杆件的应力和强度设计(2)
杆件的应力
σ
B A
D
C
E
O
ε
1. 弹性阶段 OAB：这一阶段可分为：斜直线 和微弯曲 ：这一阶段可分为：斜直线OA和微弯曲
线AB，该段范围内，试件变形是弹性的，卸载后变形可完全恢复。 ，该段范围内，试件变形是弹性的，卸载后变形可完全恢复。 去外力后变形完全消失的性质称为弹性
σ
D
B A
C
E
O
ε
1.OB段：弹性阶段 段
一、薄壁圆筒的扭转 等厚度的薄壁圆筒,平均半径为 壁厚为 等厚度的薄壁圆筒 平均半径为 r,壁厚为 t
壁厚t<<r
m 薄壁圆筒扭转试验
m
预先在圆筒的表面画上等间距 的纵向线和圆周线， 的纵向线和圆周线，从而形成 一系列的正方格子。 一系列的正方格子。 观察到的现象 圆周线保持不变； 圆周线保持不变；纵向线发生倾斜 设想 薄壁圆筒扭转后，横截面保持为大小均无改变的平面， 薄壁圆筒扭转后，横截面保持为大小均无改变的平面，相邻 两横截面绕圆筒轴线发生相对转动。 两横截面绕圆筒轴线发生相对转动。
标准试件 标距 l，通常取 l
= 5d
或l
= 10 d
夹头
夹头
液压式万能试验机 活塞
油管
活动试台
底座
低碳钢——含碳量在0.3%以下的碳素钢。 (I)低碳钢Q235(A3钢)试件的拉伸图：
（P— ∆L) 曲线——拉伸图 P
D B A
C
E
O
∆l
P
σ
P A
∆l
ε ∆l
l
（Ⅱ）低碳钢 Q 235 的应力—应变图（ σ−ε ）曲线
二、剪应力互等定理
纯剪切：单元体上只有 剪应力而无正应力。
【土木建筑】04杆件的应力、强度和刚度
I 2 dA
A
dA 2π d
I dA
2 A
R
0
πR4 πD4 2π d 2 32
2
由于 I I z I y ，圆截面对任意通过圆心的轴对称，所以 I z I y 3.13
iz iy
Iz A
πD 4 64
πD 2 D R 4 4 2
第4章
可得：
杆件的应力、强度和刚度
截面的几何性质
πD4 Iz I y I / 2 64
iz iy Iz A πD 4 64 πD 2 D R 4 4 2
(3) 计算惯性半径
(4) 计算抗弯截面模量：
W
I ymax
πD 4 64 πD3 D2 32
2 A b 2 b 2
图4.6 矩形截面
b3 h z bdx 12
2
(2) 计算矩形截面对z轴和y轴的惯性半径：
iz Iz bh3 /12 h h A bh 12 2 3
iy
Iy
b3 h /12 b b A bh 12 2 3
3.12
第4章
杆件的应力、强度和刚度
图4.8 惯性矩的平行移轴
第4章
杆件的应力、强度和刚度
截面的几何性质
z zc b
y yc a
根据惯性矩定义，图形对z轴的惯性矩为：
I zc yc2 dA ( yc a)2dA yc2dA 2a yc dA a 2 dA
A A A A A
式中：
yc
图4.2 矩形截面
Ay
i 1 i
n
ci
理论力学中的杆件受力分析与应力计算与设计
理论力学中的杆件受力分析与应力计算与设计杆件受力分析与应力计算是理论力学中的重要内容，它在工程设计和结构分析中起着至关重要的作用。
本文将介绍杆件受力分析的基本原理和方法，并探讨应力计算与设计中的一些关键问题。
一、杆件受力分析1. 弹性力学基本原理杆件受力分析的基础是弹性力学的基本原理。
根据胡克定律，杆件的应力与应变成正比。
而根据伯努利梁理论，杆件上的变形与施加的力和几何形状有关。
通过这些基本原理，可以推导出杆件受力分析的基本方程。
2. 杆件的静力学平衡在进行杆件受力分析时，需要根据静力学平衡条件，即力的平衡和力矩的平衡。
通过平衡条件，可以得到各个支点的受力情况，并进一步计算出杆件上各点的内力和外力。
3. 杆件的弯曲和剪切应力杆件在受力时会发生弯曲和剪切的变形，从而引起内力的产生。
根据梁的弯曲理论和材料的力学性质，可以计算出杆件在不同位置的弯曲和剪切应力。
这对于杆件的设计和选择材料具有重要意义。
二、应力计算与设计1. 杆件的选择和尺寸计算在进行杆件的应力计算与设计时，首先需要选择合适的杆件类型和材料。
不同杆件类型和材料的强度和刚度不同，因此需要根据具体情况进行选择。
同时，还需要计算出杆件的尺寸，以满足设计要求和使用条件。
2. 杆件的极限强度和安全系数在进行杆件设计时，需要考虑到杆件的极限强度和安全系数。
极限强度是指杆件能够承受的最大力或应力，而安全系数是指杆件的实际强度与设计所要求的强度之间的比值。
