2020年中考数学高频重点《反比例函数与一次函数的综合》专题突破精练精解(含答案)
【中考数学】专题07 反比例函数与一次函数的综合【达标要求】1.认识反比例函数是描述具有反比例变化规律的数学模型.2.结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的解析式.3.能画出反比例函数ky x=(k 为常数，0k ≠)的图象，根据图象和解析式探索并理解0k > 和0k <时图象的变化情况.4.能用反比例函数解决简单的实际问题.【知识梳理】知识点1 反比例函数的概念形如 (k 为常数，0k ≠)的函数，叫做反比例函数，其中x 叫自变量，y 是x 的函数.变式:1y kx -=或xy k =(k 为常数，0k ≠). 知识点2 反比例函数的图像和性质知识点3 k的集合意义在反比例函数kyx=(k为常数，0k≠)的图象上任取一点，过这个点分别作x轴、y轴的平行线，两平行线与坐标轴围成的矩形的面积的于知识点4 用待定系数法求反比例函数的解析式先设函数解析式为kyx=(k为常数，0k≠)，在根据条件求出未知系数k的值，从而写出这个函数解析式.【精练精解】1.在同一平面直角坐标系中，函数y=﹣x+k与y=（k为常数，且k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．2.若反比例函数的图象上有两个不同的点关于y轴对称点都在一次函数y=–x+m的图象上，则m的取值范围是（）A．m>B．m<-C．m m><-．m-<<kxxy2-=3.如图，一次函数y=－x+3的图象与反比例函数y=kx（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标．4.如图，已知反比例函数y=kx（k≠0）的图象与一次函数y=﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）已知点P（a，0）（a>0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y=﹣x+b的图象于点M，交反比例函数y=kx上的图象于点N．若PM>PN，结合函数图象直接写出a的取值范围．5.已知一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数y =mx的图象交于点A ，与x 轴交于点B （5，0），若OB =AB ，且S △OAB =152． （1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P 为x 轴上一点，△ABP 是等腰三角形，求点P 的坐标．6.如图，一次函数y =k 1x +b 的图象与反比例函数y =2k x的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（–1，4），点B 的坐标为（4，n ）．（1）根据图象，直接写出满足k 1x +b ＞2k x的x 的取值范围； （2）求这两个函数的表达式；（3）点P 在线段AB 上，且S △AOP ：S △BOP =1：2，求点P 的坐标．7.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于A（–1，n）、B（2，–1）两点，与y轴相交于点C．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y=mx上的两点，当x1<x2<0时，比较y2与y1的大小关系．8.如图，四边形ABCD 是平行四边形，点A(1，0)，B(3，1)，C(3，3)．反比例函数y ＝mx (x ＞0)的图象经过点D ，点P 是一次函数y ＝kx ＋3－3k(k ≠0)的图象与该反比例函数图象的一个公共点． (1)求反比例函数的解析式；(2)通过计算，说明一次函数y ＝kx ＋3－3k(k ≠0)的图象一定经过点C ；(3)对于一次函数y ＝kx ＋3－3k(k ≠0)，当y 随x 的增大而增大时，确定点P 横坐标的取值范围．(不必写出过程)9.某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y(℃)与时间x(h)之间的函数关系，其中线段AB ，BC 表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD 表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题：(1)求这天的温度y 与时间x(0≤x ≤24)的函数关系式；(2)求恒温系统设定的恒定温度；(3)若大棚内的温度低于10 ℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？10.如图，已知点D在反比例函数y=的图象上，过点D作DB⊥y轴，垂足为B（0，3），直线y=kx+b经过点A（5，0），与y轴交于点C，且BD=OC，OC：OA=2：5．（1）求反比例函数y=和一次函数y=kx+b的表达式；（2）直接写出关于x的不等式＞kx+b的解集．11.如图，矩形ABCD 的两边AD ，AB 的长分别为3，8，E 是DC 的中点，反比例函数y ＝mx 的图象经过点E ，与AB 交于点F.(1)若点B 坐标为(－6，0)，求m 的值及图象经过A ，E 两点的一次函数的解析式； (2)若AF －AE ＝2，求反比例函数的解析式．12.如图，直线AB 与x 轴交于点A （1，0），与y 轴交于点B （0，2），将线段AB 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AC ，反比例函数y ＝（k ≠0，x ＞0）的图象经过点C ．（1）求直线AB 和反比例函数y ＝（k ≠0，x ＞0）的解析式；（2）已知点P 是反比例函数y ＝（k ≠0，x ＞0）图象上的一个动点，求点P 到直线AB 距离最短时的坐标．13.如图，已知点A在反比例函数(x>0)的图象上，过点A作AC⊥x轴，垂足是C，AC=OC．一次函数y=kx+b 的图象经过点A，与y轴的正半轴交于点B．（1）求点A的坐标；（2）若四边形ABOC的面积是3，求一次函数y=kx+b的表达式．14.如图，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y=（m≠0）交于点A（﹣，2），B（n，﹣1）．（1）求直线与双曲线的解析式．（2）点P在x轴上，如果S△ABP=3，求点P的坐标．15.一次函数y=kx+b的图象经过点A(-2,12)，B(8,-3)．（1）求该一次函数的解析式；（2）如图，该一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点C(x1，y1)，D(x2,y2)，与轴交于点E，且CD=CE，求m的值．16.如图，某反比例函数图象的一支经过点A（2，3）和点B（点B在点A的右侧），作BC⊥y轴，垂足为点C，连结AB，AC．（1）求该反比例函数的解析式；（2）若△ABC的面积为6，求直线AB的表达式．专题07 反比例函数与一次函数的综合【达标要求】1.认识反比例函数是描述具有反比例变化规律的数学模型.2.结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的解析式.3.能画出反比例函数ky x=(k 为常数，0k ≠)的图象，根据图象和解析式探索并理解0k > 和0k <时图象的变化情况.4.能用反比例函数解决简单的实际问题.【知识梳理】知识点1 反比例函数的概念形如ky x=(k 为常数，0k ≠)的函数，叫做反比例函数，其中x 叫自变量，y 是x 的函数. 变式:1y kx -=或xy k =(k 为常数，0k ≠). 知识点2 反比例函数的图像和性质知识点3 k 的集合意义 在反比例函数ky x=(k 为常数，0k ≠)的图象上任取一点，过这个点分别作x 轴、y 轴的平行线，两平行线与坐标轴围成的矩形的面积的于k ｜｜ .知识点4 用待定系数法求反比例函数的解析式先设函数解析式为kyx=(k为常数，0k≠)，在根据条件求出未知系数k的值，从而写出这个函数解析式.【精练精解】1.在同一平面直角坐标系中，函数y=﹣x+k与y=（k为常数，且k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵函数y=﹣x+k与y=（k为常数，且k≠0），∴当k>0时，y=﹣x+k经过第一、二、四象限，y=经过第一、三象限，故选项D错误，当k<0时，y=﹣x+k经过第二、三、四象限，y=经过第二、四象限，故选项C正确，选项A、B错误，故选C．【点评】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数和反比例函数的性质解答．2.若反比例函数的图象上有两个不同的点关于y轴对称点都在一次函数y=–x+m的图象上，则m的取值范围是（）A．m>B．m<-C．m m><-．m-<<kxkxk xkx xy2-=【答案】C【解析】∵反比例函数2y x=-上两个不同的点关于y 轴对称的点，在一次函数y =–x +m 图象上，∴反比例函数2y x=-与一次函数y =–x +m 有两个不同的交点，联立两个函数解方程22220y x m x mx x x y x m⎧=⎪⇒=-+⇒-+=⎨⎪=-+⎩，∵有两个不同的交点，∴有两个不等的根，∴Δ=m 2–8>0，∴m或m <–，故选C ．3.如图，一次函数y =－x +3的图象与反比例函数y =kx（k ≠0）在第一象限的图象交于A （1，a ）和B 两点，与x 轴交于点C ．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P 在x 轴上，且△APC 的面积为5，求点P 的坐标．【解析】（1）把点A （1，a ）代入y =－x +3，得a =2，∴A （1，2），把A （1，2）代入反比例函数y =kx，∴k =1×2=2； ∴反比例函数的表达式为y =2x； （2）∵一次函数y =－x +3的图象与x 轴交于点C ，∴C （3，0）， 设P （x ，0），∴PC =|3－x |，∴S △APC =12|3－x |×2=5，∴x =－2或x =8， 022=+-mxx∴P 的坐标为（－2，0）或（8，0）．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式等知识点，能用待定系数法求出反比例函数的解析式是解此题的关键．4.如图，已知反比例函数y =kx（k ≠0）的图象与一次函数y =﹣x +b 的图象在第一象限交于A （1，3），B （3，1）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）已知点P （a ，0）（a >0），过点P 作平行于y 轴的直线，在第一象限内交一次函数y =﹣x +b 的图象于点M ，交反比例函数y =kx上的图象于点N ．若PM >PN ，结合函数图象直接写出a 的取值范围．【解析】（1）∵反比例函数y =kx（k ≠0）的图象与一次函数y =﹣x +b 的图象在第一象限交于A （1，3），B （3，1）两点，∴3=1k，3=﹣1+b ，∴k =3，b =4， ∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y =3x，y =﹣x +4； （2）由图象可得：当1<a <3时，PM >PN ．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．5.已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB=AB，且S△OAB=152．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．【解析】（1）如图1，过点A作AD⊥x轴于D，∵B（5，0），∴OB=5，∵S△OAB=152，∴12×5×AD=152，∴AD=3，∵OB=AB，∴AB=5，在Rt△ADB中，BD，∴OD=OB+BD=9，∴A（9，3），将点A坐标代入反比例函数y=mx中得，m=9×3=27，∴反比例函数的解析式为y=27x，将点A（9，3），B（5，0）代入直线y=kx+b中，9350k bk b+=⎧⎨+=⎩，∴3434kb⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线AB的解析式为y=34x﹣34；（2）由（1）知，AB=5，∵△ABP是等腰三角形，∴①当AB=PB时，∴PB=5，∴P（0，0）或（10，0），②当AB=AP时，如图2，由（1）知，BD=4，易知，点P与点B关于AD对称，∴DP=BD=4，∴OP=5+4+4=13，∴P（13，0），③当PB =AP 时，设P （a ，0）， ∵A （9，3），B （5，0），∴AP 2=（9﹣a ）2+9，BP 2=（5﹣a ）2， ∴（9﹣a ）2+9=（5﹣a ）2，∴a =658， ∴P （658，0）， 即：满足条件的点P 的坐标为（0，0）或（10，0）或（13，0）或（658，0）． 【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．6.如图，一次函数y =k 1x +b 的图象与反比例函数y =2k x的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（–1，4），点B 的坐标为（4，n ）．（1）根据图象，直接写出满足k 1x +b ＞2k x的x 的取值范围； （2）求这两个函数的表达式；（3）点P 在线段AB 上，且S △AOP ：S △BOP =1：2，求点P 的坐标．【答案】（1）由图象可得：k 1x +b ＞2k x的x 的取值范围是x <–1或0<x <4； （2）直线解析式y =–x +3，反比例函数的解析式为y =–4x； （3）P （23，73）． 【解析】（1）∵点A 的坐标为（–1，4），点B 的坐标为（4，n ）．由图象可得：k 1x +b ＞2k x的x 的取值范围是x <–1或0<x <4； （2）∵反比例函数y =2k x的图象过点A （–1，4），B （4，n ）， ∴k 2=–1×4=–4，k 2=4n ，∴n =–1，∴B （4，–1）， ∵一次函数y =k 1x +b 的图象过点A ，点B ，∴11441k b k b -+=+=-⎧⎨⎩，解得k =–1，b =3，∴直线解析式y =–x +3，反比例函数的解析式为y =–4x； （3）设直线AB 与y 轴的交点为C ，∴C （0，3），∵S △AOC =12×3×1=32， ∴S △AOB =S △AOC +S △BOC =12×3×1+12×3×4=152， ∵S △AOP ：S △BOP =1：2，∴S △AOP =152×13=52， ∴S △COP =52–32=1，∴12×3x P =1，∴x P =23， ∵点P 在线段AB 上，∴y =–23+3=73，∴P （23，73）．【点评】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，熟练运用图象上的点的坐标满足图象的解析式是本题的关键．7.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于A（–1，n）、B（2，–1）两点，与y轴相交于点C．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y=mx上的两点，当x1<x2<0时，比较y2与y1的大小关系．【答案】（1）一次函数的解析式为y=–x+1，反比例函数的解析式为y=–2x．（2）S△ABD=3．（3）y1<y2．【解析】（1）∵反比例函数y=mx经过点B（2，–1），∴m=–2，∵点A（–1，n）在y=2x-上，∴n=2，∴A（–1，2），把A，B坐标代入y=kx+b，则有221k bk b-+=+=-⎧⎨⎩，解得11kb=-=⎧⎨⎩，∴一次函数的解析式为y=–x+1，反比例函数的解析式为y=–2x．（2）∵直线y=–x+1交y轴于C，∴C（0，1），∵D，C关于x轴对称，∴D（0，–1），∵B（2，–1），∴BD∥x轴，∴S △ABD =12×2×3=3． （3）∵M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）是反比例函数y =–2x 上的两点，且x 1<x 2<0，s ∴y 1<y 2． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用函数的增减性，比较函数值的大小．8.如图，四边形ABCD 是平行四边形，点A(1，0)，B(3，1)，C(3，3)．反比例函数y ＝m x(x ＞0)的图象经过点D ，点P 是一次函数y ＝kx ＋3－3k(k ≠0)的图象与该反比例函数图象的一个公共点．(1)求反比例函数的解析式；(2)通过计算，说明一次函数y ＝kx ＋3－3k(k ≠0)的图象一定经过点C ；(3)对于一次函数y ＝kx ＋3－3k(k ≠0)，当y 随x 的增大而增大时，确定点P 横坐标的取值范围．(不必写出过程)【解析】：(1)∵B(3，1)，C(3，3)，四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ＝2，BC ⊥x 轴．∴AD ⊥x 轴．又∵A(1，0)，∴D(1，2)．∵D 在反比例函数y ＝m x的图象上， ∴m ＝1×2＝2.∴反比例函数的解析式为y ＝2x. (2)当x ＝3时，y ＝kx ＋3－3k ＝3，∴一次函数y ＝kx ＋3－3k(k ≠0)的图象一定过点C.(3)设点P 的横坐标为a ，则23＜a ＜3. 归纳：反比例函数中，y 随x 的大小变化的情况，应分x ＞0与x ＜0两种情况讨论，而不能笼统地说成“k ＜0时，y 随x 的增大而增大”．双曲线上的点在每个象限内，y 随x 的变化是一致的．运用反比例函数的性质时，要注意在每一个象限内的要求．9.某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y(℃)与时间x(h)之间的函数关系，其中线段AB ，BC 表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD 表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：(1)求这天的温度y 与时间x(0≤x ≤24)的函数关系式；(2)求恒温系统设定的恒定温度；(3)若大棚内的温度低于10 ℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？【点拨】 (1)用待定系数法分段求函数解析式；(2)观察图象可得；(3)代入临界值y ＝10即可．【解答】 解：(1)设线段AB 解析式为y ＝k 1x ＋b(k ≠0)，∵线段AB 过点(0，10)，(2，14)，代入，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝10，2k 1＋b ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝2，b ＝10. ∴AB 解析式为y ＝2x ＋10(0≤x ＜5)．∵B 在线段AB 上，当x ＝5时，y ＝20.∴B 坐标为(5，20)．∴线段BC 的解析式为y ＝20(5≤x ＜10)． 设双曲线CD 的解析式为y ＝k 2x(k 2≠0)． ∵C(10，20)，∴k 2＝200.∴双曲线CD 解析式为y ＝200x(10≤x ≤24)． ∴y 关于x 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋10（0≤x<5），20（5≤x<10），200x （10≤x ≤24）.(2)由(1)可知，恒温系统设定恒定温度为20 ℃.(3)把y ＝10代入y ＝200x中，解得x ＝20. ∴20－10＝10.答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．归纳：反比例函数实际应用题是近年中考常见的题型，解题时首先要仔细审读题目(或图象)中给予的信息，挖掘题目(或图象)中隐含的条件，提取有用信息，综合运用所学知识解决问题． 10.如图，已知点D 在反比例函数y=的图象上，过点D 作DB ⊥y 轴，垂足为B （0，3），直线y=kx+b 经过点A （5，0），与y 轴交于点C ，且BD=OC ，OC ：OA=2：5．（1）求反比例函数y=和一次函数y=kx+b 的表达式；（2）直接写出关于x 的不等式＞kx+b 的解集．【分析】（1）由OC、OA、BD之间的关系结合点A、B的坐标可得出点C、D的坐标，由点D的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出a值，进而可得出反比例函数的表达式，再由点A、C的坐标利用待定系数法，即可求出一次函数的表达式；（2）将一次函数表达式代入反比例函数表达式中，利用根的判别式△＜0可得出两函数图象无交点，再观察图形，利用两函数图象的上下位置关系即可找出不等式＞kx+b的解集．解：（1）∵BD=OC，OC：OA=2：5，点A（5，0），点B（0，3），∴OA=5，OC=BD=2，OB=3，又∵点C在y轴负半轴，点D在第二象限，∴点C的坐标为（0，﹣2），点D的坐标为（﹣2，3）．∵点D（﹣2，3）在反比例函数y=的图象上，∴a=﹣2×3=﹣6，∴反比例函数的表达式为y=﹣．将A（5，0）、B（0，﹣2）代入y=kx+b，，解得：，∴一次函数的表达式为y=x﹣2．（2）将y=x ﹣2代入y=﹣，整理得： x 2﹣2x+6=0， ∵△=（﹣2）2﹣4××6=﹣＜0，∴一次函数图象与反比例函数图象无交点．观察图形，可知：当x ＜0时，反比例函数图象在一次函数图象上方，∴不等式＞kx+b 的解集为x ＜0．11.如图，矩形ABCD 的两边AD ，AB 的长分别为3，8，E 是DC 的中点，反比例函数y ＝m x的图象经过点E ，与AB 交于点F.(1)若点B 坐标为(－6，0)，求m 的值及图象经过A ，E 两点的一次函数的解析式；(2)若AF －AE ＝2，求反比例函数的解析式．【解析】：(1)点B 坐标为(－6，0)，AD ＝3，AB ＝8，E 为CD 的中点，∴点A(－6，8)，E(－3，4)．∵函数图象经过点E ，∴m ＝－3×4＝－12.设AE 的解析式为y ＝kx ＋b ，将点A ，E 坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－6k ＋b ＝8，－3k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43，b ＝0.∴一次函数的解析式为y ＝－43x. (2)AD ＝3，DE ＝4，∴AE ＝AD 2＋DE 2＝5.∵AF －AE ＝2，∴AF ＝7，BF ＝1.设点E 坐标为(a ，4)，则点F 坐标为(a －3，1)，∵E ，F 两点在函数y ＝m x图象上， ∴4a ＝a －3，解得a ＝－1.∴E(－1，4)．∴m ＝－1×4＝－4.∴反比例函数的解析式为y ＝－4x. 12.如图，直线AB 与x 轴交于点A （1，0），与y 轴交于点B （0，2），将线段AB 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AC ，反比例函数y ＝（k ≠0，x ＞0）的图象经过点C ． （1）求直线AB 和反比例函数y ＝（k ≠0，x ＞0）的解析式；（2）已知点P 是反比例函数y ＝（k ≠0，x ＞0）图象上的一个动点，求点P 到直线AB 距离最短时的坐标．【答案】见解析。
(通用版)2020年中考数学必考点提分专练06一次函数、反比例函数综合题(含解析)
|类型1| 比较函数值的大小，求自变量取值范围1．[2019·泸州]如图，一次函数y 1=ax+b 和反比例函数y 2=kx 的图象相交于A ，B 两点，则使y 1>y 2成立的x 的取值范围是 ( )A .．-2<x<0或0<x<4B ．x<-2或0<x<4C ．x<-2或x>4D ．-2<x<0或x>4【答案】B【解析】观察函数图象，发现:当x<-2或0<x<4时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，∴当y 1>y 2时，x 的取值范围是x<-2或0<x<4.2．如图，一次函数y 1=k 1x+b 1与反比例函数y 2=k2x (x>0)的图象交于A (1，3)，B (3，1)两点，若y 1<y 2，则x 的取值范围是 ( )A .．x<1B ．x<3C ．0<x<3D ．x>3或0<x<1【答案】【解析】观察函数图象，发现:当．x>3或0<x<1时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，∴当y 1<y 2，时，x 的取值范围是x>3或0<x<13．[2019·扬州]若反比例函数y=-2x 的图象上有两个不同的点关于y 轴的对称点都在一次函数y=-x+m 的图象上，则m 的取值范围是( )一次函数、反比例函数综合题提分专练06A ．m>2√2B ．m<-2√2C ．m>2√2或m<-2√2D ．-2√2<m<2√2【答案】C[解析]∵反比例函数y=-2x 图象上的点关于y 轴对称的点都在反比例函数y=2x 的图象上， ∴反比例函数y=2x 的图象与一次函数y=-x+m 的图象有两个不同的交点，两个函数联立得方程组{y =2x ，y =-x +m ，化简得x 2-mx+2=0．∵有两个不同的交点，∴x 2-mx+2=0有两个不等的实根．∴Δ=m 2-8>0， ∴m>2√2或m<-2√2．4．[2019·玉林]如图，一次函数y 1=(k-5)x+b 的图象在第一象限与反比例函数y 2=kx 的图象相交于A ，B 两点，当y 1>y 2时，x 的取值范围是1<x<4，则k= 4 ．[解析]观察图象可知{k -5+b =k ，4(k -5)+b =k4，解得{k =4，b =5．5．已知一次函数y=ax+b ，反比例函数y=kx (a ，b ，k 是常数，且ak ≠0)，若其中一部分x ，y 的对应值如下表，则不等式-8<ax+b<kx 的解集是 -6<x<-2或0<x<4 ．x-4-2 -1 1 2 4 y=ax+b -6 -4 -3 -1 0 2 y=kx-2-4-8842[解析]根据表格可得:当x=-2和x=4时，两个函数值相等，因此直线y=ax+b 与双曲线y=k x 的交点为(-2，-4)，(4，2)，由表即可得出当x=-6时，一次函数值y=-8，∴不等式-8<ax+b<k x的解集为-6<x<-2或0<x<4．6. 在平面直角坐标系xOy 中，直线y=kx+2k (k>0)与x 轴交于点P ，与双曲线y=3kx (x>0)交于点Q ，若直线y=4kx-2与直线PQ 交于点R (点R 在点Q 右侧)，当RQ ≤PQ 时，k 的取值范围是 k ≥15．[解析]如图，作QM ⊥x 轴于M ，RN ⊥x 轴于N ， ∴QM ∥RN ，∴PQQR =PM MN，∵RQ ≤PQ ，∴MN ≤PM ，∵直线y=kx+2k (k>0)与x 轴交于点P ， ∴P (-2，0)，∴OP=2， 解kx+2k=3kx 得，x 1=-3，x 2=1，∴Q 点的横坐标为1，∴M (1，0)，∴OM=1， ∴PM=2+1=3，解kx+2k=4kx-2得，x=2k+23k，∴R 点的横坐标为2k+23k，∴N （2k+23k，0），∴ON=2k+23k，∴MN=2k+23k-1，∴2k+23k-1≤3，解得k ≥15，故答案为k ≥15．7．[2019·巴中]如图，一次函数y 1=k 1x+b (k 1，b 为常数，k 1≠0)的图象与反比例函数y 2=k2x (k 2≠0，x>0)的图象交于点A (m ，8)与点B (4，2)． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)根据图象说明，当x 为何值时，k 1x+b-k2x <0．解:(1)∵点B (4，2)在反比例函数y 2=k 2x(k 2≠0，x>0)的图象上，∴2=k24，解得k 2=8，∴反比例函数解析式为y 2=8x(x>0)．