养老保险问题建模分析

二分法的优点是方法简单，且只要求 f ( x) 连续即可，可用二分法求出 f ( x) 0 在 a, b 内全部实根，但二分法不能求复 根及偶数重根，且收敛较慢，函数值计算次数 较多。
• 例4.2.2
用二分法求 f ( x)
1 3 10 2
x
6
x 1 在[1,2]内一
即 x 为方程 (4.2.4) 的解（称 x 为函数 g x 的不动点），显然 在由方程 f ( x) 0 转化为等价方程 x g ( x) 时，选择不同的迭代 函数 g ( x) ，就会产生不同的序列 xk （即使初值 x0 选择一样）且 这些序列的收敛情况也不会相同。
k
在这里实际上表示从保险人开始交纳保险费以后，保险 人账户上的资金数值。
4.1.4

模型建立
我们关心的是，在第M月时， FK 能否为非负 数？ 如果为正，则表明保险公司获得收益；如为负，则表明 保险公司出现亏损。当为零时，表明保险公司最后一无 所有，所有的收益全归保险人，把它作为保险人的实际 收益。 从这个分析来看，引入变量FK，很好地刻画了整个 过程中资金的变化关系；特别是引入收益率 r，虽然它 不是我们所求的保险人的收益率，但从问题系统环境中 来看，必然要考虑引入另一对象——保险公司的经营效 益，以此作为整个过程中各量变化的表现基础。
k k

k
Байду номын сангаас
例4.2.4 对例4.2.1中方程考查用迭代法求根
a b
xk 1 sin xk 0.5, k 0,1,2, xk 1 sin 1 xk 0.5 , k 0,1,2,
4.2.1
x
• 二分法的步骤如下：记 a1 a ， b1 b
• 第1步：分半计算 k 1 ，将[a1,b1] 分半。计算中点
x a1 b1 2
及 f x1 。若 f (a1 ) f ( x1 ) 0 ，则根必在
[a1, x1 ][a2 , b2 ] 内，否则必在 [ x1, b1 ][a2 , b2 ] 内，
4.1.2
模型分析
假设每月交费200元至60岁开始领取养老金，男子 若25岁起投保，届时养老金每月2282元；如35岁起保， 届时月养老金1056元；试求出保险公司为了兑现保险责 任，每月至少应有多少投资收益率？这也就是投保人的 实际收益率。
4.1.3
模型假设
这应当是一个过程分析模型问题。过程的结果在条
4.2 非线性方程求根的数值方法
4.2.1 根的搜索相关定义
• 定义4.2.1 设有一个非线性方程 f x 0 ，其中 f ( x) 为实变 量 x 的非线性函数。 • （1）如果 x 有使 f ( x ) 0 ，则称 x 为方程的根，或为f x 的零点。
• （2）当 f x 为多项式，即 f (x) an x an1x ax a0 0 an 0 则称 f ( x) 0 为 n 次代数方程，f ( x) 包含指数函数或者三角 函数等特殊函数时，则称 f ( x) 0 为特殊方程。
bk xk f ( xk )
ak
8
9 10 11
1.132813 1.132813 1.132813 1.133789
1.140625 1.136719 1.134766 1.134766
1.136719 0.020619 1.134766 0.4268415 1.133789 0.00959799 1.134277 0.0045915
f x
的符号
x f ( x)的符号
0 -
0.5 -
1.0 -
1.5 +
4.2.2
逐步搜索法
易见此方法应用关键在步长 h 的选择上。
很明显，只要步长 h 取得足够小，利用此法就 可以得到任意精度的根，但 h 缩小，搜索步数 增多，从而使计算量增大，用此方法对高精度 要求不合适。
4.2.3
二分法
个实根，且要求精确到小数点后第三位。 （即 x * x k 解 ）
由 0.5 103 代入公式(4.2.3) （a 1, b 2) ，
可确定所需分半次数为 k 11，计算结果部分如下表：
（显然 f (1) 1 0, f (2) 0 ）。
表4.2.2
K
部分计算结果
4.2.4
•
迭代法
迭代法是一种逐次逼近法。它是求解代数方程，超 越方程及方程组的一种基本方法，但存在收敛性及收敛 快慢的问题。 用迭代法求解 f ( x) 0 的近似根，首先需将此方 程化为等价的方程：
•
x g ( x)
• 然而将 很多的。
(4.2.4)
f ( x) 0
化为等价方程 (4.2.4) 的方法是
n n1
• （3）如果 f ( x) ( x x )m g ( x) ，其中 g ( x ) 0 。 m 为正整数，则 称 x 为 f ( x) 0 的 m 重根。当 m 1 时称 x 为 f ( x) 0 的单根。
• 定理4.2.1
设 f ( x) 0为具有复系数的n次代数方程，则
xk a kh 上的函数值 f xk 的符号，若 f xk 0 ，则 xk 即
为方程解。若 f xk 0 ，则方程根在区间 [ xk 1 , xk ] 中，其 宽度为 h 。
4.2.2
逐步搜索法
• 例4.2.1 考察方程 f x x3 x 1 0 由于 f 0 1 0, f 2 5 0 则 f x 在 0, 2 内至少有一个根， x0 设从 出发，以 为步长向右进行根的搜索。列 h 0.5 表记录各节点函数值的符号。可见在 1.0,1.5 内必有一根。 表4.2.1
4.2.2

