奇函数，又()f x 为单调递增函数，所以0()()()()()()0a b a b f a f b f a f b f a f b +≥⇔≥-⇔≥-⇔≥-⇔+≥ ，即“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的充要条件点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．20．【解析】【分析】根据不等式的解集是求得的值从而求解不等式的解集得到答案【详解】由题意因为不等式的解集是可得解得所以不等式为即解得即不等式的解集为【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法其中解答中根解析：11(,)23--【解析】【分析】根据不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，求得,a b 的值，从而求解不等式250bx x a -+>的解集，得到答案.【详解】由题意，因为不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，可得53(2)(3)(2)a b a ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-⨯-=⎪⎩，解得1,6a b =-=-，所以不等式250bx x a -+>为26510x x --->，即2651(31)(21)0x x x x ++=++<，解得1123x -<<-，即不等式250bx x a -+>的解集为11(,)23--. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中根据三个二次式之间的关键，求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.三、解答题21．见解析【解析】【分析】若选①：利用正弦定理可得(a b)()(c b)a b c +-=-,即222b c a bc +-=,再利用余弦定理求得cos A ,进而求得bc ,从而求得面积；若选②：利用正弦定理可得sin sin sin cos()6A B B A π=+,化简可得tan 3A =,即6A π=,利用余弦定理求得bc ,从而求得面积；若选③：根据正弦定理得sin sin sin sin 2B CB A B +=,整理可得3A π=,进而求得面积【详解】解：若选①：由正弦定理得(a b)()(c b)a b c +-=-，即222b c a bc +-=，所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，因为(0,)A π∈，所以3A π=.又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，a =6bc +=，所以4bc =，所以11sin 4sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯= 若选②：由正弦定理得sin sin sin cos()6A B B A π=+.因为0B π<<，所以sin 0B ≠，sin cos()6A A π=+，化简得1sin sin 2A A A =-，即tan A =，因为0A π<<，所以6A π=.又因为2222cos6a b c bc π=+-，所以2222bc =，即24bc =-所以111sin (246222ABC S bc A ∆==⨯-⨯=- 若选③：由正弦定理得sin sinsin sin 2B CB A B +=，因为0B π<<，所以sin 0B ≠，所以sin sin 2B CA +=，又因为BC A +=π-，所以cos2sin cos 222A A A =，因为0A π<<，022A π<<，所以cos 02A≠， 1sin22A ∴=，26A π=，所以3A π=. 又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，a =6bc +=，所以4bc =，所以11sin 4sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯= 【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理处理三角形中的边角关系,考查三角形面积公式的应用,考查运算能力22．（1）n a n =，21n b n =+；（2）见解析【解析】【分析】（1）由等差数列的通项公式及求和公式列1a d ，的方程组求解则n a n =可求，进而得21n b n =+（2）利用()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭分组求和即可证明【详解】（1）因为数列{}n a ，{}n b 是等差数列，且23A =，53A B =，所以112351096a d a d d +=⎧⎨+=+⎩. 整理得1123549a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以()11?n a a n d n =+-=，即n a n =，()11221n b b n d n =+-⋅=+，即21n b n =+.综上，n a n =，21n b n =+. （2）由（1）得()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭，所以()11111352112231n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+++-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即()()22211211111n S n n n n n n =++-=+-<+++. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式，裂项相消求和，考查推理计算能力，是中档题 23．（1）2020（2）29-,log 10⎛⎤∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）运用等差数列的通项公式可得公差d ，再由等差数列的求和公式，结合配方法和二次函数的最值求法，可得最大值；（2）由题意可得数列{b n }为首项为2，公比为2d 的等比数列，讨论d ＝0，d ＞0，d ＜0，判断数列{b n }的单调性和求和公式，及范围，结合不等式恒成立问题解法，解不等式可得所求范围．【详解】（1）a 1＝40，a 6＝38，可得d 61255a a -==-，可得S n ＝40n 12-n （n ﹣1）2155=-（n 2012-）2220120+，由n 为正整数，可得n ＝100或101时，S n 取得最大值2020；（2）设()*112na n ab n N ==∈，，数列{b n }的前n 项和为T n，可得a n ＝1+（n ﹣1）d ，数列{b n }为首项为2，公比为2d 的等比数列，若d ＝0，可得b n ＝2；d ＞0，可得{b n }为递增数列，无最大值；当d ＜0时，T n ()21221212dn dd-=--＜，对任意的n ∈N *，都有T n ≤20，可得20212d≥-，且d ＜0，解得d ≤29log 10．【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查化简运算能力，属于中档题．24．（1）*21,n a n n N =-∈（2）存在，2,12m k ==【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的通项公式与前n 项和公式得112512238a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，从而求出21n a n =-；（2）由（1）得()2122n n n S n n -=+⨯=，由211114122121n b n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭，利用裂项相消法得21n n T n =+，若23k m T T =，则()2232121k m k m =++，整理得223412m k m m =+-，由1k m >>得11m <<+，从而可求出答案．【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由2541216a a S +=⎧⎨=⎩得112512238a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，()*12121,n a n n n N ∴=+-=-∈；（2）()2122n n n S n n -=+⨯=，211114122121n b n n n ⎛⎫∴==- ⎪--+⎝⎭，1211111111111123352321212122121n n n T b b b n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，若23k m T T =，则()2232121k m k m =++，整理得223412m k m m =+-，又1k m >>，2234121m m m m m ⎧>⎪∴+-⎨⎪>⎩，整理得222104121m m m m m ⎧-->⎪+-⎨⎪>⎩，解得11m << 又*m N ∈，2m ∴=，12k ∴=， ∴存在2,12m k ==满足题意．【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和，考查裂项相消法求和，属于中档题． 25．（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求in 0()s A B -=，可得()A B k k Z π-=∈，结合范围A ，(0,)B π∈，即可得证A B =．（2）由（1）可得a b =，进而根据余弦定理可求a b ==ABC ∆的周长．【详解】（1）sin tan cos sin tan cos b B C b B a A C a A -=-Q ，∴sin sin sin sin cos cos cos cos b B C a A Cb B a A C C-=-，sin sin cos cos sin sin cos cos b B C b B C a A C a A C ∴-=-， cos()cos()a A C b B C ∴+=+，又A B C π++=Q ，cos cos a B b A ∴-=-，sin cos sin cos A B B A ∴-=-， sin()0A B ∴-=，()A B k k Z π∴-=∈，又A Q ，(0,)B π∈，A B ∴=．（2）Q 由（1）可知A B =，可得a b =，又c =Q 3cos 4C =，∴2232342a a-==，226a b ∴==，可得a b ==ABC ∆∴的周长a b c ++=【点睛】本题考查三角函数恒等变换的应用、余弦定理在解三角形中的综合应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意三角函数求值时，要先写出角的范围．26．（1）a n ＝3n ﹣1，b n ＝2n ﹣1（2）T n ＝3﹣（n +1）•（13）n ﹣1 【解析】【分析】(1)利用基本量法求解n a ,再代入()1,n n P b b +到直线20x y -+=可得{}n b 为等差数列,再进行通项公式求解即可. (2)利用错位相减求和即可. 【详解】（1）递增等比数列{a n }的公比设为q ,前n 项和为S n ,且a 2＝3,S 3＝13, 可得a 1q ＝3,a 1+a 1q +a 1q 2＝13,解得q ＝3或q 13=, 由等比数列递增,可得q ＝3,a 1＝1,则13-=n n a ； P （b n ,b n +1）在直线x ﹣y +2＝0上,可得b n +1﹣b n ＝2, 且b 1＝a 1＝1,则b n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1；（2）c n nn b a ==（2n ﹣1）•（13）n ﹣1, 前n 项和T n ＝1•1+3•13+5•19++L （2n ﹣1）•（13）n ﹣1, 13T n ＝1•13+3•19+5•127++L （2n ﹣1）•（13）n , 相减可得23T n ＝1+2（1139+++L （13）n ﹣1）﹣（2n ﹣1）•（13）n＝1+2•111133113n -⎛⎫- ⎪⎝⎭--（2n ﹣1）•（13）n , 化简可得T n ＝3﹣（n +1）•（13）n ﹣1.【点睛】本题主要考查了等比等差数列的通项公式求解以及错位相减的求和方法,属于中档题.。

2020-2021下海杨浦高级中学高一数学下期中第一次模拟试卷及答案

2020-2021下海杨浦高级中学高一数学下期中第一次模拟试卷及答案一、选择题1．水平放置的ABC V 的斜二测直观图如图所示，若112A C ＝，111A B C △的面积为22，则AB 的长为（）A 2B ．17C ．2D ．82．已知正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，则该四棱锥的体积的最大值为（）A ．643B ．32C ．54D ．643．下列命题正确的是（）A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．四边形确定一个平面4．已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<5．设α表示平面，a ，b 表示直线，给出下列四个命题：①a α//，a b b α⊥⇒//； ②a b //，a b αα⊥⇒⊥；③a α⊥，a b b α⊥⇒⊂；④a α⊥，b a b α⊥⇒//，其中正确命题的序号是（）A ．①②B ．②④C ．③④D ．①③6．已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是( )A ．α⊥β，且m ⊂αB ．m ⊥n ，且n ∥βC ．α⊥β，且m ∥αD ．m ∥n ，且n ⊥β7．四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，72PA =，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（） A ．812π B ．814π C ．65π D ．652π 8．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面1202,2ABC BAC AP AB ∠=︒==，，，M 是线段BC 上一动点，线段PM 3P ABC -的外接球的表面积是（）A ．92πB ．92πC ．18πD ．40π9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．B ．C ．D ．10．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为 A ．1∶2 B ．1∶3C ．1∶5D ．3∶2 11．如图，正四面体ABCD 中，,EF 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是线段BD 的动点，则( )A ．存在点G ，使PG EF ⊥成立B ．存在点G ，使FG EP ⊥成立C ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立D ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立 12．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（）A ．43B ．1033C ．23D ．833二、填空题13．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，BD AC O ⋂=,M 是线段1D O 上的动点，过M 做平面1ACD 的垂线交平面1111D C B A 于点N ，则点N 到点A 的距离最小值是___________．14．