通过合理选择安全系数，可以保证杆件在使用过程中的安全性。
3. 杆件的疲劳和稳定性设计杆件在长期使用过程中会受到疲劳和稳定性的影响。
在进行杆件设计时，需要考虑到疲劳和稳定性的问题，并进行相应的计算和分析。
通过合理设计杆件的结构和选择合适的材料，可以提高杆件的疲劳寿命和稳定性。
三、杆件设计中的一些关键问题1. 材料的选择和力学性质杆件的设计离不开材料的选择和力学性质的了解。
不同材料具有不同的力学性质，如强度、刚度、韧性等。
第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计
D C
FP
图所示连接螺栓，内径d1＝15.3mm，被连接部分的总长度l＝ 54mm ， 拧 紧 时 螺 栓 AB 段 的 Δl=0.04mm ， 钢 的 弹 性 模 量 E=200GPa，泊松比μ=0.3。试求螺栓横截面上的正应力及螺栓 的横向变形。
工程力学 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计
式中负号表示：纵向伸长时横向缩短；纵向缩短时则横向伸长。
【例题6-1】如图所示之变截面直杆，已知：ADEB段杆的横截面 面积 AAB=10·102mm2，BC段杆的横截面面积ABC=5*102mm2； FP=60KN；铜的弹性模量EC=100MPa，钢的弹性量 EC=210MPa ； 各段长度如图，单位为mm。试求：
FP
FP
l l1 杆件的伸长量： l l1 l
工程力学 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计
实验表明：对于由结构钢等材料制成的拉杆，当横截面上 的σ≤σp时，不仅变形是弹性的，且存在
l Pl A
引入比例常数E，得到
l Pl FNl EA EA
胡克定律
E：弹性模量，材料拉伸或压缩时抵抗弹性变形的能力，实验测定
其值为Fmax。取AC为研究对象，在不计杆件自重及连接处的摩擦时
，受力分析如图 所示。
根据平衡方程
ΣMC=0， Fmax sin AC W AC 0
解得
Fmax
W
s in
由三角形ABC求出
sin BC 0.8 0.388
AB 0.82 1.92
故有
Fmax
Байду номын сангаас
W
sin
15 0.388
38.7 kN
的最大载荷？ B
第三章 杆件的应力与强度计算(拉伸杆).
F
F
k n
p cos cos2
沿截面切线方向的剪应力 F
k
k pα
x
p sin
2
sin2
pα
k
2.符号的规定(Sign convention) （1）α角 自 x 转向 n 逆时针时 为正号 顺时针时 为负号
F
§3-2
拉（压）杆的应力与应变
变形前
一、拉（压）杆横截面上的应力
受载后
F F
所有的纵向线伸长都相等，而横向线保持为直线且与轴线垂直。
1.平面假设 (Plane assumption)
变形前原为平面的横截面，在变形后仍保持为平面， 且仍垂 直于轴线. 2.各纵向纤维伸长相同，由均匀性假设，各纵向纤维的
n
（2）当 = 45°时， max 2 min （3）当 = -45° 时， （4）当 = 90°时， 0,
x
2 0
k
三、拉（压）杆的应变.胡克定律
1、纵向变形 纵向变形 纵向应变
2、横向变形
Δl l1 l Δl l
力学性能也相同，所以它们所受的力也相同。
3.内力的分布 均匀分布 F
FN
4.正应力公式
FN A
拉为正 压为负
5. 危险截面及最大工作应力： 危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。
危险点：应力最大的点。
FN ( x) max max( ) A( x)
6. 公式的应用条件： 拉压直杆 杆的截面无突变 截面到载荷作用点有一定的距离
§3-1
杆件应力及强度计算
P
BC
FNAB 30 103 149Mpa 6 AAB 201 10
FNBC 26 103 2.6Mpa 4 ABC 100 10
拉伸、压缩与剪切
•斜截面上的应力
P
拉压的内力和应力
有些材料在破坏时并不总是沿横截面，有的是沿斜截面。因此要进 一步讨论斜截面上的应力。 k 设拉力为P，横截面积 为A， P
材料力学
长沙理工大学
蔡明兮
2018年8月8日星期三
第四章
杆件应力与强度计算
拉伸、压缩与剪切
•横截面上的应力
