河南省百校联盟2018届高三上学期11月月考数学试卷乙卷 含解析
2024届“贵百河”高三上学期11月质量调研联考数学试题答案
2024届“贵百河”11月高三质量调研联考试题数学参考答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．因为3{|1}2A x x =-<<，{|05}B x x =<<，所以3(0,)2A B = ．选D2．211z i i==-+，则|32||4|z i i ++=+=．选D 3．由线面平行的判定定理得：a β⊄，b β⊂，//a b //a β⇒，但//a β不一定有//a b ，故当a β⊄，b β⊂时，“//a b ”是“//a β”的充分不必要条件，选A4．设该圆的标准方程是222(2)(3)x y r ++-=，双曲线2214x y -=的渐近线方程为20x y ±=，圆心(2,3)-到直线20x y +=的距离为1d ==，圆心(2,3)-到直线20x y -=的距离为21d d ==>=，r ∴=，所以该圆的标准方程是2216(2)(3)5x y ++-=，选A5．基本事件数为44A 24=，其中物理考试与数学考试不相邻的事件有2223A A 12=，这4个学科不同的考试顺序中物理考试与数学考试不相邻的概率为121242P ==，选B 6．因为2()22x x x f x -=+，所以2()()22x x x f x f x ---==-+，所以函数2()22x x xf x -=+为奇函数，排除A ；0x >时，2()022x xxf x -=>+恒成立，排除D ；当x →+∞时，根据一次函数与指数函数的增长速度，可知0y →，排除C ；选B7．2cos sin 1αα⋅=+=a b ，2224cos (1sin )12sin sin αααα∴=-=-+，25sin 2sin 30αα∴--=，解得3sin 5α=-或sin 1α=，当sin 1α=时，cos 0α=，满足1⋅=a b ，当3sin 5α=-时，4cos 5α=±，而2cos sin 1αα⋅=+=a b 或115-，选C 8．设()ln ln(9)f x x x =-，则ln(9)(9)ln(9)ln ln ()9(9)x x x x xx f x x x x x ----=-'=--，912x <<，设()(9)ln(9)ln g x x x x x =---，则()ln(9)1ln 1ln(9)ln 2g x x x x x '=-----=----，当912x <<时，()0g x '<，所以()g x 在9(1,)2上单调递减，9()()02g x g >=，所以()0f x '>，即()f x 在9(1,)2上单调递增，因为912342<<<<，所以有(4)(3)(2)f f f >>，即ln 4ln 5ln 3ln 6ln 2ln 7>>，又ln ln 4ln 5a =，ln ln 3ln 6b =，ln ln 2ln 7c =，即ln ln ln a b c >>，所以a b c >>．选C二、多选题：本题共4小题，每小题分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．对于A ，两个变量,x y 的相关系数为r ，||r 越小，x 与y 之间的相关性越弱，故A 正确；对于B ，随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，由正态分布概念知若(1)P p ξ>=，则(1)(1)P P p ξξ<-=>=，又2(10)2(1)1P P ξξ-<<+≤-=，1(10)2P p ξ∴-<<=-，故B 错误；对于C ，在回归分析中，2R 越接近于1，模型的拟合效果越好，所以2R 为0.99的模型比2R 为0.88的模型拟合的更好，故C 正确；对于D ，某人在10次答题中，答对题数为X ，(10,0.7)B X ，则数学期望100)7(.7E X =⨯=，说明答对7题的概率最大，故D 正确．故选ACD10．函数()f x 的最小正周期2()36T πππ=⨯+=，故A 选项正确；因为2A =，22πωπ==，所以()2sin(2)f x x ϕ=+，又因为点(,2)3π在()f x 的图象上，所以2sin(2)23πϕ⨯+=，即2232k ππϕπ+=+（k ∈Z ），所以26k πϕπ=-（k ∈Z ），因为||2πϕ<，所以6πϕ=-，故B 选项不正确；由以上可得()2sin(2)6f x x π=-，5511()2sin(2)2sin 126666f ππππ-=-⨯-=-=≠± ，56x π∴=-不是()f x 的一条对称轴，故C 选项不正确；由35222262k x k πππππ+<-<+（k ∈Z ）得5463k x k ππππ+<<+（k ∈Z ），所以()f x 的递增区间为54(,)63k k ππππ++（k ∈Z ），故D 选项正确．故选AD11．22()e xx x f x --+'=，令()0f x '=，解得2x =-或1x =，当2x <-或1x >时，()0f x '<，故函数()f x 在(,2)-∞-，(1,)+∞上单调递减，当21x -<<时，()0f x '>，故函数在(2,1)-上单调递增，且函数()f x 有极小值2(2)e f -=-，有极大值5(1)ef =，故B 选项正确；又3(3)e 0f -=>，当0x >时，()0f x >，故()f x 在(3,2)--及(2,1)-内各有一个零点，故A 选项不正确；因为()f x 的极大值为5(1)ef =，所以1t ≤，故C 选项正确；因为()f x 的极小值为2(2)e f -=-，且当0x >时，()0f x >，故D 选项正确；故选BCD12．由椭圆22:184y x E +=可得a =2b =，则2c =，所以椭圆E 的长轴长为2a =A 不正确；以12||F F 为直径的圆恰好过椭圆E 的上下顶点，所以12F PF ∠为直角时，有两个点P ，12PF F ∠为直角时，有两个点P ，同理21PF F ∠为直角时，有两个点P ，故B 正确；12||||2PF PF a +== ，21212||||||||()82PF PF PF PF +∴≤=，当且仅当12||||PF PF ==C 正确；设00(),P x y ，0(x ≠±，(0)A -，(,0)B ，则2200184x y +=，220082x y ∴=-，则PA k =PB k =，故2020128PA PB k y k x ⋅==--，故D 正确，故选BCD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．()e x f x '=，(0)1k f '==，(0)1f =，所以()f x 在0x =处的切线方程为1y x -=，即10x y -+=．14．所有的二项式系数之和为264n =，6n ∴=，2)n x展开式中各项的系数的绝对值之和相当于2)n x展开式中各项的系数之和，令1x =得63729=，答案为729．15．当球的半径最大时，球与圆锥底面和侧面均相切，设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则222229)l r h r r =+=+=，解得r =，所以圆锥的体积为21133333V r h πππ==⨯⨯=．16．110a =2345675168421a a a a a a ⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=8910421a a a ⇒=⇒=⇒= ，所以从5n ≥起后面的项构成周期数列，501051681574148S ∴=++++⨯+=，答案为50148S =．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）依题意，设数列{}n a 的前n 项和(21)n S kn n =+，数列{}n b 的前n 项和2n T kn =，0k ≠,……2分则1(41)n n n a S S k n -=-=-，277a k ∴==，1k ∴=，………………………………………………4分221(1)21n n n b T T n n n -∴=-=--=-；…………………………………………………………………5分（2）由（1）得41n a n =-，…………………………………………………………………6分因为1,2,nn n n b a n a c n +⎧=⎩+⎨为奇数为偶数，所以当n 为奇数时，1n n n c a a +=+，132112342122(381)2(41)2n n n n n c c c a a a a a a n n --+-∴+++=++++++==+ ，……………8分当n 为偶数时，2122n b n n c -==，343741424242[1(2)]8222(21)1512n n nn c c c --∴+++=+++==-- ，…………………………………9分41321242282(41)(21)15nn n n c c c c c c n n U -+++++++=++∴=- ．……………………………10分18．（1）3sin sin sin()A b B c A B =+- sin sin cos sin cos b B c A B c B A =+-，………………………………2分222222222113cos cos ()()22a b ac B bc A b a c b b c a a ∴=+-=++--+-=，……………………………4分3a ∴=；…………………………………………………………………………………………………5分（2）在ABC ∆中有1sin 2S bc A =，即1sin 2bc A =， (6)分222sin 2b c a A A bc+-∴==，3A π∴=，……………………………………………………7分由正弦定理得：sin sin sin b c a B C A ===，2sin()]6sin(36b c B B B ππ∴+=+-=+，……9分在ABC ∆中，3A π=，203B π<<，1sin()126B π∴<+≤，…………………………………………10分所以36b c <+≤，当3A B C π===时，等号成立，……………………………………………………11分故ABC ∆周长的取值范围为(6,9]．………………………………………………………………12分19．（1）过E 作直线//MN AB ，分别交AD ，BC 于点M ，N ，则M ，N 是AD ，BC 的中点，MN ∴⊥平面11B BCC ，又BF ⊂平面11B BCC ，MN BF ∴⊥，………………………2分1BB BC = ，1BN CF ==，190B BN BCF ∠=∠=︒，1B BN BCF ∴∆≅∆，1BB N CBF ∴∠=∠，190B NB CBF ∴∠+∠=︒，1BF B N ∴⊥，……………………4分又1MN B N N = ，BF ∴⊥平面11A B NM ，又EP ⊂平面11A B NM ，EP BF ∴⊥；…………………………6分（2）由正方体知1DD ⊥平面ABCD ，且AD CD ⊥，以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，则(2,0,0)A ，(0,2,0)C ，(2,2,0)B ，1(2,2,2)B ，(1,1,0)E ，(0,2,1)F ，…………………7分B BC CD DAA xP 第19题1111y z E F M N设1(02)A P t t =≤≤，则(2,,2)P t ，(1,1,2)EP t ∴=- ，(1,1,1)EF =-，…………………8分设平面PEF 的法向量为(,,)x y z =n ，则由00EP EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩n n 得{(1)200x t y z x y z +-+=-++=，令z t =得3x t =-，3y =-，(3,3,)t t ∴=--n ，…………………………………………10分又(2,0,1)BF =-，||sin |cos ,|||||BF BF BF θ⋅∴=<>==n n n，………………11分解得：32t =，或3t =-（舍去），所以线段1A P 的值为32．…………………………………………12分20．（1）由题知，X 的取值可能为1，2，3，……………………………………………………………1分所以21311(1)()9C P X ===；221134111(2)[1()]()18C C P X ==-=；221134115(3)[1()][1()]6C C P X ==--=；…………………………………………………………………3分所以X 的分布列为：所以数学期望为115224549()12391861818E X ++=⨯+⨯+⨯==；…………………………………………6分（2）令1i i x t =，则 y bxa =+ ，由题知：51346i i i x y ==∑，100y =，………………………………………7分所以515221534650.461001162901.4650.2120.45i i i i i x y x ybx x==-⋅∑-⨯⨯====-⨯-∑ ，…………………………………………………9分所以 1002900.4633.4a =-⨯=-， 29033.4y x =-，故所求的回归方程为：29033.4y t=-，………10分所以，估计6t =时，15y ≈；估计7t =时，8y ≈；估计8t =时，3y ≈；估计9t ≥时，0y <；………………………………………………………………………………11分预测成功的总人数为5001583526+++=．…………………………………………………………12分21．（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线AB 的斜率21212134k y y x x y y -==-+，…………………………1分直线OA 的斜率为11114y k x y ==，直线OB 的斜率为22224y k x y ==，…………………………………3分1212123111444y y y y k k k +∴+=+==；……………………………………………………………………4分（2）作与AB 平行且与C 相切的直线l ，切点为D ．由题知ABD ∆的面积等于．………………5分当直线AB 的斜率不存在时，直线l 为y 轴，此时||4AB =，ABD ∆的面积11422S =⨯⨯=≠，所以直线AB 的斜率k 存在，且0k ≠，……………………………………………………………6分设直线AB 的方程为(1)y k x =-，直线l 的方程为y kx t =+，联立24y x y kx t⎧=⎨=+⎩得2440ky y t -+=，16160kt ∴∆=-=，1t k ∴=，………………………………7分所以直线l 与直线AB的距离为1||k k d +=，…………………………………………………8分X 123P1911856………………………………………4分联立24y x y kx k ⎧=⎨=-⎩得2440ky y k --=，124y y k ∴+=，124y y =-， (9)分21224(1)|||k AB y y k +∴=-=，……………10分所以ABD ∆的面积为222324(1)(1112||2||k k S d AB k k ++====…………………11分=1k =±，所以直线AB 的方程为10x y --=或10x y +-=．…………………12分22．（1）2()ln ()12a x ax x x F =+-++，则221(21)(1)1()2(2(2))ax x ax F x ax a x x x a x-+--=-++==+'，0x >，……………………………1分①当0a ≤时，由()0F x '>得102x <<，由()0F x '<得12x >，所以()F x 在1(0,)2上是增函数，在1(,)2+∞上是减函数；……………………………………………3分②当02a <<时，112a >，由()0F x '>得102x <<或1x a >，由()0F x '<得112x a<<，所以()F x 在1(0,)2，1(,)a+∞上是增函数，在11(,)2a上是减函数；…………………………………5分综上，当0a ≤时，()F x 在1(0,)2上是增函数，在1(,)2+∞上是减函数；当02a <<时，()F x 在1(0,)2，1(,)a+∞上是增函数，在11(,)2a上是减函数；……………………6分（2）21212121()()ln ln f x f x x x k x x x x ''--==--．要证121x x k<<，即证211221ln ln x x x x x x -<<-，等价于证21221111ln x x x x x x -<<，令211xt x =>，则只要证11ln t t t -<<，由1t >知ln 0t >，故等价于证ln 1ln t t t t <-<（*）．………………………………………………………7分①设()1ln (1)g t t t t =--≥，则1()10(1)g t t t≥'=-≥，故()g t 在[1,)+∞上是增函数，当1t >时，()1ln (1)0g t t t g =-->=，即1ln (1)t t t ->>．……………………………………………9分②设()ln (1)(1)h t t t t t =--≥，则()ln 0(1)h t t t '=≥≥，故()h t 在[1,)+∞上是增函数，当1t >时，()ln (1)(1)0h t t t t h =-->=，即1ln (1)t t t t -<>．………………………………………11分由①②知（*）成立，即121x x k<<得证．……………………………………………………………12分。
