养老金制度建模
企业职工退休养老金制度的数学建模问题
文化视野企业职工退休养老金制度的数学建模问题赵晓艳 河南质量工程职业学院基础教学部摘要：社会退休职工的养老问题日益成为社会的热点。
本文选取对山东省历年社会平均工资统计，然后求出历年的平均增长率作为未来的社会平均工资每年增长率，建立计算未来的社会平均工资的模型。
在考虑了基础养老金、个人账户养老金、养老金与职工工资、缴费年限等的相互关系后，给出了相应的具体算例，然后用Excel软件求出某企业2009年的平均工资和其各年龄段的平均工资，降低了数据的计算量，在此基础上计算出基础养老金和个人账户养老金；职工缴费指数和最优替代率。
最后讨论了养老金的最优替代率和收支平衡与最适宜的缴费年龄和退休年龄。
关键词：养老金；社会平均工资；替代率；收支平衡；退休年龄中图分类号：O29 文献识别码：A 文章编号：1001-828X(2018)009-0423-02我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式。
在我国，施行养老保险政策非常有必要，在自己能力范围内交养老保险，到达一定年龄就可以领取养老金，这样就可以做到老有所依，老有所养，对子女也会减轻很大的压力，同时对于社会来说，也减轻了社会的负担，让社会变得更加和谐稳定，进而间接促进社会发展。
对于社保的缴纳，国家政策也给予了很大的支持，国家规定，社保是可以中断缴纳的，中途改变工作单位会依法把你缴费记录什么的转移到新工作单位[1]。
这就给在企业中的职工提供了很多便利。
假如有一个城市的每个人工资都是每个月一千块钱，市政府规定人们从四十岁时开始交养老保险，按工资的20%交，交到六十岁开始领养老金，这时候每个月就得交两百块。
随着工资每个月上涨(不管是因为时候水平提高还是因为通货膨胀)，交养老金跟领养老金的钱也在逐月上涨。
国家规定社会养老缴费基数最高为年平均工资的3倍，最低为0.6倍养老金 =(退休时上年度在岗职工月平均工资+本人指数化月平均缴费工资)÷2×缴费年限×1%+个人账户储存额÷(人口平均寿命-退休年龄)X12。
养老保险问题建模分析
二分法的优点是方法简单，且只要求 f ( x) 连续即可，可用二分法求出 f ( x) 0 在 a, b 内全部实根，但二分法不能求复 根及偶数重根，且收敛较慢，函数值计算次数 较多。
• 例4.2.2
用二分法求 f ( x)
1 3 10 2
x
6
x 1 在[1,2]内一
即 x 为方程 (4.2.4) 的解（称 x 为函数 g x 的不动点），显然 在由方程 f ( x) 0 转化为等价方程 x g ( x) 时，选择不同的迭代 函数 g ( x) ，就会产生不同的序列 xk （即使初值 x0 选择一样）且 这些序列的收敛情况也不会相同。
k
在这里实际上表示从保险人开始交纳保险费以后，保险 人账户上的资金数值。
4.1.4
模型建立
我们关心的是，在第M月时， FK 能否为非负 数？ 如果为正，则表明保险公司获得收益；如为负，则表明 保险公司出现亏损。当为零时，表明保险公司最后一无 所有，所有的收益全归保险人，把它作为保险人的实际 收益。 从这个分析来看，引入变量FK，很好地刻画了整个 过程中资金的变化关系；特别是引入收益率 r，虽然它 不是我们所求的保险人的收益率，但从问题系统环境中 来看，必然要考虑引入另一对象——保险公司的经营效 益，以此作为整个过程中各量变化的表现基础。
k k
k
Байду номын сангаас
例4.2.4 对例4.2.1中方程考查用迭代法求根
a b
xk 1 sin xk 0.5, k 0,1,2, xk 1 sin 1 xk 0.5 , k 0,1,2,
4.2.1
x
• 二分法的步骤如下：记 a1 a ， b1 b
养老体系模型
-3-
目录
1 问题重述.................................................................................................................................. - 5 1.1 问题背景....................................................................................................................... - 5 1.2 问题提出....................................................................................................................... - 5 2 问题分析.................................................................................................................................. - 6 3 名词、符号说明及基本假设 ................................................................................................... - 6 3.1 名词和符号说明........................................................................................................... - 6 3.2 模型的基本假设........................................................................................................... - 7 4 中国城乡居民养老金收入、支出宏观数学模型 .................................................................. - 7 4.1 城镇居民养老金收入、支出宏观数学模型............................................................... - 8 4.1.1 数据预处理........................................................................................................ - 9 4.1.2 基于相关分析的指标变量分析 ...................................................................... - 