第3章简单的优化模型(存贮论)
简单的优化模型
分析问题中的约束条 件
从问题中分析出各种约束条件，如资 源限制、时间限制、物理条件等。
02
将约束条件转化为数 学表达式
将上述约束条件转化为数学表达式， 如不等式、等式等。
03
将约束条件加入目标 函数中
将上述数学表达式加入目标函数中， 作为目标函数的约束条件。
选择适当的变量类型和范围
确定变量的类型和范围
03
优化算法的选择
梯度下降法
1 2
基本概念
梯度下降法是一种基于梯度下降的优化算法， 通过迭代计算函数梯度，逐步逼近函数的最小 值点。
应用场景
适用于凸函数或非凸函数，尤其在大数据处理 和机器学习领域，用于优化损失函数。
3
注意事项
在处理非凸函数时，可能会陷入局部最小值点 ，需要结合全局优化算法使用。
简单的优化模型
xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 优化模型的分类 • 优化算法的选择 • 优化模型的建立 • 应用案例展示
01
引言
定义和重要性
定义
优化模型是一套用于描述、分析和解决特定问题的数学 模型，通过采用数学方法和算法，寻找最优解决方案。
重要性
优化模型在各行各业都有广泛的应用，如制造业、物流 、金融等。通过优化模型，可以提高效率、降低成本、 增加效益，为企业和社会创造价值。
金融投资优化模型
要点一
总结词
提高投资收益、降低投资风险
要点二
详细描述
金融投资优化模型是针对金融投资领域的一种优化模型 。它通过优化投资组合，提高投资收益、降低投资风险 。该模型考虑了多种资产价格波动、相关性等因素，并 利用统计学习或机器学习算法计算出最优的投资组合方 案。应用该模型可以帮助投资者在保证本金安全的前提 下获得更高的投资收益。
简单的优化模型
多目标规划问题通常有多个目标函数，用于描述 不同目标之间的权衡关系。
决策变量
决策变量是问题中可以控制的变量，通过调整决 策变量的取值来达到优化目标的目的。
约束条件
约束条件是对决策变量的限制，可以是等式约束 或不等式约束，用于保证求解结果的可行性。
多目标规划求解方法
线性加权法
将多个目标函数通过加 权求和转化为单目标函 数进行求解，权重可以 根据实际情况进行调整 。
解。
03
整数规划模型
整数规划问题描述
实际问题的离散性
01
某些优化问题中，决策变量只能取整数值，如设备数量、人员
分配等。
约束条件的整数性
02
某些约束条件要求决策变量为整数，如资源分配、时间划分等
。
目标函数的整数要求
03
某些问题要求目标函数取整数值，如项目收益、成本等。
整数规划数学模型
整数线性规划（Integer Linear Programming, ILP）：决策变量限制 为整数的线性规划问题，数学模型包括 目标函数、约束条件和整数变量。
优化模型应用场景
01
工业生产
通过优化生产计划和调度，提高生 产效率，降低成本。
金融投资
通过优化投资组合，实现风险最小 化和收益最大化。
03
02
物流运输
通过优化运输路径和方式，缩短运 输时间，减少运输成本。
城市规划
通过优化城市规划和交通布局，提 高城市运行效率和居民生活质量。
动态规划数学模型
阶段
动态规划问题可以划分为若干 个阶段，每个阶段对应一个决
策过程。
状态
状态表示每个阶段的起始条件 和结束条件，通常用一个变量 或一组变量来描述。
数学建模论文--生产与存贮问题的优化模型
数学建模论文--生产与存贮问题的优化模型摘要本文针对生产与存贮问题，建立了一种优化模型。
通过分析生产与存贮过程中的各种因素，包括供应链、库存管理、生产调度、成本控制等，建立了相应的数学模型，并使用线性规划方法对模型进行求解。
本文的模型可以为企业在生产与存贮过程中提供有效的参考，帮助企业实现成本最小化和效益最大化。
关键词：生产与存贮；优化模型；供应链；库存管理；生产调度；成本控制AbstractThis paper establishes an optimization model for production and storage problems. By analyzing various factors in the process of production and storage, including supply chain, inventory management, production scheduling, cost control, etc., corresponding mathematical models are established, and linear programming method is used to solve the model. The model of this paper can provide effective reference for enterprises in the process of production and storage, helping enterprises to achieve cost minimization and benefit maximization.Keywords: production and storage; optimization model; supply chain; inventory management; production scheduling; cost control 1. 引言生产与存贮是企业的核心业务之一，对企业的发展和运营至关重要。
存贮论模型LINGO方法
优化建模
11 . 2 经济订购批量存贮模型（EOQ）
11 . 2 .1基本的经济订购批量存贮模型（EOQ） 模型定义： 不允许缺货、货物生产 (或补充)的时间 很短（通常近似为0）. 经济订购批量存贮模型（EOQ）有以下假设： ( l ) 短缺费为无穷，即 Cs＝∞， ( 2 ) 当存贮降到零后，可以立即得到补充； ( 3 ) 需求是连续的、均匀的； ( 4 ) 每次的订货量不变，订购费不变； ( 5 ) 单位存贮费不变。 在一个周期内，最大的存贮量为Q，最小的存贮 量为0，且需求的连续均匀的，因此在一个周期内， 其平均存贮量为Q/2，存贮费用为CpQ/2.
