小波包变换及代价函数设计综述
小波包、多小波及第二代小波
M
因此，很容易得到小波子空间的各种分解如下： jW
3121++⊕=jjjUUW
72625242++++⊕⊕⊕=jjjjjUUUUW
M
121221.
+
+
++
+⊕⊕⊕=lllljljljjUUUWL 4.14
M
文本框:
jW空间分解的子空间序列可以写作，；mljlU+
+
212,,1,0.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱlmLjl,,2,1L=；。子空间
序列的标准正交基为：
L,2,1=jmljlU+
+
2
{}Znntwljmljl∈.+.
+
+.:)2(2)(
22/)( 4.15
当和时，子空间序列简化为，相应的正交基简化为0=l0=mmljlU+
+
2jjWU=1{})2(2)2(22/
在感兴趣的频率点上尽可能地提高频域分辨率，在感兴趣的时间点上尽可能地提高时间分辨率，这样当用
滤波器组对信号进行分解时，短时Fourier变换的等带宽或小波变换的恒-Q带宽都不一定合适，应该按信
号特性选择相应组合的滤波器组，这就是小波包(Wave1et Packet)。
小波包的概念是由M.V.WickerhaMser，R.R.Coifman等人在小波变换的基础上，根据实际应用的需求
()()0,122=.+ktWtwll
4.1.2 小波包分解
现在令、L,2,1=lL,2,1=j，并对式(4.11)进行迭代分解，有
小波包分解原理计算公式
小波包分解原理计算公式小波包分解是一种信号处理方法，它可以将信号分解成不同频率的子信号，从而更好地理解信号的特性和结构。
小波包分解的计算公式是其核心，下面我们将介绍小波包分解的原理和计算公式。
1. 小波包分解原理。
小波包分解是基于小波变换的一种信号分解方法。
小波变换是一种多尺度分析方法，它可以将信号分解成不同尺度的子信号，从而揭示信号的局部特征。
小波包分解是小波变换的一种推广，它可以更灵活地选择小波基函数，从而更好地适应信号的特性。
小波包分解的原理是将信号分解成不同频率的子信号。
在小波包分解中，我们首先选择一个小波基函数作为分解的基础，然后根据需要选择不同的尺度和频率，将信号分解成不同频率的子信号。
这样可以更好地理解信号的频率特性，从而更好地分析和处理信号。
2. 小波包分解计算公式。
小波包分解的计算公式是其核心。
在小波包分解中，我们首先需要选择一个小波基函数作为分解的基础。
常用的小波基函数包括Haar小波、Daubechies小波、Symlet小波等。
这些小波基函数具有不同的频率特性和尺度特性，可以根据需要选择合适的小波基函数。
假设我们选择了一个小波基函数ψ(t)，我们可以将信号f(t)进行小波包分解。
小波包分解的计算公式如下：\[D_{j,k} = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\psi_{j,k}(t)dt\]其中，\(D_{j,k}\)表示信号f(t)在尺度为j，频率为k的小波基函数ψ(t)上的分解系数。
ψj,k(t)表示小波基函数ψ(t)在尺度为j，频率为k时的尺度变换和平移变换。
通过计算分解系数\(D_{j,k}\)，我们可以得到信号f(t)在不同频率和尺度上的子信号。
3. 小波包分解的应用。
小波包分解在信号处理领域有着广泛的应用。
它可以用于信号的去噪、压缩、特征提取等方面。
通过小波包分解，我们可以更好地理解信号的频率特性和尺度特性，从而更好地处理信号。
在实际应用中，我们可以根据需要选择不同的小波基函数和尺度、频率，进行小波包分解。
小波变换分析范文
小波变换分析范文小波变换是一种信号分析技术，可以将信号表示为时频域上的函数。
相比于傅里叶变换，小波变换在时域和频域上都具有更好的局部性和分辨率，能够更好地描述非平稳信号。
本文将从小波变换的基本原理、算法和应用领域等方面进行分析。
一、基本原理小波变换是一种多尺度分析方法，其基本思想是将信号分解成一组基函数（小波基），然后通过对这些基函数与信号的内积运算得到信号在不同尺度上的时频表示。
小波基具有一些特殊的数学特性，如正交性、紧支性和可调节的带宽等，这使得小波变换能够更好地揭示信号的时频信息。
