最新高教版数学教案——等差数列与等比数列的应用
等差数列与等比数列的应用
教学目标：
1.使学生了解等差数列和等比数列在社会生活中有广泛的应用，并能解有关简单应用题.
2.复习巩固等差数列、等比数列的有关知识，加深对等差数列、等比数列概念的理解.
3.培养学生分析问题，解决问题的能力，应用数学的意识和理论与实际关系的科学观点. 教学重点：等差数列与等比数列的应用.
教学难点：将实际问题化归为等差、等比数列的问题. 教学方法：启发式讲解法.
教学过程：
一、复习提问
1.等差数列的定义，通项公式，前项和公式？
2.等比数列的定义，通项公式，前项和公式？
二、新课导入：我们学习了等差数列和等比数列这两个重要数列，它们在社会生产生活中有广泛应用，今天我们就以举例的形式来说明它们的应用.
三、新课教学
下面我们来看几个例子.
例1 (教材中的例2)某林场计划造林5，以后每年比上一年多造林3，问20年后林场共造林多少公顷？
例2 某林场计划第1年造林80，以后每一年比前一年多造林20%，第5年造要多少公顷？（将例1，例2同时并排列在黑板上，引起学生对比思考.）
分析：先看例1，由“每年比上一年多造林3”可以得出第2年造林减去第1年造林数与第3年造林数减去第2年造林数，…都等于3，也就是这20年各年的造林数依次排出来，成一个公差为3的等差数列，于是＝5，＝3，＝20，求20年后共造林，则为求.
再看例2，由“每一年比前一年多造林20%，可以得出第2年比前一年多造林数为80，第2年实际造林数为80(1＋ )，第3年又比第2年多，
即多80(1＋)· ，第3年实际为80(1＋ )，由此可知，将每年造林数依此排出来是一个公比为1＋的等比数列，求的是第5年造林数，显然是求第5项.
下面我们在练习本上自己写出解题过程.然后教师出示正确答案：
例1：解：依题意，林场每年造林的公顷数成等差数列｛｝，
其中＝5，＝3，＝20. ∴＝20×5＋＝670.
答：20年后林场造林670.
例2：解：依题意，林场每年造林的公顷数成等比数列｛｝，
其中＝80，＝1＋，＝5.
∴＝80×(1＋ )4＝80×1.24＝165.888.
答：第5年造林165.888.
大家对比这两道例题，思考：1.如何确定一道题是应用等差数列还是等比数列？
2. 怎样判定是求还是?
( 积累一下经验. 出示例3、例4、方式同例1、例2.)：
例3 某种电子产品自投放市场以来，经过三次降价，单价由原来的174元降低到58元，这种产品平均每次降价的百分率大约是多少？
例4 某种细菌在培养过程中，每30 分裂一次(一个分裂为两个)，经过4 h，这种细菌可繁殖多少个？
分析：看例3，“三次降价，原来单价为174，后来为58”将这几次的价钱排出来为178，，，58.才是三次降价.因而＝58，＝178，由求“平均每次降价的百分率”知是比例问题，设其为，则有比178少178，即为178－178＝178(1－)，同样又是的(１－)倍，可见“后项比前项”为(１－)，即此题为等比数列.＝58，又＝178(1－).
看例4，由“一个分列为两个”知原来的那个细菌已不存在，若将一次次分裂后的细菌数排出来，则为
原30 30 30 … 30 …
1 2 4 8
…
4 h有多少个30 ，4×60＝240 240÷30＝8.
下面同学们在练习本上作出这两题，教师给出正确解答：
例3：解：设平均每次降价的百分率是，则每次降价后的单价是降价前的(1－)倍.这样，将原单价与三次降价后的单价依次排列，就组成一个等比数列，记为｛｝，其中
＝174，＝58，＝4，＝1－， 0＝.
由等比数列的通项公式，得 58＝174(1－).
整理，得， (1－)＝≈0.693.
因此，≈1－0.693≈31%.
答：即上述电子产品平均每次降价的百分率大约是31%.
例4：解：细菌分裂一次，一个分裂成两个，即公比＝2，4h＝8×30 ，所以分裂8次，将每次分裂后的细菌数依次排成数列为等比数列，＝2，＝1，分裂8次后的细菌数为，＝9，所以＝＝＝256(个)
答：经过4 h，这种细菌可繁殖256个.
由这个两个例子的分析和解答，思考： 1. 怎样确定?
2. 怎样确定是求还是？如果例4换成一只兔子一个月可繁殖2个，经过半年地繁殖成多少个？那么是求，还是求?
四、课堂小结：
今天我们学习了等差数列、等比数列的一些应用，它们的应用远不仅如此，仅就今天研究的4个例题，可以在应用等差数列、等比数列知识解题时应注意：
1. 判断它是否是等差数列、等比数列.
2. 若是等差数列、它的公差是多少？一般地“增加”或“减少”的具体数量.
3. 若是等比数列，它的公比一般是(1＋增长率)或(1－降低率).
4. 对项数n要弄清楚，拿不准时不妨实地排一下.
5. 分清是求还是.切忌不加分析，盲目套用公式.