河南省三门峡市2024-2025学年高三上学期11月阶段性考试数学试题
河南省三门峡市2024-2025学年高三上学期11月阶段性考试数学试题一、单选题1．已知集合{}2log 2A x x =≤，{}24B x x =-<<，则A B = （）A ．()2,2-B ．()0,2C ．()0,4D ．(]0,42．“1x >”是“2x x >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数2x y -=-与2x y =的图象（）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y=x 对称4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为341,2n S S a a =-，且2415a a +=，则35a a +=（）A ．3B ．5C ．30D ．455．如图，平行四边形ABCD 中，2,AE EB DF FC ==，若,CB a CE b == ，则AF =（）A ．1322a b+ B ．3122a b-C ．1322a b- D ．1322a b -+ 6．关于x 的方程(1)(4)x x a --=有实数根12,x x ，且12x x <，则下列结论错误的是（）A ．当0a =时，121,4x x ==B ．当0a >时，1214x x <<C ．当0a >时，121,4x x <>D ．当904a -<<时，122544x x <<7．已知角αβ，满足tan 2α=，2sin cos()sin βαβα=+，则tan β=（）A ．13B ．17C ．16D ．28．在古巴比伦时期的数学泥版上，有许多三角形和梯形的分割问题，涉及到不同的割线.如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，且CD a =，AB b =，EF 和GH 为平行于底的两条割线，其中EF 为中位线，GH 过对角线交点，则比较这两条割线可以直接证明的不等式为（）A．)0,02a ba b +≥>>B ．()20,0112a ba b a b+≤>>+C．)0,02a b a b +≤>>D．)220,0a b a b +≥>>二、多选题9．在实际应用中，通常用吸光度A 和透光率T 来衡量物体的透光性能，它们之间的换算公式为1lg A T=，下表为不同玻璃材料的透光率：玻璃材料材料1材料2材料3T0.70.80.9设材料1、材料2、材料3的吸光度分别为123,,A A A ，则下列结论正确的是（）A ．12A A >B ．233A A >C ．1322A A A +>D ．231A A A +>10．已知非零向量,,a b c，则下列结论正确的是（）A ．若a c b c ⋅=⋅ ，则a b=B ．若()0a b c ⋅= ，则b c⊥C ．若()()a b a b +⊥-，则||||a b = D ．向量()()a b c a c b ⋅-⋅ 与向量a垂直11．已知函数()cos sin f x x x x =-在区间(0,3π)内有两个零点12,x x ，则下列结论正确的是（）A ．当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan x x>B ．12πx x ->C ．12sin 02x x +⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．1221sin sin 0x x x x +<三、填空题12．在ABC V 中，2cos 3C =，4AC =，3BC =，则cos B =13．已知二次函数()f x 从1到1x +∆的平均变化率为23x ∆+，请写出满足条件的一个二次函数的表达式()f x =．14．已知函数()11x x e f x e -=+，()()11g x f x =-+，()*12321n n a g g g g n N n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则数列{}n a 的通项公式为．四、解答题15．设函数()e xf x =，x ∈R .(1)求方程()()()22f x f x =+的实数解；(2)若不等式()22x b b f x +-≤对于一切x ∈R 都成立，求实数b 的取值范围.16．已知函数2()2sin cos f x x x x =+-R x ∈，且将函数()f x 的图象向左平移π(02ϕϕ<<个单位长度得到函数()g x 的图象．(1)求()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数()g x 是奇函数，求ϕ的值；(3)若1cos 3ϕ=，当x θ=时函数()g x 取得最大值，求π12f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．17．ABC V 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .(1)若sin sin sin sin cos21A B B C B ++=，3π4C =，求a b的值；(2)求证：()222sin sin A B a b c C--=.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，11nn S a n n+=--，*N n ∈.(1)求n S ；(2)令()11121n n n n n n n S S b na a n a a ++++=-+，证明：12313n b b b b ++++< .19．若函数()f x 对其定义域内任意()1212,x x x x ≠满足：当()()12f x f x =时，恒有12x x m =，其中常数m ，则称函数()f x 具有性质()V m .(1)函数1()2=+g x x x具有性质()V m ，求m .(2)设函数()()()1221()ln ,0h x x x h x h x x x =-=>>，（ⅰ）判断函数()h x 是否具有性质()V m ，若有，求出m ，若没有，说明理由；（ⅱ）证明：2122x x <.。
湖南省三湘名校教育联盟2024-2025学年高三上学期11月月考(第二次大联考)数学试题含答案
湖南省三湘名校教育联盟2024-2025学年高三上学期第二次大联考（11月）数学试题（答案在最后）本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本式卷和答题卡上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本式卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{40},{31}A xx B x x =-=-∣∣ ，则集合A B 中所含整数的个数为A.2 B.3C.4D.52.已知3i12iz -=+，则z 的虚部为A.75B.75-C.15-D.153.“202520251ab>”是“33a b >”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知()1sin 104θ︒+=-，则()sin 2110θ︒+=A.78B.18C.18-D.78-5.经研究表明：光源发射出来的粒子在没有被捕获之前属于光子，光子在离开光源后会与各种粒子撞击，其动量可能会改变，导致其速度降低，最终可能改变身份成为其他范围的粒子（如红外线粒子），不再能被人类的感光设备捕获.已知在某次光学实验中，实验组相关人员用人类感光设备捕获了从同一光源发射出来的两个光子A ，B ，通过数学建模与数据分析得知，此时刻在平面直角坐标系中它们的位移所对应的向量分别为(4,3),(2,10)A B s s == ，设光子B 相对光子A 的位移为s ，则s 在A s上的投影向量的坐标为A.43,55⎛⎫⎪⎝⎭B.(2,7)- C.5239,2525⎛⎫⎪⎝⎭ D.43,2525⎛⎫⎪⎝⎭6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为1,2d a =也为等差数列，则d 的值为A.2B.3C.4D.87.已知函数1()ln 2(1)x f x x m x m+=+≠+关于点(,4)n 中心对称，则曲线()y f x =在点(n m -，())f n m -处的切线斜率为A.14 B.74C.38D.1388.ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且πcos cos 2,3b Cc B A +==，则ABC 的内切圆半径的最大值为A.2B.3C.2D.1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正数x ，y 满足21x y +=，则A.81xy B.1412x y+ C.22142x y +D.1(1)4x y +10.三棱台111ABC A B C -中，112AB A B =，设AB 的中点为1,E AA 的中点为1,F A E 与BF 交于点1,G A C 与1C F 交于点H ，则A.直线GH 与直线1BB 异面B.1//GH BC C.线段AE 上存在点P ，使得1//BC 平面1A PCD.线段BE 上存在点P ，使得1//BC 平面1A PC11.设函数2()e ,x f x nx n n +=-+∈N ，记()f x 的最小值为n a ，则A.122a a >- B.1n a n +C.()()n f a f n > D.n m n ma a a +>+三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知命题：“2,20x ax ax ∀∈--<R ”为真命题，则a 的取值范围是______．13.已知P 为边长为4的正六边形ABCDEF 内部及其边界上的一点，则AP AB ⋅的取值范围是______.14.三棱锥P ABC -中，AB AC AB AC ==⊥，平面PBC ⊥平面ABC ，且PB PC =.记P ABC -的体积为V ，内切球半径为r ，则21r V-的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知函数()2cos 2,(0,π)f x x x x =+∈.（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若()f x 在π,12m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2，求m 的取值范围.16.（本小题满分15分）记首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2(1)n n S n a =+.（1）探究数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是否为单调数列；（2）求数列{}2na n a ⋅的前n 项和nT .17.（本小题满分15分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是菱形，四面体11A BC D 的体积与四面体111A B BC 的体积之差为12,A BD 的面积为（1）求点A 到平面1A BD 的距离；（2）若11111,,2A B A D A B A C BD =⊥=，求锐二面角11A BD C --的余弦值．18.（本小题满分17分）已知函数2()ln 2x f x ax ax x =+-在(0,)+∞上有两个极值点12,x x ，且21x x <.（1）求a 的取值范围；（2）当21(1,e)x x ∈时，证明：122eln ln e 1x x <+<+.19.（本小题满分17分）对于(2,3,)m m = 项数列{}n a ，若满足111m miii i a am ==-=-∑∑，则称它为一个满足“绝对值关联”的m 阶数列．（1）对于一个满足“绝对值关联”的m 阶数列{}n a .证明：存在,{1,2,,}i j m ∈ ，满足0i j a a <；（2）若“绝对值关联”的m 阶数列{}n a 还满足(1,2,,)i a i m λ=，则称{}n a 为“绝对值λ关联”的m 阶数列．①请分别写出一个满足“绝对值34关联”的4阶数列和满足“绝对值1关联”的5阶数列（不必论证，符合要求即可）；②若存在“绝对值λ关联”的n 阶数列(2)n ，求λ的最小值（最终结果用常数或含n 的式子表示）．三湘名校教育联盟•2025届高三第二次大联考•数学参考答案、提示及评分细则1.【答案】C 【解析】由题意可得{40},{31}A xx B x x =-=-∣∣ ，可得{30}A B x x =- ∣ ，故集合A B 中所含整数有3,2,1,0---，共4个，故选C.2.【答案】A 【解析】由题意可得3i (3i)(12i)32i 6i 17i 12i (12i)(12i)555z ------====++-，故17i 55z =+，其虚部为75，故选A.3.【答案】A 【解析】由202520251ab> 及指数函数的单调性可得0a b > ，令函数3()f x x =，易得()f x 单调递增，故当0a b > 时，一定有33a b >，故充分性成立，但由33a b >只能推出a b >，即必要性不成立，故“20252025a b >1 ”是“33a b >”的充分不必要条件，故选A.4.【答案】A 【解析】由题意可得()1sin 104θ︒+=-，故()()()()2sin 2110sin 90220cos 22012sin 10θθθθ︒︒︒︒︒+=++=+=-+2171248⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，故选A.5.【答案】C 【解析】由向量(4,3),(2,10)A B s s == ，可得(2,10)(4,3)(2,7)B A s AB s s ==-=-=-，所以s 在A s 上的投影向量为218135239(4,3),55252525A A A A As s s s s s ⋅-⎛⎫⋅=⨯=⋅= ⎪⎝⎭ ，故选C.6.【答案】C 【解析】易知232222n n d S a n d n d ⎛⎫-=+-+- ⎪⎝⎭也为等差数列，则232222d n d n d ⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭为完全平方，则2322(2)02d d d ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，解得4d =，故选C.7.【答案】D 【解析】因为()f x 关于点(,4)n 中心对称，所以函数1()()4ln224x n g x f x n x n x m n ++=+-=++-++为奇函数，则240n -=，即2n =，且3ln 2x y x m +=++为奇函数，所以23m +=-，解得5m =-，故1()ln 5x f x x +=+-2,7x n m -=，且6()2(1)(5)f x x x '=-+-，故切线斜率为13(7)8f '=，故选D.8.【答案】B 【解析】设ABC 的内切圆半径为r ，由题意可得cos cos 2b C c B +=，由余弦定理可得2222a b c b ab +-⋅+2222222222222a c b a b c a c b c a ac a a +-+-+-⋅=+==，而11sin ()22ABC S bc A a b c r ==++ ，故2r =⋅2bcb c ++，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，则224b c bc bc =+- ，当且仅当b c =时等号成立，而4=2()3b c bc +-，则b c +=，其中4bc ，故33222bc r b c =⋅=++=(24)t t < ，故24(2)6263t r t t -=⋅=-+ .