2018-2019学年高中数学 第一章 计数原理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质优质课件
∴C1r 0 C1r 0
510－r 510－r
2r≥10－rr＋1Cr10 510－r＋1 2r－1， 2r≥10－rr＋－11＋1Cr10 510－r－1 2r＋1，
即
211－r≥ 5r， 5r＋1≥10－r
• [思路分析] 用赋值法求各系数的和．
[解析] (1)由(2－ 3x)100 展开式中的常数项为 C0100·2100，即 0，则展开式可化为 a0＝2100)．
(2)令 x＝1，可得 a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－ 3)100， ∴a1＋a2＋…＋a100＝(2－ 3)100－2100． (3)令 x＝－1，
『规律总结』 1.各项的系数和
一般地，二项展开式 f(x)中的各项系数和为 f(1)，奇数项系数
1)]，偶数项系数和为12[f(1)－f(－1)]． 2．赋值法 “赋值法”是求二项展开式系数问题的常用方法，赋值就是
母用具体数值代替，注意赋的值要有利于问题的解决，赋值时可 个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况．
n＋1 增减性 当 k<___2___时，二项式系数逐渐增大．由对称性知
是逐渐减小的，且在中间取得最大值
最大值
n
当 n 是偶数时，中间一项_C__2n __取得最大值
n-1
n+1
当 n 是奇数时，中间两项__C__n2__，__C_n2___相等，同时
各二项式 系数的和
C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝____2_n __. C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝_2_n_－_1_.
命题方向2 ⇨求二项展开式中系数或二项式系数最大的项
• 典例 2 (1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的 ，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大
[解析] T6＝C5n(2x)5，T7＝C6n(2x)6，依题意有 C5n·25＝C6n·26⇒ ∴(1＋2x)8 的展开式中二项式系数最大的项为 T5＝C48(2x)4＝ 设第 r＋1 项系数最大， 则有CC88rr ··22rr≥≥CCrr88－ ＋11··22rr－＋11，
∴(x－4x)n 的展开式的通项公式为：Tr＋1＝C4rx4－r(－4x)r＝(－4) 令 4－2r＝0，解得 r＝2.∴常数项为 C24×(－4)2＝96． 故答案为 96．
互动探究学案
命题方向1 ⇨与杨辉三角有关的问题
• 典例 1 如图所示，在杨辉三角中 ，斜线AB上方箭头所指的数组成一个 锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记 这个数列的前n项和为Sn，求S19．
∴A＝12(1－316)． 即 C2n＋C4n＋C6n＋…＋Cnn＝12(1－316)－1＝－12(1＋316)．
[辨析] 上述解答有两处错误，一是混淆了奇数项与奇次方 次方项；二是没有弄清 C2n＋C4n＋…＋Cnn的准确含义．
[正解] 设 f(x)＝(2x－1)n＝a0＋a1x＋…＋anxn，且奇次方项系 方项系数和为 B，则依题意可得，A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a －A＝316，
展开式各项系数分别为 A1，A2，…，An＋1，且第 r＋1 项系数最大，应
解出 r，即得系数的最大项．
〔跟踪练习 2〕 求( 5x－ 2y)10 的展开式中系数绝对值最大的项．
[解析] 设第 r＋1 项的系数的绝对值 tr＋1 最大，则 tr＋1≥tr， 中 tr＋1＝Cr10( 5)10－r( 2)r，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7| ＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7) ＝1 093＋1 094＝2 187． 解法二：∵|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|是(1＋2x)7 展开式中各项的 ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37 ＝2 187．
杨辉三角的应用
• 『规律总结』 解决与杨辉三角有关的问题的
,
• 〔跟踪练习1〕
• 在“杨辉三角”中，从第2行开始，每一个数都 上”两个数的和，它开头几行如图所62示．则在 ”中第______行会出现三个相邻的数，其比为
[解析] 若第 n 行中含有三个连续项之比为 3∶4∶5，则存在 34＝CCkn－kn 1＝k－1k！！nn－－kk！ ＋1！＝n－kk＋1， 45＝CCkn＋kn 1＝k＋1k！！nn－－kk－ ！1！＝kn＋－1k， 由此得34nn－ －79kk＝ ＝－ 5，3， 解之，得kn＝＝2672，.
• 〔跟踪练习3〕
• (2016·深圳高二检测)已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋ a7x7．
• 求：(1)a1＋a2＋…＋a7； • (2)a1＋a3＋a5＋a7； • (3)a0＋a2＋a4＋a6； • (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|． • [解析] 令x＝1，则
• a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1
⇒rr！ ！8888！！－ －·2rr！ ！≥ ≥rr－ ＋11！ ！88！88！－ －·2rr＋ －11！ ！， ⇒2r＋8－1≥r＋218－≥rr， ⇒rr≤ ≥65，⇒5≤r≤6． 又∵r∈N， ∴r＝5 或 r＝6， ∴系数最大的项为 T6＝1792x5，T7＝1792x6．
『规律总结』 求展开式中系数的最值的方法 (1)若展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等，可转化 数的最值来解决． (2)若展开式的系数为 f(r)＝Crn·mg(r)的形式． 如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用
新课标导学
数学
选修2-3 ·人教A版
第一章
计数原理 1．3 二项式定理
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性
1
自主预习
2
互动探究
3
课时作业
自主预习学案
幻方，在我国也称纵横图，它的神奇特点吸引了无数人为 之痴迷．一天，时任台州地方官的杨辉外出巡游，遇到一学童， 学童正在为老先生布置的题目犯愁：“把 1 到 9 的数字分行排 列，不论竖着加，横着加，还是斜着加，结果都等于 15”．杨 辉看到这个题顿时兴趣大发，于是和学童一起研究起来，直至 午后，两人终于将算式摆出来了．
①
• 令x＝－1，则
(1)∵a0＝C07＝1， ∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2． (2)由(①－②)÷2，得 a1＋a3＋a5＋a7－12－37＝－1 094． (3)由(①＋②)÷2，得 a0＋a2＋a4＋a6－12＋37＝1 093．
(4)解法一：(1－2x)7 的展开式中，a0，a2，a4，a6 大于零，而 小于零，
可得 a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋ 3)100， 与①联立相减可得
a1＋a3＋…＋a99＝2－
3100－2＋ 2
3100．
(4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)]·[(a0＋a2＋… ＋…＋a99)]
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a10 ＝(2－ 3)100×(2＋ 3)100＝1．
1．杨辉三角的特点 (1)在同一行中每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项的系 (2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两 即 Cnr＋1＝__C_rn_－_1＋__C__rn___．
2．二项式系数的性质 对称性 与首末两端“___等__距__离___”的两个二项式系数相等
[思路分析] 由数列的项在杨辉三角中的位置，将项还原为 后结合组合数的性质求和．
[解析] 由杨辉三角可知，数列中的首项是 C22，第 2 项是 C 第 4 项是 C13…第 17 项是 C210，第 18 项是 C110，第 19 项是 C211．
故 S19＝(C12＋C22)＋(C13＋C23)＋(C14＋C24)＋…＋(C110＋C210)＋C21 ＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋…＋C211) ＝2＋120×9＋C312＝274．
• (1)二项式展开时，在指数不太大的情况下，直 三角展开比较简便．由于杨辉三角仅仅反映了 的各项系数的规律，因此还应该理解并掌握指 律．如(a＋b)6的展开式中a的指数，由首项的6 为0次，b的指数由首项的0次逐项上升为6次， 的指数和为6，恰好等于二项式的指数．
• (2)二项式系数仅指项的组合数，解决有关二项 题时，往往运用组合数公式．
• 典例 4 如图所示，在杨辉三角中，猜想第 ＋1)条斜线上各数之和与第(n＋2)条斜线上各数 系，并证明你的结论．
[思路分析] 利用“先从特殊到一般，再由一般到特殊”的 然后再证明它的一般性．
[解析] 第 n 条和第(n＋1)条斜线上各数之和等于第(n＋2 和．证明如下：
第 n 条斜线上各数之和为 C0n－1＋C1n－2＋C2n－3＋C3n－4＋C4n－5＋… 第(n＋1)条斜线上各数之和为 C0n＋C1n－1＋C2n－2＋…＋C3n－3＋C 第 n 条斜线上各数与第(n＋1)条斜线上各数之和为： (C0n－1＋C1n－2＋C2n－3＋C3n－4＋C4n－5＋…)＋(C0n＋C1n－1＋C2n－2＋C ＋…)＝C0n＋(C0n－1＋C1n－1)＋(C1n－2＋C2n－2)＋(C2n－3＋C3n－3)＋(C3n－4＋ ＋C1n＋C2n－1＋C3n－2＋C4n－3＋…． 这正好是第(n＋2)条斜线上各数之和．
• 1．二项式(x－1)n的奇数项二项式系数和是64，
()
• A．5
B．6
• C．7
D．8
• [解析] 二项式(a＋b)n的展开式中，
• 奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系
• ∴2n－1＝64，∴n＝7.故选C．
• 2．(2017·全国卷Ⅲ理，4)(x＋y)(2x－y)5的展开 的系数为 ( )
• A．－80 B．－40 • C[．解析40] 因D为．x38y30＝x·(x2y3)，其系数为－C35·22＝－40，
2018-2019学年高中数学 第一章 计数原理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质讲义 新人教A版选修2-3
是逐渐减小的，且在中间取得最大值
最大值
当 n 是偶数时，中间一项_C__n2n __取得最大值
n-1
n+1
当 n 是奇数时，中间两项__C__n2__，__C_n2___相等，同时
各二项式 系数的和
C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝____2_n __. C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝_2_n_－_1_.