五、课后作业
1. 复习作业：阅读课文5.4等差数列与等比数列的应用.重点看懂例1和例4，对例4若有不明白的地方可以和同学讨论或问老师.
2. 书面作业：教材第149页习题5－2第1～4题.。
等差数列与等比数列教案
等差数列与等比数列教案本文为等差数列与等比数列教案，按照教案的格式进行书写。
教案主题：等差数列与等比数列一、教学目标1. 了解等差数列和等比数列的定义；2. 掌握求解等差数列和等比数列的通项公式；3. 能够应用等差数列和等比数列解决实际问题；4. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
二、教学内容及方法1. 等差数列a. 定义：等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。
b. 公式：第n项公式为an = a1 + (n-1)d。
c. 求和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2。
d. 实例演练：通过练习题让学生熟悉等差数列的求解过程。
2. 等比数列a. 定义：等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。
b. 公式：第n项公式为an = a1 * r^(n-1)。
c. 求和公式：Sn = (a1 * (r^n - 1)) / (r - 1)，其中r不等于1。
d. 实例演练：通过练习题让学生掌握等比数列的求解方法。
三、教学步骤1. 等差数列教学a. 引入：通过引入一组连续的数字，介绍等差数列的概念，并引发学生对等差数列的思考。
b. 定义：给出等差数列的定义，并通过示例展示等差数列的规律。
c. 公式推导：由示例引出等差数列的通项公式和求和公式的推导过程，让学生理解推导的思路。
d. 实例演练：让学生通过计算练习题来掌握等差数列的求解方法。
e. 总结归纳：引导学生总结等差数列的性质和应用场景。
2. 等比数列教学a. 引入：通过一组倍增或倍减的数字，介绍等比数列的概念，并引发学生对等比数列的思考。
b. 定义：给出等比数列的定义，并通过示例展示等比数列的规律。
c. 公式推导：由示例引出等比数列的通项公式和求和公式的推导过程，让学生理解推导的思路。
d. 实例演练：让学生通过计算练习题来掌握等比数列的求解方法。
e. 总结归纳：引导学生总结等比数列的性质和应用场景。
四、教学资源1. 教师准备：黑板、彩色粉笔、练习题；2. 学生使用：练习题、作业本。
等差数列与等比数列的应用备课教案
等差数列与等比数列的应用备课教案【教学目标】1. 了解等差数列与等比数列的定义和性质；2. 掌握等差数列与等比数列的常用公式和求和公式；3. 熟练运用等差数列与等比数列解决实际问题；4. 培养学生分析和解决问题的能力。
【教学重点】1. 等差数列与等比数列的定义和性质；2. 等差数列与等比数列的应用。
【教学难点】1. 运用等差数列与等比数列解决实际问题；2. 发展学生分析和解决问题的能力。
【教学准备】1. 教材：教材中关于等差数列与等比数列的理论知识和例题；2. 教具：黑板、彩色粉笔、教学课件。
【教学过程】一、导入（5分钟）1. 创设情境：假设你是班里的财务部长，请设计一份合理的奖学金方案，以激励同学们努力学习。
2. 提问引导：你会如何设计这份奖学金方案呢？有什么考虑因素？二、引入新知（10分钟）1. 教师引导：同学们，在设计奖学金方案时，我们需要考虑到同学们的学习成绩和努力程度，这可以通过等差数列和等比数列来表示和计算。
2. 展示概念：请看下面的数列，它们是等差数列还是等比数列？a) 1, 3, 5, 7, 9,...b) 2, 4, 8, 16, 32,...3. 教师解释：等差数列指的是一个数列中的相邻两项之间的差值相等，等比数列指的是一个数列中的相邻两项之间的比值相等。
三、等差数列的应用（20分钟）1. 展示例题：小明每天往学校走5公里，他记录了连续7天的步行距离。
请问他7天内总共走了多少公里？2. 教师引导：这是一个等差数列问题，我们可以通过等差数列的求和公式来计算。
3. 教师讲解：等差数列的求和公式为：Sn = n/2 * (a1 + an)，其中Sn 表示前n项和，a1表示首项，an表示末项。
4. 解题过程：根据题意可知，n = 7，a1 = 5，an = 5 + (7 - 1) * 5 = 35。
代入求和公式得：S7 = 7/2 * (5 + 35) = 7/2 * 40 = 140。
等差数列与等比数列数学教案
等差数列与等比数列数学教案引言：数列是数学中一种重要的数学概念，是指按照一定规律排列的数的集合。
其中，等差数列和等比数列是数学中最常见的两种数列。
它们是数学中的基础概念，掌握它们的性质与运算方法对深入理解数学知识、提高解决问题的能力具有非常重要的意义。
本教案将通过丰富的案例和实际问题，帮助学生全面掌握等差数列和等比数列的相关知识。
一、等差数列1. 等差数列的定义与公式等差数列是指数列中任意两个相邻项之差都是一个常数的数列。
设等差数列的首项为a1，公差为d，则第n项可表示为an=a1+(n-1)d。
其中，a1为首项，d为公差，n为项数。
案例：一个等差数列的首项为3，公差为4，求该等差数列的第10项。
2. 等差数列的通项公式推导与应用等差数列的通项公式是指可以通过首项、公差和项数，直接求得等差数列的第n项。
通项公式为an=a1+(n-1)d。
案例：已知一个等差数列的第5项为21，公差为7，求该等差数列的前10项和。
3. 等差数列的性质与运算等差数列具有以下性质和运算方法：（1）等差数列的任意两项的和等于这两项所夹项的两倍。
（2）等差数列的前n项和可以通过n(n+1)/2求得。
案例：某等差数列的前5项和为30，公差为2，求该等差数列的首项和第7项。