小波变换可以通过离散小波变换（DWT）和连续小波变换（CWT）来实现。
1.离散小波变换（DWT）离散小波变换将信号分解成不同频率域和尺度域的小波基函数，并通过滤波和下采样操作实现。
具体步骤如下：a.将信号通过低通滤波器和高通滤波器分解为近似系数和细节系数；b.对近似系数进一步进行低通滤波和高通滤波，得到第二层的近似系数和细节系数；c.反复重复上述步骤，直到达到所需的尺度。
2.连续小波变换（CWT）连续小波变换通过将信号与不同尺度和位置上的小波基函数进行内积运算来表示信号的时频信息。
具体步骤如下：a.选取一个母小波函数作为基函数；b.将母小波函数进行尺度变换和平移变换，得到一组具有不同尺度和位置的小波基函数；c.将信号与这组小波基函数进行内积运算，得到信号在不同尺度和位置上的时频表示。
小波变换具有多尺度分析能力，可以在不同尺度上观察信号的局部细节特征，并且能够有效地提取信号的边缘、脉冲和突变等特征。
二、常见小波变换算法1.傅里叶变换转换尺度（FBS）小波变换FBS小波变换是比较基础的小波变换算法，通过将傅里叶变换应用于尺度变换的细节部分，将信号分解成自由基函数的线性组合。
2.快速小波变换（FWT）FWT是一种高效的小波变换算法，可以在O(N)的时间复杂度内实现小波变换。
FWT通过迭代地应用滤波器组合和下采样操作来实现信号的分解和重构。
《小波变换》课件
离散小波变换
定义
离散小波变换是对连续小波变换 的离散化，即将时间和频率轴进 行离散化，使小波变换能够应用 于数字信号处理。
原理
离散小波变换通过将信号进行离 散化，将连续的小波变换转换为 离散的运算，从而能够方便地应 用于数字信号处理系统。
应用
离散小波变换在图像压缩、数字 水印、音频处理等领域有广泛应 用，能够提供较好的压缩效果和 数据隐藏能力。
小波变换的应用拓展
图像处理
研究小波变换在图像压缩、去噪、增强等方面的应用，提高图像 处理的效果和效率。
语音信号处理
将小波变换应用于语音信号的降噪、特征提取等方面，提高语音 识别的准确率。
医学成像
利用小波变换对医学成像数据进行处理，提高医学影像的质量和 诊断准确率。
小波变换的算法优化
快速小波变换算法
《小波变换》ppt课 件 (2)
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 小波变换概述 • 小波变换的基本原理 • 小波变换的算法实现 • 小波变换在图像处理中的应用 • 小波变换的未来发展与挑战
01
小波变换概述
小波变换的定义
小波变换是一种数学分析方法，它通 过小波基函数的平移和伸缩，将信号 分解成不同频率和时间尺度的分量。
提供较好的特征提取和分类能力。
01
小波变换的算法实 现
常用的小波基函数
Haar小波
Daubechies小波
是最简单的小波，具有快速变换的特性， 但缺乏连续性和平滑性。
具有紧支撑性和良好的数学特性，广泛应 用于信号处理和图像处理。
Morlet小波
具有振荡性，适用于分析非平稳信号。
小波分析整理 第三章 小波变换ppt课件
.
a b
.
小波函数的范数不变性： a(t)b 0 2 R a(t)b 2 d tR (t)2 dt(t)0 2
此式表明： ( t ) 经过平移与伸缩以后，其模量没有 改变。
在不同的尺度a 时，ψa b (t) 终能和母函数ψ(t) 有着相同的能量 。
当a<1时， ( t ) 被拉宽且振幅被压低， ab (t) 含有表现低 频分量的特征；当a>1时， ( t ) 被压窄且振幅被拉
高， ab (t )含有表现高频分量的特征。
(2t)
(2t 3)
a2
0
1 1.5
3
6
t
a 1 a1
2
(t)
0
1
(1 t) 2
0
1
(t 3)
3
6
t
( 1 t 3) 2
R
可以反映局部频率特性，但是窗函数一经设定，没有 自适应能力，不能满足低频部分需要时窗宽、频窗窄， 高频部分需要时窗窄、频窗宽的要求。
为此，定义窗函数的一般形式为：
w ~ab(t)a1/2(a tb) （ 其 他 形 式 w ~ a b(t)a 1 /2 (t ab )
它是经过平移和放缩的结果。
.
小波函数的频域特性： ^a(b)a1/2eib/a^(a) 此式表明， ( t ) 经过平移和伸缩以后得到的新
函数 a b (t )的频域特性随参数a的变化而变化。
.
