离散数学刘任任版第14章答案.ppt
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湘潭大学刘任任版离散数学课后习题答案习题
习 题 十 一1．设11≥p ，证明任何p 阶图G 与G 总有一个是不可平面图。
分析： G 与G 是两个互补的图，根据互补的定义，互补的图有相同的顶点数，且G 的边数与G 的边数之和等于完全图的边数p(p-1)/2；而由推论11.2.2，有任何简单平面图G ，其顶点数p 和边数q 满足：q ≤3p-6。
证明. 若),(q p G 与),(q p G ''均是可平面图，则63-≤p q （1） 63-'≤'p q （2） 但q p p q p p --='=')1(21, （3）将（3）代入（2）有63)1(21-≤--p q p p 整理后得 q p p 21272≤+- 又由（1）有)63(21272-≤+-p p p 即 024132≤+-p p也即 224413132244131322⨯-+≤≤⨯--p .得 2731327313+≤≤-p 得112<<p此与11≥p 矛盾。
因此任何p 阶图G 与G 不可能两个都是可平面图，从而G 与G 总有一个是不可平面图。
2．证明或否定：两个p 阶极大简单平面图必同构分析：极大平面图是指添加任何一条边以后不构成平面图的平面图；两个p 阶极大简单平面图不一定同构。
解：令6=p ，三个6阶极大简单平面图321,,G G G 如下：顶点上标的数字表示该顶点的度，但显然不同构.3．找出一个8阶简单平面G ，使得G 也是平面图.分析：由第1题证明过程可知，当p<11时，G 和G 可以同时为平面图。
解：如下平面图G ，显然其补图也是平面图。
123G 3344454．证明或者否定：每个极大平面图是H 图. 分析：极大平面图是指添加任何一条边以后不构成平面图的平面图；而H 图是存在一个H 回路的图，即存在一条经过图中每一个顶点一次且仅一次的回路。
由定理11.1.2知极大平面图的每个面都是三角形，因此G 中必存在回路，利用最长回路的性质使用反证法可证明每个极大平面图都是H 图。
离散数学 习题答案(刘任任)
此为矛盾。故 A=B。
（2）
A B ( A B) ( A B) ( B A) ( B A) B A
( A B) C (( A B) ( B A)) C (( A B ) ( B A )) C (((A B ) ( B A)) C) (((A B ) ( B A)) C)
A B AC
(4) 错误。例如，令 A={2,3,4},B={1,2,3},C={3,4,5}; (5)错误。例如，令A={2,4},B={1,2},C={2,3};
8.
（1）设A=B。于是
A B ( A B) ( A B) A A 反之，设 A B 。若 A B ，则不妨 设 x A而x B 。于是， x A B, 而x A B 从而 A B
3.
(1) 错; (2) 对; (3) 对; (4) 错;
(5) 错;
(9) 对;
(6) 对;
(10) 错;
(7) 错;
(11)错;
(8) 对;
(12)对.
4.
（1）正确。因BC，所以，对任何x∈B均有x∈C， 令A∈B，故A∈C。 （2）错误。例如，令A={1}，B={{1}，2}， C={{1}，2，3}。
(B×A) 2 =(B × A) ×(A × B) ={<<2,1>,<2,1>>,<<2,1>,<2,2>>,<<2,1>,<3,1 >>,<<2,1>,<3,2>>,<<2,2>,<2,1>>,<<2,2>,< 2,2>>,<<2,2>,<3,1>>,<<2,2>,<3,2>>,<<3,1 >,<2,1>>,<<3,1>,<2,2>>,<<3,1>,<3,1>>,<< 3,1>,<3,2>>,<<3,2><2,1>>,<<3,2>,<2,2>>, <<3,2>,<3,1>>,<<3,2>,<3,2>>}
（2）
A B ( A B) ( A B) ( B A) ( B A) B A
( A B) C (( A B) ( B A)) C (( A B ) ( B A )) C (((A B ) ( B A)) C) (((A B ) ( B A)) C)
A B AC
(4) 错误。例如，令 A={2,3,4},B={1,2,3},C={3,4,5}; (5)错误。例如，令A={2,4},B={1,2},C={2,3};
8.