二、等比数列1. 等比数列的定义与公式等比数列是指数列中任意两个相邻项之比都是一个常数的数列。
设等比数列的首项为a1，公比为q，则第n项可表示为an=a1 * q^(n-1)。
其中，a1为首项，q为公比，n为项数。
案例：一个等比数列的首项为2，公比为3，求该等比数列的第5项。
2. 等比数列的通项公式推导与应用等比数列的通项公式是指可以通过首项、公比和项数，直接求得等比数列的第n项。
通项公式为an=a1 * q^(n-1)。
案例：已知一个等比数列的第3项为16，公比为2，求该等比数列的前6项和。
3. 等比数列的性质与运算等比数列具有以下性质和运算方法：（1）等比数列的任意两项的比等于这两项所夹项的指数幂。
等差数列与等比数列的应用教学案
等差数列与等比数列的应用教学案一、引言数列是数学中的一个重要概念，是由一系列数字按照一定规律排列而成的。
在数学的应用中，等差数列和等比数列是最常见的两种数列形式。
本教学案将重点介绍等差数列和等比数列的应用，并提供一些教学方法和案例分析。
二、等差数列的应用（1）计算机算法设计等差数列在计算机算法设计中有广泛的应用。
例如，在排序算法中，可以利用等差数列的性质来优化算法的执行效率。
（2）数学建模等差数列在数学建模中也占据重要地位。
通过观察和分析等差数列的性质，可以使用数学模型解决实际问题，例如人口增长、货币回收等。
（3）金融投资等差数列在金融投资领域也有广泛应用。
通过等差数列的运算与推理，可以实现对利息、本金等金融指标的计算和预测，帮助投资者做出更合理的决策。
三、等差数列的教学方法（1）引导学生观察规律教师可以给学生一些数字，让学生观察并发现其中的规律，引导他们从中总结等差数列的特点。
（2）拓展应用场景通过实际生活中的例子，将等差数列的概念与实际问题结合起来，让学生更好地理解和应用。
（3）练习与实践教师可以设计一些练习题，引导学生进行计算和解答，培养他们的计算能力和问题解决能力。
四、等比数列的应用（1）成长模型等比数列在描述生物生长、物质变化等方面有广泛应用。
例如，数学家费波那契通过等比数列描述了兔子的繁殖规律。
（2）几何问题等比数列在几何问题中也有重要作用。
例如，等比数列可用于绘制等比坐标轴，在图形的放大缩小中起到关键作用。
（3）概率与统计等比数列也在概率和统计学中得到应用。
例如，在计算概率和求解统计问题时，等比数列的性质能够帮助我们更好地理解和解决问题。
五、等比数列的教学方法（1）探索性学习引导学生通过观察和实践，自己发现等比数列的性质和应用，提高他们主动学习和解决问题的能力。
（2）举例说明通过具体的实例，让学生更加直观地理解等比数列的概念和应用。
（3）编制教学素材教师可以编制一些练习题和案例，让学生进行练习和思考，加深对等比数列的理解和应用。
高中数学教案等差数列与等比数列
等差数列与等比数列一、高考考点1.等差数列或等比数列定义的应用：主要用于证明或判断有关数列为等差（或等比）数列.2.等差数列的通项公式，前几项和公式及其应用：求；求；解决关于或的问题.3.等比数列的通项公式，前n项和及其应用：求；求；解决有关或的问题.4.等差数列与等比数列的（小）综合问题.5.等差数列及等比数列的主要性质的辅助作用：解决有关问题时，提高洞察能力，简化解题过程.6.数列与函数、方程、不等式以及解析几何等知识相互结合的综合题目：以高中档试题出现，重点考察运用有关知识解决综合问题的能力。
二、知识要点（一）、等差数列1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.认知：｛｝为等差数列－ =d(n∈N※且d为常数) － =d (n 2, n∈N※且d为常数) 此为判断或证明数列｛｝为等差数列的主要依据.2.公式（1）通项公式： = +（n－1）d：引申： = +（n－m）d （注意：n=m+(n－m) ）认知：｛｝为等差数列为n的一次函数或为常数 =kn+b (n )（2）前n项和公式： = 或 =n +认知：｛｝为等差数列为n的二次函数且常数项为0或 =n = +bn(n )3.重要性质(1)｛｝为递增数列 d＞0; ｛｝为递减数列 d＜0; ｛｝为常数列 d=0(2)设m,n,p,q ,则m+n=p+q + = + ;(3)2m=p+q 2 = +.即等差数列中,如果某三项(或更多的项)的项数成等差数列,则相应的各项依次成等差数列.(4)设 , , 分别表示等差数列｛｝的前n项和,次n项和,再次n项和,…则, , …依次成等差数列.（二）等比数列1、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比.认知：（1）｛｝为等比数列 =q (n∈N※且q为非零常数) =q(n≥2，n∈N※且q为非零常数)(2）｛｝为等比数列(n≥2，且≠0 ) (n ※，且≠0)2.公式（1）通项公式： = ；引申： = （注意：n=m+(n－m) ）认知：｛｝为等比数列 =c (c,q均是不为0的常数，且n )（2）前n项和公式认知：｛｝为等比数列 =A +B （其中n ，且A+B=0）.3．主要性质：（1）设m,n,p,q ,则有m+n=p+q ; （2）2m=p+q即在等比数列中，如果某三项（或更多的项）的项数成等差数列，则相应的各项依次成等比数列.（3）设 , , ，……分别表示等比数列的前n项和，次n项和，再次n项和，……，则 , , ，……依次成等比数列。
等差和等比数列的综合应用教案
