高考数学一轮复习(北师大版文科)课时作业42

课时作业(四十二)空间中的垂直关系
A级
1．(2012·沈阳模拟)已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m β，则“α∥β”是“l⊥m”的()
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
2．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()
A．相交且垂直B．相交但不垂直
C．异面且垂直D．异面但不垂直
3．已知直线m，l和平面α，β，则α⊥β的充分条件是()
A．m⊥l，m∥α，l∥βB．m⊥l，α∩β＝m，l α
C．m∥l，m⊥α，l⊥βD．m∥l，l⊥β，m α
4.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，
PM垂直于△ABC所在平面，那么()
A．P A＝PB＞PC
B．P A＝PB＜PC
C．P A＝PB＝PC
D．P A≠PB≠PC
5．(2012·浙江卷)设l是直线，α，β是两个不同的平面()
A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
6.如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中，与PC
垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．
7．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m α；
④α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.(填所选条件的序号)
8.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各
边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
9．在正三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，有下列三个论断：①AC ⊥PB ；②AC ∥平面PDE ；③AB ⊥平面PDE .其中正确论断的序号为________．
10．(2012·新课标全国卷)如图，在三棱柱ABC －A
1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝12
AA 1，D 是棱AA 1的中点．
(1)证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；
(2)平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．
11．Rt △ABC 所在平面外一点S ，且SA ＝SB ＝SC ，D 为斜边AC 的中点． (1)求证：SD ⊥平面ABC ；
(2)若AB ＝BC ，求证：BD ⊥平面SAC .
B级
1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是CD，A1D1的中点．
(1)求证：AB1⊥BF；
(2)求证：AE⊥BF；
(3)棱CC1上是否存在点P，使BF⊥平面AEP？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由．
2.如图，四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是
正三角形，平面VAD⊥底面ABCD，设AB＝2.
(1)证明：AB⊥平面VAD；
(2)E是VA上的动点，当面DCE⊥面VAB时，求三棱锥V－ECD
的体积．
答案
课时作业(四十二)
A 级
1．B 当α∥β，l ⊥α时，有l ⊥β， 又m β，故l ⊥m .
反之，当l ⊥m ，m β时，不一定有l ⊥β，故α∥β不一定成立． 因此“α∥β”是“l ⊥m ”的充分不必要条件．
2．C 在图1中的等腰直角三角形ABC 中，斜边上的中线AD 就是斜边上的高，则AD ⊥BC ，翻折后如图2，AD 与BC 变成异面直线，而原线段BC 变成两条线段BD ，CD ，这两条线段与AD 垂直，即AD ⊥BD ，AD ⊥CD ，BD ∩CD ＝D ，故AD ⊥平面BCD ，所以AD ⊥BC .
3．D 由
⎭
⎪⎬⎪
⎫
m ⊥l m ∥αl ∥β⇒/ α⊥β，如图.
由
⎭⎪⎬⎪
⎫m ⊥l
α∩β＝m l α
⇒/ α⊥β，如图.
由
⎭
⎪⎬⎪
⎫
m ∥l m ⊥αl ⊥β⇒/ α⊥β，如图.
所以选项A ，B ，C 都不对．又选项D 能推出α⊥β，所以D 正确，故选D.
4．C ∵M 为AB 的中点，△ACB 为直角三角形，∴BM ＝AM ＝CM ，又PM ⊥平面ABC ，∴Rt △PMB ≌Rt △PMA ≌Rt △PMC ，故P A ＝PB ＝PC .