12 4.1.3 基于灰色关联度的指标变量分析 .................................................................. - 14 4.1.4 多重共线性诊断.............................................................................................. - 16 4.1.5 基于主成分回归的城镇居民养老金收入、支出建模 .................................. - 16 4.1.6 基于多重线性回归的城镇居民养老金收入、支出建模 .............................. - 19 4.1.7 基于支持向量机的城镇居民养老金收入、支出建模 .................................. - 20 4.2 新农保收入、支出宏观数学模型.............................................................................. - 23 4.2.1 基于多重线性回归的新农保收入、支出建模 .............................................. - 23 4.2.2 基于支持向量机的新农保收入、支出建模 .................................................. - 26 4.3 多层次养老保险体系数学模型研究......................................................................... - 27 4.3.1 企业年金数学模型研究 .................................................................................. - 27 4.3.2 个人储蓄养老保险数学模型研究 .................................................................. - 31 4.3.3 多层次养老保险体系数学模型探讨 .............................................................. - 36 4.4 基于“多缴多得，长缴多得”的仿真研究 ................................................................. - 36 4.4.1 基于多重线性回归模型的仿真研究 .............................................................. - 37 4.4.2 基于支持向量机模型的仿真研究 .................................................................. - 38 5 养老金缺口估计与模型调整 ................................................................................................ - 39 5.1 养老金缺口估计......................................................................................................... - 39 5.1.1 基于多重线性回归模型的缺口估计 .............................................................. - 39 5.1.2 基于支持向量机模型的缺口估计 .................................................................. - 42 5.2 基于收入倍增计划的模型调整................................................................................. - 44 6 养老保险体系的可持续性研究 ............................................................................................ - 44 6.1 各国养老保险模式分析............................................................................................. - 45 6.2 我国养老保险体系可持续性研究............................................................................. - 46 6.2.1 替代率与缴费率合理区间选取 ...................................................................... - 46 6.2.2 可调节变量的数学模型建立 .......................................................................... - 48 6.2.3 政策措施建议.................................................................................................. - 53 7 结论与建议............................................................................................................................ - 54 7.1 模型评价..................................................................................................................... - 54 7.2 我国养老保险体系未来发展建议............................................................................. - 55 参考文献.................................................................................................................................... - 57 -