教学过程一、复习预习师：这节课我们要运用等差、等比数列的概念、性质及有关公式，解决一些等差、数比数列的综合问题．（请学生叙述公式的内容并写在黑板上）生甲：等差、等比数列的通项公式分别是an=a1+（n-1）d，an=a1qn-1．生丙：等比数列的前n项和公式要分成q=1和q≠1两种情况来表示，即生丁：如果m，n，p，q都是自然数，当m+n=p+q时，那么在等差数列中有：am+an=ap+aq，在等比数列中有：am·an=ap·aq．师；在上述公式中，涉及到a1，n，d（q），an，Sn五个量，运用方程思想，已知其中三个量，就可以求另外两个量．二、知识讲解考点1：等差数列{an}的性质（1）am=ak+（m －k ）d ，d=k m a a km --.（2）若数列{an}是公差为d 的等差数列，则数列{λan+b}（λ、b 为常数）是公差为λd的等差数列；若{bn}也是公差为d 的等差数列，则{λ1an+λ2bn}（λ1、λ2为常数）也是等差数列且公差为λ1d+λ2d.（3）下标成等差数列且公差为m 的项ak ，ak+m ，ak+2m ，…组成的数列仍为等差数列，公差为md.（4）若m 、n 、l 、k ∈N*，且m+n=k+l ，则am+an=ak+al ，反之不成立. （5）设A=a1+a2+a3+…+an ，B=an+1+an+2+an+3+…+a2n ，C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a3n ，则A 、B 、C 成等差数列.（6）若数列{an}的项数为2n （n ∈N*），则S 偶－S 奇=nd ，奇偶S S =n n aa 1+，S2n=n （an+an+1）（an 、an+1为中间两项）；若数列{an}的项数为2n －1（n ∈N*），则S 奇－S 偶=an ，奇偶S S =n n 1-，S2n －1=（2n－1）an （an 为中间项）.考点2：等比数列{an}的性质（1）am=ak·qm－k.（2）若数列{an}是等比数列，则数列{λ1an}（λ1为常数）是公比为q的等比数列；若{bn}也是公比为q2的等比数列，则{λ1an·λ2bn}（λ1、λ2为常数）也是等比数列，公比为q·q2.（3）下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，…组成的数列仍为等比数列，公比为qm.（4）若m、n、l、k∈N*，且m+n=k+l，则am·an=ak·al，反之不成立.（5）设A=a1+a2+a3+…+an，B=an+1+an+2+an+3+…+a2n，C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a3n，则A、B、C成等比数列，设M=a1·a2·…·an，N=an+1·an+2·…·a2n，P=a2n+1·a2n+2·…·a3n，则M、N、P也成等比数列.考点3：用函数的观点理解等差数列、等比数列1.对于等差数列，∵an=a1+（n－1）d=dn+（a1－d），当d≠0时，an是n的一次函数，对应的点（n，an）是位于直线上的若干个点.当d＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d=0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数.若等差数列的前n项和为Sn，则Sn=pn2+qn（p、q∈R）.当p=0时，{an}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题.2.对于等比数列：an=a1qn－1.可用指数函数的性质来理解.当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等比数列是递增数列；当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{an}是递减数列.当q=1时，是一个常数列.当q＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列.三、例题精析【例题1】.等比数列{an}的公比为q，则“q＞1”是“对于任意自然数n，都有an+1＞an”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】D【解析】当a1＜0时，条件与结论均不能由一方推出另一方.【例题2】已知数列{a n}满足a n+2=－a n（n∈N*），且a1=1，a2=2，则该数列前2002项的和为A.0B.－3C.3D.1【答案】C【解析】由题意，我们发现：a1=1，a2=2，a3=－a1=－1，a4=－a2=－2，a5=－a3=1，a6=－a4=2，…，a2001=－a1999=1，a2002=－a2000=2，a1+a2+a3+a4=0.∴a1+a2+a3+…+a2002=a2001+a2002=a1+a2=1+2=3.四、课堂运用【基础】1.若关于x 的方程x 2－x +a =0和x 2－x +b =0（a ≠b ）的四个根可组成首项为41的等差数列，则a +b 的值是 A.83B.2411C.2413D.7231【答案】D【解析】依题意设四根分别为a 1、a 2、a 3、a 4，公差为d ，其中a 1=41，即a 1+a 2+a 3+a 4=1+1=2.又a 1+a 4=a 2+a 3，所以a 1+a 4=a 2+a 3=1.由此求得a 4=43，d =61，于是a 2=125，a 3=127.故a +b =a 1a 4+a 2a 3=41×43+125×127=14462=7231.2.在等差数列{a n}中，当a r=a s（r≠s）时，数列{a n}必定是常数列，然而在等比数列{a n}中，对某些正整数r、s（r≠s），当a r=a s时，非常数列{a n}的一个例子是___________________.【答案】a，－a，a，－a…（a≠0）【解析】只需选取首项不为0，公比为－1的等比数列即可.【巩固】1.