故选B.9.【答案】AC 【解析】对于A ：因为21x y +=18xy ，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时取等号，故A 正确；对于B ：1424(2)8666x y x y x y x y x y y x +++=+=+++=+，当且仅当8x yy x =，即x =1,22y =时取等号，故B 错误；对于C ：因为22x y +，则22142x y + ，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时取等号，故C 正确；对于D ：因为2112(1)1(1)2(1)2222x y x y x y ++⎡⎤+=⨯+⨯=⎢⎥⎣⎦，当且仅当21x y =+，即1,02x y ==时取等号，这与x ，y 均为正数矛盾，故1(1)2x y +<，故D 错误，故选AC.10.【答案】AD 【解析】如图所示，对于A ，因为1BB ⊂/平面11,BC F BB 平面1BC F B =，故1BB 与平面1BC F 的交点为B ，且是唯一的.又因为B ，G ，H 三点不共线，所以GH 不经过点B ，又GH ⊂平面1BC F ，所以直线GH 与直线1BB 没有交点，即直线GH 与直线1BB 异面，故A 正确；对于B ，因为AB 的中点为1,E AA 的中点为F ，所以点G 是1A AB 的重心，:1:2FG GB =，若1//GH BC ，则1:1:2FH HC =，事实上：()()1111111222A H A C A A AC A F A C A F λλλλ==+=+=+112AC λ ，所以H 是1FC 的中点，1:1:2FH HC =不成立，故B 错误；对于CD 选项，如图，取线段BF 的中点Q ，连接1AQ 并延长，交BE于点P ，下证1//BC 平面1A PC ：由H 为1C F 的中点可知1//HQ BC ，又1BC ⊂/平面1,A PC HQ ⊂平面1A PC ，所以1//BC 平面1A PC ，故D 正确，C 错误；故选AD.11.【答案】BCD 【解析】由题意可得()e xf x n '=-，当(,ln )x n ∈-∞时，()0,()f x f x '<单调递减，当(ln ,)x n ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增，故2(ln )ln n a f n n n n n ==+-．对于A ：12212,62ln 2,22a a a a ==---=-2ln 20>，即122a a <-，故A 错误；对于B ：设函数2()1ln ,,()2ln 1F x x x x x F x x x '+=--∈=--N ，设函数1()2ln 1,()2,1g x x x g x x x '=--=- 时，则()0()g x g x '>⇒单调递增，故()(1)10g x g =>⇒ ()0()F x F x '>⇒单调递增，故22()(1)01ln 0ln 11n F x F n n n n n n n n a n =⇒--⇒+-+⇒+ ，故B 正确；对于C ：易知ln n n >，又因为()f x 在(ln ,)x n ∈+∞上单调递增，故(ln )()(1)f n f n f n <<+ ()n f a ，故()()n f a f n >，故C 正确；对于D ：[ln ln()][ln n m m n a a a m n m n m n m n +--=+-+++-ln()]n m +，只需证明ln ln()0n m n m +-+>即可，而ln ln e n n m m +=，由e 1(1)x x x >+易得e n m >(1)m n m mn m n +=++，故ln ln()0n m n m +-+>，同理可得ln ln()0m n n m +-+>，故n m n a a +>+m a ，故D 正确，故选BCD ．12.【答案】（8,0-]【解析】因为命题“2,20x ax ax ∀∈--<R ”为真命题，当0a =时，20-<成立，当0a ≠时，则280a a a <⎧⎨∆=+<⎩，解得80a -<<，故a 的取值范围是(8,0]-，故答案为(8,0]-.13.【答案】[-8，24]【解析】由题意可得AB 的模为4，根据正六边形的特征及投影的定义可以得到AP 在AB方向上的投影长度的取值范围是[2,6]-，由数量积定义可知AP AB ⋅ 等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影长度的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是[8,24]-，故答案为[8,24]-.14.62+【解析】设三棱锥P ABC -的高为h ，依题意，可取BC 中点O ，连接OA ，OP ，则OA =1,OB OC OP h ===，则PBC 的面积为1,2h BC h ABC ⋅= 的面积112OA BC ⋅=，由21PA PB h ==+可得PBA 的面积为2212h +，于是三棱锥P ABC -2211h h +++，由等体积可知)2211133r hh h +++=⨯，所以2222222122122h h h r h h ++++==+，故21r V-=2222123221122h h h h h ++-+-=+.设函数22211()2x f x x +=+，且0x >，则()f x '=()2222222212121212x x x x x x +=++++，当3,()0,()2x f x f x '<<单调递减，3()02x f x '>>，()f x 单调递增，所以3()622f x f =+ ，所以62h =时，21r V -取得最小值62+62．15.【解析】（1）由题意可得π()32cos 22sin 2,(0,)6f x x x x x π⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，………………2分令π2,(0,π)6z x x =+∈，则π13π,66z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为π13πsin ,,66y z z ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭的单调递减区间是π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…………………………………………5分且由π3π22z ，得π2π63x ，所以()f x 的单调递减区间是π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦.………………………………7分（2）当π,12x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则πππ2,2636x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为()f x 在区间π,12m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2，……9分即sin y z =在ππ,236m ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的最小值为-1，又因为π13π,66z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3ππ13π2,266m +< ……12分即2ππ3m < ，故m 的取值范围为2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.……………………………………………………………13分16.【解析】（1）由题意得2(1)n n S n a =+，当2n 时，112n n S na --=，………………………………1分两式作差得112(1),(1)n n n n n a n a na n a na --=+--=，……………………………………………………3分所以11n n a a n n -=-，则数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数数列，………………………………………………………………5分无单调性，故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是单调数列.……………………………………………………………………6分（2）由（1）可得111n a a n ==，所以n a n =，故22an n n a n ⋅=⋅．……………………………………8分所以231222322n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅ ，①……………………………………………………………10分23412122232(1)22n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ，②………………………………………………12分①-②得()231112122222222(1)2,12n nn n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⋅=---⋅- ……………14分所以1(1)2 2.n n T n +=-⋅+…………………………………………………………………………………15分17.【解析】（1）如图，连接AC 交BD 于点O ，设四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为V Sh =（其中S 为菱形ABCD 的面积，h 为四棱柱ABCD -1111A B C D 的高），…………………………………………1分所以1ABDA 的体积为111236S h V ⋅=，同理四面体111A B BC 的体积为111236S h V ⋅=……………2分又因为四边形ABCD 是菱形，所以111122AO OC AC A C ===，所以点A 到平面1A BD 的距离为点1C 到平面1A BD 距离的一半，所以四面体11A BC D 的体积是四面体1ABDA 的体积的两倍，即13V ．……4分设点A 到平面1A BD 的距离为d ，则1111233663V V V d =-==⋅………………………………5分解得3d =分（2）如图，连接1OA ，由111A B A C ⊥得1A B AC ⊥，又四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，又11,,A B BD B A B BD =⊂ 平面1A BD ，所以AC ⊥平面1A BD ，又1AO ⊂平面1A BD ，所以1A O AC ⊥，………………………………………………………………………………………………8分又11,A B A D BO BD ==，所以1A O BD ⊥，…………………………………………………………9分又,,BD AC O BD AC =⊂ 平面ABCD ，所以1A O ⊥平面ABCD ，以点O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，1OA 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，由（1）知12V =，且菱形ABCD的面积为S =，所以h ==………………………………11分依题意，1(0,0,0),((0,1,0),(O C B C -，易得平面1A BD的一个法向量为(0,0)OC =，…………………………………………………12分设平面1BC D 的一个法向量为(,,)n a b c =，又1(0,1,0),(OB OC ==- ，所以100OB n OC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00b a c =⎧⎨-=⎩，取(1,0,1)n = ，…………………………………………………13分故111cos ,2||n OC n OC n OC ⋅<>===⋅ ，……………………………………………………14分故锐二面角11A BD C --的余弦值为2.…………………………………………………………………15分【评分细则】本题第二问若考生通过利用几何法来求解二面角11A BD C --的平面角为11π4A OC ∠=，或者利用余弦定理等来直接求解二面角的余弦值，只要过程合理，最终答案正确均给满分，若过程有误或证明过程不严谨酌情扣一定的分数．18【解析】(1)易得()f x 定义域为(0,),()ln f x x a x '+∞=-，显然0a ≠.…………………………1分①当0a <时，()f x '单调递增，不可能有两零点，不合题意.…………………………………………2分②当0a >时，令函数()()g x f x '=，易得()x a g x x'-=，故(0,)x a ∈时，()0,()g x g x '<单调递减(,)x a ∈+∞时，()0,()g x g x '>单调递增，……………………………………………………………4分当e a 时，有()()(1ln )0g x g a a a =- ，不可能有两零点；当e a >时，有()0,(1)10g a g <=>，由零点存在性定理可得()g x 在区间(1,)a 必有一个零点1x ．……………………………………………6分()2(2ln )g a a a a =-，令函数()2ln a a a ϕ=-，则2()10a aϕ'=->，即()a ϕ单调递增，故()(e)a ϕϕ>=e 20->，即()20g a >，故()g x 在(,)a +∞上有零点2x ，综上(e,)a ∈+∞．…8分（2）依题意有()()120g x g x ==，即1122ln ln 0x a x x a x -=-=，故得12211221ln ln ln ln x x x x a x x x x -====-2121ln x x x x -，…………………………………………………………10分因此2121122111ln ln ln 1x x x x x x x x x x ==--，令21(1,e)x t x =∈.则1ln ln 1t x t =-，同理2ln ln 1t t x t =-，故12eln ln x x +=e ln 1t t t +-，欲证122eln ln e 1x x <+<+，即证112ln (e 1)e e t t t t t --<<+++，……12分令函数1()ln 2e t m t t t -=-+，函数1()(e 1)ln ,(1,e)e t n t t t t -=+-∈+，只需证明()0,()0m t n t >>即可，又22222(e)2(e 1)(1)e 1()0(e)(e)t t t m t t t t t '+-+-+-==>++，……………………………………………………14分故()m t 是增函数，故()(1)0m t m >=，又222222(e 1)(e)1e ()e 1(e)(e)t t n t t t t t t '⎛⎫+-+==+-- ⎪++⎝⎭，令函数22e ()e 1h t t t =+--，则22e ()10h t t '=->，故()h t 单调递增，故()(1)0h t h >=，………………16分因此21()()0(e)n t h t t '=>+，故()n t 单调递增，故()(1)0n t n >=，故122eln ln e 1x x <+<+得证.17分【评分细则】第一问若考生求完导后用参变分离的方法来求参数范围，只要最终答案正确均给分，第二问也可用其他方法来证明，逻辑正确，严谨可酌情给分．19.【解析】（1）因为{}n a 为满足“绝对值关联”的m 阶数列，假设0i a ，则11110m m m m i i i i i i i i a a a a====-=-=≠∑∑∑∑1(2)m m - ，不满足题意，同理若0i a ，则111101(2)m m m mi i i i i i i i a aa a m m ====-=-+=≠-∑∑∑∑ ，也不满足题意，………………………………4分所以12,,,m a a a 中必有一些数小于0，也必有一些数大于0，不妨设121,,,0,,,,0l k k m a a a a a a +>< （其中1l k m << ），故存在{1,2,,},{,1,,}i l j k k m ∈∈+ ，满足0i j a a <．………………6分（2）①一个满足“绝对值34关联”的4阶数列为：3333,,,4444--；（答案不唯一，符合要求即可）8分一个满足“绝对值1关联”的5阶数列为：222,,,1,1333--；（答案不唯一，符合要求即可）……10分②设(1,2,,)i a i n λ= ，且111n n i i i i a an ==-=-∑∑．不妨设1212,,,0,,,,0k k k n a a a a a a ++< ，其中1k n < ，并记11,k n i i i i k a x a y ==+==∑∑，为方便起见不妨设x y （否则用i a -代替i a 即可），于是得11,n n i i i i ax y a x y ===+=-∑∑，因为111n n i i i i a a n ==-=-∑∑，即()()1x y x y n +--=-，所以11,22n n y x --=，一方面有1()2n y n k λ-=- ，另一方面12n x k λ- .所以1()n n k k n λλλ--+= ，即1n n λ- ，当且仅当n k k -=，即2n k =时等号成立.………13分（i ）当n 为偶数时，设*2,n s s =∈N ，则有前s 项为正数，后s 项为负数的数列111,,,n n n n n n --- ，111,,,n n n n n n ------ 是“绝对值1n n -关联”的n 阶数列，又1n n λ- ，所以λ的最小值为1n n -；……………………………………………………………………14分（ii ）当n 为奇数时，设*21,n s s =+∈N ，则11(),22n n y n k x k λλ--=- 等价于21s s k λ+- 且s k λ ，即λ不小于21s s k +-与s k中的最大者．……………………………………………………15分当k s =或1s +时，两者中的最大者均为1，有1λ ，当k s <或1k s >+时，有1s k >或121s s k>+-，则有1λ>，所以取k s =或1s +时，λ可能取得最小值1，且有前s 项为正数，后1s +项为负数数列1111,1,,1,,,,111n n n n n n ------+++ 符合题意，所以λ可以取得最小值1．…………………………………………………………………………………………16分综上所述λ的最小值为()*1,21,21n n s s n n s -⎧=⎪∈⎨⎪=+⎩N .……………………………………………………17分。
