二次函数最值问题练习题

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中考数学《二次函数的最值》专项练习题及答案

中考数学《二次函数的最值》专项练习题及答案一、单选题1．定义：如果两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“守望函数”，这对点称为“守望点”.例如：点P(2，4)在函数y =x 2上，点 Q(−2，−4)在函数y =−2x −8上，点P 与点Q 关于原点对称，此时函数y =x 2和y =−2x −8互为“守望函数”，点P 与点Q 则为一对“守望点”.已知函数y =x 2+2x 和y =4x +n −2022互为“守望函数”，则n 的最大值为（） A ．2020B ．2022C ．2023D ．40842．已知二次函数y=ax 2+2ax+3a 2+3（其中x 是自变量），当x ≥2时，y 随x 的增大而增大，且-2≤x ≤1时，y 的最大值为9，则a 的值为（） A ．1或B ．- 或C ．D ．13．已知二次函数y =ax 2+bx −1（a ，b 是常数，a ≠0）的图象经过A(2，1)，B(4，3)，C(4，−1)三个点中的其中两个点.平移该函数的图象，使其顶点始终在直线y =x −1上，则平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的（） A ．最大值为-1B ．最小值为-1C ．最大值为−12D ．最小值为−124．二次函数y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数且a ≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 y125﹣3﹣4﹣35121）二次函数y=ax 2+bx+c 有最小值，最小值为﹣3；2）当 −12<x <2 时，y ＜0；3）二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧．则其中正确结论的个数是（） A ．3B ．2C ．1D ．05．已知二次函数 y =−(x −ℎ)2+4 （h 为常数），在自变量 x 的值满足 1≤x ≤4的情况下，与其对应的函数值 y 的最大值为0，则 h 的值为（） A ．和B ．和C ．和D ．和6．经过点A （m ，n ），点B （m ﹣4，n ）的抛物线y ＝x 2+2cx+c 与x 轴有两个公共点，与y 轴的交点在x 轴的上方，则当m ＞﹣12时，n 的取值范围是（）A ．14<n <4B ．12<n <2C ．18<n <8D ．14<n <27．二次函数y ＝x 2＋2x －5有A ．最大值－5B ．最小值－5C ．最大值－6D ．最小值－68．①4的算术平方根是±2；②√2与-√8是同类二次根式；③点P （2，3）关于原点对称的点的坐标是（-2，-3）； ④抛物线y=-12（x-3）2+1的顶点坐标是（3，1）．其中正确的是( ) A ．①②④B ．①③C ．②④D ．②③④9．童装专卖店销售一种童装，已知这种童装每天所获得的利润y （元）与童装的销售单价x （元）之间满足关系式y=－x 2+50x+500，则要想每天获得最大利润，单价需为（）． A ．25元B ．20元C ．30元D ．40元10．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的y 与x 的部分对应值如表：x ﹣5 ﹣4 ﹣2 0 2 y6﹣6﹣468，y 1），点（8，y 2）在二次函数图象上，则y 1＜y 2；④方程ax 2＋bx ＋c ＝﹣5有两个不相等的实数根．其中，正确结论的是（） A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④11．已知抛物线y=-2（x-3）2+5，则此抛物线（）A ．开口向下，对称轴为直线x=-3B ．顶点坐标为（-3，5）C ．最小值为5D ．当x ＞3时y 随x 的增大而减小12．如果抛物线 y =x 2−6x +c −2 的顶点到 x 轴的距离是3，那么 c 的值等于（）A ．8B ．14C ．8或14D ．-8或-14二、填空题13．二次函数y=2x 2﹣1，∵a= ，∴函数有最值．14．公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s （m ）与时间t （s ）的函数关系式为s=20t-5t 2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行 m 才能停下来．15．已知二次函数y ＝ 12x ²＋2若自变量x 的取值范围是－1≤x ≤2，则函数y 的取值范围是．16．函数y =x 2−2x(0≤x ≤3)有最大值，也有最小值，则最小值是 . 17．若二次函数y ＝－x 2－4x ＋k 的最大值是9，则k ＝．18．当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的范围是．三、综合题19．某农作物的生长率p与温度t ( C∘ )有如下关系：如图，当10≤t≤25 时可近似用函数p=150t−15刻画；当25≤t≤37 时可近似用函数p=−1160(t−ℎ)2+0.4刻画．（1）求ℎ的值．（2）按照经验，该作物提前上市的天数m (天)与生长率p满足函数关系，部分数据如下：生长率p0.20.250.30.35提前上市的天数m（天）051015②请用含t的代数式表示m③天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在大棚恒温20℃时每天的成本为100元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出(一次售完)，销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到20≤t≤25时的成本为200元/天，但若加温到25＜t≤37，由于要采用特殊方法，成本增加到400元/天，问加温到多少度时增加的利润最大？并说明理由。

初中数学二次函数最值练习题(附答案)

初中数学二次函数最值练习题一、单选题1.二次函数245y x x -=+的最小值是( ) A.1-B.1C.3D.52.在平面直角坐标系中,对于二次函数2(2)1y x =-+,下列说法中错误的是( ) A.y 的最小值为1B.图象顶点坐标为(2,1),对称轴为直线2x =C.当2x <时,y 的值随x 值的增大而增大,当2x ≥时,y 的值随x 值的增大而减小D.它的图象可以由2y x =的图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到3.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价每降价1元，其日销量就增加1个，为了获取每日最大利润，则应降价( ) A.5元 B. 10元 C. 15元 D.20元4.当1a x a ≤≤+时，函数221y x x =-+的最小值为1，则a 的值为（） A.-1 B.2 C.0或2 D.-1或2 5.当21x -≤≤时，二次函数22()1y x m m =--++有最大值4，则实数m 的值为（）A.74-或74- 6.已知二次函数2()1y x h =-+(h 为常数),在自变量x 的值满足13x 的情况下,与其对应的函数值y 的最小值为5,则h 的值为( )A.1或-5B.-1或5C.1或-3D.1或37.某二次函数,当自变量x 满足04x 时,对应的函数值y 满足02y ,则这个函数不可能是( ) A.21(2)2y x =- B.242y x x =-+ C.21(2)22y x =--+ D.2114y x x =-++ 8.在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用28 m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD (篱笆只围,AB BC 两边),设m AB x =.若在点P 处有一棵树与墙,CD AD的距离分别是15 m 和6 m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),则花园面积S 的最大值为( )A.2193mB.2194mC.2195mD.2196m9.已知二次函数22233y ax ax a =+++（其中x 是自变量），当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，且21x -≤≤时，y 的最大值为9，则a 的值为（）A.1或-2B. D.110.已知二次函数2()y x h =--（h 为常数），当自变量x 的值满足25x ≤≤时，与其对应的函数值y 的最大值为1-，则h 的值为( ) A.3或6 B.1或6C.1或3D.4或6二、解答题11.2a b+≤(0,0)a b >>，当且仅当a b =时，等号成立，其中我们把2a b+叫作正数a b 、,a b 的几何平均数，其意义是两个正数的算术平均数不小于其几何平均数。