等差数列{a n}中，a1=2，公差不为零，且a1，a3，a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于___________________.【答案】4【解析】设a1，a3，a11成等比，公比为q，a3=a1·q=2q，a11=a1·q2=2q2.又{a n}是等差数列，∴a11=a1+5（a3－a1），∴q=4.2、已知{a n}是等比数列，a1=2，a3=18；{b n}是等差数列，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3＞20.（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和S n的公式；（3）设P n=b1+b4+b7+…+b3n－2，Q n=b10+b12+b14+…+b2n+8，其中n=1，2，…，试比较P n与Q n的大小，并证明你的结论.【答案】见解析【解析】（1）设{a n }的公比为q ，由a 3=a 1q 2得q 2=13a a =9，q =±3. 当q =－3时，a 1+a 2+a 3=2－6+18=14＜20， 这与a 1+a 2+a 3＞20矛盾，故舍去.当q =3时，a 1+a 2+a 3=2+6+18=26＞20，故符合题意. 设数列{b n }的公差为d ，由b 1+b 2+b 3+b 4=26得4b 1+234⨯d =26. 又b 1=2，解得d =3，所以b n =3n －1. （2）S n =2)(1n b b n +=23n 2+21n .（3）b 1，b 4，b 7，…，b 3n －2组成以3d 为公差的等差数列， 所以P n =nb 1+2)1(-n n ·3d =29n 2－25n ； b 10，b 12，b 14，…，b 2n +8组成以2d 为公差的等差数列，b 10=29，所以Q n =nb 10+2)1(-n n ·2d =3n 2+26n . P n －Q n =（29n 2－25n ）－（3n 2+26n ）=23n （n －19）.所以，对于正整数n ，当n ≥20时，P n ＞Q n ； 当n =19时，P n =Q n ； 当n ≤18时，P n ＜Q n .【拔高】1、已知等差数列{a n }的首项a 1=1，公差d ＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b n }的第二项、第三项、第四项.（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）设数列{cn}对任意正整数n 均有11b c +22mb c +323b mc +…+nn nb mc 1 =（n+1）an+1成立，其中m 为不等于零的常数，求数列{cn}的前n 项和Sn.【答案】（1）a n =2n －1（n =1，2，3，…），b n =3n －1（n =1，2，3，…）.（2）S n =⎪⎩⎪⎨⎧--+-+-+++222)31(])3()3[(431)3)(14(96132m m m m m n m n n n n .31,31≠=m m【解析】（1）由题意得（a 1+d ）（a 1+13d ）=（a 1+4d ）2，整理得2a 1d =d 2.∵a 1=1，解得d =2（d =0不合题意舍去）， ∴a n =2n －1（n =1，2，3，…）.由b 2=a 2=3，b 3=a 5=9，易求得b n =3n －1（n =1，2，3，…）. （2）当n =1时，c 1=6； 当n ≥2时，nn n b mc 1-=（n +1）a n +1－na n =4n +1，∴c n =（4n +1）m n －1b n =（4n +1）（3m ）n －1.∴c n =⎩⎨⎧+-1)3)(14(6n m n .,4,3,2,1⋅⋅⋅==n n 当3m =1，即m =31时， S n =6+9+13+…+（4n +1）=6+2)149)(1(++-n n=6+（n －1）（2n +5）=2n 2+3n +1. 当3m ≠1，即m ≠31时， S n =c 1+c 2+…+c n ，即S n =6+9·（3m ）+13·（3m ）2+…+（4n －3）（3m ）n －2+（4n +1）（3m ）n －1.①3mS n =6·3m +9·（3m ）2+13·（3m ）3+…+（4n －3）（3m ）n －1+（4n +1）（3m ）n .② ①－②得（1－3m ）S n =6+3·3m +4·（3m ）2+4·（3m ）3+…+4·（3m ）n －1－（4n +1）（3m ）n =6+9m +4［（3m ）2+（3m ）3+…+（3m ）n －1］－（4n +1）（3m ）n=6+9m +m m m n 31])3()3[(42--－（4n +1）（3m ）n .∴S n =m m n m n 31)3)(14(96-+-++22)31(])3()3[(4m m m n --.∴S n =⎪⎩⎪⎨⎧--+-+-+++222)31(])3()3[(431)3)(14(96132m m m m m n m n n n n .31,31≠=m mcb d a cba c bc a c b a cad a a cd cd d c c d cdd c cd d c >∴>>>>∴>>>>>∴>>>∴>-=-∴>>->∴>>,0d 21)2(,0,01,0)1(,0,0,011,011,01,0,0,0）得）（由（又又课程小结等差数列和等比数列的综合问题，涉及的知识面很宽，题目的变化也很多，但是万变不离其宗，只要抓住基本量a1，d（q），充分运用方程、函数、转化等数学思想方法，合理调用相关知识，这样，任何问题都不能把我们难倒．课后作业【基础】1.