( 5 ) wi（i =1,2,…,m）表示第 i 种物品的单位库存占用．
优化建模
1 具有资金约束的 EOQ 模型 对于第i ( i = 1 , 2 ， … ，m）种物品，当每次订货 的订货量为Qi 时，年总平均费用为
C D Di 1 TCi C PiQi 2 Qi
每种物品的单价为Ci，每次的订货量为Qi，则CiQi 是该种物品占用的资金. 因此，资金约束为
优化建模
优化建模
例 11 . 3
物资 i
1 2 3 4
年需求量 单价Ci 存贮费Cpi 单位占用库容wi Di ( 元／件) ( 元／(件 · (米 3 ／件) 年))
600 900 2400 12000 300 1000 500 500 60 200 100 100 1.0 1.5 0.5 2.0
存贮论模型的基本概念 输入(供应)
储存
输出(需求)
优化建模
1 存贮模型的基本要素 ( l ) 需求率: 单位时间内对某种物品的需求量, 用D表示． ( 3 ) 订货间隔期: 两次订货之间的时间间隔, 用T表示.
第3章简单的优化模型
模型2 允许缺货的存储模型 模型建立
一个周期 T 内的储存费是
c2 q(t )dt c2QT 1 2
0 T1
一个周期 T 内的缺货损失费是
c3 q (t ) dt c3r T T1 2
T 2 T1
模型2 允许缺货的存储模型 模型建立
一个周期 T 内的总费用是 2 C c1 c2QT1 2 c3rT T1 2 利用(8)式，得到每天的平均费用是
第3章 简单的优化模型 3.1 存储模型
建立数学模型来优化存储 量，使总费用最小
模型1 不允许缺货的存储模型 问题的提出
配件厂为装配线生产若干种部件。 轮换生产不同的部件时，因更换设备要付生 产准备费（与生产数量无关）。 同一部件的产量大于需求时，因积压资金、 占用仓库要付储存费。 今已知某一部件的日需求量100件，生产准备 费5000元，储存费每日每件1元。 如果生产能力远大于需求，并且不允许出现 缺货，试安排该产品的生产计划，即多少天 生产一次（称为生产周期），每次产量多少， 可使总费用最小。
模型1 不允许缺货的存储模型 模型假设
设生产周期 T 和产量 Q 均为连续量， 1.产品每天的需求量为常数 r； 2.每次生产准备费为 c1 ， 每天每件产品存储 费为 c2 ； 3.生产能力为无限大（相对于需求量） ，不 允许缺货，即当存储量降到零时，Q 件产 品立即生产出来供给需求。
模型1 不允许缺货的存储模型 模型建立
求得最优生产周期为
2c1 c2 c3 T c2c3r
模型2 允许缺货的存储模型 模型求解
每周期初的最优存储量为
Q 2c1c3 r c2 c2 c3
每周期的最优供货量为
第三讲 简单的优化模型(存储模型.生猪出售的最佳时机.报童问题.森林救火问题)解读
1
注意的是：用此公式计算的结果与原题有一定的误 差，原因在于变量选择的不同.
敏感性分析 讨论参数 c1 , c2 , r 对生产周期 T 的影响. 我们用相对改变量来衡量结果对参数的敏感程度. 对 c1的敏感程度记为 s T , c1 , 定义式为
T
T / T dT c1 ⑺ s T , c1 . c1 / c1 dc1 T 1/ 2 1/ 2 2c1 dT 1 2c1 , 再由 T , 得 dc c r 2c1c2 r c r 1 2 2
⑵
所以，每天的平均费用为
⑶
模型求解 原问题转变为使⑶取极小值的问题。利用求极值的方 法，对⑶式求导，并令其为零:
c1 c2 r c T 2 0. T 2
即有:
2c1 2c1 T , T . c2 r c2 r
2
⑷
而
2c1r Q rT . c2
将⑷代入到⑶式，得最小的平均费用为
会增加订货次数，从而增加不必要的订购费用.