当y 2=8时，8=8m ，∴m=1，∴点A 坐标为(1，8)，将A (1，8)，B (4，2)的坐标代入y 1=k 1x+b ， 可得{8=k 1+b ，2=4k 1+b ，∴{k 1=-2，b =10，∴一次函数解析式为y 1=-2x+10．(2)由图象可知x 的取值范围为0<x<1或x>4．8．[2019·攀枝花]如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y=mx 的图象在第二象限交于点B ，与x 轴交于点C ，点A 在y 轴上，满足条件:CA ⊥CB ，且CA=CB ，点C 的坐标为(-3，0)，cos ∠ACO=√55． (1)求反比例函数的表达式；(2)直接写出当x<0时，kx+b<mx 的解集．解:(1)如图，作BH ⊥x 轴于点H ，则∠BHC=∠BCA=∠COA=90°， ∴∠BCH=∠CAO ． ∵点C 的坐标为(-3，0)， ∴OC=3． ∵cos ∠ACO=√55， ∴AC=3√5，AO=6． 在△BHC 和△COA 中，{∠BHC =∠COA =90°，∠BCH =∠CAO ，BC =AC ，∴△BHC ≌△COA ． ∴BH=CO=3，CH=AO=6． ∴OH=9，即B (-9，3)． ∴m=-9×3=-27，∴反比例函数的表达式为y=-27x ．(2)∵在第二象限中，B 点右侧一次函数的图象在反比例函数图象的下方，∴当x<0时，kx+b<mx 的解集为-9<x<0．|类型2| 求几何图形面积9．[2019·凉山州]如图，正比例函数y=kx 与反比例函数y=4x 的图象相交于A ，C 两点，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点B ，连接BC ，则△ABC 的面积等于( )A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】C[解析]设A 点的坐标为(m ，4m )，则C 点的坐标为(-m ，-4m )，∴S △ABC =S △OAB +S △OBC =12m ×4m+12m ×|-4m |=4，故选C ． 10．[2019·滁州定远一模]如图，已知反比例函数y=mx 与一次函数y=kx+b 的图象相交于A (4，1)，B (a ，2)两点，一次函数的图象与y 轴交于点C ，点D 在x 轴上，其坐标为(1，0)，则△ACD 的面积为( )A ．12B ．9C ．6D ．5【答案】D[解析]∵点A (4，1)在反比例函数y=mx 图象上，∴m=xy=4×1=4，∴y=4x ． 把B (a ，2)代入y=4x得2=4a，∴a=2，∴B (2，2)．把A (4，1)，B (2，2)代入y=kx+b ， 得{1=4k +b ，2=2k +b ，解得{k =-12，b =3， ∴一次函数的解析式为y=-12x+3．∵点C 在直线y=-12x+3上， ∴当x=0时，y=3，∴C (0，3)． 如图，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ．∴S △ACD =S 梯形AEOC -S △COD -S △DEA =(1+3)×42-12×1×3-12×1×3=5．11．如图，矩形ABCD 的边BC 在x 轴的负半轴上，顶点D (a ，b )在反比例函数y=kx 的图象上，直线AC 交y 轴点E ，且S △BCE =6，则k 的值为( )A ．-12B ．-6C ．-2D ．-3【答案】A[解析]∵矩形ABCD ，D (a ，b )，∴CO=-a ，CD=AB=b ，∵D (a ，b )在反比例函数y=kx 的图象上，∴k=ab ，∵S △BCE =6，∴12BC ·OE=6，即BC ·OE=12， ∵AB ∥OE ，∴BC OC =AB EO ，即BC ·EO=AB ·CO ，∴12=b ·(-a )，即ab=-12，∴k=-12，故选A ．12．[2019·乐山]如图，点P 是双曲线C :y=4x (x>0)上的一点，过点P 作x 轴的垂线交直线AB :y=12x-2于点Q ，连接OP ，OQ ．当点P 在曲线C 上运动，且点P 在Q 的上方时，△POQ 面积的最大值是 ．【答案】3[解析]∵点P 是双曲线C :y=4x(x>0)上的一点，∴可设点P 坐标为(m ，4m)，∵PQ ⊥x 轴，Q 在y=12x-2图象上，∴Q 坐标为(m ，12m-2)，PQ=4m-(12m-2)，∴△POQ 的面积=12m ×[4m -(12m-2)]=-14(m-2)2+3，∴当m=2时，△POQ 面积最大，最大值为3．13．[2019·宁波]如图，过原点的直线与反比例函数y=kx (k>0)的图象交于A ，B 两点，点A 在第一象限，点C 在x 轴正半轴上，连接AC ，交反比例函数图象于点D ．AE 为∠BAC 的平分线，过点B 作AE 的垂线，垂足为E ，连接DE ，若AC=3DC ，△ADE 的面积为8，则k 的值为 6 ．[解析]连接OE ，OD ，在Rt △ABE 中，点O 是AB 的中点，∴OE=12AB=OA ，∴∠OAE=∠OEA ，∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠OAE=∠DAE ， ∴∠OEA=∠DAE ，∴AD ∥OE ，∴S △ADE =S △ADO ，过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点D 作DN ⊥x 轴于点N ，易得S 梯形AMND =S △ADO =8， ∵△CAM ∽△CDN ，CD ∶CA=1∶3，∴S △CAM =9，延长CA 交y 轴于点P ，易得△CAM ∽△CPO ，可知DC=AP ，∴CM ∶MO=CA ∶AP=3∶1，∴S △CAM ∶S △AMO =3∶1，∴S △AMO =3，∵反比例函数图象在第一、三象限，∴k=6．14．[2019·盐城]如图，一次函数y=x+1的图象交y 轴于点A ，与反比例函数y=kx (x>0)的图象交于点B (m ，2)． (1)求反比例函数的表达式； (2)求△AOB 的面积．解:(1)∵一次函数y=x+1的图象经过点B (m ，2)， ∴2=m+1，解得m=1，则点B 的坐标为(1，2)， ∵点B 在反比例函数y=kx (x>0)的图象上， ∴k=2，∴反比例函数的表达式为y=2x (x>0)．(2)易得点A (0，1)，∴OA=1， 过点B 作BC ⊥y 轴，垂足为点C ，则BC 就是△AOB 的高，BC=1， ∴S △AOB =12OA ×BC=12×1×1=12．15．[2019·遂宁]如图，一次函数y=x-3的图象与反比例函数y=kx (k ≠0)的图象交于点A 与点B (a ，-4)．(1)求反比例函数的表达式；(2)若动点P 是第一象限内双曲线上的点(不与点A 重合)，连接OP ，且过点P 作y 轴的平行线交直线AB 于点C ，连接OC ，若△POC 的面积为3，求出点P 的坐标．解:(1)∵点B (a ，-4)在一次函数y=x-3的图象上，∴a=-1，∴B (-1，-4)， ∵B (-1，-4)在反比例函数图象上， ∴k=(-1)×(-4)=4，∴反比例函数的表达式为y=4x ．(2)如图，设PC 交x 轴于点H ，设P (m ，4m )(m>0)，则C (m ，m-3)，由{y =4x ，y =x -3，得x 2-3x-4=0，解得x 1=-1，x 2=4，∴A (4，1)．∵PC=|4m +3-m |，OH=m ，∴△POC 的面积为3，∴12|4m +3-m |·m=3，∴m 1=2，m 2=1，m 3=5，m 4=-2．∵m>0，点P 与点A 不重合，且A (4，1)， ∴m 4=-2不合题意，舍去，∴P 点坐标为(1，4)，(2，2)，(5，45)．。
2020年中考数学压轴题专项训练：反比例函数的综合(含答案)
精选文档6662020 年数学中考压轴题专项训练：反比率函数的综合1．已知一次函数y＝ kx﹣（2k+1）的图象与x 轴和 y 轴分别交于A、 B两点，与反比率函数y＝﹣的图象分别交于C、 D两点．（1）如图 1，当k＝ 1，点P在线段AB上（不与点A、B重合）时，过点P作x轴和y轴的垂线，垂足为 M、 N．当矩形 OMPN的面积为2时，求出点 P 的地点；（ 2）如图 2，当k＝ 1 时，在x轴上能否存在点E，使得以 A、B、E 为极点的三角形与△BOC相像？若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明原因；（3）若某个等腰三角形的一条边长为 5，另两条边长恰巧是两个函数图象的交点横坐标，求k 的值．解：（ 1）当k＝ 1，则一次函数分析式为：y＝x﹣ 3，反比率函数分析式为：y＝﹣，∵点 P在线段 AB上∴设点 P（ a， a﹣3）， a＞0， a﹣3＜0，∴PN＝a， PM＝3﹣ a，∵矩形 OMPN的面积为2，∴a×（3﹣ a）＝2，∴a＝1或2，∴点 P（1，﹣2）或（2，﹣1）（2）∵一次函数y＝x﹣3 与x轴和y轴分别交于A、B两点，∴点 A（3，0），点 B（0，﹣3）∴ OA＝3＝ OB，∴∠ OAB＝∠ OBA＝45°， AB＝3，∵ x﹣3＝﹣∴ x＝1或2，∴点 C（1，﹣2），点 D（2，﹣1）∴BC＝＝，设点 E（ x，0），∵以 A、 B、 E 为极点的三角形与△BOC相像，且∠ CBO＝∠ BAE＝45°，∴，或，∴，或＝，∴ x＝1，或 x＝﹣6，∴点 E（1，0）或（﹣6，0）（ 3）∵﹣＝kx﹣（2k+1），∴ x＝1， x ＝，∴两个函数图象的交点横坐标分别为 1，，∵某个等腰三角形的一条边长为5，另两条边长恰巧是两个函数图象的交点横坐标，∴1＝，或5＝∴k＝2．如图，已知直线y＝ kx+b 与反比率函数y＝（x＞0）的图象交于A（1，4）、B（4，1）两点，与 x 轴交于 C点．（1）求一次函数与反比率函数的分析式；（2）依据图象直接回答：在第一象限内，当x取何值时，一次函数值大于反比率函数值？（ 3）点P 是y＝（＞ 0）图象上的一个动点，作⊥轴于Q点，连结，当x PQ x PCS△CPQ＝S△CAO时，求点 P 的坐标．解：（ 1）把A（ 1， 4）代入y＝（x＞0），得m＝1×4＝4，∴反比率函数为y＝；把（1， 4）和（ 4， 1）代入y ＝+b得，A B kx解得：，∴一次函数为y＝﹣ x+5．（2）依据图象得：当 1＜x＜ 4 时，一次函数值大于反比率函数值；（3）设P（m，），由一次函数y＝﹣ x+5可知 C（5，0），∴S＝＝10，△CAO∵S△CPQ＝ S△CAO，∴S△CPQ＝5，∴|5 ﹣m| ? ＝ 5，解得 m＝或m＝﹣（舍去），∴P（，）．3．如图，直线y ＝+ （＞0）与抛物线y＝2订交于点（，y1），（，y2）两点，kx b b x A x1 B x2与x 轴正半轴订交于点，于y轴订交于点，设△的面积为，且+8＝ 0．D C OCD S kS（1）求b的值．（2）求证：点（y1，y2）在反比率函数y＝的图象上．（1）解：∵直线y＝kx +b（b＞ 0）与x轴正半轴订交于点D，于y轴订交于点C，∴ D（0， b）， C（﹣，0）∴由题意得 OD＝b， OC＝﹣，∴ S＝∴k（?）+8＝0，∴b＝4（ b＞0）；（ 2）证明：∵，∴，∴ x1?x2＝﹣16∴，∴点（ y1， y2）在反比率函数y＝的图象上．AB⊥x 轴于点B，连结4．如图，双曲线y＝上的一点A（ m，n），此中n＞ m＞0，过点A作OA．（1）已知△AOB的面积是 3，求k的值；（2）将△AOB绕点A逆时针旋转 90°获得△ACD，且点O的对应点C恰巧落在该双曲线上，求的值．解：（ 1）∵双曲线y＝上的一点A（ m， n），过点 A作 AB⊥ x 轴于点 B，∴AB＝n， OB＝ m，又∵△ AOB的面积是3，∴mn＝3，∴mn＝6，∵点 A在双曲线 y＝上，∴k＝ mn＝6；（2）如图，延伸DC交x轴于E，由旋转可得△AOB≌△ACD，∠BAD＝90°，∴ AD＝AB＝ n， CD＝ OB＝ m，∠ADC＝90°，∵ AB⊥x 轴，∴∠ ABE＝90°，∴四边形 ABED是矩形，∴∠ DEB＝90°，∴ DE＝AB＝ n， CE＝ n﹣ m，OE＝ m+n，∴ C（ m+n， n﹣ m），∵点 A， C都在双曲线上，∴ mn＝（ m+n）（n﹣ m），2 2即 m+mn﹣ n ＝0，方程两边同时除以 n2，得+﹣1＝0，解得＝，∵ n＞ m＞0，∴＝．5．在平面直角坐标系xOy 中，对于点（，）和实数k（＞ 0），给出以下定义：当+ P a b k ka b＞ 0 时，将以点P为圆心，ka+b为半径的圆，称为点P 的 k 倍有关圆．比如，在如图 1 中，点P（ 1， 1）的 1 倍有关圆为以点P 为圆心，2为半径的圆．（ 1）在点P1（2，1）， P2（1，﹣3）中，存在1倍有关圆的点是P1，该点的 1 倍有关圆半径为3．（ 2）如图 2，若是x 轴正半轴上的动点，点N在第一象限内，且知足∠＝30°，判M MON断直线与点的倍有关圆的地点关系，并证明．ON M（ 3）如图 3，已知点 A 的（0，3）， B（1，m），反比率函数y＝的图象经过点B，直线l与直线AB对于y 轴对称．①若点C在直线l上，则点C的3 倍有关圆的半径为3．②点D在直线AB上，点D的倍有关圆的半径为R，若点D在运动过程中，以点D为圆心， hR为半径的圆与反比率函数y＝的图象最多有两个公共点，直接写出h 的最大值．解：（ 1）由题意知，k＝1，针对于 P1（2，1）， a＝2， b＝1，∴ka+b＝2+1＝3＞0，∴点 P1（2，1）的1倍有关圆为以点P 为圆心，3为半径的圆，针对于 P2（1，﹣3），a＝1， b＝﹣3，∴ ka+b＝1﹣3＝﹣2＜0，∴点 P2（1，﹣3）不存在1倍有关圆故答案为： P1；3；（ 2）如图 2 中，结论：直线ON与点 M的倍有关圆的地点关系是相切．原因：设点M的坐标为（ n，0），过 M点作 MP⊥ ON于点 P，∴点 M的倍有关圆半径为n．∴OM＝n．∵MP⊥ON，∴∠ OPM＝90°，∵∠ MON＝30°，∴ MP＝ OM＝ n，∴点 M的倍有关圆的半径为 MP，∴直线 ON与点 M的倍有关圆相切；（ 3）①如图 3 中，记直线AB与 x 轴的交点为E，直线 l 与 x 轴的交点为 F，∵ B（1， m）在反比率函数y＝的图象上，∴m＝6，∴B（1，6）∵ A（0，3），∴直线 AB的分析式为 y＝3x+3，令 y＝0，则3x+3＝0，∴x＝﹣1，∴E（﹣1，0），∵直线 l 是直线 AB对于 y 轴对称，∴点 F 与点 E 对于 y 轴对称，∴ F（1，0），∴直线 l 的分析式为y＝﹣3x+3，∵点 C在直线 l 上，∴设 C（ c，﹣3c+3），由题意知， k＝3，∴3c+（﹣ 3c+3）＝ 3，∴点 C的3倍有关圆的半径是3，故答案为： 3；②∵点 D在直线 AB上，设 D（ d，3d+3），由题意知， k＝，∴ R＝ d+（3d +3）＝d+3＞0，∴ d＞﹣．6．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+2与 x 轴、 y 轴分别交于A，B 两点，与反比率函数 y＝（ 1）求反比率函数的图象交于点y＝M，且 B为的表达式；AM的中点．（ 2）过 B 做x 轴的平行线，交反比率函数 y＝图象于点C，连结MC， AC．求△ AMC的面积．解：（ 1）过点M作MH⊥y轴，垂足为H．∵AB＝MB，∠ MHB＝∠ AOB，∠ MBH＝∠ABO，∴△ ABO≌△ MBH（ AAS），∴BH＝BO， MH＝AO，∵直线 y＝2x+2与 x 轴， y 轴分别交于A， B两点，∴当 y＝0时， x＝﹣1．当 x＝0时， y＝2．∴A（﹣1，0），B（0，2）．∴BH＝BO＝2， MH＝ AO＝1．∴M（1，4）．把 M（1，4）代入中，得k＝4．∴反比率函数的分析式为．（ 2）∵AB＝BM，∴S△ABC＝ S△BCM．∵点 C在反比率函数图象上，且BC∥ x 轴，∴点 C纵坐标为2．把 y＝2代入，得x＝2．∴点 C坐标为（2，2），∴，∴S△AMC＝4．7．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，点（0， 2），正方形的极点B在函数yA OABC＝（ k≠0，x＜0）的图象上，直线 l：y＝﹣ x+b 与函数 y＝（ k≠0，x＜0）的图象交于点 D，与 x 轴交于点 E．（1）求k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当一次函数y ＝﹣ + b 的图象经过点 A 时，直接写出△ 内的整点的坐标；xDCE②若△内的整点个数恰有6 个，联合图象，求b 的取值范围．DCE解：（ 1）依题意知： B （﹣ 2， 2），∴反比率函数分析式为y ＝﹣ ．∴ k 的值为﹣ 4；（ 2）①∵一次函数 y ＝﹣ x +b 的图象经过点 A ， ∴b ＝ 2，∴一次函数的分析式为y ＝﹣ x +2，解得，， ，∴D （1﹣ ，1+ ），E （ 2， 0），∴△ DCE 内的整点的坐标为（﹣ 1， 1），（﹣ 1， 2），（ 0，1）；②当 ＝2 时，△内有 3 个整点，当 ＝3 时，△ 内有 6 个整点，bDCEbDCE∴b 的取值范围是 2＜ ≤3．b8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数 y ＝ （ ＜0）的图象经过点 （﹣ 1， 6）．xA（ 1）求 k 的值；（ 2）已知点 （ ，﹣ 2 ）（ ＜ 0），过点P 作平行于 x 轴的直线，交直线 y ＝﹣ 2 ﹣ 2 于P a a a x点 M ，交函数 y ＝ （ x ＜0）的图象于点 N ．①当 a ＝﹣ 1 时，求线段 PM 和 PN 的长；②若 PN ≥ 2PM ，联合函数的图象，直接写出 a 的取值范围．解：（ 1）∵函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣1，6）．∴ k＝﹣1×6＝﹣6．（ 2）①当a＝﹣ 1 时，点P的坐标为（﹣1， 2）．∵直线 y＝﹣2x﹣2，反比率函数的分析式为y＝﹣，PN∥ x轴，∴把 y＝2代入 y＝﹣2x﹣2，求得 x＝﹣2，代入 y＝﹣求得x＝﹣3，∴ M（﹣2，2），N（﹣3，2），∴ PM＝1， PN＝2．②∵当 a＝﹣1或 a＝﹣3时， PN＝2PM，∴依据图象PN≥2PM， a 的取值范围为a≤﹣3或﹣1≤a＜0．9．如图，已知点D在反比率函数 y＝的图象上，过点D作 DB⊥ y 轴，垂足为B（0，3），直线 y＝ kx+b 经过点 A（5，0），与 y 轴交于点 C，且 BD＝ OC，OC： OA＝2：5．（ 1）求反比率函数y＝和一次函数y＝ kx+b 的表达式；（ 2）连结AD，求∠DAC的正弦值．解：（ 1）∵BD＝OC，OC：OA＝ 2： 5，点A（5， 0），点B（ 0， 3），∴OA＝5， OC＝ BD＝2， OB＝3，又∵点 C在 y 轴负半轴，点 D在第二象限，∴点 C的坐标为（0，﹣2），点 D的坐标为（﹣2， 3）．∵点 D（﹣2，3）在反比率函数的图象上，∴ a＝﹣2×3＝﹣6，∴反比率函数的表达式为．将 A（5，0）、 C（0，﹣2）代入 y＝ kx+b，得，解得：，∴一次函数的表达式为．（2）∵OA＝BC＝ 5，OC＝BD＝ 2，∠DBC＝∠AOC＝90°，∴△ BDC≌△ OCA（ SAS），∴∠ DCB＝∠ OAC， DC＝ CA，∴∠ DCA＝90°，∴△DCA是等腰直角三角形，∴∠ DAC＝45°，∴．10．如图，A为反比率函数y＝（此中x＞0）图象上的一点，在x 轴正半轴上有一点B，OB＝4．连结 OA、 AB，且 OA＝ AB＝2．（ 1）求k的值；（2）过点B作BC⊥OB，交反比率函数y＝（x＞ 0）的图象于点C．①连结 AC，求△ ABC的面积；②在图上连结OC交 AB于点 D，求的值．解：（ 1）过点A作AH⊥x轴，垂足为点H， AH交 OC于点 M，以下图．∵OA＝AB， AH⊥OB，∴ OH＝BH＝ OB＝2，∴AH＝＝＝6，∴点 A的坐标为（2，6）．∵A 为反比率函数 y＝图象上的一点，∴ k＝2×6＝12；（ 2）①∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比率函数y＝上，∴BC＝＝3．∵AH⊥OB，∴ AH∥BC，∴点 A到 BC的距离＝ BH＝2，∴S＝×3×2＝3；△ABC②∵ BC⊥ x 轴， OB＝4，点 C在反比率函数y＝上，∴BC＝＝3．∵AH∥BC， OH＝BH，∴ MH＝ BC＝，∴AM＝AH﹣ MH＝．∵AM∥BC，∴△ ADM∽△ BDC，∴＝．11．如图，反比率函数y ＝的图象与一次函数y＝+1 的图象订交于点（2， 3）和点．x A B（1）求反比率函数的分析式和点B 的坐标；（2）连结OA，OB，求△AOB的面积．（ 3）联合图象，请直接写出使反比率函数值小于一次函数值的自变量x 的取值范围．解：（ 1）把A（ 2， 3）代入得，∴ k＝6．∴反比率函数的分析式为．联立解得或，∴点 B的坐标为（﹣3，﹣2）．（2）设直线AB与y轴交于点C．可知 C点的坐标为（0，1），∴ OC＝1．∴．（ 3）当﹣ 3＜x＜ 0 或x＞2 时，反比率函数值小于一次函数值．12．如图1，直线y＝ x 与双曲线y＝交于A，B 两点，依据中心对称性能够得悉OA＝ OB．（ 1）如图2，直线y＝2x+1与双曲线y＝交于A， B 两点，与坐标轴交点C， D 两点，试证明：AC＝ BD；（ 2）如图3，直线y＝ ax+b 与双曲线y＝交于A， B 两点，与坐标轴交点C， D 两点，试问： AC＝ BD还建立吗？（ 3）假如直线y＝x+3与双曲线y＝交于 A，B两点，与坐标轴交点C，D两点，若DB+DC≤ 5，求出k 的取值范围．解：（ 1）如图 1 中，作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，连结EF，AF，BE．∵AE∥y 轴，∴S＝S＝，△AOE△ AEF∵BF∥x 轴，∴S＝S＝，△BEF△ OBF∴S＝S，△AEF△ BEF∴AB∥EF，∴四边形 ACFE，四边形 BDEF都是平行四边形，∴AC＝EF， BD＝EF，∴AC＝BD．（2）如图 1 中，如图 1 中，作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，连结EF，AF，BE．∵ AE∥y 轴，∴S△＝S△＝，AOE AEF∵BF∥x 轴，∴S△＝S△＝，BEF OBF∴S△＝S△，AEF BEF∴AB∥EF，∴四边形 ACFE，四边形 BDEF都是平行四边形，∴AC＝EF， BD＝EF，∴AC＝BD．（ 3）如图 2 中，∵直线 y ＝ x +3 与坐标轴交于C ，D ，∴ C （ 0， 3）， D （ 3， 0），∴ OC ＝OD ＝ 3， CD ＝ 3 ， ∵ CD +BD ≤ 5 ，∴ BD ≤2 ，当 BD ＝2 时，∵∠ CDO ＝ 45°， ∴ B （ 1， 2），此时 k ＝ 2，察看图象可知，当 k ≤ 2 时， CD +BD ≤ 5 ，13．综合与研究如图 1，平面直角坐标系中，直线l ： y＝ 2 +4 分别与 x 轴、 y 轴交于点 ， ．双曲线yxA B＝ （ x ＞ 0）与直线l 交于点（ ，6）．E n（ 1）求 k 的值；（ 2）在图 1 中以线段为边作矩形，使极点在第一象限、极点 D 在 y 轴负半轴ABABCDC上．线段交 x 轴于点 ．直接写出点， ， 的坐标；CDGA D G（ 3）如图 2，在（ 2）题的条件下，已知点 P 是双曲线 y ＝（ x ＞ 0）上的一个动点，过点P 作 x 轴的平行线分别交线段 ，于点，．AB CD M N请从以下 A ， B 两组题中任选一组题作答．我选择 ① 组题．A ．①当四边形 AGNM 的面积为 5 时，求点 P 的坐标；②在①的条件下，连结PB ， PD ．坐标平面内能否存在点 Q （不与点 P 重合），使以 B ， D ，Q 为极点的三角形与△ PBD 全等？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明原因．B ．①当四边形 AGNM 成为菱形时，求点 P 的坐标；②在①的条件下，连结PB， PD．坐标平面内能否存在点Q（不与点 P 重合），使以 B， D，Q为极点的三角形与△PBD全等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明原因．解：（ 1）由已知可得A（﹣2，0）， B（0，4）， E（1，6），∴ k＝6；（ 2）∵AB⊥BC，∴ BC的分析式为 y＝﹣x+4，联立，∴ C（2，3），∵CD＝AB＝2，∴ D（0，﹣1），∴ CD的分析式为 y＝2x﹣1，∴G（，0）；（3）A①设P（m，），∵ MN∥x 轴，∴M（﹣2，），N（+，），∴MN＝，∵四边形 AGNM的面积为5，∴×＝5，∴m＝3，∴P（3，2）；② Q（3，1）、 Q（﹣3，1）、 Q（﹣3，2）时 B， D， Q为极点的三角形与△PBD全等．B①∵四边形AGNM成为菱形，MN＝ AM，∴＝∴ m＝∴ P（，，）；② Q（﹣，）、Q（， 3﹣）、Q（﹣， 3﹣）时B， D， Q 为极点的三角形与△PBD全等．14．如图，直线AB与反比率函数y＝（x＞0）的图象交于点A，已知点A（3，4）， B（0，﹣ 2），点C是反比率函数y＝（ x＞0）的图象上的一个动点，过点C作x 轴的垂线，交直线 AB于点 D．（1）求反比率函数的分析式；（2），求△ ABC的面积；（3）在点C运动的过程中，能否存在点C，使BC＝AC？若存在，恳求出点C的坐标；若不存在，请说明原因．解：（ 1）∵反比率函数y＝（x＞0）的图象经过点A（3，4），∴k＝ xy＝3×4＝12，∴反比率函数的分析式为： y＝；（2）作AE⊥y轴于点E，交CD于点F，则 BE∥CD，∴＝＝，∵点 A的坐标为（3，4），∴EF＝1， FA＝2，∴点 F 的横坐标为1，∴点 C的坐标为（1，12），设直线 AB的分析式为： y＝ kx+b，则，解得，，∴直线 AB的分析式为： y＝2x﹣2，则点 D的坐标为：（1，0），即 CD＝12，∴△ ABC的面积＝× 12× 1+× 12× 2＝18；（ 3）不存在，原因以下：设点C的坐标为（ m，），∵BC＝AC，222+（2，∴ m+（+2）＝（ 3﹣m）﹣ 4）2整理得， 6m﹣ 21m+144＝ 0，△＝ 212﹣ 4× 6× 144＜0，则此方程无解，∴点 C不存在．15．如图，在平面直角坐标系第一象限中，已知点 A 坐标为（1，0），点 D坐标为（1， 3），点G 坐标为（ 1，1），动点E从点出发，以每秒 1 个单位长度的速度匀速向点D方向运G动，与此同时， x 轴上动点 B 从点 A出发，以同样的速度向右运动，两动点运动时间为t（ 0＜t＜ 2），以AD、AB分别为边作矩形ABCD，过点 E 作双曲线交线段BC于点 F，作 CD中点 M，连结 BE、 EF、 EM、 FM．（1）当t＝ 1 时，求点F的坐标．（2）若BE均分∠AEF，则t的值为多少？（3）若∠EMF为直角，则t的值为多少？解：（ 1）当t＝ 1 时，EG＝1×1＝1＝ AB∴点 E（1，2）设双曲线分析式：y＝∴ k＝1×2＝2∴双曲线分析式：y＝∵OB＝OA+AB＝2，∴当x＝2时，y＝1，∴点 F（2，1）（ 2）∵EG＝AB＝t，∴点 E（1，1+t ），点 B（1+t ，0）设双曲线分析式： y＝∴ m＝1+t∴双曲线分析式：y＝当 x＝1+t 时， y＝1∴点 F（1+t ，1）∵BE均分∠ AEF∴∠ AEB＝∠ BEF，∵AD∥BC∴∠ AEB＝∠ EBF＝∠ BEF∴EF＝BF＝1∴＝t ＝1∴t ＝（ 3）延伸EM，BC交于点N，∵EG＝AB＝ t ，∴点 E（1，1+t ），点 B（1+t ，0）∴DE＝AD﹣ AE＝3﹣（1+t ）＝2﹣ t ，设双曲线分析式： y＝∴n＝1+t∴双曲线分析式：y＝当 x＝1+t 时， y＝1∴点 F（1+t ，1）∵AD∥BC，∴∠ ADC＝∠ NCD，∠ DEM＝∠ MNC，且 DM＝ CM，∴△ DEM≌△ CNM（ AAS）∴EM＝MN， DE＝CN＝2﹣ t ，∵ CF＝BC﹣ BF＝2∴NF＝CF+CN＝2﹣ t +2＝4﹣ t ，∵∠ EMF为直角，∴∠ EMF＝∠ NMF＝90°，且 EM＝ MN， MF＝ MF，∴△ EMF≌△ NMF（ SAS），∴EF＝NF，∴t ＝4﹣ t∴ t ＝4﹣4。