在等比数列{a n }中，a 5+a 6=a （a ≠0），a 15+a 16=b ，则a 25+a 26的值是A.abB.22abC.ab 2 D.2ab【答案】C【解析】 由等比数列的性质得三个和成等比数列，由等比中项公式可得选项为C. 【巩固】2.若数列x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列，则21221)(b b a a ⋅+的取值范围是___________________.【答案】［4，+∞）或（－∞，0］【解析】在等差数列中，a 1+a 2=x +y ；在等比数列中，xy =b 1·b 2.∴21221)(b b a a ⋅+=y x y x ⋅+2)(=y x y xy x ⋅++222=y x +x y +2.当x ·y ＞0时，y x +x y≥2，故21221)(b b a a ⋅+≥4；当x ·y ＜0时，y x +x y≤－2，故21221)(b b a a ⋅+≤0.答案：［4，+∞）或（－∞，0］【拔高】3．已知数列{a n }中，a 1=65且对任意非零自然数n 都有a n +1=31a n +（21）n +1.数列{b n }对任意非零自然数n 都有b n =a n +1－21a n .（1）求证:数列{b n }是等比数列； （2）求数列{a n }的通项公式.【答案】见解析【解析】（1）证明：b n =a n +1－21a n =［31a n +（21）n +1］－21a n =（21）n +1－61a n ，b n +1=（21）n +2－61a n +1=（21）n +2－61［31a n +（21）n +1］=21·（21）n +1－181a n －61·（21）n +1=31·（21）n +1－181a n =31·［（21）n +1－61a n ］， ∴n n b b 1+=31（n =1，2，3，…）. ∴{b n }是公比为31的等比数列. （2）解：∵b 1=（21）2－61a 1=41－61·65=91，∴b n =91·（31）n －1=（31）n +1.由b n =（21）n +1－61a n ，得（31）n +1=（21）n +1－61a n ，解得a n =6［（21）n +1－（31）n +1］.5.设{a n }为等比数列，a 1=b 1=1，a 2+a 4=b 3，b 2b 4=a 3，分别求出{a n }及{b n }的前10项的和S 10及T 10.解：设公差为d ，公比为q ，由题意知⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,21,4242q d q d∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=22,83q d 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.22,83q d ∴S 10=10+2910⨯（－83）=－855. 当q =22时，T 10=32)22(31+；当q =－22时，T 10=32)22(31-.＝a ＋b ab －2ab2a ＋b＝ab a －b 2a ＋b＞0，∴C ＞D ，∴A ＞B ＞C ＞D .。
等差数列和等比数列(教案)
第2讲 等差数列和等比数列一、高考要求①理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解答简单的问题； ②理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解决简单的问题．二、知识结构等差数列与等比数列的类比技巧1．若数列n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*k ∈N ，那么k S ，2k k S -S ，3k 2k S -S 成 数列。
如下图所示：⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 3k2k kk3k 2kS 123k k+12k 2k+13kS -S S S -S a +a +a ++a +a ++a +a ++a技巧2． 若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*k ∈N ，那么k S ，2k k S -S ，3k 2k S -S 成 数列。
如下图所示：⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 3k2k kk3k 2kS 123k k+12k 2k+13kS -S S S -S a +a +a ++a +a ++a +a ++a三、典型例题例1 若}{n a 是等差数列，首项01>a ，020082007>+a a ，020082007<⋅a a ，则使数列}{n a 的前n 项和n S 为正数的最大自然数n 是解: 由条件可知：20070a >，20080a <．考虑200720080a a +>及等差数列性质知14014401402a a +⨯>，即40140S >； 考虑20080a <及等差数列性质知200820081401540154015022a a a a++⨯=⨯<，即40150S <， 故使数列}{n a 的前n 项和n S 为正数的最大自然数n 是 4014例2 设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知366=S ，324=n S ，若)6(1446>=-n S n ，则n 的值为 ．