数学人教版九年级上册26.1.2二次函数 的图象
人教版初三数学上册二次函数y=ax2+k的图象与性质
请多多指教！！
• 作业：全品的课时
性
y随着x的增大而增大。
y随着x的增大而减小。
最值
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来,
|a|越大,抛物线的开口就越小.
在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2+1和y=x2 －1的图像
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
解:先列表 y=x2+1 … 10 5 2 1 2 5 10 …
到，当k<0时，函数y=ax2+k的图象可由y=ax2的图象
向 下平移 |k|个单位得到，顶点是(0,k)，对称
轴是y轴，抛物线的开口方向由a的符号决定
y 10
9 8 7 6 5 4 3 2 1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
上加下减
(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象 向上 平移5 个单位得到；y=4x2-11的图象 可由 y=4x2的图象向下 平移11个单位得到。
-5
4
y y=-x2+3
当a<0时,抛物线 y=ax2+k的开口向下 ，
对称轴是 y轴，顶
2
点坐标是 (0,k) ，
y=-x2
O 5x
在对称轴的左侧，y
10
随x的增大而增大 ，
-2
在对称轴的右侧,y
y=-x2-2
-4
随x的增大而 减小， 当x=0 时，取得最
大值，这个最大值
-6
等于 k 。
-8
总结： 函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+k (a≠0)的 图象形状 相同，只是位置不同；当k>0时，函数 y=ax2+k的图象可由y=ax2的图象向上平移k 个单位得
26.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
y
Q(0,b)
(-,+) o (-,-)
(+,+)
P(a,0)
x (+,-)
3. 点的位置及其坐标特征: ①.各象限内的点: ③.对称于坐标轴的两点: y
C(m,n) M(a,b)
②.各坐标轴上的点: ④.对称于原点的两点:
N(a,-b) A(x,y)
o
x
D(-m,-n) B(-x,y)
试学活动一
二次函数y=ax 二次函数y=ax2的图象和性质
y
x
平面直角坐标系: 一. 平面直角坐标系 1. 有关概念: 2. 平面内点的坐标:
你还记得有关 y 平面直角坐标 P (a,b) b 系的相关知识 吗? a o
(纵轴) 第二象限 第一象限 第三象限 第四象限
x(横轴)
3. 点的位置及其坐标特征: ①.各象限内的点: ②.各坐标轴上的点:
y=－ 2 3 x
2
试学活动二
2
，
的图象。
x
y= 1 2 x y=x2 2
... ... ... ...
-4 -3 8 4.5
-2 -1 2 0.5
0 0 0 0 0 0
1 0.5 0.5 0.5 1
− 2 3
2 2 1 2 1.5 1.5
3 4.5 1.5 4.5 2
− 8 3
4 8 2 8 3 -6
y = 2x2
y = − x2
2 y = − x2 3
二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时 所经过的路线，我们把它叫做抛物线。 抛物线。 抛物线 这条抛物线关于y轴 这条抛物线关于 轴 这条抛物线关于y轴 这条抛物线关于 轴 这条抛物线关于y轴 这条抛物线关于 轴 对称， 轴就是它的 对称，y轴就是它的 对称， y轴就是它的 对称，y轴就是它的 对称， 对称， 轴就是它的 对称轴。 对称轴。轴就是它的 对称轴。 对称轴。 对称轴。 对称轴。 对称轴与抛物线 抛物线的交点 对称轴与抛物线的交点 对称轴与抛物线的交点 叫做抛物线的顶点。 叫做抛物线的顶点
九年级数学《y=-ax2的图像及性质》课件
x
复习回顾 导入新课
抛物线
顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 开口大小 增减性
极值
y=ax2 (a>0)
（0，0） y轴
y x
在x轴的上方（除顶点外）
LOREM IPSUM DOLOR
向上
a越大，开口Biblioteka 小；a越小，开口越大x<0时，y随x的增大而减小； x>0时，y随x的增大而增大。 当x=0时，最小值为0。
学而不思则罔
回
头
一
看
我有哪些收获呢？
， 我
与大家共分享！
想 说
还有什么疑问吗?
