上海高一上期末考试试卷及答案
由正弦与余弦二倍角公式,结合同角三角函数关系式代入化简可得
4sin cos sin2 cos2 cos2 sin2
即 2sin cos cos2
当
0,
2
时,
cos 0
所以 2sin cos
则 tan
sin cos
1 2
1
故答案为:
2
2sin a 3 sin a 4
3 sin2 a 2
3 16 24 2 25 25
故答案为: 24 25
11．
0,
1 2
【解析】 【分析】 根据整个函数值域为 R 及分段函数右段的值域,可判断出左段的函数为单调性递增,且最大值
大于等于 1,即可求得 a 的取值范围.
【详解】
当 x 1时, f x 2x1 ,此时值域为1,
变形可得 tan 1 2tan 2
解得 tan 5 故答案为: 5
8． 2 2
【解析】
解答：
cos2
3
sin2
3
6π =cos
=−cos
π
=−
2，
8
8
8
42
故答案为：− 2 . 2
1 a
9．
2a b
【解析】
10
lg
试题分析：10b
3b lg 3 log12 5 lg
2 3 22
13． 6 2
【解析】
【分析】
根据角的范围,可判断 sin
0, cos
0
.由诱导公式化简所给条件式,可求得 sin 2
1 将.
2
所求式子平方化简,再开根号即可求解.
【详解】
因为
2
,
0
则 sin 0, cos 0
所以 sin cos 0
由诱导公式可知 sin 2 sin 2 1
1 x1
,
x1
所以 x1
1 x2
即 x1 x2 1,且 x1 x2
所以 x1 9x2
x1 x2 8x2
2 x1 x2 8x2
2 8x2 ,由于 x1 x2 ,所以不能取等号
因为 x2 1
所以 2 8x2 2 8 10
即 x1 9x2 10,
故选:D 5．二 【解析】
9
11
2 的范围,进而求得 2 的值.
【详解】
因为 tan 2 3 , tan 5 3
3
11
由正切差角公式展开可得 tan
tan 1 tan
tan tan
23 3
代入 tan
53 11
,
1
tan tan
5 3 11
5
3
23 3
11
化简可求得 tan 3 9
18．已知函数 f x 3x a 3x ，其中 a 为实常数.
（1）若 f 0 7 ，解关于 x 的方程 f x 5 ；
（2）判断函数 f x 的奇偶性，并说明理由.
19．高境镇要修建一个扇形绿化区域，其周长为 400m ，所在圆的半径为 r ，扇形的圆
心角的弧度数为 ， 0, 2 .
A 的范围,进而判断三角形形状.
【详解】
A 为 ABC 的一个内角,若 sin A cos A 12 25
则 sin
A
cos
A2
12 25
2
由同角三角函数关系式展开化简可得1 2sin Acos A 144 625
则 sin Acos A 481 37 1300 100
因为 0 A
3
11
_______.
16．己知
f
x 是定义域为
R
的单调函数，且对任意实数
x
，都有
f
f
x
3 4x 1
2 5
，则
f
log
2
sin 17 6
______.
三、解答题
17．已知
0,
2
，
0,
2
， sin
43 7
， cos
11 14
.
（1）求 tan 2 的值；
（2）求 cos 的值.
sin
2
1
cos
2
，则
tan
______.
13．已知
2
,
0
，
sin
2
1 2
，则 sin
cos
_______.
14．已知锐角 ， 满足 sin 2 3sin ，则 tan cot ______.
15．己知 ， 0, ，且 tan 2 3 ， tan 5 3 ， 2 的值为
式,即可求得 x1 x2 的最小值,将 x1 9x2 化为 x1 x2 8x2 ,即可得解.
【详解】
因为 x1 , x2 分别是函数 f x x ax 和 g x x loga x 1的零点
则
x1 ,
x2
分别是
ax
1 x
和 loga
x
1 x
的解
所以
x1
,
x2
分别是函数
y
1 x
与函数
A．6,
B． 6,
C．10,
D． 10,
二、填空题 5．弧度数为 2 的角的终边落在第______象限.
6．幂函数
f
x
xa
的图像经过点
2,
1 2
，则
f
3
______.
sin cos 7．已知 sin 2 cos
2 ，则 tan
的值为_______.
8． cos2 3 sin2 3 ____
则 sin A 0 所以 cos A 0 则 A 为钝角 所以 ABC 为钝角三角形
故选:C 3．B 【解析】 【分析】 根据一次函数单调性,结合对数型复合函数单调性的性质,可得 a 1.再根据对数的定义域要
求,即可求得 a 2 ,综上可得 a 的取值范围.
【详解】
由0 a 1 可知 y 6 ax 为单调递减函数
（1）若 a
为整数，且
f
2a
2a 2
2
，试确定一个满足条件的 a
的值；
（2）设 y f x 的反函数为 y f 1 x ，若 f 1 n 4n 4n n N * ，试确定 a 2
的取值范围；
（3）若 a 2 ，此时
y
f
x 的反函数为
y
f
1 x ，令 g x
2 f 1 x k 2 f 1 x 1
8
8
9．已知 lg 2 a,10b 3 ，用 a、b 表示 log12 5 =___________．
10．若
tan
a
4 3
，则
cos
2a
2
______.
11．已知函数
f
x
1
2a x
2 x 1
3a x 1
的值域为
x 1
R
，则实数 a
的取值范围是_____.
12．已知
0,
2
，
2
锐角 , 满足 sin 2 3sin 变形可得 sin 3sin
由正弦和角与差角公式展开可得
sin cos sin cos 3sin cos 3sin cos
合并化简可得 4sin cos 2sin cos
因为 tan a 4 3
则 tan a sin a 4 cos a 3
则 cos a 3 sin a 4
由同角三角函数关系式 sin2 a cos2 a 1
代入可得 sin2
a
3 4
sin
a
2
1
解得 sin2 a 16 25
由诱导公式及正弦二倍角公式化简可得
cos
2a
2
sin 2a 2sin a cos a
【分析】
根据零点定义,可得
x1 ,
x2
分别是 ax
1 x
和 loga
x
1 x
的解.结合函数与方程பைடு நூலகம்关系可知
x1 ,
x2
分别是函数
y
1 x
与函数
y
ax
和函数
y
loga
x
交点的横坐标,所以可得
0
x1
1,
x2 1.而 y ax 与 y loga x 互为反函数,则由反函数定义可得 x1 x2 1.再根据基本不等
【分析】
将弧度化为角度,即可判断出所在象限. 【详解】
根据弧度与角度关系可知1rad 57.3
所以 2rad 114.6
则弧度数为 2 的角的终边落在第二象限
故答案为:二
1
6．
3
【解析】
【分析】
根据幂函数所过的点,代入可求得幂函数解析式,即可求得 f 3 的值.
【详解】
幂函数
f
x
x
a
的图像经过点
等式两边同时除以 2 cos cos
可得 2 tan tan
即 tan cot 2
故答案为:2
15． 2 3
【解析】
【分析】
根据正切差角公式,代入 tan 5 3 可求得 tan 3 .将角配凑后可求得
11
9
tan 2 3 .根据 tan 3 1及 tan 5 3 0 可得 , 的范围,即可求得
2 则 sin cos
sin cos 2
1 2sin cos
由正弦二倍角公式代入可得
1 2sin cos 1 sin 2
1
1 2
6 2
故答案为: 6 2
上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高一上学期期末考试化学试卷(A卷)(含答案)
上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高一上学期期末考试化学试题(A 卷)考生注意：1.试卷满分100分，考试时间90分钟。
2.本考试分设试卷和答题纸。
答题前，务必在答题纸上填涂班级、姓名、学号。
3.选择类试题中，标注“不定项”的试题，每小题有1~2个正确选项；标注“双选”的试题，有2个正确选项；未特别标注的试题，每小题只有1个正确选项。
相对原子质量：H-1 O-16 Na-23 Al-27 S-32 Cl-35.5 Fe-56 Ba-137一、海水中的卤素资源(本题共21分)氯、溴、碘等均可通过开发海洋资源获得，这些元素的单质及其化合物在人类的生产生活中发挥着极为重要的作用。
1. 科学家发现一种新的溴原子，其原子核中含有35个质子和48个中子，写出该核素的化学符号___________。
核电荷数为17的卤素的简单负离子的电子式为___________。
2. 海水中获得的粗盐含有较多的杂质。
为除去粗盐中的、、，向粗盐溶液中依次加入稍过量的NaOH 溶液、___________，过滤后，再向滤液中加入适量___________，再蒸发。
3. 室温下，甲同学配制5%的溶液100g ，乙同学配制的溶液100mL(的溶解度为水)，下列说法正确的是A. 所需溶质的质量相同B. 所需仪器均包括100mL 容量瓶C. 所配溶液均为不饱和溶液D. 所配溶液质量相同4. 如图是NaClO 的发生装置。
该装置主要利用了电解饱和食盐水的原理，可实现对海水的消毒和灭藻。
2Ca +2Mg +24SO -NaCl 10.5mol L -⋅NaCl NaCl 36g /100g（1）写出该装置产生NaClO 的化学方程式___________，___________。
（2）海水中含有、、等杂质离子，处理过程中装置的___________极(填电极名称)易产生水垢，其主要成分是和。
若每隔5-10min 将电源正负极反接，可有效地解决结垢问题，请解释其中的原因：___________。
上海市高一上学期期末考试数学试卷含答案
【解析】易知当 时，函数 单调递增，且 ，故当 时， ，
当 时， ，所以当 时，不等式 的解集为 .
因为函数 的图象关于原点对称，所以 ，且当 时，不等式
的解集为 .故不等式 的解集为 .
故答案为： .
【说明】本题考查利用函数的单调性解不等式，涉及到函数的奇偶性，考查学生的数形结合的思想，是一道中档题.
当 时， ，不满足题意；
当 时， ，满足题意；
当 时， ，满足题意；
当 时， ，满足题意；
当 时， ，此时分母为零，不满足题意；
当 时， ，满足题意；
当 时， ，满足题意；
当 时， ，满足题意；
当 时， ，不满足题意；
当 时， ，不满足题意；
当 时， ，满足题意；
综上可得，集合 .
故答案为： .
2、若关于 的不等式 的解集是 ，则 ________
（1）证明： ；
（2）建立变量 与 之间的函数关系式 ，并写出函数 的定义域；
（3）求 的最大面积以及此时的 的值.
18、已知函数 是定义域为 上的奇函数.
（1）求 的值；
（2）用定义法证明函数的单调性，并求不等式 的解集；
（3）若 在 上的最小值为 ，求 的值.
四. 附加题
19、设函数 ，其中 .
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；与 相同的集合有（）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
三、解答题：(共48分)
15、已知全集 ，集合 ， .
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
16、已知函数 ， .
（1）求 的值；
（2）设 ，求函数 在 上的值域.
17、如图所示，设矩形 （ ）的周长为20厘米，把 沿 向 折叠， 折过去后交 于点 ，设 厘米， 厘米.