重难点05 反比例函数与一次函数的综合(解析版)-2024中考数学查缺补漏
重难点05反比例函数与一次函数的综合考点一：一次函数一次函数在中考数学中主要考察其图象、性质以及其简单应用，考察题型较为灵活。
但是一张中考数学与试卷中，单独考察一次函数的题目占比并不是很大，更多的是考察一次函数与其他几何知识的结合。
占比也比较大，需要对该考点掌握的更为熟练。
题型01一次函数图象上点的坐标特征解题大招01：一次函数解析求法是待定系数法，即：①设，②代，③解，④写；解题大招02：当说明“点在函数图象上”时，立刻想“点的坐标符合其解析式”；解题大招03：一次函数的k决定直线的增减性，b决定直线与y轴的交点纵坐标；解题大招04：一次函数图象平移规律：左加右减（x），上加下减（整体）；【中考真题练】1．（2023•临沂）对于某个一次函数y＝kx+b（k≠0），根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（）A．k＞0B．kb＜0C．k+b＞0D．k＝﹣b【分析】根据一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征判断即可．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象不经过第二象限，∴b≤0，又∵函数图象经过点（2，0），∴图象经过第一、三、四象限，∴k＞0，k＝﹣b，∴kb＜0，∴k+b＝b＜0，∴错误的是k+b＞0．故选：C．2．（2023•雅安）在平面直角坐标系中，将函数y＝x的图象绕坐标原点逆时针旋转90°，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（）A．y＝﹣x+1B．y＝x+1C．y＝﹣x﹣1D．y＝x﹣1【分析】找出y＝x上一个点坐标，进而旋转90°后对应点的坐标，即可得到旋转后一次函数解析式，再根据上加下减的平移规则即可求得直线的函数表达式为y＝﹣x+1．【解答】解：在函数y＝x的图象上取点A（1，1），绕原点逆时针方向旋转90°后得到对应的点的坐标A′（﹣1，1），则旋转后的直线的解析式为y＝﹣x，再向上平移1个单位长度，得到y＝﹣x+1．故选：A．3．（2023•荆州）如图，直线y＝﹣x+3分别与x轴，y轴交于点A，B，将△OAB绕着点A顺时针旋转90°得到△CAD，则点B的对应点D的坐标是（）A．（2，5）B．（3，5）C．（5，2）D．（，2）【分析】先根据坐标轴上点的坐标特征求出B点坐标为（0，3），A点坐标为（2，0），则OA＝2，OB ＝3，再根据旋转的性质得∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝2，CD＝OB＝3，然后根据点的坐标的确定方法即可得到点D的坐标．【解答】解：当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，则B点坐标为（0，3）；当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝2，则A点坐标为（2，0），则OA＝2，OB＝3，∵△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△ACD，∴∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝2，CD＝OB＝3，即AC⊥x轴，CD∥x轴，∴点D的坐标为（5，2）．故选：C．4．（2023•无锡）一次函数y＝x﹣2的图象与坐标轴围成的三角形的面积是2．【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出一次函数y＝x﹣2的图象与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式，即可求出一次函数y＝x﹣2的图象与坐标轴围成的三角形的面积．【解答】解：当x＝0时，y＝1×0﹣2＝﹣2，∴一次函数y＝x﹣2的图象与y轴交于点（0，﹣2）；当y＝0时，x﹣2＝0，解得：x＝2，∴一次函数y＝x﹣2的图象与x轴交于点（2，0）．∴一次函数y＝x﹣2的图象与坐标轴围成的三角形的面积是×|﹣2|×2＝2．故答案为：2．5．（2023•苏州）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（1，3）和（﹣1，2），则k2﹣b2＝﹣6．【分析】利用待定系数法即可解得．【解答】解：由题意得，将点（1，3）和（﹣1，2）代入y＝kx+b得：，解得：，∴，另一种解法：由题意得，将点（1，3）和（﹣1，2）代入y＝kx+b得：，∴k2﹣b2＝（k+b）（k﹣b）＝﹣（k+b）（﹣k+b）＝﹣3×2＝﹣6．故答案为：﹣6．6．（2023•南充）如图，直线y＝kx﹣2k+3（k为常数，k＜0）与x，y轴分别交于点A，B，则+的值是1．【分析】根据一次函数的解析式，可以求得点A和点B的坐标，然后即可计算出+的值．【解答】解：∵直线y＝kx﹣2k+3，∴当x＝0时，y＝﹣2k+3；当y＝0时，x＝；∴点A的坐标为（，0），点B的坐标为（0，﹣2k+3），∴OA＝，OB＝﹣2k+3，∴+＝+＝﹣＝＝1，故答案为：1．7．（2023•青海）如图是平面直角坐标系中的一组直线，按此规律推断，第5条直线与x轴交点的横坐标是10．【分析】根据每条直线与x轴交点的横坐标解答即可．【解答】解：由题知，这组直线是平行直线，每条直线与x轴交点的横坐标依次是2，4，6...，∴第5条直线与x轴的交点的横坐标是10．故答案为：10．8．（2023•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在直线l1：y＝x上，顶点B在x轴上，AB垂直x轴，且OB＝2，顶点C在直线l2：y＝x上，BC⊥l2；过点A作直线l2的垂线，垂足为C1，交x轴于B1，过点B1作A1B1垂直x轴，交l1于点A1，连接A1C1，得到第一个△A1B1C1；过点A1作直线l2的垂线，垂足为C2，交x轴于B2，过点B2作A2B2垂直x轴，交l1于点A2，连接A2C2，得到第二个△A2B2C2；如此下去，…，则△A2023B2023C2023的面积是24046．＝，证明△ABC∽△A1B1C1，【分析】解直角三角形得出∠AOB＝30°，∠BOC＝60°，求出S△ABC△ABC∽△A 2B2C2，得出＝4S△ABC，＝42•S△ABC＝（22）2•S△ABC，总结得出＝（2n）2S △ABC＝22n S△ABC，从而得出＝22×2023×＝24046．【解答】解：∵OB＝2，∴B（2，0），∵AB⊥x轴，∴点A的横坐标为2，∵直线l1：y＝x，∴点A的纵坐标为＝，∴∠AOB＝，∴∠AOB＝30°，∵直线l2：y＝x，∴C（x C，），∴＝，∴∠BOC＝60°，∴OC＝，∴C点的横坐标为：＝，＝＝，∴S△ABC∵BC⊥l2，B1C1⊥l2，B2C2⊥l2，∴BC∥B1C1∥B2C2，∴∠C1B1O＝∠C2B2O＝∠CBO＝30°，∴∠C1B1O＝∠C2B2O＝∠CBO＝∠AOB，∴AO＝AB1，A1O＝A1B2，∵AB⊥x轴，A1B1⊥x轴，∴OB＝，OB1＝，∵AB⊥x轴，A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，∴AB∥A1B1∥A2B2，∴，，∵BC∥B1C1∥B2C2，∴，，∴，∵∠ABC＝∠A1B1C1＝90°﹣30°＝60°，∴△ABC∽△A1B1C1，同理△ABC∽△A2B2C2，，＝42•S△ABC＝（22）2•S△ABC，∴＝4S△ABC∴＝（2n）2S △ABC＝22n S△ABC，＝22×2023×＝24046．故答案为：24046．9．（2023•西宁）一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴交于点A，且经过点B（m，4）．（1）求点A和点B的坐标；（2）直接在图的平面直角坐标系中画出一次函数y＝2x﹣4的图象；（3）点P在x轴的正半轴上，若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．【分析】（1）把y＝0和4分别代入函数解析式，即可求得相应的x和m的值，即可得点A、B的坐标；（2）利用描点法画图象即可；（3）根据等腰三角形的性质即可得出答案．【解答】解：（1）∵一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴交于点A，∴令y＝0，2x﹣4＝0，解得x＝2，∴点A的坐标是（2，0），∵点B（m，4）在一次函数y＝2x﹣4的图象上，把B（m，4）代入y＝2x﹣4，得2m﹣4＝4，∴m＝4，∴点B的坐标是（4，4）；（2）图象过点A的坐标是（2，0），点B的坐标是（4，4），如图：（3）∵A（2，0），B（4，4），∴AB＝＝2，∵点P在x轴的正半轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，∴P的坐标为（6，0）或（2+2，0）．【中考模拟练】1．（2024•长丰县模拟）如图，直线与坐标轴交于点A、B，过点B作AB的垂线交x轴于点C，则点C的坐标为（）A．B．（﹣6，0）C．D．【分析】直线与坐标轴交于点A、B，得到，结合CB⊥AB，得到∠ACB＝∠ABO，利用正切函数计算OC即可．【解答】解：∵直线与坐标轴交于点A、B，∴，∴，∴，∵CB⊥AB，CO⊥OB，∴∠ACB＝90°﹣∠BAO＝∠ABO，∴，解得，∴，故选：A．2．（2024•静安区二模）一次函数y＝kx+b中，如果k＜0，b≥0，那么该函数的图象一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据一次函数图象与系数的关系进行判断即可．【解答】解：当一次函数y＝kx+b中k＜0，b≥0，该函数的图象一定不经过第三象限，故选：C．3．（2024•太白县一模）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣5x+m（m是常数）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＞x2，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．y1≥y2【分析】由k＝﹣5＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合x1＞x2，即可得出y1＜y2．【解答】解：∵k＝﹣5＜0，∴y随x的增大而减小，又∵点A（x1，y1），B（x2，y2）都在一次函数y＝﹣5x+m（m是常数）的图象上，且x1＞x2，∴y1＜y2．故选：B．4．（2024•衡南县模拟）已知：如图，直线y＝﹣2x+4分别与x轴，y轴交于A、B两点，点P（1，0），若在直线AB上取一点M，在y轴上取一点N，连接MN、MP、NP，则MN+MP+NP的最小值是（）A．3B．C．D．【分析】作点P关于y轴的对称点E，点P关于AB的对称点F，连接EN，EM，EF，FM，FP，设FP 交AB于C，过点F作FD⊥x轴于D，则EN＝NP，FM＝MP，FP⊥AB，OE＝OP，FC＝PC，MN+MP+NP ＝MN+FM+EN，根据“两点之间线段最短”得MN+FM+EN≥EF，则MN+MP+NP≥EF，因此MN+MP+NP 的最小值为线段EF的长；先求出点A（2，0），点B（0，4），则OA＝2，OB＝4，再由点P（1，0）得OP＝1，则OE＝OP＝1，PA＝OA﹣OP＝1，再求出AB＝，证△PAC∽△BAO得PC：OB＝PA：AB，由此得PC＝，则PF＝，再证△PFD∽△BAO得FD：OA＝PD：OB＝PF：AB，由此可得FD＝，PD＝，则ED＝OE+OP+PD＝，然后在Rt△EFD中由勾股定理求出EF即可得MN+MP+NP的最小值．【解答】解：作点P关于y轴的对称点E，点P关于AB的对称点F，连接EN，EM，EF，FM，FP，设FP交AB于C，过点F作FD⊥x轴于D，如图所示：则EN＝NP，FM＝MP，FP⊥AB，OE＝OP，FC＝PC，∴MN+MP+NP＝MN+FM+EN，根据“两点之间线段最短”得MN+FM+EN≥EF，∴MN+MP+NP≥EF，∴MN+MP+NP的最小值为线段EF的长，对于y＝﹣2x+4，当x＝0时，y＝4，当x＝0时，x＝2，∴点A（2，0），点B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，又∵点P（1，0），∴OP＝1，∴OE＝OP＝1，PA＝OA﹣OP＝2﹣1＝1，在Rt△OAB中，OA＝2，OB＝4，由勾股定理得：AB＝＝，∵FP⊥AB，FD⊥x轴，∠BOA＝90°，∴∠PCA＝∠BOA＝∠PDF＝90°，又∵∠PAC＝∠BAO，∴△PAC∽△BAO，∴PC：OB＝PA：AB，∠APC＝∠ABO，即，∴PC＝，∴FC＝PC＝，∴PF＝FC+PC＝，∵∠APC＝∠ABO，∠BOA＝∠PDF＝90°，∵△PFD∽△BAO，∴FD：OA＝PD：OB＝PF：AB，即，∴FD＝，PD＝，∴ED＝OE+OP+PD＝1+1+＝，在Rt△EFD中，ED＝，FD＝，由勾股定理得：EF＝＝．故选：C．5．（2024•普陀区二模）已知直线y＝2x+4与直线y＝1相交于点A，那么点A的横坐标是﹣．【分析】代入y＝1，求出x的值即可．【解答】解：将y＝1代入y＝2x+4得：1＝2x+4，解得：x＝﹣，∴点A的横坐标是﹣．故答案为：﹣．6．（2023•郸城县三模）某班数学兴趣小组对函数y＝﹣2|x﹣1|+3的图象与性质进行了探究，探究过程如下：（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如表：x…﹣3﹣2﹣1012345…y＝﹣2|x﹣…﹣5m﹣1131n﹣3﹣5…1|+3填空：m＝﹣3，n＝﹣1；（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象；（3）观察函数图象，写出该函数的两条性质：①该函数图象是轴对称图形；②该函数有最大值3（答案不唯一）；（4）点A（a，b）是该函数图象上一点，现已知点A在直线y＝2的下方，且b＞﹣2，那么a的取值范围是﹣1.5＜a＜0.5或1.5＜a＜3.5．【分析】（1）分别求出x＝﹣2和x＝3时对应的y值即可；（2）根据表中数据，描点后画出函数图象即可；（3）根据函数图象，结合增减性和最值写出性质；（4）分别求得y＝2与y＝﹣2时的自变量的值，进而根据函数图象即可求解．【解答】解：（1）当x＝﹣2时，m＝﹣2|﹣2﹣1|+3＝﹣3，当x＝3时，n＝﹣2|3﹣1|+3＝﹣1，故答案为：﹣3，﹣1；（2）根据描点连线，如图所示．（3）观察函数图象，写出该函数的两条性质：①该函数图象是轴对称图形；②该函数有最大值3（答案不唯一）．故答案为：①该函数图象是轴对称图形；②该函数有最大值3（答案不唯一）；（4）当y＝2时，即﹣2|x﹣1|+3＝2，解得：x＝0.5或x＝1.5，当y＝﹣2时，﹣2|x﹣1|+3＝﹣2解得x＝﹣1.5或x＝3.5，根据函数图象可得，点A在直线y＝2的下方，且b＞﹣2，∴﹣1.5＜a＜0.5或1.5＜a＜3.5．7．（2023•太平区二模）小明在学习一次函数后，对形如y＝k（x﹣m）+n（其中k，m，n为常数，且k≠0）的一次函数图象和性质进行了探究，过程如下：【特例探究】（1）如图所示，小明分别画出了函数y＝（x﹣2）+1，y＝﹣（x﹣2）+1，y＝2（x﹣2）+1的图象（网格中每个小方格边长为1），请你根据列表、描点、连线的步骤在图中画出函数y＝﹣2（x﹣2）+1的图象．【深入探究】（2）通过对上述几个函数图象的观察、思考，你发现y＝k（x﹣2）+1（k为常数，且k≠0）的图象一定会经过的点的坐标是（2，1）．归纳：函数y＝k（x﹣m）+n（其中k、m、n为常数，且k≠0）的图象一定会经过的点的坐标是（m，n）．【实践运用】（3）已知一次函数y＝k（x+2）+3（k为常数，且k≠0）的图象一定过点N，且与y轴相交于点A，若△OAN的面积为4，求k的值．【分析】（1）根据列表、描点、连线作图．（2）将x＝2代入解析式求解．（3）将x＝m代入解析式求解．（4）根据一次函数解析式求出点N及点A坐标，进而求解．【解答】解：（1）列表：x﹣10123 y﹣5﹣3﹣113如图：（2）将x＝2代入y＝k（x﹣2）+1得y＝1，∴函数y＝k（x﹣2）+1的图象一定经过（2，1）．故答案为：（2，1）．（3）将x＝m代入y＝k（x﹣m）+n得y＝n，∴函数y＝k（x﹣m）+n的图象一定经过（m，n），故答案为：（m，n）．（4）将x＝﹣2代入y＝k（x+2）+3得y＝3，∴点N坐标为（﹣2，3），将x＝0代入y＝k（x+2）+3得y＝2k+3，∴点A坐标为（0，2k+3），∴OA＝|2k+3|，∴S△OAN＝OA•|x N|＝OA＝|2k+3|＝4，解得k＝﹣或k＝．8．（2023•花都区一模）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，0），交y轴于点B．（1）k的值是﹣；（2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上．①如图，点D的坐标为（6，0），点E的坐标为（0，1），若四边形OECD的面积是9，求点C的坐标；②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，若四边形OECD的周长是10，请直接写出点C的坐标．【分析】（1）根据点A的坐标，利用待定系数法可求出k值；（2）①利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点C的坐标，由四边形OECD的面积是9，得出S梯形CEOM+S△CDM＝（1﹣m+4）•m+（﹣m+4）•（6﹣m）＝9，解方程求得m的值，即可求得C的坐标；②由题意可知2（m﹣m+4）＝10，解方程求得m的值，即可求得C的坐标【解答】解：（1）将A（8，0）代入y＝kx+4，得：0＝8k+4，解得：k＝﹣，故答案为：﹣；（2）①如图1，由（1）可知直线AB的解析式为y＝﹣x+4．∴设C（m，﹣m+4）（0＜m＜8），∵点D的坐标为（6，0），点E的坐标为（0，1），∴OD＝6，OE＝1，∴OM＝m，CM＝﹣m+4，∵四边形OECD的面积是9，+S△CDM＝（1﹣m+4）•m+（﹣m+4）•（6﹣m）＝9，∴S梯形CEOM整理得2m＝6，解得m＝3，∴点C的坐标为（3，）；②∵CE平行于x轴，CD平行于y轴，∴四边形CEOD是矩形，∵四边形OECD的周长是10，∴2（m﹣m+4）＝10或2（﹣m+4﹣m）＝10，解得m＝2或m＝6，点C的坐标为（2，3）或（﹣，）．题型02一次函数的应用解题大招01：常用等量关系：总利润=单件利润×数量解题大招02：利用函数的增减性得到最大利润解题大招03：和函数图象结合时，注意图象对应的“起点”、“拐点”、“终点”的意义【中考真题练】1．（2023•山西）一种弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为12cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm，在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式为（）A．y＝12﹣0.5x B．y＝12+0.5x C．y＝10+0.5x D．y＝0.5x【分析】根据不挂物体时弹簧的长为12cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm，可得在弹性限度内，y 与x的函数关系式．【解答】解：根据题意，得y＝12+0.5x（0≤x≤10），故选：B．2．（2023•聊城）甲乙两地相距a千米，小亮8：00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为（）A．8：28B．8：30C．8：32D．8：35【分析】设小亮与小莹相遇时，小亮乘车行驶了x小时，因为小亮、小莹乘车行驶的速度分别是a千米/时，2a千米/时，即可得到方程：ax+2a（x﹣）＝a，求出x的值，即可解决问题．【解答】解：设小亮与小莹相遇时，小亮乘车行驶了x小时，∵小亮、小莹乘车行驶完全程用的时间分别是小时，小时，∴小亮、小莹乘车行驶的速度分别是a千米/时，2a千米/时，由题意得：ax+2a（x﹣）＝a，∴x＝，小时＝28分钟，∴小亮与小莹相遇的时刻为8：28．故选：A．3．（2023•郴州）第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午9：00开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离s与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是（）A．途中修车花了30minB．修车之前的平均速度是500m/minC．车修好后的平均速度是80m/minD．车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍【分析】根据图象即可判断A选项，根据“路程÷时间＝速度”即可判断B和C选项，进一步可判断D 选项．【解答】解：由图象可知，途中修车时间是9：10到9：30共花了20min，故A不符合题意；修车之前的平均速度是6000÷10＝600（m/min），故B不符合题意；车修好后的平均速度是（13200﹣6000）÷8＝900（m/min），故C不符合题意；900÷600＝1.5，∴车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍，故D符合题意，故选：D．4．（2023•朝阳）甲乙两人骑自行车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到B地，乙匀速骑行到A地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离y（米）和骑行的时间x（秒）之间的函数关系图象如图所示，现给出下列结论：①a＝450；②b＝150；③甲的速度为10米/秒；④当甲、乙相距50米时，甲出发了55秒或65秒．其中正确的结论有（）A．①②B．①③C．②④D．③④【分析】根据函数图象中的数据，可以计算出甲和乙的速度，从而可以判断③；然后根据甲的速度可以计算出a的值，即可判断①；根据乙的速度，可以计算出b的值，可以判断②；根据甲和乙相遇前和相遇后相距50米，可以计算出甲出发的时间，即可判断④．【解答】解：由图可得，甲的速度为：600÷100＝6（米/秒），故③错误，不符合题意；乙的速度为：600÷60﹣6＝4（米/秒），a＝4×100＝400，故①错误，不符合题意；b＝600÷4＝150，故②正确，符合题意；设当甲、乙相距50米时，甲出发了m秒，两人相遇前：（600﹣50）＝m（6+4），解得m＝55；两人相遇后：（600+50）＝m（6+4），解得m＝65；故④正确，符合题意；故选：C．5．（2023•镇江）小明从家出发到商场购物后返回，如图表示的是小明离家的路程s（m）与时间t（min）之间的函数关系，已知小明购物用时30min，返回速度是去商场的速度的1.2倍，则a的值为（）A．46B．48C．50D．52【分析】设小明家距离商场为s m，先根据题意求出小明去商场的所用时间，再根据速度＝得出小明去商场时的速度速度，，再根据返回速度是去商场的速度的1.2倍，求出小明返回时所用时间即可．【解答】解：设小明家距离商场为s m，∵小明购物用时30min，∴小明从家到商场所用时间为42﹣30＝12（min），∴小明从家到商场的速度为（m/min），∵小明返回速度是去商场的速度的1.2倍，∴小明返回所用时间为＝10（min），∴a＝42+10＝52，故选：D．6．（2023•威海）一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示．当0≤x≤0.5时，y与x之间的函数表达式为y＝60x；当0.5≤x≤2时，y与x之间的函数表达式为y＝80x﹣10．【分析】根据当0≤x≤0.5时，y与x之间的函数表达式为y＝60x，可得当x＝0.5时，y＝30，设当0.5≤x≤2时，y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，用待定系数法可得答案．【解答】解：∵当0≤x≤0.5时，y与x之间的函数表达式为y＝60x，∴当x＝0.5时，y＝30，设当0.5≤x≤2时，y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，把（0.5，30），（2，150）代入得：，解得，故答案为：y＝80x﹣10．7．（2023•恩施州）为积极响应州政府“悦享成长•书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同．（1）男装、女装的单价各是多少？（2）如果参加活动的男生人数不超过女生人数的，购买服装的总费用不超过17000元，那么学校有几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？【分析】（1）设男装单价为x元，女装单价为y元，根据题意列方程组求解即可；（2）设参加活动的女生有a人，则男生有（150﹣a）人，列不等式组找到a的取值范围，再设总费用为w元，得到w与a的关系，根据一次函数的性质可得当a取最小值时w有最小值，据此求解即可．【解答】解：（1）设男装单价为x元，女装单价为y元，根据题意得：，解得：，答：男装单价为100元，女装单价为120元．（2）设参加活动的女生有a人，则男生有（150﹣a）人，根据题意可得，解得：90≤a≤100，∵a为整数，∴a可取90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100，一共11个数，故一共有11种方案，设总费用为w元，则w＝120a+100（150﹣a）＝15000+20a，∵20＞0，∴当a＝90时，w有最小值，最小值为15000+20×90＝16800（元），此时，150﹣a＝60（套），答：当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元．8．（2023•青岛）某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示：品名A B进价（元/件）4560售价（元/件）6690（1）第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？（2）受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元．①请求出W与m的函数关系式；②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由．【分析】（1）根据条件，购进AT恤衫x件，购进BT恤衫y件，列出方程组解出x、y值，最后求出获利数；（2）①根据条件，可列W＝（66﹣45﹣5）m+（90﹣60﹣10）（150﹣m），整理即可；②由①可知，W＝﹣4m+3000（150≥m≥50），一次函数W随m的增大而减小，当m＝50时，W取最大值计算出来和第一次获利比较即可．【解答】解：（1）设购进AT恤衫x件，购进BT恤衫y件，根据题意列出方程组为：，解得，∴全部售完获利＝（66﹣45）×80+（90﹣60）×40＝1680+1200＝2880（元）．（2）①设第二次购进A种T恤衫m件，则购进B种T恤衫（150﹣m）件，根据题意150﹣m≤2m，即m≥50，∴W＝（66﹣45﹣5）m+（90﹣60﹣10）（150﹣m）＝﹣4m+3000（150≥m≥50），②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由如下：由①可知，W＝﹣4m+3000（150≥m≥50），∵﹣4＜0，一次函数W随m的增大而减小，＝﹣4×50+3000＝2800（元），∴当m＝50时，W取最大值，W大∵2800＜2880，∴服装店第二次获利不能超过第一次获利．9．