在学习公理四“平行于同一条直线的两条直线平行”时，有同学进行类比，提出了下列命题：① 平行于同一平面的两个不同平面互相平行；② 平行于同一直线的两个不同平面互相平行；③ 垂直于同一直线的两个不同平面互相平行；④ 垂直于同一平面的两个不同平面互相平行；其中正确的有________15．在三棱锥P ABC -中,PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，3AB =，4BC =，5PA =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为__________16．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1BB 的中点，直线1D M 与平面ABCD 交于点N ，则线段AN 的长度为________17．若直线()():1210l m x m y m -+--=与曲线()2:422C y x =--+有公共点，则直线l 的斜率的最小值是_________.18．三棱锥A BCD -中，E 是AC 的中点，F 在AD 上，且2AF FD =，若三棱锥A BEF -的体积是2，则四棱锥B ECDF -的体积为_______________．19．已知PA 垂直于平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ⊥，则平行四边形ABCD 一定是___________.20．如图所示，二面角l αβ--为60,,A B o是棱l 上的两点，,AC BD 分别在半平面内,αβ，且AC l ⊥，，4,6,8AB AC BD ===，则CD 的长______．三、解答题21．在四棱锥S ABCD -中，平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAD ⊥平面ABCD .（Ⅰ）证明：SA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若底面ABCD 为矩形，23SA AD AB ==，F 为SC 的中点，23BE BC =u u u v u u u v ，求直线EF 与平面SCD 所成角的正弦值.22．四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90BCD ∠=︒，22AB AD DC ===.PAD △ 为正三角形，二面角P -AD -C 的大小为23π.（1）线段AD 的中点为M.求证：平面PMB ⊥平面ABCD ；（2）求直线BA 与平面P AD 所成角的正弦值.23．如图，在直三棱柱111ABCA B C 中，AC BC ⊥，14CC =，M 是棱1CC 上的一点．（1）求证：BC AM ⊥；（2）若N 是AB 的中点，且//CN 平面1AB M ，求CM 的长．24．已知直线1:20l ax y a +--=，22:0l x ay ++=，点(5,0)P -（1）当12//l l 时，求a 的值；（2）求直线1l 所过的定点Q ，并求当点P 到直线1l 的距离最大时直线1l 的方程.25．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M(2，0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T(－1，1)在AD 边所在直线上．求：(1) AD 边所在直线的方程；(2) DC 边所在直线的方程．26．如图所示的等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，12AB AD BC CD a ====，E 为CD 中点．若沿AE 将三角形DAE 折起，并连接DB ，DC ，得到如图所示的几何体D-ABCE ，在图中解答以下问题：（1）设G 为AD 中点，求证：//DC 平面GBE ；（2）若平面DAE ⊥平面ABCE ，且F 为AB 中点，求证：DF AC ⊥．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】依题意由111A B C △的面积为22114B C =，所以8BC =，2AC =，根据勾股定理即可求AB ．【详解】依题意，因为111A B C △的面积为2 所以1111122sin 452AC B C ︒=⨯⋅=1112222B C ⨯⨯⨯，解得114B C =，所以8BC =，2AC =，又因为AC BC ⊥，由勾股定理得：AB ====故选B ．【点睛】本题考查直观图还原几何图形，属于简单题. 利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x 轴平行的线段仍然与x '轴平行且相等；二是与y 轴平行的线段仍然与y '轴平行且长度减半. 2．A解析：A【解析】【分析】设底面ABCD 的边长为a ，四棱锥的高为h ，可得22122a h h =-，得出四棱锥的体积关于h 的函数()V h ，求出V 的极大值点，即可得到四棱锥的体积的最大值.【详解】正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，设底面ABCD 的边长为a ，四棱锥的高为h ，设正四棱锥的底面ABCD 的中心为1O .则2OA =,1PO ⊥ 平面ABCD .则22211OO O A OA +=,即()222332a h ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭，可得22122a h h =-. 则该四棱锥的体积为()221112233V a h h h h =⨯=- 令()()2122f h h h h =-，则()2246f h h h'=- 当04h <<时，()0f h '>，()f h 单调递增. 当4h >时，()0f h '<，()f h 单调递减.所以当4h =时，该四棱锥的体积有最大值，最大值为：()216412424433⨯⨯-⨯⨯= . 故选：A【点睛】本题考查了四棱锥与球的组合体，求椎体的体积，关键是利用了导数求体积的最值．属于中档题．3．C解析：C【解析】【分析】根据确定一个平面的公理及推论即可选出.【详解】A 选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B 选项，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C 选项，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C.【点睛】本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.4．B解析：B【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.5．B解析：B【解析】【分析】【详解】①a ∥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故①错误；②若a ∥b ，a ⊥α，由直线与平面垂直和判定定理得b ⊥α，故②正确；③a ⊥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故③错误；④若a ⊥α，b ⊥α，则由直线与平面垂直的性质得a ∥b ，故④正确．故选B ．6．D解析：D【解析】【分析】根据所给条件，分别进行分析判断，即可得出正确答案.【详解】解：αβ⊥且m α⊂⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故A 不成立；m n ⊥且//n β⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故B 不成立；αβ⊥且//m α⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故C 不成立；//m n 且n β⊥⇒m β⊥，故D 成立；故选：D【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，线面垂直判定，属于基础题.7．B解析：B【解析】【分析】根据题意可知，该四棱锥的外接球即为其所在长方体的外接球，根据公式即可求得.【详解】根据题意，为方便说明，在长方体中找出该四棱锥如图所示：由图可知在长方体中的四棱锥P ABCD -完全满足题意，故该四棱锥的外接球即是长方体的外接球，故外接球半径222722294R ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==，故该球的表面积为28144S R ππ==. 故选：B . 【点睛】本题考查四棱锥外接球的问题，关键的步骤是将问题转化为求长方体的外接球. 8．C解析：C【解析】【分析】首先确定三角形ABC 为等腰三角形，进一步确定球的球心，再求出球的半径，最后确定球的表面积．【详解】解：如图所示：三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面2,2ABC AP AB ==，，M 是线段BC 上一动点，线段PM 3则：当AM BC ⊥时，线段PM 达到最小值，由于：PA ⊥平面ABC ，所以：222PA AM PM +=，解得：1AM =，所以：3BM =，则：60BAM ∠=︒，由于：120BAC ∠=︒，所以：60MAC ∠=︒则：ABC V 为等腰三角形．所以：23BC =在ABC V 中，设外接圆的直径为2324r ==，则：2r =，所以：外接球的半径2229222R⎛⎫=+=⎪⎪⎝⎭，则：94182Sππ=⋅⋅=，故选：C．【点睛】本题考查的知识要点：三棱锥的外接球的球心的确定及球的表面积公式的应用．9．D解析：D【解析】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为,选D.10．C解析：C【解析】【分析】由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案【详解】设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r．∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr故选C．【点睛】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题．11．C解析：C【解析】【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系对选项进行一一验证，即可得答案．【详解】正四面体ABCD中，,E F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是直线BD的动点，在A中，不存在点G，使PG EF⊥成立，故A错误；在B中，不存在点G，使FG EP⊥成立，故B错误；在C中，不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立，故C正确；在D中，存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立，故D错误.故选：C.【点睛】本题考查命题真假的判断、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查转化与化归思想，考查空间想象能力．12．B解析：B 【解析】由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，1104323333V =⋅=. 故选：B.二、填空题13．【解析】连结易知面面而即在面内且点的轨迹是线段连结易知是等边三角形则当为中点时距离最小易知最小值为 6【解析】连结11B D ，易知面1ACD ⊥面11BDD B ，而1MN ACD ⊥，即1NM D O ⊥，NM 在面11BDD B 内，且点N 的轨迹是线段11B D ，连结1AB ，易知11AB D V 是等边三角形，则当N 为11B D 中点时，NA 距离最小，易知最小值为6214．①③【解析】【分析】对4个命题分别进行判断即可得出结论【详解】解：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行正确；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行或相交不正确；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平解析：①③ 【解析】【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【详解】解：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行，正确； ②平行于同一直线的两个不同平面互相平行或相交，不正确； ③垂直于同一直线的两个不同平面互相平行，正确； ④垂直于同一平面的两个不同平面互相平行或相交，不正确．故答案为：①③．【点睛】本题考查类比推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．15．【解析】【分析】以为长宽高构建长方体则长方体的外接球是三棱锥的外接球由此能求出三棱锥的外接球的表面积【详解】由题意在三棱锥中平面以为长宽高构建长方体则长方体的外接球是三棱锥的外接球所以三棱锥的外接球解析：50π【解析】【分析】以,,AB BC PA 为长宽高构建长方体，则长方体的外接球是三棱锥P ABC -的外接球，由此能求出三棱锥P ABC -的外接球的表面积. 【详解】由题意，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,,3,4,5ABC AB BC AB BC PA ⊥===，以,,AB BC PA 为长宽高构建长方体，则长方体的外接球是三棱锥P ABC -的外接球，所以三棱锥P ABC -的外接球的半径为R ==所以三棱锥P ABC -的外接球的表面积为224450S R πππ==⨯=. 【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积的计算问题，其中解答中根据几何体的结构特征，以,,AB BC PA 为长宽高构建长方体，得到长方体的外接球是三棱锥P ABC -的外接球是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力.16．【解析】【分析】在平面中与的交点即为求出长即可求解【详解】连在正方体中所以四边形为矩形相交其交点为平面的交点是的中点为的中位线为中点正方体各棱长为1故答案为:【点睛】本题考查空间线面位置关系确定直线【解析】【分析】在平面11BB D D 中，1D M 与BD 的交点即为N ，求出BN 长，即可求解. 【详解】连BD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11111,//,BB DD BB DD DD BD =⊥，所以四边形11BB D D 为矩形，1,BD D M 相交，其交点为1D M 平面ABCD 的交点N ，Q M 是1BB 的中点，111,//2BM DD BM DD ∴=， BM 为1DD N V 的中位线，B 为DN 中点，正方体各棱长为1，2BN BD ∴==，,1,2,135ABN AB BN ABN ==∠=o V ，2222cos AN AB BN AB BN ABN =+-⋅⋅∠2321252=+⨯⨯⨯=，5AN ∴=. 故答案为:5.【点睛】本题考查空间线面位置关系，确定直线与平面交点是解题的关键，意在考查直观想象能力，属于中档题.17．【解析】【分析】将直线的方程化为可求出直线所过的定点坐标作出曲线的图象利用数形结合思想可得出当直线与曲线有公共点时直线的斜率的最小值【详解】将直线的方程化为由得则直线过定点将曲线的方程变形为曲线为圆解析：15【解析】【分析】将直线l 的方程化为()()210m x y x y +--+=，可求出直线l 所过的定点坐标，作出曲线C 的图象，利用数形结合思想可得出当直线l 与曲线C 有公共点时，直线l 的斜率的最小值. 【详解】将直线l 的方程化为()()210m x y x y +--+=，由2100x y x y +-=⎧⎨+=⎩，得11x y =-⎧⎨=⎩.