河南省部分名校2024-2025学年高三上学期月考(一) 数学试题(含解析)
高三年级上学期月考（一）数学试题一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合{}213410,02A x x x B x x ⎧⎫=-+≤=<<⎨⎬⎩⎭∣，则A B ⋂=（）A.(],1∞- B.11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.(]0,1 D.()0,12.已知函数()()sin f x x ωϕ=+，则“π2ϕ=是函数()f x 为偶函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.下列命题中，真命题的是（）A.若a b <，则11a b>B.若a b >，则22a ab b >>C.若0a bc <<<，则log log c c a b<D.若22a b +=，则244a b +≥4.冰箱空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧量Q 呈指数函数型变化.当氟化物排放量维持在某种水平时，臭氧量满足关系式0.00250et Q Q -=⋅，其中0Q 是臭氧的初始量，e 是自然对数的底数，t 是时间，以年为单位.若按照关系式0.00250et Q Q -=⋅推算，经过0t 年臭氧量还保留初始量的四分之一，则0t 的值约为()ln20.693≈（）A.584年 B.574年 C.564年 D.554年5.如图为函数()()π2sin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象，则（）A.函数()f x 的周期为4πB.对任意的x ∈R ，都有()2π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭C.函数()f x 在区间[]0,5π上恰好有三个零点D.函数π4f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数6.在ABC 中，ABC 的面积为)222,4,2S S a c b AB BC =+-⋅=- ，且满足sin sin 2sin A C B +=，则该三角形的外接圆的半径R 为（）A.3B.3 D.27.ABC 与ABD 都是边长为2的正三角形，沿公共边AB 折叠成三棱锥且CD ，若点,,A B C ，D 在同一球O 的球面上，则球O 的表面积为（）A.13π9 B.208π9 C.112π3 D.52π98.已知函数()f x 及其导函数()f x '在定义域均为R 且()()2e2x F x f x +=+是偶函数，其函数图象为不间断曲线且()()()20x f x f x ⎡⎤-+>⎣⎦'，则不等式()()3ln e 3xf x f <的解集为（）A.()30,e B.()31,e C.()3e,e D.()3e ,∞+二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论中，所有正确的结论是（）A.若0,0a b c d >><<，则ac bd<B.命题[)000:1,,e 1x p x x ∞∃∈+≥+的否定是：[)1,,e 1x x x ∞∀∈+<+C.若0a b <<且0c >，则b c b a c a +>+D.若()20,,1x ax x ∞∀∈+<+，则实数(],2a ∞∈-10.已知定义在实数集R 上的函数()f x ，其导函数为()f x '，且满足()()()f x y f x f y xy +=++，()()110,12f f =='，则（）A.()f x 的图像关于点()1,0成中心对称B.()322f '=C.()202410122023f =⨯D.20241()10122024k f k '==⨯∑11.设函数()f x 的定义域为π,4f x ⎛⎫-⎪⎝⎭R 为奇函数，π4f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，当ππ,44x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时，()4cos 3f x x =，则（）A.()()4πf x f x +=B.()f x 的图象关于直线3π4x =对称C.()f x 在区间3π,2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数D.方程()lg 0f x x -=仅有4个实数解三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知正数,x y 满足2x y +=，若211m m x y +>-恒成立，则实数m 的取值范围为__________.13.(tan5tan102tan5tan10++= __________.14.已知双曲线()22221,0x y a b a b-=>的左焦点为F ，过坐标原点O 作直线与双曲线的左右两支分别交于,A B 两点，且2π4,3FB FA AFB ∠== ，则双曲线的渐近线方程为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数()πsin 4f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.（1）若()[]001,0,2π2f x x =∈，求0x 的值；（2）设()()cosg x f x x =⋅，求()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.16.（15分）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，设向量()2sin m A A A = ，()()π2πcos ,cos sin ,,,63n A A A f A m n A ⎡⎤=-=⋅∈⎢⎥⎣⎦.（1）求函数()f A 的最大值；（2）若()0,sin 2f A a B C ==+=，求ABC 的面积.17.（15分）如图，PD ⊥平面,,ABCD AD CD AB ⊥∥,CD PQ ∥,222CD AD CD DP PQ AB =====，点,,E F M 分别为,,AP CD BQ 的中点.（1）求证：EF ∥平面CPM ；（2）若N 为线段CQ 上的点，且直线DN 与平面QPM 所成的角为π6，求:QN NC 的值.18.（17分）已知函数()()()22111ln ,e 222x f x ax a x x g x x ax =-++=--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：()()2ln 1f x g x x ax +≥--.19.（17分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，右顶点Q 与C 的上，下顶点所围成的三角形面积为（1）求C 的方程.（2）不过点Q 的动直线l 与C 交于,A B 两点，直线QA 与QB 的斜率之积恒为14.（i ）证明：直线l 过定点；（ii ）求QAB 面积的最大值.高三年级上学期月考（一）数学试题一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.【答案】B【分析】根据一元二次不等式求集合A ，在根据交集运算求解.【详解】由题意可知：{}21341013A xx x x x ⎧⎫=-+≤=≤≤⎨⎬⎩⎭∣，所以11,32A B ⎡⎫⋂=⎪⎢⎣⎭.故选：B.2.【答案】A【分析】利用充分必要条件的判定方法，结合余弦函数的奇偶性即可得解.【详解】当π2ϕ=时，()()πsin cos 2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故函数()f x 为偶函数，即充分性成立；当()()sin f x x ωϕ=+为偶函数时，ππ2k ϕ=+，此时π2ϕ=不一定成立，即必要性不成立；所以“π2ϕ=是函数()f x 为偶函数”的充分不必要条件.故选：A.3.【答案】D 【分析】举反例即可判断ABC ，根据基本不等式和指数运算即可判断D.【详解】对A ，当1,1a b =-=时，则11a b<，故A 错误；对B ，当1,2a b =-=-时，则21,2a ab ==，则2a ab <，故B 错误；对C ，当01c <<时，根据对数函数单调性知log log c c a b >，故C 错误；对D ，若22a b +=，则244a b +≥==，当且仅当11,2a b ==时取等号，故D 正确.故选：D.4.【答案】D【分析】根据题意列出方程，指对数互化求解即可.【详解】由题意知，00.0025001e4t Q Q Q -=⋅=，则00.00251e 4t -=，解得()01400ln 4002ln25544t =-=--≈年.故选：D.5.【答案】C【分析】A 选项，利用函数图象求出函数解析式，利用正弦函数的周期性得到A 错误；B 选项，计算2π11π2sin 2318f ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，B 错误；C 选项，整体法得到{}2ππ,2π,3π36x +=，计算出5π11π17π,,444x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，C 正确；D 选项，计算出π22sin 43f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭为奇函数，D 错误.【详解】从图象可看出()f x 的最小正周期为3π23π2T =⨯=，。
河南省商丘开封名校联考2024-2025学年高一上学期11月期中考试 数学(含答案)
2024～2025学年度高一上学期期中联考试卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章～第三章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（）A. B. C.D. 3. 已知幂函数的图象经过点，则＝（）A.B. 9C.D.4. 设、，“且”是“”的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5. 如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定是偶函数的是A. B. C. D.6. 若，，则的取值范围是（）{}1A x x =≤-{}2,1,0,1,2B =--()A B =RIð{}0,1,2{}1,0,1,2-{}2,1--{}1,2y =[]1,0-[)1,0-(][),10,-∞-⋃+∞(]()10,-∞-+∞ ,()y f x =(4,2)(3)f 32x y ∈R 6x =6y =12x y +=()f x R ()y x f x =+()y x f x =⋅2()y x f x =+2()y x f x =⋅324a b -≤+≤12a b -≤-≤5a b +A. B. C. D. 7. 已知的解析式为（）A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数f （x ）满足对，，都有，若，则不等式的解集为（）A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列各组函数中表示同一个函数是（）A.B. ，C， D. ，10. 已知关于的不等式的解集为或x >2}，则下列说法正确的是（）A B. C. 关于的不等式的解集为或D. 若，则关于的不等式的解集为或x >2}11. 已知，，且，则下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.的{}512511a b a b +-≤+≤395|5123a b a b ⎧⎫+-≤+≤⎨⎬⎩⎭255583a b a b ⎧⎫+-≤+≤⎨⎬⎩⎭{}5955a b a b +-≤+≤)1fx -=-()f x 2()1f x x =-2()1(1)f x x x =+≥-2()1(1)f x x x =-≥-2()1f x x =+[0,)+∞12,[0,)x x ∀∈+∞12x x ≠2121()()2f x f x x x ->-(1)2024f =(2024)2(1013)f x x ->-(2023,)+∞(2024,)+∞(2025,)+∞(1012,)+∞()f x =()g x =()1f x x =-()1g x =()2x f x x=()g x x=()1f x x =-()g x =x 20ax bx c ++>{3x x <-0a >93a c b+>x 20cx bx a -+<12x x ⎧<-⎨⎩13x ⎫>⎬⎭a b ca b c ''='=x 20a x b x c ''+'+>{3x x <-0m >0n >221m n mn +=+222m n +≥112m n+≥m ≤332m n +≤12. 命题“，”的否定是_____________13. 已知满足，且，则______.14. 若函数在区间上的最大值为M ，最小值为m ，则__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知集合（1）若，请写出集合所有子集；（2）若集合，且，求的取值范围.16. 已知.（1）若成立，求实数的取值范围，（2）若和中至多有一个成立，求实数的取值范围.17. 已知函数．（1）简述图象可由的图象经过怎样平移得到；（2）证明：的图象是中心对称图形，并计算的值．18. 某公司由于业务的快速发展，计划在其仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间高为4米，底面积为108平方米，且背面靠墙的长方体形状的贵重物品存储室.由于此贵重物品存储室的后背靠墙，无需建造费用，某工程队给出的报价如下：存储室前面新建墙体的报价为每平方米1500元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米1000元，屋顶和地面以及其他报价共计36000元，设存储室的左、右两面墙的长度均为米，该工程队的总报价为元（1）请用表示；（2）求该工程队的总报价的最小值，并求出此时的值.19. 