（1）设A=B。于是
A B ( A B) ( A B) A A 反之，设 A B 。若 A B ，则不妨 设 x A而x B 。于是， x A B, 而x A B 从而 A B
3.
(1) 错; (2) 对; (3) 对; (4) 错;
(5) 错;
(9) 对;
(6) 对;
(10) 错;
(7) 错;
(11)错;
(8) 对;
(12)对.
4.
（1）正确。因BC，所以，对任何x∈B均有x∈C， 令A∈B，故A∈C。 （2）错误。例如，令A={1}，B={{1}，2}， C={{1}，2，3}。
(B×A) 2 =(B × A) ×(A × B) ={<<2,1>,<2,1>>,<<2,1>,<2,2>>,<<2,1>,<3,1 >>,<<2,1>,<3,2>>,<<2,2>,<2,1>>,<<2,2>,< 2,2>>,<<2,2>,<3,1>>,<<2,2>,<3,2>>,<<3,1 >,<2,1>>,<<3,1>,<2,2>>,<<3,1>,<3,1>>,<< 3,1>,<3,2>>,<<3,2><2,1>>,<<3,2>,<2,2>>, <<3,2>,<3,1>>,<<3,2>,<3,2>>}
离散数学(第十四章)
8
实例
强连通
单连通
弱连通
二部图
定义14.23 设 G=<V,E>为一个无向图，若能将 V分成 V1和V2 (V1V2=V，V1V2=)，使得 G 中的每条边的两个端点都是 一个属于V1，另一个属于V2，则称 G 为二部图 ( 或称二分 图、偶图等 )，称V1和V2为互补顶点子集，常将二部图G 记为<V1,V2,E>.
m 2 ( j 1,2,...,m ) ( 2) m d ( v ) ( i 1, 2,...,n) ( 3) m 2m
n i 1 m ij j 1 ij i ij i, j
(4) 平 行 边 的 列 相 同
13
无向图的关联矩阵
例如 M(G)=
211000 010111 000011 000000 001100
1. 删除顶点及删除边 Gv ——从G中将v及关联的边去掉 GV——从G中删除V中所有的顶点 Ge ——将e从G中去掉 GE——删除E中所有边 2. 点割集与边割集 点割集与割点 定义14.16 G=<V,E>, VV V为点割集——p(GV)>p(G)且有极小性 v为割点——{v}为点割集 定义14.17 G=<V,E>, EE E是边割集——p(GE)>p(G)且有极小性 e是割边（桥）——{e}为边割集
6
有向图的连通性
定义14.20 D=<V,E>为有向图 vi vj（vi 可达 vj）——vi 到vj 有通路 vi vj（vi 与vj 相互可达） 性质 具有自反性(vi vi)、传递性 具有自反性、对称性、传递性 vi 到vj 的短程线与距离 类似于无向图中，只需注意距离表示法的不同 (无向图中d(vi,vj)，有向图中d<vi,vj>) 及 d<vi,vj>无对称性
实例
强连通
单连通
弱连通
二部图
定义14.23 设 G=<V,E>为一个无向图，若能将 V分成 V1和V2 (V1V2=V，V1V2=)，使得 G 中的每条边的两个端点都是 一个属于V1，另一个属于V2，则称 G 为二部图 ( 或称二分 图、偶图等 )，称V1和V2为互补顶点子集，常将二部图G 记为<V1,V2,E>.