（2023•黑龙江）已知甲，乙两地相距480km，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，货车继续出发h后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：（1）图中a的值是120；（2）求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式；（3）直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距12km．【分析】（1）由图象知，C（4，480），设直线OC的解析式为y＝kx，把C（4，480）代入，解方程即可得到结论；（2）由停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，可得此时出租车距离乙地为120+120＝240（km），把y＝240代入y＝120x求得货车装完货物时，x＝2，B（2，120），根据货车继续出发h后与出租车相遇，可得×*出租车的速度+货车的速度）＝120，根据直线OC的解析式为y＝120x，可得出租车的速度为120km/h，于是得到相遇时，货车的速度为120﹣120＝60（km/h）故可设直线BG 的解析式为y＝60x+b，将B（2，120）代入求得b＝0，于是得到直线BG的解析式为y＝60x，故货车装完货物后驶往甲地的过程中，于是得到结论；（3）把y＝480代入y＝60x，得到G（8，480），求得F（8，0），根据出租车到达乙地后立即按原路返回，经过比货车早15分钟到达甲地，可得EF＝，设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t 小时，与出租车相距12km，此时货车距离乙地为60t km，出租车距离乙地为128（t﹣4）＝（128t﹣512）km，①出租车和货车第二次相遇前，相距12km时，②出租车和货车第二次相遇后，相距12km时，列方程即可得到结论．【解答】解：（1）由图象知，C（4，480），设直线OC的解析式为y＝kx，把C（4，480）代入得，480＝4k，解得k＝120，∴直线OC的解析式为y＝120x；把（1，a）代入y＝120x，得a＝120，故答案为：120；（2）由停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，货车行驶时间为小时，∵a＝120（km），∴货车卸货时与乙地相距120km，∴出租车距离乙地为120+120＝240（km），∴出租车距离甲地为480﹣240＝240（km），把y＝240代入y＝120x得，240＝120x，解得x＝2，∴货车装完货物时，x＝2，B（2，120），根据货车继续出发h后与出租车相遇，可得×（出租车的速度+货车的速度）＝120，根据直线OC的解析式为y＝120x（0≤x≤4），可得出租车的速度为120km/h，∴相遇时，货车的速度为120﹣120＝60（km/h），故可设直线BG的解析式为y＝60x+b，将B（2，120）代入y＝60x+b，可得120＝120+b，解得b＝0，∴直线BG的解析式为y＝60x（2≤x≤8），故货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式为y＝60x，（3）把y＝480代入y＝60x，可得480＝60x，解得x＝8，∴G（8，480），∴F（8，0），根据出租车到达乙地后立即按原路返回，经过比货车早15分钟到达甲地，可得EF＝，∴，∴出租车返回后的速度为480÷（）＝128km/h，设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t小时，与出租车相距12km，此时货车距离乙地为60t km，出租车距离乙地为128（t﹣4）＝（128t﹣512）km，①出租车和货车第二次相遇前，相距12km时，可得60t1﹣（128t1﹣512）＝12，解得t1＝；②出租车和货车第二次相遇后，相距12km时，可得（128t2﹣512）﹣60t2＝12，解得t2＝，故在出租车返回的行驶过程中，货车出发h或h与出租车相距12km．【中考模拟练】1．（2024•兰山区校级模拟）甲、乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品．端午节期间两家商场都让利酬宾，两家商场的购物金额y甲、y乙（单位：元）与商品原价x（单位：元）之间的关系如图所示，张阿姨计划在其中一家商场购原价为620元的商品，从省钱的角度你建议选择（）A．甲B．乙C．甲、乙均可D．不确定【分析】利用待定系数法即可求出y甲，y乙关于x的函数关系式，将x＝620代入计算即可作出判断．【解答】解：设y甲＝kx，把（1200，960）代入，得1200k＝960，解得k＝0.8，所以y甲＝0.8x，当0＜x＜200时，设y乙＝ax，把（200，200）代入，得200a＝200，解得a＝1，所以y乙＝x；当x≥200时，设y乙＝mx+n，把（1200，900），（200，200）代入，得，解得．所以y乙＝，x＝620时，y甲＝0.8×620＝496，y乙＝0.7×620+60＝494，494＜496，∴从省钱的角度建议选择乙商场，故选：B．2．（2024•锡山区一模）明明和亮亮都在同一直道A、B两地间做匀速往返走锻炼．明明的速度小于亮亮的速度（忽略掉头等时间）．明明从A地出发，同时亮亮从B地出发．图中的折线段表示从开始到第二次相遇止，两人之间的距离y（米）与行走时间x（分）的函数关系的图象，则下列结论错误的是（）A．a＝2100B．b＝2000C．c＝20D．【分析】由两次相遇知两人共走了（3×2800）米，且速度不变，得c＝60÷3＝20（分）．故C选项不符合题意；由拐点得此时亮亮到达A地，故亮亮的速度为2800÷35＝80（米/分），由速度和为2800÷20＝140（米/分），得明明的速度为60米/分，因此a＝（80+60）×（35﹣20）＝2100，故A选项不符合题意；在35～d时，两人相向而行，速度之差为80﹣60＝20（米/分），最后一段两人相对而行，速度之和为80+60＝140（米/分），第二次相遇时距离A地距离为60×80﹣2800＝2000（米），因此b＝2000，故B 选项符合题意；最后一段两人相对而行，140（60﹣d）＝2000，解得d＝，故D选项符合题意．【解答】解：∵第一次相遇两人共走了2800米，第二次相遇两人共走了（3×2800）米，且二者速度不变，∴c＝60÷3＝20（分）．故C选项不符合题意；∵x＝35时，出现拐点，∴此时亮亮到达A地，路程为2800米，亮亮的速度为2800÷35＝80（米/分），两人的速度和为2800÷20＝140（米/分），明明的速度为140﹣80＝60（米/分），∴a＝（80+60）×（35﹣20）＝2100；故A选项不符合题意；在35～d时，两人相向而行，速度之差为80﹣60＝20（米/分），最后一段两人相对而行，速度之和为80+60＝140（米/分），第二次相遇时距离A地距离为60×80﹣2800＝2000（米），所以b＝2000．故B选项不符合题意；最后一段两人相对而行，140（60﹣d）＝2000，解得d＝，故D选项符合题意；故选：D．3．（2024•中山市校级模拟）我市供暖改造工程，现甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖两天后，每天挖50米；③当x＝4时，甲、乙两队所挖管道长度相同；④甲队比乙队提前2天完成任务．正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】先建立函数关系式，再根据题意逐个判断即可．【解答】解：设y＝kx，代入点（6，600）得：600＝6k，甲∴k＝100．∴y＝100x，＝kx，代入点（2，300）得：300＝2k．当0≤x≤2时，设y乙∴k＝150，＝150x，∴y乙当x≥2时，设y＝kx+b，代入点（2，300），（6，500）得：乙解得：k＝50，b＝200．＝50x+200．∴y乙∵600÷6＝100米/天，∴①正确．∵（500﹣300）÷（6﹣2）＝50，∴②正确．＝100x＝400（米）．∵当x＝4时，y甲y乙＝50×4+200＝400（米）．∴③正确．＝100x＝600时，x＝6．当y甲＝50x+200＝600时，x＝8，当y乙8﹣6＝2，∴④正确．故选：D．4．（2024•市中区一模）A，B两地相距60km，甲、乙两人骑车分别从A，B两地同时出发，相向而行，匀速行驶．乙在途中休息了0.5h后按原速度继续前进．两人到A地的距离s（km）和时间t（h）的关系如图所示，则出发 2.1h后，两人相遇．【分析】根据图形求出两人的速度，设出发x小时后两人相遇，再根据两人相遇时路程之和等于60即可求解．【解答】解：根据图像：乙的速度为：（60﹣40）÷1＝20（km/h），甲的速度为：（20﹣0）÷1.5＝（km/h），设出发x小时后两人相遇，根据题意得20（x﹣0.5）+x＝60，解得x＝2.1，。
中考数学专题训练《一次函数与反比例函数》含答案解析
函数、一次函数与反比例函数一、选择题1．在函数中，自变量x的取值范围是（）A．x＜B．x≠﹣C．x≠D．x＞2．下列函数中，自变量x的取值范围是x≥3的是（）A．y=B．y= C．y=x﹣3 D．y=3．如果反比例函数的图象经过点（﹣2，﹣3），那么k的值为（）A．B．C．﹣6 D．64．点M （﹣2，3）在曲线y=上，则下列点一定在该曲线上的是（）A．（2，3 B．（﹣2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（3，2）5．已知反比例函数y=的图象经过点P（﹣1，2），则这个函数的图象位于（）A．第二，三象限B．第一，三象限C．第三，四象限D．第二，四象限6．已知点P（m，n）在某反比例函数的图象上，则此图象上还有点（）A．（0，0）B．（﹣m，﹣n）C．（m，﹣n） D．（﹣m，n）7．若一次函数y=kx+b（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则（）A．k＜0 B．k＞0 C．b＜0 D．b＞08．如果函数y=ax+b（a＜0，b＜0）和y=kx（k＞0）的图象交于点P，那么点P 应该位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限9．关于x的一次函数y=kx+k2+1的图象可能正确的是（）A．B．C．D．10．已知函数y=kx+b的图象如图，则y=2kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．12．一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的长度为y（cm）与燃烧时间x（小时）的函数关系用图象表示为下图中的（）A．B．C．D．13．一块蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池为电源时，电流I（A）与电阻R （Ω）之间的函数关系如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么此用电器的可变电阻应（）A．不小于4.8Ω B．不大于4.8Ω C．不小于14ΩD．不大于14Ω14．如图所示，反比例函数y1与正比例函数y2的图象的一个交点坐标是A（2，1），若y2＞y1＞0，则x的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C． D．15．小明在一直道上骑自行车，经过起步、加速、匀速、减速之后停车．设小明骑车的时间为t（秒），骑车的路程为s（米），则s关于t的函数图象大致是（）A．B．C．D．16．在某次实验中，测得两个变量m和v之间的4组对应数据如下表：则m与v之间的关系最接近于下列各关系式中的（）m1234v0.01 2.98.0315.1A．v=2m﹣2 B．v=m2﹣1 C．v=3m﹣3 D．v=m+1二、解答题17．如图，反比例函数y=的图象与直线y=x+m在第一象限交于点P（6，2），A、B为直线上的两点，点A的坐标为2，点B的横坐标为3．D、C为反比例函数图象上的两点，且AD、BC平行于y轴．（1）直接写出k，m的值；（2）求梯形ABCD的面积．18．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB分别与x、y轴交于点B、A，与反比例函数的图象分别交于点C、D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2．（1）求该反比例函数的解析式；（2）求直线AB的解析式．19．如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A（m，2），点B（﹣2，n），一次函数图象与y轴的交点为C．（1）求一次函数解析式；（2）求C点的坐标；（3）求△AOC的面积．20．暑假期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游．出发前，汽车油箱内储油45升；当行驶150千米时，发现油箱剩余油量为30升．（1）已知油箱内余油量y（升）是行驶路程x（千米）的一次函数，求y与x的函数关系式；（2）当油箱中余油量少于3升时，汽车将自动报警．如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由．21．如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．（1）求该一次函数的解析式；（2）求tan∠OCD的值；（3）求证：∠AOB=135°．22．宜昌市政府为了方便群众，促进地方经济发展，促进宜昌周边旅游资源的良性循环，特向宜昌城区137万人口推出了“一卡通”周边游便民服务卡，即城区常住居民只需花上100元，办理一张旅游卡，一年内持卡人可到周边二十个景点游玩，凭卡不需购买门票．假设下图表示活动推出后的市民办卡情况．（1）根据图象求出办卡人数y（万人）与时间x（天）的函数关系式；（2）按此进度发展，请你预测办卡第80天时总共办卡人数．23．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积．24．如图，直线l1：y=3x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（1，b）．（1）求b的值；（2）不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解；（3）直线l3：y=nx+m是否也经过点P？请说明理由．函数、一次函数与反比例函数参考答案与试题解析一、选择题1．在函数中，自变量x的取值范围是（）A．x＜B．x≠﹣C．x≠D．x＞【考点】E4：函数自变量的取值范围；62：分式有意义的条件．【专题】11 ：计算题．【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不等于0．【解答】解：根据题意得：3x﹣1≠0，解得：x≠．故选C．【点评】当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为0．2．下列函数中，自变量x的取值范围是x≥3的是（）A．y=B．y= C．y=x﹣3 D．y=【考点】E4：函数自变量的取值范围；62：分式有意义的条件；72：二次根式有意义的条件．【分析】分式有意义，分母不等于0；二次根式有意义：被开方数是非负数就可以求出x的范围．【解答】解：A、分式有意义，x﹣3≠0，解得：x≠3，故A选项错误；B、二次根式有意义，x﹣3＞0，解得x＞3，故B选项错误；C、函数式为整式，x是任意实数，故C选项错误；D、二次根式有意义，x﹣3≥0，解得x≥3，故D选项正确．故选：D．【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．3．如果反比例函数的图象经过点（﹣2，﹣3），那么k的值为（）A．B．C．﹣6 D．6【考点】G7：待定系数法求反比例函数解析式．【专题】11 ：计算题；41 ：待定系数法．【分析】因为函数经过一定点，所以将此点坐标代入函数解析式y=（k≠0）即可求得k的值．【解答】解：设反比例函数的解析式为y=（k≠0），由图象可知，函数经过点P（﹣2，﹣3），∴﹣3=，得k=6．故选D．【点评】用待定系数法确定反比例函数的比例系数k的值，比较简单．4．点M （﹣2，3）在曲线y=上，则下列点一定在该曲线上的是（）A．（2，3 B．（﹣2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（3，2）【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】2B ：探究型．【分析】根据点M （﹣2，3）在曲线y=上求出k的值，再根据k=xy对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：∵点M （﹣2，3）在曲线y=上，∴k=（﹣2）×3=﹣6，∴A、中2×3=6≠﹣6，故本选项错误；B、中（﹣2）×（﹣3）=6≠﹣6，故本选项错误；C、中3×（﹣2）=﹣6=k，故本选项正确；D、中3×2=6≠﹣6，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即k=xy．5．已知反比例函数y=的图象经过点P（﹣1，2），则这个函数的图象位于（）A．第二，三象限B．第一，三象限C．第三，四象限D．第二，四象限【考点】G4：反比例函数的性质；G7：待定系数法求反比例函数解析式．【专题】41 ：待定系数法．【分析】先把点代入函数解析式，求出k值，再根据反比例函数的性质求解即可．【解答】解：由题意得，k=﹣1×2=﹣2＜0，∴函数的图象位于第二，四象限．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数的图象的性质：k＞0时，图象在第一、三象限，k＜0时，图象在第二、四象限．6．已知点P（m，n）在某反比例函数的图象上，则此图象上还有点（）A．（0，0）B．（﹣m，﹣n）C．（m，﹣n） D．（﹣m，n）【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】将（m，n）代入y=即可求出k的值，再根据k=xy解答即可．【解答】解：∵点P（m，n）在某反比例函数的图象上，∴反比例函数的比例系数k=mn，所有选项中只有B所给点的横纵坐标的积等于mn．故选B．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．7．若一次函数y=kx+b（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则（）A．k＜0 B．k＞0 C．b＜0 D．b＞0【考点】F7：一次函数图象与系数的关系．【专题】16 ：压轴题．【分析】k＞0时，y随x的增大而增大．【解答】解：若一次函数y=kx+b（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则k＞0．故选B．【点评】一次函数y=kx+b的图象是一条直线，该直线的位置和性质与系数k，b 的关系如下：①k＞0时，y随x的增大而增大．这时，若b＞0，则直线经过一、二、三象限；若b＜0，则直线经过一、三、四象限；若b=0，直线经过一、三象限和原点（此为正比例函数的图象）；②k＜0时，y随x的增大而减小．这时，若b＞0，则直线经过一、二、四象限；若b＜0，则直线经过二、三、四象限；若b=0，直线经过二、四象限和原点（此为正比例函数的图象）．8．如果函数y=ax+b（a＜0，b＜0）和y=kx（k＞0）的图象交于点P，那么点P 应该位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】FF：两条直线相交或平行问题．【分析】根据a、b的取值，判断出一次函数所过的象限，再根据k的取值，判断出正比例函数所过的象限，二者所过的公共象限即为点P所在象限．【解答】解：∵函数y=ax+b（a＜0，b＜0）的图象经过第二、三、四象限，y=kx（k＞0）的图象过原点、第一、三象限，∴点P应该位于第三象限．故选C．【点评】本题利用了一次函数和正比例函数的图象性质求解．（1）正比例函数y=kx（k≠0）的图象是过原点的一条直线：k＜0，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，k＞0，正比例函数的图象过原点、第一、三象限；（2）一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．9．关于x的一次函数y=kx+k2+1的图象可能正确的是（）A．B．C．D．【考点】F3：一次函数的图象．【专题】16 ：压轴题．【分析】根据图象与y轴的交点直接解答即可．【解答】解：令x=0，则函数y=kx+k2+1的图象与y轴交于点（0，k2+1），∵k2+1＞0，∴图象与y轴的交点在y轴的正半轴上．故选C．【点评】本题考查一次函数的图象，考查学生的分析能力和读图能力．10．已知函数y=kx+b的图象如图，则y=2kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】F3：一次函数的图象．【专题】31 ：数形结合．【分析】由图知，函数y=kx+b图象过点（0，1），即k＞0，b=1，再根据一次函数的特点解答即可．【解答】解：∵由函数y=kx+b的图象可知，k＞0，b=1，∴y=2kx+b=2kx+1，2k＞0，∴2k＞k，可见一次函数y=2kx+b图象与x轴的夹角，大于y=kx+b图象与x轴的夹角．∴函数y=2kx+1的图象过第一、二、三象限且与x轴的夹角大．故选C．【点评】一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．12．一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的长度为y（cm）与燃烧时间x（小时）的函数关系用图象表示为下图中的（）A．B．C．D．【考点】FH：一次函数的应用；F3：一次函数的图象．【专题】16 ：压轴题．【分析】根据实际情况即可解答．【解答】解：蜡烛剩下的长度随时间增长而缩短，根据实际意义不可能是D，更不可能是A、C．故选B．【点评】解答一次函数的应用题时，必须考虑自变量的取值范围要使实际问题有意义．13．一块蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池为电源时，电流I（A）与电阻R （Ω）之间的函数关系如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么此用电器的可变电阻应（）A．不小于4.8Ω B．不大于4.8Ω C．不小于14ΩD．不大于14Ω【考点】GA：反比例函数的应用．【专题】16 ：压轴题；29 ：跨学科．【分析】先由图象过点（8，6），求出U的值．再由蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，求出用电器的可变电阻的取值范围．【解答】解：由物理知识可知：I=，其中过点（8，6），故U=48，当I≤10时，由R≥4.8．故选A．【点评】本题考查反比例函数的图象特点：反比例函数y=的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．14．如图所示，反比例函数y1与正比例函数y2的图象的一个交点坐标是A（2，1），若y2＞y1＞0，则x的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C． D．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题；C4：在数轴上表示不等式的解集．【专题】31 ：数形结合；33 ：函数思想．【分析】根据反比例函数的图象性质正比例函数的图象性质可知．当y2＞y1＞0时，在第一象限内，反比例函数y1在正比例函数y2的下方，从而求出x的取值范围．【解答】解：根据图象可知当y2＞y1＞0时，x＞2．故选D．【点评】主要考查了反比例函数的图象性质正比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．15．小明在一直道上骑自行车，经过起步、加速、匀速、减速之后停车．设小明骑车的时间为t（秒），骑车的路程为s（米），则s关于t的函数图象大致是（）A．B．C．D．【考点】E6：函数的图象．【专题】16 ：压轴题．【分析】随着时间的增大，路程也越来越远．经过起步，加速，匀速以及减速后停车，结合选项可得出答案．【解答】解：随着时间的增多，路程越来越远．过程为起步、加速、匀速、减速之后停车．函数图象的形态为：缓，陡，缓，停．故选D．【点评】应看清函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根据实际情况来判断函数图象．16．在某次实验中，测得两个变量m和v之间的4组对应数据如下表：则m与v之间的关系最接近于下列各关系式中的（）m1234v0.01 2.98.0315.1A．v=2m﹣2 B．v=m2﹣1 C．v=3m﹣3 D．v=m+1【考点】E8：函数的表示方法．【专题】16 ：压轴题；27 ：图表型．【分析】一般情况下是把最大的一对数据代入函数关系式后通过比较得出最接近的关系式．【解答】解：当m=4时，A、v=2m﹣2=6；B、v=m2﹣1=15；C、v=3m﹣3=9；D、v=m+1=5．故选：B．【点评】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x 叫自变量；解题关键是分别把数据代入下列函数，通过比较找到最符合的函数关系式．二、解答题17．如图，反比例函数y=的图象与直线y=x+m在第一象限交于点P（6，2），A、B为直线上的两点，点A的坐标为2，点B的横坐标为3．D、C为反比例函数图象上的两点，且AD、BC平行于y轴．（1）直接写出k，m的值；（2）求梯形ABCD的面积．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题；LH：梯形．【分析】（1）直接把点P（6，2）代入解析式求解即可；（2）分别根据函数解析式求出点D，C的坐标，从而得到梯形的上底，下底和高，求出梯形的面积．【解答】解：（1）k=12，m=﹣4．（2分）（2）把x=2代入y=，得y=6．∴D（2，6）．把x=2代入y=x﹣4，得y=﹣2．∴A（2，﹣2）．∴DA=6﹣（﹣2）=8．把x=3代入y=，得y=4．∴C（3，4）．把x=3代入y=x﹣4，得y=﹣1，∴B（3，﹣1）．∴BC=4﹣（﹣1）=5．（6分）∴．（7分）【点评】主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义．18．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB分别与x、y轴交于点B、A，与反比例函数的图象分别交于点C、D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2．（1）求该反比例函数的解析式；（2）求直线AB的解析式．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】31 ：数形结合；41 ：待定系数法；46 ：几何变换．【分析】（1）根据已知条件求出c点坐标，用待定系数法求出反比例的函数解析式；（2）根据已知条件求出A，B两点的坐标，用待定系数法求出一次函数的解析式．【解答】解：（1）∵OB=4，OE=2，∴BE=2+4=6．∵CE⊥x轴于点E．tan∠ABO=．∴CE=3．（1分）∴点C的坐标为C（﹣2，3）．（2分）设反比例函数的解析式为y=，（m≠0）将点C的坐标代入，得3=．（3分）∴m=﹣6．∴该反比例函数的解析式为y=﹣．（5分）（2）∵OB=4，∴B（4，0）．（6分）∵tan∠ABO=，∴OA=2，∴A（0，2）．设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将点A、B的坐标分别代入，得．（8分）解得．