若函数在区间上的值域恰为，则称区间为的一个“倒域区间”.已知定义在上的奇函数，当时，.（1）求的解析式；的2x ∀>340x x ->()f x ()()()2f x y f x f y +=++()22f =()3f =()()22211x f x x +=+[]2024,2024-M m +={}240A x x x a =+-=5a =A {}220B x x x =+=A B ⊆a {}22:11,0,:,2340∀∈-≤≤+-≤∃∈+++≤∣p x xx x x k q x x kx k R p ⌝k p q k ()1xf x x=+()f x 1()g x x=-()f x ()()()()()()202520242020222023f f f f f f -+-++-++++ x ()618x ……y x y x ()f x [],a b 11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[],a b ()f x []22-,()g x []0,2x ∈()22g x x x =-+()g x（2）若关于的方程在上恰有两个不相等的根，求的取值范围；（3）求函数在定义域内的所有“倒域区间”.x ()g x mx m =--()0,2m ()g x2024～2025学年度高一上学期期中联考试卷数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 【答案】A2. 【答案】D3. 【答案】D4. 【答案】A5. 【答案】B6. 【答案】A7. 【答案】C8. 【答案】C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】BD 10. 【答案】AC 11.【答案】BCD12.【答案】，13.2x ∃>340x x -≤【答案】414.【答案】4四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【答案】（1）、、、（2）16. 【解析】【分析】（1）根据题意可得，根据存在性问题分析求解；（2）取反面：当和均成立时，求参数的取值范围，进而可得结果.【小问1详解】若成立，因为时，，可得，所以实数的取值范围为.【小问2详解】和中至多有一个成立，考虑其反面：和均成立，若成立，因为时，，可得；若成立时，，解得或；若均成立时，可得，所以至多有一个成立时，则.综上上述：实数的取值范围为.17.【解析】【分析】（1）变形函数，再利用平移变换求出变换过程.（2）利用中心对称的定义计算推理得证；再利用对称性求出函数值及和.∅{}5-{}1{}5,1-{}4a a ≤-{}2:11,⌝∃∈-≤≤+>∣p x xx x x k p q {}2:11,⌝∃∈-≤≤+>∣p x xx x x k {}11x xx ∈-≤≤∣2124⎧⎫+∈-≤≤⎨⎬⎩⎭∣x x x x 2k <k {|2}k k <p q p q {}2:11,∀∈-≤≤+≤∣p x xx x x k {}11x xx ∈-≤≤∣2124⎧⎫+∈-≤≤⎨⎬⎩⎭∣x x x x 2k ≥q ()2Δ44340k k =-+≥1k ≤-4k ≥p q ､4k ≥p q ､4k <k {|4}k k <()f x【小问1详解】由于，所以的图象可由的图象先向左平移一个长度单位，再向上平移一个长度单位得到．【小问2详解】因为，所以的图象关于中心对称；则，，…，，所以．18. 【解析】【分析】（1）求出前面墙的长度，再根据题意可得出关于的表达式；（2）利用基本不等式可求出的最小值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出结论.【小问1详解】前面墙的长度为米，总报价，其中.【小问2详解】，当且仅当，即时等号成立，所以总报价的最小值为180000元，并求出此时的值为9米.19. 【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质，取相反数，利用已知的函数解析式，整理可得答案；（2）整理方程，构造函数，结合二次函数的性质，可得答案；（3）根据题目中的新定义，利用分类讨论，结合函数的单调性，建立方程，可得答案.【小问1详解】当时，则，11111()11x x f x x xx +-===-++++()f x 1()g x x=-22211)(2)11((2)x x x x f x x x f x x x--++=++--=+=+--++()f x (1,1)-()()202320252f f +-=()()202220242f f +-=()()022f f +-=(2025)(2024)(2)(0)(2022)(2023)220244048f f f f f f -+-++-++++=⨯= x 108x1086480001000241500436000800036000y x x x x=⨯⨯+⨯⨯+=++618x ≤≤64800081800036000800036000800036000180000y x x x x ⎛⎫=++=++≥⨯+= ⎪⎝⎭81x x=9x =x [)2,0x ∈-(]0,2x -∈由奇函数的定义可得，所以.小问2详解】方程即，设，由题意知，解得.【小问3详解】因为在区间上的值域恰为，其中且，所以，则，所以或.①当时，因为函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，，则，所以，所以，则，解得，所以在内的“倒域区间”为；②当时，在上单调递减，在上单调递增，故当时，，所以，所以，所以，【()()()22()22g x g x x x x x ⎡⎤=--=---+-=+⎣⎦()222,02,2,20.x x x g x x x x ⎧-+≤≤=⎨+-≤<⎩()g x mx m =--()220x m x m -+-=()()22,02h x x m x m x =-+-<<()()200230Δ(2)402022h m h m m m m ⎧=->⎪=->⎪⎪⎨=++>⎪+⎪<<⎪⎩40m -<<()g x [],a b 11,b a⎡⎤⎢⎥⎣⎦a b ≠0,0a b ≠≠11a bb a<⎧⎪⎨<⎪⎩0a b ab <⎧⎨>⎩02a b <<≤20a b -≤<<02a b <<≤()g x []0,1[]1,2[]0,2x ∈()max ()11g x g ==11a≤12a ≤<12a b ≤<≤()()22121212g b b b bg a a a a a b ⎧=-+=⎪⎪⎪=-+=⎨⎪≤<≤⎪⎪⎩1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩()g x []1,2⎡⎢⎣20a b -≤<<()g x []2,1--[]1,0-[]2,0x ∈-()min ()11g x g =-=-11b≥-21b -<≤-21a b -≤<≤-则，解得，所以在内的“倒域区间”为.综上所述，函数在定义域内的“倒域区间”为和.()()22121221g a a a ag b b b b a b ⎧=+=⎪⎪⎪=+=⎨⎪-≤<≤-⎪⎪⎩1a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩()g x []2,1--1⎤-⎥⎦()gx ⎡⎢⎣1⎤-⎥⎦。
河南省部分名校2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷
河南省部分名校2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷一、单选题1．已知命题():,ln 210xp x ∀∈+>R ，命题:1q x ∃>，sin20253x =，则（ ）A ．p 和q 都是真命题B ．p ⌝和q 都是真命题C ．p 和q ⌝都是真命题D ．p ⌝和q ⌝都是真命题2．已知全集U =R ，集合{}50,2x A x B x x x ⎧⎫-=<=>⎨⎬⎩⎭，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}25x x <<B ．{}25x x ≤<C ．{}02x x <<D ．{}02x x <≤3．已知点(),27a 在幂函数()()()2,mf x a x a m =-∈R 的图象上，则a m +=（ ）A ．4B ．5C ．6D ．74．已知1012y x <<<<，则下列结论一定正确的是（ ） A ．122x y <+< B ．11y yx x+>+C >D ．104xy <<5．已知函数()3124e ,1,32,1x x x f x x ax a x -⎧+<=⎨++≥⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A ．2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．4,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．24,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．24,35⎡⎫-⎪⎢⎣⎭6．对数螺线在自然界中广泛存在，比如鹦鹉螺的外壳就是精度很高的对数螺线，向日葵种子的排列方式、松子在松果上的排列方式都和对数螺线高度吻合.已知某种对数螺线的解析式可以用2πe x xρα=表示，其中[)0,0,x α>∈+∞，则（ ）A ．0.055πln1.5e sin 24ρρρ>>B ．0.05ln1.55πe sin 24ρρρ>>C ．0.055πln1.5e sin 24ρρρ>>D ．0.05ln1.55πe sin 24ρρρ>>7．“102a ≤<”是“函数()()23log f x ax x a =++的值域为R ”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知函数()f x 及其导函数f ′ x 的定义域均为R ，若()()()2,f x f x x f x =-+的图象关于直线1x =对称，且()20f =，则201(20)()i f f i ='-=∑（ ）A ．10B ．20C ．10-D ．20-二、多选题9．已知集合{}22350A x x x =∈--<N ，则下列说法正确的是（ ）A ．0A ∈B ．1A -∉C ．集合A 有15个真子集D ．{}0,1,2A ⊆10．已知函数()11ln f x x=+，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的图象无对称中心 B ．()12f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C ．()f x 的图象与()()11ln g x x =---的图象关于原点对称D ．()f x 的图象与()1e x h x -=的图象关于直线y x =对称11．记函数()1e xf x x=-的零点为0x ，则下列说法正确的是（ ）A ．00ln 0x x -=B ．013,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．当32x >时，()1f x x >+ D ．0x 为函数()1e ln 1xx x g x x +=+的极值点三、填空题 12．函数()()3log 32x f x x +=+的定义域为.13．已知0a b >>，则222a b ab b +-的最小值为.14．若函数()sin f x x ax =+的图象上存在,A B 两点使得()f x 在A 处的切线与在B 处的切线的夹角为π4，则实数a 的取值范围是.四、解答题15．根据指数函数的相关性质解决下面两个问题： (1)已知2332abab⋅>⋅，证明：1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)若关于x 的方程24x x t +=有两个不相等的实数根，求实数t 的取值范围. 16．已知正数,a b 满足2(3)102a b ab +-=. (1)求3a b +的取值范围； (2)证明：2296a b +≥.17．已知函数()e sin 1xf x x =--.(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)当π,4x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭时，比较()f x 与0的大小关系，并说明理由.18．一天中，区域的居民活动类型（工作、学习和休闲）越丰富，活动地点总数越多，区域之间人口流动越频繁，其活力越高.Q 市基于大数据测算城市活力，发现该市一工作日中活力度()M t 与一日中时间t 的关系可以用函数()()()()126,06,56,612,12e ,1224n t M t M t mt m t M t --⎧<<⎪=+-≤≤⎨⎪⋅<≤⎩来刻画，其中(]()()0,24,624t M M ∈=，正午12点时，该市的活力度为20，是该工作日内活力度的最高值.(1)求实数,m n 的值；(2)求Q 市该工作日内活力度不大于10的时长；(3)证明：Q 市该工作日内活力度升高时所对应瞬时变化率的绝对值恒大于活力度降低时所对应瞬时变化率的绝对值（附：ln20.69≈）.19．有一种美，叫做对称美，数学中的“对称”体现了数学美，对称性是数学美的最重要的特征.若函数()f x 的图象在其定义域内连续，0x 在()f x 的定义域内且函数()f x 的图象上存在关于直线0x x =对称的两点，则称直线0x x =为函数()f x 图象的一条“准对称轴”.(1)已知二次函数()()20,,f x ax bx c a b c =++≠∈R ，直线0x x =为函数()f x 图象的“准对称轴”，请直接写出0x 的取值；(2)已知三次函数()3(0)g x x mx m =->，证明：当且仅当0x <0x x =为函数()g x 图象的一条“准对称轴”；(3)已知x '为函数()e 2xh x x =-的极值点，判断直线x x '=是否是函数()h x 图象的一条“准对称轴”，并说明理由.。
河南省南阳市2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题及答案
2023年秋期高中三年级期中质量评估数学试题注意事项：1本试卷分第1卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效。
2答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上3选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚4请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．5保持卷面清洁，不折叠、不破损。
第1卷选择题（共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）］．下列集合中，表示空集的是A.{O}c.{xeN忙－1=0}2命题“3x。
ER'点＋X。