• A．－80 B．－40 • C[．解析40] 因D为．x38y30＝x·(x2y3)，其系数为－C35·22＝－40，
x3y3＝y·(x3y2)，其系数为 C25·23＝80． 所以 x3y3 的系数为 80－40＝40．
故选 C．
• 3．已知(1＋2x)n的展开式中所有系数之和等于
这个展开式中x3项的系数是
∴C1r 0 C1r 0
510－r 510－r
2r≥10－rr＋1Cr10 510－r＋1 2r－1， 2r≥10－rr＋－11＋1Cr10 510－r－1 2r＋1，
即
211－r≥ 5r， 5r＋1≥10－r
2.
∴rr≥≤101515＋＋2－2 22，5， 即 3.261…≤r≤4.263…．
『规律总结』 1.各项的系数和
一般地，二项展开式 f(x)中的各项系数和为 f(1)，奇数项系数
1)]，偶数项系数和为12[f(1)－f(－1)]． 2．赋值法 “赋值法”是求二项展开式系数问题的常用方法，赋值就是
母用具体数值代替，注意赋的值要有利于问题的解决，赋值时可 个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况．
• 〔跟踪练习3〕
高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质高效演练新人教A版选
2018-2019学年高中数学第一章计数原理1.3 二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质高效演练新人教A版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第一章计数原理1.3 二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质高效演练新人教A版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1.3。
2“杨辉三角"与二项式系数的性质A级基础巩固一、选择题1．(1＋x）2n＋1（n∈N*）的展开式中,二项式系数最大的项所在的项数是（）A．n,n＋1 B．n－1，nC．n＋1，n＋2 D．n＋2,n＋3解析：因为2n＋1为奇数，所以展开式中间两项的二项式系数最大，中间两项的项数是n ＋1，n＋2。
答案：C2．设（x2＋1）(2x＋1)9＝a0＋a1（x＋2)＋a2(x＋2）2＋…＋a11（x＋2)11,则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为（）A．－2 B．－1 C．1 D．2解析：令等式中x＝－1可得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝(1＋1)×（－1）9＝－2,故选A。
答案：A3．已知（1－2x)n展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则（1－2x）n（1＋x）展开式中含x2项的系数为（）A．71 B．70 C．21 D．49解析:因为奇数项的二项式系数和为2n－1，所以2n－1＝64，n＝7，因此（1－2x)n(1＋x）展开式中含x2项的系数为C27(－2）2＋C错误!(－2）＝70。
2018-2019学年高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
的二项式系数最大
3
它们是 T3＝C25( x2)3(3x2)2＝90x6.
3
22
T4＝C35( x2)2(3x2)3＝90x 3 .(6 分)
(2)设展开式中第 k＋1 项的系数最大．
3
10＋4k
又 Tk＋1＝Ck5( x2)5－k(3x2)k＝Ck53kx 3 ，(7 分)
Ck53k≥Ck5－13k－1， 得
59－1 以上两式相加可得 a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝ 2 .
(4)法一 |a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3 ＋…－a9＝59.
法二 |a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|即为(2x＋3y)9 展开式 中各项系数之和，
令 x＝1，y＝1 得，|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝59.
正、负变化情况进行分析．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开
式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各
项系数分别为 A0，A1，A2，…，An，且第(r＋1)项最大，
Ar≥Ar－1，
应用
解出 r，即得出系数的最大项．
Ar≥Ar＋1，
[类题尝试] 在(3x－2y)20 中，求： (1)二项式系数最大的项； (2)系数绝对值最大的项． 解：(1)二项式系数最大的项是第 11 项，为 T11＝ C2100·310·(－2)10x10y10＝C1200·610x10y10.
(2)因为(2x－1)5的展开式中偶数项的系数为负值， 所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4 －a5.
令x＝－1，得[2×(－1)－1]5＝－a0＋a1－a2＋a3－a4 ＋a5，
高中数学 第一章 计数原理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案(含解析)新人教A版选修2
河北省承德市高中数学第一章计数原理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案（含解析）新人教A版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（河北省承德市高中数学第一章计数原理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案（含解析）新人教A版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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“杨辉三角"与二项式系数的性质（1）a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)｜a0｜＋｜a1|＋|a2|＋…＋｜a7|.跟踪训练2(1)（x＋错误!)·(2x－错误!)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（)A．－40 B．－20C．20D．40（2）（2015·泉州市南安一中高二期中）若(2x＋错误!）4＝a＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4,则（a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3）2的值为0________。
三与杨辉三角有关的问题例3 如图所示,在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列:1,2，3,3,6,4，10，…，记这个数列的前n项和为S（n），则S（16)等于（）A．144 B．146C．164 D．461二项式系数与项的系数的区分跟踪训练3如图所示,满足:①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似杨辉三角，将第n(n≥2）行的第m个数记作a（n，m），则a(100，2）＝________。
2018-2019年高中数学第一章计数原理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案新人教A版选修
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质[教材研读]预习教材P 32～35，思考以下问题 1．杨辉三角具有哪些特点？2．二项式系数的性质有哪些？ [要点梳理] 1．杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C rn ＋1＝C r －1n ＋C rn . 2．二项式系数的性质[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( )2．二项式展开式的二项式系数和为C1n＋C2n＋…＋C n n.( )3．二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( )[答案] 1.√ 2.× 3.×题型一与杨辉三角有关的问题思考：杨辉三角的第n行数字规律与二项展开式有何联系？提示：杨辉三角的第n行数字规律是二项式(a＋b)n展开式的二项式系数，即(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b1＋…＋C rn a n－r b r＋…＋C nn bn.如图在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为S n，求S19的值．[解]由图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第17项是C210，第18项是C110，第19项是C211.∴S19＝(C12＋C22)＋(C13＋C23)＋(C14＋C24)＋…＋(C110＋C210)＋C211＝C23＋C24＋C25＋…＋C211＋C211＝C33＋C23＋C24＋C25＋…＋C211－1＋C211＝C312－1＋C211＝274.解决与杨辉三角有关的问题的一般思路(1)观察：对题目进行多角度观察，找出每一行的数与数之间，行与行之间的数的规律．(2)表达：将发现的规律用数学式子表达．(3)结论：由数学表达式得出结论．【温馨提示】杨辉三角的作用(1)直观地看出或探究二项式系数的性质；(2)当二项式系数不大时，可借助它直接写出各项的二项式系数．[跟踪训练]如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.[解析]由杨辉三角知，第一行中的数是C01，C11；第2行中的数是C02，C12，C22；第3行中的数是C03，C13，C23，C33，…，第n行中的数是C0n，C1n，C2n，…，C n n，设第n行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3，则C13n∶C14n＝2∶3，解之得n＝34.[答案]34题型二求展开式的系数和思考：(a＋b)n的展开式的二次项系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：计算每一行的系数和，你能看出什么规律？提示：2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n.若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.[思路导引] 解决此类问题常用赋值法，对x赋特殊的值，从而求解．[解](1)令x＝0，则a0＝－1，令x ＝1，则a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128.① 所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝129. (2)令x ＝－1，则－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝(－4)7，② 由①－②2得：a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝12[128－(－4)7]＝8256.(3)由①＋②2得：a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝12[128＋(－4)7]＝－8128.(4)解法一：∵(3x －1)7展开式中a 0，a 2，a 4，a 6均小于零，a 1，a 3，a 5，a 7均大于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝a 1＋a 3＋a 5＋a 7－(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝8256－(－8128)＝16384. 解法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7| 即为(1＋3x )7展开式中各项的系数和，所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(1＋3)7＝47＝16384.“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项系数之和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．[跟踪训练]已知(1－3x )8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 7x 7＋a 8x 8.求： (1)a 0＋a 1＋…＋a 8； (2)a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8； (3)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 8|.[解] (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝28＝256.①(2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＋a 8＝48.② ①＋②，得2(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8)＝28＋48， ∴a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝12×(28＋48)＝32896.(3)由于(1－3x )8＝C 08＋C 18×(－3x )＋C 28×(－3x )2＋…＋C 88×(－3x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8， 故a 0，a 2，a 4，a 6，a 8>0，a 1，a 3，a 5，a 7<0，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 8|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8＝48＝65536. 题型三 展开式中的最大值问题思考：二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，这种说法对吗？提示：错误．