（9分）∴直线AB的解析式为y=﹣x+2．（10分）．【点评】本题是一次函数与反比例函数的综合题．主要考查待定系数法求函数解析式．求A、B、C点的坐标需用正切定义或相似三角形的性质，起点稍高，部分学生感觉较难．19．如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A（m，2），点B（﹣2，n），一次函数图象与y轴的交点为C．（1）求一次函数解析式；（2）求C点的坐标；（3）求△AOC的面积．【考点】GB：反比例函数综合题．【专题】15 ：综合题；16 ：压轴题．【分析】（1）首先由反比例函数的解析式分别求得m、n的值，再进一步根据点A、B的坐标求得一次函数的解析式；（2）根据（1）中求得的解析式，令x=0，即可求得点C的坐标；（3）根据点A、C的坐标即可求得OC=1，OC边上的高是点A的横坐标，进一步求得三角形的面积．【解答】解：（1）由题意，把A（m，2），B（﹣2，n）代入中，得，∴A（1，2），B（﹣2，﹣1）将A、B代入y=kx+b中得：，∴，∴一次函数解析式为：y=x+1；（2）由（1）可知：当x=0时，y=1，∴C（0，1）；=×1×1=．（3）S△AOC【点评】本题考查了反比例函数的综合应用，重点是由交点坐标求得函数的解析式，题目较难，同学们要重点掌握．20．暑假期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游．出发前，汽车油箱内储油45升；当行驶150千米时，发现油箱剩余油量为30升．（1）已知油箱内余油量y（升）是行驶路程x（千米）的一次函数，求y与x的函数关系式；（2）当油箱中余油量少于3升时，汽车将自动报警．如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由．【考点】FH：一次函数的应用．【分析】先设函数式为：y=kx+b，然后利用两对数值可求出函数的解析式，把x=400代入函数解析式可得到y，有y的值就能确定是否能回到家．【解答】解：（1）设y=kx+b，当x=0时，y=45，当x=150时，y=30，∴，解得，（5分）∴y=x+45；（6分）（2）当x=400时，y=×400+45=5＞3，∴他们能在汽车报警前回到家．（9分）【点评】解题思路：本题考查一次函数的实际应用，用待定系数法求一次函数的解析式，再通过其解析式计算说明问题．由一次函数的解析式的求法，找到两点列方程组即可解决．21．如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．（1）求该一次函数的解析式；（2）求tan∠OCD的值；（3）求证：∠AOB=135°．【考点】FI：一次函数综合题．【专题】153：代数几何综合题；16 ：压轴题．【分析】（1）把A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点坐标分别代入一次函数y=kx+b，即可求出k，b的值，从而求出其解析式；（2）由于C（﹣，0），D（0，）．故Rt△OCD中，OD=，OC=，所以tan ∠OCD=；（3）取点A关于原点的对称点E（2，1），则问题转化为求证∠BOE=45度，由于OE=，BE=，OB=，即OB2=OE2+BE2，故△EOB是等腰直角三角形，所以∠BOE=45度．∠AOB=135度．【解答】（1）解：由，解得，所以y=x+；（2）解：C（﹣，0），D（0，）．在Rt△OCD中，OD=，OC=，∴tan∠OCD=；（3）证明：取点A关于原点的对称点E（2，1），则问题转化为求证∠BOE=45度．由勾股定理可得，OE=，BE==，OB=，∵OB2=OE2+BE2，∴△EOB是等腰直角三角形．∴∠BOE=45度．∴∠AOB=135度．【点评】此题较复杂，解答此题的关键是延长AO，过B作BE⊥AE于E，构造出直角三角形，利用勾股定理即锐角三角函数的定义求解．22．宜昌市政府为了方便群众，促进地方经济发展，促进宜昌周边旅游资源的良性循环，特向宜昌城区137万人口推出了“一卡通”周边游便民服务卡，即城区常住居民只需花上100元，办理一张旅游卡，一年内持卡人可到周边二十个景点游玩，凭卡不需购买门票．假设下图表示活动推出后的市民办卡情况．（1）根据图象求出办卡人数y（万人）与时间x（天）的函数关系式；（2）按此进度发展，请你预测办卡第80天时总共办卡人数．【考点】FH：一次函数的应用．【专题】21 ：阅读型；27 ：图表型．【分析】（1）用待定系数法求函数关系式；（2）令x=80即可求得办卡总人数；【解答】解：（1）设直线解析式为y=kx +b ，，解得k=0.1，b=0，y=0.1x ．（2）当x=80时，y=8万．所以预测办卡第80天时总共办卡人数为8万人．【点评】能够根据题意建立函数关系式；能够根据函数解析式求得对应的y 的值．23．如图，一次函数y=kx +b 的图象与反比例函数的图象交于A （﹣2，1），B （1，n ）两点．（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求△AOB 的面积．【考点】FI ：一次函数综合题；GB ：反比例函数综合题．【专题】16 ：压轴题；41 ：待定系数法．【分析】（1）首先把A 的坐标代入反比例函数关系式中可以求出m ，再把B （1，n ）代入反比例函数关系式中可以求出n 的值，然后利用待定系数法就可以求出一次函数的解析式；（2）△AOB 的面积不能直接求出，要求出一次函数与x 轴的交点坐标，然后利用面积的割补法球它的面积．S △AOB =S △AOC +S △BOC ．【解答】解：（1）∵点A （﹣2，1）在反比例函数的图象上，∴m=（﹣2）×1=﹣2．∴反比例函数的表达式为．∵点B（1，n）也在反比例函数的图象上，∴n=﹣2，即B（1，﹣2）．把点A（﹣2，1），点B（1，﹣2）代入一次函数y=kx+b中，得解得．∴一次函数的表达式为y=﹣x﹣1．（2）∵在y=﹣x﹣1中，当y=0时，得x=﹣1．∴直线y=﹣x﹣1与x轴的交点为C（﹣1，0）．∵线段OC将△AOB分成△AOC和△BOC，=S△AOC+S△BOC=×1×1+×1×2=+1=．∴S△AOB【点评】此题考查了利用待定系数法确定函数的解析式，然后利用坐标来求三角形的面积．24．如图，直线l1：y=3x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（1，b）．（1）求b的值；（2）不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解；（3）直线l3：y=nx+m是否也经过点P？请说明理由．【考点】FF：两条直线相交或平行问题；F8：一次函数图象上点的坐标特征；FE：一次函数与二元一次方程（组）．【专题】11 ：计算题．【分析】（1）直接把P点坐标代入y=3x+1即求出b的值；（2）根据两直线相交的问题求解；（3）先把P（1，4）代入y=mx+n得m+n=4，而当x=1时，y=nx+m=m+n=4，根据一次函数图象上点的坐标特征即可判断直线l3经过点P．【解答】解：（1）把P（1，b）代入y=3x+1得b=3+1=4；（2）方程组的解为；（3）直线l3经过点P，理由如下：把P（1，4）代入直线l2：y=mx+n得m+n=4，当x=1时，y=nx+m=m+n=4，所以直线l3经过点P．【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题：若直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行，则k1=k2；若直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2相交，则由两解析式所组成的方程组的解为交点坐标．。
2020年中考数学复习：《一次函数》高频考点突破和提升复习资料
2020年中考数学复习《一次函数》高频考点突破与提升复习资料一.本章知识梳理1.一般的若y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠），那么y 叫做x 的一次函数，当b=0时，一次函数y=kx 也叫正比例函数。
2.正比例函数kx y =（0k ≠）是一次函数的特殊形式,当x=0时，y=0,故正比例函数图像过原点（0,0).3.一次函数的图像和性质：y 随的增大而增大 y 随的增大而减小说明： （1）与坐标轴交点（0，b ）和（-kb ，0）, b 的几何意义：_____________________ （2）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.（3）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴。
（4）图像的平移：当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位可得y=kx+b 的图像； 当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位可得y=kx+b 的图像.4.直线b 1=k 1x+b 1与直线y 2=k 2x+b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系．①k 1≠k 2⇔y 1与y 2相交；②⎩⎨⎧=≠2121b b k k ⇔y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2）； ③⎩⎨⎧≠=2121,b b k k ⇔y 1与y 2平行； ④⎩⎨⎧==2121,b b k k ⇔y 1与y 2重合.5.一次函数解析式的确定，主要有三种方法：(1)由已知函数推导或推证(2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式。
(3)用待定系数法求函数解析式。
二．高频考点解析题型一：一次函数的概念例1.已知函数y=(m-2)32-m x +3,当m 为何值时，y 是x 的一次函数？解析：根据一次函数的定义，x 的次数必须为1，系数不为0，即可求出m 的值.变式练习：1.已知函数y=(m-1)x+m 是一次函数，求m 的范围.2.已知函数y=(k-1)x+k 2-1,当k____________时，它是一次函数，当k__________时，它是正比例函数.答案：1.m ≠1 2. ≠1, -1题型二：一次函数的图像与性质例2.对于一次函数y=﹣2x+4，下列结论错误的是（ ）A ． 函数值随自变量的增大而减小B ． 函数的图象不经过第三象限C ． 函数的图象向下平移4个单位长度得y=﹣2x 的图象D ． 函数的图象与x 轴的交点坐标是（0，4）解析：这是探究型题目，考查一次函数的性质；一次函数图象与几何变换。
2023年中考数学高频压轴题突破——反比例函数与一次函数综合
2023年中考数学高频压轴题突破——反比例函数与一次函数综合1．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于M、N两点．（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接OM、ON，求三角形OMN的面积．（3）连接OM，在x轴的正半轴上是否存在点Q，使△MOQ是等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，若不存在，说明理由．2．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于第一象限C（1，4），D （4，m）两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC，OD（O是坐标原点）．（1）求△DOC的面积．（2）将直线AB向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？（3）双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（3，1），C（3，3），反比例函数的图象经过点D，点P是一次函数y＝kx+3﹣3k（k≠0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点．①求反比例函数解析式；②通过计算，说明一次函数y＝kx+3﹣3k（k≠0）的图象一定过点C；③对于一次函数y＝kx+3﹣3k（k≠0）当y随x的增大而增大时，确定点P的横坐标的取值范围（不必写过程）4．如图，点M（﹣3，m）是一次函数y＝x+1与反比例函数y＝（k≠0）的图象的一个交点．（1）求反比例函数表达式；（2）点P是x轴正半轴上的一个动点，设OP＝a（a≠2），过点P作垂直于x轴的直线，分别交一次函数，反比例函数的图象于点A，B，过OP的中点Q作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点C，△ABC′与△ABC关于直线AB对称．①当a＝4时，求△ABC′的面积；②当a的值为时，△AMC与△AMC′的面积相等．5．如图，已知一次函数y＝x﹣3与反比例函数y＝的图象相交于点A（4，n），与x轴相交于点B．（1）填空：n的值为，k的值为；（2）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标；（3）观察反比例函数y＝的图象，当y≥﹣2时，请直接写出自变量x的取值范围．6．已知：一次函数y＝﹣2x+10的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）．（1）当A（4，2）时，求反比例函数的解析式及B点的坐标；（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C，连接BC交y轴于点D．若＝，求△ABC的面积．7．如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；（3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．8．如图，一次函数y＝kx+2的图形与反比例函数y＝的图象交于点P，点P在第一象限，PA⊥x轴于点A，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，且S△COD＝1，．（1）求点D的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的解析式；（3）根据图象直接写出当x＞0时，一次函数值大于反比例函数的值的x的取值范围．9．如图，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数y2＝的图象相交于点A（﹣1，4），C （m，﹣2），AB⊥x轴，垂足为点B．（1）求函数y1＝ax+b与y2＝的解析式；（2）当x为何值时，y2＞y1；（3）在x轴上是否存在点P，使△PAO为等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．10．通过对苏科版八（下）教材一道习题的探索研究，我们知道：一次函数y＝x﹣1的图象可以由正比例函数y＝x的图象向右平移1个单位长度得到类似的，函数的图象是由反比例函数的图象向左平移2个单位长度得到．灵活运用这一知识解决问题．如图，已知反比例函数的图象C与正比例函数y＝ax（a≠0）的图象l相交于点A（2，2）和点B．（1）写出点B的坐标，并求a的值；（2）将函数的图象和直线AB同时向右平移n（n＞0）个单位长度，得到的图象分别记为C′和l′，已知图象C′经过点M（2，4）．①求n的值；②分别写出平移后的两个图象C′和l′对应的函数关系式；③直接写出不等式的解集．11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m ≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣2，0），且tan∠ACO＝2．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求点B的坐标；（3）在x轴上求点E，使△ACE为直角三角形．（直接写出点E的坐标）12．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2）．过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC 交于点M，N．（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；（2）若反比例函数（x＞0）的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；（3）观察图形，当x取何值时，一次函数值大于反比例函数值．13．如图，已知Rt△ABC的顶点A是一次函数y＝x+m与反比例函数的图象在第一象＝3．限内的交点，且S△AOB（1）该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定，如能确定，请写出它们的解析式；如不能确定，请说明理由．（2）如果线段AC的延长线与反比例函数的图象的另一支交于D点，过D点作DE⊥x 轴于E，那么△ODE的面积与△AOB的面积的大小关系能否确定？（3）请判断△AOD为何特殊三角形，并证明你的结论．14．如图在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x与反比例函数在第一象限交于点P（1，p），点M的横坐标为m（0＜m＜1）是反比例函数图象上的一点，MN∥x轴交一次函数于点N．（1）求出k的值；（2）是否存在点M，使△MNP是以MN为底的等腰三角形，若存在求出m，若不存在说明理由；（3）以MN为边长，在MN的下方作正方形MNAB，判断边NA与反比例函数图象是否有交点，若有求出交点坐标，若没有并说明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x﹣2的图象分别与x轴，y轴交于D、C两点，与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点，点D为线段AC的中点，且tan∠ACO＝．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）点C关于原点的对称点为点E，连接AE、BE，求△ABE的面积；（3）请直接写出y2＞y1的解集．16．如图，一次函数y＝mx+（m≠0）与反比例函数y＝（k≠0）交于A、B两点，其中点A的坐标为（4，﹣）．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）在第二象限的反比例函数图象上是否存在一点M，使得△AMB的面积是△AOB面积的2倍？若存在，求出点M的横坐标，若不存在，请说明理由；（3）请结合图形，直接写出不等式mx+≥的解集．17．一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴、y轴分别交于点A（﹣4，0）、C，PB⊥x轴于点B，S△ACO＝2．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）在反比例函数图象上求一点D，使得以B、C、P、D为顶点的四边形是菱形；（3）若△PAB与△PAQ相似但不全等，判断平面内符合题意的点Q有几个？并求出其中一个点的坐标．18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，OA＝，点E为x轴负半轴上一点，且cos∠AOE＝．（1）求k和b的值；（2）若将点C沿y轴向下平移4个单位长度至点F，连接AF、BF，求△ABF的面积；（3）根据图象，直接写出不等式﹣＞0的解集．19．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于点A、B，与x轴交于点F，与y轴交于点C．过点A作AD⊥x轴于点D，∠CAD＝45°，连接CD，已知△ADC的面积等于6，点A的坐标为（n，2），点B的坐标为（a，﹣6）．（1）请直接写出一次函数的关系式为，反比例函数的关系式为；（2）若点E是点C关于x轴的对称点，求△ABE的面积；（3）根据图象直接写出关于x的不等式kx＞﹣b的解集是．20．如图1，一次函数y＝kx﹣3（k≠0）的图象与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（8，1）．（1）k＝；m＝；（2）点C是线段AB上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接OC，OD，AD，当四边形OCAD的面积等于24时，求点C的坐标；（3）在（2）的前提下，将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O′C′D′，若点O的对应点O′恰好落在该反比例函数图象上（如图2），请直接写出此时点D的对应点D′的坐标．参考答案与试题解析1．【解答】解：（1）把N（﹣1，﹣4）代入y＝得：k＝4，∴y＝，把M（2，m）代入得：m＝2，∴M（2，2），把N（﹣1，﹣4），M（2，2）代入y＝ax+b得：，解得：a＝2，b＝﹣2，∴y＝2x﹣2，答：反比例函数的解析式是y＝，一次函数的解析式是y＝2x﹣2．（2）设MN交x轴于C，y＝2x﹣2，当y＝0时，x＝1，∴C（1，0），OC＝1，+S△NOC＝×1×2+×1×|﹣4|＝3，∴△MON的面积是S＝S△MOC答：三角形MON的面积是3．（3）当OM＝OQ时，Q的坐标是（2，0）；当OM＝MQ时，Q的坐标是（4，0）；当OQ＝QM时，Q的坐标是（2，0）；答：在x轴的正半轴上存在点Q，使△MOQ是等腰三角形，所有符合条件的点Q的坐标是（2，0）或（4，0）或（2，0）．2．【解答】解：（1）把C（1，4）代入y＝，得k＝4，把（4，m）代入y＝，得m＝1；∴反比例函数的解析式为y＝，m＝1．∴D（4，1）．把C（1，4），D（4，1）代入y＝ax+b得：，解得k＝﹣1，b＝5．∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5，把y＝0代入y＝﹣x+5，得x＝5，∴OA＝5．＝S△COA﹣S△DOA＝×5×4﹣×5×1＝7.5；∴S△DOC（2）设直线AB向下平移n个单位长度，则直线AB：y＝﹣x+5﹣n，根据题意列出方程：﹣x+5﹣n＝，整理，得x2﹣（5﹣n）x+4＝0．由于直线与反比例函数图象只有一个交点，所以△＝[﹣（5﹣n）]2﹣4×1×4＝0．解得n1＝1，n2＝9．所以将直线AB向下平移1或9个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点；＝S△POD，理由如下：（3）双曲线上存在点P（2，2），使得S△POC∵C点坐标为：（1，4），D点坐标为：（4，1），∴OD＝OC＝，∴当点P在∠COD的平分线上时，∠COP＝∠POD，又OP＝OP，∴△POC≌△POD，＝S△POD．∴S△POC∵C点坐标为：（1，4），D点坐标为：（4，1），可得∠COB＝∠DOA，又∵这个点是∠COD的平分线与双曲线的y＝交点，∴∠BOP＝∠POA，∴P点横纵坐标坐标相等，即xy＝4，x2＝4，∴x＝±2，∵x＞0，∴x＝2，y＝2，故P点坐标为（2，2），使得△POC和△POD的面积相等．利用点C、D关于直线y＝x对称，P（2，2）或P（﹣2，﹣2）．3．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∵B（3，1），C（3，3），∴BC⊥x轴，AD＝BC＝2，而A点坐标为（1，0），∴点D的坐标为（1，2）．∵反比例函数y＝（x＞0）的函数图象经过点D（1，2），∴2＝，∴m＝2，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）当x＝3时，y＝kx+3﹣3k＝3k+3﹣3k＝3，即一次函数y＝kx+3﹣3k一定经过（3，3），故一次函数y＝kx+3﹣3k（k≠0）的图象一定过点C；（3）设点P的横坐标为a，∵一次函数y＝kx+3﹣3k（k≠0）过C点，并且y随x的增大而增大时，∴k＞0，P点的纵坐标要小于3，横坐标要小于3，当纵坐标小于3时，∵y＝，∴＜3，解得：a＞，则a的范围为＜a＜3．4．【解答】解：（1）把M（﹣3，m）代入y＝x+1，则m＝﹣2．将（﹣3，﹣2）代入y＝，得k＝6，则反比例函数解析式是：y＝；（2）①连接CC′交AB于点D．则AB垂直平分CC′．当a＝4时，A（4，5），B（4，1.5），则AB＝3.5．∵点Q为OP的中点，∴Q（2，0），∴C（2，3），则D（4，3），∴CD＝2，＝AB•CD＝×3.5×2＝3.5，则S△ABC′＝3.5；∴S△ABC②∵△AMC与△AMC′的面积相等，∴C和C′到直线MA的距离相等，∴C、A、C′三点共线，∴AP＝CQ＝，又∵AP＝PN，∴＝a+1，解得a＝3或a＝﹣4（舍去），∴当a的值为3时，△AMC与△AMC′的面积相等．故答案是：3．5．【解答】解：（1）把点A（4，n）代入一次函数y＝x﹣3，可得n＝×4﹣3＝3；把点A（4，3）代入反比例函数y＝，可得3＝，解得k＝12．（2）∵一次函数y＝x﹣3与x轴相交于点B，∴x﹣3＝0，解得x＝2，∴点B的坐标为（2，0），如图，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，∵A（4，3），B（2，0），∴OE＝4，AE＝3，OB＝2，∴BE＝OE﹣OB＝4﹣2＝2，在Rt△ABE中，AB＝＝＝，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD＝BC＝，AB∥CD，∴∠ABE＝∠DCF，∵AE⊥x轴，DF⊥x轴，∴∠AEB＝∠DFC＝90°，在△ABE与△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴CF＝BE＝2，DF＝AE＝3，∴OF＝OB+BC+CF＝2++2＝4+，∴点D的坐标为（4+，3）．（3）当y＝﹣2时，﹣2＝，解得x＝﹣6．故当y≥﹣2时，自变量x的取值范围是x≤﹣6或x＞0．故答案为：3，12．6．【解答】解：（1）把A（4，2）代入y＝，得k＝4×2＝8．∴反比例函数的解析式为y＝．解方程组，得或，∴点B的坐标为（1，8）；（2）①若∠BAP＝90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，对于y＝﹣2x+10，当y＝0时，﹣2x+10＝0，解得x＝5，∴点E（5，0），OE＝5．∵A（4，2），∴OH＝4，AH＝2，∴HE＝5﹣4＝1．∵AH⊥OE，∴∠AHM＝∠AHE＝90°．又∵∠BAP＝90°，∴∠AME+∠AEM＝90°，∠AME+∠MAH＝90°，∴∠MAH＝∠AEM，∴△AHM∽△EHA，∴＝，∴＝，∴MH＝4，∴M（0，0），可设直线AP的解析式为y＝mx则有4m＝2，解得m＝，∴直线AP的解析式为y＝x，解方程组，得或，∴点P的坐标为（﹣4，﹣2）．②若∠ABP＝90°，同理可得：点P的坐标为（﹣16，﹣）．综上所述：符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣2）、（﹣16，﹣）；（3）过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，则有BS∥CT，∴△CTD∽△BSD，∴＝．∵＝，∴＝＝．∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），∴C（﹣a，2a﹣10），CT＝a，BS＝b，∴＝，即b＝a．∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）都在反比例函数y＝的图象上，∴a（﹣2a+10）＝b（﹣2b+10），∴a（﹣2a+10）＝a（﹣2×a+10）．∵a≠0，∴﹣2a+10＝（﹣2×a+10），解得：a＝3．∴A（3，4），B（2，6），C（﹣3，﹣4）．