m 2 ( j 1,2,...,m ) ( 2) m d ( v ) ( i 1, 2,...,n) ( 3) m 2m
n i 1 m ij j 1 ij i ij i, j
(4) 平 行 边 的 列 相 同
13
无向图的关联矩阵
例如 M(G)=
211000 010111 000011 000000 001100
1. 删除顶点及删除边 Gv ——从G中将v及关联的边去掉 GV——从G中删除V中所有的顶点 Ge ——将e从G中去掉 GE——删除E中所有边 2. 点割集与边割集 点割集与割点 定义14.16 G=<V,E>, VV V为点割集——p(GV)>p(G)且有极小性 v为割点——{v}为点割集 定义14.17 G=<V,E>, EE E是边割集——p(GE)>p(G)且有极小性 e是割边（桥）——{e}为边割集
6
有向图的连通性
定义14.20 D=<V,E>为有向图 vi vj（vi 可达 vj）——vi 到vj 有通路 vi vj（vi 与vj 相互可达） 性质 具有自反性(vi vi)、传递性 具有自反性、对称性、传递性 vi 到vj 的短程线与距离 类似于无向图中，只需注意距离表示法的不同 (无向图中d(vi,vj)，有向图中d<vi,vj>) 及 d<vi,vj>无对称性
清华离散数学(第2版)：14.3.1-2
13
群中的术语(续 群中的术语 续)
定义14.16 设G是群,x∈G,n∈Z,则 x 的 n 次幂 xn 定 是群, ∈ , ∈ , 定义 是群 义为
n=0 e xn = xn1 x n > 0 ( x1 )m m = n, n < 0
n∈Z
实例 在<Z3,⊕ >中有 23=(21)3=13=1⊕1⊕1=0 ⊕ 中有 ⊕ ⊕ 在 <Z,+> 中有 (2)3=23=2+2+2=6
8
实例
其中为矩阵乘法 为矩阵乘法, 设半群 V1=<S,>,独异点 V2=<S,,e>. 其中 为矩阵乘法, , e 为2阶单位矩阵 且 阶单位矩阵, 阶单位矩阵
a 0 | a, d ∈ R S = 0 d
a 0 a 0 f 0 d = 0 0
( x1 x 2 ... x n ) 1 = x n x n1 ... x 2 x1
1
1
1
1
等式(5)只对交换群成立 如果G是非交换群 是非交换群, 等式 只对交换群成立. 如果 是非交换群,那么 只对交换群成立
( xy ) = ( xy )( xy )...( xy )
n n个
17
群的性质---群方程存在唯一解 群的性质 群方程存在唯一解
3
实例
是半群, 是普通 例1 (1) <Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>是半群,+是普通 是半群 加法, 其中除<Z 外都是独异点. 加法 其中除 +,+>外都是独异点 外都是独异点 (2) 设n是大于 的正整数 是大于1的正整数 是大于 的正整数,<Mn(R),+>和<Mn(R),>都是半群 和 都是半群 和独异点,其中+和 分别表示矩阵加法和矩阵乘法 分别表示矩阵加法和矩阵乘法. 和独异点,其中 和分别表示矩阵加法和矩阵乘法 (3) <P(B),⊕>为半群,也是独异点,其中⊕为集合的对称 为半群, ⊕ 为半群 也是独异点,其中⊕ 差运算. 差运算 (4) <Zn, ⊕>为半群,也是独异点,其中 n={0,1, … , n1}, 为半群, 为半群 也是独异点,其中Z , 为模n加法 加法. ⊕为模 加法 (5) <AA,>为半群,也是独异点,其中为函数的复合运算 为半群, 为半群 也是独异点,其中为函数的复合运算. (6) <R*,>为半群,其中 为非零实数集合,运算定义 为半群, 为非零实数集合, 为半群 其中R*为非零实数集合 如 下:x, y∈R*, xy = y. ∈ 4
湘潭大学计算机科学与技术刘任任版离散数学课后习题答案---第三学期--代数结构
习题十六（整 数）1. 请推导出本节定理16.1.3中计算k S 和k T 的递推公式.分析：本题主要是考察矩阵的推导过程。
解：由（P154）T V S U q q q k k kk k ⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪121101101101 () 有T V S U T V S U q q T V T q S U S k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪=++⎛⎝ ⎫⎭⎪----------11111111111102 ()比较(2)式两端，可知U S V T T q T V S q S U k k k k k k k k kk k k ==⎧⎨⎩=+=+⎧⎨⎩------11111134 ()() 由(3)有U S V T k k k k ----==⎧⎨⎩1212 (5) 由(4)和(5)得S q S S T q T T k k k k k k k k =+=+⎧⎨⎩----12126 () 由(3)可令S U T V 01017==⎧⎨⎩ () 又由(1)有T V S U q 11111110⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪ 于是 S U T V S T q 0101111011====⎧⎨⎩==⎧⎨⎩ 这样，对任意k ≥2， 由(6)可求出S k 和 T k 。