则直线l 过定点()1,1P -，将曲线C 的方程变形为()()()222242x y y -+-=≥，曲线C 为圆()()22224x y -+-=的上半圆，如下图所示：由图象可知，当直线l 过点A 时，直线l 的斜率取最小值211415PA k -==+. 故答案为：15. 【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系求直线斜率的最值，考查数形结合思想的应用，属于中等题.18．【解析】【分析】以B 为顶点三棱锥与四棱锥等高计算体积只需找到三角形AEF 与四边形ECDF 的面积关系即可求解【详解】设B 到平面ACD 的距离为h 三角形ACD 面积为因为是的中点在上且所以所以又=2所以所以解析：【解析】【分析】以B 为顶点，三棱锥B AEF -与四棱锥B ECDF -等高，计算体积只需找到三角形AEF 与四边形ECDF 的面积关系即可求解. 【详解】设B 到平面ACD 的距离为h ，三角形ACD 面积为S ，因为E 是AC 的中点，F 在AD上，且2AF FD =，所以16AEF ACD S AE AF S AC AD ∆∆⋅==⋅,16AEF S S ∆=，所以56ECDF S S =，又A BEF V -=2，所以⨯=11236Sh ，36Sh =，所以153610318B ECDF ECDF V S h -==⋅=. 故答案为10. 【点睛】本题考查空间几何体的体积计算，考查空间想象能力和运算能力，属于基础题.19．菱形【解析】【分析】【详解】根据题意画出图形如图∵PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面∴PA ⊥BD 又∵PC ⊥BDPA ⊂平面PACPC ⊂平面PACPA∩PC=P ∴BD ⊥平面PAC 又∵AC ⊂平面PAC ∴A解析：菱形【解析】【分析】【详解】根据题意，画出图形如图，∵PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，∴PA ⊥BD ，又∵PC ⊥BD ，PA ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，PA∩PC=P ．∴BD ⊥平面PAC 又∵AC ⊂平面PAC ∴AC ⊥BD 又ABCD 是平行四边形 ∴平行四边形ABCD 一定是菱形．故答案为菱形20．【解析】【分析】推导出两边平方可得的长【详解】二面角为是棱上的两点分别在半平面内且的长故答案为：【点睛】本题考查线段长的求法考查空间中线线线面面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程解析：217 【解析】【分析】推导出CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r，两边平方可得CD 的长．【详解】Q 二面角l αβ--为60︒，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，且AC l ⊥，BD l ⊥，4AB =，6AC =，8BD =，∴CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r，∴22()CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r2222CA AB BD CA BD =+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g361664268cos12068=+++⨯⨯⨯︒=，CD ∴的长||68217CD ==u u u r．故答案为：17【点睛】本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．三、解答题21．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）4205. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意1l ⊥平面SAB ，得到所以1l SA ⊥，同理可证2l SA ⊥，利用线面垂直的判定定理，即可证得SA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）分别以AB u u u r 、AD u u u r 、AS u u u r所在方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，求得向量EF u u u r和平面SCD 的一个法向量为n r，利用向量的夹角公式，即可求解直线与平面所成的角的正弦值. 试题解析：（Ⅰ）证法1：在平面ABCD 内过点C 作两条直线1l ，2l ，使得1l AB ⊥，2l AD ⊥.因为AB AD A ⋂=，所以1l ，2l 为两条相交直线.因为平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB ⋂平面ABCD AB =，1l ⊂平面ABCD ，1l AB ⊥，所以1l ⊥平面SAB .所以1l SA ⊥.同理可证2l SA ⊥.又因为1l ⊂平面ABCD ，2l ⊂平面ABCD ，12l l C ⋂=，所以SA ⊥平面ABCD .证法2：在平面SAB 内过点S 作1l AB ⊥，在平面SAD 内过点S 作2l AD ⊥. 因为平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB ⋂平面ABCD AB =，1l ⊂平面SAB ，1l AB ⊥，所以1l ⊥平面ABCD .同理可证2l ⊥平面ABCD .而过点S 作平面ABCD 的垂线有且仅有一条，所以1l 与2l 重合.所以1l ⊂平面SAD .所以，直线1l 为平面SAB 与平面SAD 的交线.所以，直线1l 与直线SA 重合.所以SA ⊥平面ABCD .（Ⅱ）如图，分别以AB u u u v 、AD u u u v 、AS u u u v所在方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -.设6SA =，则2AB =，3AD =，()2,0,0B ，()2,3,0C ，()0,3,0D ，()0,0,6S .由F 为SC 的中点，得31,,32F ⎛⎫ ⎪⎝⎭；由23BE BC =u u u v u u u v ，得()2,2,0E .所以11,,32EF u u u v ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()2,3,6SC =-u uu v ，()2,0,0DC =u u u v .设平面SCD 的一个法向量为(),,n x y z =v，则00n SC n DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即236020x y z x +-=⎧⎨=⎩.取1z =，则2y =，0x =.所以()0,2,1n =v .所以cos ,EF n u u u v v EF n EF n ⋅=⋅u u u v v u u u v v ()1102311190414⎛⎫-⨯+-⨯+⨯ ⎪⎝⎭=++⨯++ 4205205=. 所以，直线EF 与平面SCD 所成角的正弦值为4205205. 22．（1）证明见解析；（2）34. 【解析】【分析】(1)直角梯形ABCD 中,过D 作DF ⊥AB 于F ,求解三角形可得ABD △为正三角形，又PAD △为正三角形，M 为线段AD 的中点，可得PM ⊥AD ，BM ⊥AD ，再由线面垂直的判定可得AD ⊥平面PBM ，从而得到平面PMB ⊥平面ABCD ；(2)在平面PMB 中，过B 作BO ⊥PM ,垂足为O ,则BO ⊥平面P AD ,连接AO ,则∠BAO 为直线BA 与平面P AD 所成角，然后求解三角形得答案. 【详解】（1）证明：过D 作DF ⊥AB 于F在Rt ADE ∆中，2,1AD AE ==,3BAD π∴∠=∴BAD V 和PAD △是正三角形， ∵M 是AD 的中点， ∴AD MB ⊥，AD MP ⊥，又∵MB MP M ⋂=， ∴AD ⊥平面PMB ，又∵AD ⊂平面ABCD ∴平面PMB ⊥平面ABCD.（2）由（1）知PMB ∠是二面角P -AD -B 的平面角 ∴23PMB π∠=. 由（1）知AD ⊥平面PMB ∵AD ⊂平面P AD ∴平面PAD ⊥平面PBM∴过B 作平面P AD 的垂线，则垂足E 在PM 延长线上,∴3BME π∠=.连结AE ，则BAE ∠是AB 与平面P AD 所成的角,∴3BM =，∴32BE =，∴3sin 4BAE BE AB ∠== 【点睛】本题主要考查平面与平面垂直的判定，线面角的求法，二面角，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题.23．（1）证明见解析；（2）2CM =. 【解析】【分析】（1）由已知可得1CC BC ⊥，结合AC BC ⊥，可得BC ⊥平面11AAC C ，即可证明结论；（2）取1AB 中点D ，连,MD ND ，则//ND CM ，由//CN 平面1AB M ，可证//CN MD ，得到四边形CMDN 为平行四边形，即可求CM 的长. 【详解】（1）在直三棱柱111ABCA B C 中，1CC ⊥平面ABC ，1CC BC ∴⊥，又11,,,AC BC AC CC C AC CC ⊥=⊂I 平面11AAC C ，BC ∴⊥平面11AAC C ，AM ⊂Q 平面11AAC C ，BC AM ⊥∴；（2）取1AB 中点D ，连,MD ND ，N 是AB 的中点，11111//,22DN BB DN BB CC ∴==，又11//,//BB CC DN CM ∴， ,DN CM ∴可确定平面,CMDN CN ∴⊂平面CMDN ， //CN Q 平面1AB M ，平面1AB M I 平面CMDN DM =，//,CN DM ∴∴四边形CMDN 为平行四边形，1122CM DN CC ∴===.【点睛】本题考查异面直线垂直的证明，注意空间垂直间的相互转化，以及直线与平面平行性质定理的应用，意在考查直观想象、逻辑分析能力，属于中档题. 24．（1）1a =±;（2）(1,2)Q ;350x y +-=. 【解析】【分析】（1）由平行可知系数的关系为21a =，进而可求a 的值；（2）整理直线1l 方程可知()120a x y -+-=，由1020x y -=⎧⎨-=⎩可求得定点坐标. 由分析知，当当(5,0)P -在直线上的射影为(1,2)Q 时，点P 到直线1l 距离最大，由1PQ l ⊥可求出1l 的斜率，结合已知的1l 的方程，可求出此时a 的值，进而可求出直线1l 的方程. 【详解】解：（1）12//l l Q ，21a ∴=，解得1a =±检验：当1a =时12:30:20l x y l x y +-=++=，符合12//l l 当1a =-时12:10:20l x y l x y -+=-+=，符合12//l l 综上：1a =±.（2）解：1:20l ax y a +--=Q 整理可得()120a x y -+-= ，由1020x y -=⎧⎨-=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，所以定点(1,2)Q .则当(5,0)P -在直线上的射影为(1,2)Q 时，距离最大. 此时1PQ l ⊥ ，直线PQ 的斜率为201153PQ k -==+，则1l 的斜率113PQk k =-=- ，即3a -=-，解得3a =，此时直线1l 的方程为350x y +-=. 【点睛】本题考查了两点斜率的求解，考查了直线平行、垂直.本题的难点是分析何时点P 到直线1l 的距离最大.易错点是做第一问时，求出1a =± 后未检验.对于已知直线平行，根据系数关系求出参数值后，应带回直线方程进行验证. 25．（1）320x y ++=；（2）320x y -+= 【解析】分析：（1）先由AD 与AB 垂直，求得AD 的斜率，再由点斜式求得其直线方程；（2）根据矩形特点可以设DC 的直线方程为()306x y m m -+=≠-，然后由点到直线的距离得出2210510m +=，就可以求出m 的值，即可求出结果. 详解：(1)由题意：ABCD 为矩形，则AB⊥AD，又AB 边所在的直线方程为：x －3y －6＝0，所以AD 所在直线的斜率k AD ＝－3，而点T(－1，1)在直线AD 上．所以AD 边所在直线的方程为：3x ＋y ＋2＝0. (2)方法一：由ABCD 为矩形可得，AB∥DC，所以设直线CD 的方程为x －3y ＋m ＝0. 由矩形性质可知点M 到AB 、CD 的距离相等所以＝,解得m ＝2或m ＝－6(舍)．所以DC 边所在的直线方程为x －3y ＋2＝0.方法二：方程x －3y －6＝0与方程3x ＋y ＋2＝0联立得A （0，-2），关于M 的对称点C（4，2）因AB ∥DC ，所以DC 边所在的直线方程为x －3y ＋2＝0.点睛：本题主要考查直线方程的求法，在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．26．（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）连接AC 交BE 于点O ，连接OG ，先证明四边形ABCE 为平行四边形，再通过证明//OG DC ，即可得到//DC 平面GBE ；（2）通过证明AC ⊥平面DFH ，即可得到DF AC ⊥.【详解】（1）连接AC 交BE 于点O ，连接OG .因为//AB CD ，12AB AD BC CD a ====， E 为CD 中点所以AB CE =，即四边形ABCE 为平行四边形所以O 为AC 的中点因为G 分别为AD 的中点，所以//OG DC ，又因为OG ⊂平面GBE ，DC ⊄平面GBE ，所以//DC 平面GBE ；（2）取AE 中点H ，连接,DH FH .因为,F H 分别为,AB AE 中点，所以//FH BE ，易知，四边形ABCE 为菱形，所以AC BE ⊥，所以AC FH ⊥，又因为DA DE =，H 为AE 中点，所以DH AE ⊥，又平面DAE ⊥平面ABCE ，所以DH ⊥平面ABCE ，所以DH AC ⊥，又因为DH FH H ⋂=，所以AC ⊥平面DFH ，则DF AC ⊥.【点睛】本题主要考查线面平行和线线垂直的判定，考查学生的空间想象能力和推理证明能力，体现了数形结合的数学思想.。

2021年上海市杨浦区高考数学一模试卷(含详细解析)