二次函数区间最值问题专题训练

二次函数区间最值问题专题训练1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣5（a≠0）的对称轴是直线x＝1．（1）用含a的式子表示b；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）若抛物线与y轴的一个交点为A（0，﹣4），且当m≤x≤n时，y的取值范围是﹣5≤y≤n，结合函数图象，直接写出一个满足条件的n的值和对应m的取值范围．2．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣且与x轴相交于点A（﹣6，0），与y轴相交于点C，直线l：y＝2x+b经过点C．（1）求该抛物线与直线l的表达式；（2）设动点P（m，n）在该抛物线上，当∠P AC＝45°时，求m的值．3．【概念认识】已知m是实数，若某个函数图象上存在点M（m，m），则称点M是该函数图象上的“固定点”．【数学理解】（1）一次函数y＝﹣2x+3的图象上的“固定点”的坐标是；（2）求证：反比例函数y＝（k＞0）的图象上存在2个“固定点”；（3）将二次函数y＝x2+bx+1（b＜﹣2）的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象在x轴上方的部分组成一个类似“W”形状的新图象．若新图象上恰好存在3个“固定点”，求b的值．4．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k（k为常数）．（Ⅰ）当k＝2时，求该抛物线的解析式及顶点坐标；（Ⅱ）若抛物线经过点（1，k2），求k的值；（Ⅲ）若抛物线经过点（2k，y1）和点（2，y2），且y1＞y2，求k的取值范围；（Ⅳ）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值﹣，求k的值．5．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）直线l过点A且在第一象限与抛物线交于点C．当∠CAB＝45°时，求点C的坐标；（3）点D在抛物线上与点C关于对称轴对称，点P是抛物线上一动点，令P（x P，y P），当1≤x P≤a，1≤a≤5时，求△PCD面积的最大值（可含a表示）．6．已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．（1）当m＝0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；（3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．7．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝﹣2x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象过A，B两点，且与x轴的另一交点为点C，BC＝2；（1）求点C的坐标；（2）对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2＞2时，总有y1＞y2．①求二次函数的表达式；②设点A在抛物线上的对称点为点D，记抛物线在C，D之间的部分为图象G（包含C，D两点）．若一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象与图象G有公共点，结合函数图象，求k 的取值范围．8．如图，抛物线C1：y＝﹣x2+mx+n与抛物线C2：y＝ax2﹣4x+5（a≠0）关于y轴对称，C1与x轴交于A，B两点，其中点A在点B的左侧．（1）求抛物线C1，C2的函数表达式．（2）在抛物线C1上是否存在一点N，在抛物线C2上是否存在一点M，使得以AB为边，且以A、B、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出M、N两点的坐标；若不存在，请说明理由．9．综合与探究：如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，OA＝OC＝3．（1）求抛物线的函数表达式；（2）判断△ACD的形状并说明理由；（3）如图2，N是AC下方的抛物线上的一个动点，且点N的横坐标为n，求△CAN面积S与n的函数关系式及S的最大值；（4）在抛物线上是否存在一点N，使得∠NAB＝∠ABC，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．10．已知二次函数y＝mx2﹣10mx﹣2m2+26．（1）求此二次函数图象的顶点坐标（可用含m的代数式表示）；（2）若二次函数的图象与x轴的一个交点为（﹣2，0），试求m的值；（3）当m＜0时，若点（n，y1）、（n+2，y2）都在二次函数图象上，且y1＜y2．试求n 的取值范围．11．在平面直角坐标系xOy（如图）中，二次函数f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1（其中a是常数，且a≠0）的图象是开口向上的抛物线．（1）求该抛物线的顶点P的坐标；（2）我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”，将抛物线f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1与y轴的交点记为A，如果线段OA上的“整点”的个数小于4，试求a的取值范围；（3）如果f（﹣1）、f（0）、f（3）、f（4）这四个函数值中有且只有一个值大于0，试写出符合题意的一个函数解析式；结合函数图象，求a的取值范围．12．已知面积为1的等腰直角三角形的三个顶点均在抛物线y＝ax2+bx（a、b为常数，且a ＞0）上，其中直角顶点与抛物线顶点重合．（1）求a的值；（2）若直线y＝t（t≤4）与抛物线y＝ax2+bx（a＞0）有公共点．①求t的取值范围；②求关于t的函数y＝at2+bt（﹣2＜b＜2）的最大值．13．已知函数y1＝（x﹣m）2+m（x）和y2＝﹣（x﹣m）2+2（x m），其中m 为常数．在平面直角坐标系中，y1与y2的图象合在一起组成的图形记作G．（1）当x＝m时，求y1的值（用含m的代数式表示）．（2）当m＝﹣3时，点P（﹣2，a）和Q（﹣1，b）均在图形G上，比较a与b的大小关系．（3）当图形G与直线y＝2有且只有两个公共点时，求m的取值范围．（4）当﹣2≤x≤2时，图形G上最低点的纵坐标记作y min，若y min≥﹣，直接写出m 的取值范围．14．已知函数y＝，将此函数的图象记为G．（1）当m＝1时，①直接写出此函数的函数表达式；②P（﹣1，a）在图象G上，求点P的坐标；③当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围；（2）设图象G最低点的纵坐标为y0，当﹣7≤y0≤﹣2时，直接写出m的取值范围；（3）矩形MNPQ的顶点坐标分别为M（m，m）、N（m+2，m）、P（m+2，0）、Q（m，0），若图象G落在矩形MNPQ内部的部分图象所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围；（4）矩形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣4，3），B（﹣4，0），C（3，0），D（3，3），若函数y＝，在m﹣1≤x≤m+1范围内的图象与矩形ABCD的边有且只有一个公共点，求m的取值范围．15．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0）与y轴交于点C，在x 轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式及C点坐标；（2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；（3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1＝S2，求m的值．16．平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+（1+m）x﹣m（m为常数，m≠±1）与轴交于定点A及另一点B，与y轴交于点C．（1）当点（2，2）在抛物线上时，求抛物线解析式及点A，B，C的坐标；（2）如图1，在（1）的条件下，D为抛物线x轴上方一点，连接BD，若∠DBA+∠ACB ＝90°，求点D的坐标；（3）若点P是抛物线的顶点，令△ACP的面积为S，①直接写出S关于m的解析式及m的取值范围；②当时，直接写出m的取值范围．17．已知抛物线y＝（x﹣m）2﹣2（m﹣1）2和直线，m为常数，且m≥1．（1）若该抛物线的顶点在x轴上，①求m的值；②若直线与抛物线相交于M，N两点，点P为线段MN上一动点，过P作x轴的垂线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．（2）若直线与抛物线相交于A、B两点（B在对称轴的右边），且与抛物线的对称轴相交于C点，当CO＝CB时，求抛物线的顶点坐标．18．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0），且对任意实数x，都有4x﹣12≤ax2+bx+c ≤2x2﹣8x+6．（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．19．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c与直线y＝﹣3有且只有一个公共点．（1）直接写出抛物线的顶点D的坐标，并求出c与a的关系式；（2）若点P（x，y）为抛物线上一点，当t≤x≤t+1时，y均满足﹣3≤y≤at2﹣3，求t 的取值范围；（3）过抛物线上动点M（x，y）（其中x≥3）作x轴的垂线l，设l与直线y＝﹣ax+2a ﹣3交于点N，若M、N两点间的距离恒大于等于1，求a的取值范围．20．如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），过A作线段AB∥y轴（B在A下方），以AB 为边向右作正方形ABCD．设点B的纵坐标为m，二次函数y＝ax2﹣4ax的图象的顶点为E．（1）AB＝．（用含m的代数式表示）；（2）当点A恰好在二次函数y＝ax2﹣4ax的图象上时，求二次函数y＝ax2﹣4ax的关系式．（3）当点E恰为线段BC的中点时，求经过点D的反比例函数的关系式；（4）若a＝m+1，当二次函数y＝ax2﹣4ax的图象恰与正方形ABCD有三个交点且二次函数顶点E不位于直线BC下方时，直接写出m的值．21．已知抛物线y＝ax2+bx经过点（2，8），（4，8）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P（x1，y1），Q（x2，y1）均在该抛物线上，且x1＜x2≤4，求的取值范围；（3）若点A为抛物线上的动点，点B（3，7），则以线段AB为直径的圆截直线y＝所得弦的长是否为定值？若是，求出它的值；若不是，请说明理由．。