＋1,,0"的否定为A.\::/xER, x2+x+l>OC. V xE R, x2 +x+l,, 03．若复数z满足(l+z)i=2,则亡z= A.-2 B.2 B.{xlx<-2，主＞2}o.{xlx>4}B.3.x ER, x2+x+1>0 D．玉ER,x2+x+l<0C.-4iD.4i4公比不为1的等比数列{a,,｝满足a5a7+a凸＝16,若a2a3a9a,,,= 64,则m的值为A.8B.9C.10D.115若函数f(x)=4x-(a-1)2飞a2-5有两个零点，则实数a．的取值范围为A.(-1门B.(-1，.Js) 叶石，订 D (1+2气］6已知GE [0，王］（． ）Sina' y=c''' =s i n °0'"4 , x =(sinaY'"", y =(c o sa)""", z = (si n a)，则A.x<y<zB.x<z < yC.y<x<zD.z <x< y7已知a,b, c分别为6.ABC的三个内角A,B, C的对边，若点P在6.ABC的内部，且满足乙PAB ＝乙PBC ＝乙PCA=0,则称P 为6.ABC 的布洛卡(Brocard)点，0称为布洛卡角布洛卡角满足：PA PB PCcot0 = c otA + cotB + c ote（注：tanxcotx=1)则—+—-＋—-＝c a bA.2sin0B. 2cos0C.2tan0D.2cot08已知f(x) = a e x +�x 2 -ax 在(0,+oo ）上单调递减，则实数a．的取值范围为A.(--00,－1]B. (--00,-1)c.(O,+oo）D.[0,+oo）二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9如图是函数f(x) = sin (mx + rp ）的部分图象，则函数f(x )=yxA.si n(x +f )C.c os（三）B.sin（气－2x )D.c os（子－2x )10已知S,，是数列忆｝的前n项和，3S,，＝a,，＋2，则A.{a,,}是等比数列B.a 9+a.i o>OC.a 孔o a.11> 0D.S,, >01l 设x,yeR,若4x2+ y 2 +xy=l,则x+y 的值可能为A.-2B.-1C.ID.212设a;,r:O,若x=a 为函数f(x)= a (x-a/ (x-b)的极小值点，则下列关系可能成立的是A.a>O 且a>bC.a<O 且a<bB.a>O 且a<bD.a<O 且a>b第II 卷非选择题（共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13一个正实数的小数部分的2倍，整数部分和自身成等差数列，则这个正实数是＿＿＿14．四边形ABCD 中，AD=2,CD=3, BD 是四边形ABCD 的外接圆的直径，则AC-BD=15奇函数f(x)满足f(2+x)= J(l-x), /(-1)= 2023,则/(2023)=16互不相等且均不为1的正数a,b, c满足b是a,C的等比中项，则函数f(x) =a x +2b-·'+e x的最小值为四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17（本小题满分10分）设数列伈｝为等差数列其前n项和为S,,(neN.），数列｛丸｝为等比数列已知a1=b1=1,a5 = 3b2, S4 = 4S2(I)求数列忆｝和｛丸｝的通项公式；(2)求数列{a,,·b,,}的前n项和T”18（本小题满分12分）已知函数f(x)＝五sin皿coswx-sin汤x+½,其中w>O,若买数X1,X2满足V估）－f伈）1=2时，|凸一对的最小值为一(I)求0的值及．f'(x)的单调递减区间；(2)若不等式[f(x)J +2acos(2x＋勹－2a-2<0对任意XE(－工工12 6 ' )时恒成立，求实数a的取值范围．19（本小题满分12分）2S记S,，为数列伈｝的前n项和已知—�+n=2a,,+l(I)证明：忆｝是等差数列；(2)若QI'生，a7成等比数列，求数列{d,1:／1+1}的前2024项的和20（本小题满分12分）在L::;.ABC中，角A,B, C的对边分别为a,b, c,且满足＿＿＿（从以下两个条件中任选一个补充在上面横线上作为已知，将其序号写在答题卡的横线上并作答）条件CD,(b+c)(sinB+sinC) =a sinA+3bsinC条件＠：cos2（于小cosA=¾（l)求角A;(2)若L::;.ABC为锐角三角形，c=l.求L::;.ABC面积的取值范围21（本小题满分12分）已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a, aeR,曲线y=f(x)在卢、(xEf(x l))处的切线也是曲线y=g(x)的切线(I)若x l=1，求a;(2)求a的取值范围22（本小题满分12分）(I)已知函数f(x)=x l nx,判断函数g(x)= f(l+x)+ f(l-x)的单调性并证明．I.Il+－ l--(2)设n为大于1的整数，证明：（n＋1) "(n-l) n >n22023年秋期高中三年级期中质量评估一选择题：1-8.BADC CDBA二选择题：9.BC三填空题：4 8 13.－或－3 3 四解答题：JO.ABO14.-5数学参考答案II.BCl5.－2O2317解：（l）设等差数列忆｝的公差为d,等比数列｛丸｝的公比为q,由S4= 4S2可得4a,+6d = 4(2a1 +d),即6d+4=4(d+2)，解得d=2,所以，a,,=a1 +(n-l)d =1+2(n-1) =2n-l.3b2 = 3q = a5= 9, :. q = 3则b,.=b1q"一I=3•-I;(2)a;,b,,=(2n-1)· 3"-1,则T,,= 1-3° +3·31 +5-32 +···+(2n-1)·3"一1@，12.AC 16.4可得3兀＝1·31+3·32 +.. ·+(2n -3)·3n 一I +(2n-1)·3'危），6 l -3'1一l@－＠得：－2T,, = l + 2(31 + 32 +.. · + 3"一I)-(2n -1) · 3" = 1 + （）II1-3= (2-2n ) · 3" -2,因此，T,,=(n -1)·3" +ll8解：（l ）f(）✓3s i n(J)XCO S (J)X -s i n 2 1x l =.J 3s in(J)X C O S (J)x in (J)x +－2 石l -cos2(J)X.l =—sin2{JJX-＋－22 2石l =—sin2(J)x+-=-cos2(J)X2 2 =S i 中三）因为实数斗，X 2满足V 伈）－f 伈）1=2时，怀－对的最小值为：2冗所以f(x)的最小正周期T ＝冗＝—,解得cv=l,2Q-2n -l · 3',（）所以/(x)=sin （三）由2k 冗十%::,2x+¾::,2k 冗子(k eZ)得f (x)的单调递减区间为[k冗2冗冗＋一，k 冗＋—］(k e Z 6.3） (2)不等式[f(x)J +2acos(2气）－2a-2<0对任意XE(－启）时恒成立，[.f (x )J +2a cos （三）－2a -2= s in 2（三）＋2acos （三）－2a -2= -cos 2（三）＋2acos （三）－2a-l令I =CO S （三）气E (o :）c os （三）e (O,l )一t 2+2a t-2a -1<0,tE{0,1) t 2 + 12a(t -l)矿＋L 2a>—恒成立t -1t 2 +l m江2m+2 2令m=t -l E(-1,0)，一—=＝m+-=+2<-1 t -1m m:. 2a... -L 解得：a2':一一，12l故实数a 的取值范围是[-½,+oo)2S19解：（l)因为—'.!!..+n=2a 11+l,即2S,,+ n 2 = 2na11 + n(D,n当n2':2时，2S,,一1+(n-1/ =2(n-l)a,,一I +(n-1)@,＠－＠得，2S 11+1产2S 11一）－（n-1/ = 2na 11 + n-2(n-l)a,,一）－（n-1),即2a ,,+2n-l =2na 11 -2(n-l)a,'一i +L即2(n-l)a ,,-2(n-l)a ,,一）＝2(n-l)，所以a 11-a n -I = 1,,i 2': 2且n E N •,所以{a,,｝是以1为公差的等经数列(2)由（I)可得a 3=c� +2, � =a 1+6又a 1,a 3, a 1成等比数列，所以(a 1+2/ =a 1 ·(a 1 +6),解得a 1=2,所以a.=n +l1 1 1 1 ... -= � =—-．a ,,a ,,+1 (n+l)(n+2) n +l n+2 :．数列{a ,1:／1+1}的前2024项和为·且－i）＋（主计（曰）＋＋（幸声）千幸倡20解：解析：（l)选择条件＠：由题意及正弦定理知(b+c)=a 2+3bc,b 2 +c 2＿矿l:. a 2=b 2+c 2-bc, :. cosA =�=..'.:..·:O<A<冗，．·.A=色．32bc 2选择条件＠：因为cos2(f+ A )+cosA = ¾，所以sin 2A +cosA = ¾,5 45 1即l-cos 2A +co sA=－，解得cos A ＝一，又O<A ＜冗，42冗所以A=－3(2)由 b C—=—可得s i nB sinCb=气sm[！C+C )石l一cos C +�s i nC 1石）2 2 = --=-----= -＋—· sinC 2 2 tanC冗2因为t0:.ABC 是锐角三角形，由（l )知A =.:.:.,A+B+C ＝冗得到B+C ＝一冗，3 3O<C<.:.:..冗故｛卢－C 2＜工，解得产<C ＜亨所以½<b<232I,..✓3石"3Sil.ABC= ½bcs i n A＝了b 'Sil.ABC E(／＇了）21解：（I)巾题意知，f(l )=O,f'(x)=3x 2一l,f'（l )＝3-l =2,则y =f(x)在点(l,0)处的切线方程为y =2(x -l),y=2x-2设该切线与g(x)切千点化，g （凸）），g'(x)=2x,则g ＇（凸）＝2-Xz =2,解得x 2=1,则g(l )=l+a=2-2=0,解得a=-1;(2)因为f'(x)=3x 2-L 则y=f(x)在点(x I ,f （凸））处的切线方程为y-（式－x 1)= (3x� -l )(x-x,),整理得y =(3x 12－小－勾，设该切线与g (x)切千点化，g （凸）），g'(x)=2x,则g ＇（凸）＝勾～则切线方程为y-（斗＋a)=2凸(x 飞），整理得y =2x 2x －式＋a,则厂：：：：飞X+a，整理行a ＝x 户-2x f=（孚－订－2x f=：亡2x f －扫叶93 2,l令h(x)= �x 4-2x 3-�x +－，则h'(x)=9i 3-6x 2-3x = 3x(3x+l)(x -l ),4 2 4令h'(x)>0，解得－一<x<O 或x>1,3令h'(x)<0，解得x<-－或O<x<L3则x 变化时，h'(x),h(x)的变化悄况如下表：(－OO六）lX h'(x) 。
河南省商丘开封名校联考2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题
A． m2 + n2 ³ 2
B．
1 m
+
1 n
³
2
C．
m
£
23 3
D． m3 + n3 £ 2
三、填空题 12．命题“ "x > 2 ， x3 - 4x > 0 ”的否定是
13．已知 f ( x) 满足 f ( x + y) = f ( x) + f ( y) + 2 ，且 f (2) = 2 ，则 f (3) = .
【详解】因为 a + 5b = 2 (2a + b) - 3(a - b) ，又 -3 £ 2a + b £ 4 ， -1 £ a - b £ 2 ， 所以 -6 £ 2(2a + b) £ 8 ， -6 £ -3(a - b) £ 3 ，所以 -12 £ 2(2a + b) - 3(a - b) £ 11 ，即 a + 5b
为
f
(
x)
的一个“倒域
区间”.已知定义在[-2,2] 上的奇函数 g ( x) ，当 x Î[0, 2] 时， g ( x) = -x2 + 2x . (1)求 g ( x) 的解析式；
试卷第41 页，共33 页
(2)若关于 x 的方程 g ( x) = -mx - m 在 (0, 2) 上恰有两个不相等的根，求 m 的取值范围； (3)求函数 g ( x) 在定义域内的所有“倒域区间”.
f (-x) = - f ( x) ，设 g ( x) = xf ( x) ，则 g (-x) = (-x) f (-x) = xf ( x) = g ( x) ，所以函数
g ( x) 为偶函数，故选 B．
河南省部分名校阶段性测试2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题
河南省部分名校阶段性测试2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{}{}22,1,0,1,2,3,4,5A x x B =-<≤=-，则A B = （）A ．{}1,0-B ．{}1,0,1,2-C ．{}1,0,1-D ．{}2,3,4,52．已知复数0z ≠，若|3||3i |z z -=-，则z 的实部与虚部的比值为（）A ．3B ．2C ．1D ．123．已知{}n a 是正项等比数列，若2436,,a a a 成等差数列，则{}n a 的公比为（）A ．13B ．12C ．2D ．34．函数2,2lg (),lg ,2lg x x xxf x x x---⎧≤=⎨>⎩在区间(0,)+∞上（）A ．单调递增B ．单调递减C ．先减后增D ．先增后减5．放射性物质的衰变规律为：012t TM M ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，其中0M 指初始质量，t 为衰变时间，T 为半衰期，M 为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为12,T T （单位：天），若两种物质的初始质量相同，1024天后发现甲的质量是乙的质量的8倍，则2111T T -=（）A ．31024B ．1512C ．11024D ．35126．若函数2e ()1xf x x bx =++在2x =时取得极小值，则()f x 的极大值为（）A ．1eB ．1C ．3e 8D ．e7．若函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上有唯一极值点，则ω的取值范围是（）A ．(0,2]B ．(1,2]C ．72,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．71,2⎛⎤ ⎥⎝⎦8．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知22228a b c --=，点O 在ABC V 所在的平面内，满足1110OA OB OC a c b++= ，且1cos 3OAC ∠=，则a （）A ．有最大值10B ．有最小值10C ．有最大值8D ．有最小值8二、多选题9．已知函数()()π2sin ,2sin 232x x f x g x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 与()g x 有相同的最小正周期B ．()f x 与()g x 有相同的最大值C ．()f x 与()g x 的图象有相同的对称轴D ．将()f x 的图象绕点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭旋转180︒可得到()g x 的图象10．如图，ABC V 是边长为1的等边三角形，13BD BC =，点P 在以CD 为直径的半圆上（含端点），设AP xAB yAC =+，则（）A ．y 的值不可能大于1B ．1233AD AC AB=+ C ．AP AB ⋅ 的最小值为13D ．AP AB ⋅的最大值为111．已知数列{}n a 满足1,042ππn a a =<<，且()()11(21)sin sin ,n n n n n a a a a +++-=+则（）A ．2sin 5a =B ．1tan 2n n a -=C ．当2n ≥时，1n a >D ．2πn a <-三、填空题12．若[0,1]x ∃∈，使得230x x a +-≤，则实数a 的取值范围为.13．如图是利用尺规作图得到的一个“九芒星”图形，若九芒星的顶点将圆九等分，设相邻两个顶点之间的劣弧对应的圆心角为α，则cos cos 2cos 4ααα=.14．已知函数3()1f x x x =++，若关于x 的不等式(1)(ln )2f ax f x x -+->的解集中有且仅有2个整数，则实数a 的最大值为.四、解答题15．已知数列{}12n n a a +-是以3为首项，2为公比的等比数列，且11a =.(1)证明：2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S .16．在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且11tan tan B C +=(1)求B ；(2)若ABC V 的外接圆半径为R ，周长为R ，且a b >，求A .17．已知函数()2()2sin cos ().f x x x x a x a a =++-∈R(1)求()f x 的图象在点(0,(0))f 处的切线方程；(2)若()f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，求a 的取值范围.18．已知函数()e 2()x f x ax a =--∈R .(1)当2a =时，求()f x 的零点个数；(2)设2a ≥，函数2e ()()e 12xx g x f x a =-+-.（i ）判断()g x 的单调性；（ii ）若()()()g m g n m n ''=<，求()()g m g n +的最小值.19．设有穷数列{}n b 的项数为m ，若1i m i b b a +-=（a 为常数，且0,1,2,3,,a i m ≠= ），则称该数列为等积数列，a 叫做该数列的公共积.(1)若231,,,2,4b b 是公共积为a 的等积数列，求该数列的公共积a 及23,b b ；(2)若{}n b 是公共积为a 的等积数列，且212k k b b c -=（*k ∈N 且,2mk c 为常数），证明：当()*42m r r =+∈N 时，对任意给定的,a c ，数列{}n b 中一定存在相等的两项；(3)若{}n b 是公共积为1的等积数列，且10(1,2,3,,1),i i b b i m m +<<=- 是奇数，对任意的1,,,,2i j m b b i j m ⎛⎫+⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭都存在正整数[]1,u m ∈，使得j i u b b b =，求证：{}n b 是等比数列.。