2021年上海市杨浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1．（4分）设全集U R =，(,2)A =-∞，则_{}U A = ． 2．（4分）设复数12z i =-，(i 是虚数单位），则||z = ． 3．（4分）若关于x，y 的方程组\\{\{}{}24\\38\{}\.left begin array l x y x ay end array right +=-=无解，则实数a = ．4．（4分）已知球的半径为2，则它的体积为．5．（4分）若直线_{1}:210l x my ++=与_{2}:31l y x =-互相垂直，则实数m = ． 6．（4分）已知5sin α=-，(2πα∈-，)2π，则sin()2πα+= ． 7．（5分）已知2()n x x+的二项展开式中，所有二项式系数的和为256，则展开式中的常数项为（结果用数值表示）．8．（5分）()f x 是偶函数，当0x 时，()21x f x =-，则不等式()1f x >的解集为． 9．（5分）方程{2}1log_{2}log_{2}(3)x x +=-的解为．10．（5分）平面直角坐标系中，满足到1(1,0)F -的距离比到2(1,0)F 的距离大1的点的轨迹为曲线T ，点(,)n n P n y （其中0n y >，*)n N ∈是曲线T 上的点，原点O 到直线2n P F 的距离为n d ，则lim n n d →∞= ．11．（5分）如图所示矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，分别将边BC 与DC 等分成8份，并将等分点自下而上依次记作1E ，2E ，⋯，7E ，自左到右依次记作1F ，2F ，⋯，7F ，满足2i j AE AF ，（其中i ，*j N ∈，1i ，7)j 的有序数对(,)i j 共有对．12．（5分）已知函数()y f x =在定义域R 上是单调函数，值域为(,0)-∞，满足(1)\{1}{3}f frac -=-，且对于任意x ，y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=-．()y f x =的反函数为{1}()y f x -=，若将()y f x =（其中常数0)>的反函数的图象向上平移1个单位，将得到函数{1}()y f x -=的图象，则实数的值为．二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）设0a b >>，0c ≠，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．11a b> B ．22ac bc > C ．ac bc > D ．c c a b< 14．（5分）下列函数中，值域为(0,)+∞的是( ) A ．2y x =B ．2y x=C ．2x y =D ．2|log |y x =15．（5分）从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为( ) A ．4812C -B ．488C -C ．486C -D ．484C -16．（5分）设集合{|x A y y a ==，0}x >（其中常数0a >，1)a ≠，{|k B y y x ==，}x A ∈（其中常数)k Q ∈，则“0k <”是“A B =∅”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，12CA CB CC ===．点D ，1D 分别是棱AC ，11A C 的中点．（1）求证：D ，B ，1B ，1D 四点共面；（2）求直线1BC 与平面11DBB D 所成角的大小．18．（14分）设常数k R ∈，2()cos 3sin cos f x k x x x =+，x R ∈．（1）若()f x 是奇函数，求实数k 的值；（2）设1k =，ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若f （A ）1=，7a =，3b =，求ABC ∆的面积S ．19．（14分）某校运会上无人机飞行表演，在水平距离[10x ∈，24]（单位：米）内的飞行轨迹如图所示，y 表示飞行高度（单位：米）．其中当[10x ∈，20]时，轨迹为开口向上的抛物线的一段（端点为M 、)Q ，当[20x ∈，24]时，轨迹为线段QN ，经测量，起点(10,24)M ，终点(24,24)N ，最低点(14,8)P ．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）在(0,24)A 处有摄像机跟踪拍摄，为确保始终拍到无人机，求拍摄视角θ的最小值．（精确到0.1)︒20．（16分）设_{1}A ，_{2}A 分别是椭圆22{2}:\{}{}1(1)frac x a y a Γ+=>的左、右顶点，点B 为椭圆的上顶点．（1）若\{{_1}}\{{_2}}4overrightarrow A B overrightarrow A B ⋅=-，求椭圆Γ的方程；（2）设\{2}a sqrt =，_{2}F 是椭圆的右焦点，点Q 是椭圆第二象限部分上一点，若线段_{2}F Q 的中点M 在y 轴上，求△_{2}F BQ 的面积．（3）设3a =，点P 是直线6x =上的动点，点C 和D 是椭圆上异于左、右顶点的两点，且C ，D 分别在直线_{1}PA 和_{2}PA 上，求证：直线CD 恒过一定点．21．（18分）设数列{}n a 与{}n b 满足：{}n a 的各项均为正数，cos n n b a =，*n N ∈．（1）设234a π=，33a π=，若{}n b 是无穷等比数列，求数列{}n b 的通项公式；（2）设102a π<．求证：不存在递减的数列{}n a ，使得{}n b 是无穷等比数列；（3）当121n m +时，{}n b 为公差不为0的等差数列且其前21m +项的和为0；若对任意满足条件06(121)n a n m π<+的数列{}n a ，其前21m +项的和21m S +均不超过100π，求正整数m 的最大值．2021年上海市杨浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1．（4分）设全集U R =，(,2)A =-∞，则_{}U A = [2，)+∞ ．【解答】解：全集U R =，(,2)A =-∞， _{}[2U A ∴=，)+∞．故答案为：[2，)+∞．2．（4分）设复数12z i =-，(i 是虚数单位），则||z【解答】解：因为复数12z i =-，所以||z =． 3．（4分）若关于x，y 的方程组\\{\{}{}24\\38\{}\.left begin array l x y x ay end array right +=-=无解，则实数a = \{3}{2}frac - ．【解答】解：若关于x ，y 的方程组\\{\{}{}24\\38\{}\.left begin array l x y x ay end array right +=-=无解，则直线240x y +-= 和直线380x ay --=平行，故有\{3}{2}\{}{1}\{8}{4}frac frac a frac =-≠--，求得\{3}{2}a frac =-，故答案为：\{3}{2}frac -．4．（4分）已知球的半径为2，则它的体积为 323π．【解答】解：球的半径为2R =，∴球的体积为343233V R ππ==．故答案为：323π． 5．（4分）若直线_{1}:210l x my ++=与_{2}:31l y x =-互相垂直，则实数m = 6 ．【解答】解：直线_{1}:210l x my ++=与_{2}:31l y x =-互相垂直， 23(1)0m ∴⨯+⨯-=，求得实数6m =，故答案为：6．6．（4分）已知sin α=，(2πα∈-，)2π，则sin()2πα+= ．【解答】解：因为sin 0α=<，(2πα∈-，)2π，所以(2πα∈-，0)，cos α=，则sin()cos 2παα+==．． 7．（5分）已知2()n x x+的二项展开式中，所有二项式系数的和为256，则展开式中的常数项为 1120 （结果用数值表示）．【解答】解：已知2()n x x+的二项展开式中，所有二项式系数的和为2256n =，8n ∴=．则展开式中的通项公式为82182r r r r T C x -+=，令820r -=，求得4r =，可得展开式的常数项为44821120C =，故答案为：1120．8．（5分）()f x 是偶函数，当0x 时，()21x f x =-，则不等式()1f x >的解集为 (-∞，1)(1-⋃，)+∞ ．【解答】解：根据题意，当0x 时，()21x f x =-，此时，若()1f x >，即211x ->，解可得1x >，此时()1f x >的解集(1,)+∞，又由()f x 是偶函数，则当0x <时，()1f x >的解集(,1)-∞-，综合可得：不等式()1f x >的解集为(-∞，1)(1-⋃，)+∞．故答案为：(-∞，1)(1-⋃，)+∞．9．（5分）方程{2}1log_{2}log_{2}(3)x x +=-的解为 3x = ．【解答】解：{2}1log_{2}log_{2}(3)x x +=-，{2}log_{2}(2)log_{2}(3)x x ∴=-，故{2}23x x =-，故{2}{2}\\{\{}{}{{}30}\\{0}\\{{}230}\{}\.left begin array l x x x x end array right ->>--=，解得：3x =，故答案为：3x =．10．（5分）平面直角坐标系中，满足到1(1,0)F -的距离比到2(1,0)F 的距离大1的点的轨迹为曲线T ，点(,)n n P n y （其中0n y >，*)n N ∈是曲线T 上的点，原点O 到直线2n P F 的距离为n d ，则lim n n d →∞=3．【解答】解：设曲线T 上的点为P ，由题意，12||||1PF PF -=，则曲线T 为双曲线，焦点坐标为1(1,0)F -，2(1,0)F ， 21a =，12a =，1c =，∴22213144b c a =-=-=， ∴双曲线方程为224413x y -=．渐近线方程为3y x =±，而点(,)n n P n y （其中0n y >，*)n N ∈是曲线T 上的点，当n →+∞时，直线2n P F 的斜率趋近于3，即23n P F k =．则2:3(1)n P F y x =-，即330x y --=．∴22|3|3lim (3)(1)n n d →∞-==+-．故答案为：3． 11．（5分）如图所示矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，分别将边BC 与DC 等分成8份，并将等分点自下而上依次记作1E ，2E ，⋯，7E ，自左到右依次记作1F ，2F ，⋯，7F ，满足2i j AE AF ，（其中i ，*j N ∈，1i ，7)j 的有序数对(,)i j 共有 18 对．【解答】解：根据题意，矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，则8i i iAE AB BE AB AD =+=+，8j j jAF AD DF AD AB =+=+，则()()8882i j i j i jAE AF AB AD AD AB =++=+，若2i j AE AF ，则282i j+，变形可得416i j +，又由i ，*j N ∈，1i ，7j ，当1i =时，j 可取的值为1、2、3，共3个；当2i =时，j 可取的值为1、2、3，共3个；当3i =时，j 可取的值为1、2、3，共3个；当4i =时，j 可取的值为1、2、3，共3个；当5i =时，j 可取的值为1、2，共2个；当6i =时，j 可取的值为1、2，共2个；当7i =时，j 可取的值为1、2，共2个；则符合条件的有序数对(,)i j 共有342318⨯+⨯=对，故答案为：18．12．（5分）已知函数()y f x =在定义域R 上是单调函数，值域为(,0)-∞，满足(1)\{1}{3}f frac -=-，且对于任意x ，y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=-．()y f x =的反函数为{1}()y f x -=，若将()y f x =（其中常数0)>的反函数的图象向上平移1个单位，将得到函数{1}()y f x -=的图象，则实数的值为 3 ．【解答】解：由题意，设{}()x f x y a ==-，根据(1)\{1}{3}f frac -=-，解得3a =，{}()3x f x y ∴==-，那么log_{3}()x y =-，(0)y <，x 与y 互换，可得{1}()log_{3}()f x x -=-，(0)x <，则{}()3x y f x ==-⋅，那么{}_{3}(\{}{})x lo g frac y =-，x 与y 互换，可得{}_{3}(\{}{})y lo g frac x =-，向上平移1个单位，可得{}_{3}(\{}{})1y lo g frac x =-+，即log_{3}(){}_{3}(\{3}{})x lo g frac x -=-，故得3=，故答案为：3．二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）设0a b >>，0c ≠，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．11a b> B ．22ac bc > C ．ac bc > D ．c c a b< 【解答】解：因为0a b >>，所以11a b<，故A 错误；因为0a b >>，0c ≠，则20c >，所以22ac bc >，故B 正确；若0a b >>，0c <，则ac bc <，故C 错误；若0a b >>，0c <，则11a b <，c ca b>，故D 错误．故选：B ．14．（5分）下列函数中，值域为(0,)+∞的是( ) A ．2y x =B ．2y x=C ．2x y =D ．2|log |y x =【解答】解：函数2y x =的值域为[0，)+∞，故排除A ；∴函数2y x=的值域为{|0}y y ≠，故排除B ；函数2x y =的值域为(0,)+∞，故C 满足条件；函数2|log |y x =的值域为[0，)+∞，故排除D ，故选：C ．15．（5分）从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为( ) A ．4812C -B ．488C -C ．486C -D ．484C -【解答】解：根据题意，从正方体的8个顶点中选取4个，有48C 种取法，正方体的8个顶点中，4个顶点共面的情况有12种，6个表面，6个对角面，则可得到四面体的个数为4812C -，故选：A ．16．（5分）设集合{|x A y y a ==，0}x >（其中常数0a >，1)a ≠，{|k B y y x ==，}x A ∈（其中常数)k Q ∈，则“0k <”是“A B =∅”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件【解答】解：当1a >时，集合(1,)A =+∞，若0k <，则{|k B y y x ==，}(0,1)x A ∈=，此时AB =∅；当01a <<，集合(0,1)A =，若0k <，则{|k B y y x ==，}(1,)x A ∈=+∞，此时A B =∅，故“0k <”是“AB =∅”的充分条件，当1a >时，集合(1,)A =+∞，若A B =∅，{|k B y y x ==，}x A ∈，可得0k ；当01a <<，集合(0,1)A =，若A B =∅，{|k B y y x ==，}x A ∈，可得0k ，所以“0k <”不是“A B =∅”的必要条件，所以“0k <”是“A B =∅”的充分非必要条件．故选：A ．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，12CA CB CC ===．点D ，1D 分别是棱AC ，11A C 的中点．（1）求证：D ，B ，1B ，1D 四点共面；（2）求直线1BC 与平面11DBB D 所成角的大小．【解答】解：（1）证明：点D ，1D 分别是棱AC ，11A C 的中点，11//DD CC ∴， 11//CC BB ，11//DD BB ∴，D ∴、B 、1B 、1D 四点共面．（2）作111C F B D ⊥，垂足为F ， 1BB ⊥平面111A B C ，1C F ⊂平面111A B C ，∴直线1BB ⊥直线1C F ，1C F ⊥直线11B D 且1BB 与11B D 相交于1B ，∴直线1C F ⊥平面11DBB D ，1C BF ∴∠即为直线1BC 与平面11DBB D 所成的角．在直角△1C BF 中，122BC =，125C F =，110sin C BF ∠=，直线1BC 与平面11DBB D 所成的角为10arcsin．18．（14分）设常数k R ∈，2()cos 3cos f x k x x x =+，x R ∈．（1）若()f x 是奇函数，求实数k 的值；（2）设1k =，ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若f （A ）1=，7a =3b =，求ABC ∆的面积S ．【解答】解：（1）由题意知，(0)0f k ==，下面对0k =进行检验：若0k =，则()3cos f x x x =，对任意x R ∈都有()3)cos()3cos ()f x x x x x f x -=--==-， ()f x ∴是奇函数，0k ∴=．（2）2()cos 3cos 1f A A A A =+=，∴1cos23212A A +=，整理，得1sin(2)62A π+=， 2266A k πππ∴+=+或526k ππ+，k Z ∈， A k π∴=或3k ππ+，k Z ∈，(0,)A π∈，∴3A π=，由余弦定理知，222cos 2b c a A bc +-=，即219726c c+-=，整理，得2320c c -+=，解得1c =或2c =，∴133sin 2S bc A ==或33． 19．（14分）某校运会上无人机飞行表演，在水平距离[10x ∈，24]（单位：米）内的飞行轨迹如图所示，y 表示飞行高度（单位：米）．其中当[10x ∈，20]时，轨迹为开口向上的抛物线的一段（端点为M 、)Q ，当[20x ∈，24]时，轨迹为线段QN ，经测量，起点(10,24)M ，终点(24,24)N ，最低点(14,8)P ．