2. 求1331和5709的最大公因数，并表为它们的倍数之和.分析：本题主要是考察用辗转相除法来求两个数的最大公因数。
解：用辗转相除法求最大公因数，逐次得出商及余数并计算S k 和T k 。
今列表如下： k 0 1 2 3 4 5 r k 385 176 33 11 0 q k 4 3 2 5 3S k 0 1 3 7 38 空T k 1 4 13 30 163 空 由上表知，最大公因数为 r 411=, 且有r S T 44144415709113313857091631331=-⋅+-⋅=-⨯+⨯-()() 3. 求证：任意奇数的平方减1必是8的倍数.分析：本题首先根据奇数的概念，然后进行变形即得。
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A＝B C或A＝B C或A＝B C，则公式A是n＋1层公式， n max( i, j)。
例（1）p q r (2)r q p q p
第23页/共292页
1.2 命题公式及其赋值
( p q) r
p：2是素数，q：3是偶数，r：2是有理数 p：2是素数，q：3是偶数，r：2是无理数
例2.等值等价式p q p q q p
等值演算的应用： 1.验证等值式 ( p q) ( p r) p (q r) 2.判定公式的类型 ( p q) p q,( p ( p q)) r, p ((( p q) p) q) 3.解决工作生活中的判断问题
甲、已、丙3人根据口音对王教授是哪人进行了判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人 已说：王教授不是上海人，是苏州人 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人
例：1.如果3＋3＝6，那么雪是白的。 2.除非我能工作完成了，我才去看电影。 3.只要天下雨，我就回家。 4.我回家仅当天下雨。 p→q的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。
第15页/共292页
1.1 命题和命题联结词
5).等价词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p当且仅当q”。 是自然语言中的“充要条件”，“当且仅当”的逻辑抽象。
1.3 命题公式的等值式
定义1.设A和B是两个命题公式，若A B为重言式， 则称公式A, B是等值的公式，记作A B。
例1.证明（p q) (q p); p p p.
注意： 和 的区别 是公式间的关系符号，如：p q 是命题联结词.p q
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1.3 命题公式的等值式
1.1 命题和命题联结词
例：1）海洋的面积比陆地的面积大。 例 q2:）： 22p6:6海 9洋 9。 。的面积比陆地的面积大。 r3:）火火星星上上有有生生命命。。 s4:）三三角角形形的的内内角角和和等等于 于118800。 。 55））你你喜 喜欢 欢数学吗吗？？ 66））我我们 们要 要努 努力力学学习习。。 77））啊啊， ，我 我的 的天天哪哪！！ 88））我我正 正在 在说 说谎 谎。。
例（1）p q r (2)r q p q p
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1.2 命题公式及其赋值
( p q) r
p：2是素数，q：3是偶数，r：2是有理数 p：2是素数，q：3是偶数，r：2是无理数
例2.等值等价式p q p q q p
等值演算的应用： 1.验证等值式 ( p q) ( p r) p (q r) 2.判定公式的类型 ( p q) p q,( p ( p q)) r, p ((( p q) p) q) 3.解决工作生活中的判断问题
甲、已、丙3人根据口音对王教授是哪人进行了判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人 已说：王教授不是上海人，是苏州人 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人
例：1.如果3＋3＝6，那么雪是白的。 2.除非我能工作完成了，我才去看电影。 3.只要天下雨，我就回家。 4.我回家仅当天下雨。 p→q的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。
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1.1 命题和命题联结词
5).等价词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p当且仅当q”。 是自然语言中的“充要条件”，“当且仅当”的逻辑抽象。
1.3 命题公式的等值式
定义1.设A和B是两个命题公式，若A B为重言式， 则称公式A, B是等值的公式，记作A B。
例1.证明（p q) (q p); p p p.