二项展开式中项的系数与二项式系数是不同的，二项式系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，但是项的系数的最大值与项其他数字因数的大小有关．已知f (x )＝⎝⎛⎭⎫3x 2＋3x 2n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．[思路导引] 令x ＝1，求得各项系数和，而二项式系数之和为2n，依题意可解得n 的值． [解] (1)令x ＝1，则二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n＝4n ，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.∴(2n )2－2n－992＝0， ∴(2n＋31)(2n－32)＝0， ∴2n＝－31(舍)，或2n＝32， ∴n ＝5.由于n ＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是 T 3＝C 25(x23 )3(3x 2)2＝90x 6， T 4＝C 35(x 23 )2(3x 2)3＝270x 223 .(2)展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 53r·x 23 (5＋2r )．假设T r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r5·3r≥C r －15·3r －1，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧5！5－r ！r ！×3≥5！6－r ！r －1！，5！5－r ！r ！≥5！4－r ！r ＋1！×3.∴⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92.∵r ∈N ，∴r ＝4.∴展开式中系数最大的项为T 5＝C 45·34x263 ＝405x263 .(1)求二项式系数最大的项，要依据二项式系数的性质对(a ＋b )n中的n 进行讨论，n 为奇数时中间两项的二项式系数最大；n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的．求展开式系数最大的项，如求(a ＋bx )n(a 、b ∈R 展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第r ＋1项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A r ≥A r －1A r ≥A r ＋1解出r 来，即得系数最大的项．[跟踪训练]在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 28的展开式中，(1)求二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项是第几项？[解] T r ＋1＝C r 8·(x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2r ＝(－1)r ·C r 8·2r·x 4－5r2 .(1)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项， 故T 5＝C 48·24·x 4－202 ＝1120x －6. (2)设第r ＋1项系数的绝对值最大，则⎩⎪⎨⎪⎧C r 8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1C r 8·2r ≥C r －18·2r －1，即⎩⎪⎨⎪⎧18－r ≥2r ＋1，2r ≥19－r .整理得⎩⎪⎨⎪⎧r ≥5，r ≤6.于是r ＝5或6.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项．1.本节课的重点是二项式系数的性质及展开式的系数和问题，难点是二项式系数性质的应用． 2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)与杨辉三角有关的问题，见典例1；(2)求展开式的系数和，见典例2； (3)展开式中的最大值问题，见典例3. 3．要重点关注以下几个易错点(1)若展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等，可转化为确定二项式系数的最值来解决． (2)一般地，二项展开式f (x )中的各项系数和为f (1)，奇数项系数和为12[f (1)＋f (－1)]，偶数项系数和为12[f (1)－f (－1)]．(3)“赋值法”是求二项展开式系数问题的常用方法，赋值就是对展开式中的字母用具体数值代替，注意赋的值要有利于问题的解决，赋值时可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况．。
高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质讲义新人教A版
1．3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质知识点“杨辉三角”与二项式系数的性质(a ＋b )n的展开式的二项式系数，当n 取正整数时可以表示成如下形式：1．杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数□01相等． (2)在相邻的两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的□02和，即C r n ＋1＝□03C r －1n＋C rn .2．二项式系数的性质(1)要区分二项式系数与二项式项的系数的区别，二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n是组合数，而二项式项的系数是指该项除字母以外的常数部分，与二项式系数有关，但不一定等于二项式系数．(2)在求二项式系数时常用赋值法．如－1,0,1等，赋值法体现了函数思想f(x)＝(ax＋b)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋a n.在解题时要注意审题，恰当赋值．(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( )(2)二项式展开式的二项式系数和为C1n＋C2n＋…＋C n n.( )(3)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( )答案 (1)× (2)× (3)× 2．做一做(1)⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 11的展开式中二项式系数最大的项是第________项． (2)若(a ＋b )n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n ＝________.(3)已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝________. 答案 (1)6和7 (2)8 (3)1解析 (1)由n ＝11为奇数，则展开式中第11＋12项和第11＋12＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．(2)由二项式系数的性质可知，第5项为二项展开式的中间项，即二项展开式有9项，故n ＝8.(3)展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 5·a5－r·x r ，令r ＝2，则a 2＝(－1)2C 25·a 3＝80，所以a＝2.则(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 5＝1.探究1 杨辉三角的有关问题例 1 如图所示，在杨辉三角中，斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n 项和为S n ，求S 19.[解] 由题图知，数列中的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 23，第4项是C 13，…，第17项是C 210，第18项是C 110，第19项是C 211.∴S 19＝(C 12＋C 22)＋(C 13＋C 23)＋(C 14＋C 24)＋…＋(C 110＋C 210)＋C 211 ＝(C 12＋C 13＋C 14＋…＋C 110)＋(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 211) ＝(2＋10)×92＋C 312＝274. 拓展提升解决与杨辉三角有关的问题的一般思路[跟踪训练1] (1)如图数表满足：①第n 行首尾两数均为n ；②图中的递推关系类似杨辉三角，则第n (n ≥2)行的第2个数是________；(2)将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第________行；第61行中1的个数是________．答案 (1)n 2－n ＋22(2)2n－1 32解析 (1)由图中数字规律可知，第n 行的第2个数是[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋1＝n (n －1)2＋1.(2)观察可得第1行，第3行，第7行，第15行，全行都为1，故第n 次全行的数都为1的是第2n－1行；∵n ＝6⇒26－1＝63，故第63行共有64个1，递推知第62行共有32个1，第61行共有32个1.探究2 二项展开式的系数和问题 例2 在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)各项的二项式系数的和；(2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和； (3)各项系数之和；(4)奇数项系数的和与偶数项系数的和． [解] 在(2x －3y )10的展开式中：(1)各项的二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210＝1024. (2)奇数项的二项式系数的和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29＝512， 偶数项的二项式系数的和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29＝512.(3)设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10(*)，各项系数之和即为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10，由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求解．令(*)中x ＝y ＝1，得各项系数之和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(4)奇数项系数的和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10，偶数项系数的和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9. 由(3)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1.①令(*)中x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510.②①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510，故奇数项系数的和为12(1＋510)；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510,故偶数项系数的和为12(1－510)．拓展提升求展开式的各项系数之和常用赋值法．“赋值法”是求二项式系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同的值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项系数之和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x ＝－1则可得各项系数绝对值之和．[跟踪训练2] 设(2－3x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100·x 100，求下列各式的值． (1)a 0；(2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100； (3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2； (5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|.解 (1)令x ＝0，则展开式为a 0＝2100. (2)令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100，(*) 所以a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100－2100.(3)令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100.与(2)中(*)式联立相减得a 1＋a 3＋…＋a 99＝(2－3)100－(2＋3)1002.(4)原式＝[(a 0＋a 2＋…＋a 100)＋(a 1＋a 3＋…＋a 99)]·[(a 0＋a 2＋…＋a 100)－(a 1＋a 3＋…＋a 99)]＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)·(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 98－a 99＋a 100) ＝[(2－3)(2＋3)]100＝1100＝1. (5)因为T r ＋1＝(－1)r C r 1002100－r·(3)r x r，所以a 2k －1<0(k ∈N *)．所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 100| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100 ＝(2＋3)100.探究3 求二项展开式中的最大项问题 例3 已知在的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． [解] 令x ＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝22n. 又展开式中二项式系数和为2n. ∴22n2n ＝2n＝32，n ＝5. (1)∵n ＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项，拓展提升1.