反 应 堆 物 理(第四讲)扩散理论

∫ φ(r, E) = φ(r, E, Ω)dΩ 4π
7
• t时刻在 r 处体积元 d r 内，能量在E与
E+dE之间，而运动方向在 Ω 方向上的立 体角元 d Ω 内的中子数目。
——中子角密度 n(r, E, Ω,t)
• t时刻在 r 处体积元 d r 内，能量在E与 E+dE之间的中子数目。
——中子数密度 n(r, E, t)
其中，沿 Ω 方向散射反应率：Σsφ(r ')dV / 4π
25
• 沿 Ω 方向运动的中子，不经碰撞到达dA的
概率：e−Σt |l|
• 每秒自dV散射沿 Ω 方向到达dA的中子数：
1
4π
Σtφ (r ') e−Σt |l|
cosθ dAdl
• 沿 Ω方向,每秒穿过dA的中子数：
∫ dA
4π
0 −∞
1)介质无限、均匀;
2)在实验室体系中散射各向同性 (Isotropic scattering) ;
3)介质的吸收截面很小，Σa<<Σs;
4)中子通量密度随空间位置缓慢变化。 21
2.2 单能中子扩散的斐克定律
• 斐克定律(Fick’s Law)：
J = -Dgradφ
D
=
λ tr 3
, λtr
=
来代替
λs
。
31
• 比例系数D具有长度量纲，称为扩散系数 (diffusion coefficient)，是反映中子在 介质中扩散过程的重要参数。
D = λs
3 或
D = λtr = λs 3 3(1− μ0 )
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例题：习题1
解： （1）由定义可知：
φ = I + + I − = 3×1012 (cm-2·s-1)
代入斐克定律： ∇iJ = −∇iDgradφ 若D与空间无关： ∇iJ = −D∇2φ
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则中子输运方程化简为：
∂n ∂t
=
S(r,t)
−
∇iJ
(r,t)
−
Σaφ (r , t )
1 v
∂φ (r , t )
∂t
=
S(r,t)
+
D∇ 2φ (r , t )
−
Σ aφ (r , t )
即单能中子扩散方程。
4π
∫= ΩzΦ(r,E,Ω)dΩ 4π
∫ = k 4π ΩzΦ(r,E,Ω)dΩ
∫ ∫ = k dϕ cosθΦ(r,E,θ,ϕ)sinθdθ
2π
π
14
∫ J
+ z
(r
,
E
)
=|
ΩikΦ(r, E, Ω)d Ω |
(Ωik )>0
∫ ∫ =
2π dϕ
π
2 cosθ iΦ(r, E,θ ,ϕ) sinθ dθ
8
• t时刻单位时间内，穿过 r 处垂直于 Ω
的单位面积的、能量在E与E+dE之间，而运
动方向在 Ω 方向上的立体角元 d Ω 内
的中子数目。
——中子角通量密度φ(r, E, Ω, t)
• t时刻单位时间内，穿过 r 处单位面积
的、能量在E与E+dE之间的中子数目。
——中子通量密度φ(r, E, t)
Σtφ
(r
')
e−Σt
|l|
cos
θ
dl
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• 因为已假设中子通量密度随空间位置缓慢变 化，且因子 e−Σt |l|随距离按指数规律迅速减 小，所以上积分式中主要贡献只来自于P点附 近的中子。
• 把 φ(r ') 在 P(r ')点处按泰勒级数展开：
φ(r ') = φ(r) + l dφ + ...