逐步搜索法
对于方程 f x 0 ， x a, b，为明确起见， 设 f a 0 , f (b) 0 ，从区间左端点 x0 a ，出发按某个预 定步长 h（如取
h ba N
， N 为正整数），一步一步
地向右跨，每跨一步进行一次根的收索。即检查节点
4.1.5
模型求解
• 在(4.1.4)中两式，取初始值，我们可以得到： p k Fk F0 (1 r ) [(1 r ) k 1], k 0,1,2,.., N r q k N Fk FN (` 1 r ) [(1 r ) k N 1], k N 1,...,M r • 再分别取，k=N和k=M，并利用FM=0可以求出： q q M M N (1 r ) (1 )(1 r ) 0 p p 它是一个非线性方程。
f x 0
4.2.1
• 对非线性方程：
其中 f x 在 a, b 连续且 f a f b 0 无妨设 f x 在 a, b 内仅有一个零点。 求方程（ ）的实根 的二分法过程， 就是将 a, b 逐步分半，检查函数值符号的变化， 以便确定包含根的充分小区间。
代数方程求根问题是一个古老的数学问题。早在16 世纪就找到了三次、四次方程的求根公式。但直到19世 纪才证明了 n 5 次的一般代数方程式是不能用代数公 式求解的，因此需要研究用数值方法求得满足一定精度 的代数方程式的近似解。
在工程和科学技术中许多问题常归结为求解非线性方 程式问题。正因为非线性方程求根问题是如此重要和基 础，因此它的求根问题很早就引起了人们的兴趣，并得 到了许多成熟的求解方法。下面就让我们首先了解一下 非线性方程的基本概念。
科学计算与数学建模
—— 养老保险问题
中南大学数学科学与计算技术学院
第四章 养老保险问题
——非线性方程求根的数值解法
养老保险问题 非线性方程求根的数值方法
4.1 4.2
4.3
养老保险模型的求解
4.1 养老保险问题
4.1.1 问题的引入
养老保险是保险中的一种重要险种，保险公司将 提供不同的保险方案供以选择，分析保险品种的实际投 资价值。也就是说，如果已知所交保费和保险收入，则 按年或按月计算实际的利率是多少？或者说，保险公司 需要用你的保费实际至少获得多少利润才能保证兑现你 的保险收益？
f ( x) 0 在复数域上恰有
n个根（ r 重根计算 r 个）。如果
f ( x) 0为实系数方程，则复数根成对出现，即当:
i 0 为 f ( x) 0 的复根，则 i 亦是 f ( x) 0 的根。
• 定理4.2.2 设 f ( x) 在 a, b 连续,且 f (a) f (b) 0 ，则存 在 x a, b ，使得 f ( x ) 0 ，即 f x 在 （a, b) 内存在实零点。
2
bk ak 1 x xk k b a 2 2

4.2.2
• 确定新的含根区间 [ak 1, bk 1 ]，即如果 f (ak ) f ( xk ) 0 ， 则根必在 [ak 1 , bk 1 ][ak , xk ] 内，否则必 在 [ak 1 , bk 1 ] [ xk , bk ] 内，且有： 1 bk 1 ak 1 (b a ) 。总之，由上 k 2 述二分法得到序列 xk ，由(4.2.2) 有： lim xk x 。
k
f ( x ) 0 x • 可用二分法求方程 的实根 的近似值 到任意指定的精度，这是因为：设 >0 为 给定精度要求，则由 x x b a ，可 2 得分半计算次数k应满足：
k k
•
•
ln b a ln k ln 2
4.2.3
件一定时是确定的。整个过程可以按月进行划分，因为
交费是按月进行的。假设投保人到第月止所交保费及收