2、小波变化的回复公式推导
任何一种变换应该是可逆的。为推导小波变换的
回复公式，先得推出与Fourier变换中类似的乘积
公式。
在Fourier变换中，有公式：2 1 R F [f(t)]F _[g(t)]dRf(t)_ g(t)dt
8.6小波包变换
工程振动测试技术小波包变换小波包变换快速算法每次仅仅是对信号的低频分量（近似部分） 进行分解，而没有分解高频分量（细节部分）。
当我们需要把信号分解的很细时，仅仅靠快速算法可能不足以满足分析的需要。
d 1(f s /22-f s /2)a 1 (0-f s /22)a 2 (0-f s /23)d 2(f s /23-f s /22)d 3(f s /24-f s /23)x (t) (0-f s /2)a 3 (0-f s /24)有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）类似与快速算法，小波包分解也是按照分解尺度由低到高逐层向下分解，每层分解信号的所有子带均被一分为二，并传至下一层。
一般情况下，子带的频域将按照由低到高的顺序排列。
因为分解时每一层的小波基个数较多（第j层共有2j 个小波基），所以此算法称为小波包变换。
设 x (t )为一时间信号，p i j 表示第 j 层上的第 i 个小波包，称为小波包系数，G 、H 为小波分解滤波器，H 与尺度函数有关，G 与小波函数有关。
二进小波包分解的快速算法为：1021121()()()(2)()()(2)()i i jj ki i j j kp t x t p t H k t pt p t G k t pt −−−==−=−∑∑其中 21,2,...,2;1,2,...,2;log J jjt i J N −==。
二进小波包分解树形原理图原始信号经过以分析频率fs 的n 层小波包分解后，频域将被分成2n 段，各小波包分量对应的频段分别为2(1)(22)(21)(21)[0,],[,],...,[,],...,[,],[,]22222222nnns s s s s s s s s n n n n n n n nf f f k f kf f f f f −−−−二进小波包分解树形原理图应注意：分解得到的p是小波包系数，不是原信号在某个频段的分量，根据小波变换理论，可将信号的原始数据作为处于最低层的小波包系数。
MATLAB之小波包变换
小波与小波包消噪方法比较
原 始 信 号 小波分解与小波包分解都能去除 振动信号中的噪声，而小波包去 噪明显优于小波去噪的结果： 1、小波包去噪时对信号在低频 段和高频段同时进行正交分解， 能保留更多的高频分量在逼近信 号中,无冗余、无泄漏、信息量 更完整； 2、小波包分析去噪时可以得到 任意频段的频率成分，比小波去 噪具有更为精确的局部分析能力， 大大提高了信号的信噪比，为爆 破振动信号的研究获得更加准确 的信息。
2 1
U U U U U U U U
0 0 0 0
1
2
5
6
7 0
U U U U
0 0 0
4
5
6
7 0
最佳小波包基的选取
信息代价函数 把信号 f t 在一个正交小波包基下展开，使得它与一个小波包系数 序列 u uk 对应, 我们在该序列上定义一个信息代价函数 M,它满足
如下两个条件：
2
kZ
常用的一些信息代价函数： （1）幅值大于某阈值的系数个数 （2） l p 范数的集中度（concentration） （3）对数熵
M u log uk ，约定 log 0 0
2 kZ
（4）信息熵
H u pk log pk
kZ
2 2
pk
u k
以2阶小波包分解为例，将信号分解后，对每个节点系数分别设 定不同的阈值后得到保留的有用系数，最后再重构回原信号。小波包 的分解和重构利用了改进的快速算法，大大减少了计算量。