本节讨论在需求稳定的情况下，两个简单的存储模 型: 不容许缺货和容许缺货的存储模型.
1.不容许缺货的存储模型 例 配件厂为装配线生产若干种部件. 轮换生产不同
的部件时因更换设备要支付一定的生产准备费用（与产 量无关）. 同一部件的产量大于需求时需支付存储费用. 已知某一部件的日需求量为100件，生产准备费为5000
当你决定用数学建模的方法来处理一个优化问题时， 首先要确定优化的目标，其次确定寻求的决策，以及决策
受到哪些条件的限制。在处理过程中，要对实际问题作若
干合理的假设。最后用微积分的进行求解。在求出最后决 策后，要对结果作一些定性和定量的分析和必要的检验。
第三章简单的优化模型
第 三 章 简 单 的 优 化 模 型§1 存贮问题模型［问题的提出］工厂要定期地订购各种原料,存放在仓库中供生产之用；商店里要成批地购进各种商品,放在货柜中以备零售,原料、商品存贮太多,贮存费用高；存得太少则无法满足需求或缺货造成损失.订货时需付一次性订货费,进货时要付商品（原料）费,货物贮存要贮存费.如果允许缺货,缺货时因失去销售机会而使利润减少,减少的利润可以视为因缺货而付出的费用,称为缺货费.在单位时间内货物的需求量为常数的条件下,试制定出存贮策略（多长时间订一次货,每次订货量多少）,使总费用最小. ［模型的假设］1.为方便起见,时间以天为单位,货物以吨为单位,每隔T 天订一次货（T 称为订货周期）,每次订货量为Q 吨；2.每次订货费为1c （元）（一次性的）,每吨货物的价格为k （元）,每天每吨货物的贮存费为2c （元）；3.每天的货物需要量为r 吨；4.每隔T 天订货Q 吨,且订货可以瞬时完成,不允许缺货时,贮存量降到零时订货立即到达.5.允许缺货时,货物在1T t 时售完，有一段时间缺货，每天每吨货物缺货费为3c （元）.［模型的建立］1rT Q =,T t =T =1设货物在任意时刻t 的贮存量为()t q （单位时间）, 其变化规律为总费用＝订货费＋＋缺货费＋① 订货费=1c ② 贮存费 =()()rQ c QT c QT c dt t q c tq c ni T iit 2221lim22121212021==⋅==∆∑⎰=→∆ξ ③ 缺货费=()()()r Q rT c T T r c S c dt t q c B TT 2223213331-=-==⎰ ④ 购货费=kQ ，即总费用()kQ rQ rT c r Q c c c +-++=2223221 由于T 是可变的,因此我们的目标函数应该是每天的平均费用最小.目标函数是T 、Q 的二元函数,记作()Q T C ,,即()()TkQrT Q rT c rT Q c T c Q T C +-++=22,23221 问题就是要确定()+∞<<+∞<<Q T Q T 0,0、,使二元函数()Q T C ,取最小值. ［模型的求解］2223322221222T kQ rT Q c r c rT Q c T c T C--+--=∂∂，T k rT Q c c rT Q c Q C ++-=∂∂332 0t这里()rTQ c Q c rT c rT Q rT c 222233323+-=- 令0=∂∂T C ,0=∂∂Q C .得到驻点：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-+=-+=3232222332321*32233221*22c c kr c c c r k c c c c c r c Q c c k c c c rc c T 故当允许缺货时,每*T 天订一次货,每次订货*Q 吨,总费用将最少. ［模型的讨论］1. 当不允许缺货时,T T =1而rT Q =,此时()kr rT c T c T C ++=2121，221r c T c dT dC +-= 令0=dTdC,解得21*12rc c T =，从而21*1*12c rc rT Q == 结果表明：① 最佳订货周期和订货量与货物本身的价格无关.② 订货费1c 越高,需求量r 越大,订货量Q 就越大；贮存费2c 越高,订货量Q 就越小.2. 