二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n中的n 进行讨论． (1)当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大． (2)当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． 2．展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx )n(a ，b ∈R )的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A 0，A 1，A 2，…，A n ，且第r ＋1 项最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A r ≥A r －1，A r ≥A r ＋1，解得r ，即得出系数的最大项．[跟踪训练3] 已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n .(1)若展开式中第5项，第6项，第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式中前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 解 (1)由题意，得C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ， ∴n 2－21n ＋98＝0，∴n ＝7或n ＝14.当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5，T 4的系数为C 37×⎝ ⎛⎭⎪⎫124×23＝352，T 5的系数为C 47×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×24＝70.故展开式中二项式系数最大项的系数分别为352，70.当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8，∵T 8的系数为C 714×⎝ ⎛⎭⎪⎫127×27＝3432.故展开式中二项式系数最大项的系数为3432. (2)由题意知C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79， 解得n ＝12或n ＝－13(舍去)． 设展开式中第r ＋1项的系数最大，由于⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212·(1＋4x )12，则⎩⎪⎨⎪⎧C r12·4r≥C r －112·4r －1，C r 12·4r ≥C r ＋112·4r ＋1，∴9.4≤r ≤10.4.又r ∈{0,1,2，…，12}，∴r ＝10，∴系数最大的项为T 11，且T 11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212·C 1012·(4x )10＝16896x 10.1．(2－x )8展开式中不含x 4项的系数的和为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 B 解析∴展开式中x 4项的系数为C 88＝1.又∵(2－x )8展开式中各项系数和为(2－1)8＝1， ∴展开式中不含x 4项的系数的和为0.2．在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x－3x n (n ∈N *)的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有系数之和为( )A ．32B ．－32C ．0D ．1 答案 D解析 由题意得2n ＝32，得n ＝5.令x ＝1，得展开式所有项的系数之和为(2－1)5＝1.故选D.3．若(1－2x )2019＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2019x2019(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 201922019的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．－1 答案 D 解析 (1－2x )2019＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2019x2019，令x ＝12，则⎝⎛⎭⎪⎫1－2×122019＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 201922019＝0，其中a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 201922019＝－1.4．如图所示的数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，他们是由正整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第n (n ≥3)行第3个数字是________．答案2n (n －1)(n －2)(n ∈N *，n ≥3)解析 杨辉三角形中的每一个数都换成分数，就得到一个如题图所示的分数三角形，即为莱布尼茨三角形．∵杨辉三角形中第n (n ≥3)行第3个数字是n C 2n －1，则“莱布尼茨调和三角形”第n (n ≥3)行第3个数字是1n C 2n －1＝2n (n －1)(n －2). 5．在二项式(2x －3y )9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)系数绝对值的和．解 设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9. (1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29. (2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9， 令x ＝1，y ＝1，∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1. (3)由(2)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1， 令x ＝1，y ＝－1，可得：a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，将两式相加除以2可得：a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，即为所有奇数项系数之和．(4)解法一：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－…－a 9，令x ＝1，y ＝－1，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59.解法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|即为(2x ＋3y )9展开式中各项系数和，令x ＝1，y ＝1得：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝59.。
高中数学第一章 计数原理教案 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质选修2-3
1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质教学目标：知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。
过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。
情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。
教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 授课类型：新授课 课时安排：2课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n nr n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，（2）1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++.2．二项展开式的通项公式：1r n r rr n T C a b -+=3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课：1二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和2．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0nC ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n mn nC C -=）． 直线2nr =是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!kk n n n n n n k n k C C k k----+-+==⋅，∴k n C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112n k n k k -++>⇔<，当12n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n nC -，12n nC+取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++，令1x =，则0122n r nn n n n nC C C C C =++++++ 三、讲解范例：例1．在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和证明：在展开式01()()n n nr n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈中，令1,1a b ==-，则0123(11)(1)n n nn n n n nC C C C C -=-+-++-， 即02130()()n n n n C C C C =++-++，∴0213n n n n C C C C ++=++，即在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．说明：由性质（3）及例1知021312n n n n n C C C C -++=++=.例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求：（1）127a a a +++； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a +++.解：（1）当1x =时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为0127a a a a ++++∴0127a a a a ++++1=-，当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-， （2）令1x =， 0127a a a a ++++1=- ①令1x =-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②①-② 得：713572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7132+-.（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正，∴由（2）中①+② 得：702462()13a a a a +++=-+，∴ 70246132a a a a -++++=，∴017||||||a a a +++=01234567a a a a a a a a -+-+-+-702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x 3的系数解：)x 1(1])x 1(1)[x 1(x 1)x 1()x 1(10102+-+-+=+++++）（ =x x x )1()1(11+-+，∴原式中3x 实为这分子中的4x ，则所求系数为711C例4.在(x 2+3x+2)5的展开式中，求x 的系数 解：∵5552)2x ()1x ()2x 3x (++=++∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x 的项为x 5C 15=，在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x 的项为x 80x 2C 415=∴展开式中含x 的项为 x 240)32(x 5)x 80(1=+⋅， ∴此展开式中x 的系数为240 例5.已知n2)x2x (-的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项解：依题意2n 4n 2n 4n C 14C 33:14C :C =⇒= ∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!⇒n=10设第r+1项为常数项，又 2r 510r 10r r 2r10r 101r x C )2()x2()x (C T --+-=-=令2r 02r510=⇒=-， .180)2(C T 221012=-=∴+此所求常数项为180例6． 设()()()()231111nx x x x ++++++++=2012n n a a x a x a x ++++，当012254n a a a a ++++=时，求n 的值解：令1x =得：230122222nn a a a a ++++=++++2(21)25421n -==-， ∴2128,7n n ==，点评：对于101()()()n n n f x a x a a x a a -=-+-++，令1,x a -=即1x a =+可得各项系数的和012n a a a a ++++的值；令1,x a -=-即1x a =-，可得奇数项系数和与偶数项和的关系例7．求证：1231232nn n n n n C C C nC n -++++=⋅．证（法一）倒序相加：设S =12323nn n n nC C C nC ++++ ① 又∵S =1221(1)(2)2n n n n n n n nnC n C n C C C --+-+-+++ ② ∵r n r n n C C -=，∴011,,n n n n n n C C C C -==，由①+②得：()0122nn n n n S n C C C C =++++，∴11222n n S n n -=⋅⋅=⋅，即1231232nn n n n n C C C nC n -++++=⋅．