…
y 1 x2 2
的图象，图象的开口大小与哪个因素有关
小组展示
x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 y=-x2 ... -4 -2.25 -1 -0.25 0
函数图象画法
描点法
0.5 1 1.5 2 ... -0.25 -1 -2.25 -4 ...
用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结
当x= -2时,y= -4
当x= -1时,y= -1
抛物线y= -x2在x轴的 下方(除顶点外),顶点 是它的最高点,开口 向下,并且向下无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最大,最大值是0.
当x=1时,y= -1 当x= 2时,y= -4
二次函数y=ax2的性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
列表
描点
连线
y=-x2
y ax2
a 绝对值越大，开口越小。
y x2
y 2x2
y 1 x2 2
二次函数y=a(x-h)2的图象及性质
1.抛物线y=ax2+k、抛物线y=a(x－h)2和抛物线y=ax2 的形状完全相同,开口方向一致;
当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向上.
(1) y=5x2 向上，y轴 （0, 0) (2) y=-3x2 +2 向下，y轴 （0, 2) (3) y=8x2+6 向上，y轴 （0, 6)
(4) y= -x2-4 向下，y轴 （0, - 4)
下面，我们探究二次函数 y = a﹙x-h﹚2的图 像和性质,以及与y=ax2的联系与区别.
探究
y=－
1 2
﹙x+1﹚2
－4
－6
24
y=－ 21﹙x-1﹚2
可以看出，抛物线 y 1 x 1 的2 开口向下，对称轴是
2
经过点（－1，0）且与x轴垂直的直线，我们把它记住直线
x=－1，顶点是（－1，0）；抛物线 y 1 x 12 的开
2 口向______下___，对称轴是_直线_______x__=__1____，顶点是
（2）对称轴： 对称轴直线x=h;
（3）顶点坐标：顶点坐标是（h，0） （4）函数的增减性：
当a＞0时，对称轴左侧(x ﹤ h时)y随x增大而减小，
对称轴右侧(x ≥ h时)y随x增大而增大； 当a＜0时， 对称轴左侧y随x增大而增大，
对称轴右侧y随x增大而减小。 （5）最值
• 上下平移时：上加下减（抛物线上移，高度 变高，要使y变大，则需要加；类似的抛物线 下移，高度变低，要使y变小，则需要减。）
26.1.2二次函数的性质(1)
4
对称轴
3
2
1
-6
-4
-2
0
2
4
6
x
自学展示：
1. 二次函数y＝x2的性质。 2．抛物线y＝x2与y＝－x2关于___对称，因此， 抛物线y＝ax2与y＝－ax2关于______ 对称， 开口大小______． 3．当a＞0时，a越大，抛物线的开口越__； 当a＜0时，｜a｜ 越大，抛物线的开口越 ___； 因此，｜a｜ 越大，抛物线的开口越_____， 反之，｜a｜ 越小，抛物线的开口越_____
m2 2
自学检测:
1.函数y＝x2的图象开口向___，顶点是___，对称轴是 ____，当x＝____时，有最___值是___． m2 m 2.二次函数y＝mx 有最低点，则m＝____． 3.二次函数y＝(k＋1)x2的图象如图所示，则k的取值 范围为____． 4.写出一个过点（1，2）的 函数表达式____． 5.如图， ① y＝ax2 ② y＝bx2 ③ y＝cx2 ④ y＝dx2 比较a、b、c、d的大小，用“＞”连接_______。
二次函数的图 象和性质（1）
学习目标:
1.知道二次函数的图象是一条抛物 线；
2.会画二次函数y＝ax2的图象； 3.掌握二次函数y＝ax2的性质，并
会灵活应用．
自学指导（一）:
看课本4页的内容,完成下列问题: 1.画二次函数y＝x2的图象． 2.观察图象，口答下列问题：
（1）二次函数y＝x2是一条曲线，把这条曲线叫____． （2）二次函数y＝x2中，二次函数a＝___，抛物线y＝x2开 口___． （3）自变量x的取值范围是___． （4）观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相 等，所描出的各对应点关于______对称，从而图象关于 ______对称． （5）抛物线y＝x2与它的对称轴的交点（ ， ）叫做抛物 线y＝x2的_________．因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛 物线的_____________． （6）抛物线y＝x2有____点（填“最高”或“最低”） ．
人教版数学九年级上册《二次函数及其图像》课件
(4)顶点各是什么？
2 1
-3 -2 --110 1 2 3 x
-2
(-1,0)
(0,0)
(1,0)
y
1 2
(
x
1)
-3 --45y 2-6
-7
1 2
y
x2
1( 2
x
1)
2
-8
关于三条抛物 线，你有什么看法？
y
2
1
左右平移得到 -4 -3 -2 -1-10 1 2 3 4 x
-2
-3
形状相同，
开口方向相同.