个人帐户养老金精算模型
个人帐户养老金精算模型一、问题的提出中国老龄化问题日益严重。
在人口老龄化的趋势下，我国传统的现收现付制的养老保险制度已不适合我国的经济的发展，因此，只有建立基金式养老金模式，与国际社会接轨，才能彻底解决我国老龄化问题对我国政府带来的压力。
因此，我国于1997年对养老金制度进行了改革，社会基本养老保险由传统的现收现付制模式转化为现部分基金模式。
所谓部分基金模式，即退休职工的退休金包括两部分：基础养老金和个人账户养老金。
当职工退休时，领取的基础养老金标准是该地区上年度职工月平均工资的20%，个人帐户养老金的标准为本人帐户储存额除以120，均为按月发放。
对改革前实施前参加工作、实施后退休且个人缴费和视同缴费年限累计满15年的人员（以下简称‘中人’），按照新老办法平稳衔接、待遇水平基本平衡等原则，在发给基础养老金和个人帐户养老金的基础上再确定过渡性养老金，过渡性养老金从养老保险基金中解决。
具体办法，由劳动部会同有关部门制订并指导实施；对改革时已经退休的职工（以下简称‘老人’），养老金发放标准与现收现付制下的标准相同。
对于基本养老金制度的改革，我们提出以下两个问题：1、试对改革后个人账户养老金发放标准建立数学模型，并对标准的合理性进行分析；2、试建立数学模型并分析当前养老金制度中影响保障程度的指标。
二、问题的分析《决定》规定，退休后职工的基本养老金由基础养老金和个人帐户养老金组成。
退休后的基本养老金计算公式为：月养老金＝基础养老金＋个人帐户养老金。
其中：基础养老金＝上年度本地区在职职工月平均工资×20%，个人帐户养老金＝个人养老保险帐户累积储存额/120，个人帐户养老金按照社会平均余命发放，超过平均余命的退休职工的养老金部分，由社会统筹支付。
替代率是指个人进入退休期所领取的养老金与进入退休期上一年度工资的比例，或者是进入退休期社会平均养老金与进入退休期上一年度社会平均工资的比例。
替代率的高低是衡量养老金制度是否合理的关键因子。
养老金模型的构建与优化
养老金模型的构建与优化随着人口老龄化问题的日益突出，养老金模型的构建与优化变得尤为重要。
本文将介绍养老金模型的构建方法，并提出一些优化建议，以提高养老金制度的可持续性和公平性。
一、养老金模型的构建1. 定义养老金模型养老金模型是指一种描述养老金制度运行机制的数学模型，通过模拟和预测养老金的收支平衡情况，为政府和社会提供决策依据。
2. 养老金模型的要素养老金模型通常包括以下要素：参保人口、缴费规则、养老金计算公式、投资回报率、养老金支出等。
3. 养老金模型的建立方法养老金模型的建立需要依据实际情况进行数据分析和模型参数设定。
可以采用统计学方法、经济学方法和精算学方法等，结合实际情况进行模型的参数估计和模拟计算。
二、养老金模型的优化1. 提高养老金的收入（1）增加参保人口：加强宣传和教育，提高社会保障意识，扩大养老保险的覆盖范围。
（2）调整缴费规则：根据参保人口的收入情况和风险承受能力，合理设定缴费比例和缴费基数。
（3）优化投资回报率：加强养老基金的投资管理，提高投资回报率，增加养老金的积累。
2. 控制养老金的支出（1）合理设定养老金计算公式：根据参保人口的缴费历史和个人情况，制定合理的养老金计算公式，避免高额养老金的发放。
（2）提高退休年龄：随着人口老龄化的加剧，适当延长退休年龄，减少养老金的支出压力。
（3）加强养老金的监管和管理：建立健全的养老金管理制度，加强对养老金的审计和监督，防止养老金的滥用和浪费。
3. 提高养老金制度的可持续性和公平性（1）建立多层次养老保障体系：除了基本养老保险外，还应建立补充养老保险和个人储蓄养老金等多层次的养老保障体系，提高养老金的可持续性。
（2）加强养老金的调剂机制：建立养老金调剂基金，对养老金收支不平衡的地区进行调剂，保证养老金的公平性。
（3）加强社会保障的协调发展：养老金制度应与其他社会保障制度相衔接，形成统一的社会保障体系，提高整体效益。
结语养老金模型的构建与优化是一个复杂而重要的问题。
关于企业退休职工养老金制度改革的数学模型
１ 问题以及背景
养老金又称退休金， 是由政府、 公司、 金融机构等向因年老或疾病失去劳动能力 的人按月支付的资金。 目前， 按照国家对基本养老保险制度 的 总 体 思 路， 未 来 基 本 养 老 保 险 目 标 替 代 率 确 定 为５ ８ ． ５ ％ 。 由 此 可 以 看 出， 今 后 基 本 养老金主要目的在于保障广大退休人员的 晚年基本生活。 本 文 在２０１１年 大 学 生 数 学 建 模 大 赛 案 例基础上，对养老保险制度建立模型主要 解决以下四个问题。 问题一： 对未来中国经济发展和工资 增长的形势做出你认为是简化、 合理的假 设，并参考山东省职工历年平均工资统计 表，预测从２０１１年至２０３５年的山东省职工的 年平均工资（如表１） 。 问题二：根据表２计算２００９年 该 企 业 各 年龄段职工工资与该企业平均工资之比。 如果把这些比值看作职工缴费指数的参考 值， 考 虑 该 企 业 职 工 自２０００ 年 起 分 别 从３ ０ 岁、 ４０岁开始缴养老保险，一直缴费到退休 （５５岁、 ６０岁、 ６５岁），计算各种情况下的养老
２０１２ ＮＯ．１７ ＳＣＩＥＮＣＥ ＆ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ
科技资讯
X ( t ) = X 0 ert = e-254.6317 ×e0.1319 t = e0.1319t-254.6317（４） 利用上式我们预测从２０１１年至２０３５年 的 山 东 省 职 工 的 年 平 均 工 资 如 表１和图２ 。
本人指数化月平均缴费工资的公式
c1 x1
图 ２ 预测工资增长图 表４
缴养老保险的情况 ３０ 岁开始缴养老保险，缴费到 ５５ 岁退休 ３０ 岁开始缴养老保险，缴费到 ６０ 岁退休 ３０ 岁开始缴养老保险，缴费到 ６５ 岁退休 ４０ 岁开始缴养老保险，缴费到 ５５ 岁退休 ４０ 岁开始缴养老保险，缴费到 ６０ 岁退休 ４０ 岁开始缴养老保险，缴费到 ６５ 岁退休
养老金问题的数学模型探究
−
.
×
.
整合呈现பைடு நூலகம்问题求解
整合研究，问题求解
年份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
缴纳
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
= . ， = . − + .