信号小波包分析的基本实现步骤如下：
1、选择适当的小波滤波器，对给定的采样信号进行小波包变换， 获得树形结构的小波包系数。 2、选择信息代价函数，利用最佳小波包基选取算法选取最佳基。 3、对最佳正交小波包基对应的小波包系数进行处理。 4、对处理后的小波包系数采用小波包重构算法得到重构信号。
小波包变换（WaveletPacketTransform）的学习笔记
⼩波包变换（WaveletPacketTransform）的学习笔记对于⼀个连续的周期信号，可以将其分解为⼀组频率不同的三⾓函数信号的线性组合，这就是傅⾥叶级数的本质，将信号从时域投影到频域中的不同频段上来完成分解。
当这个周期信号的周期趋近于⽆穷⼤时，傅⾥叶级数就变成了傅⾥叶变换。
此时的信号本质上是⼀个连续⾮周期信号，傅⾥叶变换的意义就在于对其进⾏分解，同样也是以⼀组三⾓函数作为正交基，并通过这组三⾓函数基的线性组合来表⽰原信号。
数学表达为：由于三⾓函数是⼀个⽆限长的信号，在时域上不具有局部性，因此以其作为正交基对信号进⾏拟合时，具有以下两个不⾜：第⼀，对于突变信号，如阶跃信号或尖峰信号，其需要⼤量的三⾓函数基进⾏组合才能完成较好的信号拟合；第⼆，由于三⾓函数不具备在时域上的局部性，因此在对信号进⾏傅⾥叶变换时，仅仅只能获取到信号在频域上的分布信息，并不能获取到这些不同频率的信号分量在时域上出现的位置。
因此傅⾥叶变换对于⾮平稳信号的分解会遗失其在时域上的变化信息。
⼩波变换就是为了解决对⾮平稳信号的分解问题⽽产⽣的数学⽅法。
相⽐于傅⾥叶变换使⽤⼀组⽆限长的三⾓函数基进⾏信号拟合，⼩波变换使⽤的是⼀组正交的、迅速衰减的⼩波函数基进⾏信号拟合。
这种⼩波函数基可通过其尺度变量和平移变量，获得不同的频率和时间位置。
因此在利⽤这种⼩波函数基对信号进⾏分解时，可以⽤较少的⼩波函数基就拟合出突变信号（稀疏编码特性），同时也能获得不同频率的信号分量在时域上的出现位置。
⽤于⽣成⼀组不同频率和时移的⼩波函数的⼩波函数，称为基本⼩波（Basic Wavelet），由其⽣成的⼀组⼩波函数，是该基本⼩波的⼀个⼩波族（Wavelet Family），表⽰为：，其中为尺度参数，通过伸缩控制⼩波的尺度（频率），为平移参数，通过移位控制⼩波在时域中的出现位置。
这两个参数的作⽤顺序是先作平移，再作伸缩。
对这⼀族⼩波函数进⾏归⼀化，即得到⼀组⼩波函数基。
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数 学理 论 与应 用
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小 波 包 变 换 及 代 价 函数 设 计 综 述
罗 永 李 建 平 成 礼 智 杨 凯
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ｔ ａ ｈ ｎ ａ ｅｅ ａ ｋ ｔ ｅ ｃ ｉ ｇ ｗ ｖ ｌｔｐ ｃ ｅ ．
Ｋｅ ｗｏ ｄ Ｗ ａ ｅ ｅ ａ ｋ ｔ ｙ ｒｓ ｖ ｌｔｐ ｃ ｅ Ｃ ｓ ｆｎ ｔ ｎ Ｗ ａ ｅｅ ｐ ｌ ａ ｉｎ ｏ ｔ ｕ ｃｉ ｏ ｖ ｌｔａ ｐ ｉ ｔ ｃ ｏ
１ 引 言
小波包是 由 Ｃ ｉ ａ 、 ｅｅ 及 Ｗｉ ｈｕｅ 提 出的。他们在研究正交小波基的基础上创 ｏｍ ｎ Ｍ ｙｒ ｆ ｃ ａｓ ｋ ｒ
立 了正交 小波 包 的概念 ， 后来 又 发展 到半 正交小 波 包和 广义 小波 包 。 由于 正交小 波 变换 采用 Ｍａｌ 算法 实现 ， 对信 号 的低频 部分 做进 一步 分解 ， 对 高频 部 ｌｔ ａ 只 而