设直线BC的解析式为y＝px+q，则有，解得：，∴直线BC的解析式为y＝2x+2．当x＝0时，y＝2，则点D（0，2），OD＝2，＝S△ODC+S△ODB∴S△COB＝OD•CT+OD•BS＝×2×3+×2×2＝5．∵OA＝OC，＝S△COB，∴S△AOB＝2S△COB＝10．∴S△ABC7．【解答】解：（1）k＝4，S△P AB＝15．提示：过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，如图1，把x＝4代入y＝x，得到点B的坐标为（4，1），把点B（4，1）代入y＝，得k＝4．解方程组，得到点A的坐标为（﹣4，﹣1），则点A与点B关于原点对称，∴OA＝OB，＝S△BOP，∴S△AOP＝2S△AOP．∴S△P AB设直线AP的解析式为y＝mx+n，把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y＝mx+n，求得直线AP的解析式为y＝x+3，则点C的坐标（0，3），OC＝3，＝S△AOC+S△POC∴S△AOP＝OC•AR+OC•PS＝×3×4+×3×1＝，＝2S△AOP＝15；∴S△P AB（2）过点P作PH⊥x轴于H，如图2．B（4，1），则反比例函数解析式为y＝，设P（m，），直线PA的方程为y＝ax+b，直线PB的方程为y＝px+q，联立，解得直线PA的方程为y＝x+﹣1，联立，解得直线PB的方程为y＝﹣x++1，∴M（m﹣4，0），N（m+4，0），∴H（m，0），∴MH＝m﹣（m﹣4）＝4，NH＝m+4﹣m＝4，∴MH＝NH，∴PH垂直平分MN，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形；（3）∠PAQ＝∠PBQ．理由如下：过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3．可设点Q为（c，），直线AQ的解析式为y＝px+q，则有，解得：，∴直线AQ的解析式为y＝x+﹣1．当y＝0时，x+﹣1＝0，解得：x＝c﹣4，∴D（c﹣4，0）．同理可得E（c+4，0），∴DT＝c﹣（c﹣4）＝4，ET＝c+4﹣c＝4，∴DT＝ET，∴QT垂直平分DE，∴QD＝QE，∴∠QDE＝∠QED．∵∠MDA＝∠QDE，∴∠MDA＝∠QED．∵PM＝PN，∴∠PMN＝∠PNM．∵∠PAQ＝∠PMN﹣∠MDA，∠PBQ＝∠NBE＝∠PNM﹣∠QED，∴∠PAQ＝∠PBQ．8．【解答】解：（1）在y＝kx+2中，令x＝0，得y＝2，∴点D的坐标为（0，2）；（2）∵PA∥OD，∴Rt△PAC∽Rt△DOC，∵＝，OD＝2，∴＝＝，解得：PA＝6，＝1，可得：OC•OD＝1，由S△COD解得：OC＝1，∴OA＝2，∴P（2，6），把P（2，6）分别代入y＝kx+2与y＝，则一次函数解析式为：y＝2x+2和反比例函数解析式为：y＝（x＞0）；（3）由图象知x＞2时，反比例函数y＝＜6，一次函数y＝2x+2＞6，则一次函数值大于反比例函数的值的x的取值范围x＞2．9．【解答】解：（1）把点A（﹣1，4）代入y2＝中，得4＝解得k＝﹣4，即双曲线解析式为y2＝﹣，把点C（m，﹣2）代入y2＝﹣中，得﹣2＝﹣解得，m＝2，∴C（2，﹣2），∵一次函数y1＝ax+b的图象经过A、C，∴，解得，所以直线解析式为y1＝﹣2x+2；（2）∵一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A、C两点，坐标分别为（﹣1，4）、（2，﹣2）．∴当y2＞y1时，﹣1＜x＜0或x＞2．（3）如图，∵点A（﹣1，4），∴OA＝＝，当以AO为底边时，由△P1DO∽△ABO，∴＝，即：＝，解得：P1O＝，∴点P1的坐标为（﹣，0）；当以AO为腰以A为顶点时，P2B＝BO＝1，此时点P2的坐标为（﹣2，0）；当以AO为腰以O为顶点时，P3O＝P4O＝OA＝，此时点P3的坐标为（﹣，0），点P4的坐标为（，0）．10．【解答】解：（1）把A（2，2）代入y＝ax得2a＝2，解得a＝1；∵反比例函数的图象与正比例函数y＝x的图象的交点关于原点对称，∴B点坐标为（﹣2，﹣2）；（2）①函数的图象向右平移n（n＞0）个单位长度，得到的图象C′的解析式为y ＝，把M（2，4）代入得4＝，解得n＝1；②图象C′的解析式为y＝；图象l′的解析式为y＝x﹣1；③不等式的解集是：﹣1≤x＜1或x≥3．11．【解答】解：（1）过点A作AD⊥x轴于D，∵C的坐标为（﹣2，0），A的坐标为（n，6），∴AD＝6，CD＝n+2，∵tan∠ACO＝2，∴＝＝2，解得：n＝1，经检验n＝1为原方程解；故A（1，6），∴m＝1×6＝6，∴反比例函数表达式为：y＝，又∵点A、C在直线y＝kx+b上，∴，解得：，∴一次函数的表达式为：y＝2x+4；（2）由得：＝2x+4，解得：x＝1或x＝﹣3，∵A（1，6），∴B（﹣3，﹣2）；（3）分两种情况：①当AE⊥x轴时，即点E与点D重合，此时E1（1，0）；②当EA⊥AC时，此时△ADE∽△CDA，则＝，DE＝＝12，又∵D的坐标为（1，0），∴E2（13，0）．综上所述，E1（1，0），E2（13，0）．12．【解答】解：（1）∵D（0，3）和E（6，0），∴设DE的解析式为：y＝kx+3，0＝6k+3，k＝﹣，∴DE的解析式为：y＝﹣x+3．∵M点的纵坐标为2，∴2＝﹣x+3，x＝2，∴M点的坐标为（2，2）；（2）∵M（2，2）在反比例函数上，∴m＝2×2＝4，∴y＝．∵N点的横坐标为4，∴y＝﹣×4+3＝1，∴N点的坐标为（4，1）．∴N点满足反比例函数为y＝；（3）∵从图上可以看出x大于M的横坐标小于N的横坐标时，一次函数的值大于反比例函数的值．∴当2＜x＜4时，一次函数的值大于反比例函数的值．13．【解答】解：（1）设B（x0，0），则，其中x0＞0，m＞0，在Rt△ABO中，，则，即m＝6，∴一次函数的解析式为y＝x+6，∴反比例函数的解析式为；（2）由得x2+6x﹣6＝0，解得：，∴，由反比例函数的定义可知，对反比例函数图象上任意一点P（x，y），有，即xy＝6，＝×OE×DE＝×6＝3，∴S△DEO＝S△AOB；即S△DEO（3）由，可得，即AO＝DO，∵∠AOD＞90°，∴△AOD为钝角等腰三角形．14．【解答】解：（1）∵一次函数y＝2x的图象过点P（1，p），∴p＝2，∴点P（1，2），∵反比例函数过点P（1，2），∴k＝2；（2）不存在，理由如下：由（1）可知：反比例函数的解析式为y＝，∴点M（m，），若△MNP是以MN为底的等腰三角形，∴点P在MN的垂直平分线上，∴点N（2﹣m，），∵点N在直线y＝2x上，∴＝2（2﹣m），∴m＝1，∵0＜m＜1，∴m＝1不合题意舍去，∴不存在点M，使△MNP是以MN为底的等腰三角形；（3）没有交点，理由如下：∵点M（m，），MN∥x轴，∴点N（，），∴MN＝﹣m，∵四边形MNAB是正方形，∴MN＝AN＝﹣m，AN⊥MN，∴点A（，+m），当x＝时，y＝2m，∵0＜m＜1，∴2m＜+m，∴点A在双曲线的上方，∴NA与反比例函数图象没有交点．15．【解答】解：（1）∵一次函数y1＝k1x﹣2的图象分别与x轴，y轴交于D、C两点，∴点C（0，﹣2），∴OC＝2，∵tan∠ACO＝＝，∴OD＝1，∴点D（﹣1，0），∴0＝﹣1×k1﹣2，∴k1＝﹣2，∴一次函数的解析式为：y1＝﹣2x﹣2，∵点D为线段AC的中点，点C（0，﹣2），点D（﹣1，0），∴点A（﹣2，2），∵反比例函数y2＝的图象过点A，∴k2＝﹣2×2＝﹣4，∴反比例函数的解析式为：y2＝；（2）∵点C关于原点的对称点为点E，∴点E（0，2），∴CE＝4，联立方程组可得：解得：或，∴点A（﹣2，2），点B（1，﹣4），＝S△ACE+S△BCE＝×4×2+×4×1＝6；∴S△ABE（3）由图象可得：当x＞1或﹣2＜x＜0时，y2＞y1．16．【解答】解：（1）∵一次函数y＝mx+（m≠0）与反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（4，﹣），∴﹣＝4m+，﹣＝，∴m＝﹣，k＝﹣6，∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+，反比例函数的解析式为：y＝；（2）存在．解方程组，解得：，，∴B（﹣1，6），连接OA，OB，当x＝0时，y＝，∴OC＝，＝S△AOC+S△BOC＝××4+××1＝，∴S△AOB设M点坐标为（x，y），当点M在点B的下方时，S△ABM＝（4﹣x﹣1﹣x）×（6+）﹣（4﹣x）（﹣+）﹣（﹣1﹣x）•（6+）＝×2，解得x＝﹣4，x＝1（不合题意舍去），∴M（﹣4，）．当点M在点B的上方时，•（﹣﹣6﹣+）×5﹣•（﹣﹣6）（x+1）﹣×（4﹣x）（﹣+）＝，解得x＝或（舍去），∴M（，+）；（3）观察函数图象发现：在第二象限，当x＜﹣1时，一次函数图象在反比例函数图象上方，在第四象限时，当0＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，∴不等式mx+≥的解集是x≤﹣1或0＜x≤4．17．【解答】解：（1）∵S△ACO＝2．∴，∵A（﹣4，0），∴OA＝4，∴OC＝1，∴C（0，1），将A（﹣4，0），C（0，1）代入一次函数解析式得：，解得：，∴一次函数解析式为：y＝，当y＝2时，x＝4，∴P（4，2），将P（4，2）代入反比例函数解析式得：m＝8，∴反比例函数的解析式为：y＝；（2）如图，当PB为菱形的对角线时，∵四边形BCPD为菱形，∴PB垂直平分CD，∵PB⊥x轴，P（4，2），∴D（8，1）；当PC为菱形的对角线时，PB∥CD，此时点D在y轴上，不可能在反比例函数的图象上，故此种情形不存在，综上所述，D（8，1）；（3）如图，当∠PAQ＝90°，且AQ1：AP＝1：4时，过点Q1作Q1H⊥x轴于H，则△PAB∽△AQ1H，∴，∴HA＝，HQ1＝2，∴Q1（﹣，2），当AQ2：AP＝4：1时，同理可求Q2坐标，若将此时的AQ沿AP翻折，此时共存在4个点Q符合题意，当∠APQ＝90°时，同理存在4个点Q，故Q点一共有8个．18．【解答】解：（1）如图1，过点A作AH⊥x轴于H，∴∠AHO＝90°，在Rt△AOH中，OA＝，∴cos∠AOE＝＝，∴OH＝2，根据勾股定理得，AH＝3，∴A（﹣2，3），将点A（﹣2，3）代入双曲线y＝中，k＝﹣6，∴双曲线的解析式为y＝﹣，将点A（﹣2，3）代入直线y＝﹣x+b中，得，﹣×（﹣2）+b＝3，∴b＝，∴直线AB解析式为y＝﹣x+，（2）由（1）知，直线AB的解析式为y＝﹣x+①，双曲线的解析式为y＝﹣②，联立①②解得，（点A坐标）或，∴B（4，﹣），∵点C沿y轴向下平移4个单位长度至点F，∴CF＝4，＝×4×（4+2）＝12；∴S△ABF（3）由（1）（2）知，A（﹣2，3），B（4，﹣），∴不等式﹣＞0的解集为x＜﹣2或0＜x＜4时，19．【解答】解：（1）∵AD⊥x轴于点D，∴AD∥y轴，∵A（n，2），∴AD＝2，∵∠CAD＝45°，∴∠AFD＝45°，∴FD＝AD＝2，连接AO，∵AD∥y轴，＝S△ADC＝AD•OD＝6，∴S△AOD∴OD＝6，∴A（6，2），将A（6，2）代入y＝，得m＝12，∴反比例函数解析式为y＝；∵点B（a，﹣6）在比例函数解析式为y＝的图象上，∴﹣6＝，∴a＝﹣2，∴B（﹣2，﹣6），将点A（6，2），点B（﹣2，﹣6）代入y＝kx+b，可得，解得，∴一次函数解析式为y＝x﹣4，故答案为：y＝x﹣4，y＝；（2）令x＝0，得y＝x﹣4＝﹣4，∴C（0，﹣4），点E是点C关于x轴的对称点，∴E（0，4），∴CE＝8，＝S△BCE+S△ACE＝CE•|B x|+CE•|A x|＝×8×2+×8×6＝32；∴S△ABE（3）根据图象得：不等式kx+b＞，即kx＞﹣b的解集为﹣2＜x＜0或x＞6．20．【解答】解：（1）把点A（8，1）分别代入y＝kx﹣3和y＝中，得，1＝8k﹣3，1＝，解得：k＝，m＝8，故答案为，8；（2）C（a，a﹣3）（0＜a＜8），则D（a，），∴CD＝﹣a+3，＝24，∵S四边形OCAD∴•CD•x A＝24，即（﹣a+3）×8＝24，∴a2+6a﹣16＝0，∴a1＝﹣8，a2＝2，经检验：a1＝﹣8，a2＝2是原方程的解，∵0＜a＜8，∴a＝2，∴C（2，﹣2）；（3）由平移可知：OO′∥AB，∴直线OO′的解析式为y＝x，由，解得或（舍弃），∴O′（4，2），∵把点O向右平移4个单位，向上平移2个单位得到O′，∵D（2，4），∴D′（6，6）．。
2020中考数学考点必杀30题(一次函数与反比例函数大题)(解析版)
2020中考考点必杀500题专练12 （—次函数与反比例函数大题）（30道）1. （2019-四川省中考模拟）如图，一次函数j-kx+b的图象与反比例函数尸殳（x>0）的图象交于A （2,X■1）、B （|, n）两点.宜线y=2与y轴交于点C.1）求一次函数与反比例函数的解析式；2）求ZABC的面积；3）直接写出不等式kx+b>-在如图所示范围内的解集.221 1【答案】（1）y= - : y=2x - 5；（2）〒：（3） x< 一或x>2x42【解析】1）把A （2, - 1）代入反比例解析式得:-1=—，即22二反比例解析式为尸・二，x把B （丄•『代入反比例解析式得：即B （- -4）,22⑵+/? = _1 把A与B坐标代入y=kx+b中得:f,k+b = 4解得：k=2> b= - 5t则一次函数解析式为y=2x-5；2）如图，二A (2, - 1), B (i, -4),宜线AB 解析式为尸2x-5,ZC (0, 2),直线BC解析式为尸-12x+2,1 1 7将尸・1代入BC的解析式得尸〒，则AD=2 --=-4 4 4二xc ・XB=2-( - 4 ) =6^1小， 1 7 21-S ZABC=—x ADx ( yc - yB)= —x —x6=——・2•• 2 4 43 )由图可知，当xV—或x>2时，kx+b> —・2x点睛：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待沱系数法是解本题的关键.2. (2018-江苏省中考模拟)如图，已知反比例函数尸'与一次函数尸x+b的图形在第一象限相交于点Ax(1,・k+4).(1)试确定这两函数的表达式；(2)求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并求二AOB的面积；(3)根据图象直接写出反比例函数值大于一次函数值的x的取值范围.2 3【答案】(1) y = -. y=x+l； (2) -；(3) x< -2 或0 VxVl.x 2【解析】解：(1)二反比例函数尸一与一次函数Eb的图形在第一象限相交于点J (h -K4),二_k+4 = f,x 12 解律k=29 J (b 2),匚2=l+b 得:后1,即这两个函数的表达式分别是: '、= —・〕=o+l：x2y =—⑵V xV = x + \x = —2 x = 1解得：，或< 即这两个函数图象的知一个交点E的坐标是(・2, -1)：卜=_1 U = 21x2 1x1 3 3将3=0 代入j=xT,得- 1,二0C= - 1|=1, Z S ZAOB-S ZAOC-S ZBOC^ ------ + ---- =—, U|J~A0B的而枳是一:2 2 2 2(3)根据图象可得反比例函数值大于一次函数值的x的取值范用是xV - 2或0<x<l.点睛：本题考査了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件, 利用数形结合的思想解答问题.3. (2018-辽宁省中考模拟)如图，一次函数尸kx+b的图象与反比例函数尸仝(x>0)的图象交于A (2,x直线尸2与y轴交于点C.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)求-ABC的面积.2 ?!【答案】：1〉y=2x・5, y =一一: (2)〒・X 4【解析】T)把A(2・-1)代入刃F•析式彳人-1=-，H|Jm=-2,二反比例解析式为y = --，把B (丄，2 x 22k+b = -\n)代入反比例解析式得：H—4, L!|JB (丄-4),把A^B坐标代入尸kx+b中得:{1 f「解2 -k+b = -42得：k=2, b—5,则一次函数解析式为y=2x-5；如图,2 2 2 2 2 4考点：反比例函数与一次函数的交点问题：一次函数及其应用：反比例函数及英应用.4. （2018-江苏省中考模拟）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=?的图象交于点A （-3,xm+8）, B （n, —6）两点.（1）求一次函数与反比例函数的解析式；【解析】（1）将A （-3, m十8）代入反比仇I：x111 c——=m+8 ♦■3解得m= - 6.ni+8= - 6+8=2 •所以，点A的坐标为（-3, 2）,反比例函数解析式为y=・x将点B (n, - 6)代入y=・-J, - —= - 6,x n解得n=l,所以，点B的坐标为(1, -6),将点A(・3, 2), B (1,・6)代入尸kx+b得，-3k+b = 2k + b = —6k = —2解得，「b = -4所以，一次函数解析式为尸・2x・4：(2)设AB与x轴相交于点C,令-2x・4=0解得x= - 2,所以，点c的坐标为(-2, 0),所以，OC=2,SlAOB=SlAOc+SlBOC，=—x2x2+—x2><6,2 2=2+6 >=8.考点：反比例函数与一次函数的交点问题.5. (2019甘肃省中考模拟)反比例函数尸£(k为常数，且好0)的图象经过点A (1, 3)、B (3, m).x(1)求反比例函数的解析式及B点的坐标；(2)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标.35【答案】点坐标为⑶。
2023年中考数学高频考点突破——反比例函数与一次函数综合
2023年中考数学高频考点突破——反比例函数与一次函数综合1.如图，将一把直角三角尺OAB放在平面直角坐标系中，其中点B(2,0)，∠AOB=60∘，点A在(k≠0)的图象经过点A．在x轴上取一点P，过点P作直线第一象限，反比例函数y=kxOA的垂线l，垂足为M，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是OʹBʹ．(1) 当点Oʹ与点A重合时，求点P的坐标．(k≠0)的图象有交点时，求t的取值范围．(2) 设点P(t,0)，当线段OʹBʹ与反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点A(4,2)，过A作AC⊥y轴于点C．点B 2.如图，已知反比例函数y=kx为反比例函数图象上的一动点，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD．直线BC与x轴的负半轴交于点E．(1) 求k的值；(2) 若BD=3OC，求四边形ACED的面积．3.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数y=k2x的图象在第二象限交于C，D(−6,2)两点，DE∥OC交x轴于点E．若AD AC =13，求：(1) 一次函数和反比例函数的表达式；(2) 四边形OCDE的面积．4.如图，一条直线与反比例函数y=kx的图象交于A(1,4)，B(4,n)两点，与x轴交于D点，AC⊥x轴，垂足为C．(1) 如图甲．①求反比例函数的解析式．②求n的值及D点坐标．(2) 如图乙，若点E在线段AD上运动，连接CE，作∠CEF=45∘，EF交AC于F点．①试说明△CDE∽△EAF．②当△ECF为等腰三角形时，直接写出F点坐标．5.如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y=k与直线y=−x−(k+1)在第二象限的交点，AB⊥xx轴于B且S△ABO=3．2(1) 求这两个函数的解析式．(2) 求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积．6.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为(0,3)，点A在x轴的负半轴上，点D，M分别在边AB，OA上，且AD=2DB，AM=2MO，一次函数y=kx+b的图象过点D和M，反比例函数y=m的图象经过点D，与BC的交点为xN．(1) 求反比例函数和一次函数的表达式．(2) 若点P在直线DM上，且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，直接写出点P的坐标：．x(x≥0)图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上7.如图，已知点A是一次函数y=13一点（B在A上方），在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，(x>0)的图象过点C．求k的值．(1) 若B点坐标是(3,5)，反比例函数y=kx(x>0)的图象过点B，C，且△OAB的面积为8，求△ABC的面积．(2) 若反比例函数y=kx8.如图所示，直线y1=14x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y2=kx（x>0）的图象交于点C，且AB=BC．(1) 求点C的坐标和反比例函数y2的解析式．(2) 点P在x轴上，反比例函数y2图象上存在点M，使得四边形BPCM为平行四边形，求点M的坐标．9.如图，函数y=1k x与y=kx的图象交于点A，B．若点A的坐标为(−k,−1)．(1) 点B的坐标为；(2) 若点P为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点．①设直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点N，求证PM=PN；②当P的坐标为(1,k)(k≠1)时，连接PO延长交y=kx于C，求证四边形PACB为矩形．10.如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于A，B两点，点A 的横坐标为m，点B的横坐标为n，m<n．(1) 点A的纵坐标．(2) 作AM⊥x轴，BN⊥y轴，垂足分别为M，N，AM与BN相交于点C，连接MN．①求证：MN∥AB．②若四边形ABMN是正方形且面积为8，把直线OC向右平移c个单位，平移后的直线与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于P点，与x轴交于Q点，求OP2−OQ2的值．)，且与反比例函11.如图，在平面直角坐标系中，直线AC与x轴交于点A与y轴交于点B(0,52在第一象限的图象交于点C，CD⊥y轴于点D，CD=2．数y=10x的函数值y≤5时，自变量x的取值范围．(1) 根据函数图象，直接写出当反比例函数y=10x的图象于点Q．若S△PAC:S POQ=2，(2) 动点P在x轴上，PQ⊥x轴交反比例函数y=10x求点P的坐标．12.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，直角顶点B位于x轴的负半轴，点A(0,−2)，斜边AC，y轴平分∠BAC，反比例函数y=交x轴于点D，BC与y轴交于点E，且tan∠OAD=12k(x>0)的图象经过点C．x(1) 求点B，D坐标；(x>0)的函数表达式．(2) 求y=kx13.已知，直线OA与反比例函数y=12交于点A，且点A的横坐标为4，过x轴上一点B(8,0)x作BC垂直于OB交OA于C点．(1) 若点P是线段OC上一动点，过点P作PE⊥OB，PF⊥BC，垂足分别于E，F，求线段EF长度的最小值．(2) 在（1）的EF取得最小值的前提下，将△PEF沿射线OA平移，记平移后的三角形为△PʹEʹFʹ，当OPʹ=2OA时，在平面内存在点Q，使得A，Eʹ，Fʹ，Q四点构成平行四边形，这样的点Q有几个？直接写出点Q的坐标．14.在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为(−√2,0)，(0,−1)，把点A绕坐标原点O顺时针旋转135∘得点C，若点C在反比例函数y=k的图象上．x(1) 求反比例函数的表达式．的图象上，且以点A，B，D，E为顶点的(2) 若点D在y轴上，点E在反比例函数y=kx四边形是平行四边形，请画出满足题意的示意图并在示意图的下方直接写出相应的点D，E的坐标．(x<0)的图象交于点A(−√3,m)．15.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x与函数y=kx(1) 求m，k的值；(2) 点P(x p,y p)为直线y=x上任意一点，将直线y=x沿y轴向上平移两个单位得到直线(x<0)的图象于点D．l，过点P作x轴的垂线交直线l于点C，交函数y=kx①当x p=−1时，判断PC与PD的数量关系，并说明理由；②当PC+PD≤4，结合函数图象，直接写出x的取值范围．16.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx(x>0)的图象与直线y=x−2交于点A(3,m)．(1) 求k，m的值．(2) 已知点P(n,n)(n>0)，过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x−2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y=kx(x>0)的图象于点N．①当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由．②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．17.请回答下列问题．(1) 如图，已知点A，B在双曲线y=kx(x>0)上，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于点D，AC 与BD交于点P，P是AC的中点，点B的横坐标为b．A与B的坐标分别为，（用b与k表示），由此可以猜想AP与CP的数量关系是．(2) 四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y=mx 与y=nx(x>0,0<m<n)的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P，P是BD的中点，点B的横坐标为4．①当m=4，n=20时，判断四边形ABCD的形状并说明理由．②四边形ABCD能否成为正方形？若能，直接写出此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．18.如图，直线y=kx+2与双曲线y=1.5相交于点A，B，已知点A的横坐标为1．x(1) 求直线y=kx+2的解析式及点B的坐标；(2) 以线段AB为斜边在直线AB的上方作等腰直角三角形ABC．求经过点C的双曲线的解析式．(k≠0)的图象于P，Q 19.如图，直线l分别交x轴、y轴于A，B两点，交反比例函数y=kx两点．若AB=2BP，且△AOB的面积为4．(1) 求k的值；(2) 当点P的横坐标为−1时，求△POQ的面积．20.已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y=1（x＞0）图象上的一个动点，连接xAO，AO的延长线交反比例函数y=k（k>0，x<0）的图象于点B，过点A作AE⊥y轴于x点E．(1) 如图1，过点B作BF⊥x轴，于点F，连接EF．①若k=1，求证：四边形AEFO是平行四边形；②连接BE，若k=4，求△BOE的面积．(2) 如图2，过点E作EP∥AB，交反比例函数y=k（k>0，x<0）的图象于点P，连接OP．试探究：对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由．答案1. 【答案】(1) 当点Oʹ与点A重合时，易知直线l垂直平分OA．∵点B(2,0)，∴OB=2．在Rt△AOB中，∵∠AOB=60∘，∴∠OAB=30∘，∴OA=2OB=4，∴OM=2．在Rt△OPM中，∵∠POM=60∘，∴∠OPM=30∘，∴OP=2OM=4，∴此时点P的坐标是(4,0)．