二次函数的最值问题举例(附练习、答案)

二次函数的最值问题举例（附练习、答案）二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a=-处取得最大值244ac b a-，无最小值．本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．【例1】当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值．解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =．【例2】当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-．由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：【例3】当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．解：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象．可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值．所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-．【例4】当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)．分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．解：函数21522y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时：当x t =时，2min 1522y t t =--； (2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+⇒≤≤时：当1x =时，2min 1511322y =⨯--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +<⇒<时：当1x t =+时，22min 151(1)(1)3222y t t t =+-+-=-．综上所述：2213,023,0115,122t t y t t t t ⎧-<⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-->⎩在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式；(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为(30)x -元，那么m 件的销售利润为(30)y m x =-，又1623m x =-．2 (30)(1623)32524860,3054y x x x x x ∴=--=-+-≤≤(2) 由(1)知对称轴为42x =，位于x 的范围内，另抛物线开口向下 ∴当42x =时，2max 342252424860432y =-⨯+⨯-=∴当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．A 组1．抛物线2(4)23y x m x m=--+-，当m= _____ 时，图象的顶点在y轴上；当m= _____ 时，图象的顶点在x轴上；当m= _____ 时，图象过原点．2．用一长度为l米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为________ ．3．求下列二次函数的最值：(1) 2245y x x=-+；(2) (1)(2)y x x=-+．4．求二次函数2235y x x=-+在22x-≤≤上的最大值和最小值，并求对应的x的值．5．对于函数2243y x x=+-，当0x≤时，求y的取值范围．6．求函数3y=-7．已知关于x的函数22(21)1y x t x t=+++-，当t取何值时，y的最小值为0？B 组1．已知关于x的函数222y x ax=++在55x-≤≤上．(1) 当1a=-时，求函数的最大值和最小值；(2) 当a为实数时，求函数的最大值．2．函数223y x x=++在0m x≤≤上的最大值为3，最小值为2，求m的取值范围．3．设0a>，当11x-≤≤时，函数21y x ax b=--++的最小值是4-，最大值是0，求,a b的值．4．已知函数221y x ax=++在12x-≤≤上的最大值为4，求a的值．5．求关于x的二次函数221y x tx=-+在11x-≤≤上的最大值(t为常数)．第五讲二次函数的最值问题答案A 组1．4 14或2，322．2216l m 3．(1) 有最小值3，无最大值；(2) 有最大值94，无最小值． 4．当34x =时，min 318y =；当2x =-时，max 19y =． 5．5y ≥-6．当56x =时，min 36y =-；当23x =或1时，max 3y =． 7．当54t =-时，min 0y =． B 组1．(1) 当1x =时，min 1y =；当5x =-时，max 37y =．(2) 当0a ≥时，max 2710y a =+；当0a <时，max 2710y a =-．2．21m -≤≤-．3．2,2a b ==-．4．14a =-或1a =-． 5．当0t ≤时，max 22y t =-，此时1x =；当0t >时，max 22y t =+，此时1x =-．。