y 1 (x 1)2 1 2
y 1 x2, 2
y 1 x2 1, 2
顶点不同， 对称轴不同.
抛物线y 1 x2 怎样移动就可以得到抛物线 y 1 (x 1)2 1 ？
2
2
抛物线y 1 x2 怎样移动就可以得到抛物线 y 1 (x 1)2 1 ？
抛物线y a(x h)2 k有如下特点： （1）当a 0时，开口向__上__；当a 0，开口向__下_； （2）对称轴是直线_x_=_h_；
2
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
y … -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 …
y 1 (x 1)2 1 2
开口方向 向下 对称轴是 x=-1 顶点坐标是（-1，-1）
观在察同二一次直函 角数 坐标系y 中 的12 x图2, 象y ， 12思x2考1,这y三 条12 (抛x 物1)2线1 有什么关系？
2
2
把抛物线
y
1 2
x2先向下平移1个单位，得到抛物线 y
26.1.2二次函数y=x2的图像1
1. 二次函数的图像都是抛物线. 2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点. (2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是 抛物线的最低点;（0，0） 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是 抛物线的最高点;（0，0） |a|越大,抛物线的开口越小;
y
a>0
一般地，二次函数y=ax2 的图象是抛物线 _______, 对称 轴是Y ____ 原点 ． 轴 ，顶点是______ 当a>0时，抛物线的开口_____ 向上 ，顶点是抛物线的 低 点，当x ＜ 0时，y随x的增大而_______, 减小 最___ 当 增大 x > 0时，y随x的增大而_______, ；a越大，抛物 越小 ； 线的开口_____ 向下 ，顶点是抛物线的 当a<0时，抛物线的开口_____ 高 点，当x ＜ 0时，y随x的增大而_______, 增大 最___ 当 减小 x > 0时，y随x的增大而_______, ；a越大，抛物 越大 ； 线的开口_____
当a<0时，抛物线的开口向 下 顶点是抛物线的最____ 高 点， ____, a越大，抛物线的开口越 大 ． ____ │a│越大抛物线开口越小
1 2 y x 2
x
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
a<0
-3 -2 -1
1
y
1 2
0 -1 -2 -3 -4
3x
1 y x2 2
y 2 x 2
a>0 一般地，抛物线 y=ax2 的对称 原点 ．当 y轴 ，顶点是______ 轴是____ a>0时，抛物线的开口向上 _____，
y 2 x 2y
26.1.2 二次函数的图象和性质
3、画函数图象的一般步骤及各步注意的问题。
二、探索新知：
画二次函数 的图象．
【提示：画图象的一般步骤：①列表（取几组x、y的对应值；②描点（表中x、y的数值在坐标平面中描点（x，y）；③连线（用平滑曲线）．】
列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
…
…
描点，并连线
由图象可得二次函数 的性质：
东辛店中学验标题
（满分：50+20时间：10分钟成绩：）
必做题：（共5题，每题10分）
1．函数y＝x2的图象开口向_______，顶点是__________，对称轴是________，
当x＝___________时，有最_________值是_________．
2．二次函数y＝mx 有最低点，则m＝___________．
对称，开口大小_______________．
3．当a＞0时，a越大，抛物线的开口越___________；
当a＜0时，｜a｜越大，抛物线的开口越_________；
因此，｜a｜越大，抛物线的开口越________，反之，｜a｜越小，抛物线的开口越________．
六、课堂训练
1．填表：
开口方向
顶点
1、二次函数 是一条曲线，把这条曲线叫做______________．
2、二次函数 中，二次函数a＝_______，抛物线 的图象开口__________．