(2) ∵点P(t,0)，∴OP=∣t∣．在Rt△OPM中，易得∠OPM=30∘，∴OM=12OP=12∣t∣，∴OOʹ=∣t∣．过点Oʹ作OʹN⊥x轴于点N．易得∠OOʹN=30∘，∴ON=12∣t∣，∴NOʹ=√32∣t∣．∵当t>0时，点Oʹ在第一象限；当t<0时，点Oʹ在第三象限，∴点Oʹ(12t,√32t)．根据对称性可知，点P在直线OʹBʹ上，设直线OʹBʹ的函数表达式是y=kx+b．将点Oʹ，P的坐标代入，得{12tk+b=√32t, tk+b=0,解得{k=−√3, b=√3t,∴y=−√3x+√3t． ⋯⋯①在Rt△AOB中，∵OB=2，OA=4，∴点A(2,2√3)．将点A的坐标代入反比例函数y=kx，得k=2×2√3=4√3，∴y=4√3x. ⋯⋯②联立①②，得√3x2−√3tx+4√3=0，即x2−tx+4=0, ⋯⋯③∴Δ=b2−4ac=t2−4×1×4≥0，解得t≥4或t≤−4．当t≥4时，易知△OOʹP为等边三角形，∴OʹP=OP=t．∵OB=2，∴OʹBʹ=2，∴BʹP=t−2，易知点Bʹ的横坐标=OP−12BʹP=1+12t．当点Oʹ为直线OʹBʹ与函数y=4√3x图象的交点时，易知点Oʹ与点A重合，此时t=4．当点Bʹ为直线OʹBʹ与函数y=4√3x 图象的交点时，将点Bʹ的横坐标代入③，得(1+12t)2−t(1+12t)+4=0，整理，得t2=20，解得t=2√5（负值舍去）．∴4≤t≤2√5．当t≤−4时，同理可得−2√5≤t≤−4．综上所述，t的取值范围是4≤t≤2√5或−2√5≤t≤−4．2. 【答案】(1) ∵反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点A(4,2)，∴2=k4，解得k=8，∴反比例函数的解析式为y=8x(x>0)．(2) ∵AC⊥y轴，A(4,2)，∴点C的坐标为(0,2)，OC=2，∵BD=3OC，∴BD=3×2=6，∵BD⊥x轴，∴点B的纵坐标为6，代入y=8x 中，得6=8x，解得x=43，∴B(43,6)，设直线BC的解析式为y=mx+b(m≠0)，将B(43,6)，C(0,2)代入y=mx+b中得{43m+b=6,b=2,解得{m=3, b=2.∴直线BC的解析式为y=3x+2，令y=0，得3x+2=0，解得x=−23，∴E(−23,0)，∴DE=43−(−23)=2，∵AC∥DE，∴S四边形ACED =12(AC+DE)⋅OC=12×(4+2)×2 =6.3. 【答案】(1) 将D(−6,2)代入y=k2x中，得k2=−6×2=−12，∴反比例函数的表达式为y=−12x．过点D作DM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N．∴DM=2，DM∥CN．∴△ADM∽△ACN．∴ADAC =DMCN=13．∴CN=3DM=6．将y=6代入y=−12x中，得x=−2，∴点C的坐标为(−2,6)．∵一次函数y=k1x+b的图象经过点C(−2,6)，D(−6,2)，∴{−2k 1+b =6,−6k 1+b =2, 解得 {k 1=1,b =8.∴ 一次函数的表达式为 y =x +8．(2) 设直线 OC 对应的函数表达式为 y =mx ．将 C (−2,6) 代入，得 −2m =6，解得 m =−3，∴ 直线 OC 对应的函数表达式为 y =−3x ．由 DE ∥OC ，可设直线 DE 对应的函数表达式为 y =−3x +n ．将 D (−6,2) 代入，得 −3×(−6)+n =2，解得 n =−16．∴ 直线 DE 对应的函数表达式为 y =−3x −16．令 y =0，得 x =−163．∴ 点 E 的坐标为 (−163,0)． ∴OE =163．在 y =x +8 中，令 y =0，得 x =−8，∴ 点 A 的坐标为 (−8,0)．∴OA =8．∴AE =OA −OE =8−163=83．∴S 四边形OCDE =S △AOC −S △AED =12OA ⋅CN −12AE ⋅DM =12×8×6−12×83×2=24−83=643.4. 【答案】(1) ① ∵ 点 A (1,4) 在反比例函数图象上， ∴k =4，即反比例函数关系式为 y =4x ．② ∵ 点 B (4,n ) 在反比例函数图象上，∴n =1，设一次函数的解析式为 y =mx +b ，∵ 点 A (1,4) 和 B (4,1) 在一次函数 y =mx +b 的图象上，∴m +b =4，4m +b =1，解得 b =5，m =−1，∴ 一次函数关系式为 y =−x +5，令 y =0，得 x =5，∴D 点坐标为 D (5,0)．(2) ① ∵A (1,4)，AC ⊥x 轴于点 C ，∴C (1,0)，∴AC =4．又∵D(5,0)，∴CD=4，∴AC=CD，∴∠CAD=∠CDA=45∘，∴∠AFE+∠AEF=135∘．又∵∠CEF=45∘，∴∠CED+∠AEF=135∘，∴∠AFE=∠CED．又∵∠FAE=∠EDC=45∘，∴△CDE∽△EAF．② (1,2)，(1,4)，(1,8−4√2)【解析】(2) ②当CE=FE时，由△CDE≌△EAF，可得AE=CD=4，DE=AF=4(√2−1)，∵A(1,4)，∴F点的纵坐标=4−AF=4−4(√2−1)=8−4√2，∴F(1,8−4√2)，当CE=CF时，由∠FEC=45∘知∠ACE=90∘，此时E与D重合，∴F与A重合，∴F(1,4)，当CF=EF时，由∠FEC=45∘知∠CFE=90∘，显然F为AC中点，∴F(1,2)，当△ECF为等腰三角形时，点F的坐标为F1(1,2)；F2(1,4)；F3(1,8−4√2)．5. 【答案】(1) 方法一：AB⊥x轴于B，且S△ABO=32，∴12∣k∣=32，∴k=±3，∵反比例函数图象在二、四象限，∴k<0，∴k=−3，∴反比例函数解析式为y=−3x，一次函数解析式为y=−x+2．(2) 联立两函数解析式成方程组，{y =−3x ,y =−x +2,解得 {x 1=−1,y 1=3, {x 2=3,y 2=−1, ∴ 点 A 的坐标为 (−1,3)，点 C 的坐标为 (3,−1)， 设直线 AC 与 x 轴交与点 D ，当 y =−x +2=0 时，x =2，∴ 点 D (2,0)，∴S △AOC =12OD ⋅(y A −y C )=12×2×[3−(−1)]=4．【解析】(1) 方法二：设 A 点坐标为 (x,y )，且 x <0，y >0，则 S △ABO =12⋅∣OB∣⋅∣AB∣=12⋅(−x )⋅y =32，∴xy =−3，又 ∵y =k x ，∴k =−3，∴ 所求的两个函数的解析式分别为 y =−3x ，y =−x +2．6. 【答案】(1) ∵ 点 C 坐标为 (0,3)，∴OC =3，∵ 四边形 OABC 为正方形，∴OA =AB =BC =OC =3，又 ∵AD =2DB ，AM =2MO ，∴AD =AM =2，DB =OM =1，∴ 点 D 坐标为 (−3,2)，点 M 坐标为 (−1,0)，∵ 点 D 坐标为 (−3,2) 在反比例函数 y =m x 上，∴m =−6，∴ 反比例函数为 y =−6x ，∵ 点 D 坐标为 (−3,2)，点 M 坐标为 (−1,0) 在一次函数 y =kx +b 上，∴{2=−3k +b,0=−k +b, 解得：{k =−1,b =−1,∴ 一次函数为：y =−x −1．(2) (−10,9) 或 (8,−9)【解析】(2) 设P点坐标为(x P,y P)，则S四边形OMNC =12(1+2)×3=12×OM×∣y P∣=92，∴∣y P∣=9，∴y P=−9或9，则其坐标为(−10,9)或(8,−9)．7. 【答案】(1) ∵点A是一次函数y=13x(x≥0)图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点（B在A上方），B的坐标为(3,5)，∴点A的横坐标为为3，代入一次函数解析式得A(3,1)，∵△ABC为等腰直角三角形，∴根据等腰三角形的性质和直角三角形斜边中线是斜边一半可得点C的坐标为(5,3)，∵反比例函数y=kx(x>0)的图象过点C，∴3=k5，∴k=15．(2) 如图，过C作CD⊥y轴于D，交AB于E，∵AB⊥x轴，∴CD⊥AB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BE=AE=CE，设AB=2a，则BE=AE=CE=a，设A(x,13x)，则B(x,13x+2a)，C(x+a,13x+a)，∵B，C在反比例函数的图象上，∴x(13x+2a)=(x+a)(13x+a)，解得x=32a，∵S△OAB=12AB⋅DE=12⋅2a⋅x=8，∴ax=8，∴32a2=8，∴a2=163，∵S△ABC=12AB⋅DE=12⋅2a⋅a=a2=163．8. 【答案】(1) ∵直线y1=14x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴点A的坐标为(−4,0)，点B的坐标为(0,1)．过点C作CD⊥x轴于点D，如图1所示．∵AB=BC，∴OB为△ACD的中位线，∴OD=OA=4，CD=2OB=2，∴点C的坐标为(4,2)．∵点C(4,2)在反比例函数y2=kx（x>0）的图象上，∴k=4×2=8，∴反比例函数y2的解析式为y2=8x．(2) 连接PM交BC于点G，如图2所示．∵四边形BPCM为平行四边形，∴点G为线段BC的中点，点G为线段PM的中点．∵点B的坐标为(0,1)，点C(4,2)，∴点G的坐标为(0+42,1+22)，即(2,32)，∴点M的纵坐标为32×2−0=3，∴点M的坐标为(83,3)．9. 【答案】(1) (k,1)(2) ①设P(m,km)，直线PA的解析式为y=ax+b，则有{−ka+b=−1,ma+b=km,解得{a=1m,b=km−1,∴直线PA的解析式为y=1m x+k−mm，令y=0，得到x=m−k，设直线PB的解析式为y=cx+d，则有{kc+d=1,mc+d=km,解得{c=−1m,b=km+1,∴直线PB的解析式为y=−1m x+k+mm，令y=0，得到x=k+m，如图，作PH⊥MN于H．则H(m,0)．∴HM=m−(m−k)=k，NH=k+m−m=k，∴MH=HN，∴PM=PN．② ∵P(1,k)，∴C(−1,−k)，∵OP=OC，OA=OB，∴四边形PACB是平行四边形，∵PH=k，MH=k，HN=k，∴PH=HM=HN，∴∠MPN=90∘，∴四边形PACB是矩形．【解析】(1) ∵函数y=1k x与y=kx的图象交于点A，B，∴A，B关于原点对称，∵A(−k,−1)，∴B(k,1)．10. 【答案】(1) km(2) ①当x=n时，y=kx =kn,∴点B的坐标为(n,kn)∵AM⊥x轴，BN⊥y轴，∴点C的坐标为(m,kn)，∴NC=m，BC=n−m，MC=kn ，AC=km−kn，∵NCBC =mn−m，MCAC=knkm−kn=knk(n−m)mn=mn−m，∴NCBC =MCAC又∵∠ACB=∠MCN=90∘，∴△ACB∽△MCN，∴∠ABC=∠MNC，∴AB∥MN．②如图，∵ 四边形 ABMN 是正方形，∴CM =CN ，BN =2CN ，AM =2CM ，∴n =2m ，△CMN 为等腰直角三角形．∵S 正方形ABMN =MN 2=8，∴MN =2√2,∴CM =CN =2，∴m =2，n =4，∴ 点 A 的坐标为 (2,4)，点 C 的坐标为 (2,2)，∴k =2×4=8，直线 OC 的解析式为 y =x ．∵ 把直线 OC 向右平移 c 个单位得到直线 PQ ，∴ 直线 PQ 的解析式为 y =x −c ，点 Q 的坐标为 (c,0)．联立直线 PQ 和反比例函数解析式成方程组，得：{y =x +c,y =8x , 解得：{x 1=c+√c 2+322,y 1=√c 2+32−c 2, {x 2=c−√c 2+322,y 2=−c−√c 2+322（舍去）， ∴ 点 P 的坐标为 (c+√c 2+322,√c 2+32−c 2)， ∴OP 2−OQ 2=(c+√c 2+322−0)2+(√c 2+32−c 2−0)2−c 2=16． 【解析】(1) 当 x =m 时，y =k x =k m ， ∴ 点 A 的纵坐标为 k m ．11. 【答案】(1) x ≥2 或 x <0．(2) ∵CD ⊥y 轴于点 D ，CD =2，∴C 点的横坐标为 2．把 x =2 代入反比例函数 y =10x ，得 y =102=5， ∴C (2,5)．设直线 AC 的解析式为 y =kx +b ，把 B (0,52)，C (2,5) 代入， 得 {b =52,2k +b =5, 解得 {k =54,b =52.∴直线AC的解析式为y=54x+52，令y=54x+52=0，解得x=−2．∴A(−2,0)，∵PQ⊥x轴，点Q在反比例函数y=10x的图象上，∴S△POQ=12×10=5．∵S△PAC:S△POQ=2，∴S PAC=10，则12PA⋅y c=10，∴PA=2×105=4，∴(−6,0)或(2,0)．【解析】(1) 当y=5时，x=10y=2，观察图形可知：y≤5时，x≥2或x<0．12. 【答案】(1) ∵点A(0,−2)，∴OA=2，∵tan∠OAD=ODOA =12，∴OD=1，∵y轴平分∠BAC，∴∠BAO=∠DAO，∵∠AOD=∠AOB=90∘，AO=AO，∴△AOB≌△AOD(ASA)，∴OB=OD=1，∴点B坐标为(−1,0)，点D坐标为(1,0)；(2) 过C作CH⊥x轴于H，∴∠CHD=90∘，∵∠ABC=90∘，∴∠ABO+∠CBO=∠ABO+∠BAO=90∘，∴∠BAO=∠DAO=∠CBD，∵∠ADO=∠CDH，∴∠DCH=∠DAO，∴∠DCH=∠CBH，∴tan∠CBH=tan∠DCH=12，∴CH BH=DH CH=12，设 DH =x ，则 CH =2x ，BH =4x ， ∴2+x =4x ， ∴x =23，∴OH =53，CH =43，∴C (53,43)， ∴k =53×43=209，∴y =k x (x >0) 的函数表达式为 y =209x ．13. 【答案】(1) 当 x =4 时，y =12x=3，∴ 点 A 的坐标为 (4,3)．设直线 OA 的解析式为 y =kx (k ≠0)， 将 A (4,3) 代入 y =kx ，3=4k ，解得：k =34， ∴ 直线 OA 的解析式为 y =34x ．设点 P 的坐标为 (m,34m)(0≤m ≤8)，则 PE =34m ，PF =8−m ， ∴EF 2=PE 2+PF 2，即 EF 2=(34m)2+(8−m )2=2516(m −12825)2+57625．∵2516>0， ∴ 当 m =12825时，EF 2 取得最小值，此时 EF 最小值，最小值为245，∴ 线段 EF 长度的最小值为245．(2) 符合题意得点 Q 有 3 个，点 Q 的坐标为 (12825,5425)，(27225,24625)，(27225,5425)． 【解析】(2) 由（1）可知，当 EF 最小时，点 P 的坐标为 (12825,9625)． ∵OB =2OA ， ∴OC =2OA ，∴ 平移后点 Pʹ 与点 C 重合，∴ 平移后点 Pʹ 的坐标为 (8,6)，点 Eʹ 的坐标为 (8,5425)，点 Fʹ 的坐标为 (27225,6)．设点 Q 的坐标为 (a,b )，分三种情况考虑，如图所示： ①当 PʹEʹ 为对角线时，∵Pʹ(8,6)，Eʹ(8,5425)，Fʹ(27225,6)， ∴{a +27225=8+8,b +6=6+5425,解得：{a =12825,b =5425,∴ 点 Q 1 的坐标为 (12825,5425)； ②当 PʹFʹ 为对角线时，∵Pʹ(8,6)，Eʹ(8,5425)，Fʹ(27225,6)，∴{a +8=8+27225,b +5425=6+6,解得：{a =27225,b =24625,∴ 点 Q 2 的坐标为 (27225,24625)；③当 EʹFʹ 为对角线时，∵Pʹ(8,6)，Eʹ(8,5425)，Fʹ(27225,6)，∴{a +8=8+27225,b +6=5425+6, 解得：{a =27225,b =5425,∴ 点 Q 3 的坐标为 (27225,5425)． 综上所述：符合题意的点 Q 有 3 个，点 Q 的坐标为 (12825,5425)，(27225,24625)，(27225,5425)．14. 【答案】(1) 由旋转得：OA =OA =√2，∠AOC =135∘， 过点 C 作 CM ⊥y 轴，垂足为 M ， 则 ∠COM =135∘−90∘=45∘，在 Rt △OMC 中，∠COM =45∘，OC =√2， ∴OM =CM =1，∴ 点 C (1,1)，代入 y =kx 得：k =1， ∴ 反比例函数的关系式为：y =1x ．(2) ①当点 E 在第三象限反比例函数的图象上，如图 1， E (−√2,−√22)，D (0,−1−√22)； 如图 2， E (−√2,−√22)，D (0,−1+√22)； ②当点 E 在第一象限反比例函数的图象上时，如图 3，过点 E 作 EN ⊥y 轴，垂足为 N ， E (√2,√22)，D (0,1+√22)． 【解析】(2) ① ∵ 点 D 在 y 轴上，AEDB 是平行四边形， ∴AE ∥DB ，AE =BD ，AE ⊥OA ，当 x =−√2 时，y =−√2=−√22， ∴E (−√2,−√22)， ∵B (0,−1)，BD =AE =√22， 当点 D 在 B 的下方时， ∴D (0,−1−√22)， 当点 D 在 B 的上方时， ∴D (0,−1+√22)； ② ∵ABED 是平行四边形，∴AB =DE ， ∴∠ABO =∠EDO ， ∴△AOB ≌△END (AAS )，∴EN =OA =√2，DN =OB =1， 当 x =√2 时，代入 y =1x 得：y =√22， ∴E (√2,√22)， ∴ON =√22，OD =ON +DN =1+√22， ∴D (0,1+√22)．15. 【答案】(1) ∵ 直线 y =x 经过点 A(−√3,m)， ∴m =−√3．又 ∵ 函数 y =kx (x <0) 的图象经过点 A(−√3,−√3)， ∴k =−√3×(−√3)=3． (2) ① PC =PD ，理由：∵ 点 P 为直线 y =x 上一点，x p =−1， ∴y p =−1， ∴P (−1,−1)．∵ 直线 y =x 向上平移两个单位得到直线 l ， ∴ 直线 l 的解析式为 y =x +2， ∵PC ⊥x 轴，∴C (−1,1)． 由（1）知，k =3，∴ 反比例函数的解析式为 y =3x (x <0)， 把 x =−1 代入 y =3x ，得 y =−3．∴ 点 D 的坐标为 (−1,−3)． ∴PC =PD =2． ② −3≤x p ≤−1． 【解析】(2) ②如图，由①知，当 x p =−1 时，PC =PD =2， ∴PC +PD =4．由平移知，PʹCʹ=PC =2，∴ 当点 Dʹ 与点 Cʹ 重合时，PʹCʹ+PʹDʹ=4．解{y=x+2,y=3x得{x=−3,y=−1或{x=1,y=3（舍去）．∴点Dʹ与Cʹ重合时，x pʹ=−3．由图象知，−3≤x p≤−1．16. 【答案】(1) ∵函数y=kx(x>0)的图象与直线y=x−2交于点A(3,m)，∴m=3−2=1，A(3,1)，k=3×1=3，即k的值为3，m的值为1．(2) ①当n=1时，P(1,1)，令y=1，代入y=x−2，x−2=1，x=3，M(3,1)，PM=2．令x=1，代入y=kx(x>0)，y=3，N(1,3)，PN=2．∴PM=PN．② 0<n≤1或n≥3．【解析】(2) ② P(n,n)，点P在直线y=x上，过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x−2于点M，M(n+2,n)，PM=2，PN≥PM，即PN≥2，0<n≤1或n≥3．17. 【答案】(1) (b2,2kb)；(b,kb)；相等(2) ① ∵点B的横坐标为4，m=4，n=20，∴y B=44=1，y D=204=5，∴B(4,1)，D(4,5)，∵P是BD中点，∴P(4,3)，∴点A，C的纵坐标为3，∴3=4x A ，3=20x C，解得：x A=43，x C=203，∴A(43,3)，C(203,3)，∴PA=4−43=83，PC=203−4=83，∴PA=PC，∵PB=PD，BD⊥AC，∴四边形ABCD为菱形．②能，m+n=32．【解析】(1) ∵点B在反比例函数y=kx图象上，点B横坐标为b，∴y=kx ，即B(b,kb)，∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，AC，BD交于点P，∴P点纵坐标为kb，∵点P为AC中点，∴AP=PC，点A的纵坐标为2kb，∵点A在y=kx图象上，∴2kb =kb，解得：x=b2，∴A(b2,2kb)．(2) ② ∵点B的横坐标为4，∴B(4,m4)，D(4,n4)，∵点P为BD中点，∴P(4,m+n8)，∴A(8mm+n ,m+n8)，C(8nm+n,m+n8)，∵ABCD是正方形，∴AC=BD，即8nm+n −8mm+n=n4−m4，∴m+n=32．18. 【答案】(1) ∵ 点 A 在双曲线 y =1.5x上，且点 A 的横坐标为 1，∴ 点 A 的纵坐标为 1.51=32，∴ 点 A (1,32)，∵ 点 A (1,32) 在直线 y =kx +2 上， ∴k +2=32，∴k =−12，∴ 直线 AB 的解析式为 y =−12x +2，联立直线 AB 和双曲线的解析式得，{y =1.5x,y =−12x +2, 解得 {x =1,y =32（点 A 的纵横坐标）或 {x =3,y =12,∴B (3,12)．(2) 如图，过点 A 作 x 轴的垂线，过点 B 作 y 轴的垂线，两线相交于点 F ，过点 C 作 CD ⊥AF ，交 AF 于 D ，过点 C 作 CE ⊥BF 于 E ， ∴∠D =∠F =∠CEF =∠CEB =90∘， ∴ 四边形 CDFE 是矩形， ∴∠DCE =90∘， ∵∠ACB =90∘， ∴∠ACD =∠BCE ，∵ 以线段 AB 为斜边在直线 AB 的上方作等腰直角三角形 ABC ， ∴AC =BC ，∴△ACD ≌△BCE (AAS )， ∴AD =BE ，CD =CE ， 设点 C (m,n )， ∵A (1,32)，B (3,12)，∴AD =n −32，CD =m −1，BE =3−m ，CE =n −12，∴{n −32=3−m,m −1=n −12,∴{m =52,n =2,∴C (52,2)，设过点 C 的双曲线的解析式为 y =kʹx ， ∴kʹ=2×52=5，∴ 过点 C 的双曲线的解析式为 y =5x ．19. 【答案】(1) ∵AB =2BP ，且 △AOB 的面积为 4， ∴△POB 的面积为 2， 作 PM ⊥y 轴于 M ， ∴PM ∥OA ， ∴△PBM ∼△ABO ， ∴S △PBM S △ABO=(PB AB )2，即 S △PBM4=(12)2，∴△PBM 的面积为 1， ∴S △POM =1+2=3， ∵S △POM =12∣k∣， ∴∣k∣=6， ∵k <0， ∴k =−6 ;(2) ∵ 点 P 的横坐标为 −1， ∴PM =1， ∵△PBM ∼△ABO ， ∴PM OA=PB AB，即 1OA=12，∴OA =2， ∴A (2,0)，把 x =−1 代入 y =−6x 得，y =6， ∴P (−1,6)，设直线 AB 为 y =mx +n ，把 P ，A 的坐标代入得 {−m +n =6,2m +n =0, 解得 {m =−2,n =4,∴ 直线 AB 为 y =−2x +4， 解 {y =−6xy =−2x +4 得 {x =3y =−2 或 {x =−1,y =6,∴Q (3,−2)，∴S △POQ =S △POA +S △QOA =12×2×6+12×2×2=8．20. 【答案】(1) ①设点 A 的坐标为 (a,1a )，则当点 k =1 时，点 B 的坐标为 (−a,−1a )， ∴AE =OF =a ， ∵AE ⊥y 轴，∴AE ∥OF ，∴ 四边形 AEFO 是平行四边形．②过点 B 作 BD ⊥y 轴 于点 D ，如图 1， ∵AE ⊥y 轴， ∴AE ∥BD ， ∴△AEO ∽△BDO ， ∴S△AEO S △BDO=(AO BO )2，∴ 当 k =4 时，122=(AO BO )2， 即 AO BO =12，∴S △BOE =2S △AOE =1． (2) 不改变． 理由如下：过点 P 作 PH ⊥x 轴 于点 H ，PE 与 x 轴交于点 G ， 设点 A 的坐标为 (a,1a )，点 P 的坐标为 (b,kb )， 则 AE =a ，OE =1a ,PH =−kb ， ∵ 四边形 AEGO 是平行四边形， ∴∠EAO =∠EGO ，AE =OG ， ∵∠EGO =∠PGH ， ∴∠EAO =∠PGH ， 又 ∵∠PHG =∠AEO ， ∴△AEO ∽△GHP ， ∴AE GH =EOPH ，∵GH=OH−OG=−b−a，∴a−b−a =1a−kb，∴(ba )2+ba−k=0，解得ba =−1±√1+4k2，∵a，b异号，k>0，∴ba =−1−√1+4k2，∴S△POE=12×OE×(−b)=12×1a×(−b)=−12×ba=1+√1+4k4，∴对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积不会发生变化．。
2020年(河南)中考数学压轴题全揭秘精品专题10 一次函数与反比例函数综合题(含答案解析)