上海市高一上学期期末考试物理试卷(附带答案和解析)
上海市高一上学期期末考试物理试卷-附带答案和解析学校:___________班级：___________姓名：________考号：________一、单选题1．在水平力F的作用下质量为 2 kg 的物块由静止开始在水平地面上做直线运动，水平力F随时间t变化的关系如图所示。
已知物块与地面间的动摩擦因数为 0.1，g取10 m/s2。
则（）A．6 s 时物块的动能为零B．3 s 时物块离初始位置的距离最远C．0 ~ 6 s 时间内合外力对物块所做的功为 8 JD．0 ~ 6 s 时间内水平力F对物块所做的功为 20 J2．如图所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A点和B点后，立即沿原路线返回到O点，OA、OB分别与水流方向平行和垂直，且OA＝OB。
若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t甲、t乙的大小关系为（）A．t t<甲乙B．t t=甲乙C．t t>甲乙D．无法确定3．下列单位不属于国际单位制中基本单位的是（）A．牛顿（N）B．秒（s）C．千克（kg）D．米（m）4．关于摩擦力，下列说法正确的是（）A．两个相对静止的物体之间一定有静摩擦力的作用B．滑动摩擦力一定是阻力C．受静摩擦力作用的物体一定是静止的D．在压力一定的条件下，静摩擦力的大小是可以变化的，但有一定限度5．某次救灾演习中，救援直升机悬停在空中，机上工作人员将装有救灾物质的箱子投出，已知箱子下落的初速度为零下落过程中箱子所受的空气阻力不计。
启程中，箱子始终保持投放时的状态，则下落过程中，以下说法正确的是（）A．物资处于超重状态B．物资仅受重力作用C．物资受箱子的支持力逐渐减小D．由静止开始，箱子在持续相同的时间内位移比为1∶2∶3二、多选题6．一物体静止在水平地面上，先用一水平力F拉物体，在F从开始增大的过程中，物体的加速度随外力F变化的图像如图所示，若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取210m/sg=，则根据题目提供的信息可知，下列判断正确的是（）μ=A．物体与水平地面间的动摩擦因数0.3m=B．物体质量1kgC．物体与水平地面间的最大静摩擦力为3ND．当F为6N时，物体的加速度2a=2.5m/s7．经过近两年的改造，原“佛山一环”被改造成了封闭管理的高速公路，但最高限速仍然为100 km/h。
2023-2024学年上海市复旦大学附属中学高一上学期期末考试物理试卷含答案
复旦大学附属中学2023学年第一学期高一年级物理期末考试试卷（A 卷）（考试时间：90分钟：满分：100分）一、单选题（每题只有一个选项正确，每题2分，共24分）1.描述运动物体位置变化的量是（）A.路程B.位移C.速度D.速度的变化量2.关于惯性，正确的说法是（）A.物体只有在加速或减速时才表现出它的惯性B.物体质量越小，惯性越小C.物体速度越大，惯性越大D.做自由落体运动的物体没有惯性3.如图所示，如果力F 是力F l 和力F 2的合力，则正确的是（）A.B.C.D.4.乘坐电梯的人对“加速度变化的快慢”非常敏感，“加速度变化的快慢”的单位是（）A.m/sB.2m/s C.3m/s D.22m /s 5.某品牌拉力器的弹簧的劲度系数4000N/m k ，小明左手和右手分别向相反方向各用200N 的水平力拉拉力器，这时拉力器弹簧的伸长量是（）A.5cmB.10cmC.0D.20cm6.摩托车沿水平的圆弧弯道以不变的速率转弯，则它（）A.受到重力、弹力、摩擦力和向心力的作用B.所受的地面作用力恰好与重力平衡C.所受的合力可能不变D.所受的合力始终变化7.如图为“用DIS研究加速度与力的关系”实验的a F 关系，根据图线分析该实验过程可能存在的问题为（）A.所用小车质量过大B.所挂钩码的总质量太大C.导轨与小车间摩擦太大D.没有多次测量取平均值8.四个小球在离地面不同高度同时由静止释放做匀加速直线运动，从开始运动时刻起每隔相同的时间间隔，小球依次碰到地面。
下列各图中，能反映出各小球刚开始运动时相对地面位置的是（）A. B.C. D.9.磁铁吸着铁片保持接触面竖直一起自由下落，他们之间（）A .有一对作用力和反作用力B.有两对作用力和反作用力C.有三对作用力和反作用力D.有四对作用力和反作用力10.一只可视为质点的蜜蜂沿弯曲轨迹做匀速率运动，蜜蜂在途经A 、B 、C 、D 位置时的速度v 和所受合力F 的大小、方向如图所示，其中可能正确的是（）A.A 或CB.B 或DC.A 和CD.B 和D11.细绳拴着一个质量为m 的小球，小球用固定在墙上的水平轻质弹簧支撑，平衡时细绳与竖直方向的夹角为53°，如图所示，已知重力加速度为g ，cos530.6︒=，sin 530.8︒=，那么剪断绳子瞬间，小球的加速度大小为（）A.35g B.45g C.43g D.53g 12.如图所示，两个质量相同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的（）A.角速度相同B.线速度大小相同C.向心加速度大小相同D.受到的向心力大小相同二、多选题（每题有两个及两个以上选项正确，有错不得分，漏选得部分分。
上海市高一上学期期末数学试题(解析版)
一、填空题1．函数的定义域是______.()32lg 53y x x =+-【答案】50,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.【详解】，()()32lg 53lg 53y x x x =+-=-所以，解得，0530x x ≥⎧⎨->⎩503x ≤<所以函数的定义域为.50,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭故答案为：50,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．函数的图象的对称中心是________． 3(1)2y x =-+【答案】()1,2【详解】的图象的对称中心是，将的图象向上平移 个单位，再向右平3y x =()0,03y x =2移 个单位，1即得的图象，所以对称中心为．()312y x =-+()1,23．函数的单调增区间是______. 55x y x =+【答案】(),-∞+∞【分析】根据函数的单调性确定正确答案. 【详解】在上递增，在上递增， 5y x =R 5x y =R 所以函数的单调增区间是. 55x y x =+(),-∞+∞故答案为：(),-∞+∞4．函数的反函数为______.()2230y x x x =-+≤【答案】13)y x =≥【分析】根据函数解析式确定，配方后求得，根据反函数定义即可确定函3y ≥13)x y =≥数的反函数.【详解】由题意可得在上递减，故，2223(1)2y x x x =-+=-+(,0]-∞3y ≥则，13)x y =≥故函数的反函数为，()2230y x x x =-+≤13)y x =≥故答案为： 13)y x =≥5．若，则_________.sin cos 2sin cos θθθθ+=-sin cos θθ⋅=【答案】310【解析】由条件可得，然后，可算出答案.tan 3θ=222sin cos tan sin cos sin cos tan 1θθθθθθθθ⋅⋅==++【详解】因为，所以，所以sin cos 2sin cos θθθθ+=-tan 12tan 1θθ+=-tan 3θ=所以222sin cos tan 33sin cos sin cos tan 19110θθθθθθθθ⋅⋅====+++故答案为：3106．已知函数是在定义域上的严格减函数，且为奇函数.若，则不等式()y f x =[]22-,()11f =-的解集是______.()21f x -≤【答案】[]1,4【分析】根据函数的奇偶性得到，从而得到，再根据定义域和单()()111f f -=-=()()21f x f -≤-调性列出不等式组，求出解集.【详解】因为是在定义域上的奇函数，， ()y f x =[]22-,()11f =-所以， ()()111f f -=-=故，()()211f x f -≤=-因为是在定义域上的严格减函数，()y f x =[]22-,所以，解得：，21222x x -≥-⎧⎨-≤-≤⎩14x ≤≤故答案为：[]1,47．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过分钟后物1C θ 0C θt 体的温度可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的大C θ ()010e ktθθθθ-=+-k 于0的常数，.现有的物体，放在的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是，则80C 20C o 60C______分钟后温度首次低于（保留到整数部分）. 40C o 【答案】11【分析】代入数据计算得到，再次带入数据得到，根据，得42e 3k-=21381t ⎛⎫< ⎪⎝⎭1021381⎛⎫> ⎪⎝⎭1121381⎛⎫< ⎪⎝⎭到答案.【详解】根据题意：，解得； ()460208020ek-=+-⋅42e3k-=，即，即，即，()40208020ekt->+-⋅1e3kt-<()44421e 33ttk -⎛⎫=< ⎪⎝⎭21381t⎛⎫< ⎪⎝⎭，，故.1021381⎛⎫> ⎪⎝⎭1121381⎛⎫< ⎪⎝⎭11t =故答案为：118．已知正数、满足，且，则________. a b 4a b =2log 3a b +=a b +=【答案】或45【分析】由，得出，由得出解出的值，进4a b =log 42log 2b b a ==2log 3a b +=22log 2log 3b b +=b 而得出的值，从而得出的值.a ab +【详解】，，由得出， 4a b =Q log 42log 2b b a ∴==2log 3a b +=22log 2log 3b b +=由换底公式可得，，可得或. 21log 2log b b=222log 3log b b ∴+=2log 1b =2log 2b =①当时，，此时，，则； 2log 1b =2b =22log 22a ==4a b +=②当时，，此时，，则. 2log 2b =4b =4log 41a ==5a b +=因此， 或，故答案为或.4a b +=545【点睛】本题考查对数换底公式的应用，同时也考查了指数式与对数式的互化，解题时要观察出两个对数之间的关系，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.9．设为平面上一定点，为动点，则当由0变化到时，线段()2,0A ππsin 2,cos 233P t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭t π4扫过的面积是______.AP 【答案】π142-【分析】由题意点P 在半径为1，圆心在原点的单位圆上，结合图形，利用面积差求解即可. 【详解】由可知，点P 在半径为1，圆心在原点的单位圆上，22ππsin 2cos 2133t t ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭如图，，点P 运动到，则，10,()2t P =π4t =1(2Q π2POQ ∠=扇形面积为,POQ 1ππ1144⨯⨯⨯=而， 11222AOQ Q S OA h =⋅=⨯=A ,111122222AOP P S OA h =⋅=⨯⨯=A 故线段扫过的面积为, AP π142故答案为：. π142+10．已知，函数，若函数的值域为，则的值为R λ∈()2221,01,0 1x x x f x x x x λλ⎧-+≥⎪=⎨+<⎪+⎩()y f x =[)3,∞-+λ______. 【答案】2【分析】考虑，，三种情况，根据二次函数性质和函数单调性计算最值得到0λ>0λ=0λ<和，分别计算，再验证得到答案.()2min 1f x λ=-()1,12f x λ⎡⎫∈-+⎪⎢⎣⎭【详解】当时，时，，0λ>0x ≥()()222211f x x x x λλλ=-+=-+-，()()2min 1f x f λλ==-当时，，0x <()21111xf x x x xλλ=+=+++在上单调递增，在上单调递减，故，1y x x=+(),1-∞-()1,0-(]1,2y x x =+∈-∞-故， ()11,112f x x xλλ⎡⎫=+∈-+⎪⎢⎣⎭+当时，，此时满足值域. 213λ-=-2λ=当时，，此时，不满足，故.132λ-+=-8λ=21633λ-=-<-2λ=当时，时，，当时，，不满足；0λ=0x ≥()211f x x =+≥0x <()1f x =当时，时，，单调递增，，0λ<0x ≥()221f x x x λ=-+()()min 01f x f ==当时，，不成立；0x <()2111xf x x λ=+>+综上所述： 2λ=故答案为：211．设，，是实数，.若，则的值为______θx y 0xy ≠442222cos sin 1x y x y θθ+=+2024202420222022cos sin x y θθ+（用，表示）x y 【答案】()1011221xy +【分析】确定，展开利用均值不等式计算得到，结()442222cos sin 1x y x y θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭2222cos sin y x θθ=合得到，代入计算得到答案. 22cos sin 1θθ+=22222222sin cos y x y x x y θθ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩【详解】，即， 442222cos sin 1x y x y θθ+=+()442222cos sin 1x y xy θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭即， 24244422cos sin cos sin 1y x x y θθθθ+++=而2424444422cos sin cos sin cos sin y x x y θθθθθθ+++≥++，()2442222cos sin 2cos sin cos sin 1θθθθθθ=++=+=当且仅当，即时等号成立， 242422cos sin y x x y θθ=2222cos sin y x θθ=又，解得， 222222cos sin cos sin 1y x θθθθ⎧=⎨+=⎩22222222sin cos y x y x x y θθ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩()()()2024202420242024221012101210122022202220222220222222cos sin y y y x x y x y x x x y x y θθ++=+=+++.