注意： 和 的区别 是公式间的关系符号，如：p q 是命题联结词.p q
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1.3 命题公式的等值式
1.1 命题和命题联结词
例：1）海洋的面积比陆地的面积大。 例 q2:）： 22p6:6海 9洋 9。 。的面积比陆地的面积大。 r3:）火火星星上上有有生生命命。。 s4:）三三角角形形的的内内角角和和等等于 于118800。 。 55））你你喜 喜欢 欢数学吗吗？？ 66））我我们 们要 要努 努力力学学习习。。 77））啊啊， ，我 我的 的天天哪哪！！ 88））我我正 正在 在说 说谎 谎。。
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（2）因为两个权对应的顶点所放左右位置不同。
（3）画出的最优树可能不同，最佳前缀码并不唯一，
但有一点是共同的，就是它们的权相等，即它们都应
该03是.02.2最021优树。
28
五、树的遍历
遍历：对一棵根树的每个顶点访问且仅访问一次称为遍
历一棵树。
对2元有序正则树的遍历方式： ① 中序遍历法：访问次序为：左子树、树根、右子树 ② 先序遍历法：访问次序为：树根、左子树、右子树 ③ 后序遍历法：访问次序为：左子树、右子树、树根
树枝：生成树TG的边。 弦：G中不在TG中的边。 生成树的余树(补)：TG的所有弦的集合的导出 子图。余树不一定是树,也不一定连通。
03.02.2021
7
二、生成树
a
a
a
d
e b
图G
d
e
e
cb
cb
c
生成树TG
生成树TG的补
无向连通图如果本身不是树，它的生成树是不唯一的， 但所有连通图都具有生成树。
（本书树根为第0层。）
03.02.2021
14
一、有向树
根树可看成是家族树： (1) 若从a到b可达，则称a是b的祖先， b是a的后代； (2) 若<a , b >是根树中的有向边，则称a是b的父亲，
b是a的儿子； (3) 若b、c同为a的儿子，则称b、c为兄弟。
根子树：根树T 中，任一不为树根的顶点v及其所有 后代导出的子图, 称为T 的以v为根的子树。
二元前缀码:若i (i=1,2,…,m)中只出现0与1两个符号， 则称B为二元前缀码。
03.02.2021
24
四、最佳前缀码
例：判断下列符号串集合是否是前缀码。 {1，11，101，0010} {1，01，001，000} {00，11，011，0100，0101} {0，10，110，1111}
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课件
例3 对任意两个集合A, B,试证 A (A B) A B
证明 对于任意的x
x A (A B)
x {x x A x ( A B)} x {x x A (x A B)} x {x x A (x A x B)} x {x x A (x A x B)} x {x x A x B}
课件
例10 求图的最小生成树
A 1B34 Nhomakorabea5
2 E
6
1A 2
B
E
4
6
C7 D
C
D
课件
例11
• 无向树T有7片树叶, 3个3度顶点,其余的 都是4度顶点，则T有几个4度顶点？
• 解:设T有x个4度顶点 顶点度数之和： 7+3*3+4x 由树的性质可得总边数： 7+3+x-1 由握手原理可得： 7+3*3+4x=2(7+3+x-1)
求g f
g f { 1,b , 2,b , 3,b }
课件
例12 求复合函数
X {1,2,3}, Y {p, q}, Z {a,b} f { 1, p , 2, p , 3, q } g { p,b , q,b }
求g f
g f { 1,b , 2,b , 3,b }
课件
例: 求幺元、零元、逆元
x A B 因为 x 是任意的,所以有
x ((x A (A B)) (x A B)) 的真值为T,
因此 A ( A B)课件 A B
例4 判断关系的性质