专题10一次函数与反比例函数综合题【例1】（2019·偃师一模）如图，直线l：y=ax+b交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B(0，-3)，交反比例函数y=k x于第一象限的点P，点P的横坐标为4.（1）求反比例函数y=kx的解析式；（2）过点P作直线l的垂线l1，交反比例函数y=kx的图象于点C，求△OPC的面积.【答案】见解析.【解析】解：（1）△y=ax+b交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B(0，-3)，△3a+b=0，b=－3，解得：a=1，即l1的解析式为：y=x－3，当x=4时，y=1，即P（4,1），将P点坐标代入y=kx得：k=4，即反比函数的解析式为：y=4x；（2）设直线l1与x轴、y轴分别交于点E，D，△OA=OB=3，△△OAB=△OBA=45°，△l△l1，△△DPB=90°，△△ODP=45°，设直线l1的解析式为：y=－x+b，将点P(4,1)代入得：b=5，联立：y=－x+5，y=4x，解得：x=1，y=4或x=4，y=1，即C(1,4)，△S△OPC=S△ODE－S△OCD－S△OPE=12×5×5－12×5×1－12×5×1=15 2.【变式1-1】（2018·河南第一次大联考）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y=–12x+3交AB，BC于点M，N，反比例函数kyx=的图象经过点M，N．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）△B（4,2），四边形OABC为矩形，△OA=BC=2，在y=–12x+3中，y=2时，x=2，即M(2,2),将M（2，2）代入kyx=得：k=4，△反比例函数的解析式为：4 yx =.（2）在4yx=中，当x=4时，y=1，即CN=1，△S四边形BMON=S矩形OABC－S△AOM－S△CON=4×2－12×2×2－12×4×1=4，△S△OPM=4，即12·OP·OA=4，△OA=2，△OP=4，△点P的坐标为（4,0）或（－4,0）.【例2】（2019·济源一模）已知：如图，一次函数y=kx+3 的图象与反比例函数y=mx（x＞0）的图象交于点P，P A△x轴于点A，PB△y轴于点B，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C，D，且S△DBP=27，12 OCCA=.（1）求点D的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的解析式；（3）根据图象写出x 取何值时，一次函数 y =kx +3 的值小于反比例函数y =mx的值．【答案】见解析.【解析】解：（1）△一次函数y =kx +3与y 轴相交， △令x =0，解得y =3， △D 的坐标为（0，3）；（2）△OD △OA ，AP △OA ，△DCO =△ACP ，△DOC =△CAP =90°， △Rt △COD △Rt △CAP ， △12OD OC AP AC ==，OD =3， △AP =OB =6， △DB =OD +OB =9， △S △DBP =27， 即2DP BP⋅＝27， △BP =6， △P （6，-6），把P 坐标代入y =kx +3，得到k =32-， 则一次函数的解析式为：y ＝32-x +3； 把P 坐标代入反比例函数解析式得：m =－36，则反比例解析式为：y ＝−36x； （3）联立y ＝−36x，y ＝32-x +3得：x =－4，y =9或x =6，y =－6，即直线与双曲线两个交点坐标为（－4,9），（6，－6），△当x ＞6或－4＜x ＜0时，一次函数的值小于反比例函数的值．【变式2-1】（2019·洛阳三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABDC 的顶点 D ，C 在反比例函数y =kx上（k ＞0，x ＞0），横坐标分别为12和2，对角线 BC △x 轴，菱形ABDC 的面积为 9． （1）求 k 的值及直线 CD 的解析式； （2）连接 OD ，OC ，求△OCD 的面积．【答案】见解析.【解析】解：（1）连接AD ，△菱形 ABDC 的顶点D ，C 在反比例函数y =k x 上，横坐标分别为12和2， △D (12,2k )，C (2, 2k), ∵BC ∥x 轴， ∴B (－1，2k ),A (12,－k ), ∴BC =3，AD =3k ， ∵S 菱形ABCD =9，∴12×3×3k=9，解得：k=2，△D(12,4)，C(2, 1),设直线CD的解析式为y=mx+n，∴12m+n=4，2m+n=1，解得：m=－2，n=5，即直线CD的解析式为y=－2x+5.（2）设直线y=－2x+5交x轴、y轴于点F，E，则F(52,0),E(0,5)，∴S△OCD=S△EOF－S△OED－S△OCF=12×5×52－12×5×12－12×1×52=154，即△OCD的面积为：15 4.【例3】（2019·西华县一模）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，点F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y=kx的图象与BC边交于点E．（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；（2）当k为何值时，△EF A的面积最大，最大面积是多少？【答案】见解析．【解析】解：（1）∵矩形OABC中，OA=3，OC=2，∴B（3，2），∵F为AB的中点，∴F（3，1），∵点F在反比例函数y=kx的图象上，∴k=3，即函数的解析式为y =3x； （2）E ，F 两点坐标为：E （2k ，2），F （3，3k ）， ∴S △EF A =12AF •BE =12×3k （3﹣2k ）， =()2133124k --+， ∴当k =3时，S △EF A 有最大值，最大值34． 【变式3-1】（2019·中原名校大联考）如图，一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y ＝mx的图象交于A ，B 两点，与x 轴交于点C （﹣2，0），点A 的纵坐标为6，AC ＝3CB ．（1）求反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式组mx＜kx +b ＜4的解集； （3）点P （x ，y ）是直线y ＝k +b 上的一个动点，且满足（2）中的不等式组，过点P 作PQ ⊥y 轴交y 轴于点Q ，若△BPQ 的面积记为S ，求S 的最大值．【答案】见解析．【解析】解：（1）过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过B 作BE ⊥x 轴于E ，则∠ADC ＝∠BEC ＝90°， ∵∠ACD ＝∠BCE ， ∴△ACD ∽△BCE ， ∴AD AC CD BE BC CE ==，即623CE BE CE+==，解得：BE＝2，CE＝1，∴A（1，6），∴反比例函数解析式为y＝6x；（2）将A（1，6），C（﹣2，0）代入y＝kx+b，得：620k bk b+=⎧⎨-+=⎩，解得：24kb=⎧⎨=⎩，即直线解析式为：y＝2x+4，由B（﹣3，﹣2），得不等式组6x＜2x+4＜4的解集为：﹣3＜x＜0；（3）设P（m，2m+4）（﹣3＜m＜0），则PQ＝﹣m，△BPQ中PQ边上的高为2m+4﹣（﹣2）＝2m+6，∴S＝12•（﹣m）（2m+6）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+32）2+94，∴当m＝﹣32时，S取得最大值，最大值为94．1.（2019·郑州外国语测试）如图所示，在平面直角坐标系中，直线l1：y=12-x与反比例函数y=kx的图象交于A、B两点，点A在点B左侧，已知A点的纵坐标为2.（1）求反比例函数的解析式；（2）根据图象直接写出12-x>kx的解集；（3）将直线y=12-x沿y轴向上平移后的直线l2与反比例函数y=kx在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式.【答案】见解析.【解析】解：（1）在y=12-x中，y=2时，x=－4，即A(－4,2)，△反比例函数y=kx的图象过点A，△k=－8，即反比例函数的解析式为：y=8x -；（2）联立y=8x-，y=12-x，解得：x=－4，y=2（点A）；或x=4，y=－2，即B（4，－2），∴12-x>kx的解集为：x<－4或0<x<4；（3）设平移后的直线与x轴交于点D，连接AD、BD，△CD△AB，△△ABC的面积等于△ABD的面积，等于30，△S△AOD+S△BOD=30，△12·OD·|y A|+12·OD·|y B|=30，△OD=15，即D（15,0），设平移后直线的解析式为：y=12-x+m，将D（15,0）代入得：m=152，即平移后的直线函数表达式为：y=12-x+152.2.（2018·河师大附中模拟）如图，已知函数y=kx（x>0）的图象经过点A、B，点A的坐标为（1，2），过点A作AC△y轴，AC=1（点C在A点的下方），过点C作CD△x轴，与函数y=kx（x>0）的图象交于点D，过点B作BE△CD于E，E在线段CD上，连接OC、OD.（1）求△OCD的面积；（2）当BE =12AC 时，求CE 的长.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (1,2)代入y =kx得：k =2， △AC △y 轴，AC =1， △C (1,1),△CD △x 轴，D 在y =2x上， △D (2,1)，△S △OCD =12×1×1=12. （2）△BE =12AC ，△BE =12,△BE △CD ， △点B 的纵坐标为32， △B 点在函数y =2x上， △B (43，32)， △CH =43－1=13，△DH =1.5,△CD =+1.5，在Rt △CDE 中，△CED =60°，△CE =°sin60CD（米）.3.（2018·洛阳三模）如图，在矩形OABC 中，OA =3，OC =2，F 是AB 上的一个动点（不与A 、B 重合），过点F 的反比例函数y =kx（k >0）的图象与BC 边交于点E . （1）当F 为AB 边的中点时，求该函数的解析式；（2）当k 为何值时，△EF A 的面积为23？【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意知，AB =OC =2，BC =OA =3， △F 是AB 中点， △F (3，1)，将F (3，1)代入y =kx得：k =3， 即反比例函数的解析式为：y =3x.（2）由图象知，点F 位于B 点下方，B (3,2)， △当x =3时，y <2， 即k <6， △0<k <6，由题意知，F 点横坐标为3，即F (3, 3k )， 同理，得E 点坐标为（2k，2）， △S △EF A =12AF BE ⋅⋅ 13232k k ⎛⎫=⨯⨯- ⎪⎝⎭△2313232k k ⎛⎫=⨯⨯- ⎪⎝⎭解得：k =2，或k =4，当k 为2或4时，△EF A 的面积为23.4.（2019·洛阳二模）如图，A ，B 分别在反比例函数y =kx（x ＜0）和y =x （x ＞0）的图象上，AB △x 轴，交 y 轴于点C ．若△AOC 的面积是△BOC 面积的2倍．（1）求k 的值；（2）当△AOB =90°时，直接写出点A ，B 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）△AB △x 轴，△S △AOC =2k ，S △BOC ，△△AOC 的面积是△BOC 面积的2倍，△2k，△k （舍）或k =－.即k 的值为：－.（2）△△AOB =90°，△ACO =90°， △△A +△ABO =△B +△BOC =90°， △△A =△BOC ， △△AOC △△OBC ，△△AOC 的面积是△BOC 面积的2倍，△OCBC=设B (a )，△aa ，解得：a a =（舍），即B (1,),△A (－2).5.（2019·周口二模）如图，点A (-2，a )，C (3a -10，1)是反比例函数my x=（x ＜0）图象上的两点． （1）求m 的值；（2）过点A作AP⊥x轴于点P，若直线y=kx+b经过点A，且与x轴交于点B，当∠P AC=∠P AB时，求直线AB的解析式．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵点A(-2，a)，C(3a-10，1)是反比例函数myx上，∴－2a=3a－10，解得：a=2，∴A(-2,2),C(-4,1)，∴m=-4；（2）分两种情况讨论：①当点B在AP左侧时，∵∠P AC=∠P AB，∴A、C、B三点共线，将A(-2,2),C(-4,1)代入y=kx+b，并解得：k=12，b=3，即直线AB的解析式为：y=12x+3；②当点B在AP右侧时，∵∠P AC=∠P AB，∴此时直线AB与①中的直线AB关于直线AP成轴对称，此时k=-12，将（-2,2）代入y=-12x+b，得：b=1，即直线AB的解析式为：y=-12x+1；综上所述，直线AB的解析式为：y=12x+3，y=-12x+1.6.（2017·新野一模）如图，已知双曲线y =kx经过点B （1），点A 是双曲线第三象限上的动点，过B 作BC ⊥y 轴，垂足为C ，连接AC ．（1）求k 的值；（2）若△ABC 的面积为，求直线AB 的解析式；（3）在（2）的条件下，写出反比例函数值大于一次函数值时x 的取值范围．【答案】见解析．【解析】解：（1）把B （1）代入y =kx中得，∴k ，（2）设△ABC 中BC 边上的高为h ，∵BC ⊥y 轴，B （1）∴BC ，∵△ABC 的面积为∴12BC •h ， 解得：h =4，∴点A 的纵坐标为﹣3，把y =﹣3代入y ，得：x =，即A 3），设直线AB 的解析式为：y =mx +n ，把A 3）和B （，1）代入y =mx +n ，并解得：m，b=－2，∴直线AB的解析式为y x﹣2.（3）由图象可得：x或0＜x＜7.（2018·焦作一模）如图，一次函数y=﹣12x+b与反比例函数y=kx（x＞0）的图象交于点A（2，6）和B（m，1）（1）填空：一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；（2）点E为y轴上一个动点，若S△AEB=5，求点E的坐标．【答案】（1）y=﹣12x+7，y=12x；（2）见解析.【解析】解：（1）把点A（2，6）代入y=kx，得k=12，即反比函数解析式为：y=12x．∵点B（m，1）在y=12x上，∴m=12，即B（12，1）．∵直线y=﹣12x+b过点A（2，6），∴b=7，∴一次函数的表达式为y=﹣12x+7．∴答案为：y=﹣12x+7，y=12x．（2）设直线AB与y轴交于点P，点E的坐标为（0，a），连接AE，BE，则点P的坐标为（0，7），∵S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=5，∴12×|a﹣7|×（12﹣2）=5，∴|a﹣7|=1，解得：a=6或a=8，即点E的坐标为（0，6）或（0，8）．8.（2018·信阳一模）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y=﹣12x+3交AB，BC分别于点M，N，反比例函数y=kx的图象经过点M，N．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵B（4，2），四边形OABC是矩形，∴OA=BC=2，在y=﹣12x+3中，当y=2时，x=2，∴M（2，2），将x=4代入y=﹣12x+3得：y=1，∴N（4，1），∵反比例函数y=kx的图象经过点M（2，2），∴k=4，∴反比例函数的解析式是y=4x；（2）S四边形BMON=S矩形OABC﹣S△AOM﹣S△CON=4×2﹣12×2×2﹣12×4×1=4；∵△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，∴12OP×AM=4，而AM=2，∴OP=4，∴点P的坐标是（0，4）或（0，﹣4）．9.（2019·南阳毕业测试）如图，直线y＝kx+b与反比例函数y=mx的图象分别交于点A（﹣1，2），点B（﹣4，n），与x轴，y轴分别交于点C，D．（1）求此一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．【答案】见解析.【解析】解：（1）将点A（﹣1，2）代入y=mx，得m＝﹣2，∴反比例函数解析式为：y＝2x -．将B（﹣4，n）代入y＝2x-中，得：n＝12；B点坐标为（﹣4，12）．将A（﹣1，2）、B（﹣4，12）代入y＝kx+b中，得：-k+b=2，-4k+b=12，解得：k=12，b=52，∴一次函数的解析式为y＝12x+52；（2）在y＝12x+52中，当y＝0时，x＝﹣5，∴C（﹣5，0），即OC＝5．S△AOC＝S△AOC﹣S△BOC＝12•OC•|y A|﹣12•OC•|y B|＝154．10.（2019·开封二模）如图，A（4，3）是反比例函数y＝kx在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB＝OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y＝kx的图象于点P．（1）求反比例函数y＝kx的表达式；（2）求点B的坐标；（3）求△OAP的面积．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵点A（4，3）在反比例函数y＝kx的图象上，∴k＝12，即反比例函数解析式为：y＝12x；（2）如上图，过点A作AC⊥x轴于点C，则OC＝4，AC＝3，在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA＝5，∵AB∥x轴，AB＝OA＝5，∴点B的坐标为（9，3）；（3）∵B（9，3），∴可得OB所在直线解析式为y＝13 x，联立：y＝13x，y＝12x，解得：x=6，y=2或x=-6，y=-2（舍），∴P（6，2），如上图所示，过点P作PD⊥x轴于D，∴S△OAP＝S梯形PDCA=5．11.（2019·安阳一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数kyx=（k≠0）与一次函数y=ax+b（a≠0）交于第二、四象限的A，B两点，过点A作AD⊥y轴于点D，OD=3，S△AOD=3，点B的坐标为(n，-1)．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）请根据图象直接写出kax bx+≥的自变量x的取值范围．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵AD⊥y轴，OD=3，∴S△AOD=12OD·AD，S△AOD=3∴AD=2，即A(-2,3),将A(-2,3)代入kyx=中，得：k=-6，即反比例函数解析式：6 yx =-.当y=-1时，x=6，即B(6,-1)，将A(-2,3), B(6,-1)代入y=ax+b得：-2a+b=3,6a+b=-1,解得：a=12-，b=2，即一次函数的解析式为：y=12-x+2.（2）观察图象可知，kax bx+≥的解集为：x≤-2或0<x≤6.12.（2019·三门峡二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣2与双曲线y＝kx（k≠0）相交于A，B两点，且点A的横坐标是3．（1）求k的值；（2）过点P（0，n）作直线，使直线与x轴平行，直线与直线y＝x﹣2交于点M，与双曲线y＝kx（k≠0）交于点N，若点M在N右边，求n的取值范围．【答案】见解析．【解析】解：（1）在y＝x﹣2中，当x＝3时，y＝1，∴A（3，1），∵点A（3，1）在双曲线y＝kx上，∴k＝3；（2）联立y＝x﹣2，y＝3x，解得：31xy=⎧⎨=⎩或13xy=-⎧⎨=-⎩，即B（﹣1，﹣3），如下图所示：当点M在N右边时，n的取值范围是n＞1或﹣3＜n＜0．13.（2019·濮阳二模）如图，已知反比例函数y＝mx（m≠0）的图象经过点（1，4），一次函数y＝﹣x+b的图象经过反比例函数图象上的点Q（﹣4，n）．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P点，连结OP、OQ，求△OPQ的面积．【答案】见解析．【解析】解：（1）反比例函数y＝mx图象经过点（1，4），∴m＝4，即反比例函数的表达式为：y=4 x .∵反比例函数的图象过点Q（﹣4，n），∴n=－1，∵一次函数y＝﹣x+b的图象过点Q（﹣4，－1），∴b=－5，即一次函数的表达式为：y＝﹣x﹣5；（2）联立y＝﹣x﹣5，y=4x，解得：x=－4，y=－1或x=－1，y=－4，∴P（﹣1，﹣4），在一次函数y＝﹣x﹣5中，当y＝0时，x=﹣5，∴点A （﹣5，0）， ∴S △OPQ ＝S △OP A ﹣S △OAQ＝11545122⨯⨯-⨯⨯＝152． 14.（2019·商丘二模）如图，一次函数y ＝k 1x +b 与反比例函数y ＝2k x的图象交于A （2，m ），B （n ，﹣2）两点．过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，且S △ABC ＝5．（1）求一次函数与反比例函数的解析式． （2）根据所给条件，请直接写出不等式k 1x +b ＞2k x的解集； （3）若P （p ，y 1），Q （﹣2，y 2）是函数y ＝2k x图象上的两点，且y 1≥y 2，求实数p 的取值范围．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵S △ABC ＝12•BC •（x A －x B ） =12×2×（2﹣n ）， ∴12×2×（2﹣n ）=5， 即n =－3，∴A （2，3），B （﹣3，﹣2）， ∴k 2＝6，即反比例函数的解析式是y ＝6x. 把A （2，3），B （﹣3，﹣2）代入y ＝k 1x +b 得：112332k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得：k 1＝1，b ＝1，即一次函数的解析式是y ＝x +1；（2）∵当﹣3＜x ＜0或x ＞2时，一次函数图象在反比例函数图象上方，∴不等式k 1x +b ＞2k x的解集是﹣3＜x ＜0或x ＞2； （3）在y ＝6x中，当x >0时，y 随x 增大而减小；当x >0时，y >0， 当x =－2时，y 2=－3，即Q （－2，－3）∴若y 1≥y 2，实数p 的取值范围是：p ≤﹣2或p ＞0.15.（2019·开封模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数y 1＝﹣2x 的图象与反比例函数y 2＝kx的图象交于A （﹣1，n ），B 两点．（1）求出反比例函数的解析式及点B 的坐标； （2）观察图象，请直接写出满足y ≤2的取值范围；（3）点P 是第四象限内反比例函数的图象上一点，若△POB 的面积为1，请直接写出点P 的横坐标．【答案】见解析． 【解析】解：解：（1）把A （﹣1，n ）代入y 1＝﹣2x ，得n ＝2， ∴A （﹣1，2），把A （﹣1，2）代入y 2＝kx，可得k ＝﹣2， ∴反比例函数的表达式为y 2＝﹣2x，由反比例函数图象性质，知点B 与点A 关于原点对称， ∴B （1，﹣2）．（2）由图象可知，y ≤2时自变量x 的取值范围是：x ＜﹣1或x ＞0； （3）过B 作BM ⊥x 轴于M ，过P 作PN ⊥x 轴于N ，∵S梯形MBPN＝S△POB＝1，设P（m，﹣2m），则12（2+2m）|m﹣1|＝1，解得：m＝12或m＝12，综上所述，P．16.（2019·开封二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y＝kx（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．（1）求k的值；（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点D落在函数y＝kx（k＞0，x＞0）的图象上时，求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离．【答案】见解析．【解析】解：（1）过点D作DE⊥y轴于E，∵点D的坐标为（4，3），∴DE＝4，OE＝3，由勾股定理得：OD＝5，∴AD＝5，∴点A坐标为（4，8），∵点A在反比例函数y＝kx的图象上，∴k＝32；（2）由D(4，3)知，当平移后落在y＝32x的图象上，则y=3，即32x=3，即x=323，∴平移的距离为：323－4=203，即菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离为20 3.17.（2019·郑州联考）如图，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，4），OABC为矩形，反比例函数k yx =的图象过AB的中点D，且和BC相交于点E，F为第一象限的点，AF＝12，CF＝13．（1）求反比例函数kyx=和直线OE的函数解析式；（2）求四边形OAFC的面积？【答案】见解析．【解析】解：（1）由题意得：点B（3，4），点D（3，2），将D（3，2）代入kyx=，得k＝6．即反比例函数的解析式为6yx =；在6yx=中，当y=4时，x=32，即E(32，4)，设直线OE的解析式为：y＝mx，将（32，4）代入得：m＝83，即直线OE的解析式为y＝83 x；（2）连接AC，在Rt△OAC中，OA＝3，OC＝4，由勾股定理得：AC＝5，∵AF＝12，CF＝13．∴AC2+AF2＝CF2，∴∠CAF＝90°，∴S四边形OAFC＝S△OAC+S△CAF＝12×3×4+12×5×12＝36．18.（2019·安阳二模）如图，直线y＝12x与反比例函数y＝kx（x＞0）的图象交于点A，已知点A的横坐标为4．（1）求反比例函数的解析式；（2）将直线y＝12x向上平移3个单位后的直线l与y＝kx（x＞0）的图象交于点C；①求点C的坐标；②记y＝kx（x＞0）的图象在点A，C之间的部分与线段OA，OC围成的区域（不含边界）为W，则区域W内的整点（横，纵坐标都是整数的点）的个数为．【答案】见解析．【解析】解：（1）将x＝4代入y＝12x，得：y＝2，∴A（4，2），将A点代入y＝kx，得：k＝8，∴反比例函数的解析式y＝8x；（2）①l的解析式为y＝12x+3，联立：y＝12x+3，y＝8x得：∴x=2，y=4或x=－8，y=－1（舍），∴C（2，4）；②4个；19.（2019·名校模考）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y＝kx（k≠0）的图象交于A、B点，与y轴交于点C，其中点A的半标为（﹣2，3）（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）如图，若将点C沿y轴向上平移4个单位长度至点F，连接AF、BF，求△ABF的面积．【答案】见解析．【解析】解：（1）将（﹣2，3）代入y＝﹣x+b，得：b=1，将（﹣2，3）代入y＝kx，得：k=－6，即：一次函数的解析式为y＝﹣x+1，反比例函数的解析式为y＝6x；（2）在y＝﹣x+1中，当x＝0时，y＝1，即C（0，1），由平移知：CF＝4．联立y＝﹣x+1，y＝6x，解得：x=3，y=－2或x=－2，y=3，∴B(3，-2)，A(-2，3)，∴S△ABF＝12×4×（2+3）＝10．20.（2019·枫杨外国语三模）如图，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=kx(k≠0)的图象相交于A、B两点，其中A(﹣1，4)，直线l⊥x轴于点E(﹣4，0)，与反比例函数和一次函数的图象分别相交于点C、D，连接AC、BC.（1）求出b和k；（2）判定△ACD的形状，并说明理由.【答案】见解析．【解析】解：（1）将A（﹣1，4）代入一次函数y=﹣x+b，得：b=3，将A（﹣1，4）代入反比例函数y=kx，得k=﹣4；（2）△ACD是等腰直角三角形.∵直线x=﹣4与一次函数y=﹣x+3交于点D，∴D（﹣4，7），同理，可得：C（﹣4，1），∵A（﹣1，4），C（﹣4，1），D（﹣4，7）∴CD=6，∵∠AFD=∠AFC=90°，由勾股定理得：AC=AD=32，∵AD2+AC2= 36，CD2=36∴AD2+AC2=CD2∴△ACD是直角三角形，∵AD=AC∴△ACD是等腰直角三角形.。
2020年广东省中考数学总复习：解答题难题突破《一次函数与反比例函数综合类》
数学
解：(1)∵A(1,3)，∴AB＝3，OB＝1. ∵AB＝3BD，∴BD＝1，∴D(1,1)． 将 D 坐标代入反比例解析式得 k＝1.
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数学
(2)由(1)知 k＝1，∴反比例函数的解析式为 y＝1x，
y＝3x， 解y＝1x，
得x＝
33，
y＝ 3
或x＝－
33，
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数学
(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当 x 取何值时，一次 函数大于反比例函数的值？ (2)求一次函数解析式及 m 的值； (3)P 是线段 AB 上的一点，连接 PC，PD，若△PCA 和△PDB 面积相等，求点 P 坐标．
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数学
解：(1)由图象得Байду номын сангаас次函数图象在上的部分，－4＜x＜－1，
∴y＝(3－2 3)x＋2 3－2，
当 x＝0 时，y＝2 3－2，∴M(0,2 3－2)．
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数学 3．(2014 广东，23,9 分)如图，已知 A－4，12，B(－1,2)是一 次函数 y＝kx＋b 与反比例函数 y＝mx (m≠0，m＜0)图象的两个 交点，AC⊥x 轴于 C，BD⊥y 轴于 D.
＋1(k≠0)与双曲线 y＝2x(x＞0)相交于点 P(1，m)．
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数学
(1)求 k 的值； (2)若点 Q 与点 P 关于直线 y＝x 成轴对称，则点 Q 的坐标是 Q( )； (3)若过 P，Q 二点的抛物线与 y 轴的交点为 N0，53，求该抛 物线的函数解析式，并求出抛物线的对称轴方程．
第十一章 解答题
第50讲 解答题难题突破一 第1课时 一次函数与反比例函数综合类
数学
广东省卷近年中考命题分析——解答题难题(函数综合题)