Ａ、几何方面： 根据实验现象，作如下假设：
拉压的内力和应力
平截面假设：变形前的横截面，变形后仍然保持为横截面， 只是沿杆轴产生了相对的平移。 应变假设：变形时纵向线和横向线都没有角度的改变，说明 只有线应变而无角应变。
o
o
拉伸、压缩与剪切
•高温短期
When t 250o ~ 300o C When t 2时间的影响
以低碳钢为例，当温度升高，E、S降低。
b b
& &
在低温情况下。象低碳钢， p 、S增大，减小。即发生冷脆现象。
max
s
拉伸、压缩与剪切
剪切的实用计算：
剪切和挤压的实用计算
FS A
剪切的强度条件：
P
P
FS [ ] A
Q
） [1 ] （塑性材料） （0.6 ~ 0.8 [] 0.8 ~ 1.0） [1 ] （脆性材料） （ [1 ] 为材料的许用拉应力
拉伸、压缩与剪切
2、选择截面
工程力学杆件的应力
1.变形几何关系
观察到下列现象:
(1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离没有 变化
(2)纵向线仍近似为直线, 但都倾斜了同一角度γ
（3）表面方格变为菱形。
31
• 平面假设： • 变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它
像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。
g
32
g
g
d
g dx rd
• 梁的平面假设：
梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并 仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一 轴旋转了一个角度。
46
• 单向受力假设：假设各纵向纤维之间互不挤 压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压 的状态。
由平面假设得到的推论：
梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下 面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既 不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向 纤维层称为中性层。
86.6 MPa
17
二 圣维南原理
当作用在杆端的轴向外力，沿横截面 非均匀分布时，外力作用点附近各截面的 应力，也是非均匀分布的。但圣维南原理 指出，力作用于杆端的分布方式，只影响 杆端局部范围的应力分布，影响区的轴向 范围约离杆端1~2个杆的横向尺寸。
此原理已为大量试验与计算所证实。
用与外力系静力等效的合力代替原力系， 除在原力系作用区域内有明显差别外，在 离外力作用区域稍远处，上述代替影响非 常微小，可以略而不计。
所以，在梁的横截面上一般既有 正应力，又有 剪应力
43
弯曲切应力：梁弯曲时横截面上的切应力 弯曲正应力：梁弯曲时横截面上的正应力 基本变形：拉压；扭转；弯曲 组合变形：
对称弯曲：梁至少有一个纵向对称面，且外力作用在对称面 内，此时变形对称于纵向对称面，在这种情况下的变形形式 称为对称弯曲。
第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计
第6章拉压杆件的应力变形分析与强度设计工程力学学习指导第6章拉压杆件的应力变形分析与强度设计6.1 学习要求与学习目标1. 知道并且能够记住杆件拉伸或压缩时：1) 横截面上的轴力与轴力图；2) 横截面上的正应力；3) 斜截面上的应力；4) 伸长与缩短变形。
2. 掌握并能正确应用拉伸和压缩时杆件横截面上正应力的计算公式。
3. 掌握并能正确应用拉伸和压缩时杆件的变形计算公式。
4. 正确理解并掌握拉伸和压缩时，杆件的强度设计准则，正确应用强度设计准则解决三类强度设计问题。
5. 正确理解拉伸与压缩超静定问题的概念，会应用平衡、变形协调和物性关系求解简单的超静定问题。
6.2理 论 要 点6.2.1拉伸与压缩杆件的应力与变形1. 应力计算当外力沿着杆件的轴线作用时，其横截面上只有轴力一个内力分量——轴力F N。
与轴力相对应，杆件横截面上将只有正应力。
在很多情形下，杆件在轴力作用下产生均匀的伸长或缩短变形，因此，根据材料均匀性的假定，杆件横截面上的应力为均匀分布，如图6-3所示。