若不考虑购货费,则此时模型中可视0=k得到最佳订货周期*2T ,最佳订货量*2Q⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=32321*233221*222c c c c r c Q c c c rc c T 记()1332>+=c c c μ，于是*1*2T T μ=,μ*1*2Q Q =，结果表明：① 当考虑购货费时,*2T 、*2Q 都比*T 、*Q 增大了. ② *1*2*1*2,Q Q T T <>.③ 当+∞→3c 时,1→μ.此时*1*2T T →,*1*2Q Q →.④ 这个结果是合理的,因为+∞→3c ,即缺货造成的损失无限变大相当于不允许缺货.3. 考虑生产销售存贮问题设生产速率为常数k ,销售速率为常数r ,r k >. 则生产量()1b kt t p +=,销售量()2b rt t q +-= 4. 考虑一般的生产销售存贮问题允许与不允许缺货,函数()t p 、()t q 更一般化.此时要应用函数逼近论理论.。
简单的优化模型
整数规划模型的求解方法
穷举法
通过列举所有可能的解来找出最优解。适用于小规模问题，但对于 大规模问题效率低下。
分支定界法
通过不断分割问题空间并排除不可能的解来逼近最优解。适用于大 规模问题，但需要较高的计算复杂度。
启发式算法
通过设计一些启发式规则来加速搜索过程，如贪心算法、遗传算法等 。适用于一些特定类型的问题，但可能无法保证找到全局最优解。
通过动态规划可以求解资源分配问题 ，如任务调度、生产计划等，以实现 资源利用的最优化。
背包问题
通过动态规划可以求解0/1背包问题 、完全背包问题等，避免重复计算物 品的价值和重量。
05
模拟退火算法
模拟退火算法的定义与特点
定义
模拟退火算法是一种启发式搜索算法 ，通过模拟物理退火过程来寻找问题 的最优解。
运输问题
线性规划模型可以用于解决运输问题，如货 物运输、车辆调度等。
投资组合优化
线性规划模型可以用于优化投资组合，降低 风险并提高收益。
03
整数规划模型
整数规划模型的定义与特点
定义
整数规划是一种特殊类型的线性规划，其中一部分或全部变量被约束为整数。
特点
整数规划的变量取值范围受到限制，通常用于解决资源分配、组合优化等问题 。
特点
遗传算法具有全局搜索能力，能够处理多维、非线性、非凸问题；同时，它还具有很好的鲁棒性和自适应性，能 够处理大规模、复杂的问题。
遗传算法的求解方法
编码方式
遗传算法需要对问题 进行编码，通常采用 二进制编码、实数编 码等。
适应度函数
适应度函数用于评估 个体的优劣，根据问 题的不同，适应度函 数也会有所不同。
简单优化模型的特点
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1.一般的EOQ模型
库存 A
A
M
o t1
t2
t
S1
BE
t3 t4 S2
C
时间
在一般的EOQ模型中,允许库存发生短缺.生产 部门按一定的速率P进行生产,需求部门的需求 速率为D(P>D),在 t1 段,按速率P生产,如果在这 段无需求量,则存贮量可达到 A 点,如果有需求 量实际可达到A点.在 t2 和 t3 内生产停止,但需 求仍按速率D进行,到达B点后存贮量为零,到C 点发生最大短缺,从该点又恢复生产,到E点补上 短缺量,并开始一个新的生产周期. 设 S1 为最大存贮量, S2 为最大短缺量, CD 为开 始一个周期的生产准备费, CP为单位产品在单 位时间的存贮费, CS 为发生单位产品在单位时 间短缺时的损失费,确定总费用为最小的最佳生 产批量Q.
解:一个生产周期的长度为 t1 t2 t3 t4 ,若分别 用OC,CC,SC表示一个周期的生产准备费,存贮 费和短缺费,TC表示单位时间的平均费用,则
OC
CD , CC
CP S1 2
(t1
t2
), SC
CS S2 2
(t3
t4
),
TC
OC
CC
SC
CD
CP S1 2
(t1
t2)
CS S2 2
为了统一供,需和存贮诸方面的矛盾,就要对 存贮系统进行分析.从获得最佳经济效益的 目的出发,求出最佳订购批量,最佳订购周期, 从而得到最佳存贮量,使整个存贮系统所支 付的费用最少. 用数学语言来说就是建立一个目标函数,这 个目标函数是由总费用与定货批量或定货周 期构成的,并求使得目标函数达到最小值的 定货批量或定货周期.