故{ +
设，使得 + = . − + ≥
即 = 1.035−1 + 0.035，
故. = . , 即 =
.
.
=
+
，公比. ，
通项公式为
式，年利率为3.5%
第1年
第2年
第3年
第4年
……
第n年
……
利润
结余
分段探究，建立模型
任务三、寻求 与− 的递推关系
【学生展示1】
【学生展示2】
×
没缴纳养老金≠没利润
递推关系： = . − − ≥
分段探究，建立模型
任务四：由 与− 的递推关系推导 的通项公式
P 没
钱
李斯特养老金计划所用数学模型
李斯特养老金计划所用数学模型
李斯特养老金计划是一个涉及金融和经济领域的复杂问题，需要使用多种数学模型来进行描述和分析。
以下是其中一些常用的数学模型：
1. 精算模型
精算模型是用来计算养老金计划负债和成本的工具。
它基于一系列假设，包括人口统计数据、投资收益率、通货膨胀率、利率等，通过这些假设来模拟未来现金流和负债变化的情况。
精算模型可以帮助计划发起人制定合适的费率，以保证养老金计划的长期稳定运行。
2. 投资组合模型
投资组合模型是用来优化养老金资产配置的工具。
它通过将资产分配到不同的投资品种中，以实现风险和收益的平衡。
投资组合模型通常采用现代投资组合理论（如Markowitz模型），通过计算每一种投资品种的期望收益、方差和相关系数，来找出最优的投资组合。
3. 随机过程模型
随机过程模型是用来模拟养老金计划负债和投资的动态变化的工具。
它基于随机过程理论，可以考虑到许多随机因素的影响，如死亡率、投资收益率、通货膨胀率等。
随机过程模型可以帮助计划发起人预测未来负债和资产的变化情况，从而更好地制定决策。
4. 仿真模型
仿真模型是用来模拟养老金计划在不同情况下的表现的工。
它通过设定不同的参数和假设条件，模拟出未来可能出现的各种情况，并对这些情况进行评估和分析。
仿真模型可以帮助计划发起人评估不同策略的风险和收益，从而更好地制定决策。
李斯特养老金计划需要使用多种数学模型来进行描述和分析。
这些模型可以帮助计划发起人制定合适的费率、优化资产配置、预测未来变化情况以及评估不同策略的风险和收益。
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1问题重述
1.1问题背景
我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。这两个账户我们合称为养老保险基金。退休后，按职工在职期间每月（或年）的缴费工资与社会平均工资之比（缴费指数），再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出资金（基础养老金），加上个人工资账户中一定比例的资金（个人账户养老金），作为退休后每个月的养老金。养老金会随着社会平均工资的调整而调整。如果职工死亡，社会统筹账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为3%。
表2国家5年规划期间GDP预测
国家规划
国家预测GDP增长率
十二五(2011-2015）
8.20%
十三五(2016-2020）
7.10%
十四五(2021-2025）
5.20%
十五五(2026-2030）
5.50%
十六五(2030-2035）
4.10%
根据表2中的数据我们判断国家GDP到2035年一直会持续增长，也就是说近期不会达到 阻滞增长模型中的最大值，在这里用阻滞增长模型反而有些麻烦，因此不采取阻滞增长模型。
3假设条件
1）职工个人账户存储额的年利率统一为30%；
2）在未来所测年限中我国经济会稳定发展，不会出现经济危机等阻碍经济的状况；
3）假设男女职工退休年龄标准一致；
4）假设该企业各年龄段人员分布平均；
5）假设该企业各年龄段职工人数保持不变；
6）基金收益率8%和缴费率20%都是维系收支平衡的最佳点。
4符号说明
问题四为了保证我国社会养老保险基金不仅实现当期收支平衡，而且还要在未来长时期内保持收支平衡，并要达到目标替代率，结合我国国情实际，从就业年龄，退休年龄，养老金替代率，工资增长率等影响养老保险基金收支平衡的各相关变量作了定量和定性分析讨论，得到了既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡可以采取以下措施：
71430
2027
75000
2028
78750
2029
82690
2030
86820
2031
91160
2032
95720
2033
100510
2034
105530
2035
110810
5.2问题二
5.2.1数据处理
根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。
该企业平均工资：
综上情况得各年龄段职工工资与该企业平均工资之比见表5：
为了观察工资走势，用Matlab编程软件画出1978年到2010年山东省人均工资的走势如图2：
根据国家统计局下发的《中华人民共和国和社会发展规划》中的GDP增长率预测值（表2）计算得到2011-2035年的每年的GDP值如表3：
表3 2011年到2035年人均GDP预测值
年份
人均GDP
年份
人均GDP
年份
人均GDP
2011
31235.4
2020
48456.36
2029