R1 { a, a , a,b , b,b , c,c }
a
1 1 0
M R 1 0 1 0
0 0 1
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x 和y 的作用域： (R(x, y) Q(x, z)
x 的作用域： H (x, y)
5．设谓词公式。判定以下改名是否正确 ：
x (P(x, y) Q(x, z))
(1)u(P(u, y) Q(x, z))
错误
(2)u(P(u, y) Q(u, z))
正确
(3) x(P(u, y) Q(u, z))
x0 D或y0 D, 使得G（x0,y）或G（x, y0）为假，
于是，此xo或yo亦弄假 yxG(x, y)
（2） xyG(x，y) yxG(x，y)
证：设D是论域，I是G（x, y）的一个解释。
（a)若 xyG(x，y) 在 I 下的为真，则在 I 下,有
8．
• (1) x(G(x) H ) xG(x) H
• (2) x(G(x) H ) xG(x) H
• 证明（1）
x(G(x) H ) x(7G(x) H ) x7G(x) H 7(xG(x)) H xG(x) H
• 证明（2）
x(G(x) H ) x(7G(x) H ) x7G(x) H 7(xG(x)) H xG(x) H
解：P(x) : x是实数，Q(x) : x是有理数. x(P(x) Q(x))
(2)有些实数是有理数。 解：P(x) : x是实数，Q(x) : 是有理数。
xyPx Q(x)。
(3)并非所有实数都是有理数。 解：P(x) : x是实数，Q(x) : x是有理数. x(P(x) Q(x)) (4)如果明天天气好, 有一些学生将去公园. 解 : P(x) : x是公园, S(x) : x是学生,W :明天天气好. W x(P(x) S(x))
离散数学
习题解答
1、
(1)xRx xSx
解：R(a) R(b) R(c) S(a) S(b) S(c)
(2)xPx Q(x)
解：P(a) Q(a)) P(b) Q(b) P(c) Q(c)
(3)xP(x) xP(x)
解：P(a) P(b) P(c)) P(a) P(b) P(c)
在谓词逻辑中基本语句的形式化
设D是论域： （1）“D中所有x都有性质F”
（2）“D中有的x具有性质F”
（3）“D中所有x而言，如果x有性质F，则x就有 性质G”
（4）“D中有的x具有性质F，又有性质G”
（5）“对于D中的所有x和y而言，若x有性质 F,y有性质G，则x与y有关系H”
（6）“对于D中的所有x而言，若x有性质F, 就存在y有性质G，并且x与y有关系H”
x 的作用域为：(F(x) yH (x，y))
y 的作用域为：H(x,y)
(5) xF (x) G(x, y)
解：自由变元:y与G(x,y)中的x,约束变元:F(x)中的x
x 的作用域：F(x)
(6) xy(R(x, y) Q(x, z)) xH(x, y)
解：自由变元:Z与H(x,y)中的y;约束变元:x,y。
2、指出下列命题的真值：
(1)x
(P R(
Q(x)) R(e)其中, P :"3 2",Q(x) x) :" x 5",e : 5,论域D {2,3,6}
:"
x
3",
解 : 假.(当x为 2时不成立).
(2) x(P(x) Q(x) 其中，P(x) :" x 3",Q(x) :" x 4",论域D {2}。
（7）“存在D中的x有性质F，并且对D中所 有y而言，如果y有性质G，则x与y就有关系 H”
（8）“D中存在着x与y，x有性质F，y有性 质G，并且x与y有关系H”
(2) x(P(x) y(Q( y)) (xP(x) Q(z))
解：自由变元z，约束为元：x，y。第一个的作用域
为 Px yQy中的Px
解 : G(x, y) : x y, S(x) : x (a,b)
x0 (G( ,0) S(x0 ) Nn(G(n, N ) G( ,| f (x0 ) fn (x) |)))
4.指出下列公式中的自由变元和约束变元,并指出各量词的作用域.