()1011221x y =+故答案为：()1011221x y +12．设表示，中的较小数.若函数至少有3个零{}min ,A B A B (){}2min 2,23f x x x ax a =--+-点，则实数的取值范围是______. a 【答案】[6,)+∞【分析】设，，根据函数的图象得出或.然后根据2()23g x x ax a =-+-()2h x x =-()h x 6a ≥2a ≤的取值讨论即可求解.a 【详解】设，， 2()23g x x ax a =-+-()2h x x =-由可得：.20x -=2x =±要使函数至少有3个零点，则函数至少有1个零点，则(){}2min 2,23f x x x ax a =--+-()g x ，解得：或.24(23)0a a ∆=--≥6a ≥2a ≤(1)当时，，作出函数的图象如下图所示：2a =2()21g x x x =-+(),()g x h x此时函数只有两个零点，不满足题意；()f x (2)当时，设函数的两个零点分别为，2a <()g x 1212,()x x x x <要使得函数至少有3个零点，则，(){}2min 2,23f x x x ax a =--+-22x ≤-所以，解得：；22(2)410ag a ⎧<-⎪⎨⎪-=-≥⎩a ∈∅(3)当时，，作出函数的图象如下图所示：6a =2()69g x x x =-+(),()g x h x由图可知，函数的零点个数为3，满足题意；()f x (4)当时，设函数的两个零点分别为，6a >()g x 3434,()x x x x <要使得函数至少有3个零点，则，(){}2min 2,23f x x x ax a =--+-32x >所以，解得：，此时，()2224310a g ⎧>⎪⎨⎪=-=>⎩2a >6a >综上所述，实数的取值范围是， a [6,)+∞故答案为：.[6,)+∞二、单选题13．若，，则角的终边位于（ ）πsin 02θ⎛⎫+> ⎪⎝⎭()sin 2π0θ->θA ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【分析】根据题意和诱导公式可得：且，利用任意角三角函数的定义即可求解. cos 0θ>sin 0θ<【详解】因为，，由诱导公式可得：，，根据任意角πsin 02θ⎛⎫+> ⎪⎝⎭()sin 2π0θ->cos 0θ>sin 0θ<三角函数的定义可知：角位于第四象限， θ故选：.D 14．已知函数，则（ ） ()lg |1|lg |1|f x x x =++-()f x A ．是奇函数，且在上是增函数 (1,)+∞B ．是奇函数，且在上是减函数 (1,)+∞C ．是偶函数，且在上是增函数 (1,)+∞D ．是偶函数，且在上是减函数 (1,)+∞【答案】C【分析】利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再利用复合函数单调性法则判断单调性，结合选项可得结果.【详解】()lg 1lg 1f x x x -=-++ ，()f x =是偶函数；()f x \当时，，1x >()()()2()lg 1lg 1lg 1f x x x x =++-=-设，则在上单增，()21t x x =-()t x (1,)+∞又为增函数，所以在上单增，()lg f t t =()2()lg 1f x x =-(1,)+∞是偶函数，且在上是增函数.()f x \(1,)+∞故选：C.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数单调性的判断，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， (正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法， ()()f x f x -=±（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，（ 为偶函数，()()0f x f x -±=()()1f x f x -=±1 为奇函数）.1-15．若都是实数，且，，则与的大小关系是 ,,,a b t x 1,0a b t <x a a t =+x b b t +A ． B ．C ．D ．不能确定x b b t >+x b b t =+x b b t <+【答案】A【详解】构造函数f (m )=mx ，g (m )=m +t .∵a ＞1，t ＞0，ax =a +t ＞a ＞1， ∴x ＞1.在同一坐标系内作出两函数图象.∵ax =a +t ，即两图象交点的横坐标为a . 若b ＞a ＞1，则f (b )＞g (b )，即bx ＞b +t . 本题选择A 选项.16．已知函数，设（）为实数，且．给出下列结论：3()13xxf x =+i x 1,2,3i =1230x x x ++=①若，则；1230x x x ⋅⋅>1233()()()2f x f x f x ++<②若，则． 1230x x x ⋅⋅<1233()()()2f x f x f x ++>其中正确的是（ ） A ．①与②均正确 B ．①正确，②不正确 C ．①不正确，②正确 D ．①与②均不正确【答案】A【分析】令，得到为递增函数，且为奇函数，①中，不妨设()1()2g x f x =-()g x ，结合，利用直线的方程得到，1230,0,0x x x <<>1212(,())A x x f x x ++OA ()()1212()g x g x g x x +<+进而得到，可判断①正确；②中，不妨设，得到点()()123()0g x g x g x ++<1230,0,0x x x <>>，利用直线的方程得到，进而得到2323(,())B x x f x x ++OB ()()2323()g x g x g x x +>+，可判定②正确.()()123()0g x g x g x ++>【详解】令函数，()()()13131112132213213x x x x x g x f x -=-=-==-+++可得函数为单调递增函数，()g x 又由，即， 3131()()02(13)2)(13x x x x g x g x --+-=+=++--()()g x g x -=-所以函数为奇函数，图象关于点对称，如图（1）所示， ()g x (0,0)①中，因为，且，则，1230x x x ++=1230x x x ⋅⋅>312()x x x =-+不妨设，1230,0,0x x x <<>则点，此时直线的方程为，1212(,())A x x f x x ++OA 1212()f x x y x x x +=+可得，()()121211221212()(),g x x g x x g x x g x x x x x x ++<<++则，()()12121212121212()()()g x x g x x g x g x x x g x x x x x x +++<+=+++可得，()()1212()0g x g x g x x +-+<又由，所以，()31212[()]()g x g x x g x x =-+=-+()()123()0g x g x g x ++<即，即，所以①正确；()()123111()0222f x f x f x -+-+-<1233()()()2f x f x f x ++<②中，若，不妨设，则， 1230x x x ⋅⋅<1230x x x ⋅⋅>123()x x x =-+不妨设，1230,0,0x x x <>>则点，此时直线的方程为，2323(,())B x x f x x ++OB 2323()f x x y x x x +=+可得，()()232322332323()(),g x x g x x g x x g x x x x x x ++>>++则，()()23232323232323()()()g x x g x x g x g x x x g x x x x x x +++>+=+++可得，()()2323()0g x g x g x x +-+>又由，所以， ()12323[()]()g x g x x g x x =-+=-+()()123()0g x g x g x ++>即，即，()()123111()0222f x f x f x -+-+->1233()()()2f x f x f x ++>所以②正确. 故选：A.【点睛】方法点拨：令函数，得到函数为递增函数，且为奇函数，求得点()1()2g x f x =-()g x 和，结合直线和的方程，得出不等式关系式是解答1212(,())A x x f x x ++2323(,())B x x f x x ++OA OB 的关键.三、解答题17．已知、是关于的方程的两个根.sin θcos θx ()20R x ax a a -+=∈(1)求实数的值，a (2)求的值. 221cos sin cos sin cos 1tan θθθθθθ-++--【答案】(1) 1a =(2)1-【分析】（1）计算，根据韦达定理得到，解得答案； 240a a ∆=-≥222sin cos 21a a θθ+=-=（2）根据三角恒等变换化简得到原式为，代入数据计算即可.sin cos θθ+【详解】（1）、是关于的方程的两个根，sin θcos θx ()20R x ax a a -+=∈，解得或，则，， 240a a ∆=-≥4a ≥0a ≤sin cos a θθ+=sin cos a θθ=， ()2222sin cos sin cos 2sin cos 21a a θθθθθθ+=+-=-=解得（舍），故1a =1a =1a =（2） ()222222sin cos cos 1cos sin cos sin cos 1tan sin cos si o i s n n s c θθθθθθθθθθθθθθ+-++=----- ()()22sin cos sin cos sin cos sin cos sin co s n s i cos θθθθθθθθθθθθ-+=-=---.sin cos 1a θθ=+==18．设.()()22log 1f x x a x =-+-(1)判断函数的奇偶性； ()y f x =(2)若，求证：函数在内有且仅有一个零点. 12a =()y f x =()1,+∞【答案】(1)，为偶函数；时，为非奇非偶函数 0a =()f x 0a ≠()f x (2)证明见解析【分析】（1）考虑和两种情况，根据函数奇偶性的定义，计算和的关系，得0a =0a ≠()f x ()f x -到答案.（2）根据复合函数奇偶性确定函数单调递增，计算，，根据零点存在定理得0f >0f <到证明.【详解】（1）当时，，定义域关于原点对称，0a =()()22log 1f x x x =+-，函数为偶函数；()()()()()2222log 1log 1f x x x x x f x -=-+--=+-=当时，，0a ≠()()22log 1f x x a x =-+-，()()()()2222log 1log 1f x x a x x a x -=--+--=++-，且，函数为非奇非偶函数；()()f x f x ≠-()()f x f x ≠--综上所述：，为偶函数；时，为非奇非偶函数. 0a =()f x 0a ≠()f x （2），当时，， ()()221log 12f x x x =-+-1x >()()221log 12f x x x =-+-为增函数，在上为增函数，在上为增函数.12y x =-21y x =-()1,+∞2log y x =()0,∞+故函数在上为增函数，()()221log 12f x x x =-+-()1,+∞，， 110022f=+=>152022f =-=<故函数在上有零点，函数单调递增，故函数在内有且仅有一个零点()y f x =()1,+∞19．一研究小组在对某学校的学生上课注意力集中情况的调查研究中发现，其注意力指数与听课p时间之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图像的一部分，当t (]0,14t ∈[]14,40t ∈时，曲线是函数，且图像的一部分.根据研究，当注意力指数不小于()log 583(0a y t a =-+>1)a ≠p 80时听课效果最佳.(1)求的函数关系式；()p f t =(2)有一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时段讲完？请说明理由.【答案】(1) 213112)82,(0,14]4()log (5)83,(14,40]t t p f t t t ⎧--+∈⎪==⎨-+∈⎪⎩（(2)能，理由见详解【分析】(1)根据所给的函数图像先求出当t ∈(0,14]时的二次函数解析式，再由点，代入函数14,81（）求出t ∈[14,40]时的解析式，用分段函数表达即可.()log 583a y t =-+(2)对分段函数，分别解不等式，求出的取值范围，然后取并集，再计算时间的长度，然后80p ≥t 对老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完做出判断. 【详解】（1）当时，设， (0,14]t ∈2()(12)82(0)p f t c t c ==-+<将点(14,81)代入得，14c =-∴当时，；(0,14]t ∈21()(12)824p f t t ==--+当时，将点代入，得.[14,40]t ∈(14,81)log (5)83a y t =-+13a =所以 213112)82,(0,14]4()log (5)83,(14,40]t t p f t t t ⎧--+∈⎪==⎨-+∈⎪⎩（（2）当时， ，(0,14]t ∈2112)82804t --+≥（解得:1212t -≤≤+所以； [12t ∈-当时，，[14,40]t ∈13log (5)8380t -+≥解得，所以， 532t <≤[14,32]t ∈综上时学生听课效果最佳. [12t ∈-此时. (32122022t =--=+>A 所以，教师能够合理安排时间讲完题目.故老师能经过合理安排在学生听课效果最佳时段讲完.20．若函数满足在定义域内的某个集合上，是一个常数，则称()y f x =A ()()()22x xf x x A -∈在上具有性质.若是函数定义域的一个子集，称函数，是函()f x A P I ()y f x =()()g x f x =x I ∈数在上的限制.()y f x =I (1)设是上具有性质的奇函数，求时不等式的解集； ()y f x =[]3,3-P []3,3x ∈-()32f x >(2)设为上具有性质的偶函数.若关于的不等式在上有()y f x =[]3,3-P x ()()220f x m f x +⋅<[]3,3-解，求实数的取值范围；m (3)已知函数在区间上的限制是具有性质的奇函数，在上的限制是具()y f x =[]1,1-P [)(]2,11,2-- 有性质的偶函数.