（法二）：左边各组合数的通项为rnrC 11!(1)!!()!(1)!()!r n n n n r nC r n r r n r --⋅-=⋅==---，∴ ()1230121112123n n n n n n n n n n C C C nC n C C C C -----++++=++++12n n -=⋅． 例8．在10)32(y x -的展开式中,求: ①二项式系数的和; ②各项系数的和;③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.分析:因为二项式系数特指组合数rn C ,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式y x 32-中的系数无关.解：设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=- (*), 各项系数和即为1010a a a +++ ,奇数项系数和为0210a a a +++,偶数项系数和为9531a a a a ++++ ,x 的奇次项系数和为9531a a a a ++++ ,x 的偶次项系数和10420a a a a ++++ .由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.①二项式系数和为1010101100102=+++C C C .②令1==y x ,各项系数和为1)1()32(1010=-=-.③奇数项的二项式系数和为910102100102=+++C C C , 偶数项的二项式系数和为99103101102=+++C C C .④设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=- , 令1==y x ,得到110210=++++a a a a …(1),令1=x ,1-=y (或1-=x ,1=y )得101032105=++-+-a a a a a …(2) (1)+(2)得10102051)(2+=+++a a a , ∴奇数项的系数和为25110+;(1)-(2)得1093151)(2-=+++a a a , ∴偶数项的系数和为25110-.⑤x 的奇次项系数和为251109531-=++++a a a a ;x 的偶次项系数和为2511010420+=++++a a a a .点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一.例9．已知n x x 223)(+的展开式的系数和比n x )13(-的展开式的系数和大992,求n xx 2)12(-的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项.解：由题意992222=-n n ,解得5=n .①101(2)x x-的展开式中第6项的二项式系数最大,即8064)1()2(55510156-=-⋅⋅==+xx C T T .②设第1+r 项的系数的绝对值最大,则r r rr r r r r x C xx C T 2101010101012)1()1()2(---+⋅⋅⋅-=-⋅⋅=∴⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅--+-+---110110101011011010102222r r r r r r r r C C C C ,得⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-110101101022r r r r C C C C ,即⎩⎨⎧-≥+≥-r r r r 10)1(2211 ∴31138≤≤r ,∴3=r ,故系数的绝对值最大的是第4项例10．已知：223(3)nx x +的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992． （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项 解：令1x =，则展开式中各项系数和为2(13)2n n+=， 又展开式中二项式系数和为2n，∴222992nn-=，5n =．（1）∵5n =，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，∴223226335()(3)90T C x x x ==，22232233345()(3)270T C x x x ==，（2）设展开式中第1r +项系数最大，则21045233155()(3)3rrrr r rr T C x x C x+-+==，∴1155115533792233r r r r r r r r C C r C C --++⎧≥⎪⇒≤≤⎨≥⎪⎩，∴4r =， 即展开式中第5项系数最大，2264243355()(3)405T C x x x ==．例11．已知)(1222212211+---∈+⋅++++=N n C C C S n n n n n n n n ，求证：当n 为偶数时，14--n S n 能被64整除分析：由二项式定理的逆用化简n S ，再把14--n S n 变形，化为含有因数64的多项式∵1122122221(21)n n n n n n n n n S C C C ---=++++⋅+=+3n =，∴14--n S n 341nn =--，∵n 为偶数，∴设2n k =（*k N ∈）， ∴14--n S n 2381kk =--(81)81k k =+--0111888181k k k k k k C C C k --=++++--011228(88)8k k k k C C C -=+++ （*） ，当k =1时，410n S n --=显然能被64整除， 当2k ≥时，（*）式能被64整除，所以，当n 为偶数时，14--n S n 能被64整除 三、课堂练习： 1．)()4511x -展开式中4x 的系数为 ，各项系数之和为 ．2．多项式12233()(1)(1)(1)(1)n nn n n n f x C x C x C x C x =-+-+-++-（6n >）的展开式中，6x 的系数为 3．若二项式231(3)2n x x-（n N *∈）的展开式中含有常数项，则n 的最小值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.8 4．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 （ ）A.低于5％B.在5％～6％之间C.在6％～8％之间D.在8％以上5．在(1)n x +的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则2(1)nx -等于（ ） A.0 B.pq C.22p q + D.22p q -6．求和：()2341012311111111111n nnn n n n n a a a a a C C C C C a a a aa+------+-++------．7．求证：当n N *∈且2n ≥时，()1322n n n ->+．8．求()102x +的展开式中系数最大的项答案：1. 45, 0 2. 0 ．提示：()()16nf x x n =->3. B4. C5. D6. ()11n a a ---7. (略) 8. 33115360T x +=四、小结 ：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用五、课后作业：P36 习题1.3A 组5. 6. 7.8 B 组1. 21．已知2(1)n a +展开式中的各项系数的和等于52165x ⎛ ⎝的展开式的常数项，而2(1)n a + 展开式的系数的最大的项等于54，求a 的值()a R ∈答案：a =2．设()()()()()591413011314132111x x a x a x a x a -+=+++++++求：① 0114a a a +++ ②1313a a a +++．答案：①9319683=； ②()953399632+=3．求值：0123456789999999999922222C C C C C C C C C C -+-+-+-+-． 答案：82256=4．设296()(1)(21)f x x x x =+-+，试求()f x 的展开式中： （1）所有项的系数和；（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和 答案：（1）63729=；（2）所有偶次项的系数和为6313642-=； 所有奇次项的系数和为6313652+= 六、板书设计（略）七、教学反思：二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。
高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质教案 新人教A版选修2-3
1．3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质教学目标知识与技能1．利用二项式定理得出二项式系数的一些性质；2．能运用二项式系数的性质解决一些简单问题．过程与方法1．熟知二项式系数的对称性、单调性、最大项及所有二项式系数之和等结论；2．熟练运用赋值法求一些代数式的值．情感、态度与价值观1．培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力．2．通过学习“杨辉三角”的有关知识，了解我们国家悠久的文化传统，陶冶学生的爱国主义情操，进一步提升学生学好数学用好数学的决心和勇气，提升学生学习数学的兴趣．重点难点教学重点：了解“杨辉三角”的结构与规律，掌握二项式系数的一些性质，掌握赋值法．教学难点：二项式系数性质的得到和证明，利用二项式系数的性质解决有关问题．教学过程引入新课前面我们学习了二项式定理，请回顾：(1)(a＋b)n＝__________________(n∈N*)，这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a＋b)n的__________________，其中C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做____________，通项是指展开式的第________________项，展开式共有______________项．(2)什么是二项式系数？什么是系数？活动设计：学生先独立回忆，然后独立发言，其他同学进行补充，必要时可以看书．活动结果：(答案展示)(1)(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N)、展开式、二项式系数、r＋1、n＋1.(2)二项式系数是C r n，系数是变量前的常数．设计意图：通过复习二项式定理的有关知识，为发现杨辉三角的有关性质打下基础，形成知识储备，引出本节课要研究的内容．提出问题：计算(a＋b)n展开式的二项式系数并填入下表n 展开式的二项式系数1234567活动设计：通过学案或者投影展示表格，学生填空，学生之间可以交流，教师指导．活动成果：设计意图：当二项式的次数不大时，可借助它直接写出各项的二项式系数．通过计算填表，让学生发现其中的规律．探究新知提出问题：当表示形式为“三角形”时，该表格有什么规律？活动设计：学生自主解决，自由发言，自主探究．活动成果：(这个表在我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就出现了，称为杨辉三角．但是在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡首先发现的，他们把这个表称为帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的)设计意图：为了使学生建立“杨辉三角”与二项式系数的性质之间关系的直觉，要求学生填表，观察表格，探索规律，体会“表示形式的变化有时能帮助我们发现规律”这句话的深刻哲理与方法，由学生自己说说其中的规律．理解新知提出问题1：观察杨辉三角的每一行，正数第1个数与倒数第1个数，正数第2个数与倒数第2个数，正数第3个数与倒数第3个数，…它们有什么样的等量关系？你能把你的想法概括成一句话吗？活动设计：通过展示表格与杨辉三角，让学生自己观察，发现结论，踊跃发言，勇于探索．活动成果：正数第1个数与倒数第1个数相等，正数第2个数与倒数第2个数相等，正数第3个数与倒数第3个数相等，…(板书)二项式系数的性质(1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距”的两项的二项式系数相等，即C m n＝C n－mn.设计意图：引导学生猜想，猜想是发现的开始．通过杨辉三角得到“对称性”，进一步加深学生对二项式系数性质的掌握，这条性质实际上是组合数的一个性质．提出问题2：观察杨辉三角的相邻两行，看看下一行中除了“1”之外的数与上一行中的数有什么关系？活动设计：学生独立思考，自由发言，可以小组讨论．活动成果：表中任一不为1的数都等于它肩上的两个数的和，即(板书)(2)C r n ＋1＝C r －1n ＋C r n .设计意图：通过新发现(杨辉三角)，重新验证旧知识，能够提升学生对此公式的理解与掌握，加深学生对二项式系数性质的理解，能够在最大程度上提升学生的认知水平，这条性质实际上是组合数的另外一个性质．提出问题3：观察每一行中的二项式系数的大小变化情况，有单调性吗？有最值吗？ 活动设计：学生未必一下能说清楚，尽量鼓励学生说，让他们积极参与．教师始终是引导者，学生始终是课堂的主体．引导学生从多个方面分析二项式系数的大小关系，如利用特殊值法观察归纳、利用函数图象画图观察等等．先由学生独立完成，然后组织全班讨论，学生之间可以相互求助．活动成果：因为C k n ＝n(n －1)(n －2)…(n －k ＋1)(k －1)！k＝C k －1n n －k ＋1k， 所以C k n 相对于C k －1n 的增减情况由n －k ＋1k决定．由 n －k ＋1k >1 k<n ＋12可知，当k<n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即C n 2n 最大；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即C n －12n ＝C n ＋12n ，即C n －12n ，C n ＋12n 最大． (板书)(3)增减性与最大值：二项式系数由两边向中间增大，并且在中间取得最大值．当n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即C n 2n 最大；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即C n －12n ＝C n ＋12n 最大． 设计意图：由于二项式系数组成的数列是一个离散函数，所以我们应该引导学生从函数的角度或从特殊值的角度研究二项式系数的性质．这样处理便于建立知识的前后联系，使学生体会用函数知识研究问题的方法，体会由特殊到一般的化归思想．难点是需要根据n 的奇偶性确定相应的分界点，教学时应该引导学生分析其对称轴实际上是k ＝n 2，从而学生可以比较容易地理解并记住最值在哪一项被取到．提出问题4：计算“杨辉三角”中每一行的和，观察其规律，并写出其公式．