中考数学总复习《二次函数的最值》练习题及答案

中考数学总复习《二次函数的最值》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．已知二次函数y=a（x+2）2+3（a＜0）的图象如图所示，则以下结论：①当x＞﹣2时，y随x的增大而增大；②不论a为任何负数，该二次函数的最大值总是3；③当a=﹣1时，抛物线必过原点；④该抛物线和x轴总有两个公共点．其中正确结论是（）A．①②B．②③C．②④D．①④2．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，求m的最大值() A．-3B．3C．-6D．93．设实数x＞0，y＞0，且x＋y－2x2y2＝4，则1x+1y的最小值为()A．4 √2B．3 √2C．2 √2D．√24．如图，一条抛物线（形状一定）与x轴相交于E、F两点（点E在点F左侧），其顶点P在线段AB上移动．若点A、B的坐标分别为(−2，−3)、(4，−3)，点E的横坐标的最小值为-5，则点F的横坐标的最大值为（）A．6B．7C．8D．95．如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿A−B−C方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E做FE⊥AE，交CD于F点，设点E运动路程为x，FC=y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是25，则矩形ABCD的面积是()A．235B．254C．6D．56．已知0≤x≤32，则函数y=x2+x+1（）A．有最小值34，但无最大值B．有最小值34，有最大值1C．有最小值1，有最大值194D．无最小值，也无最大值7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如表：x﹣5﹣4﹣202y60﹣6﹣46；③若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；④方程ax2＋bx＋c＝﹣5有两个不相等的实数根．其中，正确结论的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④8．已知二次函数y=ax2−2ax+a+2(a≠0)，若−1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为4，则a的值为（）A．1B．-1C．±1D．无法确定9．如图，已知二次函数的图象（0≤x≤1+2 √2）.关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最小值﹣2，无最大值B．有最小值﹣2，有最大值﹣1.5C．有最小值﹣2，有最大值2D．有最小值﹣1.5，有最大值210．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12BC=2点D是AB上一动点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，BE，当△BED面积最大时，AD的长为（）A．2B．√5C．25√5D．4√5511．若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是（）A．﹣4或72B．﹣2 √3或72C．﹣4 或2 √3D．﹣2 √3或2 √3 12．若二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值是2，则a的值为（）A．4B．－1C．3D．4或－1二、填空题13．二次函数y=x2−2x+3的最小值是．14．当实数a满足2≤a≤5时，且代数式−a2+2ab−b2取最大值－1时，则b的值为．15．抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x-2-1012y04664从上表可知，下列说法中正确的是．)①抛物线与x轴的一个交点为(3，0)；②函数y=ax2+bx+c的最大值为6；②抛物线的对称轴是直线x=12；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．16．二次函数y=﹣x2﹣4x+k的最大值是9，则k=．17．已知关于x的函数y=−x2−ax+1，当0≤x≤3时函数有最大值5，则a=．18．已知关于x的二次函数y＝x2－2ax＋3，当1≤x≤3时，函数有最小值2a，则a的值为.三、综合题19．已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点(0，3a)，对称轴为x=1.（1）试用含a的代数式表示b、c.（2）当抛物线过点(2，3)时，求此抛物线的解析式.（3）求当b(c+6)取得最大值时的抛物线的顶点坐标.20．如图，正方形ABCD的边长为4，点G，H分别是BC、CD边上的点，直线GH与AB、AD的延长线相交于点E，F，连接AG、AH．（1）当BG=2，DH=3时，则GH：HF=，∠AGH=°；（2）若BG=3，DH=1，求DF、EG的长；（3）设BG=x，DH=y，若∠ABG∠∠FDH，求y与x之间的函数关系式，并求出y的取值范围．21．如图，抛物线y=12x2−32x−2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，点M是线段BC下方抛物线上的任意一点，点M的横坐标为m，过点M画MN∠x轴于点N，交BC于点P.（1）填空：A（，），C（，）；（2）探究∠ABC的外接圆圆心的位置，并求出圆心的坐标；（3）探究当m取何值时线段PM的长度取得最大值，最大值为多少？22．某商品现在的售价为每件50元，每天可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出10件，已知商品的进价为每件40元，请你帮助分析，当每件商品涨价多少元时，可使每天的销售利润最大，最大利润是多少？设每件商品涨价x元，每天售出商品的利润为y元．（1）根据题意，填写下表：每件售价（元）505152……50+x每天售出商品的数量（件）200190……每天售出商品的利润（元）20002090……23．已知，一个铝合金窗框如图所示，所使用的铝合金材料长度为18m．设AB长为xm，窗户的总面积为Sm2．（1）求S关于x的函数表达式．（2）若AB的长不能低于2m，且AB＜BC，求此时窗户总面积S的最大值和最小值．24．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+ 12（m2+1）=0有实数根．（1）求m的值；（2）先作y=x2﹣（m+1）x+ 12（m2+1）的图象关于x轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；（3）在（2）的条件下，当直线y=2x+n（n≥m）与变化后的图象有公共点时，求n2﹣4n的最大值和最小值．参考答案1．【答案】C2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】B6．【答案】C7．【答案】B8．【答案】C9．【答案】C10．【答案】C11．【答案】C12．【答案】A13．【答案】214．【答案】1或615．【答案】①③④16．【答案】517．【答案】-418．【答案】119．【答案】（1）解：∵抛物线与y轴交于点(0，3a)∴c=3a∵对称轴为x=1∴x=−b2a=1∴b=−2a（2）解：∵抛物线过点(2，3)∴3=a×22+2(−2a)+3a∴a=1∴b=−2a=−2，c=3a=3∴抛物线为y=x2−2x+3（3）解：∵b(c+6)=−2a(3a+6)=−6a2−12a=−6(a+1)2+6∴当a=−1时，b(c+6)的最大值为6；∴抛物线y=−x2+2x−3=−(x−1)2−2故抛物线的顶点坐标为(1，−2)20．【答案】（1）1：3；90（2）解：∵正方形ABCD的边长为4，BG=3，DH=1∴CG=1，CH=3∵CG∠DF，CH∠BE∴∠CGH∠∠BGE∠∠DFH∴GCHC=BGBE=DFDH，即13=3BE=DF1解得BE=9，DF= 1 3∴Rt∠BEG中，EG= √BG2+BE2= √32+92=3 √10（3）解：∵正方形ABCD的边长为4，BG=x，DH=y ∴CG=4﹣x，CH=4﹣y由（1）可得，∠FDH∠∠GCH，而∠ABG∠∠FDH∴∠ABG∠∠GCH∴ABGC=BGCH，即44−x=x4−y∴y与x之间的函数关系式为：y= 14x2﹣x+4∵44−x=x4−y∴4﹣y= x(4−x)4=﹣14x2+x∴当x=﹣12×(−14)=2时，4﹣y有最大值，且最大值为﹣14×4+2=1∴0＜4﹣y≤1解得3≤y＜4．21．【答案】（1）-1；0；0；-2（2）解：|OA|=1，|OC|=2，|OB|=4∠AOC=∠COB=90°∴OAOC=OCOB=12∴∠AOC∠∠COB∴∠ACO=∠OBC∠ACO+∠OCB=90°∠OBC+∠OCB=90°=∠ACB∴Rt∠ACB的外接圆圆心为AB的中点∵A（-1，0）B（4，0）∴圆心的坐标（ 32，0 ）.（3）解：C （0，-2），B （4，0）又∵直线BC 解析式y =12x −2 p(m ，12m −2) ，M （m ， 12m 2−32m −2 ）PM=（ 12m −2 ）-（ 12m 2−32m −2 ）PM =−12m 2+2m =−12(m −2)2+2 当m=2时，PM 最大值=2.22．【答案】（1）180；200﹣10x ；2160；（200﹣10x ）（10+x ）（2）解：y ＝（200﹣10x ）（10+x ）＝﹣10x 2+100x+2000＝﹣10（x ﹣5）2+2250 ∴当x ＝5时，y 取得最大值，此时y ＝2250即y ＝﹣10x 2+100x+2000，当每件商品涨价5元时，可使每天的销售利润最大，最大利润是2250元23．【答案】（1）解：∵AB=xm ，铝合金材料长为18m∴AD=BC=18−3x 2∴S ＝x·18−3x2＝−32x 2+9x即S 与x 的函数表达式为：S ＝−32x 2+9x.（2）解：由题意得：2≤x ＜18−3x 2解得：2≤x ＜3.6∵S ＝−32x 2+9x ＝−32（x -3）2+272∵−32＜0，对称轴是直线x ＝3，且2≤x ＜3.6∴当x ＝3时，S 取得最大值，此时S ＝272当x ＝2时，S 取得最小值，此时S ＝−32（2-3）2+272＝12答：窗户总面积S 的最大值272m 2，最小值是12m 2．24．【答案】（1）解：对于一元二次方程x 2﹣（m+1）x+ 12（m 2+1）=0∠=（m+1）2﹣2（m 2+1）=﹣m 2+2m ﹣1=﹣（m ﹣1）2 ∵方程有实数根∴﹣（m﹣1）2≥0∴m=1．（2）解：由（1）可知y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2图象如图所示：平移后的解析式为y=﹣（x+2）2+2=﹣x2﹣4x﹣2．（3）解：由{y=2x+ny=−x2−4x−2消去y得到x2+6x+n+2=0由题意∠≥0∴36﹣4n﹣8≥0∴n≤7∵n≤m，m=1∴1≤n≤7令y′=n2﹣4n=（n﹣2）2﹣4∴n=2时，y′的值最小，最小值为﹣4n=7时，y′的值最大，最大值为21∴n2﹣4n的最大值为21，最小值为﹣4．。

二次函数的最值问题(典型例题)