若对于上的任意实数，，，不等式恒成P []22-,1x 2x 3x ()()()1234f x f x mf x ++>立，求实数的取值范围. m 【答案】(1)(]1,3(2)12m <-(3)24,317m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭【分析】（1）设，根据奇函数确定，再解不等式即可.()()22xxf x a -=()122xxf x =-+（2）设，根据函数为偶函数，得到，不等式转化为，根据函数的值()22xx a f x =+1a =12k m k <-域和单调性计算最值得到答案.（3）确定函数的解析式，根据函数的单调性计算函数的值域为，再考虑，33517,,2224⎡⎤⎛⎤- ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦ 0m >，三种情况，分别计算综合得到答案.0m =0m <【详解】（1）设，则，函数为奇函数，故，()()22xxf x a -=()22xxa f x =+()010f a =+=，则，， 1a =-()122xx f x =-+()()112222x x x x f x f x ---=-+=-+=-函数为奇函数，满足，，设，，解得或（舍） 13222x x -+>2xt =132t t -+>2t >21t <-即，解得，故 22x >1x >(]1,3x ∈（2）设，则，函数为偶函数，()()22xxf x a -=()22xxa f x =+故，故，， ()()1222222x x x x x x a a f x a f x ---=+=⋅+==+1a =()122x x f x =+，即，()()220f x m f x +⋅<2211222022x x x x m ⎛⎫+++< ⎪⎝⎭设，，则，函数在上单调递减，在上单调递122xx k +=[]3,3x ∈-12,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1y x x =+1,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭[]1,8增，故， 16522,28xx k ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦， 2222111122222222202222x x x x x x x x m m k mk ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++-=+-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即，函数在上单调递减，22122k k m k k -<=-12k y k =-652,8k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故，故.max 11212222k k ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭12m <-（3）根据（1）（2）知：，()[][)(]12,1,1 212,2,11,22x x x x x f x x ⎧-+∈-⎪⎪=⎨⎪+∈--⋃⎪⎩当时，，设，则，， []1,1x ∈-()122x x f x =-+2x b =1,22b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1y b b =-+函数单调递增，，133,22y b b ⎡⎤=-+∈-⎢⎥⎣⎦时，，设，则，单调递增， (]1,2x ∈()122x x f x =+2xc=(]2,4c ∈1y c c=+故，函数在上的偶函数， 1517,24y c c ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦[)(]2,11,2-- 故， ()15172,224xx f x ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦综上所述：()33517,,2224f x ⎡⎤⎛⎤∈- ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦，()()()1234f x f x mf x ++>当时，即，即，解得； 0m >()()min max 24f x mf x +>17344m -+>417m <当时，即，即，成立；0m =()min 240f x +>340-+>当时，即，即，解得；0m <()()min min 24f x mf x +>3342m -+>-23m >-综上所述：24,317m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义，涉及函数的单调性，奇偶性，值域，不等式恒成立和能成立问题，综合性强，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用换元法求函数值域是解题关键，换元法可以简化运算，是常考的方法，需要熟练掌握. 21．若定义在区间上的函数满足：存在常数，使得对任意的[],a b ()y f x =M ，都有成立，则称12n a x x x b =≤≤⋅⋅⋅≤=()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x M --+-+⋅⋅⋅+-≤为一个有界变差函数，并将满足条件的的最小值称为的全变差.()y f x =M ()y f x =(1)判断函数，和（为有理数集）是否为有界变差()()311f x x x =--≤≤()[][]R 0,0,1Q 1,0,1Q x D x x ⎧∈⋂⎪=⎨∈⋂⎪⎩ðQ 函数；（无需说明理由） (2)求函数的全变差； ()()414g x x x x=+≤≤(3)证明：函数是上的有界变差函数. ()2log 4xh x x x=+[]1,4【答案】(1)是有界变差函数, 不是有界变差函数； 3()f x x =-()D x (2)2； (3)证明见解析.【分析】（1）根据已知定义判断即可;（2）根据全变差定义结合单调性,把差的绝对值去掉求解可得; （3）根据有界变差函数定义结合单调性,把差的绝对值去掉求解可得; 【详解】（1）由在上递减，3()f x x =-[1,1]-令，则121...1n x x x -=≤≤≤=23121()()()()...()()n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=， 121231()()()()...()()()()(1)(1)2n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f f --+-++-=-=--=显然，存在，使任意的，都有2M ≥12n a x x x b =≤≤⋅⋅⋅≤=成立，()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x M --+-+⋅⋅⋅+-≤所以为一个有界变差函数；3()f x x =-对于，令，所得中有理数、无理数都有可能为无限()D x 120...1n x x x =≤≤≤=i x *(1,N )i n n ≤≤∈个，若以无理数、有理数成对依次出现时12,,...,n x x x 12312()()()()...()()n n f x f x f x f x f x f x --+-++-随n 的变大趋向于正无穷大， 所以不是一个有界变差函数.()D x （2）对任意的，11221.....4.n m m x x x x x +=≤≤≤≤≤≤==在上单调递减，所以，()g x []1,2()()()()121...m m g x g x g x g x -≥≥≥≥即()()()()()()12231...m m g x g x g x g x g x g x --+-++-，()()()()()()()()122311...m m m g x g x g x g x g x g x g x g x -=-+-++-=-在上单调递增，所以，()g x []2,4()()()()11n n m m g x g x g x g x -+≥≥≥≥ 即()()()()()()1112...m n n n n m g x g x g x g x g x g x --+--+-++-，()()()()()()()()2111...n n n n m n m m g x g x g x g x g x g x g x g x --+-=-+-++-=-所以()()()()()()12231...n n g x g x g x g x g x g x --+-++-，()()()()()()1222214n m g x g x g x g g g =+-=+-=所以，存在使成立， 2M ≥()()()()()()12231n n g x g x g x g x g x g x M --+-+⋅⋅⋅+-≤则称为一个有界变差函数，的最小值2称为的全变差. ()y g x =M ()y g x =（3）由（2）知：在上是一个有界变差函数， ()g x []1,4令，则，而在上， 1()()p x g x =111()()|()()|||()()i i i i i i g x g x p x p x g x g x -----=[]1,4()54g x ≥≥所以，即，故111|()()||()()|16i i i i p x p x g x g x ---≤-11221|()()||()()|1616nn i i i i i i M p x p x g x g x --==-≤-=∑∑()p x 是有界变差函数；又在上递增且值域为[0,2]，任意，则2()log q x x =[]1,41214n x x x =≤≤≤= ，()()()12...n q x q x q x ≤≤≤所以，故存在使，则12|()()|n i i i q x q x -=-∑()()()()1412n q x q x q q =-=-=2M ≥12|()()|ni i i q x M q x -=-≤∑是有界变差函数，()q x 令，则()()()h x q x p x =⋅11122|()()||()()()()|nni i i i i i i i h x h x q x p x q x p x ---==-=-∑∑，1112|()[()()]()[()()]|ni i i i i i i q x p x p x p x q x q x ---==-+-∑由上可设且均为常数，故1|()|,|()|i i q x N p x L -≤≤,N L ，而、均为有界变差函数，111222|()()||()()||()()|nn nii i i i i i i i h x h xN p x p x L q x q x ---===-≤-+-∑∑∑()p x ()q x 所以为有界变差函数. ()()()h x q x p x =⋅2log 4xx x=+【点睛】关键点点睛：根据有界变差函数的定义，结合相关函数的单调性判断无限细分后区间端点函数值差的绝对值小于某一常数是否恒成立.。
2025届上海市进才实验中学化学高一上期末教学质量检测试题含解析
2025届上海市进才实验中学化学高一上期末教学质量检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每题只有一个选项符合题意）1、常温下，能溶于浓HNO3的单质是（）A．Al B．Fe C．Cu D．Au2、下列除去杂质的实验方法正确的是（）A．除去CO中少量O2：通过灼热的Cu网后收集气体B．除去K2CO3固体中少量NaHCO3：置于坩埚中加热C．除去KCl溶液中的少量MgCl2：加入适量NaOH溶液，过滤D．除去CO2中的少量HCl：通入饱和NaHCO3溶液，收集气体3、有下列物质：①小苏打、②硫酸铝、③氯化铁、④磁性氧化铁、⑤氢氧化铁，其中能通过化合反应制得的是（）A．①②④⑤B．①③④⑤C．②③④⑤D．①②③④4、设N A为阿伏加德罗常数的数值，下列说法不正确．．．的是A．4.4g由CO2和N2O组成的混合气体中含有的原子总数为0.3N AB．7.8g由Na2S和Na2O2组成的混合物中含有的阴离子数为0.1 N AC．2.3gNa与氧气完全反应生成Na2O，转移的电子数为0.2 N AD．5.6g铁粉在0.1mol氯气中充分燃烧，转移的电子数为0.2 N A5、下列关于合金的叙述中不正确的是（）A．合金具有熔点高硬度大等特性B．目前用量最大、用途最广泛的合金是钢C．在我国使用最早的合金是青铜D．合金钢可制成不锈钢和特种钢等6、将3g两种金属混合物的粉末与足量的盐酸反应，反应完全后，得到标准状况下的氢气3.36 L。
2025届上海市浦东新区南汇中学化学高一上期末统考试题含解析
2025届上海市浦东新区南汇中学化学高一上期末统考试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(共包括22个小题。
每小题均只有一个符合题意的选项）1、能证明硅酸的酸性弱于碳酸酸性的实验事实是( )A．二氧化碳通入可溶性硅酸盐溶液中析出硅酸沉淀B．二氧化碳溶于水形成碳酸，二氧化硅难溶于水C．高温下，二氧化硅与碳酸盐反应生成二氧化碳D．在可溶性硅酸盐溶液中加入盐酸会析出硅酸沉淀2、下列物质的分类合理的是（）A．铵盐：NH4Cl、NH4NO3、(NH4)2SO4、NH3·H2OB．碱：NaOH、KOH、Ba(OH)2、Na2CO3C．氧化物：CO2、NO、SO2、H2OD．碱性氧化物：Na2O、CaO、CO2、Al2O33、下列说法中，错误的是（）A．Fe(OH)3胶体常用来净水B．“血液透析”利用了胶体的性质C．光束通过硫酸铜溶液可看到丁达尔现象D．胶体与溶液的本质区别是分散质粒子直径的大小不同4、下表中物质的分类组合，完全正确的是（）A．A B．B C．C D．D5、下列实验室保存试剂的方法正确的是（）A．氢氟酸存放在带有橡胶塞的棕色玻璃瓶中B．碳酸钠溶液或氢氧化钙溶液存放在配有磨口玻璃塞的棕色玻璃瓶中C．氯化铁溶液存放在铜制容器中D．氢氧化钠溶液盛放在带有橡胶塞的玻璃瓶中6、潮湿的氯气，新制的氯水，漂白粉水溶液均能使有色布条褪色，这是由于它们含有或能生成（）A．氯气B．次氯酸C．次氯酸根离子D．氯化氢7、在配制一定物质的量浓度的盐酸时，下列错误操作可使所配制溶液浓度偏高．．的是()A．用量筒量取浓盐酸时仰视读数B．溶解搅拌时有液体飞溅C．定容时仰视容量瓶瓶颈刻度线D．摇匀后见液面下降，再加水至刻度线8、金属和合金是生活中常用的材料。
2023-2024学年上海闵行区高一上学期数学期末区统考试卷及答案(2024.01)
