数学建模之养老保险

数学建模之养老保险
摘要：本文通过对给定保险方案的分析，针对生活中养老保险的实际情况，本文特提出了一系列令投保人受益较大的投保方案，并建立一般数学模型来解决这个问题，此模型对实际投保问题很有意义，既可做为保险公司方的参考工具，又可为投保人提供一定的参考信息。

与此同时，本文也对寿命的变化所引起的模型的变化做了相对灵敏的分析。

关键词：投保利率利息投保额投保期限
一问题重述
某人50岁时参加养老保险，有二家保险公司推出二种不同的方案，方案I：50岁起每年交费500元，一直交到59岁为止；从60岁起每年领取养老金1500元直至死亡，死亡后保险公司一次性支付给家属15000元。

方案II：50岁起每年交费800元，连续交纳10年；从60岁起领取养老金，第一年1000元，以后每年增加70元，直至死亡，死亡后保险公司一次性支付给家属15000元。

若预期寿命为75岁、银行年利率为6%,问：
1、哪一种投保方案对投保人有利；
2、根据此问题试建立一般数学模型。

二基本假设
根据题目的规定并结合实际情况，提出如下合理的假设，使问题简化，而且便于解决。

1、假设交纳保险费与领取养老金的时间分别为每年的年初与年末。

2、假设预期寿命时间即为领取养老金的最后年份。

3、银行的年利率不会因时间的变化而变化。

4、对投保人更有利的理解为：在不同方案中，死亡时的领取养老金的总金额（包括利息）与投保总金额（包括利息）的差值与投保总金额的比率更大。

5、除去一定的政策因素。

三符号说明
β：投保利息；
1
β
：投保收入利息；
2
ξ：投保收入(领取的总金额+利息)；
ξ：领取总金额；
1
ω：投保费(投保总金额+利息)；
ω：投保总金额；
1
a ：
投保人去世后，保险公司一次支付其家属所有金额。

四 问题分析
本问题是一个在实际社会背景下有多因素共同作用的模糊描述的问题，解决本问题需要经过以下几个过程：
1．问题及其抽象
根据我们所假设的条件可知：投保人的受益程度取决于领取的养老金总金额（包括利息）与投保总金额（包括利息）的差值与投保总金额的比率。

定义如下：
投保有利率=
-领取总金额(包括利息)投保总金额（包括利息）投保总金额(包括利息) 即：
ξ-ωη=ω
………………………… (1) (1)式中的投保率，也就是我们所求问题的解，即，投保利率越大，那么投保人获益的就越多。

据假设及其定义，η有如下情况：
<1>、 η>0 表示投保人获利；
<2>、 η=0 表示投保人和保险公司等价交换；
<3>、 η<0 表示保险公司获利。

2．主要元素之间的关系
投保人在投保的同时必须考虑到所投出的资金所产生的利息，此时所产生的利息（1β）其实也是投保总金额（ω）的一部分。

所以我们不妨设：
投保收入（ξ）=所领取的金额+利息
即：
ξ=β12ξ+ (2)
同理，设：
投保费=投保总金额+利息
即:
ω =1ω+1β (3)
以上式（2）、（3） 带入（1）式便可求解，ξ越大说明在同条件下做投保越有利。

五 模型建立与求解
问题一：
针对此实际问题据以上分析可知：
方案I ：
50岁起每年交费500元，一直交到59岁为止；从60岁起每年领取养老金1500元直至投保人死亡，死亡后保险公司一次性支付给家属15000元；
据(3)式可知：
投保费为：
5959
75115050()500(16%)i i i i i β-==ω=ω+=+∑∑ (4)
其中：1i ω表示第i 岁时投保金额；
1i β表示1i ω所对应的利息。

又据(2)式可知：
投保收入为：
757575126060()1500(16%)j j j j j a a β-==ξ=ξ
++=++∑∑ (5)
此时：a=15000；
其中：1j ξ表示第j 岁领取的金额；
2j β表示1j ξ所对应的利息。