河南省部分学校2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题
河南省部分学校2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题一、单选题1．函数tan y x =的值域可以表示为（）A ．{tan }xy x =∣B ．{tan }yy x =∣C ．{(,)tan }x y y x =∣D ．{tan }y x =2．若“sin 2θ=”是“tan 1θ=”的充分条件，则θ是（）A ．第四象限角B ．第三象限角C ．第二象限角D ．第一象限角3．下列命题正确的是（）A ．x ∃∈R ，20x <B ．(0,4)x ∀∈，20log 2x <<C ．(0,)x ∃∈+∞，132x x <D ．π0,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，4sin cos x x =4．函数24()f x x x =-的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．5．已知向量1e ，2e 满足121e e == ，120e e ⋅= ，则向量1e 与12e e - 的夹角为（）A ．45︒B ．60︒C ．120︒D ．135︒6．已知5πtan210α+=，则4π5tan 5α-=（）A ．125B ．125-C ．43D ．43-7．已知0a >，0b >，9a b +=，则36a ba+的最小值为（）A ．8B ．9C ．12D ．168．若0x ∀>，()()()21ln 10x ax ax ---≥，则a =（）AB C D 二、多选题9．已知函数sin()()2x f x -=，则（）A ．()f x 的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．()f x 为奇函数C ．()f x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．()f x 的最小正周期为2π10．国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费(0)x x >元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（）A ．当0200x <<时，应进甲商场购物B ．当200300x ≤<时，应进乙商场购物C ．当400500x ≤<时，应进乙商场购物D ．当500x >时，应进甲商场购物11．已知函数()f x 满足：①x ∀，R y ∈，()[()]y f xy f x =；②(2)1f ->，则（）A ．(0)0f =B ．()()()f x y f x f y +=⋅C ．()f x 在R 上是减函数D ．[1,3]x ∀∈，()2(3)1f x kx f x -⋅-≥，则3k ≥三、填空题12．已知函数()1ln(2)f x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程为．13．已知函数()cos (0)f x x ωω=>，若π2f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，且()f x 在区间(0,π)内仅有两个零点，则ω的值是．14．若ABC V 内一点P 满足PAB PBC PCA α∠=∠=∠=，则称P 为ABC V 的布洛卡点，α为布洛卡角．三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现，1875年被法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．如图，在ABC V 中，AB AC =，3cos 5BAC ∠=，若P 为ABC V 的布洛卡点，且2PA =，则BC 的长为．四、解答题15．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且π2sin 6a C b c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭．(1)求A ；(2)若O 为ABC V 的外心，D 为边BC 的中点，且1OD =，求ABC V 周长的最大值．16．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan tan tan tan 1B C B C ++=，1b =，c =(1)求a ；(2)如图，D 是ABC V 外一点（D 与A 在直线BC 的两侧），且AC CD ⊥，45CBD ∠= ，求四边形ABDC 的面积．17．已知平面向量(,)m a b = ，(sin ,cos )n x x ωω=，且2m n = ，其中0a >，0ω>．设点(0,1)和11π(,0)12在函数()f x m n =⋅ 的图象（()f x 的部分图象如图所示）上．(1)求a ，b ，ω的值；(2)若()G x y ,是()y f x =图象上的一点，则1(2,)2K x y 是函数()y g x =图象上的相应的点，求()g x 在[0,π]上的单调递减区间．18．已知函数()2()e xf x x mx n =++，m ，n ∈R ．(1)当24m n =时，求()f x 的最小值；(2)当2m =-时，讨论()f x 的单调性；(3)当0m n ==时，证明：0x ∀>，()ln 1f x x >+．19．已知非零向量(,)a m n =，(,)b p q = ，a ，b 均用有向线段表示，现定义一个新的向量c以及向量间的一种运算“※”：(,)c a b mp nq mq np ==-+※．(1)证明：c 是这样一个向量：其模是a 的模的 b 倍，方向为将a绕起点逆时针方向旋转β角（β为x 轴正方向沿逆时针方向旋转到b所成的角，且02πβ≤<），并举一个具体的例子说明之；(2)如图1，分别以ABC V 的边AB ，AC 为一边向ABC V 外作ABD △和ACE △，使π2BAD CAE ∠=∠=，(01)AD AEAB AC λλ==<<．设线段DE 的中点为G ，证明：AG BC ⊥；(3)如图2，设(3,0)A -，圆22:4O x y +=，B 是圆O 上一动点，以AB 为边作等边ABC V （A ，B ，C 三点按逆时针排列），求||OC 的最大值．。
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2018-2018学年河南省百校联盟高三（上）11月月考数学试卷（乙卷）一、选择题.本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=z，A={x|x2﹣x﹣2＜0，x∈Z}，B={﹣1，0，1，2}，则图中阴影部分所表示的集合等于（）A．{﹣1，2}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{1，2}2．复数z满足，则z对应的点位于复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知f（x）满足对∀x∈R，f（﹣x）+f（x）=0，且x≥0时，f（x）=e x+m（m 为常数），则f（﹣ln5）的值为（）A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣64．如图，在空间四边形ABCD（A，B，C，D不共面）中，一个平面与边AB，BC，CD，DA分别交于E，F，G，H（不含端点），则下列结论错误的是（）A．若AE：BE=CF：BF，则AC∥平面EFGHB．若E，F，G，H分别为各边中点，则四边形EFGH为平行四边形C．若E，F，G，H分别为各边中点且AC=BD，则四边形EFGH为矩形D．若E，F，G，H分别为各边中点且AC⊥BD，则四边形EFGH为矩形5．等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1=﹣9， =2，则S 10=（ ）A ．0B ．﹣9C ．10D ．﹣106．设a ，b ∈R ，则“（a ﹣b ）a 2≥0”是“a ≥b”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．如图是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的表面积是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知实数x ，y 满足，记z=mx +y ，若z 的最大值为f （m ），则当m∈[2，4]时，f （m ）最大值和最小值之和为（ ） A ．4B ．10C ．13D ．149．在边长为1的正△ABC 中，D ，E 是边BC 的两个三等分点（D 靠近于点B ），则等于（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0）的图象关于直线对称且，如果存在实数x 0，使得对任意的x 都有，则ω的最小值是（ ） A ．4B ．6C ．8D ．1211．已知边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，现沿对角线BD 折起，使得AC=3，此时点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．20π B ．24π C ．28π D ．32π12．已知方程|lnx |=kx +1在（0，e 3）上有三个不等实根，则实数k 的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．命题“∃x0∈R，asinx0+cosx0≥2”为假命题，则实数a的取值范围是．14．已知，则=．15．已知正实数a，b满足a+b=4，则的最小值为．16．已知函数f（x）=﹣f'（0）e x+2x，点P为曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线l上的一点，点Q在曲线y=e x上，则|PQ|的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且对任意正整数n，都有a n=+2成立．（1）记b n=log2a n，求数列{b n}的通项公式；（2）设c n=，求数列{c n}的前n项和T n．18．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且=1．（1）求角A；（2）若a=4，求b+c的取值范围．19．在如图所示的三棱锥ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是BC，A1B1的中点．（1）求证：DE∥平面ACC1A1；（2）若△ABC为正三角形，且AB=AA1，M为AB上的一点，，求直线DE与直线A1M所成角的正切值．20．已知函数f（x）=e x﹣ax，a＞0．（1）记f（x）的极小值为g（a），求g（a）的最大值；（2）若对任意实数x恒有f（x）≥0，求f（a）的取值范围．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABC为正三角形，AB⊥AD，AC⊥CD，PA=AC，PA⊥平面ABCD．（1）若E为棱PC的中点，求证PD⊥平面ABE；（2）若AB=3，求点B到平面PCD的距离．22．已知f（x）=sinx﹣cosx﹣ax．（1）若f（x）在上单调，求实数a的取值范围；（2）证明：当时，f（x）≥﹣1在x∈[0，π]上恒成立．2018-2018学年河南省百校联盟高三（上）11月月考数学试卷（乙卷）参考答案与试题解析一、选择题.本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=z，A={x|x2﹣x﹣2＜0，x∈Z}，B={﹣1，0，1，2}，则图中阴影部分所表示的集合等于（）A．{﹣1，2}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{1，2}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为B∩（∁U A），然后根据集合的基本运算即可．【解答】解：∵A={x|x2﹣x﹣2＜0，x∈Z}={0，1}，B={﹣1，0，1，2}，全集U=z，由图象可知阴影部分对应的集合为B∩（∁U A）={﹣1，2}．故选：A．2．复数z满足，则z对应的点位于复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数z满足==，则z对应的点位于复平面第一象限．故选：A．3．已知f（x）满足对∀x∈R，f（﹣x）+f（x）=0，且x≥0时，f（x）=e x+m（m 为常数），则f（﹣ln5）的值为（）A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6【考点】抽象函数及其应用；函数的值．【分析】根据已知可得f（0）=0，进而求出m值，得到x≥0时，f（x）的解析式，先求出f（ln5），进而可得答案．【解答】解：∵f（x）满足对∀x∈R，f（﹣x）+f（x）=0，故f（﹣x）=﹣f（x），故f（0）=0∵x≥0时，f（x）=e x+m，∴f（0）=1+m=0，m=﹣1，即x≥0时，f（x）=e x﹣1，则f（ln5）=4f（﹣ln5）=﹣f（ln5）=﹣4，故选：B．4．如图，在空间四边形ABCD（A，B，C，D不共面）中，一个平面与边AB，BC，CD，DA分别交于E，F，G，H（不含端点），则下列结论错误的是（）A．若AE：BE=CF：BF，则AC∥平面EFGHB．若E，F，G，H分别为各边中点，则四边形EFGH为平行四边形C．若E，F，G，H分别为各边中点且AC=BD，则四边形EFGH为矩形D．若E，F，G，H分别为各边中点且AC⊥BD，则四边形EFGH为矩形【考点】平面的基本性质及推论．【分析】作出如图的空间四边形，连接AC，BD可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到一个四边形，可证明其是一个菱形．【解答】解：作出如图的空间四边形，连接AC，BD可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到一个四边形EFGH，由中位线的性质知，EH∥FG，EF∥HG故四边形EFGH是平行四边形，又AC=BD，故有HG=AC=BD=EH，故四边形EFGH是菱形．故选：C．5．等差数列{a n}中，S n是其前n项和，a1=﹣9，=2，则S10=（）A．0 B．﹣9 C．10 D．﹣10【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用=2，求出公差，再利用等差数列前n项和公式，即可得出结论．【解答】解：设公差为d，∵=2，∴d﹣d=2，∴d=2，∵a1=﹣9，∴S10=10×（﹣9）+=0，故选：A．6．设a，b∈R，则“（a﹣b）a2≥0”是“a≥b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义结合不等式问题求出答案即可．【解答】解：由（a﹣b）a2≥0，解得：a≥b，故“（a﹣b）a2≥0”是“a≥b”的充要条件，故选：C．7．如图是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的表面积是（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知可得该几何体是一个圆柱与圆锥的组合体，其表面积相当于圆锥的表面积与圆柱侧面积的和，进而得到答案．【解答】解：由已知可得该几何体是一个圆柱与圆锥的组合体，其表面积相当于圆锥的表面积与圆柱侧面积的和，圆柱的底面直径为2，半径r=1，高h=2，故侧面积为：2πrh=4π；圆锥的底面直径为4，半径r=2，高h=1，母线长为：，故表面积为：πr（r+l）=（4+2）π；故组合体的表面积S=（8+2）π；故选：A8．