1闵行区2023学年第一学期高一年级数学期末区统考2024.01一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．设集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}1Bx x =≤，则A B = ________．2=________．（其中0a >，0b >）3．若()1,xy x y R =∈，则22x y +的最小值为________．4．已知2log 3a =，25b =，则2log 15=________．（用a b 、表示） 5．若函数x y e =，[]1,x e ∈，则此函数的最小值为________． 6．已知()22,2,1, 2.2x x f x x x − ≥ = <− 若()01f x =，则0x ________． 7．如图为三个幂函数1a y x =，2a y x =，3a y x =在其定义域上的局部图像，则实数1a 、2a 、3a 从小到大的排列顺序为________．（请用“<”连接） 8．已知关于x 的不等式15x x a ++−≤有解，则实数a 的取值范围为________． 9．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且它在区间(],0−∞上是严格增函数，若不等式()()2310f a f a −+−<成立，则实数a 的取值范围为________．10．在沪数版教材必修第一册第四章的章首语中有这样一段话，“通过固定等式b a c =中的三个量a 、b 、c 中的一个量，研究另两个量的相互关系和变化规律，定义三种基本而应用广泛的函数一幂函数、指数函数和对数函数”．若令c e =（e 是自然对数的底数），将a 视为自变量x (0,1)x x >≠，则b 为x 的函数，记作()b f x =，若不等式()()20x k f x −>对任意的()()0,11,x ∈+∞ 恒成立，则实数k 的值为________．211．已知()2x f x =，若对任意的[]1,x m n ∈，存在唯一的[]2,x m n ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则m n +的值为________．12．将函数y x =的图像绕原点逆时针方向旋转角()0360α°<α<°，在α的变化过程中，每一个旋转角α都对应一条折线，若该折线不是任何函数的图像，则α的取值范围为_____． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．已知a 、b R ∈，则“1a >，1b >”是“1ab >”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件14．下列函数中既是偶函数，又在区间()0,+∞上是严格减函数的是（ ） A ．23y x= B ．211y x =+ C ．ln y x = D ．22x x y −=− 15．历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势．已知lg 20.301≈，lg 50.699≈，则20232.5的估算值为（ ） A ．80510 B ．80610 C ．80710 D ．8081016．已知函数()()12221,1,()22,x log x x n f x n m n x m −− −−≤≤ =< −<≤ 的值域是[-1，2]，有下列结论：①当0n =时，[]2,4m ∈；②当34n =时，3,44m ∈；③当30,4n ∈ 时，[]2,4m ∈．其中正确结论的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 设集合{}213Ax x =−<，(){}210B x x b x b =−++≤．（1）若4b =，试用区间表示集合A 、B ，并求A B ； （2）若[]1,5B =，求不等式10bx x b+>−的解集．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知()()2log 1f x x =+． （1）解不等式()1f x <；（2）判断函数()2y f x =在其定义域上的单调性，并严格证明．419．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）进口博览会是一个展示各国商品和服务的盛会，也是一个促进全球贸易和交流的重要平台．某汽车生产企业想利用2023年上海进口博览会这个平台，计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x （百辆），需投入流动成本()C x （万元），且()2102000,028,360025046400,28.x x x C x x x x +<< = +−≥其中100x Z ∈．由市场调研知道，每辆车售价25万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完． （1）写出年利润()S x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式； （2）年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润． （总利润=总销售收入－固定成本−流动成本）520．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知()af x x=，()g x x b =+，其中a ，b R ∈． （1）判断函数()y g x =的奇偶性，并说明理由；（2）当2a =时，若函数()y f x =与()y g x =的图像有且只有三个公共点，求b 的取值范围；（3）记()()()F x f x g x =+，若函数()y F x =在区间()0,2上有两个不同的零点，求()22b b a +−的取值范围．621．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知函数()y f x =与()y g x =的定义域均为D ，若对任意的1x 、()212x D x x ∈≠都有()()()()1212g x g x f x f x −<−成立，则称函数()y g x =是函数()y f x =在D 上的“L 函数”．（1）若()31f x x =+，()g x x =，D R =，判断函数()y g x =是否是函数()y f x =在D 上的“L 函数”，并说明理由； （2）若()22f x x =+，()g x =[)0,D=+∞，函数()y g x =是函数()y f x =在D 上的“L 函数”，求实数a 的取值范围； （3）若()f x x =，[]0,2D =，函数()y g x =是函数()y f x =在D 上的“L 函数”，且()()02g g =，求证：对任意的1x 、()212x D x x ∈≠都有()()121g x g x −<．7参考答案一、填空题 1.{}0,1; 2.32ab−; 3.2; 4.a b +; 5.e ; 6.2; 7.123a a a <<;8.[]6,4−; 9.(),2−∞; 10.12； 11.0 12.{}45135315剟剟ααα 225∣或 11．已知()2x f x =，若对任意的[]1,x m n ∈，存在唯一的[]2,x m n ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则m n +的值为________． 【答案】0【解析】根据题意,()2x f x =,若()()121f x f x ⋅=,即12122221x x x x +⋅==,必有120x x +=, 若对任意的[]1x m,n ∈,存在唯一的[]2x m,n ∈,使得()()121f x f x ⋅=,即在区间[]m,n 上,对任意的1x ,都有唯一的[]2x m,n ∈,满足120x x +=,故必有0m n +=. 故答案为:0.12．将函数y x =的图像绕原点逆时针方向旋转角()0360α°<α<°，在α的变化过程中，每一个旋转角α都对应一条折线，若该折线不是任何函数的图像，则α的取值范围为_____． 【答案】{}45135315剟剟ααα 225∣或 【解析】画出函数y x =的图象如图,根据函数的定义, 可以得当该函数的图象绕原点逆时针旋转时, 当图象均在二、三象限或一、四象限, 或在坐标轴上时,其图象就不是函数的图象, 所以旋转角度α满足的条件是45135剟α 或225315剟α ,即{}45135315剟剟ααα 225∣或. 故答案为:{}45135315剟剟ααα 225∣或 二、选择题813.A 14. B 15.A 16.D15．历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势．已知lg 20.301≈，lg 50.699≈，则20232.5的估算值为（ ） A ．80510 B ．80610 C ．80710 D ．80810 【答案】A【解析】设20232.5x =,两边同时取得:2023 2.5lgx lg =, ()202352805lgx lg lg ∴=−≈,80510x ∴≈. 故选:A .三．解答题17.（1）()[](]1,2,1,4,1,4A B A B =−=∪=− （2）()1,5,5 −∞−∪+∞18.（1）()1,1−（2）单调递增，证明略19.（1）2105003000,028360043400,28x x x S x x x −+−<<= −−+≥(2)年产量为25百辆时，企业所获利润最大，最大利润为3250万元．20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知()af x x=，()g x x b =+，其中a ，b R ∈． （1）判断函数()y g x =的奇偶性，并说明理由；（2）当2a =时，若函数()y f x =与()y g x =的图像有且只有三个公共点，求b 的取值范围；（3）记()()()F x f x g x =+，若函数()y F x =在区间()0,2上有两个不同的零点，求()22b b a +−的取值范围．9【答案】（1）既不是奇函数也不是偶函数 （2）{|b b <−（3）()()2220b b a ,+−∈−【解析】（1）定义域为R ，关于原点对称，记()()h x g x x b ==+,当()()0,b h x h x =−=,故函数()y g x =是偶函数;当()()()()0,,b h b h b h b h b ≠−≠−≠−,故函数()y g x =既不是奇函数也不是偶函数; (2)若()y f x =与()y g x =的图像只有三个公共点,即()()f x g x =有三个根, 即2(0)x b x x=+>有三个根， 若0…b ,则2x b x=+最多两个根,不符合题意;所以0b <,则2x b x=+有一个根,2x b x =−−有两个根,即方程2(0)b x x x=−>有一根,方程2(0)b x x x =−−>有两个根；将函数y b =分别与函数2(0)y x x x =−>和函数2(0)y x x x=−−>相交得b <−,故b的范围为{|b b <−; (3)由()0aF x x b x=++=在区间()02,上有两个不同的零点, 得方程20x bx a ++=在()02,上有两个不同的实根()1212,x x x x ≠,且()12,02x x ,∈. 由韦达定理得1212x x b x x a +=− ⋅= ,于是()()()()()22221212121222112b b a x x x x x x x x +−=++−−−⋅=−+−−因为()()121202,02,x ,x ,x x ∈∈≠,所以()()22120122x x <−+−<,所以()()2220b b a ,+−∈−.1021．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知函数()y f x =与()y g x =的定义域均为D ，若对任意的1x 、()212x D x x ∈≠都有()()()()1212g x g x f x f x −<−成立，则称函数()y g x =是函数()y f x =在D 上的“L 函数”．（1）若()31f x x =+，()g x x =，D R =，判断函数()y g x =是否是函数()y f x =在D 上的“L 函数”，并说明理由； （2）若()22f x x =+，()g x =[)0,D=+∞，函数()y g x =是函数()y f x =在D 上的“L 函数”，求实数a 的取值范围； （3）若()f x x =，[]0,2D =，函数()y g x =是函数()y f x =在D 上的“L 函数”，且()()02g g =，求证：对任意的1x 、()212x D x x ∈≠都有()()121g x g x −<．【答案】（1）函数()y g x =是函数()y f x =在D 上的“L 函数";（2）14a ,∈+∞ （3）见解析【解析】(1)根据题意,()()31,f x x g x x =+=,,D R =对任意的12x x R ∈、,且12x x ≠,()()()()12121212,3.g x g x x x f x f x x x −=−−=− 显然有()()()()1212g x gx f x f x −<−,11 所以函数()y g x =是函数()y f x =在D 上的“L 函数";(2)因为函数()y g x =是函数()y f x =在D 上的“L 函数", 所以()()()()1212g x g x f x f x −<−对任意的[)()12120x x ,x x ∈+∞≠、恒成立,222x −−对任意的[)()12120x x ,x x ∈+∞≠、恒成立,1>对任意的1x 、[)()2120x ,x x ∈+∞≠恒成立, 即1≥,解得14a ≥,即14a , ∈+∞; (3)证明:对于[]1202x x ,∈、,不妨设12x x > (i)当1201…x x <−时,因为函数()y g x =是函数()y f x =在[]02,上的“L 函数", 所以()()12121…g x g x x x −<−.此时()()121g x g x −<成立; (ii)当121x x −>时,由[]1202x x ,∈、 得1212…x x <−.()()12121220221x x x x x x <−+−=−+=−−< 此时()()121g x g x −<也成立. 综上得()()121g x g x −<恒成立.。
上海高一上学期期末数学试题(解析版)