解: 由条件知54321-----+++++n n n n n n a a a a a a =1801443246=-=--n n S S ， 又123456636a a a a a a S +++++==， 651a a a a n n +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+-， ∴21618036)(61=+=+a a n ， ∴361=+a a n ，3242362)(1=⨯=+=n a a n S n n ，∴n =18．例3 已知函数)(x f 定义在正整数集上，且对于任意的正整数x ，都有)1(2)2(+=+x f x f )(x f -，且6)3(,2)1(==f f ，则=)2007(f ．解: 由)1(2)()2(+=++x f x f x f 知函数*(),()f x x N ∈当x 从小到大依次取值时对应的一系列函数值组成一个等差数列，)2005(,),3(),1(f f f 形成一个首项为2，公差为4的等差数列，∴(2007)2(10041)44014f =+-⨯=．例4 已知数列}{n a 的前n 项和(0,1,n n S aq a q q =≠≠为非零常数），求数列}{n a 的通项公式并判断}{n a 是否等比数列.解 当1=n 时，aq S a ==11，当2≥n 时，111(1)n n n n n n a S S aq aq aq q ---=-=-=- ∴1,(1)(1),(2)n n aq n a aq q n -=⎧=⎨-≥⎩ 又)1(1-=+q aq a nn ，∴)2(1≥=+n q a a nn 为常数, 但21(1)1a aq q q q a aq-==-≠， ∴数列}{n a 不是等比数列.例5 设数列}{n a 、}{n b 满足：na a a ab nn ++++=321(n ∈N *)．（Ⅰ）若2+=n b n ，求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）若}{n b 是等差数列，求证}{n a 也是等差数列． 解：设}{n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）由题意：2+==n nS b nn ，即)2(+=n n S n )(*N n ∈ ① 当2,*≥∈n N n 时，有)1)(1(1+-=-n n S n ② 由①②两式相减可得：12+=n a n ，当1=n 时，311==S a ，也可用12+=n a n 表示， ∴ 对任意的*N n ∈都有：12+=n a n ． （Ⅱ）若}{n b 是等差数列，设首项为1b ，公差为d ，由n S b n n =可得d n b nSn )1(1-+=，于是 d n n nb S n )1(1-+= ① 当2,*≥∈n N n 时，有 d n n b n S n )2)(1()1(11--+-=- ② 由①②两式相减可得：d n b a n 2)1(1⋅-+=，当1=n 时，111b S a ==，也可用d n b a n 2)1(1⋅-+=表示， ∴ 对任意的*N n ∈都有：d n b a n 2)1(1⋅-+=， 而d a a n n 21=--（2,*≥∈n N n ），由等差数列的定义知：}{n a 也是等差数列．例6 设数列}{n a 的首项114a a =≠,且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+.,41,,211为奇数为偶数n a n a a n nn ，记.,3,2,1,4112⋅⋅⋅=-=-n a b n n （Ⅰ）求2a ，3a ； （Ⅱ）判断数列}{n b 是否为等比数列，并证明你的结论．解： （Ⅰ）414112+=+=a a a ，81212123+==a a a ； （Ⅱ）∵ 83214134+=+=a a a ， ∴163412145+==a a a ． ∴0414111≠-=-=a a b ，)41(214132-=-=a a b ，)41(414153-=-=a a b ． 猜想，}{n b 是公比为21的等比数列． 证明如下： ∵ )(,21)41(2141)41(21412141*12122121N n b a a a a b n n n n n n ∈=-=-+=-=-=--++ ∴}{n b 是首项为41-a ，公比为21的等比数列． 过关练习一、填空题1．已知}{n a 是首项11=a ，公差3=d 的等差数列，如果2008=n a ，则序号n 等于 670 2．在等差数列}{n a 中，836a a a +=，则=9S 0⇒⇒⇒63811115a =a +a a +5d =a +2d +a +7d a +4d =0a =03． 若数列{}n a 满足：1.2,111===+n a a a n n ，2，3….则=+++n a a a 21n2-1.解：数列{}n a 满足：111,2, 1n n a a a n +===，2，3…，该数列为公比为2的等比数列，∴ =+++n a a a 21212121n n -=--. 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若5,10105-==S S ,则公差为 -1 （用数字作答）。
等差与等比数列的应用教案
等差与等比数列的应用教案一、引言本教案旨在介绍等差与等比数列的应用，并通过具体的案例来说明其重要性和实际运用场景。
通过本课程的学习，学生将能够深入理解等差与等比数列的概念、性质以及在现实生活中的应用。
二、知识概述1. 等差数列等差数列是指具有相同公差的数列，每一项与前一项之差都相等。
其通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1表示首项，d表示公差，n表示项数。
2. 等比数列等比数列是指具有相同公比的数列，每一项与前一项之比都相等。