3、自变量x的取值范围是____________．
4、观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．
26.2二次函数y=ax2的图象
26.1.2二次函数2y ax =的图象【学习目标】1．知道二次函数的图象是一条抛物线；2．会画二次函数y ＝ax 2的图象； 3．掌握二次函数y ＝ax 2的性质，并会灵活应用．（重点）【学法指导】数形结合是学习函数图象的精髓所在，一定要善于从图象上学习认识函数. 【学习过程】 一、温故知新1.画一个函数图象的一般过程是 ① ；② ；③ 。
2.一次函数图象的形状是 ；反比例函数图象的形状是 . 二、自学指导认真阅读课本第P 4-6页的内容，完成下列问题。
（一）画二次函数y ＝x 2的图象．1.思考：图（1）和图（2）中的连线正确吗？为什么？连线中我们应该注意什么？ 答：2.归纳总结：① 由图象可知二次函数2x y =的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做 线；②抛物线2x y =是轴对称图形，对称轴是 ； ③2x y =的图象开口_______；④ 与 的交点叫做抛物线的顶点。
抛物线2x y =的顶点坐标是 ； 它是抛物线的最 点（填“高”或“低”），即当x=0时，y 有最 值等于0.⑤在对称轴的左侧，图象从左往右呈 趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈 趋势；即x <0时，y 随x 的增大而 ，x >0时，y 随x 的增大而 。
三、例题分析在图（4）中，画出函数221x y =，2x y =，22x y =的图象． 解：列表归纳：抛物线221x y =，2x y =，22x y =的图象的形状都是 ；顶点都是__________；对称轴都是_________；二次项系数a _______0；开口都 ；顶点都是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ．归纳：抛物线221x y -=，2x y -=，22x y -=的的图象的形状都是 ；顶点都是__________；对称轴都是_________；二次项系数a _______0；开口都 ；顶点都是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ． 例2 请在图（4）中画出函数221x y -=，2x y -=，22x y -=的图象．列表：四、合作交流：归纳：抛物线2ax y =的性质2.当a ＞0时，在对称轴的左侧，即x 0时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 0时y 随x 的增大而 。
26.1 二次函数
提问： 1．上述概念中的a为什么不能是0？ 2. 对于二次函数y=ax2+bx+c中的b和c可 否为0？若b和c各自为0或均为0，上述 函数的式子可以改写成怎样？你认为 它们还是不是二次函数？
知识运用
1:下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1
(3)y=3x3+2x2 (5)y=x-2+x (7)y=2² +2x （9）y=
（3） y=x(1+x)
思考：1. 你认为判断二次函数的关键 是什么？ 思考：2. 二次函数的一般式y＝ax2＋bx ＋c（a≠0）与一元二次方程ax２＋bx＋c ＝0（a≠0）有什么联系和区别？
能力提升
1.若y=(a2-1)x2是二次函数则, a的取值范 围是_______。 2、函数 y=ax2+bx+c (a、b、c为常数） 当a、b、c满足什么条件时：：
(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？
3、已知函数 y ( k k ) x kx 2 (1) k为何值时，y是x的一次函数？ (2) k为何值时，y是x的二次函数？
2 2
k
4、取何值时函数y= (m+1)x 是二次函数？
m2 2m 1
+(m-3)x+m
随堂检测
1.下列函数中,哪些是二次函数？
怎 么 判 断
(1）y=3(x-1)²+1
1 ( 2) y x x
(3) s=3-2t (5)y=(x+3)²-x²
?