一、填空题1．已知集合，，则__________． {1,1,2}A =-{}20B x x x =+=A B = 【答案】{}1-【分析】可求出集合，然后进行交集的运算即可．B 【详解】解：，1，，，，{1A =- 2}{1B =-0}．{1}A B ∴=- 故答案为：．{}1-2．设a 、b 都为正数，且，则的最小值为________. 4a b +=11a b +【答案】1【分析】把变形为：利用已知，结合基本不等式进行求解即可. 11a b +1114()4a b ⨯⋅+【详解】因为a 、b 都为正数，所以有：， 111111114(()((2)(214444b a a b a b a b a b ⨯⋅+=+⋅+=⋅++≥⋅+=当且仅当时取等号，即时取等号，b a a b=2a b ==故答案为：13．函数，则______________. 2()1y f x x ==-1(3)f -=【答案】 53【解析】3在反函数的定义域中，它必在原函数的值域中，因为反函数与原函数的对应关系相反，故由解得值为所求. 231x =-x 【详解】由解得，所以. 231x =-53x =15(3)3f -=故答案为： 534．已知且，若，，则_______________.0a >1a ≠log 2a m =log 3a n =m n a +=【答案】6【解析】利用指数式与对数式的互化，再利用同底数幂相乘即可.【详解】，同理：log 2,2m a m a =∴= 3n a =∴236m n m n a a a +==⨯=故答案为：6【点睛】对数运算技巧：(1)指数式与对数式互化；(2)灵活应用对数的运算性质；(3) 逆用法则、公式；(4) 应用换底公式，化为同底结构．5．已知函数，是偶函数，则的值为______．()()221f x ax b x =+++22,x a a ⎡⎤∈-⎣⎦a b +【答案】1-【分析】根据奇偶定义可建立方程求解即可.【详解】由题意得，所以，所以.2220202b a a a a +=⎧⎪-+=⎨⎪-<⎩1,2a b ==-1a b +=-故答案为：1-6．若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为______．22mm y x -++=m R m 【答案】或01【分析】依题意可得，解得的取值范围，再由为整数，求出参数的值.220m m -++>m m 【详解】由题意得，解得，又为整数，所以或.220m m -++>12m -<<m 0m =1故答案为：或017．用“二分法”求方程在区间内的实根，首先取区间中点进行判断，那么下一340x x +-=()1,32x =个取的点是______．x =【答案】1.5## 32【分析】先确定函数单调性，根据二分法求解即可得解.【详解】设函数，易得函数为严格增函数，3()4f x x x =+-因为，，(1)20f =-<(2)60f =>所以下一个有根区间是，(1,2)那么下一个取的点是．1.5x =故答案为：1.58．已知函数的最小值为-2，则实数a =________.22([0,1])y x ax x =+∈【答案】 32-【分析】根据二次函数的对称轴与所给区间的相对位置进行分类讨论求解即可.【详解】，所以该二次函数的对称轴为：，222()2()y f x x ax x a a ==+=+-x a =-当时，即，函数在时单调递减，1a ≤-1a ≤-2()2f x x ax =+[0,1]x ∈因此，显然符合； min 3()(1)1222f x f a a ==+=-⇒=-1a ≤-当时，即时，； 01a <-<10a -<<2min ()2f x a a =-=-⇒=10a -<<当时，即时，函数在时单调递增，0a -≤0a ≥2()2f x x ax =+[0,1]x ∈因此，不符合题意，综上所述：， min ()(0)02f x f ==≠-32a =-故答案为： 32-9．设方程的实根，其中k 为正整数，则所有实根的和为22log 1122x a a --=-+12,,,k x x x ______．【答案】4【分析】画出的图象，由图象的特征可求.2()log 11g x x =--【详解】令，，2()|log ||1|f x x =-22()|log ||1||log ||1|()f x x x f x -=--=-=所以函数图象关于轴对称，2()|log ||1|f x x =-y 令，则的图象关于直线对称，2()log 11g x x =--()(1)g x f x =-1x =因为方程的实根，可以看作函数的图象与直线22log 1122x a a --=-+2()log 11g x x =--的交点横坐标.222y a a =-+由图可知方程有4个实根，且关于直线对称.22log 1122x a a --=-+1x =所以.12344x x x x +++=故答案为：4.10．设函数，，如果对任意的实数，任意的实数，不等()2x f x =2()2g x x x a =-+1[1,2]x ∈2[1,2]x ∈式恒成立，则实数a 的取值范围为________．()()121f x g x -≥【答案】(,1][6,)-∞+∞U【分析】分别求出函数，在上的值域，把问题转化为关于的不等式()2x f x =2()2g x x x a =-+[1,2]a 组，求出解集即可【详解】解：因为在上为增函数，()2x f x =[1,2]所以，min max ()(1)2,()(2)4f x f f x f ====所以在上的值域为，()2x f x =[1,2][2,4]因为的对称轴为直线，2()2g x x x a =-+1x =所以在上为增函数，2()2g x x x a =-+[1,2]所以，min max ()(1)1,()(2)g x g a g x g a ==-==所以在上的值域为，2()2g x x x a =-+[1,2][1]a a -,因为对任意的实数，任意的实数，不等式恒成立，1[1,2]x ∈2[1,2]x ∈()()121f x g x -≥所以，解得， (1)4121a a ⎧--≥⎪⎨-≥⎪⎩4613a a a a ≤≥⎧⎨≤≥⎩或或所以或，1a ≤6a ≥所以实数a 的取值范围为，(,1][6,)-∞+∞U 故答案为：(,1][6,)-∞+∞U 【点睛】此题考查函数在闭区间上的最值问题和不等式恒成立问题，考查了数学转化思想，解题的关键是求出函数，在上的值域，把问题转化为，从而()2x f x =2()2g x x x a =-+[1,2](1)4121a a ⎧--≥⎪⎨-≥⎪⎩可求出实数a 的取值范围，属于中档题二、单选题11．已知x ，y 是实数，则“”是“”的（ ）x y >33x y >A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由充要条件的定义求解即可【详解】因为 ， 2233223()()()24y y x y x y x xy y x y x ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦若，则， x y >223()024y y x y x ⎡⎤⎛⎫-++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦若，则，即， 223()024y y x y x ⎡⎤⎛⎫-++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦0x y ->x y >所以 ，即“”是“”的充要条件，33x y x y >⇔>x y >33x y >故选：C.12．如果，那么（ ）12log 0.8log 0.80x x <<A ．B ． 2101x x <<<1201x x <<<C ．D ．121x x <<211x x <<【答案】C【分析】根据换底公式可得，再利用单调性可以判断C 正0.820.810.8log log 0log 1x x <<=0.8log y x =确.【详解】因为，则，12log 0.8log 0.80x x <<0.820.810.8log log 0log 1x x <<=又因为在上单调递减，0.8log y x =()0,∞+那么，121x x <<故选：C ．13．在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图像的关系可能为（ ） 2y ax bx =+(0)b a y x x =>A ． B ． C ．D ．【答案】A【分析】根据题意，结合二次函数和幂函数的性质依次分析选项，即可得到答案.【详解】对于A ，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即2y ax bx =+0a >b x 02a =->0b a<幂函数为减函数，符合题意；(0)b a y x x =>对于B ， 二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函数2y ax bx =+a<0b x 02a =->0b a <为减函数，不符合题意；(0)b a y x x =>对于C ，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即幂函数2y ax bx =+0a >12b x a=-=-2b a =为增函数，且其增加的越来越快，不符合题意；(0)b a y x x =>对于D ， 二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函2y ax bx =+a<0122b x a =->-01b a <<数为增函数，且其增加的越来越慢快，不符合题意；(0)b a y x x =>故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查函数图像的分析，在同一个坐标系中同时考查二次函数和幂函数性质即可得解，考查学生的分析试题能力，数形结合思想，属于基础题.14．若函数与在区间上都是严格减函数，则实数的取值范围为（ ） ||y x a =--1a y x =+[1,2]a A ．B ．C ．D ． (,0)-∞(1,0)(0,1]-⋃(0,1)(0,1]【答案】D【分析】由一次函数及反比例函数的单调性，结合图像变换即可得到实数的取值范围.a 【详解】函数的图像关于对称，||y x a =--x a =所以当，y 随x 的增大而减小，当，y 随x 的增大而增大.x a >x a <要使函数在区间上都是严格减函数，||y x a =--[1,2]只需； 1a ≤要使在区间上都是严格减函数，只需； 1a y x =+[1,2]0a >故a 的范围为.01a <≤故选：D三、解答题15．求下列不等式的解集：(1) 4351x x +>-(2)2332x x -<-【答案】(1)(1,8)(2)(1,)+∞【分析】（1）根据分式不等式及一元二次不等式的解法求解集.（2）应用公式法求绝对值不等式的解集.【详解】（1），故解集为； ()()4385018011x x x x x x +->⇔<⇔--<--(1,8)（2），|23|32322332x x x x x -<-⇔-+<-<-故解集为.(1,)+∞16．已知函数． ()22(11)1x f x x x =-<<-(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；()f x (2)判断函数的单调性并证明．()f x 【答案】(1)是奇函数，理由见解析()f x (2)在上单调递减，证明见解析()f x (1,1)-【分析】（1）根据函数奇偶性定义进行判断证明；（2）根据函数单调性定义进行证明.【详解】（1）是奇函数，理由如下：()f x 函数，则定义域关于原点对称， ()22(11)1x f x x x =-<<-因为，所以是奇函数； ()()221x f x f x x --==--()f x （2）任取，1211x x -<<<则 22121211221222221212222222()()11(1)(1)x x x x x x x x f x f x x x x x --+-=-=---- ， 1221211221222212122()2()2(1)()(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x -+-+-==----因为，所以， 1211x x -<<<2212211210,0,10,10x x x x x x +>->-<-<所以，所以在上单调递减.12())0(f x f x ->()f x (1,1)-17．将函数（且）的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到log 2a y x =-0a >1a ≠函数的图像．()y f x =(1)求函数的解析式()f x (2)设函数，若对一切恒成立，求实数m 的取值范围；()()()1f x f x F x a ++=()m F x <()1,x ∈-+∞(3)讨论关于x 的方程，在区间上解的个数． ()log ap f x x=()1,-+∞【答案】(1)()log (1)a f x x =+(2)(,0]-∞(3)答案见解析【分析】(1)由图象的平移特点可得所求函数的解析式；(2)求得的解析式，可得对一切恒成立，再由二次函数的性质可得所()F x (1)(2)m x x <++(1,)∈-+∞x 求范围；(3)将方程等价转化为且，根据题意只需讨论在区间()log a p f x x =1(1p x x x +=>-0)x ≠(1)p x x =+上的解的个数，利用图象，数形结合即可求得答案.(1,)-+∞【详解】（1）将函数且的图象向左平移1个单位，log 2(0a y x a =->1)a ≠得到的图象，再向上平移2个单位，得函数的图象； log (1)2a y x =+-()log (1)a f x x =+（2）函数，，()()()()()()()1log 1log 212a a f x f x x x F x a a x x +++++===++1x >-若对一切恒成立，()m F x <(1,)∈-+∞x 则对一切恒成立，(1)(2)m x x <++(1,)∈-+∞x 由在严格单调递增，得，(1)(2)y x x =++(1,)-+∞(1)(2)0y x x =++>所以，即的取值范围是；0m ≤m (,0]-∞（3）关于的方程 x ()log log (1)log aa a p p f x x x x=⇔+=且， 1(1p x x x ⇔+=>-0)x ≠所以只需讨论在区间且x ≠0上的解的个数．(1)p x x =+(1,)-+∞由二次函数且的图象得，(1)(1y x x x =+>-0)x ≠当时，原方程的解有0个； 1(,)4p ∈-∞-当时，原方程的解有1个； 1(0,)4p ⎧⎫∈-+∞⎨⎬⎩⎭当时，原方程的解有2个． 1(,0)4p ∈-18．其公司研发新产品，预估获得25万元到2000万元的投资收益，现在准备拟定一个奖励方案：奖金y （万元）随投资收益x （万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．(1)用数学语言列出公司对函数模型的基本要求；(2)判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由； ()1050x f x =+(3)已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 取值范围． ()1252g x a ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭【答案】(1)答案见解析(2)不符合，理由见解析(3) 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据函数单调性的定义以及最值的定义，结合题意中的不等关系，可得答案； （2）由（1）所得的三个条件，进行检验，可得答案；（3）利用幂函数的单调性，结合题意中的最值以及不等关系，可得不等式组，利用基本不等式，可得答案.