(1)x(P(x) Q(x)) xR(x) Q(z) 解 :自由变元z,约束变元x,第一个x的作用域是(P(x) Q(x)), 第二个是R( x) ;
错误ห้องสมุดไป่ตู้
(4) u(P(x, y) Q(x, z))
错误
(5) y(P( y, y) Q( y, z))
错误
6．
(1) 解：真 (2) 解：假 (3) 解：真 (4) 解：真
• 7.判断下列公式的恒真性和恒假性 • (1) 解：恒真 • (2) 解：恒真 • (3) 解：恒真 • (4) 解：恒假 • (5) 解：满足
9．
（1）xyG(x，y) yxG(x，y)
证：设D是论域，I是G（x，y）的一个解释。 • （a）若 xyG(x，y) 在 I 下的为真，则在 I 下，
对任意的 x, y D , G(x, y) 即 yxG(x, y) 是真命题。 • （b）若xyG(x, y) 在 I 下的为假,则在 I 下,必存在
(5)对任意的正实数，都存在大于该实数的实数。 解：P(x) : x是正实数，Q(x) : x是实数,G(x, y) : x y
x(P(x) y(Q( y) G( y, x))).
(6)对任意给 0,x0 (a,b),都存在N,使当n N时有: | f (x0 ) fn (x) | .
解：真。
3、在一阶逻辑中，将下列命题符号化： • （1）凡有理数均可表示为分数。 • 解：P(x)： x是有理数； • Q（x）:x可表示为分数。
x(P(x) Q(x))
(2)有些实数是有理数。
解：P(x) : x是实数，Q(x) : 是有理数。
xyPx Q(x)。
(3)并非所有实数都是有理 数。
第二个的作用域为第二个P(x)；第二个的作用域的 作用域为 Q(y)
(3) x(P(x) Q(x)) yR( y) s(z)
解：自由变元z，约束为元：x，y。
x的作用域为(P(x) Q(x))
y 的作用域为R(y)
(4) x(F(x) yH (x, y)) 解：无自由变元，约束为元：x，y。
x 的作用域： H (x, y)
5．设谓词公式。判定以下改名是否正确 ：
x (P(x, y) Q(x, z))
(1)u(P(u, y) Q(x, z))
错误
(2)u(P(u, y) Q(u, z))
正确
(3) x(P(u, y) Q(u, z))
x0 D或y0 D, 使得G（x0,y）或G（x, y0）为假，
于是，此xo或yo亦弄假 yxG(x, y)
（2） xyG(x，y) yxG(x，y)
证：设D是论域，I是G（x, y）的一个解释。
（a)若 xyG(x，y) 在 I 下的为真，则在 I 下,有
8．
• (1) x(G(x) H ) xG(x) H
• (2) x(G(x) H ) xG(x) H
• 证明（1）
x(G(x) H ) x(7G(x) H ) x7G(x) H 7(xG(x)) H xG(x) H
• 证明（2）
x(G(x) H ) x(7G(x) H ) x7G(x) H 7(xG(x)) H xG(x) H
解：P(x) : x是实数，Q(x) : x是有理数. x(P(x) Q(x))
(2)有些实数是有理数。 解：P(x) : x是实数，Q(x) : 是有理数。
xyPx Q(x)。
(3)并非所有实数都是有理数。 解：P(x) : x是实数，Q(x) : x是有理数. x(P(x) Q(x)) (4)如果明天天气好, 有一些学生将去公园. 解 : P(x) : x是公园, S(x) : x是学生,W :明天天气好. W x(P(x) S(x))
离散数学
习题解答
1、
(1)xRx xSx
解：R(a) R(b) R(c) S(a) S(b) S(c)
(2)xPx Q(x)
解：P(a) Q(a)) P(b) Q(b) P(c) Q(c)
(3)xP(x) xP(x)
解：P(a) P(b) P(c)) P(a) P(b) P(c)
在谓词逻辑中基本语句的形式化
设D是论域： （1）“D中所有x都有性质F”
（2）“D中有的x具有性质F”
（3）“D中所有x而言，如果x有性质F，则x就有 性质G”
（4）“D中有的x具有性质F，又有性质G”
（5）“对于D中的所有x和y而言，若x有性质 F,y有性质G，则x与y有关系H”
（6）“对于D中的所有x而言，若x有性质F, 就存在y有性质G，并且x与y有关系H”
x 的作用域为：(F(x) yH (x，y))
y 的作用域为：H(x,y)
(5) xF (x) G(x, y)
解：自由变元:y与G(x,y)中的x,约束变元:F(x)中的x
x 的作用域：F(x)
(6) xy(R(x, y) Q(x, z)) xH(x, y)
解：自由变元:Z与H(x,y)中的y;约束变元:x,y。
2、指出下列命题的真值：
(1)x
(P R(
Q(x)) R(e)其中, P :"3 2",Q(x) x) :" x 5",e : 5,论域D {2,3,6}
:"
x
3",
解 : 假.(当x为 2时不成立).