将(4)式和(5)式代入(1)式可得：
7559121160505911507559757560
50597550757560
59
7550()()()1500(16%)
15000500(16%1)500(16%)1500(16%)
15000500(16%)
j j i i j i i i i j i j i i i j j i i a βββ===--==-=-=-=ξ-ωηξ++-ω+ω+++++==ω
-==++-+∑∑∑∑∑∑∑∑ …………………(6) 此处可计算得：
η =0.05762
方案II ：
50岁起每年交费800元，连续交纳10年；投保人从60岁起领取养老金，第一年1000元，以后每年增加70元，直至死亡，死亡后保险公司一次性支付给家属15000元。

据(3)式可知：
投保费为：
595975115050()800(16%)i i i i i β-==ω=ω+=+∑∑ (7)
其中：1i ω表示第i 岁时投保金额； 1i β表示1i ω所对应的利息。

又据(2)式可知：
投保收入为：
757575126060()[100070(60)](16%)j j j j j a j a β-==ξ=ξ
++=+⨯-++∑∑ (8)
此时：a=15000；
其中：1j ξ表示第j 岁领取的金额；
2j β表示1j ξ所对应的利息。

将(4)式和(5)式代入(1)式可得： 7559121160505911507559757560
5059
7550
757560
597550()()()[100070(60)](16%)
15000800(16%)800(16%)[100070(60)](16%)
15000800(16%)j j i i j i i i i j i j i i i j j i
i a j j βββ===--==-=-=-=ξ-ωη==ω
-==ξ++-ω+ω++⨯-+++++⨯-+++-∑∑∑∑∑∑∑∑1 …(9) 此处可得：
η =0.049459
综上：比较两种方案的η值可知，方案I 对投保人有利。

问题二：
此时对一般模型的理解为(将题目中的方案I 、方案II 统一化)：
投保人从m 岁时开始投保，每年交费c 元，一直交到n 岁为止，从p 岁起，每年领取养老金d 元，以后每年增加e 元，直到死亡，死亡后，保险公司一次性支付a 元。

若预期寿命为k 岁，银行年利率为λ。

根据实际问题对以上变量作如下约束：
k n m ≥≥；
p k ≤；
m 、c 、n 、p 、d 、e 、a 、k 、λ均非负。

据(3)式可知：
投保费为：
11()(1)n n k i i i i m i m c β-==ω=ω+=+λ∑∑ (10)
其中：
1i ω表示第i 岁时投保金额；
1i β表示1i ω所对应的利息。

据(2)式可知：
投保收入为：
12()[()](1)k k
k j j j j p j p a d e j p a β-==ξ=ξ++=+-+λ+∑∑ (11)
其中：
1j ξ表示第j 岁领取的金额；
2j β表示1j ξ所对应的利息。

将(10)式、(11)式代入(1)式可得：
121111()()()[()](1)(1)(1)
k n j j i i j p i m n i i i m
k n k j k i j p
i m n k i i m a d e j p a c c βββ===--==-=ξ++-ω+ω++-+λ++λξ-ωη==ω
-λ=+∑∑∑∑∑∑ (12)
将(12)式化简为：
[()](1)
(1)
1k k j j p n k i
i m d e j p a c -=-=+-+λ++λη=-∑∑ (13)
对上式进行以下说明：
η就是我们所要求的投保有利率，据η的定义可知：
<1>、 η>0 表示投保人获利；
<2>、 η=0 表示投保人和保险公司等价交换；
<3>、 η<0 表示保险公司获利。

对于实际问题，带入相应的值计算并加以比较即可知道投保人是否获利。

六 模型的推广及应用
本模型从实际问题着手推导出该问题的一般模型并利用定义好的η来对结果进行说明。

根据上述数学模型可以最有效的解决养老保险问题，投保人可采用该模型来获取利益。

七 模型的评价
本模型在计算出题目所给定的方案中的最优投保之外还给出了此类保险业务的一般模型；考虑到了投保资金的多少对投保获利的影响，引入了η加以量化；但此模型只基于我们的假设，比如：银行的利率不可能是一直保持不变的，也未考虑人在50岁过后每年的死亡概率，且此模型没有图形、表格之类部分，不能使问题更清晰、直观的表现，这样在模型的改进方面可以考虑这些方面对模型的影响，应综合考虑，尽可能使问题更加准确、直观、明了的表现。