【详解】（1）满足的基本要求是：①是定义域上的严格增函数，()f x ()f x [25,2000]②的最大值不超过75，③在上恒成立； ()f x ()5x f x ≤[25,2000]（2），不满足要求③，故不符合； ()1050x f x =+()5050115f =>（3）因为，所以函数满足条件①， 12a ≥()gx 由函数满足条件②得，解得()g x 2575≤a ≤由函数满足条件③得，对恒成立， ()gx 255x ≤[25,2000]x ∈即恒成立，2a ≤[25,2000]x ∈时取等号，所以． 2≥=25x =1a ≤综上所述，实数的取值范围是． a 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦19．已知函数 ()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩(1)设k 、m 均为实数，当时，的最大值为1，且满足此条件的任意实数x 及m 的(],x m ∈-∞()f x 值，使得关于x 的不等式恒成立，求k 的取值范围；()()22310f x m k m k ≤--+-(2)设t 为实数，若关于x 的方程恰有两个不相等的实数根且，()()2log 0f f x t x --=⎡⎤⎣⎦12,x x 12x x <试将表示为关于t 的函数，并写出此函数的定义域． 1221212log 211++--+-x x x x 【答案】(1)4k ≥(2)， 1221212log 2|1||1|x x x x ++--+-1t t=+(]1,3【分析】(1)分离参数，得，再借助基本不等式求解即可； 4(3)83k m m ≥-++-(2)先得出，再对，进行分类讨论. ()()22,1()log log ,1x x f f x x x ≤⎧=⎨>⎩1x >1x ≤【详解】（1）当时，，故.(,]x m ∈-∞max ()f x =102m ≤≤要使得不等式恒成立，2()(2)310f x m k m k ≤--+-需使，2(2)310m k m k --+-1≥即对于任意的都成立. 2(2)3110m k m k --+-≥[0,2]m ∈因为，所以. 133m ≤-≤4(3)83k m m ≥-++-由，得 30m ->403m <-4(3)84843m m -++≤-+=- （当且仅当时取等号）1m =所以；4k ≥（2）由函数，得， ()f x 22,0log ,0x x x x ⎧≤=⎨>⎩()()22,1()log log ,1x x f f x x x ≤⎧=⎨>⎩①若，则方程变为，1x ≤[]2()log ()0f f x t x --=x =2log ()t x -即，则，2x t x =-2x t x =+为递增函数，，则有；2x y x =+1x ≤3t ≤②若，则方程变为1x >[]2()log ()0f f x t x --=，即，且，故，()222log log log ()x t x =-2log x t x =-0t x ->1t >于是分别是方程、的两个根，则，，12,x x 2x t x =-2log x t x =-11x ≤21x <即，121x x ≤<由于函数与的图像关于直线对称，2log y x =2x y =y x =故，12x x t +=， 122122log 2()x x t x x t +=-+=()()1212112|1||1|211x x x x =--+-+-+-1t=故，且， 1221212log 2|1||1|x x x x ++--+-1t t =+13t <≤故此函数的定义域为.(]1,3【点睛】方法点睛：对于非二次不等式恒成立求参问题，一般先分离参数，转化为最值问题，进而可借助函数或基本不等式进行求解；方程解的个数可等价于两个不同函数交点个数，分段函数则需要考虑每一段解析式是否成立.20．对于定义在D 上的函数，设区间是D 的一个子集，若存在，使得函()y f x =[,]m n 0(,)x m n ∈数在区间上是严格减函数，在区间上是严格增函数，则称函数在区()y f x =[]0,m x []0,x n ()y f x =间上具有性质P ．[,]m n （1）若函数在区间上具有性质P ，写出实数a 、b 所满足的条件；2y ax bx =+[0,1]（2）设c 是常数，若函数在区间上具有性质P ，求实数c 的取值范围．3y x cx =-[1,2]【答案】（1）；（2）．20a b -<<()3,12c ∈【分析】（1）根据定义判断出为二次函数，然后根据的单调性和单调区间判断出2y ax bx =+()f x 的开口以及对称轴，由此得到满足的条件；2y ax bx =+,a b （2）先分析函数在区间上为严格增函数和严格减函数时的取值，据此分析出3y x cx =-[1,2]c 在区间上先递减再递增时的取值范围，由此求解出的取值范围.3y x cx =-[1,2]c c 【详解】（1）当函数在区间上具有性质P 时，由其图象在R 上是抛物线， 2y ax bx =+[0,1]故此抛物线的开口向上（即），且对称轴是； 0a >(0,1)2b x a=-∈于是，实数a ，b 所满足的条件为：．20a b -<<（2）记．设，是区间上任意给定的两个实数，3()f x x cx =-1x 2x [1,2]总有． ()()()()2212121122f x f x x x x x x x c -=-++-若，当时，总有且，3c ≤12x x <120x x -<22112211130x x x x c ++->++-=故，因此在区间上是严格增函数，不符合题目要求．()()120f x f x -<3y x cx =-[1,2]若，当时，总有且，12c ≥12x x <120x x -<222211222222120x x x x c ++-<+⨯+-=故，因此在区间上是严格减函数，不符合题目要求．()()120f x f x ->3y x cx =-[1,2]若，当且时，总有且， 312c <<12x x <12,x x ⎡∈⎢⎣120x x -<2211220333c c c x x x x c c ++-<++-=故，因此在区间上是严格减函数； ()()120f x f x ->3y x cx =-⎡⎢⎣当且时，总有且， 12x x <12,2x x ⎤∈⎥⎦120x x -<2211220333c c c x x x x c c ++->=++-=故，因此在区间上是严格增函数．()()120f x f x -<3y x cx =-2⎤⎥⎦因此，当时，函数在区间上具有性质P ．()3,12c ∈3y x cx =-[1,2]【点睛】关键点点睛：本题属于函数的新定义问题，求解本题第二问的关键在于对于性质的理P 解，通过分析函数不具备性质的情况：严格单调递增、严格单调递减，借此分析出可能具备性质P的情况，然后再进行验证即可. P。
上海高一上学期期末数学试题(解析版)
高一数学一、填空题（本题满分40分，每题4分，共10题）1. 函数的定义域是_________ ．y =【答案】()1,-+∞【解析】【详解】试题分析：函数满足，即函数定义域为10x +>()1,-+∞考点：求函数定义域2. 已知幂函数的图象过点，则______.()y f x=(()3f =【解析】【分析】先根据待定系数法求得函数的解析式，然后可得的值．()y f x =()3f 【详解】由题意设， ()y f x x α==∵函数的图象过点，()y fx =(∴， 1222α==∴， 12α=∴，()12f x x =∴．()1233f ==【点睛】本题考查幂函数的定义及解析式，解题时注意用待定系数法求解函数的解析式，属于基础题．3. 已知函数的两个零点分别为，则___________. ()21f x x x =+-12,x x 221212x x x x +=【答案】1【解析】【分析】依题意方程有两个不相等实数根、，利用韦达定理计算可得；210x x +-=1x 2x 【详解】解：依题意令，即，()0f x =210x x +-=所以方程有两个不相等实数根、，210x x +-=1x 2x 所以，，121x x +=-121x x ⋅=-所以； ()()2212121212111x x x x x x x x +=+--=⨯=故答案为：14. 已知函数是奇函数，则实数______． ()22f x ax x =+a =【答案】0【解析】【分析】由奇函数定义入手得到关于变量的恒等式后，比较系数可得所求结果．【详解】∵函数为奇函数，()f x ∴，()()f x f x -=-即，2222ax x ax x -=--整理得在R 上恒成立，20ax =∴．0a =故答案为．0也是解决此类问题的良好方法，属于基础题．5. 若二次函数在区间上为严格减函数，则实数的取值范围是________．()()2212f x ax a x =+-+(],4∞-a 【答案】 10,5⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】由题知，再解不等式组即可得答案. 02(1)42a a a >⎧⎪-⎨-≥⎪⎩【详解】解：因为二次函数在区间上为严格减函数，()()2212f x ax a x =+-+(],4∞-所以，即，解得, 02(1)42a a a >⎧⎪-⎨-≥⎪⎩0105a a >⎧⎪⎨<≤⎪⎩105a <≤所以，实数的取值范围是 a 10,5⎛⎤ ⎥⎝⎦故答案为： 10,5⎛⎤ ⎥⎝⎦6. 古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为，内弧线的长为，连接外弧与内弧的两端的线段均为，则该扇形60cm 20cm 18cm 的中心角的弧度数为____________．【答案】209【解析】 【分析】根据扇形弧长与扇形的中心角的弧度数为的关系，可求得，进而可得该扇形的中心α9cm OC =角的弧度数.【详解】解：如图，依题意可得弧的长为，弧的长为，设扇形的中心角的弧度数为AB 60cm CD 20cm α则，则，即． A A ,AB OA CD OC αα=⋅=⋅60320OA OC ==3OA OC =因为，所以，所以该扇形的中心角的弧度数． 18cm AC =9cm OC =A 209CD OC α==故答案为：. 2097. 已知函数，且，那么=_________. 331()5f x ax bx x =+--(2)2f -=(2)f 【答案】-12【解析】【分析】代入，整体代换求值即可.2,2x x =-=【详解】由题意，，即， 33)(21(2)(2(2)52)f a b -=+--⨯--=-3317222a b +⨯-⨯=-故, 331(2)22575122f a b =+⨯--=--=-故答案为：-128. 已知函数，关于的不等式在区间上总有解，则实数的()14f x x x =+-x ()22x m m f ≥-+1,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦m 取值范围为________．【答案】 【解析】 【分析】由题知，进而根据对勾函数性质求解最值，解不等式即可. ()2max 2m f x m ≥-+【详解】解：当时，，当且仅当时取得等号， 1,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦12y x x =+≥1x =因为当时，； 16x =1137666y x x =+=+=当时， 3x =1133y x x =+=+=所以，根据对勾函数性质，当时，， 1,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦11342,6y x x ⎡⎤=+-∈-⎢⎥⎣⎦所以，当时，， 1,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()11340,6f x x x ⎡⎤=+-∈⎢⎥⎣⎦因为关于的不等式在区间上总有解， x ()22x m m f ≥-+1,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以，， 21326m m -+≤m ≤≤所以，实数的取值范围为 m故答案为：9. 已知函数，函数，如果恰好有两个零点，()22,2()2,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩()(2)g x b f x =--()()y f x g x =-则实数的取值范围是________．b 【答案】7(2,)4⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】求出函数的表达式，构造函数，作出函数的图象，利用数形()()y f x g x =-()()(2)h x f x f x =+-()h x 结合进行求解即可.【详解】，()(2)g x b f x =-- ，()()()(2)y f x g x f x b f x ∴=-=-+-由，()(2)0f x b f x -+-=得，()(2)b f x f x =+-设，()()(2)h x f x f x =+-若，则，，0x ≤0x -≥22x -≥则，2()()(2)2h x f x f x x =+-=++若，则，，02x <≤20x -≤-<022x ≤-<则，()()(2)2222222h x f x f x x x x x =+-=-+--=-+-+=若，则，，2x >2x -<-20x -<则， 22()()(2)(2)2258h x f x f x x x x x =+-=-+--=-+即，222,0()2,0258,2x x x h x x x x x ⎧++≤⎪=<≤⎨⎪-+>⎩作出的图象如图，()h x当时，， 0x ≤22177()2()244h x x x x =++=++≥当时，， 2x >22577()58()244h x x x x =-+=-+≥由图象知要使有两个零点，即有四个根，()()y f x g x =-()h x b =则满足或， 74b =2b >故答案为： 7(2,)4⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．10. 设，，若存在，使得()1f x x =-4()g x x =-121,,,[,4]4n x x x ⋅⋅⋅∈12()()f x f x ++⋅⋅⋅+成立，则正整数的最大值为________1121()()()()()()n n n n f x g x g x g x g x f x --+=++⋅⋅⋅++n 【答案】6【解析】【分析】由题设且上有，所以，使得()()3n n f x g x -≥1[,4]4n x ∈65()()[3,4n n f x g x -∈121,,,[,4]4n x x x ∃⋅⋅⋅∈成立，只需即可，进1111()()...