已知实数x，y满足，记z=mx+y，若z的最大值为f（m），则当m∈[2，4]时，f（m）最大值和最小值之和为（）A．4 B．10 C．13 D．14【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，化目标函数z=y+mx为y=﹣mx+z，从而结合图象可得目标函数z=y+mx的最大值始终可在一个点上取得，从而解得．【解答】解：由题意作平面区域如下，化目标函数z=y+mx为y=﹣mx+z，结合图象可知，当2≤m≤4时，目标函数z=y+mx的最大值始终可在点A上取得，由解得，x=2，y=1；即A（2，1）；故z=2m+1，∵2≤m≤4，∴5≤2m+1≤9，即f（m）最大值和最小值之和为5+9=14，故选：D．9．在边长为1的正△ABC中，D，E是边BC的两个三等分点（D靠近于点B），则等于（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，把分别用表示，展开后得答案．【解答】解：如图，，＜＞=60°，∵D，E是边BC的两个三等分点，∴====．故选：C．10．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象关于直线对称且，如果存在实数x0，使得对任意的x都有，则ω的最小值是（）A．4 B．6 C．8 D．12【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意直线是对称轴，对称中心为（，0），不在同一增区间，根据三角函数的性质可求ω的最小值．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象关于直线对称且，∴ω+φ=kπ…①，﹣ω+φ=kπ…②，ωx0+φ﹣（ωx0+φ）≥π+2kπ…③由①②解得ω=8，φ=kπ+，（k∈Z）由③解得：ω≥8（1+2k）当k=0时，ω=8，φ=，③成立，满足题意．故得ω的最小值为8．故选C．11．已知边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，现沿对角线BD折起，使得AC=3，此时点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．20πB．24πC．28πD．32π【考点】球的体积和表面积．【分析】正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接球的表面积．【解答】解：如图所示，取BD的中点F，连接AF，CF，则AF=CF=3，∵AC=3，∴∠AFC=120°，∠AFE=60°，∴AE=，EF=设OO′=x，则∵O′B=2，O′F=1，∴由勾股定理可得R2=x2+4=（+1）2+（﹣x）2，∴R2=7，∴四面体的外接球的表面积为4πR2=28π，故选：C．12．已知方程|lnx|=kx+1在（0，e3）上有三个不等实根，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】y=kx+1与y=|lnx|的图象在（0，1）一定有一个交点，依题意只需f（x）=kx+1，g（x）=lnx在（1，e3）上有2个交点即可．作f（x）=kx+1与g（x）=lnx的图象，利用数形结合的思想求解即可【解答】解：令f（x）=kx+1，g（x）=lnx，∵y=kx+1与y=|lnx|的图象在（0，1）一定有一个交点，依题意只需f（x）=kx+1，g（x）=lnx在（1，e3）上有2个交点即可．作f（x）=kx+1与g（x）=lnx的图象如下设直线f（x）=kx+1与g（x）=lnx相切于点（a，b）；则⇒k=e﹣2且对数函数g（x）=lnx的增长速度越来越慢，直线f（x）=kx+1过定点（0，1）方程|lnx|=kx+1中取x=e3得k=2e﹣3，∴则实数k的取值范围是2e﹣3＜k＜e﹣2．故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．命题“∃x0∈R，asinx0+cosx0≥2”为假命题，则实数a的取值范围是（﹣，）．【考点】特称命题．【分析】原命题为假命题，则原命题的否定为真命题，命题否定为：∀x0∈R，asinx0+cosx0＜2；求出原命题否定的a取值范围即可．【解答】解：原命题“∃x0∈R，asinx0+cosx0≥2”为假命题，则原命题的否定为真命题，命题否定为：∀x0∈R，asinx0+cosx0＜2；asinx0+cosx0=sin（x0+θ）＜2；则：＜2⇒﹣＜a＜；也即：原命题否定为真命题时，a∈（﹣，）；故原命题为假时，a的取值范围为∈（﹣，）．故答案为：（﹣，）．14．已知，则=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数关系、诱导公式进行计算．【解答】解：∵，∴sin（﹣θ）=±=±，∴=sin（﹣θ）=±，故答案是：．15．已知正实数a，b满足a+b=4，则的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】由已知得=（）[（a+1）+（b+3）]=（++2），由此利用均值不等式能求出结果．【解答】解：∵正实数a，b满足a+b=4，∴a+1＞1，b+3＞3，a+1+b+3=8，∴=（）[（a+1）+（b+3）]=（++2）≥（2+2）=．当且仅当时，取等号，∴的最小值为．故答案为：．16．已知函数f（x）=﹣f'（0）e x+2x，点P为曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线l上的一点，点Q在曲线y=e x上，则|PQ|的最小值为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出f（x）的导数，令x=0，可得切线l的斜率和切点，切线方程l，再求y=e x导数，由过Q的切线与切线l平行时，距离最短．求得切点Q的坐标，运用点到直线的距离公式，即可得到最小值．【解答】解：f（x）=﹣f'（0）e x+2x，可得f′（x）=﹣f'（0）e x+2，即有f′（0）=﹣f'（0）e0+2，解得f′（0）=1，则f（x）=﹣e x+2x，f（0）=﹣e0+0=﹣1，则切线l：y=x﹣1，y=e x的导数为y′=e x，过Q的切线与切线l平行时，距离最短．由e x=1，可得x=0，即切点Q（0，1），则Q到切线l的距离为=．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且对任意正整数n，都有a n=+2成立．（1）记b n=log2a n，求数列{b n}的通项公式；（2）设c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）根据数列的递推公式即可求出数列{a n}为等比数列，根据对数的运算性质可得b n=2n+1，（2）根据裂项求和即可得到答案．【解答】解：（1）在中令n=1得a1=8，因为对任意正整数n，都有成立，所以，两式相减得a n﹣a n=a n+1，+1=4a n，所以a n+1又a1≠0，所以数列{a n}为等比数列，所以a n=8•4n﹣1=22n+1，所以b n=log2a n=2n+1，（2）c n===（﹣）所以18．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且=1．（1）求角A；（2）若a=4，求b+c的取值范围．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由正弦定理化简已知，整理可得：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=，结合范围A∈（0，π），即可得解A的值．（2）由余弦定理，基本不等式可得：bc≤48，可得：b+c≤8，结合三角形两边之和大于第三边，即可得解b+c的取值范围．【解答】解：（1）∵=1．∴由正弦定理可得：=1，整理可得：b2+c2﹣a2=bc，∴由余弦定理可得：cosA===，∵A∈（0，π），∴A=．（2）∵A=，a=4，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bc，可得：48=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，解得：bc≤48，当且仅当b=c=4时等号成立，又∵48=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc，可得：（b+c）2=48+3bc≤192，∴可得：b+c≤8，又∵b+c＞a=4，∴b+c∈（4，8]．19．在如图所示的三棱锥ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是BC，A1B1的中点．（1）求证：DE∥平面ACC1A1；（2）若△ABC为正三角形，且AB=AA1，M为AB上的一点，，求直线DE与直线A1M所成角的正切值．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】（1）取AB的中点F，连接DF，EF，推导出DF∥AC，从而DF∥平面ACC1A1；再推导出EF∥AA1，从而EF∥平面ACC1A1，进而平面DEF∥平面ACC1A1，由此能证明DE∥平面ACC1A1．（2）推导出平面ABC⊥平面ABB1A1，连接CF，推导出CF⊥平面ABB1A1，取BF 的中点G，连接DG，EG，从而DG⊥平面ABB1A1，进而∠DEG即为直线DE与直线A1M所成角，由此能求出直线DE与直线A1M所成角的正切值．【解答】证明：（1）取AB的中点F，连接DF，EF…在△ABC中，因为D，F分别为BC，AB的中点，所以DF∥AC，DF⊄平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，所以DF∥平面ACC1A1…在矩形ABB1A1中，因为E，F分别为A1B1，AB的中点，所以EF∥AA1，EF⊄平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，所以EF∥平面ACC1A1…因为DF∩EF=F，所以平面DEF∥平面ACC1A1…因为DE⊂平面DEF，所以DE∥平面ACC1A1…解：（2）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以平面ABC⊥平面ABB1A1，连接CF，因为△ABC为正三角形，F为AB中点，所以CF⊥AB，所以CF⊥平面ABB1A1，取BF的中点G，连接DG，EG，可得DG∥CF，故DG⊥平面ABB1A1，又因为，所以EG∥A1M，所以∠DEG即为直线DE与直线A1M所成角…设AB=4，在Rt△DEG中，，所以，故直线DE与直线A1M所成角的正切值为．…20．已知函数f（x）=e x﹣ax，a＞0．（1）记f（x）的极小值为g（a），求g（a）的最大值；（2）若对任意实数x恒有f（x）≥0，求f（a）的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值g（a）的表达式，根据函数的单调性求出g（a）的最大值即可；（2）通过讨论x的范围，问题转化为，根据函数的单调性求出f（a）的范围即可．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是（﹣∞，+∞），f'（x）=e x﹣a，令f'（x）＞0，得x＞lna，所以f（x）的单调递增区间是（lna，+∞）；令f'（x）＜0，得x＜lna，所以f（x）的单调递减区间是（﹣∞，lna），函数f（x）在x=lna处取极小值，…g'（a）=1﹣（1+lna）=﹣lna，当0＜a＜1时，g'（a）＞0，g（a）在（0，1）上单调递增；当a＞1时，g'（a）＜0，g（a）在（1，+∞）上单调递减，所以a=1是函数g（a）在（0，+∞）上唯一的极大值点，也是最大值点，所以g（a）max=g（1）=1…（2）当x≤0时，a＞0，e x﹣ax≥0恒成立，…当x＞0时，f（x）≥0，即e x﹣ax≥0，即…令，当0＜x ＜1时，h'（x ）＜0，当x ＞1时，h'（x ）＞0， 故h （x ）的最小值为h （1）=e ，所以a ≤e ，故实数a 的取值范围是（0，e ]…f （a ）=e a ﹣e 2，a ∈（0，e ]，f'（a ）=e a ﹣2a ，由上面可知e a ﹣2a ≥0恒成立， 故f （a ）在（0，e ]上单调递增，所以f （0）=1＜f （a ）≤f （e ）=e e ﹣e 2， 即f （a ）的取值范围是（1，e e ﹣e 2]…21．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，△ABC 为正三角形，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，PA=AC ，PA ⊥平面ABCD ．（1）若E 为棱PC 的中点，求证PD ⊥平面ABE ； （2）若AB=3，求点B 到平面PCD 的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）利用线面垂直的判定与性质定理可得CD ⊥平面PAC ，CD ⊥AE ．利用等腰三角形的性质与线面垂直的判定定理可得：AE ⊥平面PCD ，可得AE ⊥PD ．利用面面垂直的性质定理与线面垂直的判定定理可得AB ⊥PD ，进而证明结论．（2）解法一：设点B 的平面PCD 的距离为d ，利用V B ﹣PCD =V P ﹣BCD 即可得出． 解法二：由（1）可知：建立如图所示的空间直角坐标系，AB 为x 轴，AD 为y轴，AP 为z 轴．过点C 作CM ⊥AD ，垂足为M ，设平面PCD 的法向量为=（x ，y ，z ），则，利用点B 到平面PCD 的距离d=即可得出．【解答】（1）证明：∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD ， ∵AC ⊥CD ，PA ∩AC=A ，∴CD ⊥平面PAC ，而AE ⊂平面PAC ，∴CD ⊥AE ． ∵AC=PA ，E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC ，又PC ∩CD=C ，∴AE ⊥平面PCD ， 而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD ．∵PA ⊥底面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ，又AB ⊥AD ，由面面垂直的性质定理可得BA ⊥平面PAD ，AB ⊥PD ， 又AB ∩AE=A ，∴PD ⊥平面ABE ．（2）解法一：∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AC ，∴，由（1）的证明知，CD ⊥平面PAC ，∴CD ⊥PC ， ∵AB ⊥AD ，△ABC 为正三角形，∴∠CAD=30°，∵AC ⊥CD ，∴．设点B 的平面PCD 的距离为d ，则．在△BCD 中，∠BCD=150°，∴．∴，∵V B ﹣PCD =V P ﹣BCD ，∴，解得，即点B 到平面PCD 的距离为．解法二：由（1）可知：建立如图所示的空间直角坐标系，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴．过点C 作CM ⊥AD ，垂足为M ，则A （0，0，0），B （3，0，0），C （，，0），D （0，2，0），P （0，0，3）， =（﹣，，0），=（0，2，﹣3），=．设平面PCD 的法向量为=（x ，y ，z ），则，即，取=（1，，2）．∴点B 到平面PCD 的距离d===．22．已知f（x）=sinx﹣cosx﹣ax．（1）若f（x）在上单调，求实数a的取值范围；（2）证明：当时，f（x）≥﹣1在x∈[0，π]上恒成立．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）求出函数的导数，通过讨论x 范围，求出函数的单调区间，从而求出f（x）的最小值，证出结论即可．【解答】解：（1）…若f（x）在上单调递增，则当，f'（x）≥0恒成立，当时，，此时a≤﹣1；…若f（x）在上单调递减，同理可得…所以a的取值范围是…（2）时，…当x∈[0，π]时，f'（x）在上单调递增，在上单调递减，…∴存在，使得在[0，x0）上f'（x）＞0，在（x0，π]上f'（x）＜0，所以函数f（x）在[0，x0）上单调递增，在（x0，π]上单调递减…故在[0，π]上，f（x）min=min{f（0），f（π）}=﹣1，所以f（x）≥﹣1在x∈[0，π]上恒成立…2018年1月18日。