二次函数的最值问题【例题精讲】题面：当-1≤x ≤2时,函数y =2x 2-4ax +a 2+2a +2有最小值2, 求a 的所有可能取值.【拓展练习】如图，在平面直角坐标系xOy 中,二次函数2y bx c =++的图象与x 轴交于A (-1,0)、B (3,0)两点, 顶点为C .(1)求此二次函数解析式；(2)点D 为点C 关于x 轴的对称点，过点A 作直线l ：y =+BD 于点E ，过点B 作直线BK //AD 交直线l 于K 点.问：在四边形ABKD 的内部是否存在点P ，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在(2)的条件下，若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点，连结DN 、NM 、MK ，求DN NM MK ++和的最小值.练习一【例题精讲】若函数y=4x2-4ax+a2+1(0≤x≤2)的最小值为3，求a的值．【拓展练习】题面：已知：y关于x的函数y=(k-1)x2-2kx+k+2的图象与x轴有交点．(1)求k的取值范围；(2)若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k-1)x12+2kx2+k+2= 4x1x2．①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．练习二金题精讲题面：已知函数y=x2+2ax+a2-1在0≤x≤3范围内有最大值24，最小值3，求实数a的值．【拓展练习】题面：当k分别取-1，1，2时，函数y=(k-1)x2 -4x+5-k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．讲义参考答案【例题精讲】答案：3--0或2或4【拓展练习】答案：(1) 2y=-;(2) (2);(3)8练习一答案【例题精讲】答案：a =【拓展练习】答案：(1) k≤2；(2)①k值为-1；②y的最大值为32，最小值为-3.详解：(1)当k=1时，函数为一次函数y= -2x+3，其图象与x轴有一个交点. 当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，令y=0得(k-1)x2-2kx+k+2=0．△=(-2k)2-4(k-1)(k+2)≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1.综上所述，k的取值范围是k≤2.(2)①∵x1≠x2，由(1)知k＜2且k≠1.由题意得(k-1)x12+(k+2)=2kx1(*)，将(*)代入(k-1)x12+2kx2+k+2=4x1x2中得：2k(x1+x2)=4x1x2.又∵x1+x2=2kk1-，x1x2=k+2k1-，∴2k•2kk1-=4•k+2k1-，解得：k1= -1，k2=2(不合题意，舍去).∴所求k值为-1.②如图，∵k1= -1，y= -2x2+2x+1= -2(x-12)2+32，且-1≤x≤1，由图象知：当x= -1时，y最小= -3；当x=12时，y最大=32.∴y的最大值为32，最小值为-3.练习二答案课后练习详解【例题精讲】答案：2或-5．详解：配方y=(x+a)2-1，函数的对称轴为直线x= -a，顶点坐标为(-a，-1)．①当0≤-a≤3即-3≤a≤0时，函数最小值为-1，不合题意；②当-a＜0即a＞0时，∵当x=3时，y有最大值；当x=0时，y有最小值，∴9+6a+a2 −1＝24，a2 −1＝3，解得a=2；③当-a＞3即a＜-3时，∵当x=3时，y有最小值；当x=0时，y有最大值，∴a2 −1＝24，9+6a+a2 −1＝3，解得a= -5．∴实数a的值为2或-5．【拓展练习】答案：有最大值，为8.详解：∵当开口向下时函数y=(k-1)x2 -4x+5-k取最大值∴k-1＜0，解得k＜1.∴当k= -1时函数y=(k-1)x2 -4x+5-k有最大值，当k=1，2时函数没有最大值. ∴当k= -1时，函数y= -2x2-4x+6= -2(x+1)2+8.∴最大值为8.。