连续方程：
∂n ∂t
=
S(r,
E, Ω,t)
−
∇iJ
(r,
E, Ω,t)
−
Σt
(r,
E, t )φ (r,
E, Ω,t)
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• 输运方程只在个别简单情况下有解析解， 对于输运方程的化简，有以下几个思路：
1）降维;
2）划分能群;
3）对于空间角度的函数采用级数展开， 取其中若干项，常用的有PN法和SN法;或者 只计算有限个方向;
中子数为：dA cosθ[φ(r) − 1 dφ(r)]
4π
Σt dl
• 沿正z方向穿过dA的分中子流：
∫ J
+ z
dA
=
dA
4π
cosθ[φ(r) − 1
(Ωik )>0
Σt
dφ(r)]d Ω
dl
∫ ∫ = dA
4π
2π dϕ
0
π
2 [φ(r)
0
−
1 Σt
(Ω x
∂φ
∂x
+
Ωy
∂φ
∂y
+Ωz
∂φ
∂z
• 这里c通常是一个固定常数，代表波的传播
速率。在常压、20°C的空气中c为343米/
秒。
37
2.3 扩散方程的边界条件
• 目的：用物理或几何特性的限制，求出普 遍解中积分常数的特定取值。
• 要求：边界条件(boundary condition)的 数目应恰好足以使方程有唯一解。
J (r) = J x (r)i + J y (r) j + J z (r)k
Jz
(r)
=
J
+ z
(r)
−
J
− z
(r)
• 结论：只要求得通过dA的
J
+ z
(r
)
、
J
− z
(r)
即可
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先考虑沿 Ω(θ ,ϕ)方向穿过dA的中子：
• 在 Ω(θ ,ϕ) 方向 r′ 处中子通量密度：φ(r ')
• r′点附近体积元： dV = dldAcosθ • r′ 点附近中子散射反应率：Σsφ(r ')dV
纳中央公墓。
5
1.2 中子输运模型
空间角Ω (p60)
dS dΩ =
r2
r 2sinθdθdϕ
=
r2
= sinθdθdϕ
6
• 中子角密度： n(r, E, Ω)
• 中子角通量密度：φ(r, E, Ω)
二者与中子密度、中子通量密度不同，为矢 量。
∫ n(r, E) = n(r, E, Ω)dΩ 4π
dl
其中, dφ = ∂φ dx + ∂φ dy + ∂φ dz
dl ∂x dl ∂y dl ∂z dl
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• 其中方向导数又可写为：
dφ dl
=
Ωx
∂φ ∂x
+Ωy
∂φ ∂y
+Ωz
∂φ ∂z
其中,
⎧⎪⎨ΩΩxy
= =
sinθcosϕ sinθsinϕ
⎪⎩Ωz = cosθ
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• 由上代入积分可得沿 Ω 方向每秒穿过dA的
Jx (r)
=
− λs
3
∂φ (r )
∂x
J y (r)
=
− λs
3
∂φ (r )
∂y
• 结论
J (r) =
J x (r)i
+
Jy
(r)
j
+
Jz
(r)k
=
−
λs
3
gradφ (r )
• 注意，这是在完全不考虑各向不同性散射的
前提下得到的，对于各向异性散射，需要用
输运平均自由程
λtr
= λs 1− μ0
)] cos θ
sinθ dθ
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对到于：假设的弱吸收介质，Σt Σs ，积分得
J
+ z
(r
)
=
φ(r)
4
−
1 6Σs
∂φ (r )
∂z
同理可以得到：
J
− z
(r
)
=
φ(r)
4
+
1 6Σs
∂φ (r )
∂z
所以：
Jz (r)
=
J
+ z
(r
)
−
J
− z
(r
)
=
− λs
3
∂φ (r )
∂z
30
• 相应地有：
2月20日－1906年9月5
日），奥地利物理学家，热
力学和统计力学的奠基人之
一。1869年，他将麦克斯韦
速度分布律推广到保守力场
作用下的情况，得到了波尔
兹曼分布律。
1872年，玻尔兹曼建立了波尔兹曼方程（又称
输运方程）。玻尔兹曼后期在与马赫的经验主
义和奥斯特瓦尔德的唯能论论战中身心俱疲，
于1906年9月5日自杀身亡。他死后被葬在维也
（2）若以向右为正方向：
J = I + − I − = -1×1012 (cm-2·s-1)
可见其方向垂直于薄片表面向左。
（3）Ra = Σaφ =19.2×3×1012=5.76×1013
(cm-3·s-1)
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回头分析中子输运方程的泄漏项：
∫S J (r, E, Ω,t)indS = ∫V ∇iJ (r, E, Ω,t)dS
自“-”侧各个方向穿过dS流向“+”侧的中子
总数为
J
+ n
dS
，反之为
J
− n
dS
，可以证
明：