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）在(0,24)A 处有摄像机跟踪拍摄，为确保始终拍到无人机，求拍摄视角θ的最小值．（精确到0.1)︒【解答】解：（1）[10x ∈，20]时，设：2(14)8y a x =-+， (10,24)M 代入得1a =，2(14)8y x ∴=-+， [20x ∈，24]时， (20,44)Q 、(24,24)N ， 5144y x ∴=-+，∴2(14)8[10,20]5144(20,24]x x y x x ⎧-+∈=⎨-+∈⎩．（2）如图，设仰角为α，俯角为β， (20,44)Q ，(0,24)A ，∴仰角α最小为45︒， 24tan yxβ-=，224(28204)x x x --+=18028()28125x x=-+-，[10x ∈，20]∴俯角β最小为arctan(12528)49.4-+≈︒，θ∴最小为94.4︒．20．（16分）设_{1}A ，_{2}A 分别是椭圆22{2}:\{}{}1(1)frac x a y a Γ+=>的左、右顶点，点B 为椭圆的上顶点．（1）若\{{_1}}\{{_2}}4overrightarrow A B overrightarrow A B ⋅=-，求椭圆Γ的方程；（2）设\{2}a sqrt =，_{2}F 是椭圆的右焦点，点Q 是椭圆第二象限部分上一点，若线段_{2}F Q 的中点M 在y 轴上，求△_{2}F BQ 的面积．（3）设3a =，点P 是直线6x =上的动点，点C 和D 是椭圆上异于左、右顶点的两点，且C ，D 分别在直线_{1}PA 和_{2}PA 上，求证：直线CD 恒过一定点．【解答】解：（1）_{1}(,0)A a -，_{2}(,0)A a ，(0,1)B ， \{{_1}}(,\;1)overrightarrow A B a =，\{{_2}}(,\;1)overrightarrow A B a =-，2\{{_1}}\{{_2}}{}14overrightarrow A B overrightarrow A B a ⋅=-+=-，解得{2}5a =，即椭圆Γ的方程为22\{}{5}{}1frac x y +=；（2）椭圆的方程为22\{}{2}{}1frac x y +=，则_{2}(1,0)F ，设(_{}Q x Q ，_{})y Q ，由线段_{2}F Q 的中点在y 轴上，得_{}1x Q =-，代入椭圆方程，得{_}\{\{2}}{2}y Q frac sqrt =，即({1,\;\{\{2}}{2}})Q frac sqrt -，{_{\{_2}}}{_{\{_2}}}{_{\}}\{1}{2}({1\{\{2}}{4}})21\{\{2}}{4}S triangle F BQ S triangleB F M S DeltaBQM frac frac sqrt frac sqrt =+=-⋅=-；（3）证明：由题意_{1}(3,0)A -，_{2}(3,0)A ，设点P 的坐标为(6,)m ，直线_{1}:\{}{9}(3)PA y frac m x =+，与椭圆方程{2}{2}\{\;{}}{9}{}1frac x y +=联立消去y ，得{2}{2}{2}{2}(9)69810m x m x m +++-=，由韦达定理，得22{_}\{3{}27}{9{}}x C frac m m =-++，即222({\{3{}27}{9{}},\;\{6}{9{}}})C frac m m frac m m -+++，同理222({\{3{}3}{1{}},\;\{2}{1{}}})D frac m m frac m m -+-+，当_{}_{}x C x D =，即2222\{273{}}{9{}}\{3{}3}{{}1}frac m m frac m m -+=-+，即{2}3m =时，直线CD 的方程为\{3}{2}x frac =，当_{}_{}x C x D ≠时，直线2222:\{2}{1{}}\{4}{3(3{})}({\{3{}3}{1{}}})CD y frac m m frac m m x frac m m --+=---+，化简得2\{4}{3(3{})}({\{3}{2}})y frac m m x frac =--，恒过点({\{3}{2},\;0})frac ，综上所述，直线CD 恒过点({\{3}{2},\;0})frac ．21．（18分）设数列{}n a 与{}n b 满足：{}n a 的各项均为正数，cos n n b a =，*n N ∈．（1）设234a π=，33a π=，若{}n b 是无穷等比数列，求数列{}n b 的通项公式；（2）设102a π<．求证：不存在递减的数列{}n a ，使得{}n b 是无穷等比数列；（3）当121n m +时，{}n b 为公差不为0的等差数列且其前21m +项的和为0；若对任意满足条件06(121)n a n m π<+的数列{}n a ，其前21m +项的和21m S +均不超过100π，求正整数m 的最大值．【解答】（1）解：由234a π=，33a π=，可得23cos4b π==，31cos 32b π==，公比为q =，由2213b b b =解得11b =，数列{}n b的通项公式为1(n n b -=．（2）证明：设存在递减的数列{}n a ，使得{}n b 是无穷等比数列，则2102a a π<<<，此时21cos cos 0a a >>，公比21cos 1cos a q a =>，11cos cos ()n n a a q -=，考虑不等式11cos 1n a q ->，当11log (cos )q n a >-时，即11[1log (cos )]q n a +-时，有cos 1n a >（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），这与()cos f x x =的值域为[1-，1]矛盾，所以假设不成立，得证；（3）解：121()(21)02m b b m +++=，可得1210m b b ++=，由等差数列性质*221210(11,)i m i m b b b b i m i N +-++=+=+∈，即22cos cos 0i m i a a +-+=，特别地，10m b +=，现考虑21m S +的最大值．为使21m S +取最大值，应有[5n a π∈，6]π，否则在21m S +中将n a 替换为n a '，且cos cos n n a a ='，[5n a π'∈，6]π，将得到一个更大的21m S +，由22cos cos 0i m i a a +-+=可知22112112i m i a a ππ+-+==，特别地，1112m a π+=；于是2111(21)11()(11)10022m max m S m ππππ++=+=，解得18922m，所以m 的最大值为8．。

2020学年上海市杨浦区新高考高一数学下学期期末达标检测试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()()2lg 311f x x x=++-的定义域是（） A ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭2．在天气预报中，有“降水概率预报”，例如预报“明天降水的概率为”，这是指（）A ．明天该地区有的地方降水，有的地方不降水B ．明天该地区降水的可能性为C ．气象台的专家中有的人认为会降水，另外有的专家认为不降水D ．明天该地区有的时间降水，其他时间不降水3．点(1,2)P -到直线kx y k 0--=（k ∈R ）的距离的最大值为 A ．22B 2C ．2D ．324．函数2sin cos y x x =+，当x ϕ=时函数取得最大值，则cos ϕ=（）A 5B 25C ．23D ．135．若实数x ，y 满足约束条件0{2020y x y x y ≥-+≥+-≥，则2z x y =-的取值范围是（）A ．[]44，- B ．[]24-，C ．[)4-+∞，D ．[)2，-+∞ 6．若a b >，则下列不等式成立的是( ) A ．11a b> B ．11a b< C ．33a b > D ．22a b >7．连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上与反面向上各一次的概率是（） A ．14B ．13C ．12D ．238．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为（） A ．22B 3C 32D 319．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2离心率为3过F 2的直线l 交C 与A,B 两点，若△AF 1B 的周长为C 的方程为( )A ．22132x y +=B ．2213x y +=C ．221128x y +=D ．221124x y +=10．已知cos 4θ=，且,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．7-B ．7C ．17-D ．1711．棱柱的侧面一定是（） A ．平行四边形B ．矩形C ．正方形D ．菱形12．已知()3sin 5αβ-=，()3cos 5αβ+=-，且,2παβπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，,2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则cos 2β的值为（） A ．2425B ．1C ．45-D ．1-二、填空题：本题共4小题13．已知2(log )270f x x =+，那么(0)(1)(6)f f f +++=__________．14．用数学归纳法证明“()*1111,12321nn n N n ++++<∈>-”时，由(1)n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，则不等式左边增加的项数共__项15．在△ABC 中，点M ，N 满足2,AM MC BN NC ==，若MN x AB y AC =+，则x ＝________，y ＝________.16．已知向量(2,2),(8,6)a b ==-，则cos ,a b =___________. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2020届上海市杨浦区高三第一次模拟(期末)数学试题(解析版)

2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题一、单选题1．已知,a b 为非零实数，且a b >，则下列不等式成立的是（） A ．22a b > B ．11a b< C ．||||a b >D ．22a b >【答案】D【解析】由不等式的相关性质，对四个选项逐一判断，由于,a b 为非零实数，故可利用特例进行讨论得出正确选项. 【详解】A 选项不正确，当1,2a b ==-时，不等式就不成立；B 选项不正确，因为1,2a b ==-时，不等式就不成立；C 选项不正确，因为1,2a b ==-时，不等式就不成立；D 选项正确，因为2x y =是一个增函数，故当a b >时一定有22a b >，故选D. 【点睛】该题考查的是有关不等式的性质的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点是对于不正确的结论只要举出一个反例即可，再者要熟练掌握不等式的性质. 2．要得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,只要将2sin 2y x =的图象( ) A ．向左平移6π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3π个单位【答案】A【解析】利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,即可求得答案. 【详解】Q 将函数22y sin x =的图象向左平移6π个单位长度,可得函数2sin 22sin 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象∴将2sin 2y x =的图象向左平移6π个单位长度,即可得到2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选:A. 【点睛】本题考查三角函数图象变换,解题关键是掌握三角函数变换的基础知识,考查了分析能力,属于基础题.3．设12,z z 为复数,则下列命题中一定成立的是( ) A ．如果120z z ->,那么12z z >B ．如果12=z z ,那么12=±z zC ．如果121z z >,那么12z z > D ．如果22120z z +=,那么12 0z z == 【答案】C【解析】根据复数定义,逐项判断,即可求得答案. 【详解】对于A,取13z i =+,21z i =+时,120z z ->,即31i i +>+,但虚数不能比较大小, ,故A 错误;对于B,由12=z z ,可得2222+=+a b c d ,不能得到12=±z z ,故B 错误;对于C,因为121z z >,所以12z z >,故C 正确; 对于D,取11z =,2z i =,满足22120z z +=,但是12 0z z ≠≠,故D 错误. 故选:C. 【点睛】本题解题关键是掌握复数定义,在判断时可采用特殊值法检验,考查了分析能力,属于基础题.4．对于全集U 的子集A 定义函数()()()1A U x A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩ð为A 的特征函数,设,AB 为全集U 的子集,下列结论中错误的是( ) A ．若,A B ⊆则()()A B f x f x ≤ B ．()()1R A A f x f x =-ð C ．()()()A B A B f x f x f x =⋅I D ．()()()A B A B f x f x f x =+U【答案】D【解析】根据()()()1A U x A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩ð,逐项分析,即可求得答案.【详解】Q ()()()1A U x A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩ð对于A,Q A B ⊆, 分类讨论：①当x A ∈,则,x B ∈此时()()1A B f x f x ==②当x A ∉且x B ∉,即U x B ∈ð,此时()()0A B f x f x ==， ③当x A ∉且x B ∈,即()U x A B ∈⋂ð时,()0,()1A B f x f x ==,此时()()A B f x f x ≤ 综合所述,有()()A B f x f x ≤,故A 正确;对于B ,1,()1()0,A UU A x Af x f x x A∈⎧==-⎨∈⎩ðð ,故(2)正确；对于C ,1,()0,()A B U x A Bf x x C A B ⋂∈⋂⎧=⎨∈⋂⎩ ()1,0,U U x A Bx C A C B ∈⋂⎧=⎨∈⋃⎩1,1,0,0,U U x A x B x C A x C B ⎧∈∈⎧⎪=⋅⎨⎨∈∈⎪⎩⎩()()A B f x f x =⋅,故C 正确;对于D ,0,()()()1,()A B A B U x A Bf x f x f x x C A B ⋃∈⋃⎧=≠+⎨∈⋃⎩,故D 错误. 故选:D. 【点睛】本题主要考查了函数新定义和集合运算,解题关键是充分理解新定义和掌握函数,集合基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于难题.二、填空题 5．函数()12f x x -=的定义域为_______.【答案】(0,)+∞【解析】将函数()12f x x -=化简为()f x =,即可求得答案.【详解】Q ()12f x x -=化简可得:()f x=, ∴定义域为0x >.故答案为:(0,)+∞. 【点睛】本题主要考查了求函数的定义域,解题关键是掌握常见函数定义域的求法,考查了计算能力,属于基础题.6．关于x 、y 的方程组2130x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为________【答案】211130-⎛⎫⎪⎝⎭【解析】直接利用方程组的应用和矩阵的应用求出结果．