这时横截面上的正应力为AF N =σ 式中，F N 为横截面上的轴力，由截面法求得；A 为横截面面积。
2. 变形计算(1) 绝对变形 弹性模量设一长度为l 、横截面面积为A 的等截面直杆，承受轴向载荷后，其长度变为l 十Δl ，其中Δl 为杆的伸长量(图6-1a)。
试验结果表明：如果所施加的载荷使杆件的变形处于弹性范围内，杆的伸长量Δl 与杆所承受的轴向载荷成正比，如图6-1b 所示。
写成关系式为EAl F l N Δ±= 这是描述弹性范围内杆件承受轴向载荷时力与变形的胡克定律。
其中，F N 为杆横截面上的轴力，当杆件只在两端承受轴向载荷F P 作用时，F N ＝F P ；E 为杆材料的弹性模量，它与正应力具有相同的单位；EA 称为杆件的拉伸（或压缩）刚度;式中“＋”号表示伸长变形；“-”号表示缩短变形。
当拉、压杆有两个以上的外力作用时，需要先画出轴力图，然后按上式分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆的总伸长量(或缩短量)，即()∑=i ii i EA l F l N Δ (2) 相对变形 正应变对于杆件沿长度方向均匀变形的情形，其相对伸长量 Δl/l 表示轴向变形的程度，是这种情形下杆件的正应变，即El EA lF l l x x σε==N Δ＝ 需要指出的是，上述关于正应变的表达式只适用于杆件各处均匀变形的情形。
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强度计算
等截面杆： FN，max s
A
smax—拉(压)杆的最大工作应力， [s]—材料拉伸(压缩)时的许用应力。
强度条件的应用
三类常见的强度问题
•校核强度：已知外力，s ，A，判断
s max＝
FN A
max
？
s
是否能安全工作？
•截面设计：已知外力，s ，确定
F 4.25 kN
三、圆轴扭转应力
m
m
通过试验、观察变形、
作出假设（平面假设）
t
T
I
t max
T Wt
1）纵向线都倾斜了一个夹角， 且仍为直线 （有切应力）
2）圆周线间的间距没有改变 （无正应力）
3）圆周线的大小和形状均未改 变（切应力方向垂直于径向）
结论：圆轴扭转时，横截面上
只有切应力且垂直于径向。
合理安排梁的载荷
P
L
5L
6
6
Mmax
5 PL 36
q
L
Mmax
1 2
qL2
合理安排梁的约束
q
L
Mmax
1 8
qL2
P/ L
L
1 Mmax 8 PL
q
L 5
3 5
L
L 5
Mmax
1 qL2 40
3. 合理设计梁的外形
等强度梁：梁的每个横 截面上的最大正应力都 等于许用应力的梁。
smaxW Mzxxs
A FN，max
s
•确定承载能力：已知A，s ，确定
FN ＝As
例 一空心圆截面杆, 外径 D 20 mm ,内径 d 15 mm ,承受
轴向载荷 F 20 kN作用，材料的许用应力 s 156 MPa ，试校
杆的强度。
d
F
F
D
解：杆件横截面上的正应力为:
2
FS A
梁的强度条件及计算
1.正应力强度条件
smax s
即ssctmm
ax ax
st sc
2.切应力强度条件
tmaxt
tmax
F S* Smax zmax bIz
3.三种强度计算
1.一般情况两个强度条件 都要满足，通常正应力是主 导因素；
2.在工程中，按正应力强 度设计的截面，切应力强度 条件大多能自然满足；
3.对于薄壁截面梁或弯矩 较小而剪力较大的梁，必须 考虑两个强度条件。
s FN
A
t
T Ip
t FS AS
s bs
Fbs Abs
s My
Iz
t
F
S
S
* z
bI z
五、提高构件强度的措施
1. 合理选择截面形状 W z 尽可能大
A
让材料远离中性轴
2.减小Mmax
P
L
L
2
2
1 Mmax 4 PL
t max
T
WP
max
强度条件： t max t
等截面圆轴： Tmax t
WP
同拉伸和压缩类似，利用强度条件可以进行三类强度计算。
例 已知机器传动机构中的主轴受外力偶作用，外力偶矩MA
=40 N·m，MB =195 N·m，MC =155 N·m，圆轴的直径d=28mm， 材料的许用切应力[τ]=40 MPa。试校核该轴的强度。
s max s
M max s
Wz
三种强度计算： 强度校核； 截面设计； 许可载荷的确定。