二次函数的最值精选题道参考答案

二次函数的最值精选题参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．【分析】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可．【解答】解：二次函数的对称轴为直线x＝m，①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值，此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；②当﹣2≤m≤1时，x＝m时，二次函数有最大值，此时，m2+1＝4，解得m＝﹣，m＝（舍去）；③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值，此时，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝2，综上所述，m的值为2或﹣．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，难点在于分情况讨论．2．【分析】首先求得抛物线的对称轴，抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，在距对称轴最远处取得最大值．【解答】解：抛物线的对称轴是直线x＝1，则当x＝1时，y＝1﹣2﹣3＝﹣4，是最小值；当x＝3时，y＝9﹣6﹣3＝0是最大值．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，正确理解取得最大值和最小值的条件是关键．3．【分析】min{a，b}的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论．【解答】解：在同一坐标系xOy中，画出二次函数y＝﹣x2+1与正比例函数y＝﹣x的图象，如图所示．设它们交于点A、B．令﹣x2+1＝﹣x，即x2﹣x﹣1＝0，解得：x＝或，∴A（，），B（，）．观察图象可知：①当x≤时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x2+1，函数值随x的增大而增大，其最大值为；②当＜x＜时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x，函数值随x的增大而减小，其最大值为小于；③当x≥时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x2+1，函数值随x的增大而减小，最大值为．综上所述，min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是．故选：A．【点评】本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，充分理解定义min{a，b}和掌握函数的性质是解题的关键．4．【分析】先求出二次函数的对称轴为直线x＝﹣1，然后根据二次函数开口向上确定其增减性，并结合图象解答即可．【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）2﹣4，对称轴是：x＝﹣1∵a＝1＞0，∴x＞﹣1时，y随x的增大而增大，x＜﹣1时，y随x的增大而减小，由图象可知：在﹣2≤x≤2内，x＝2时，y有最大值，y＝（2+1）2﹣4＝5，x＝﹣1时y有最小值，是﹣4，故选：B．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，结合图象可得函数的最值是解题的关键．5．【分析】根据已知条件得到CP＝6﹣t，得到PQ＝＝＝，于是得到结论．【解答】解：∵AP＝CQ＝t，∴CP＝6﹣t，∴PQ＝＝＝，∵0≤t≤2，∴当t＝2时，PQ的值最小，∴线段PQ的最小值是2，故选：C．【点评】本题考查了二次函数的最值，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．6．【分析】先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是﹣，得出m≤﹣；再求得当x＝1时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大值，根据二次函数的对称性可得m的下限．【解答】解：解法一：∵函数y＝x2+x﹣1的对称轴为直线x＝﹣，∴当x＝﹣时，y有最小值，此时y＝﹣﹣1＝﹣，∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最小值是﹣，∴m≤﹣；∵当x＝1时，y＝1+1﹣1＝1，对称轴为直线x＝﹣，∴当x＝﹣﹣[1﹣（﹣）]＝﹣2时，y＝1，∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，且m≤﹣；∴﹣2≤m≤﹣．解法二：画出函数图象，如图所示：y＝x2+x﹣1＝（x+）2﹣，∴当x＝1时，y＝1；当x＝﹣，y＝﹣，当x＝﹣2，y＝1，∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是﹣，∴﹣2≤m≤﹣．故选：C．【点评】本题考查了二次函数在给定范围内的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．7．【分析】用a表示出b、c并求出a的取值范围，再代入S整理成关于a的函数形式，然后根据二次函数的增减性求出m、n的值，再相减即可得解．【解答】解：∵a+b＝2，c﹣3a＝4，∴b＝2﹣a，c＝3a+4，∵b，c都是非负数，∴，解不等式①得，a≤2，解不等式②得，a≥﹣，∴﹣≤a≤2，又∵a是非负数，∴0≤a≤2，S＝a2+b+c＝a2+（2﹣a）+3a+4，＝a2+2a+6，∴对称轴为直线a＝﹣＝﹣1，∴a＝0时，最小值n＝6，a＝2时，最大值m＝22+2×2+6＝14，∴m﹣n＝14﹣6＝8．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，用a表示出b、c并求出a的取值范围是解题的关键，难点在于整理出s关于a的函数关系式．8．【分析】抛物线y＝（x+1）2﹣2开口向上，有最小值，顶点坐标为（﹣1，﹣2），顶点的纵坐标﹣2即为函数的最小值．【解答】解：根据二次函数的性质，当x＝﹣1时，二次函数y＝（x﹣1）2﹣2的最小值是﹣2．故选：D．【点评】本题考查对二次函数最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．9．【分析】把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后根据二次函数最值问题解答即可．【解答】解：y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，∵a＝1＞0，∴当x＝﹣1时，二次函数由最小值﹣6．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，整理成顶点式形式求解更简便．10．【分析】利用配方法将原函数关系式化为顶点式，即可求出二次函数的最小值．【解答】解：y＝2x2﹣4x﹣6＝2（x﹣1）2﹣8，因为图象开口向上，故二次函数的最小值为﹣8．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的最值，将原式化为顶点式是解题的关键．11．【分析】根据题意判定抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，然后根据点到对称轴的距离的大小即可判断．【解答】解：∵二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，且y3＜y2＜y4，∴抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，∴P1（﹣3，y1）离对称轴的距离最大，P3（1，y3）离对称轴距离最小，∴y3最小，y1最大，故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，判定对称轴的位置是解题的关键．12．【分析】根据二次函数的性质求解．【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+2，∴当x＝1时，函数有最小值2．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝﹣，函数最小值y＝；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝﹣，函数最大值y＝．13．【分析】根据二次函数的图象，可知函数y的最大值和最小值．【解答】解：观察图象可得，在0≤x≤4时，图象有最高点和最低点，∴函数有最大值2和最小值﹣2.5，故选：A．【点评】本题考查二次函数的最值，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象解决最值问题．14．【分析】把（﹣1，﹣3）代入y＝x2+mx+n确定m，n之间的数量关系，代入mn+1讨论．【解答】解：把（﹣1，﹣3）代入y＝x2+mx+n得﹣3＝1﹣m+n∴n＝m﹣4∴mn+1＝m（m﹣4）+1＝m2﹣4m+1＝（m﹣2）2﹣3所以mn+1有最小值﹣3，故选：A．【点评】本题考查二次函数图象上点的特征．根据二次函数性质确定m，n的数量关系是解答关键．二．填空题（共18小题）15．【分析】由a+b2＝2得出b2＝2﹣a，代入a2+5b2得出a2+5b2＝a2+5（2﹣a）＝a2﹣5a+10，再利用配方法化成a2+5b2＝（a﹣）2+，即可求出其最小值．【解答】解：∵a+b2＝2，∴b2＝2﹣a，a≤2，∴a2+5b2＝a2+5（2﹣a）＝a2﹣5a+10＝（a﹣）2+，当a＝2时，a2+5b2可取得最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了二次函数的最值，根据题意得出a2+5b2＝（a﹣）2+是关键．16．【分析】设矩形的宽为x，则长为（20﹣x），S＝x（20﹣x）＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣10）2+100，当x＝10时，S最大值为100．【解答】解：设矩形的宽为x，则长为（20﹣x），S＝x（20﹣x）＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣10）2+100，当x＝10时，S最大值为100．故答案为100．【点评】本题考查了函数的最值，熟练运用配方法是解题的关键．17．【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得a的取值范围，本题得以解决．【解答】解：∵函数y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，当﹣1≤x≤a时，函数的最大值是2，∴当x＝1时，函数取得最大值，此时y＝2，∴a≥1，故答案为：a≥1．【点评】本题考查二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．18．【分析】分类讨论抛物线对称轴的位置确定出m的范围即可．【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），得到对称轴为直线x＝m，抛物线开口向上，当m≥2时，由题意得：当x＝2时，y最小值为﹣2，代入得：4﹣4m＝﹣2，即m＝1.5＜2，不合题意，舍去；当﹣1≤m≤2时，由题意得：当x＝m时，y最小值为﹣2，代入得：﹣m2＝﹣2，即m＝或m＝﹣（舍去）；当m＜﹣1时，由题意得：当x＝﹣1时，y最小值为﹣2，代入得：1+2m＝﹣2，即m＝﹣1.5，综上，m的值是﹣1.5或，故答案为：﹣1.5或．【点评】此题考查了二次函数的最值，利用了分类讨论的思想，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．19．【分析】化成顶点式，根据二次函数的性质即可求得．【解答】解：y＝x2﹣16x﹣8＝（x﹣8）2﹣72，由于函数开口向上，因此函数有最小值，且最小值为﹣72，故答案为：﹣72．【点评】本题考查了二次函数的最值、顶点式的运用及顶点坐标的求法．20．【分析】根据二次函数的增减性利用对称轴列出不等式求解即可．【解答】解：∵0≤x≤4时，y仅在x＝4时取得最大值，∴﹣＜，解得a＜5．故答案为：a＜5．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的增减性和对称轴公式是解题的关键．21．【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，∴a＝2或a+1＝0，∴a＝2或a＝﹣1，故答案是：2或﹣1．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值是解题的关键．22．【分析】根据二次函数的性质，可以得到在2≤x≤5范围内，该函数的最小值．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，∴在2≤x≤5范围内，当x＝2时，y取得最小值，此时y＝（2﹣1）2＝1，故答案为：1．