5．B 利用线与面、面与面的关系定理判定，用特例法．
设α∩β＝a ，若直线l ∥a ，且l α，l β，则l ∥α，l ∥β，因此α不一定平行于β，故A 错误；由于l ∥α，故在α内存在直线l ′∥l ，又因为l ⊥β，所以l ′⊥β，故α⊥β，所以B 正确；若α⊥β，在β内作交线的垂线l ，则l ⊥α，此时l 在平面β内，因此C 错误；已知α⊥β，若α∩β＝a ，l ∥a ，且l 不在平面α，β内，则l ∥α且l ∥β，因此D 错误．
6．解析： ∵PC ⊥平面ABC ，∴PC 垂直于直线AB ，BC ，AC ； ∵AB ⊥AC ，AB ⊥PC ，AC ∩PC ＝C ，∴AB ⊥平面P AC ， ∴AB ⊥PC .与AP 垂直的直线是AB .
答案： AB ，BC ，AC AB
7．解析： 若m ⊥α，α∥β，则m ⊥β. 答案： ②④
8．解析： 由定理可知，BD ⊥PC .∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时， 即有PC ⊥平面MBD ，而PC 平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD . 答案： DM ⊥PC (或BM ⊥PC 等) 9.
解析： 如图，∵P －ABC 为正三棱锥， ∴PB ⊥AC ；
又∵DE ∥AC ，∴AC ∥平面PDE .故①，②正确． 答案： ①②
10．解析： (1)证明：由题设知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC ＝C ，所以BC ⊥平面ACC 1A 1.
又DC 1 平面ACC 1A 1，所以DC 1⊥BC .
由题设知∠A 1DC 1＝∠ADC ＝45°，所以∠CDC 1＝90°，即DC 1⊥DC .又DC ∩BC ＝C ，所以DC 1⊥平面BDC .
又DC 1 平面BDC 1，故平面BDC 1⊥平面BDC . (2)设棱锥B －DACC 1的体积为V 1，设AC ＝1.由题意得 V 1＝13×1＋22×1×1＝12
.
又三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝1，所以(V －V 1)∶V 1＝1∶1. 故平面BDC 1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.
11．证明： (1)取AB 的中点E ，连结SE ，DE ， 在Rt △ABC 中，D ，E 分别为AC ，AB 的中点， 故DE ∥BC ，且DE ⊥AB .
∵SA ＝SB ，∴△SAB 为等腰三角形．SE ⊥AB . 又∵DE ⊥AB ，SE ∩DE ＝E ， ∴AB ⊥平面SDE .
而SD 平面SDE，∴AB⊥SD.
在△SAC中，SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.
又∵SD⊥AB，AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.
(2)若AB＝BC，则BD⊥AC，
由(1)可知，SD⊥平面ABC，而BD 平面ABC，∴SD⊥BD.
又∵BD⊥AC，SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.
B级
1．解析：(1)证明：连接A1B，则AB1⊥A1B，
又∵AB1⊥A1F，且A1B∩A1F＝A1，∴AB1⊥平面A1BF.
∵BF 平面A1BF，∴AB1⊥BF.
(2)证明：取AD中点G，连接FG，BG，
则FG⊥AE，
又∵△BAG≌△ADE，∴∠ABG＝∠DAE.
∴AE⊥BG.又∵BG∩FG＝G，
∴AE⊥平面BFG.∵BF 平面BFG，
∴AE⊥BF.
(3)存在．取CC1中点P，即为所求．
连接EP，AP，C1D，
∵EP∥C1D，C1D∥AB1，∴EP∥AB1.
由(1)知AB1⊥BF，∴BF⊥EP.
又由(2)知AE⊥BF，且AE∩EP＝E，
∴BF⊥平面AEP.
2．解析：(1)证明：∵平面VAD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形．∴AB⊥AD.
又平面VAD∩底面ABCD＝AD.
故AB⊥平面VAD.
(2)由(1)可知AB⊥平面VAD，
∴CD⊥平面VAD.∴平面VAD⊥平面ECD.
又∵△VAD是正三角形，∴当E是VA中点时，ED⊥VA.
∴VA⊥面EDC，∵VA 面VAB，∴面VAB⊥面EDC.
此时三棱锥V－EDC的体积等于三棱锥C－VED的体积，
V C －EDV ＝13·S △VED ·DC ＝13×12×3×1×2＝3
3.。