(2) x(P(x) Q(x) 其中，P(x) :" x 3",Q(x) :" x 4",论域D {2}。
（7）“存在D中的x有性质F，并且对D中所 有y而言，如果y有性质G，则x与y就有关系 H”
（8）“D中存在着x与y，x有性质F，y有性 质G，并且x与y有关系H”
(2) x(P(x) y(Q( y)) (xP(x) Q(z))
解：自由变元z，约束为元：x，y。第一个的作用域
为 Px yQy中的Px
解 : G(x, y) : x y, S(x) : x (a,b)
x0 (G( ,0) S(x0 ) Nn(G(n, N ) G( ,| f (x0 ) fn (x) |)))
4.指出下列公式中的自由变元和约束变元,并指出各量词的作用域.
(1)x(P(x) Q(x)) xR(x) Q(z) 解 :自由变元z,约束变元x,第一个x的作用域是(P(x) Q(x)), 第二个是R( x) ;
错误ห้องสมุดไป่ตู้
(4) u(P(x, y) Q(x, z))
错误
(5) y(P( y, y) Q( y, z))
错误
6．
(1) 解：真 (2) 解：假 (3) 解：真 (4) 解：真
• 7.判断下列公式的恒真性和恒假性 • (1) 解：恒真 • (2) 解：恒真 • (3) 解：恒真 • (4) 解：恒假 • (5) 解：满足
9．
（1）xyG(x，y) yxG(x，y)
证：设D是论域，I是G（x，y）的一个解释。 • （a）若 xyG(x，y) 在 I 下的为真，则在 I 下，
对任意的 x, y D , G(x, y) 即 yxG(x, y) 是真命题。 • （b）若xyG(x, y) 在 I 下的为假,则在 I 下,必存在
(5)对任意的正实数，都存在大于该实数的实数。 解：P(x) : x是正实数，Q(x) : x是实数,G(x, y) : x y
x(P(x) y(Q( y) G( y, x))).
(6)对任意给 0,x0 (a,b),都存在N,使当n N时有: | f (x0 ) fn (x) | .
解：真。
3、在一阶逻辑中，将下列命题符号化： • （1）凡有理数均可表示为分数。 • 解：P(x)： x是有理数； • Q（x）:x可表示为分数。
x(P(x) Q(x))
(2)有些实数是有理数。
解：P(x) : x是实数，Q(x) : 是有理数。
xyPx Q(x)。
(3)并非所有实数都是有理 数。
第二个的作用域为第二个P(x)；第二个的作用域的 作用域为 Q(y)
(3) x(P(x) Q(x)) yR( y) s(z)
解：自由变元z，约束为元：x，y。
x的作用域为(P(x) Q(x))
y 的作用域为R(y)
(4) x(F(x) yH (x, y)) 解：无自由变元，约束为元：x，y。