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｗａ ｅ ｅ ａ ｋ ｔｉ ｎ ｉ ｏ ｎ ａｔｏ ａ ｅｅ ｅ ｒ ．Ｉ ｈ ｓａ ｗ ｄ ａ ｇ ｆａ ｐ ｉａｉ ｎ ｎ ｔ ｅｎ ｎ－ｓａ ｓｒ ｃ ｖ ｌｔｐ ｃ ｅ ｓａ ｍｐ ￣ａ ｔ ｒ ｆｗ ｖ ｌｔｔ ｏ ｙ ｔ ａ ｉ ｅ ｒｎ ｅｏ ｐ ｌ ｔ ｓｉ ｏ － ｔ － ｐ ｈ ｃ ｏ ｈ ｔ ｎ ｒ ｉｎ ｌ ｅ ｅ ｔ ｎ ａ ｄｆ ｕ ｔ ｉｇ ｏ ｉ．Ｗ ａ ｅｅ ｎ ｙ ｉ ａ ｅｅ ａ ｋ ｔ ｅ ｃ ｉｇ ｉ ａ ｄ ｆ ｃ ｌ ｏ ｅ ａ ｄ ｔ ｅ ｐ ｉ ｔ ｆ ｉ ａｙ ｓｇ ａ ｔ ｃｉ ｎ ａ ｌ ｄ ａ ｎ ｓｓ ｏ ｄ ｏ ｖ ｌｔ ａ ｓｓｗ ｖ ｌｔ ｃ ｅ ａ ｈ ｎ ｉ ｉｕ ｔ ｎ ｎ ｈ ｏｎ ａｌ ｐ ｔ ｓ ｆ ｏ
分不再继续分解 ， 以小波变换仅能很好的表征以低频信息为主要成分的信号。但是在实际 所 应用中非平稳机械振动信号 、 遥感 图像 、 地震信号和生物医学信号等包含大量细节信息 ， 正交
国家博 士后基金资助 （０ ０ ４ ０ ５ ２ １０ ７０ ９） 收稿 日期 ：０ １年 ９月 ５ 日 ２１
易忽 视 目标 函数 设计 。本 文针 对在 小 波包 教学 中存 在 的 问题 ， 过小 波包 教 学 的实践 ， 不 同 通 对 应用 领域 的 目标 函数 设计 的进 行 了总 结 和归 纳 ， 提 出 了新 的 目标 函数 。期望 能 对 小 波包 的 也 教学 提供 一些 新 的思 路 。
（． １ 国防科技 大学理 学 院 ， 长沙 ， １０ ３ ４ ０７ ） （．７６ ２ ７ ５ ９部 队 ， 萨 ，５ ０ ３ 拉 ８０ ０ ）
摘 要 小波 包是 小波理论 的重要 组成 部分 ， 非平稳信 号特征检测和故 障诊 断中具有 广泛的应 用。小波 包 在
教学是小波分析教 学的一 个难 点， 也是一个较容 易忽视的知识 点Ｏ本 文分析 了小波 包理论 ， 归纳 总结 了小波 包目标 函数 ， 以及 它们适用的领域 ， 并提 出了新的 目标 函数 。本 文可以对小波 包的教学提供 一些新的思路 。
（ ．Ｃ ｌ ｇ ｆ ｃ ｎｅ Ｎ ｔ ｎｌ ｎ ｅｓｙｏ ｅ ｎｅＴ ｃｎｌｇ ， ｈｎｓａ １０ ３ Ｃ ｉａ １ ｏｅｅｏ ｉ ｃ ， ａ ｏａ Ｕ ｉ ｒ ｔ ｆ ｆ ｓ ｅｈ ｏ ｙ Ｃ ａｇｈ ０ ７ ， ｈｎ ） ｌ Ｓｅ ｉ ｖ ｉ Ｄ ｅ ｏ ４
（ ．Ｕ ｉ７ ５ ９ Ｌ ｓ ５ ０ ３ Ｃ ｉａ ２ ｎｔ ７ ６ ， ａａ８０ ０ ， ｈｎ ）
关 键 词 小 波 包 变换 代 价 函数 小 波 应 用
Ｗ ａ ｅｅ ｃ ｅ ａ ｓｏ ｍ ｎ ｖ ｌ ｔＰａ ｋ ｔ Ｔｒ ｎ ｆ ｒ ａ ｄ Ｔｈｅ Ｄｅ ｉ ｎ Ｃｏ ｔＦｕ ｃ ｉ ｎ ｓｇ ｓ ｎ ｔｏ
Ｌ ｏＹｏ ｇ ｕ ｎ Ｌ ｉｎ ｉｇ ｉＪａ ｐ ｎ Ｃ ｅ ｇＬ ｚ ｉ Ｙａ ｇＫａ ｈ ｎ ｉｈ ｎ ｉ
滤波 、 缩 、 平 稳机 械振 动信 号 的分 析 与故 障诊 断 】非 平 稳 信号 的特 征提 取 及 多 载波 压 非 、 调制 技术 等方 面 具有 重要 应用 。
但是 在小 波课 程 的教 学过 程 中 ， 容 易忽 视这 部分 内容 的教 学 ， 很 并且 最优 小波 包基 算 法容
６ ６
数 学 理 论 与应 用
小 波变 换不 能很 好地 分解 和 表示 细小 边缘 或纹 理 的信 号 。 小 波包 变换 可 以对 高频 部分 提供 更精 细 的分 解 Ｊ而且 这 种 分解 既无 冗 余 ， 无 疏漏 ， ， 也 所
以对包含大量中、 高频信息的信号能够进行更好的时频局部化分析 。小波包变换在信号去噪、