【详解】解：∵方程组2130x y x y -=⎧⎨+=⎩，∴它的增广矩阵为211130-⎛⎫⎪⎝⎭，故答案为：211130-⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的增广矩阵，属于基础题． 7．己知函数()f x 的反函数()12log f x x -=,则()1f -=_______【答案】12【解析】因为()12log f x x -=,可得()2x f x =,即可求得答案.【详解】Q ()12log f x x -=∴()2x f x =可得()11122f --==故答案为:12. 【点睛】本题主要考查了求函数值,解题关键是掌握反函数的定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.8．设()2,21a R a a a i ∈--++为纯虚数(i 为虚数单位),则a =________.【答案】2【解析】根据纯虚数定义,即可求得答案. 【详解】Q ()221a a a i --++,为纯虚数即实部为0,虚部不为0∴22010a a a ⎧--=⎨+≠⎩解得:2a = 故答案为:2. 【点睛】本题主要考查了根据复数类型求参数,解题关键是掌握纯虚数定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.9．己知圆锥的底面半径为1cm ，侧面积为22cm π，则母线与底面所成角的大小为_____. 【答案】3π【解析】由圆锥的底面半径为1cm 和侧面积22cm π,求出圆锥的母线长,即可求得答案. 【详解】设底面半径为r ,母线SA 长为l ,底面中心为O , 如图:Q 12S rl l πππ==⋅⋅=圆锥侧面积解得:2l =在SOA Rt ∆中,1cos 2OA SAO SA ∠== ∴3SAO π∠=故母线与底面所成角的大小为:3π. 故答案为:3π. 【点睛】本题主要考查了求母线和底面夹角,解题关键是掌握圆锥的特征,考查了空间想象能力和计算能力,属于基础题.10．已知7(1)ax +的展开式中，含3x 项的系数等于280，则实数a =________. 【答案】2【解析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于3，求得r 的值，即可求得展开式中的含x 3项的系数，再根据含x 3项的系数等于280，求得实数a 的值．【详解】解：∵（1+ax ）７的展开式为 T r +1rC =７•（ax ）r ，令r ＝3，可得含x 3项的系数等于a 3•3C =７280，解得 a ＝2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．11．椭圆22194x y +=的焦点为12,F F P ，为椭圆上一点,若15PF =,则12cos F PF ∠=_________.【答案】35【解析】根据椭圆定义可得:122PF PF a +=, 122F F c ==在三角形12F PF ∆中由余弦定理,即可求得答案. 【详解】Q 椭圆22194x y +=可得:3a =,2b =,c =.根据椭圆定义可得:1226PF PF a +==, 122F F c ==可得252PF a +=解得:225651PF a =-=-=. 在三角形12F PF ∆中由余弦定理:2221212112251203cos 22515PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===⋅⨯⨯,故答案为:35. 【点睛】本题主要考查了由余弦定理解三角形,解题关键是掌握椭圆基础知识和余弦定理,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.12．己知数列{}n a 的通项公式为()()()12132n n n n a n N n *-⎧≤⎪=∈⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，nS是数列{}n a 的前n 项和，则lim n n S →+∞=________. 【答案】72【解析】因为{}n a 的通项公式为()()()12132n n n n a n N n *-⎧≤⎪=∈⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩,可得()()1231234lim lim lim n n n n n n S a a a a a a a a a →+∞→+∞→+∞=+++=+++++L L ,即可求得答案.【详解】Q {}n a 的通项公式为()()()12132n n n n a n N n *-⎧≤⎪=∈⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩∴()123lim lim n n n n S a a a a →+∞→+∞=+++L . ()1234lim n n a a a a a →+∞=+++++L21273lim3=112112211144n n -→+∞⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎪⎝⎭=+=+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7lim 2n n S →+∞=∴ 故答案为:72. 【点睛】本题主要考查了数列极限运算,解题关键掌握数列极限的求法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.13．在直角坐标平面xOy 中，)2,0,,1( 0A B -）（，动点P 在圆22:2C x y +=上，则PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围为_______.【答案】[2+【解析】因为动点P 在圆22:2C x y +=上,故可设)([0,2])P θθθπ∈,求出PA u u u r 和PB u u u r,即可求得答案. 【详解】Q 动点P 在圆22:2C x y +=上∴令)([0,2])P θθθπ∈ Q )2,0,,1( 0A B -）（∴(2,)PA θθ=--u u u r ,(,1)PB θθ=-u u u r(2,)(,1)PA PB θθθθ⋅=-⋅-u u u r u u u r222cos 2sin θθθθ=++2)θϕ=++Q )[θϕ+∈∴2)[2θϕ++∈-+∴PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围:[2-+故答案为:[2+. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积取值范围,解题关键是掌握圆的参数方程和正弦函数两角和公式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 14．己知六个函数:①21y x =;②cos y x =;③12y x =;④arcsin y x =;⑤1lg 1x y x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭;⑥1y x =+,从中任选三个函数,则其中既有奇函数又有偶函数的选法共有_______种. 【答案】12【解析】逐项判断函数的奇偶性,根据计数原理,即可求得答案. 【详解】对于①,因为21y x=,定义域为()(),00,-∞⋃+∞且满足()()f x f x -=,故为偶函数; 对于②,因为cos y x =,定义域为R 且满足()()f x f x -=,故为偶函数; 对于③,因为12y x =,定义域为[)0,+∞,故非奇非偶函数;对于④,因为arcsin y x =,定义域为[]1,1-且满足()()f x f x -=-,故为奇函数; 对于⑤,因为1lg 1x y x +⎛⎫=⎪-⎝⎭,定义域为()1,1-且满足()()f x f x -=-,故为奇函数; 对于⑥,因为1y x =+,根据函数图象可知为非奇非偶函数.综上所述,函数中奇函数的有④⑤,偶函数的有①②,③⑥为非奇非偶函数. 任选3个函数,既有奇函数又有偶函数的情况分类讨论: 当选1奇和2偶时,21⨯种; 当选2奇和1偶时,12⨯种;当选1奇,1偶,1非奇非偶时,2228⨯⨯=种. ∴一共有12种选法. 故答案为:12. 【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性和计数原理,解题关键是掌握奇偶函数的判断方法和计数原理,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 15．己知函数()()110f x x x=->，若关于x 的方程()()2[]230f x mf x m +++=有三个不相等的实数解，则实数m 的取值范围为_________. 【答案】34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】因为()()110f x xx =->,即()11,0111,1x xf x x x ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩,画出函数图象,设(),f x t =()()2[]230f x mf x m +++=有三个不同实数解,故方程2230t mt m +++=有两个根,结合已知,即可求得答案.【详解】Q ()()110f x x x=-> ∴()11,0111,1x xf x x x ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩画出()f x 函数图象:设(),f x t =()()2[]230f x mf x m +++=Q 有三个不同实数解,∴方程2230t mt m +++=有两个根其中一个在区间()0,1上,一个根为0或在区间[1,)+∞上, 若方程2230t mt m +++=一个根为0,∴32m =-,另一根为32,不满足条件. 故方程2230t mt m +++=有两个根,其中一个在区间()0,1上,一个在区间[1,)+∞ 令2()23g t t mt m =+++ ①当(1)0g ≠时则(0)230(1)340g m g m =+>⎧⎨=+≤⎩解得:34,23m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭②当(1)0g =时即340m +=,故43m =-, 将43m =-代入2230t mt m +++= 可得:241033t t -⋅+=,解得:1222t t ==满足方程2230t mt m +++=两个根中,一个在区间()0,1上,一个在区间[1,)+∞ 综上所述,实数m 的取值范围为:34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦. 故答案为:34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查了根据零点个数求参数范围,解题关键是掌握函数零点的定义,数形结合,考查了分析能力和计算能力,属于难题.16．向量集合(){},,,S a a x y x y R ==∈v v,对于任意,S αβ∈,以及任意()0,1λ∈,都有()1S λαλβ+-∈,则称S 为“C 类集”,现有四个命题:①若S 为“C 类集”,则集合{},M a a S R μμ=∈∈v v也是“C 类集”;②若S ,T 都是“C 类集”,则集合{},M a b a S b T =+∈∈v v v v也是“C 类集”;③若12,A A 都是“C 类集”,则12A A ⋃也是“C 类集”;④若12,A A 都是“C 类集”,且交集非空,则12A A ⋂也是“C 类集”. 其中正确的命题有________(填所有正确命题的序号) 【答案】①②④【解析】因为集合(){},,,S a a x y x y R ==∈v v,对于任意,S αβ∈,且任意()0,1λ∈,都有()1S λαλβ+-∈,可以把这个“C 类集”理解成,任意两个S 中的向量所表示的点的连线段上所表示的点都在S 上,因此可以理解它的图象成直线,逐项判断,即可求得答案.【详解】Q 集合(){},,,S a a x y x y R ==∈v v,对于任意,S αβ∈,且任意()0,1λ∈,都有()1S λαλβ+-∈∴可以把这个“C 类集”理解成,任意两个S 中的向量所表示的点的连线段上所表示的点都在S 上,因此可以理解它的图象成直线对于①,{},M a a S R μμ=∈∈v v,向量a r整体μ倍,还是表示的是直线,故①正确;对于②,因为S ,T 都是“C 类集”,故{},M a b a S b T =+∈∈v v v v还是表示的是直线,故②正确;对于③,因为12,A A 都是“C 类集”,可得12A A ⋃是表示两条直线,故③错误;对于④,12,A A 都是“C 类集”,且交集非空,可得12A A ⋂表示一个点或者两直线共线时还是一条直线.综上所述,正确的是①②④. 故答案为:①②④. 【点睛】本题考查了集合的新定义,解题关键是要充分理解新定义,结合向量和集合知识求解,考查了分析能力和计算能力,属于难题.三、解答题17．如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥底面ABCD ,1AB PA ==,3AD =, ,F F 分别为棱,PD PA 的中点.（1）求证:B 、C 、E 、F 四点共面；（2）求异面直线PB 与AE 所成的角. 【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】（1）因为在PAD ∆中,由E 、F 为PD 、PA 中点得:EF 为中位线,可得EF ∥AD ,结合底面为矩形,即可求得答案;（2）以A 为原点建立坐标系,其中AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴,求得PB u u u r和AEu u u r ,||cos ||||PB AE PB AE θ⋅=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r ,即可求得答案. 【详解】（1）Q 在PAD ∆中,由E 、F 为PD 、PA 中点得:EF 为中位线,∴EF ∥AD又Q 底面为矩形,AD ∥BC ,∴EF ∥BC∴由平行线确定唯一平面得E 、F 、B 、C 在同一平面上.（2）以A 为原点建立坐标系,其中AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴, 如图:可得(0,0,0)A ,(1,0,0)B ,(0,0,1)P ,310,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∴(1,0,1)=-u u u r PB ,310,,22AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ,故:||2cos 4|1|2||21PB AE PB AE θ⋅===⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r ∴异面直线PB 与AE 夹角:2arccos 4.【点睛】本题主要考查了求证四点共面和向量法求异面直线夹角,解题关键是掌握向量法求线线角的解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 18．己知函数()22xx af x =+其中a 为实常数. （1）若()07f =,解关于x 的方程()5f x =;（2）判断函数()f x 的奇偶性,并说明理由. 【答案】（1）1x =或2log 3（2）答案见解析【解析】（1）因为()22xx a f x =+,()07f =,可得6a =,故6()22xxf x =+,因为()5f x =,即6252x x +=,通过换元法,即可求得答案; （2）因为函数定义域为R ,分别讨论()f x 为奇函数和()f x 为偶函数,即可求得答案. 【详解】（1）Q ()22xxa f x =+, ∴()07f =,即17a +=解得:6a = 可得:6()22xxf x =+Q ()5f x =∴6252x x+= 令2x t =(0t >)∴65t t+=,即:2560t t -+= 解得:12t =或23t = 即:122x =,223x =∴11x =或22log 3x =.