75171.7
2012
32797.17
2021
50879.1
2030
78930.30
2013
34437.03
2022
53423.1
2031
82876.82
2014
36158.88
2023
56094.29
2032
87020.66
2015
表1 中国历年（1978-2010）人均GDP
年份
人均GDP
年份
人均GDP
年份
人均GDP
1978
381
1989
1,519
2000
7,858
1979
419
1990
1,644
2001
8,622
1980
463
1991
1,893
2002
9,398
1981
492
1992
2,311
2003
10,542
1982
528
（3）缩短养老金替代率降低时间，在假定其他因素不变的情况下，可以保证基金在2050年之前不出现赤字，可更好的维系养老金收支平衡，并达到养老金目标替代率。
（4）降低工资增长率,工资增长率对职工领取的保险费额的影响幅度远远超过对其所缴纳的保险费额的影响幅度，从而使E与F的正差额变小，即使积累或结余变少。因此，降低工资增长率可以缓解养老金支付负担,维持收支平衡。
在问题一中首先采用国家统计局发布的GDP增长率对2011-2035年GDP进行预测，然后根据已知的GDP和平均工资对二者关系进行拟合得到关系式，最后根据GDP的预测值计算出平均工资的预测值。
对于题二计算出各年龄段职工工资与该企业平均工资之比，再使用加权平均得出缴费指数参考值。
针对问题三根据一个职工他所交的养老保险金和他退休后总共领取到的养老金的差值来计算其缺口，最后找到该职工领取养老金到多少岁时，达到收支平衡。
企业退休职工养老金研究
摘要
本文针对我国企业退休职工养老保险基金收支平衡的问题，根据2005年颁发的《国务院关于完善企业职工基本养老保险制度的决定》，建立养老保险基金收支平衡模型，即缴存的养老保险金E与得到的养老保险金F保持一致；和对养老金替代率讨论模型 。分析了在该政策背景下，当已知基金收益率和缴费率时，各个因素对基金收支平衡的影响。
现在我国养老保险改革正处于过渡期。养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%.替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。
2问题分析
过去30年我国经济发展迅速，而发达国家已处于平稳状态，可以预测的是在未来些许年中我国经济还会迅速发展，当达到发达国家水平时经济会处于一个稳定状态，此时GDP增长率会变慢。而工资的增长与经济增长相关。
问题一需要判断工资和GDP存在某种函数关系。所以对于此问题应该先根据相关资料对GDP进行预测，然后把GDP和工资进行拟合，得出函数关系。最终得到工资的预测值。
表5各年龄段职工工资与该企业平均工资之比
年龄段
月平均工资
企业月平均工资
各年龄段平均工资之比
20-24岁职工数
1715.4
2580.2
0.6648
25-29岁职工数
2077
0.805
30-34岁职工数
2535.1
0.9825
35-39岁职工数
2752.2
1.0667
40-44岁职工数
3026
1.1728
45-49岁职工数
3268
1.2666
50-54岁职工数
3118.5
1.2086
55-59岁职工数
2980.2
1.155
60-64岁职工数
2541.4
0.985
65-69岁职工数
2046.1
0.793
把这些比值看作职工缴费指数的参考值, 该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁）。
令 等于第 年人均工资， 等于第 年平均GDP，由图3我们设其关系为：
用最小二乘法确定 , 的值：
用Lingo软件编程求得：
因此平均工资与平均GDP的关系为：
根据上式和表3内容对2011年-2035年山东省年均工资预测如下表4：
表4 2011-2035年山东平均工资预测
年份
平均工资
年份
平均工资
年份
平均工资
37966.8
2024
58899.01
2033
91371.69
2016
39865.17
2025
61843.96
2034
95940.27
2017
41858.42
2026
64936.15
2035
100737.3
2018
43951.34
2027
68182.96
-----
-----
2019
46148.91
2028
第 种情况企业职工领取的养老金
第 种情况下出现的缺口
为人均寿命
表示第 年份 岁在职职工的人数
其缴存的养老保险金
其退休后第一个月领取的养老保险金
职工领取养老金的年数；
养老保险费的收入
基本养老金的支出
5模型的建立与求解
5.1问题一
5.1.1模型准备
因为工资的增长和国家经济增长相关，因此我们先查询国家统计局发布的中国历年人均GDP如表1：
问题三：假设该企业某职工自 2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。
问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。请给出你的理由。
职工退休时的养老金由两部分组成：
养老金（A）=基础养老金（B）+个人账户养老金（D)