活动设计：学生自主探究，归纳整理，踊跃发言，教师应该多加鼓励，但是不能代替学生，自始至终都要保护学生的积极性，保持学生的主体性，教师仅仅是一名导演而已．活动成果：已知(1＋x)n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C r n x r ＋…＋C n n x n ，令x ＝1，则即二项式系数之和等于2n.我们把这样的方法称为赋值法，赋值法是一类解决二项式系数的性质的优越办法．(板书)(4)各二项式系数的和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C r n＋…＋C n n＝2n.设计意图：本环节的设置与本节的大环境一致，都是通过特殊的例子发现最一般的结论，提高学生的认知能力、观察能力及化归能力，加深对二项式系数性质的掌握与应用．实际上这条性质，我们在组合数或者集合的子集中遇到过，教师也可以从这方面入手进行引导，能够进一步加深学生对这一部分知识的理解与掌握，让学生体会到数学知识的前后联系，能够最大限度地达到教学目标．运用新知例1下面的二项展开式中，哪些项的二项式系数最大？是多少？填在相应的横线上．(1)(a＋b)20第________________项的二项式系数最大，是______________________；(2)(a＋b)19第________________项的二项式系数最大，是______________________．思路分析：根据二项式系数的性质(3)即可解决，但要分清n的奇偶性．解：(1)若n＝20，则当r＝10时，二项式系数最大，所以第11项的二项式系数最大，是C1020.(2)若n＝19，则当r＝9或10时，二项式系数最大，所以第10或11项的二项式系数最大，是C919＝C1019.点评：通过n的奇偶性的不同，考查了二项式系数的性质(3)，但是要注意这是二项式系数的最大值，不一定就是系数的最大值．【巩固练习】(1＋2x)n的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，求展开式中二项式系数最大的项．解：由题意C4n＝C7n，所以n＝4＋7＝11，从而展开式中二项式系数最大的项是中间两项，即第6项与第7项．例2证明：在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．思路分析：奇数项的二项式系数的和为C0n＋C2n＋C4n＋…，偶数项的二项式系数的和为C1n ＋C3n＋C5n＋…，由于(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N)中的a，b可以取任意实数，因此我们可以通过对a，b适当赋值来得到上述两个系数和．这一点可以从性质(4)的推导来获得．证明：在展开式(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N)中，令a＝1，b＝－1，则得(1－1)n＝C0n－C1n＋C2n－C3n＋…＋(－1)n C n n，即0＝(C0n＋C2n＋…)－(C1n＋C3n ＋…)，所以C0n＋C2n＋…＝C1n＋C3n＋…，即在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．点评：赋值法是解决二项式定理与二项式系数的一种很重要的方法，凡是与二项式系数和或者系数和有关的问题，都有可能通过赋值法获得解决．实际上我们还可以利用函数思想解决这个问题，即令f(x)＝C0n＋C1n x＋C2n x2＋…＋C r n x r＋…＋C n n x n，由f(－1)＝0，即可很容易地得到要证明的结果．【巩固练习】C17＋C27＋C37＋…＋C77＝__________解：因为C07＋C17＋C27＋C37＋…＋C77＝27＝128，所以【变练演编】1．当C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2 048时，n ＝________.2．当C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2 048时，n ＝________.3．当C x n ＝C y n 时，其中n≥x，n≥y，x ，y ，n∈N *，则x ，y 所满足的关系式是__________．4．当(1＋2x)n 的展开式中只有第7项的二项式系数最大时，n ＝________________.请将你所能想到的所有答案都一一列举出来．1．解：由2n ＝2 048＝211，得n ＝11.2．解：由2n －1＝2 048＝211，得n ＝12.3．解：由题意x ＝y 或x ＋y ＝n.4．解：由性质(3)知，n 2＋1＝7，所以n ＝12. 设计意图：本环节的设计源于一种非常好的教学方法：变练演编．这种开放性的设计，不仅有助于训练同学们的常规思维，还能培养同学们的逆向思维．一堂好的数学课必须让学生创新，使得学生有所收获．通过这种方式的训练，让学生去创造题目，解决问题，增加了中学生学习数学的兴趣，进一步掌握了“杨辉三角”的有关性质，能力得到了提高．【达标检测】1．展开式1＋2C 110＋4C 210＋…＋210C 1010＝________.2．(x y －12y x)13展开式的中间项是__________． 3．已知(x 3＋1x 2)n 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，求展开式中不含x 的项． 1．解：在(1＋x)10＝r ＝010C r 10x r中， 令x ＝2，得1＋2C 110＋4C 210＋…＋210C 1010＝(1＋2)10＝310＝59 049.2．解：中间项是第7、8项，即42916x 10y 192、－42932y 10x 192. 3．解：由题意n ＝10，展开式的通项为C r 10x 30－5r，所以当r ＝6时，不含x 的项是210. 课堂小结活动设计：给学生2分钟的时间，让学生总结出本节课所学的主要知识、方法与技能，教师尽量不要代劳，能让学生说的教师绝不可以“越俎代庖”．活动成果：(板书)1．知识收获：杨辉三角的发现，二项式系数的四个主要性质．2．方法收获：如何求二项式系数的最大值以及理解赋值法的实质及其应用．3．思维收获：增强爱国主义情感，使学生对我们国家古代的伟大数学成就有所了解，进一步增强其民族自豪感；通过杨辉三角的发现，体会推理—猜想的重要性，体会函数思想、化归思想．设计意图：学生能自己表达的就让他自己表达，学生能自己解决的就让他自己解决，学生能自己总结的就让他自己总结，通过让学生自己总结本节课的学习内容与方法，不但可以使学生更好地掌握本节所学，而且还能提高学生学习的主动性，提高学生学习数学的兴趣，久而久之，学生的数学水平与数学素养必定会得到长足的提高！这样不但能充分体现新课程的理念，还能充分发挥学生在课堂上的“主人翁”精神，真正体现了学生的主体地位．补充练习【基础练习】1．C 110＋C 310＋C 510＋C 710＋C 910＝______________.2．C 111＋C 211＋C 311＋C 411＋C 511＝________________________.3．若(a ＋b)n 的展开式中，各项的二项式系数和为8 192，则n 的值为( )A ．16B ．15C ．14D ．134．一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为( )A ．20B ．219C ．220D ．220－1【答案或解答】1．5122．利用对称性，原式为2112－1＝1 023 3．D 4.D【拓展练习】5．若(31x ＋51x2)n 的展开式中，所有奇数项的系数之和为1 024，求它的中间项． 6．已知(2x ＋x lgx )8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1 120，求x 的值．答案：5.解：系数之和即为二项式系数之和，由2n －1＝1 024，得n ＝11，所以展开式的中间项为第6、7项，分别为462x －4、462x －6115. 6．解：依题意T 5＝C 48(2x)4(x lgx )4＝1 120，整理得x 4(1＋lgx)＝1，两边取对数，得lg 2x ＋lgx ＝0，解得lgx ＝0或lgx ＝－1.∴x＝1或x ＝110. 设计说明二项式系数性质是《二项式定理》的重要内容之一，教材从传授知识的角度出发，有它的合理性，但教学过程中不能照本宣科平铺直叙．经过认真探索，发现从杨辉三角去探索二项式系数性质有助于学生掌握这部分知识，提高其数学能力．同时还能发挥教材中史情内容的教育功能，唤起民族的自尊心、自信心和爱国主义热情，并转化为学习数学的动力而发奋学习．这样设计这堂课，主要有以下几个原因：第一，二项式定理这部分内容比较枯燥，需要记忆的知识点也比较多，要求教师不断地挖掘规律，简化学生的记忆负担．即使如此，学生的学习仍处于被动状态，所以这节课，要想充分发挥学生的积极性，化被动为主动，因此引入了杨辉三角，利用图表的直观性很容易发现规律，这个规律是由学生自己发现的，当然也就容易记忆．第二，以往我们处理二项式系数的性质这一节时，总是将性质用定论的形式直接呈现在学生面前，然后自己再说出证明方法，紧接着就是上例题做练习．这样，似乎是开门见山，直截了当，节约时间，但忽视了很重要的一点．数学教学的实质是思维过程的教学，“直截了当”则掩盖了“思维过程”，把知识和方法不是作为思维过程暴露在学生面前，而是作为结果抛给学生，这种“奉送”的做法势必回避了数学思想的培养．长此以往，学生的数学素质很难得到提高．第三，教与学是一对矛盾，它是一个已知教未知和未知求新知的过程，两者对立统一、辩证发展．现代教育学强调：“在教学过程中，应自始至终地确立学生的主体地位及教师在教学中的主导作用．”那么在“以教师为主导，学生为主体”的教学思想指导下，如何来发挥“主导与主体”作用呢？我们认为一定要突出“引”和“放”，即在教师正确引导下，放开让学生积极参与教学，而不是简单地接收、模仿．这里关键在于教师设法创造良好的教学环境，思路一起探索，疑难一同解决，规律共同发现，结论一起获得，错误一起纠正，师生密切配合才能提高学生的学习效果，促进其个性健康发展．第四，要充分发挥“以教师为主导、学生为主体”的作用，首先要深入研究教材，结合教材具体内容及学生实际情况和需求(学生感兴趣)，创设适合学生思维水平的教学环境，贯彻启发性原则，激发学习动机，引起学习兴趣，使学习成为自觉需求才能吸引学生积极参与，突出“引”与“放”．本课如果照本宣科则平淡无奇，对学生思维能力的培养毫无作用．上述做法使大多数学生在教师引导下“跳一跳，能摸到”，促进学生思维能力的提高．第五，引导学生积极参与的内容要防止两种情形．一是过易，不能充分发挥学生的主体作用．二是过难，学生摸不着头绪就没兴趣参与．教师要在充分了解学生的原有认知结构的前提下，确立一个相对较低的起点，难度高的还要适当铺设台阶，多层次展开问题，使每个层次的学生在我们引导下都能积极参与，做到一分耕耘一分收获．第六，要重视并加强对学生数学思想方法的培养，善于揭示教材的内隐性．像杨辉三角教学中，它的德育、美育功能具有外露性，智力功能比较内隐，如果不是精心研究，并去揭示三角数阵的结构，以及它与二项式系数性质相联系的规律，不去展开观察、分析、类比和归纳等思维过程，就不能够发展学生的智能，其他功能也会受影响．只有当学生从被动上升到主动去应用这些数学思想和方法，才能形成能力，培养学生只学会还不够，教师培养学生的目标是使之会学，那将是受益终身的财富．备课资料伟大的数学家——杨辉杨辉(约1238年～约1298年)，字谦光，钱塘(今浙江杭州)人，是中国南宋时的数学家．杨辉生于宋理宗嘉熙二年(1238年)，卒于元成宗大德二年(1298年)，是中国南宋末年的数学家、数学教育家，大约在13世纪中叶活动于苏杭一带．杨辉的数学著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有《详解九章算法》十二卷(1261年)、《日用算法》二卷(1262年)、《乘除通变本末》三卷(1274年)、《田亩比类乘除算法》二卷(1275年)、《续古摘奇算法》二卷(1275年)．在他的著作中收录了不少现已失传的古代数学著作中的算题和算法．杨辉可以说是世界上第一个给出了如此丰富的纵横图和讨论了构成规律的数学家．除此成就之外，他还有一项重大贡献，就是“杨辉三角”．大家认识杨辉的名字，基本上都是从“杨辉三角形”上来的．其实，所谓的“杨辉三角形”，并不是杨辉首创，而是北宋的贾宪在他的著作《黄帝九章算经细草》中提出的．此书成于公元1050年左右，其中的“开方做法本源图”就是杨辉三角形的原型，所以也被称为“贾宪三角形”．这个三角形的每一行，对应的是二项式(a＋b)n展开式的系数．杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面．杨辉对筹算乘除捷算法进行了总结和发展，有的还编成了歌诀，如“九归”口诀．杨辉创“纵横图”之名，在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的纵横图及有关的构造方法．垛积术，是杨辉继沈括“隙积术”之后，关于高阶等差级数的研究．杨辉的“纂类”中，是将《九章算术》246个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈不足、方程、勾股等九类．杨辉是一位杰出的数学教育家，重视数学的普及，在《算法通变本末》中，杨辉为初学者制订的“习算纲目”是中国数学教育史上的一项重要文献．另一方面，他在宋度宗咸淳年间的两本著作里，亦有提及当时南宋的土地价格．这些资料亦对后世史学家了解南宋经济发展有很重要的帮助．在《乘除通变算宝》中，杨辉创立了“九归”口诀，介绍了筹算乘除的各种速算法等等．在《续古摘奇算法》中，杨辉列出了各式各样的纵横图(幻方)，它是宋代研究幻方和幻圆的最重要的著述．杨辉对中国古代的幻方，不仅有深刻的研究，而且还创造了一个名为攒九图的四阶同心幻圆和多个连环幻圆．杨辉在数学上的另一个重要的贡献是提出了幻方的构造方法．所谓的幻方，就是指在N×N的格子中填入1到N平方的自然数，使每一行每一列的和都相等．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫图或者洛书，写成数字的形式，就是：四九二三五七八一六还有一个口诀：“二四为肩、六八为足、左三右七、戴九履一、五居中央．”传说是黄帝时代，洛水中浮起一只大龟，背上刻着这样的图案．洛书配上八卦，用在风水学上，被称为洛书轨迹，用在奇门遁甲中，则形成了“休死伤杜开惊生景”八门．诸葛亮最擅长的八阵图就是源于此．杨辉收集整理了很多不同阶的幻方，称其为“纵横图”，并写到了自己的著作《续古摘奇算法》一书中，可以说是世界上第一个给出如此多的幻方并讨论了它们的组成规律的数学家．幻方的构造可以按照一个固定的规律，按奇数阶和偶数阶的不同，构造的方法也不一样．奇数阶的构造很容易．首先从最后一行的中间开始填起，从一开始递增，向斜下方延伸．如果超出了边界，就从相对边的位置继续．如果遇上已经填过的格子，就从填过的格子上方的格子继续．大家可以对照三阶幻方来看出这个规律．对于偶数阶幻方，如果是四的倍数，很容易，只要首先把从1到N平方的数字先按照行的方向填好，变成下面的样子：1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14 15 16然后除了对角线上面的数字不动以外，其他的数字跟中心对称位置的数字对调：1 15 14 412 6 7 98 10 11 513 3 2 16这样就构造好了．对于阶数是4m＋2的幻方，构造的方法比较复杂．不过步骤是先构造好中心的幻方，然后在周围加上一圈数字就可以了．由于杨辉在数学上的杰出成就，他和秦九韶，李冶，朱世杰一起被后人并称为“宋元数学四大家”．百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。