()()()()n n n n f x g x f x g x f x g x ---++-=-max [()()]3(1)n n f x g x n -≥-而求得正整数的最大值.n 【详解】由题意知：，使成121,,,[,4]4n x x x ∃⋅⋅⋅∈1111()()...()()()()n n n n f x g x f x g x f x g x ---++-=-立，而当且仅当时等号成立， 4()()113n n n n f x g x x x -=-+≥-=12[,4]4n x =∈∴，而，即， ()()3(1)n n f x g x n -≥-1[,4]4n x ∈65()()[3,4n n f x g x -∈∴仅需成立即可，有，故正整数的最大值为. 653(1)4n -≤7712n ≤n 6故答案为：. 6【点睛】关键点点睛：结合基本不等式有，即1111()()...()()3(1)n n f x g x f x g x n ---++-≥-，应用对勾函数的性质求值域，并将存在性问题转化为函数闭区间内有解，只要()()3(1)n n f x g x n -≥-即可求最值.max [()()]3(1)n n f x g x n -≥-二、选择题（本题满分16分，每题4分，共4题）11. 已知为实数，若，则是的（ ）a b 、2:0,:0ab a αβ=+=αβA. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】根据充分性和必要性的判断方法来判断即可．【详解】当时，若，不能推出，不满足充分性；0ab =1,0a b ==20a +=当，则，有，满足必要性；20a =0a b ==0ab =所以是的必要不充分条件．αβ故选:B ．12. 已知实数，，则的最小值为（ ） ,0,191a b a b >+=119a b +A. 100B. 300C. 800D. 400【答案】D【分析】应用“1”的代换，将目标式转化为，再利用基本不等式求最小值即可，注意等1919362b a a b++号成立的条件.【详解】由， ,0,191a b a b >+=∴，当且仅当时等号成1191191919()(19)362362400b a a b a b a b a b +=++=++≥+=a b =立. ∴的最小值为400. 119a b+故选：D13. 设函数的定义域为，对于下列命题：()f x R ①若存在常数，使得对任意，有，则是函数的最小值；M x ∈R ()f x M ≥M ()f x ②若函数有最小值，则存在唯一的，使得对任意，有；()f x 0R x ∈x ∈R ()()0f x f x ≥③若函数有最小值，则至少存在一个，使得对任意，有； ()f x 0R x ∈x ∈R ()()0f x f x ≥④若是函数的最小值，则存在，使得．()0f x ()f x x ∈R ()()0f x f x ≥则下列为真命题的选项是（ ）A. ①②都正确B. ①③都错误C. ③正确④错误D. ②错误④正确 【答案】D【解析】【分析】根据函数最小值的定义依次判断各选项即可得答案.【详解】解：对于①，不一定是函数的函数值，所以可能的最小值大于，故错误； M ()f x ()f x M 对于②，函数有最小值，则可能存在若干个，使得对任意，有，故错()f x 0R x ∈x ∈R ()()0f x f x ≥误；对于③，函数有最小值，则由最小值的定义，至少存在一个，使得对任意，有()f x 0R x ∈x ∈R ，故正确；()()0f x f x ≥对于④，若是函数的最小值，则存在，使得，故错误；.()0f x ()f x x ∈R ()()0f x f x ≥故真命题的选项是②错误④正确.14. 设，分别是函数和的零点（其中），则的取值1x 2x ()x f x x a-=-()log 1a g x x x =-1a >129x x +范围是（） A.B. C. D. [)6,+∞()6,+∞[)10,+∞()10,+∞【答案】D【解析】【分析】根据零点定义,可得,分别是和的解.结合函数与方程的关系可知,分别是函数1x 2x 1x a x =1log a x x =1x 2x 与函数和函数交点的横坐标,所以可得,.而与互为1y x =x y a =log a y x =101x <<21x >x y a =log a y x =反函数,则由反函数定义可得.再根据基本不等式,即可求得的最小值,将化为121x x ⋅=12x x +129x x +,即可得解.1228x x x ++【详解】因为,分别是函数和的零点 1x 2x ()x f x x a-=-()log 1a g x x x =-则,分别是和的解 1x 2x 1x a x =1log a x x=所以,分别是函数与函数和函数交点的横坐标1x 2x 1y x =x y a =log a y x =所以交点分别为 121211,,,x x x x A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为1a >所以,101x <<21x >由于函数与函数和函数都关于对称1y x =x y a =log a y x =y x =所以点与点关于对称A B y x =因为关于对称的点坐标为 111,A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭y x =111,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以 121x x =即,且121x x ⋅=12x x ≠所以129x x +1228x x x =++28x ≥+,由于,所以不能取等号228x >+12x x ≠因为21x >所以2282810x +>+=即()12910,x x +∈+∞故选:D【点睛】本题考查了反函数的定义及性质综合应用,函数与方程的关系应用,基本不等式求最值,综合性强,属于难题.三、解答题（本题满分44分，共4题）15. 已知．sin 2cos αα=（1）求的值； πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭（2）求的值． ()2i 2n sin 1s πcos ααα+-【答案】（1）3-（2） 132【解析】【分析】（1）由题知，再根据正切的和角公式求解即可；tan 2α=（2）根据诱导公式，结合齐次式求解即可.【小问1详解】解：由知，sin 2cos αα=tan 2α=所以， πtan 121tan 341tan 12ααα++⎛⎫+===- ⎪--⎝⎭【小问2详解】解：由知；sin 2cos αα=tan 2α=所以. ()22222213sin πcos s s sin 13sin co 3t in cos t 1an an ααααααααα+++===-16. 2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元满足（k 为常数），如果(0)m ≥41k x m =-+不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算） 816x x+（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1） 1636(0)1y m m m =--≥+（2）该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元【解析】【分析】（1）根据题意列方程即可.（2）根据基本不等式，可求出的最小值，从而可求出的最大值. 16(1)1m m +++16361m m --+【小问1详解】由题意知，当时，（万件），0m =2x =则，解得，∴． 24k =-2k =241x m =-+所以每件产品的销售价格为（元）， 8161.5x x +⨯∴2020年的利润． 816161.581636(0)1x y x x m m m x m +=⨯---=--≥+【小问2详解】∵当时，， 0m ≥10m +>∴， 16(1)81m m ++≥=+当且仅当即时等号成立． 16(1)1m m =++3m =∴，83729y ≤-+=即万元时，（万元）．3m =max 29=y 故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．17. 已知函数.()log (23)1(0,1)a f x x a a =-+>≠（1）当时，求不等式的解集；2a =()3f x <（2）当时，设，且，求（用表示）；10a =()()1g x f x =-(3),(4)==g m g n 6log 45,m n （3）在（2）的条件下，是否存在正整数，使得不等式在区间上有解，若存k 22(1)lg()+>g x kx []3,5在，求出的最大值，若不存在，请说明理由.k 【答案】（1）；（2）；（3）存在，3. 37,22⎛⎫⎪⎝⎭21m n m n +-+【解析】【分析】（1）时，不等式即，解不等式可得结果；2a =2log (23)2x -<（2）依题意得，进而由换底公式和对数的运算性质可得结果； lg3,lg5m n ==（3）依题意得在区间上有解； 令，则，因此()2221x k x -<[]3,5()()[]2221,3,5x h x x x -=∈()max k h x <求得的最大值即可求得结果.()h x 【详解】（1）当时，2a =()()2log 2313f x x =-+<故 ，所以不等式的解集为； 0234x <-<()3f x <37,22⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）当时，，10a =()()()1lg 23g x f x x =-=-， ()()3lg3,4lg5m g n g ∴====. 6lg45lg9lg52log 45lg6lg3lg21m n m n ++∴===+-+（3）在（2）的条件下，不等式化为， ()()221lg g x kx +>()()22lg 21lg x kx ->即在区间上有解. 令，则，()2221x k x -<[]3,5()()[]2221,3,5x h x x x -=∈()max k h x <，， ()()2222112x h x x x -⎛⎫==- ⎪⎝⎭111,53⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ，又是正整数，故的最大值为3. ()()max 81525k h x h ∴<==k k18. 若函数对定义域内的任意x 都满足，则称具有性质． ()f x ()1f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭()f x M （1）判断是否具有性质M ，并证明在上是严格减函数； ()1f x x x=+()f x ()0,1（2）已知函数，点，直线与的图象相交于两点（在左()ln g x x =()1,0A ()0y t t =>()g x B C 、B 边），验证函数具有性质并证明；()g x M AB AC <（3）已知函数，是否存在正数，当的定义域为时，其值域为()1h x x x=-m n k ，，()h x [],m n ，若存在，求的范围，若不存在，请说明理由．[],km kn k 【答案】（1）具有，证明见解析；（2）证明见解析；（3）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据具有性质的定义判断即可，结合单调性的定义证明即可；M （2）根据具有性质的定义判断即可，再根据得，进而根据两点间的距离公式M |ln |x t =,e e t t C B x x -==作差法比较即可；（3）根据题意，分或，结合函数单调性讨论求解即可.01m n <<<1m n <<【小问1详解】 解：因为，所以函数具有性质， ()11111f x f x xx x x⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭()f x M 任取，1201x x <<<则， 121212121212121211111()()()()x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+-=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为，所以，1201x x <<<121210,0x x x x >>-<所以，即，12())0(f x f x ->12()()f x f x >所以，在区间上单调递减.()f x ()0,1【小问2详解】 解：因为，所以具有性质， 11ln ln ln ()g x x g x x x ⎛⎫==-== ⎪⎝⎭()g x M由性质得或，解得或，|ln |x t =ln x t =-ln x t =e t x -=e =t x 因为，，所以，0t >e e t t -<,e e t t C B x x -==所以，||AB ==||AC ==所以，2222||||(1e )(1e )2(e e )(e e )t t t t t t AB AC ---⎡⎤-=---=-+-⎣⎦当，，当且仅当时取等号，且， ()0,x ∈+∞1()2f x x x =+≥1x =10e 1e et t t -<=<<所以，2(e e )0,e e 0t t t t ---+<->所以，即.22||||2(e e )(e e )0t t t t AB AC --⎡⎤-=-+-<⎣⎦AB AC <【小问3详解】解：注意到，由于均为正整数，(1)0h =,,m n k 所以，要使存在正数，当的定义域为时，其值域为，则或m n k ，，()h x [],m n [],km kn 01m n <<<，1m n <<当，01m n <<<因为为单调递减函数， 1101,()||x h x x x x x<<=-=-所以，其值域为，((),())h n h m 所以，(),()h n km h m kn ==所以，即，整理得，即，与定义域为矛盾； ()()h n m h m n =11n m nn mm -=-2211n m -=-m n =[],m n 当时，1m n <<因为为增函数， 111,()||x h x x x x x>=-=-所以，其值域为， ((),())h m h n 所以，即 (),()h m km h n kn ==11,m km n kn m n-=-=所以，即，与定义域为矛盾； 22221(1)1,(1)1,1k m k n m n k -=-===-m n =[],m n 综上，不存在正数满足条件.m n k ，，【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键在于结合函数，均为正整数得到(1)0h =,,m n k或，进而分类讨论求解即可. 01m n <<<1m n <<。