【点评】本题考查二次函数的最值、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．23．【分析】由当x＝﹣1时y取得最大值知﹣＝﹣1且m＜0，解关于m的方程可得答案．【解答】解：根据题意知，﹣＝﹣1，且m＜0，整理该方程可得m2﹣2m﹣3＝0，解得：m＝﹣1或m＝3（舍），故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查二次函数的最值，解题的关键是根据二次函数的性质得出关于m 的方程．【点评】本题考查了二次函数的最值：对于二次函数y＝a（x﹣k）2+h，当a＞0时，x＝k时，y有最小值h，当a＜0时，x＝k时，y有最大值h．24．【分析】根据抛物线解析式得到顶点坐标（﹣3，5）；然后由抛物线的增减性进行解答．【解答】解：∵y＝﹣（x+3）2+5，∴该抛物线的开口方向向下，且顶点坐标是（﹣3，5）．∴当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，∴当x＝a时，二次函数y＝﹣（x+3）2+5恰好有最大值3，把y＝3代入函数解析式得到3＝﹣（x+3）2+5，解得x1＝﹣5，x2＝﹣1．∴a＝﹣5．故答案是：﹣5．【点评】本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．25．【分析】根据三角形的面积公式，△ABE底边BE上的高AO不变，BE越小，则面积越小，可以判断当AD与⊙C相切时，BE的值最小，根据勾股定理求出AD的值，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度，代入三角形的面积公式进行计算即可求解．【解答】解：如图所示，当AD与⊙C相切时，线段BE最短，此时△ABE面积的最小，∵A（2，0），C（﹣1，0），⊙C半径为1，∴AO＝2，AC＝2+1＝3，CD＝1，在Rt△ACD中，AD＝＝＝2，∵CD⊥AD，∴∠D＝90°，∴∠D＝∠AOE，在△AOE与△ADC中，，∴△AOE∽△ADC，∴＝，即＝，解得EO＝，∵点B（0，2），∴OB＝2，∴BE＝OB﹣OE＝2﹣，∴△ABE面积的最小值＝×BE×AO＝（2﹣）×2＝2﹣．故答案为：2﹣．【点评】本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度是解题的关键．26．【分析】根据题意：二次函数y＝ax2+4x+a﹣1的最小值是2，则判断二次函数的系数大于0，再根据公式y最小值＝2列出关于a的一元二次方程，解得a的值即可．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+4x+a﹣1有最小值2，∴a＞0，y最小值＝＝＝2，整理，得a2﹣3a﹣4＝0，解得a＝﹣1或4，∵a＞0，∴a＝4．故答案为4．【点评】本题主要考查二次函数的最值的知识点，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次项系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好．37．【分析】根据题意求出当菱形EGFH的面积最大时所满足的条件，然后根据条件求出GH长度，即可求出面积．【解答】解：根据题意可得，由勾股定理可得EF＝；∵四边形EGFH为菱形，根据菱形面积公式，S EGFH＝，∴若要菱形EGFH的面积最大，只需GH值最大，∴根据题意可得G，H在图象上的位置为：过点E作EM⊥BC，垂足为M；过点G作GN⊥CD，垂足为N；又∵EF⊥GH，∴∠MEF＝∠NGH，又∵∠EMF＝∠GNH，EM＝GN，∴△EMF≌△GNH（AAS），∴GH＝EF＝2，∴＝34．【点评】本题考查了求最大面积时所满足的条件以及菱形的面积公式，根据临界值即可求出答案，属于中档题．28．【分析】根据二次函数的性质解答即可．【解答】解：二次函数y＝（x﹣4）2﹣5的最小值是﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查的是二次函数的最值的确定，掌握二次函数的性质是解题的关键．29．【分析】将二次函数配方，即可直接求出二次函数的最小值．【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣4＝x2﹣2x+1﹣5＝（x﹣1）2﹣5，∴可得二次函数的最小值为﹣5．故答案是：﹣5．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，用配方法是解此类问题的最简洁的方法．三．解答题（共8小题）30．【分析】（1）根据max{a，b}表示a、b两数中较大者，即可求出结论；（2）根据max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论；（3）联立两函数解析式成方程组，解之即可求出交点坐标，画出直线y＝﹣x+2的图象，观察图形，即可得出max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}的最小值．【解答】解：（1）max{5，2}＝5，max{0，3}＝3．故答案为：5；3．（2）∵max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，∴3x+1≤﹣x+1，解得：x≤0．（3）联立两函数解析式成方程组，，解得：，，∴交点坐标为（﹣2，4）和（3，﹣1）．画出直线y＝﹣x+2，如图所示，观察函数图象可知：当x＝3时，max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}取最小值﹣1．【点评】本题考查了二次函数的最值、一次函数的图象、一次函数的性质以及二次函数的图象，解题的关键是：（1）读懂题意，弄清max的意思；（2）根据max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，找出关于x的一元一次不等式；（3）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出交点坐标．31．【分析】（1）①根据二次项系数为0，一次项系数不为0，常数项为任意实数解答即可；②根据k＞0，k＜0时x、y的对应关系确定直线经过的点的坐标，求出解析式；③根据一次函数的性质即增减性解答即可；（2）把m＝﹣1，n＝2代入关系式，得到二次函数解析式，确定对称轴，顶点坐标，分情况讨论求出k的值．【解答】解：（1）①m＝﹣2，k≠0，n为任意实数；②当k＞0时，y随x的增大而增大，直线经过（﹣2，0）（1，3），函数关系式为：y＝x+2当k＜0时，y随x的增大而减小，直线经过（﹣2，3）（1，0），函数关系式为：y＝﹣x+1③当k＞0时，x＝﹣2，y有最小值为﹣2k+nx＝3时，y有最大值为3k+n当k＜0时，x＝﹣2，y有最大值为﹣2k+nx＝3时，y有最小值为3k+n（2）若m＝﹣1，n＝2时，二次函数为y＝x2+kx+2对称轴为x＝﹣，当﹣≤﹣2，即k≥4时，把x＝﹣2，y＝﹣4代入关系式得：k＝5当﹣2＜﹣＜2，即﹣4＜k＜4时，把x＝﹣，y＝﹣4代入关系式得：k＝±2（不合题意）当﹣≥2，即k≤﹣4时，把x＝2，y＝﹣4代入关系式得：k＝﹣5．所以实数k的值为±5．【点评】本题考查了一次函数的概念、一次函数的性质、一次函数最值的应用以及二次函数的性质，综合性较强，需要学生灵活运用性质，把握一次函数的增减性和二次函数的增减性，解答题目．32．【分析】（1）先求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，然后确定当x＝4时取得最大值，代入函数解析式进行计算即可得解；（2）先求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，再根据对称性可得x＝﹣4和x＝2时函数值相等，然后分p≤﹣4，﹣4＜p≤2讨论求解；（3）根据（2）的思路分t＜﹣2，t≥﹣2时两种情况讨论求解．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴当﹣2≤x≤4时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为：2×42+4×4+1＝49；（2）∵二次函数y＝2x2+4x+1的对称轴为直线x＝﹣1，∴由对称性可知，当x＝﹣4和x＝2时函数值相等，∴若p≤﹣4，则当x＝p时，y的最大值为2p2+4p+1，若﹣4＜p≤2，则当x＝2时，y的最大值为17；（3）t＜﹣2时，最大值为：2t2+4t+1＝31，整理得，t2+2t﹣15＝0，解得t1＝3（舍去），t2＝﹣5，t≥﹣2时，最大值为：2（t+2）2+4（t+2）+1＝31，整理得，（t+2）2+2（t+2）﹣15＝0，解得t1＝1，t2＝﹣7（舍去），所以，t的值为1或﹣5．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了二次函数的对称性，确定出抛物线的对称轴解析式是确定p和t的取值范围的关键，难点在于读懂题目信息．33．【分析】（1）根据表中的数据得出对称轴是直线x＝2，根据对称点的特点得出即可；（2）根据表得出图象有最小值，根据顶点坐标得出即可；（3）根据二次函数的性质得出即可．【解答】解：（1）∵根据表可知：对称轴是直线x＝2，∴点（0，5）和（4，n）关于直线x＝2对称，∴n＝5，故答案为：5；（2）根据表可知：顶点坐标为（2，1），即当x＝2时，y有最小值，最小值是1；（3）∵函数的图象开口向上，顶点坐标为（2，1），对称轴是直线x＝2，∴当m＞2时，点A（m1，y1），B（m+1，y2）都在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，∵m＜m+1，∴y1＜y2．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，能根据表中的熟记得出正确信息是解此题的关键．34．【分析】（1）过A作AE⊥BC于E，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AE＝x，利用平行四边的周长可表示出BC＝4﹣x，则0＜x＜4；然后根据平行四边形的面积公式即可得到y（cm2）与x的函数关系式；（2）把（1）中的关系式配成顶点式得到y＝﹣（x﹣2）2+2，然后根据二次函数的最值问题即可得到x取什么值时，y的值最大，并得到最大值．【解答】解：（1）过A作AE⊥BC于E，如图，∵∠B＝30°，AB＝x，∴AE＝x，又∵平行四边形ABCD的周长为8cm，∴BC＝4﹣x，∴y＝AE•BC＝x（4﹣x）＝﹣x2+2x（0＜x＜4）；（2）y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣2）2+2，∵a＝﹣，∴当x＝2时，y有最大值，其最大值为2．【点评】本题考查了二次函数的最值问题：先把二次函数配成顶点式：y＝a（x﹣h）2+k，当a＜0时，x＝h，y有最大值k；当a＞0，x＝h，y有最小值k．也考查了平行四边形的性质以及含30度的直角三角形三边的关系．35．【分析】（1）把抛物线的解析式化成顶点式即可；（2）把点B坐标代入抛物线的解析式，求出抛物线的解析式，结合图形，再求当0＜m＜3时，n的取值范围；（3）分别讨论m和b的大小关系，根据n≤2，求出b的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2bx+b2﹣2＝（x﹣b）2﹣2，∴顶点坐标为（b，﹣2）；（2）把（0，2）代入y＝x2﹣2bx+b2﹣2（b＞0），得b＝2，或b＝﹣2（舍去），∴b＝2，∴解析式为：y＝x2﹣4x+2，对称轴为x＝2；顶点坐标为（2，﹣2），结合函数图象可得，在顶点处n取得最小值﹣2；当x＝0时，y＝2，∴当0＜m＜3时，﹣2≤n＜2．（3）如图，①若3≤m≤5≤b时，y max＝（3﹣b）2﹣2≤2，∴1≤b≤5，矛盾，不成立；②若3≤b≤5时，则当x＝3时，y＝（3﹣b）2﹣2≤2，得1≤b≤5，且当x＝5时，y＝（5﹣b）2﹣2≤2，得3≤b≤7，∴3≤b≤5；③当b≤3≤m≤5时，y max＝（5﹣b）2﹣2≤2，得3≤b≤7，矛盾；综上，b的取值范围为3≤b≤5．【点评】本题主要考查二次函数的取值范围问题，涉及待定系数法求解析式，数形结合思想等，利用数形结合思想结合图象求取值范围是常见方法．36．【分析】物线的顶点式解析式y＝a（x﹣h）2+k，代入顶点坐标另一点求出a的值即可．【解答】解：∵抛物线l1的最高点为P（3，4），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+4，把点（0，1）代入得，1＝a（0﹣3）2+4，解得，a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+4．【点评】此题考查待定系数法求函数解析式，根据题目中的已知条件，灵活选用二次函数解析式的形式解决问题．37．【分析】直接利用对角线互相垂直的四边形面积求法得出S＝AC•BD，再利用配方法求出二次函数最值．【解答】解：设AC＝x，四边形ABCD面积为S，则BD＝12﹣x，则：S＝AC•BD＝x（12﹣x）＝﹣（x﹣6）2+18，当x＝6时，S最大＝18；所以AC＝BD＝6时，四边形ABCD的面积最大．【点评】此题主要考查了二次函数最值以及四边形面积求法，正确掌握对角线互相垂直的四边形面积求法是解题关键．。