其通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1表示首项，r表示公比，n表示项数。
三、教学内容1. 等差数列的应用1.1 等差数列的求和对于给定的等差数列，通过求和公式Sn = [2a1 + (n-1)d] * n/2，可以快速求得其前n项和。
1.2 等差数列在商业中的应用等差数列的性质使得其在商业领域中有广泛的应用。
例如，利润、销售额、库存等指标往往可以用等差数列来刻画。
学生可以通过实际案例来了解等差数列在商业中的运用。
2. 等比数列的应用2.1 等比数列的求和对于给定的等比数列，通过求和公式Sn = a1 * (1-r^n) / (1-r)，可以快速求得其前n项和。
2.2 等比数列在科学中的应用等比数列的特性使得其在科学领域中具有广泛的应用。
例如，细胞分裂、放射性衰变、物种繁殖等现象可以用等比数列来建模。
学生可以通过具体案例，深入理解等比数列在科学中的应用。
四、教学方法1. 探究法通过引导学生观察、总结等差与等比数列的特性，并从实际生活中找出案例，引导其分析、归纳和掌握相应的应用方法。
2. 讨论法根据给定的实际问题，组织学生进行小组讨论，鼓励学生积极发表观点，从不同角度思考等差与等比数列在解决问题中的应用。
3. 实践方法引导学生通过实例分析和计算，将等差与等比数列的理论运用到实际问题中，提高学生的运用能力和解决实际问题的能力。
五、教学步骤1. 引入通过提出一个简单的实际问题，引导学生思考等差与等比数列的应用场景。
等差数列与等比数列的比较与应用(教案二)
等差数列与等比数列的比较与应用（教案二）。
一、等差数列等差数列是指数列中两个相邻的数之差相等，这个“公差”值通常被称为d。
一个例子是1,3,5,7,9,...，其中的公差为2。
在等差数列中，如果已知了一个数列的前几个数，并且知道了公差，那么可以十分容易地得到数列的后面的部分。
等差数列的应用很广泛，比如在数学中，我们常常用等差数列定义一些数列（如斐波那契数列），以及解决一些计算问题（如跑步速度问题）。
此外，在物理、金融、工商等领域中，等差数列也有着广泛的应用，比如电磁波频率的计算、股票价格的计算以及许多其他的计算问题。
二、等比数列等比数列是指数列中两个相邻的数之比相等，这个“公比”值通常被称为r。
一个例子是1,2,4,8,16,...，其中的公比为2。
在等比数列中，如果已知了一个数列的前几个数，并且知道了公比，那么可以十分容易地得到数列的后面的部分。
等比数列的应用同样也十分广泛，比如在数学中，我们常常用等比数列定义一些数列（如等比级数），以及解决一些计算问题（如化学反应速率问题）。
此外，在物理、金融、工商等领域中，等比数列也有着广泛的应用，比如声波频率的计算、投资回报率的计算以及许多其他的计算问题。
三、等差数列和等比数列的比较在等差数列中，相邻的两项之差是相等的，而在等比数列中，相邻的两项之比是相等的。
此外，在等比数列中，相邻项之间的比值通常要比在等差数列中更为复杂。
尽管在实际应用中，两者都有着广泛的应用，但是在数学理论中，等差数列和等比数列又有很大的差异。
比如在计算等差数列之和时，可以使用求和公式，而在计算等比数列之和时，却要使用拆项公式。
四、等差数列和等比数列的应用案例接下来，我们将列举一些等差数列和等比级数应用案例，以帮助读者更好地理解和应用这两个数列。
案例1：一个人以每天增加5公里的速度开始削减跑步步数，如果他每次跑步的距离一开始是5公里，那么他在跑步20天后的总路程是多少？这是一个等差数列问题，如果设第一天的路程是a，则他第20天的路程应该是a+19×5=100公里。
《7.4 等差数列与等比数列的应用》学历案-中职数学高教版21拓展模块一上册
《等差数列与等比数列的应用》学历案（第一课时）一、学习主题本课学习主题为“等差数列与等比数列的应用”。
在中职数学教育中，这一主题的学习对于学生理解数学概念、提升逻辑思维能力和解决实际问题能力具有重要意义。
通过本课的学习，学生将掌握等差数列和等比数列的基本概念、性质和运用，为后续的数学学习和专业课程的学习打下坚实的基础。
二、学习目标1. 知识与技能目标：掌握等差数列和等比数列的定义、通项公式及前n项和公式，并能运用这些知识解决简单的实际问题。
2. 过程与方法目标：通过实例分析，培养学生观察、归纳、推理的能力，提高学生的数学应用能力。
3. 情感态度与价值观目标：通过合作学习，培养学生的团队协作精神，激发学生对数学学习的兴趣和热情。
三、评价任务1. 课堂表现评价：通过学生在课堂上的表现，评价其对等差数列与等比数列概念的理解程度及运用能力。
2. 作业评价：通过布置相关练习题，评价学生对知识的掌握程度及解题能力。
3. 项目作业评价：鼓励学生进行小组合作，运用所学知识解决实际问题，通过项目作业的评价，提高学生的综合应用能力。
四、学习过程1. 导入新课：通过实际问题引入等差数列与等比数列的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 新课讲解：详细讲解等差数列与等比数列的定义、通项公式及前n项和公式，通过实例分析加深学生对知识的理解。
3. 课堂互动：组织学生进行小组讨论，分享对等差数列与等比数列的理解和运用，提高学生的合作能力和交流能力。
4. 巩固练习：布置相关练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5. 课堂总结：总结本课所学内容，强调重点和难点，为后续学习做好铺垫。
五、检测与作业1. 课堂检测：通过课堂小测验，检测学生对等差数列与等比数列概念及公式的掌握情况。
2. 课后作业：布置相关练习题，包括选择题、填空题和解答题，让学生独立完成，巩固所学知识。
3. 项目作业：鼓励学生进行小组合作，运用所学知识解决实际问题，培养学生的综合应用能力和团队协作精神。