Q
D(t1
t2
t3
t4)Βιβλιοθήκη PD PD(t2t3)
TC
CD
CP 2
Dt2
P PD
t2
Cs 2
Dt3
与存贮问题有关的基本费用项目
(1)一次费用或准备费用:每组织一次生产,定 货或采购某种物品所必须的费用(如差旅费, 手续费,检验费等).通常认为它与定购数量无 关.但是,分配到每件物品上的费用随购买量 的增加而减少,此费用用C2表示. (2)存储费:包括仓库保管费,占用流动资金的 利息,保险金,存贮物品的变质损失费等.以每
这种供需不协调的现象十分普遍,在农业,商 业和物资领域大量存在.人们在解决这些矛盾 时,很容易想到用存贮这个环节来协调供需之 间的矛盾.我们可以把存贮看作中心,把供应 与需求看作一个具有输入(供应)和输出(需求) 的控制系统.
输入(供应)
存贮
输出(需求)
为什么要研究存贮问题?
存贮量过大会有什么后果: 1.由于不必要的存贮,增加了库存保管费及保 管场地,而使产品价格增高;
2.过高的存贮量占用了流动资金使资金周转困 难,降低了资金利用率;
3.过量存贮降低了材料或产品的质量,甚至于 产品过时,变质损坏.
存贮量不足会有什么后果:
1.由于原料不足可能会造成停工,停产等重大 经济损失; 2.因缺货失去销售机会,失去顾客;
3.用频繁订货的方法以补充短缺的物资,这将 增加订购费用.
第3章 简单的优化模型
3.1 存贮论 引言 经济订货批量的存贮模型 具有约束条件的存贮模型 具有价格折扣优惠的存贮模型 单时期的随机存贮模型
教学目的与要求:在掌握EOQ公式的基础上,学会几 种存储模型的求解方法及存储策略,并会用 WinQSB求解存储问题.
重点与难点:EOQ公式及几个简单模型,难点是公式 太多,难于记忆.
件存贮物在单位时间内所发生的费用,用C1表 示. (3)缺货损失费:这是一种由于未及时满足顾 客需要而产生的损失,包括两种情况,其一是 顾客不愿意等待而损失一笔交易,进而影响企 业的声誉.其二是顾客愿意等待稍后的供应而 发生的处理过期定货的损失,用C3表示.
在一个存贮问题中主要考虑两个量:供应(需求) 量的多少;何时供应(需求),即量和期的问题.按 这两个参数的确定性和随机性,可分为确定性 存贮模型和随机性存贮模型.
教学方法:以分析问题为主,公式推导为辅,结合 WinQSB讲解.
思考题,讨论题,作业:本章习题.
参考资料:见前言.
学时分配:6学时.
第一节 引言
在生产和生活中,人们经常进行着各种个样的存 贮活动,这是为了解决供应(或生产)与需求(或消 费)之间不协调或矛盾的一种手段.例如,一场战 斗在很短时间内可能消毫几十万发炮弹,而兵工 厂不可能在这么短的时间内生产那么多炮弹,这 就是供需矛盾,为了解决这一矛盾,只能将军火 工厂每天生产的炮弹储存到军火库内,以备战争 发生时的需要.
ⅲ(s,S)策略:设s为定货点(或保险存储量,安全 存储量,警戒点等).当存储余额为I,若I>s则不
对存储进行补充;若I s时,则对存储进行补
充,补充数量Q=S-I.补充后的数量达到最大存 储量S. ⅳ(t,s,S)策略:在很多情况下,实际存储量需要 通过盘点才能得知,若每隔一个固定时间t盘 点一次,得知存储量为I,再根据I是否超过定货 点s决定是否定货.
存储问题的基本概念
存贮问题的基本要素 (1)需求率:指单位时间内对某种物品的需求量, 以D表示. (2)定货批量:定货采用以一定数量物品为一批 的方式进行,一次定货包含某种物品的数量称 为批量,用Q表示. (3)定货间隔期:指两次定货之间的时间间隔,用 t表示.
(4)定货提前期:从提出定货到收到货物的时间 间隔,用L表示. (5)存贮(定货)策略:指什么时间提出定货(对存 储进行补充)以及定货(补充)的数量. 几种常见的存储策略: ⅰt-循环策略:不论实际的存储状态如何,总是每 隔一个固定的时间t,补充一个固定的存储量Q. ⅱ(t,S)策略:每隔一个固定时间t补充一次,补充 数量以补足一个固定的最大存储量S为准.因此 每次补充的数量是不固定的,当存储余额为I时, 补充数量是Q=S-I.
(t3
t4) .
t1 t2 t3 t4
t1 t2 t3 t4
因为S1 Pt1 Dt1 (P D)t1 Dt2
所以t1
D PD
t2 , t1
t2
P
P D
t2
S2
Dt3
(P
D)t4 ,t4
P
D D
t3 , t3
t4
P
P D
t3 ,
t1
t2
t3
t4
P
P D
(t2
t3),