2018-2019版高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案 新人教A版
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质学习目标 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用．知识点 “杨辉三角”与二项式系数的性质(a ＋b )n的展开式的二项式系数，当n 取正整数时可以表示成如下形式：思考1 从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？答案 在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和． 思考2 计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？ 答案 2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n. 思考3 二项式系数的最大值有何规律？答案 当n ＝2,4,6时，中间一项最大，当n ＝3,5时中间两项最大． 梳理 (1)杨辉三角的特点①在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．②在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C kn ＋1＝C k －1n ＋C kn . (2)二项式系数的性质1．杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( ×)2．二项式展开式的二项式系数和为C1n＋C2n＋…＋C n n.( ×)3．二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( ×)类型一与杨辉三角有关的问题例1 (1)杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是( )A．第6行 B．第7行 C．第8行 D．第9行(2)如图，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于( )A．144 B．146 C．164 D．461考点二项式系数的性质题点与杨辉三角有关的问题答案(1)B (2)C解析(1)由题意，第6行为1,6,15,20,15,6,1，第7行为1,7,21,35,35,21,7,1，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除．(2)由题干图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第15项是C29，第16项是C19，所以S(16)＝C12＋C22＋C13＋C23＋…＋C19＋C29＝(C12＋C13＋…＋C19)＋(C22＋C23＋…＋C29)＝(C22＋C12＋C13＋…＋C19－C22)＋(C33＋C23＋…＋C29)＝C210＋C310－1＝164.反思与感悟解决与杨辉三角有关的问题的一般思路跟踪训练1 如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3.考点二项式系数的性质题点与杨辉三角有关的问题答案34解析由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为2∶3，它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比，所以C13n∶C14n＝2∶3，即14n－13＝23，解得n＝34，所以在第34行中，从左至右第14个数与第15个数的比是2∶3.类型二二项式系数和问题例2 已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；(3)a1＋a3＋a5.考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题解(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.(2)令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.由(2x－1)5的通项T k＋1＝C k5(－1)k·25－k·x5－k知a1，a3，a5为负值，所|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝35＝243. (3)由a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1， －a 0＋a 1－a 2＋…＋a 5＝－35， 得2(a 1＋a 3＋a 5)＝1－35. 所以a 1＋a 3＋a 5＝1－352＝－121.引申探究在本例条件下，求下列各式的值： (1)a 0＋a 2＋a 4； (2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5； (3)5a 0＋4a 1＋3a 2＋2a 3＋a 4.解 (1)因为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1， －a 0＋a 1－a 2＋…＋a 5＝－35. 所以a 0＋a 2＋a 4＝1＋352＝122.(2)因为a 0是(2x －1)5展开式中x 5的系数， 所以a 0＝25＝32.又a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1， 所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－31.(3)因为(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5.所以两边求导数得10(2x －1)4＝5a 0x 4＋4a 1x 3＋3a 2x 2＋2a 3x ＋a 4. 令x ＝1得5a 0＋4a 1＋3a 2＋2a 3＋a 4＝10. 反思与感悟 二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)， 奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2， 偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.跟踪训练2 在二项式(2x －3y )9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和． 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题解 设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9. (1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29. (2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9， 令x ＝1，y ＝1，所以a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1. (3)令x ＝1，y ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，又a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，将两式相加可得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，即所有奇数项系数之和为59－12.类型三 二项式系数性质的应用例3 已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． 考点 展开式中系数最大(小)的项问题 题点 求展开式中系数最大(小)的项解 令x ＝1，则二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n ＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n .由题意知，4n －2n＝992. ∴(2n )2－2n－992＝0， ∴(2n ＋31)(2n－32)＝0，∴2n ＝－31(舍去)或2n＝32，∴n ＝5.(1)由于n ＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为T 3＝C 25323x ⎛⎫ ⎪⎝⎭·(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35223x ⎛⎫ ⎪⎝⎭·(3x 2)3＝270223x . (2)展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 5·3k·2(52)3k x ＋，假设T k ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C k 53k≥C k －153k －1，C k 53k ≥C k ＋153k ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧5！(5－k )！k ！×3≥5！(6－k )！(k －1)！，5！(5－k )！k ！≥5！(4－k )！(k ＋1)！×3，即⎩⎪⎨⎪⎧3k ≥16－k ，15－k ≥3k ＋1，∴72≤k ≤92，∵k ∈N ，∴k ＝4， ∴展开式中系数最大的项为T 5＝C 4523x (3x 2)4＝405263x.反思与感悟 (1)二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n中的n 进行讨论． ①当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大． ②当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (2)展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx )n(a ，b ∈R )的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A 0，A 1，A 2，…，A n ，且第k ＋1项最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，解出k ，即得出系数的最大项．跟踪训练3 写出(x －y )11的展开式中： (1)二项式系数最大的项； (2)项的系数绝对值最大的项； (3)项的系数最大的项和系数最小的项； (4)二项式系数的和； (5)各项系数的和．考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 解 (1)二项式系数最大的项为中间两项：T 6＝－C 511x 6y 5，T 7＝C 611x 5y 6.(2)(x －y )11展开式的通项为T k ＋1＝C k 11x11－k (－y )k ＝C k 11(－1)k x 11－k y k ， ∴项的系数的绝对值为|C k 11·(－1)k |＝C k11，∴项的系数的绝对值等于该项的二项式系数，其最大的项也是中间两项，T 6＝－C 511x 6y 5，T 7＝C 611x 5y 6.(3)由(2)知中间两项系数绝对值相等， 又∵第6项系数为负，第7项系数为正，故项的系数最大的项为T 7＝C 611x 5y 6，项的系数最小的项为T 6＝－C 511x 6y 5. (4)展开式中，二项式系数的和为C 011＋C 111＋C 211＋…＋C 1111＝211.(5)令x ＝y ＝1，得展开式中各项的系数和为C 011－C 111＋C 211－…－C 1111＝(1－1)11＝0.1．观察图中的数所成的规律，则a 所表示的数是( )A ．8B ．6C ．4D ．2 考点 二项式系数的性质 题点 与杨辉三角有关的问题 答案 B解析 由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a ＝10，得a ＝6. 2．(1＋x )2n ＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )A ．n ，n ＋1B ．n －1，nC ．n ＋1，n ＋2D ．n ＋2，n ＋3考点 展开式中系数最大(小)的项问题 题点 求展开式中二项式系数最大(小)的项 答案 C解析 2n ＋1为奇数，展开式中中间两项的二项式系数最大，分别为第⎝⎛⎭⎪⎫2n ＋1－12＋1项，第⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1＋12＋1项，即第n ＋1项与第n ＋2项，故选C.3．已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋33x n 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7考点 二项式系数的性质 题点 二项式系数与项的系数问题答案 C解析 令x ＝1，各项系数和为4n，二项式系数和为2n，故有4n2n ＝64，所以n ＝6.4．设(－3＋2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3的值为________． 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 －15解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1.① 又T k ＋1＝C k4(－3)4－k(2x )k，∴当k ＝4时，x 4的系数a 4＝16.② 由①－②得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＝－15.5．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋2x n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，则展开式中二项式系数最大的项的系数为________． 考点 展开式中系数的和问题 题点 多项展开式中系数的和问题 答案358解析 由C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝37，得1＋n ＋12n (n －1)＝37，解得n ＝8(负值舍去)，则第5项的二项式系数最大，T 5＝C 48×144×(2x )4＝358x 4，该项的系数为358.1．