1 ( 4) y 2 x x
(6) v=10πr²
随堂检测
2.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场 地面积S(m² )与矩形一边长a(m)之间的关系 是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？ 3.函数 y (m 1) x 求m的值。
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26.1.2二次函数
2
y ax
=的图象
【学习目标】
1．知道二次函数的图象是一条抛物线；
2．会画二次函数y＝ax2的图象；
3．掌握二次函数y＝ax2的性质，并会灵活应用．（重点）
【学法指导】
数形结合是学习函数图象的精髓所在，一定要善于从图象上学习认识函数.
【学习过程】
一、知识链接：
1.画一个函数图象的一般过程是①；②；③。
2.一次函数图象的形状是；
二、自主学习
（一）画二次函数y＝x2的图象．
列表：
在图（3）中描点，并连线
1.思考：图（1）和图（2）中的连线正确吗？为什么？连线中我们应该注意什么？
答：
2.归纳：
①由图象可知二次函数2x
y=的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做线；
②抛物线2x
y=是轴对称图形，对称轴是；
③2x
y=的图象开口_______；
④与的交点叫做抛物线的顶点。
抛物线2x
y=的顶点坐标是；
它是抛物线的最点（填“高”或“低”），即当x=0时，y有最值等于0.
⑤在对称轴的左侧，图象从左往右呈趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈趋势；即x<0时，y随x的增大而，x>0时，y随x的增大而。
（二）例1在图（4）中，画出函数
2
2
1
x
y=
，2x
y=，2
2x
y=的图象．
解：列表：
点都是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ． 例2 请在图（4）中画出函数2
21x y -
=，2x y -=，2
2x y -=的图象．
列表：
三、合作交流： 归纳：
抛物线2
ax y =的性质
2.当a ＞0时，在对称轴的左侧，即x 0时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 0时y 随x 的增大而 。
3．在前面图（4）中，关于x 轴对称的抛物线有 对，它们分别是哪些？
答： 。
由此可知和抛物线2
ax y =关于x 轴对称的抛物线是 。
4．当a ＞0时，a 越大，抛物线的开口越___________；当a ＜0时，
a 越大，抛物线的开口越_________；因此，a 越大，抛物线的开口
越________。
四、课堂训练 1．函数
2
73x
y =
的图象顶点是__________，对称轴是________，开口
向_______，当x ＝___________时，有最_________值是_________．
2. 函数2
6x y -=的图象顶点是__________，对称轴是________，开口
向_______，当x ＝___________时，有最_________值是_________．
3. 二次函数()2
3x m y -=的图象开口向下，则m___________．
4. 二次函数y ＝mx
2
2-m 有最高点，则m ＝___________．
5. 二次函数y ＝(k ＋1)x 2的图象如图所示， 则k 的取值范围为___________．
6．若二次函数2ax y =的图象过点（1，－2），则a 的值是___________．
7．抛物线①25x y -=②22x y -= ③25x y =④2
7x y = 开口从小到大排列
是______________________________；（只填序号）其中关于x 轴对称的两条抛物线是 和 。
8．点
A （2
1，b ）是抛物线2
x y =上的一点，则b= ；过点A
作x 轴的平行线交抛物线另一点B 的坐标是 。
9．如图，A 、B 分别为2
ax y =上两点，且线段
AB ⊥y 轴于点（0,6），若AB=6，
则该抛物线的表达式为 。
10. 当m= 时，抛物线m
m x m y --=2
)1(开口向下． 11.二次函数2
ax y =与直线32-=x y 交于点P （1，b ）．
（1）求a 、b 的值；
（2）写出二次函数的关系式，并指出x 取何值时，该函数的y 随x 的增大而减小．。