即梁的最大弯曲正应力不超过材料的许用弯曲正应力。
上式仅适用于许用拉应力与许用压应力相同的梁，如 低碳钢。但对于铸铁等脆性材料，它们的许用拉应力低于 许用压应力 ，则应按许用拉应力与许用压应力分别进行 强度计算。
F2
二、轴向拉压杆应力
1、横截面上的正应力
根据实验现象，作如下假设：
几
平截面假设：变形前的横截面，变形后仍然
何 方
保持为横截面，只是沿杆轴线产生了相对的平移。
面
应变假设：变形时纵向线和横向线都没有角
度的改变，说明只有线应变而无角应变。
结论：横截面上只有正应力，没有切应力。
a
d
P
a1
d1
P
b1
c1
b
28.8MPa
[s t]
2、梁弯曲时的切应力
t
F
S
S
* z
bI z
矩形：
t
max
3 2
FS A
工字形：
腹板：
t
F
S
S
* z
bI z
翼缘：通常不必研究。F S腹 (0.9~ 50.9)F 7S
tmax
FS S*z max bIz
圆形截面梁
t max
4 3
FS A
薄壁圆环截面梁
t max
解得：
FNBC 0.732F
FNAC 0.5175F
y
FNAC
450 300
FNBC
（2）计算各杆的许可载荷。
C
x
F
对BC杆，根据强度条件
s BC
FNBC A
s 1
解得：
F s 1 d 2
(160 106
Pa)
400 106 m2
68.67 kN
杆件的应力和强度设计
一、应力和应变
总 应
法向分量
正应力s
背离截面的正应力为正， 指向截面的正应力为负。
力 p 切向分量
切应力t
对截面内的一点产生顺时 针方向力矩的切应力为正， 反之为负。
正应力： s lim FN
A0 A
切应力： t
lim FS A0 A
F1
τ
P
ΔA
s
M
p s 2 t 2
例 钢制等截面简支梁受均布载荷q作用，梁的横截面
为h=2b的矩形,求梁的截面尺寸。
已知材料的许用应力 s 120 MPa l 2 m q 50 kN/m
q
A
B
l
x
M
8
ql 2
解：作弯矩图
危险截面在梁的中点，其值为
M max
ql 2 8
根据强度计算公式对梁进行正应力强度计算：
ql 2
解：1. 绘扭矩图
2. 求每段轴的横截面 MA 上的最大切应力
AB段内
t max
T Wp
T π d3
π
155 N m 28 103 m
3
T
16 16
36 MPa<[t ]=40MPa
安全。
MB
MC
155 x
40
四、梁的弯曲应力
平面弯曲
载荷作用在梁的纵向对称面内，其轴线将变成纵向对称面内的一条平 面曲线，这种弯曲称为平面弯曲。
s
4F
(D2 d2)
4 20103 N
(0.022 0.0152 )
m2
145.5
MPa
因为 s [s ] 156 MPa
所以满足强度校核。
例 结构中 BC 和 AC 都是圆截面直杆，直径均为 d 20 mm
BC为 Q235钢杆，其许用应力 s 160 MPa ；AC为木杆，其许 1
用应力s 7 MPa 。求：该结构的许可载荷。 2
A
B
450 300 C
F
y
FNAC
450 300
FNBC
C
x
F
解： （1）分析受力，受力图如图所示。
Fx 0, FNAC sin 45 FNBC sin 30 0
Fy 0, FNAC cos 45 FNBC cos 30 F 0
已知截面对形心轴z的惯性矩为 Iz =763cm4 , y1 =52mm,校核 梁的强度。
F1=9kN
F2=4kN
A C
z y1
20
120
y2
20
解: RA 2.5kN RB 10.5kN
RA A
z y1
F1=9kN RB F2=4kN
最大正弯矩在截面C上
C
1m
1m
2.5kN
p
F A
P cos
A
P P
sco s
s
pcos
s
2
(1
cos
2
)
P
t
psin
s
2
sin
2
讨论：
k
k
k
p
k ks
p
k t
P
F
0:sma xs;
450 :tm
s
ax2;
从轴向往截面的外法线方向为逆时针 转时， 取正值。
900:st0
纵向对称面（形心主惯性平面）：形心主轴与杆轴线所组成的平面。
A
P
C a
P
Pa
PB
D a
FS
P
M
纯弯曲：剪力为零的弯曲。 横力弯曲：剪力和弯矩不等于零的弯曲。
剪力是相切于横截面的内力系的合力：
Fs t 。
弯矩是垂直于横截面的内力系的合力偶矩：
Ms。
1、纯弯曲梁横截面上的正应力
1）纵向线变成了圆弧线，下方 M