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二次函数最值问题练习题
1.抛物线 $y=x-(m-4)x+2m-3$，当 $m=4$ 时，图象的对称轴是 $y$ 轴；当 $m=2$ 时，图象的顶点在 $x$ 轴上；当
$m=3$ 时，图象过原点。

2.用一长度为 $l$ 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 $\frac{l^2}{4}$。

3.求下列二次函数的最值：(1) $y=2x^2-4x+5$；(4)
$y=ax^2-2x$；(5) $y=2x^2-3x+5$。

4.求二次函数 $y=2x^2-3x+5$ 在 $-2\leq x\leq 2$ 上的最大值和最小值，并求对应的 $x$ 的值。

5.函数 $y=x^2+x+1$ 在区间 $-1\leq x\leq 1$ 上的最小值和最大值分别是 $\frac{3}{4}$ 和 $\frac{5}{4}$。

6.求函数 $y=\frac{1-x}{8}$ 在区间 $[-3,3]$ 上的最大值和最小值分别为 $\frac{7}{8}$ 和 $-\frac{1}{8}$。

7.函数 $y=2x^2-4x+5$ 的最值为最大值为 $8$，最小值为$1$。

8.已知二次函数 $y=x^2-6x+m$ 的最小值为 $1$，那么$m$ 的值为 $10$。

9.对于函数 $y=2x+4x-3$，当 $x\leq -1$ 时，$y$ 的取值范围为 $(-\infty,-2)$。

10.求函数 $y=3-5x-3x^2-2$ 的最小值为 $-5$。

11.已知关于 $x$ 的函数 $y=x+\frac{2a}{x+2}$ 在 $-5\leq x\leq 5$ 上。

1) 当 $a=-1$ 时，函数的最大值为 $5$，最小值为 $-3$。

2) 当 $a$ 为常数时，函数的最大值为 $6$，当 $x=-1$ 时取得。

12.已知关于 $x$ 的函数 $y=x+(2t+1)x+t-1$，当 $t=-
\frac{1}{2}$ 时，$y$ 的最小值为 $-\frac{1}{2}$。

13.求关于 $x$ 的二次函数 $y=x-2tx+1$ 在 $-1\leq x\leq
1$ 上的最大值为 $1$。

14.如图，抛物线 $y=x-2x-p$ 与直线 $y=x$ 交于点 $A(-1,m)$、$B(4,n)$，点 $M$ 是抛物线上的一个动点，连接$OM$。

1) 求 $m$，$n$，$p$。

2) 当 $M$ 为抛物线的顶点时，$M$ 坐标为 $(1,-p+1)$，$\triangle OMB$ 的面积为 $\frac{25+p^2}{2}$。

3) 当点 $M$ 在直线 $AB$ 的下方且在抛物线对称轴的右侧，$M$ 运动到点 $(\frac{3}{2},-\frac{1}{4})$ 时，$\triangle OMB$ 的面积最大。

1.函数关系式为y=2x^2+2x+4.
2.由于最低点在x轴上，所以该二次函数的顶点坐标为(-a。

3a-2)，即x轴上的点为-a，带入函数得到3a-2=0，解得a=2/
3.
函数的解析式为y=(2/3-1)x^2+4x+6/3，即y=-1/3x^2+4x+2.
3.桥拱顶点O为抛物线的顶点，即x=-b/2a=0，代入抛物
线解析式得到y=0.所以O点坐标为(0,0)。

涵洞水面宽为12m，所以抛物线的两个交点横坐标为-6和6.抛物线经过点(6.-3)，
所以水面到拱顶点的距离为3m。

4.根据题意可得到方程h=-1/23s(s-23)，解得s=23m。

由于球网距原点5m，所以球从P点到网的距离为s-5=18m。

球的
最大高度为hmax=23m，所以乙的起跳点C的纵坐标为
hmax=23m。

由于球的高度高于乙扣球的最大高度，所以乙的
起跳点横坐标范围为-6≤m≤4.
5.由于抛物线y=x^2+(2a+1)x+2a+与x轴只有一个交点，
所以判别式b^2-4ac=0.代入得到(2a+1)^2-4(2a+1)(2a)=0，解得
a=-1/2或a=-2.代入可得到两个不同的抛物线，满足条件。

6.抛物线y=x^2+(2a+1)x+2a+与x轴只有一个交点，即判别式b^2-4ac=0.代入得到(2a+1)^2-8a-8=0，解得a=3或a=-5.代入得到两个不同的抛物线，满足条件。

7.直线y=-2x+3与抛物线y=x^2相交于A(-1,5)和B(2,0)两点，所以△OAB的高为5，底为3，面积为7.5.
8.正确的说法为②和③。

9.将抛物线解析式与篮底的高度相等，得到方程-
0.04x^2+0.8x+1.5=0，解得x≈3.5或x≈11.5.XXX与篮底的距离为3.5m。

10.27-4m+2m=27-2m的最小值为27，所以选C。

11.正确的结论为①和③。

12.抛物线与x轴有两个交点，即判别式b^2-4ac>0.代入得到(2m-1)^2-4m^2>0，解得m1.所以m的取值范围为m1.。