二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出．2．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般地对字母赋的值为0,1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．3．注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数．(2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中k ∈{0,1,2，…，n }．一、选择题1．如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a ，b 是某行的前两个数，当a ＝7时，b 等于( )A ．20B ．21C ．22D ．23 考点 二项式系数的性质 题点 与杨辉三角有关的问题 答案 C解析 根据观察可知，每一行除开始和末尾的数外，中间的数分别是上一行相邻两个数的和，当a ＝7时，上面一行的第一个数为6，第二个数为16，所以b ＝6＋16＝22.2．若⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋1x 2n (n ∈N *)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为( )A ．210B ．252C ．462D ．10考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式的特定项 答案 A解析 由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n ＝10，于是得其常数项为C 610＝210.3．已知关于x 的二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a 3x n 展开式的二项系数之和为32，常数项为80，则a 的值为( )A ．1B ．±1 C．2 D ．±2 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 C解析 由条件知2n＝32，即n ＝5，在通项公式T k ＋1＝C k5(x )5－k⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 3x k ＝C k 5a k1556k x -中，令15－5k ＝0，得k ＝3.所以C 35a 3＝80，解得a ＝2.4．(x －1)11的展开式中，x 的奇次幂的系数之和是( ) A ．2 048 B ．－1 023 C ．－1 024 D ．1 024 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 D解析 (x －1)11＝a 0x 11＋a 1x 10＋a 2x 9＋…＋a 11， 令x ＝－1，则－a 0＋a 1－a 2＋…＋a 11＝－211，① 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝0，② ②－①2＝a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝210＝1 024. 5．若x 10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10，则a 8的值为( ) A ．10 B ．45 C ．－9 D ．－45考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简 答案 B解析 x 10＝[1＋(x －1)]10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10，∴a 8＝C 810＝C 210＝45. 6．设⎝⎛⎭⎪⎫5x －1x n的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若M －N ＝240，则展开式中x 的系数为( )A ．－150B ．150C ．300D ．－300 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式特定项的系数 答案 B解析 由已知条件4n －2n＝240，解得n ＝4，T k ＋1＝C k4(5x )4－k·⎝⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k 54－k C k4342k x -，令4－3k2＝1，得k ＝2，所以展开式中x 的系数为(－1)2×52C 24＝150.7．已知(2x －1)n 二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn 的值为( ) A ．28B ．28－1 C ．27D ．27－1考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 B解析 设(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，且奇次项的系数和为A ，偶次项的系数和为B . 则A ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，B ＝a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋…. 由已知可知，B －A ＝38.令x ＝－1，得，a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a n (－1)n ＝(－3)n，即(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋…)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋…)＝(－3)n， 即B －A ＝(－3)n .∴(－3)n ＝38＝(－3)8，∴n ＝8. 由二项式系数性质可得，C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝2n －C 0n ＝28－1.8．关于下列(a －b )10的说法，错误的是( ) A ．展开式中的二项式系数之和是1 024 B ．展开式的第6项的二项式系数最大 C ．展开式的第5项或第7项的二项式系数最大 D ．展开式中第6项的系数最小 考点 二项式系数的性质 题点 二项式系数与项的系数问题 答案 C解析 由二项式系数的性质知C 010＋C 110＋C 210＋…＋C 1010＝210＝1 024，故A 正确．二项式系数最大的项为C 510，是展开式的第6项，故B 正确．由展开式的通项为T k ＋1＝C k 10a10－k(－b )k ＝(－1)k C k10a 10－kb k 知，第6项的系数－C 510最小，故D 正确．二、填空题9．已知(1＋x )10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10，若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈Z )是一个单调递增数列，则k 的最大值是________． 考点 二项式系数的性质题点 利用二项式系数的性质进行计算 答案 6解析 (1＋x )n 展开式的各项系数为其二项式系数，当n ＝10时，展开式的中间项第六项的二项式系数最大，故k 的最大值为6.10．在⎝⎛⎭⎪⎫1x＋31x 3n 的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是________．考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式特定项的系数 答案 462解析 ∵二项式的展开式中所有项的二项式系数和为2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等，故由题意得2n －1＝1 024，∴n ＝11，∴展开式共12项，中间项为第六项、第七项，其系数为C 511＝C 611＝462.11．若x 4(x ＋3)8＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 12(x ＋2)12，则log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝_____.考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 7解析 令x ＝－1，∴28＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＋a 12. 令x ＝－3，∴0＝a 0－a 1＋a 2－…－a 11＋a 12， ∴28＝2(a 1＋a 3＋…＋a 11)，∴a 1＋a 3＋…＋a 11＝27， ∴log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝log 227＝7. 三、解答题12．设(2－3x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100·x 100，求下列各式的值． (1)求a 0；(2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100； (3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2； (5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|. 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 解 (1)令x ＝0，则展开式为a 0＝2100. (2)令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100，① 所以a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100－2100. (3)令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100.② 与①式联立相减得a 1＋a 3＋…＋a 99＝(2－3)100－(2＋3)1002.(4)由①②可得，(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)(a 0－a 1＋a 2－…＋a 100)＝(2－3)100·(2＋3)100＝1. (5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|，即(2＋3x )100的展开式中各项系数的和，在(2＋3x )100的展开式中，令x ＝1，可得各项系数的和为(2＋3)100. 13．已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋m xn展开式的二项式系数之和为256.(1)求n ；(2)若展开式中常数项为358，求m 的值；(3)若(x ＋m )n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m 的取值情况． 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 解 (1)二项式系数之和为2n＝256，可得n ＝8. (2)设常数项为第k ＋1项，则T k ＋1＝C k 8x 8－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫m x k ＝C k 8m k x8－2k， 故8－2k ＝0，即k ＝4，则C 48m 4＝358，解得m ＝±12.(3)易知m >0，设第k ＋1项系数最大．则⎩⎪⎨⎪⎧C k 8m k≥C k －18m k －1，C k 8m k ≥C k ＋18m k ＋1，化简可得8m －1m ＋1≤k ≤9mm ＋1.由于只有第6项和第7项系数最大， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4<8m －1m ＋1≤5，6≤9mm ＋1<7，即⎩⎪⎨⎪⎧54<m ≤2，2≤m <72.所以m 只能等于2. 四、探究与拓展14．设(3x －2)6＝a 0＋a 1(2x －1)＋a 2(2x －1)2＋…＋a 6(2x －1)6，则a 1＋a 3＋a 5a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝________.考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 －6365解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝1，令x ＝0，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 6＝64，两式相减得2(a 1＋a 3＋a 5)＝－63，两式相加得2(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝65，故a 1＋a 3＋a 5a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－6365.15．已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的系数和比(3x －1)n的展开式的系数和大992，求⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2n 的展开式中：(1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项．考点 展开式中系数最大(小)的项问题 题点 求展开式中系数最大(小)的项 解 由题意得22n－2n＝992，解得n ＝5.(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大，即T 6＝C 510·(2x )5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 5＝－8 064.(2)设第k ＋1项的系数的绝对值最大， 则T k ＋1＝C k 10·(2x )10－k·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k ·C k 10·210－k·x 10－2k.∴⎩⎪⎨⎪⎧C k10·210－k≥C k －110·210－k ＋1，C k 10·210－k ≥C k ＋110·210－k －1，得⎩⎪⎨⎪⎧C k 10≥2C k －110，2C k 10≥C k ＋110，即⎩⎪⎨⎪⎧11－k ≥2k ，2(k ＋1)≥10－k .∴83≤k ≤113，k ∈N ，∴k ＝3， 故系数的绝对值最大的是第4项T 4＝(－1)3C 310·27·x 4＝－15 360x 4.。