（2）函数定义域为R , ①当()f x 为奇函数时,Q 根据奇函数性质()()f x f x -=-可得2222xx x x a a --⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭恒成立即1(1)202xxa ⎛⎫+⋅+= ⎪⎝⎭恒成立,∴1a =-.②当()f x 为偶函数时,根据偶函数性质()()f x f x -= 可得2222xxx xa a --+=+恒成立即1(1)202x x a ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭恒成立,∴1a =.③当1a ≠±时,函数为非奇非偶函数. 【点睛】本题主要考查了解指数方程和根据奇偶性求参数,解题关键是掌握指数方程的解法和奇偶函数的定义,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.19．东西向的铁路上有两个道口A 、B ,铁路两侧的公路分布如图,C 位于A 的南偏西15︒,且位于B 的南偏东15︒方向,D 位于A 的正北方向,2AC AD km ==,C 处一辆救护车欲通过道口前往D 处的医院送病人,发现北偏东45︒方向的E 处(火车头位置)有一列火车自东向西驶来,若火车通过每个道口都需要1分钟,救护车和火车的速度均为60/km h .（1）判断救护车通过道口A 是否会受火车影响,并说明理由;（2）为了尽快将病人送到医院,救护车应选择A 、B 中的哪个道口？通过计算说明. 【答案】（1）救护车通过A 会受影响，详见解析（2）选择B 过道，详见解析【解析】（1）因为C 位于A 的南偏西15︒,E 在C 北偏东45︒方向上,在ACE∆中,2AC =,105,45,30E CA A E E C ︒︒︒∠=∠=∠=,根据正弦定理求得AE ,求得救护车到达A 处需要时间,结合已知,即可求得答案;（2）分别求出选择A 道口共需要花费时间和选择B 道口共需要花费时间,即可求得答案. 【详解】（1）Q C 位于A 的南偏西15︒,E 在C 北偏东45︒方向上∴在ACE ∆中,2AC =,105,45,30E CA A E E C ︒︒︒∠=∠=∠=正弦定理可得:sin sin AE ACACE E=∠∠122AE ∴=解得:AE =Q 救护车和火车的速度均为60/km h∴救护车到达A 处需要时间:/212min 6030km km h h ==,又Q 火车到达A 处需要时间:1.41min 60h =,火车影响A道口时间为1],Q 21]∈∴救护车通过A 会受影响.（2）若选择A 道口: 一共需要花费时间为:2160(3 4.41min 60A t =+⨯== 若选择B 道口:Q BE BC >通过B 道口不受火车影响,∴一共需要花费时间为:60B BC BDt h +=由余弦定理求AB 长:2222cos AB BC AC BC AC ACB =+-⋅∠AB ∴=∴BD ==∴60min 4.25min 60B ABC BD t h t +==⨯=<.∴选择B 过道.【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在实际中的应用,解题关键是灵活使用正弦定理和余弦定理,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.20．如图,在平面直角坐标系xOy 中,己知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,点A 是第一象限内抛物线C 上的一点,点D 的坐标为()(),00t t >（1）若5OA =求点A 的坐标;（2）若AFD ∆为等腰直角三角形,且90FAD ∠=o ,求点D 的坐标;（3）弦AB 经过点D ,过弦AB 上一点P 作直线 x t =-的垂线,垂足为点Q ,求证:“直线QA 与抛物线相切”的一个充要条件是“P 为弦AB 的中点”.【答案】（1）(1,2)A （2）(52,0)+（3）证明见解析【解析】（1）因为点A 是第一象限内抛物线C 上的一点,且5OA =设00(,)A x y ,则 020222004||5y x OA x y ⎧=⎨=+=⎩即可求得答案; （2）设(,)A x y ,由(1,0)F ,(,0)D t ,可得:(1,)AF x y =--u u u r ,(,)AD t x y =--u u u r,因为90FAD ︒∠=,可得AF AD ⊥u u u r u u u r,结合已知,即可求得答案;（3）因为AB l 过点(,0)D t ,设AB l 为:x my t =+,点()11,A x y ,点()22,B x y ,其AB 中点()00,P x y ,可得:221212,44y y x x ==,联立直线与抛物线得24x my t y x=+⎧⎨=⎩,结合已知条件,根据充要条件定义,即可求得答案. 【详解】（1）Q 点A 是第一象限内抛物线C 上的一点,且5OA =设00(,)A x y ,则 020222004||5y x OA x y ⎧=⎨=+=⎩解得:0012x y =⎧⎨=⎩,即(1,2)A .（2）设(,)A x y ,由(1,0)F ,(,0)D t可得:(1,)AF x y =--u u u r ,(,)AD t x y =--u u u rQ 90FAD ︒∠=∴AF AD ⊥u u u r u u u r2(1,)(,)(1)()0AF AD x y t x y x t x y ⋅=--⋅--=--+=u u u r u u u r——①又Q AFD ∆等腰,得A 点在x 轴投影为F 、D 中点,即:12tx +=. 将12t x +=,24y x =代入①得:15t =+250t =-<(舍去) ∴D点坐标为(5+.（3）Q AB l 过点(,0)D t设AB l 为:x my t =+,点()11,A x y ,点()22,B x y ,其AB 中点()00,P x y ,可得:221212,44y y x x ==联立直线与抛物线得24x my ty x=+⎧⎨=⎩,消掉x 可得:2440y my t --=根据韦达定理可得:12042y y m y +==∴02y m =设点A 处抛物线得切线为()11x x a y y -=-联立直线与抛物线得:()1124x x a y y y x⎧-=-⎨=⎩,消掉x 可得:()211440y ay ay x -+-=∴()211(4)440a ay x ∆=-⋅-=∴2102y a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,可得:12y a = ∴过A 处切线方程为()211142y y x x y y -⋅=⋅-化简得()112yy x x =+求切线()112yy x x =+与直线x t =-得交点Q 可得()1101122222Q my t tx t y m y y y +--==== ∴PQ x ⊥轴,AQ ∴与24y x =相切时,P 为AB 中点 Q 以上各步骤,均可逆∴“直线QA 与抛物线相切”的一个充要条件是“P 为弦AB 的中点”.【点睛】本题主要考查了直线和抛物线的位置关系问题,解题关键是掌握在求圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理进行求解,考查了分析能力和计算能力,属于难题.21．己知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ,若对于任意的正整数n ,均有2120,0n n S S -≥≤,则称数列{}n a 具有性质P .（1）判断首项为1,公比为2-的无穷等比数列{}n a 是否具有性质P ,并说明理由; （2）己知无穷数列{}n a 具有性质P ,且任意相邻四项之和都相等,求证:40S =;（3）己知()21n b n n N *=-∈,数列{}n c 是等差数列,()()12n n n b n a cn +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数,若无穷数列{}n a 具有性质P ,求2019c 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析（3）2019[4039,4037]c ∈-- 【解析】（1）因为首项为1,公比为2-的无穷等比数列{}n a ,即可111(2)n n n a a q --==-,求21n S -和2n S ,即可求得答案;（2）因为无穷数列{}n a 具有性质P ,且任意相邻四项之和都相等,{}n a 满足周期性,且4n n a a +=,可得44n S nS =,因为{}n a 具备性质P ,故满足:40n S ≤,410n S +≥,采用反证法证明,即可求得答案;（3）数列{}n c 是等差数列,可得{}n c 的前n 项和为:2n T An Bn =+,因为{}n b 前n 项和为:2n R n =,由{}n a 具备性质P ,则2120n n S S -≥⎧⎨≤⎩其中21n S -中包含n 项奇数项,1n -项偶数项,结合已知,即可求得答案. 【详解】（1）Q 首项为1,公比为2-的无穷等比数列{}n a∴111(2)n n n a a q --==-根据等比数列前n 项和公式可得:()()21212121*2111(2)111(1)21201(2)33n n n n n S n N -----⎡⎤⨯--⎣⎦⎡⎤==--⋅=+>∈⎣⎦--, ()22221211(2)111(1)21201(2)33nn n n n S -⎡⎤⨯--⎣⎦⎡⎤==--⋅=-<⎣⎦-- ∴数列{}n a 满足具有性质P .（2）Q 无穷数列{}n a 具有性质P ,且任意相邻四项之和都相等∴{}n a 满足周期性,且4n n a a +=可得44n S nS =Q {}n a 具备性质P∴满足:40n S ≤,410n S +≥利用反正法证明:若40S <,则4144141n n n S S a nS a ++=+=+,令141a n S ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦∴得:410n S +<(注:当141a n S =-+时,410n S +=,则当141a n S ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦时,410n S +<) 与410n S +≥矛盾.∴40S ≥,又∴40n S ≤,∴40S =.证明完毕.（3）Q 数列{}n c 是等差数列∴{}n c 的前n 项和为:2n T An Bn =+,Q {}n b 前n 项和为:2n R n =由{}n a 具备性质P ,则21200n nS S -≥⎧⎨≤⎩ 其中21n S -中包含n 项奇数项,1n -项偶数项,有:()()2113212422n n n S a a a a a a ---=+++++++L L()()12121n n b b b c c c -=+++++++L L22(1)(1)n A n B n =+-+-其中2n S 中包含n 项奇数项,n 项偶数项,故:()()21321242n n n S a a a a a a -=+++++++L L()()1212n n b b b c c c =+++++++L L22n An Bn =++由性质:P 21200n nS S -≥⎧⎨≤⎩ 可得22(1)(2)()0(1)0A n AB n A B A n Bn ⎧++-++-≥⎨++≤⎩,对任意*n N ∈成立 ∴A 、B 满足:1020A B B A =-⎧⎪≤⎨⎪-≥⎩,解得:1[2,0]A B =-⎧⎨∈-⎩ ∴2019201920184037[4039,4037]c T T B =-=-∈--.【点睛】本题主要考查了有关与数列相关的创新题和对新定义的理解,解题关键是要充分理解新定义和数列的知识相结合,考查了分析能力和计算能力,属于难题.。

2020年上海市杨浦高级中学高三数学理模拟试题含解析

2020年上海市杨浦高级中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的值域是A． B．C．D．参考答案：C略2. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（）A. B. C. D.参考答案：B3. 双曲线的一条渐近线与直线X+2y +1 =0垂直，则双曲线C的离心率为(A) (B) ( C) (D)参考答案：【知识点】双曲线的简单性质 H6C解析：∵双曲线的焦点在x轴上，∴其渐近线方程为y=x，∵渐近线与直线x+2y+1=0垂直，渐近线的斜率为2，∴=2, 即双曲线的离心率故答案为C【思路点拨】由双曲线的渐近线斜率即可计算该双曲线的离心率，本题中已知渐近线与直线x+2y+1=0垂直，而双曲线的渐近线斜率为，故=2，再利用c2=a2+b2，e=即可得双曲线的离心率4. 已知a为实数，函数，若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，则a的取值范围是（A）（B）（C）（D）参考答案：D5. 已知全集集合则（）A. B. C. D.参考答案：B略6. 设函数f'（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且，则4f（x）＞f'（x）的解集为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】压轴题；转化思想；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】把已知等式变形，可得3f（x）=f′（x）﹣3，则f′（x）=3f（x）+3，令f（x）=ae bx+c，由f（0）=1，得a+c=1，再由3f（x）=f′（x）﹣3，得到3ae bx+3c=abe bx﹣3，则，求得a，b，c的值，可得函数解析式，把4f（x）＞f'（x）转化为关于x的不等式求解．【解答】解：由，得3f（x）=f′（x）﹣3，∴f′（x）=3f（x）+3，令f（x）=ae bx+c，∵f（0）=1，∴a+c=1，∵3f（x）=f′（x）﹣3，∴3ae bx+3c=abe bx﹣3，∴，解得a=2，b=3，c=﹣1．∴f（x）=2e3x﹣1，∵4f（x）＞f'（x），∴8e3x﹣4＞6e3x，则e3x＞2，即x＞．∴4f（x）＞f'（x）的解集为．故选：B．【点评】本题考查导数的运算及应用，考查了推理能力与计算能力，是压轴题．7. 设函数则导函数的展开式项的系数为A．1440 B．-1440 C．-2880 D．2880参考答案：答案：C8. 已知，那么（）A．B．C．D．参考答案：C 9. 根据如下样本数据得到的回归方程为，则A．，B．，C．，D．，参考答案：A10. 若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的一个对称中心可以为（）A．B．C．D．参考答案：A【分析】由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象和性质即可得解对称中心．【解答】解：向左平移个单位长度后得到的图象，由2x+=kπ+，k∈Z，解得：x=+，k∈Z，则其对称中心为．故选：A．【点评】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象和性质的应用，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知=（cos，sin），=（，1），x∈R，则|﹣|的最大值是．参考答案：3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的坐标运算和向量的模以及三角函数的化简，以及正弦函数的性质即可求出．【解答】解：∵=（cos，sin），=（﹣，1），∴﹣=（cos+，sin﹣1），∴|﹣|2=（cos+）2+（sin﹣1）2=5+2（cos﹣sin）=5+4sin（﹣）≤5+4=9，∴|﹣|的最大值是3，故答案为：312. 如图，A，B，C是⊙O上的三点，点D是劣弧的中点，过点B的切线交弦CD的延长线于点E ．若∠BAC=80°，则∠BED=．参考答案：60°【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由弦切角定理可得∠EBC=∠A，再由圆的圆周角定理，可得∠BCE=∠A，在△BCE 中，运用三角形的内角和定理，计算即可得到所求值．【解答】解：由BE 为圆的切线，由弦切角定理可得∠EBC=∠A=80°，由D 是劣弧的中点，可得∠BCE=∠A=40°，在△BCE 中，∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠BCE=180°﹣80°﹣40°=60°．故答案为：60°．13. 在等比数列中，首项，则公比为。

