哈尔滨工业大学大学物理热学部分部分习题

2
E1 5 1 5 62.5% E1 E2 5 1 3 2 8
例2. 容积为10L的盒子以速率V=200m/s匀速运动，容器中 充有质量为50g，温度为18oC的氢气，设盒子突然停止， 气体的全部定向运动动能都变为气体分子热运动的动能， 容器与外界没有能量交换，则达到平衡后氢气的温度和 压强增加多少？（氢气分子视为刚性分子）
因此内能为
EB
2
5 2
RT2
根据理想气体状态方程： P0V0 2 RT2
带入上式得出
EB
2
5 2
RT
5 2
P0V0
（2）抽取绝热板，两种气体混合后处于平衡时的温度为多少？
混合后两种气体温度相同，温度与内能有关。因此应 从内能入手。容器绝热，外界没有对气体做功，也没 有热传递。系统内能量守恒。两种气体间存在能量转移， 但是总内能不变。设混合后温度为T，则混合后
m
)3
/
2
e
mv2 2kT
v2
dv
N
2πkT
物理意义：速率在 v v dv 区间气体分子数 dN 占总分
子数 N 的百分比，或者说一个分子的速率处
于 v v dv 区间的概率。
速率分布函数
f (v) dN 4 (
m
) e v 3/ 2
mv2 2kT
2
Ndv
2πkT
物理意义：处在速率v 附近单位速率区间内气体分子数占
) e 3/2
Ek Ep 2kT
dvx dvy dvz dxdydz
dN 表示气体处于平衡态时，在一定温度下，在速度分
布区间 vx vx dvx、vy vy dvy 、vz vz dvz 和坐 标区间 x x dx、 y y dy、 z z dz 内的分子数；
Ek 是分子的平动动能； E p 是分子在力场中的势能
（1） 两种气体各自的内能分别为多少？
1 mol理想气体内能为
E i RT 2
A中为单原子理想气体，自由度为3，
因此内能为
EA
1
3 2
RT
3 2
RT1
根据理想气体状态方程： P0V0 1RT1
RT1 P0V0
A中气体的内能为：
3
3
EA 2 RT1 2 P0V0
B中为双原子刚性理想气体，自由度为5，
氢气为双原子分子，自由度为5，
一个分子平均动能： 5 kT
2
所有氢气分子总动能为
E1
N
1Na
5 2
kT
1
5 2
RT
氦气为单原子分子，自由度为3，
一个分子平均动能： 3 kT
2
所有氦气分子总动能为：
E2
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2Na
3 2
kT
2
3 2
RT
氢气分子动能的百分比为
E1 E1 E2
5 2
1
RT
5
2
1 RT
2
22
内能增加量和温度增加量之间存在关系
E 62.5RT
T E 62.5R 16 R 1.925K
理想气体压强方程P=nkT,
气体总量不变，容器体积不变，因此分子数密度n没有变化， 压强增加量和温度增加量存在关系
P nkT
V
N AkT
50 RT
2 0.01
P 4104 Pa
例3. 用绝热材料制成的一个容器，体积为2V0，被绝热板隔成 A、B两部分，A内储存有1 mol单原子分子理想气体，B没储 存有2mol刚性双原子分子理想气体，A、B两部分压强相等， 均为P0，两部分体积均为V0，则 （1） 两种气体各自的内能分别为多少？ （2）抽取绝热板，两种气体混合后处于平衡时的温度为多少？
3.温度与分子平均平动动能的关系
1 mv 2 3 kT
2
2
4.能量按自由度均分定理
平衡态下，气体分子的每一个自由度的平均动能都等于
E 1 kT 。若气体分子具有i个自由度，则分子的能量为
2
E i kT 2
5.理想气体内能公式
E i RT
2
5
6.麦克斯韦速率分布律
数学表达式
dN 4 (
Ep
dN n0e kT dxdydz
体积元dxdydz内的总分子数
n
dN dxdydz
n0e
Ep kT
n为空间粒子数密度
n0为 Ep =0 处的粒子数密度
8
重力场中粒子按高度的分布
mgh
n n0e kT
mgh
mgh
p nkT n0kTe kT p0e kT -- 恒温气压公式
8. 平均碰撞频率 Z 2 d 2 v n
总分子数的百分比。概率密度
6
三种特征速率
•最概然速率：
vp
2kT m
2RT 1.41 RT
M
M
•平均速率：
v 8kT 8RT 1.60 RT
m M
M
•方均根速率： 2 3kT 3RT 1.73 RT
m
M
M
k R NA
Vp V Vrms
7
7.玻尔兹曼能量分布律
dN
m n0 (2πkT
动能全部转化为内能，内能只与温度有关，内能增加即 温度增加，等体变化中，温度增加引起压强增加。
定向运动动能
E1
1 2
m v2
0.5 0.05 2002
1000J
这些能量全部转化为内能，氢气分子内能增加量为
E 1000J
1mol氢气分子内能与温度关系：
E
5 RT 2
50g氢气总的内能为
E 5 RT 50 5 RT 62.5RT
A气体内能 B气体内能
EA
1
3 2
RT
3 2
RT
EB
2
5 2
RT
5RT
混合后总内能为：
3
13
E EA EB 2 RT 5RT 2 RT
大学物理习题课
——热学部分
2010.11.29
1
统计物理学
2
理想气体状态方程 理想气体压强公式 理想气体内能 麦克斯韦速率分布 分子碰撞统计规律（平均自由程和 碰撞频率）
基本规律
1.理想气体状态方程
PV M RT RT
P nkT
2.理想气体压强公式
p 2 n
3
其中 1 mv 2
2
4
3
2
2 RT
5 1 5 1 3 2
知道氢气和氦气分子的摩尔比就可确定氢气分子动能百分比。
根据条件，两种气体P和V都相同，在同一温度T下混合。
理想气体压强公式：
p1 n1kT
p2 n2kT
氢气 氦气
T相同，P相同，因此n1=n2, 即分子数密度相同。V也相同。
摩尔量为:
1
n1V1 Na
n2V2 Na
平均自由程
v 1 z 2d 2n
9
五种类型问题
(1) 利用理想气体方程、压强公式、内能公式，计算 相关物理量
(2) 麦克斯韦速率分布率相关问题 (3) 利用三种特征速率公式的一些计算 (4) 平均自由程相关问题 (5) 玻尔兹曼能量分布律的应用
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例1. 体积和压强都相同的氦气和氢气（均视为刚性分子理想 气体），在某一温度T下混合，所有氢气分子所具有的热运 动动能在系统总热运动动能中所占的百分比是多少？