上海市杨浦区2021届新高考第一次模拟数学试题含解析

上海市杨浦区2021届新高考第一次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列结论中正确的个数是（）①已知函数()f x 是一次函数，若数列{}n a 通项公式为()n a f n =，则该数列是等差数列； ②若直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则//l α； ③在ABC ∆中，“cos cos A B >”是“B A >”的必要不充分条件； ④若0,0,24a b a b >>+=，则ab 的最大值为2. A ．1 B ．2C ．3D ．0【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列的定义，线面关系，余弦函数以及基本不等式一一判断即可；【详解】解：①已知函数()f x 是一次函数，若数列{}n a 的通项公式为()n a f n =，可得1(n n a a k k +-=为一次项系数），则该数列是等差数列，故①正确；②若直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则l 与α可以相交或平行，故②错误；③在ABC ∆中，(),0,B A π∈，而余弦函数在区间()0,π上单调递减，故 “cos cos A B >”可得“B A >”，由“B A >”可得“cos cos A B >”，故“cos cos A B >”是“B A >”的充要条件，故③错误；④若0,0,24a b a b >>+=，则42a b =+≥2ab ≤，当且仅当22a b ==时取等号，故④正确；综上可得正确的有①④共2个；故选：B 【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是正弦定理的运用和等比数列的求和公式、等差数列的定义和不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．2．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，2AE EB =u u u r u u u r，AB AC λ=u u u r u u u r ，若9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则实数λ=( )A B ．C ．3D ．2【答案】D【解析】【分析】将AO u u u r 、EC uuu r 用AB u u u r 、AC u u u r 表示，再代入9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r中计算即可. 【详解】由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，知O 为ABC ∆的重心，所以211()323AO AB AC =⨯+=u u u r u u u r u u u r ()AB AC +u u u r u u u r ，又2AE EB =u u u r u u u r ，所以23EC AC AE AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，93()AO EC AB AC ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 2()3AC AB -u u ur u u u r2223AB AC AB AC AB AC =⋅-+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2223AB AC =u u u r u u u r ，||362||AB AC λ===u u u ru u ur . 故选：D 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.3．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，平面α与此正方体相交.对于实数()03d d <<，如果正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中恰好有m 个点到平面α的距离等于d ，那么下列结论中，一定正确的是 A ．6m ≠ B ．5m ≠ C ．4m ≠ D ．3m ≠【答案】B 【解析】【分析】此题画出正方体模型即可快速判断m 的取值. 【详解】如图（1）恰好有3个点到平面α的距离为d ；如图（2）恰好有4个点到平面α的距离为d ；如图（3）恰好有6个点到平面α的距离为d . 所以本题答案为B.【点睛】本题以空间几何体为载体考查点，面的位置关系，考查空间想象能力，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力，属于难题.4．如图所示，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F 且EF=22，则下列结论中错误的是（）A ．AC ⊥BEB ．EF //平面ABCDC ．三棱锥A-BEF 的体积为定值D ．异面直线AE,BF 所成的角为定值【答案】D 【解析】【分析】A ．通过线面的垂直关系可证真假；B ．根据线面平行可证真假；C ．根据三棱锥的体积计算的公式可证真假；D ．根据列举特殊情况可证真假. 【详解】A ．因为11,,AC BD AC DD DD BD D ⊥⊥=I ，所以AC ⊥平面11BDDB ，又因为BE ⊂平面11BDD B ，所以AC BE ⊥，故正确；B ．因为11//D B DB ，所以//EF DB ，且EF ⊂/平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ，所以//EF 平面ABCD ，故正确；C ．因为1122BEF S EF BB =⨯⨯=V 为定值，A 到平面11BDD B 的距离为122h AC ==，所以11312A BEF BEF V S h -=⋅⋅=V 为定值，故正确； D ．当1111AC B D E =I ，AC BD G ⋂=，取F 为1B ，如下图所示：因为//BF EG ，所以异面直线,AE BF 所成角为AEG ∠，且222tan 1AG AEG GE ∠===，当1111AC B D F =I ，AC BD G ⋂=，取E 为1D ，如下图所示：因为11//,D F GB D F GB =，所以四边形1D GBF 是平行四边形，所以1//BF D G ，所以异面直线,AE BF 所成角为AEG ∠，且2232tan 3212AGAEG GE∠===⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由此可知：异面直线,AE BF 所成角不是定值，故错误. 故选：D. 【点睛】本题考查立体几何中的综合应用，涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算，难度较难.注意求解异面直线所成角时，将直线平移至同一平面内. 5．若0.60.5a ＝,0.50.6b ＝,0.52c ＝,则下列结论正确的是( ) A ．b c a >> B ．c a b >>C ．a b c >>D ．c b a >>【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数的性质，取得,,a b c 的取值范围，即可求解，得到答案. 【详解】由指数函数的性质，可得0.50.50.610.60.50.50>>>>，即10b a >>>，又由0.512c =>，所以c b a >>. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得,,a b c 的取值范围是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.6．若函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则a =（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】【分析】对函数求导，根据函数在3x =-时取得极值，得到()30f '-=，即可求出结果. 【详解】因为()3239f x x ax x =++-，所以()2323f x x ax =++'，又函数()3239f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，所以()327630f a -=-+='，解得5a =. 故选D 【点睛】本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型. 7．设集合{|0}A x x =>，{}2|log (31)2B x x =-<，则（）． A ．50,3A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭I B ．10,3A B ⎛⎤= ⎥⎝⎦I C ．1,3A B ⎛⎫⋃=+∞ ⎪⎝⎭D ．(0,)A B =+∞U【答案】D 【解析】【分析】根据题意，求出集合A ，进而求出集合A B U 和A B I ，分析选项即可得到答案. 【详解】根据题意，{}215|log (31)2|33B x x x x ⎧⎫=-<=<<⎨⎬⎩⎭则15(0,),,33A B A B ⎛⎫⋃=+∞⋂= ⎪⎝⎭故选：D 【点睛】此题考查集合的交并集运算，属于简单题目,8．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦点为1F ，2F ，且C 上点P 满足120PF PF ⋅=u u u v u u u u v ，13PF =u u u v ，24PF =u u u u v，则双曲线C 的离心率为A ．2B ．C ．52D ．5【答案】D 【解析】【分析】根据双曲线定义可以直接求出a ，利用勾股定理可以求出c ，最后求出离心率. 【详解】依题意得，2121a PF PF =-=，125F F ==，因此该双曲线的离心率12215F F e PF PF ==-.【点睛】本题考查了双曲线定义及双曲线的离心率，考查了运算能力. 9．函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则其图象向左平移6π个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（） A ．4x π=B ．3x π=C ．56x π=D ．1912x π=【答案】D 【解析】【分析】由三角函数的周期可得23πω=，由函数图像的变换可得，平移后得到函数解析式为244sin 39y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求其对称轴方程即可.【详解】解：函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则函数2()4sin 33f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，经过平移后得到函数解析式为2244sin 4sin 36339y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由24()392x k k πππ+=+∈Z ，得3()212x k k ππ=+∈Z ，当1k =时，1912x π=. 故选D. 【点睛】本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题.10．设复数z 满足(1)21z i i ⋅+=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】【分析】先把(1)21z i i ⋅+=+变形为211i z i+=+，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z ，得到其坐标可得答案. 【详解】解：由(1)21z i i ⋅+=+，得21(21)(1)3311(1)(1)222i i i i z i i i i ++-+====+++-，所以3122z i =-，其在复平面内对应的点为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限故选：D 【点睛】此题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为34y x =?，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C 的方程为（）A ．221916x y -=B ．221169x y -= C ．22134x y -= D ．22143x y -= 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得34b a =，22225c a b =+=，所以4a =，3b =，所求双曲线方程为221169x y -=．考点：双曲线方程.12．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的a 的值为（）A ．2-3B ．3-2C ．52D ．25【答案】C 【解析】【分析】根据给定的程序框图，计算前几次的运算规律，得出运算的周期性，确定跳出循环时的n 的值，进而求解a 的值，得到答案.【详解】由题意，3,15a n ==，第1次循环，2,23a n =-=，满足判断条件；第2次循环，5,32a n ==，满足判断条件；第3次循环，3,45a n ==，满足判断条件；L L可得a 的值满足以3项为周期的计算规律，所以当2019n =时，跳出循环，此时n 和3n =时的值对应的a 相同，即52a =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中认真审题，得出程序运行时的计算规律是解答的关键，着重考查了推理与计算能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【KS5U解析】上海市杨浦区2020届高三第一次模拟(期末考试)数学试题 Word版含解析

如图:
解得:
在中,
故母线与底面所成角的大小为: .
故答案为: .
【点睛】本题主要考查了求母线和底面夹角,解题关键是掌握圆锥的特征,考查了空间想象能力和计算能力,属于基础题.
6.已知的展开式中，含项的系数等于280，则实数 ________.
【答案】2
【解析】
【分析】
先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中的含x3项的系数，再根据含x3项的系数等于280，求得实数a的值．
若方程一个根为 ,
,另一根为 ,不满足条件.
故方程有两个根,其中一个在区间上,一个在区间
令
①当时
则
解得:
②当时
即 ,故 ,
将代入
可得: ,
解得:
满足方程两个根中,一个在区间上,一个在区间
综上所述,实数的取值范围为: .
故答案为: .
【点睛】本题主要考查了根据零点个数求参数范围,解题关键是掌握函数零点的定义,数形结合,考查了分析能力和计算能力,属于难题.
12.向量集合 ,对于任意 ,以及任意 ,都有 ,则称为“ 类集”,现有四个命题:
①若为“ 类集”,则集合也是“ 类集”;
②若 , 都是“ 类集”,则集合也是“ 类集”;
③若都是“ 类集”,则也是“ 类集”;
④若都是“ 类集”,且交集非空,则也是“ 类集”.
其中正确的命题有________(填所有正确命题的序号)
【答案】
【解析】
【分析】
根据椭圆定义可得: , ,在三角形中由余弦定理,即可求得答案.
【详解】椭圆
可得: , , .
根据椭圆定义可得: , ,

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