2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第十章 第3讲 坐标系与参数方程
2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第二章 第9讲 函数的图象
ⅰ)当 x>a 时，
①当 a<0 时，g(a)＝－1,
a a a2 g ＝－ －1<0，g(x)在 ，＋∞ 4 2 2
上是增函数，如图 2-9-8，此时函数 g(x)与 x 轴有 1 个交点；
图 2-9-8
图 2-9-9
②当 a＝0 时， g(0)＝－1，g(x)在(0，＋∞)上是增函数， 如图 2-9-9，此时函数 g(x)与 x 轴有 1 个交点； ③当 a>0 时，g(a)＝－1，g(x)在(a，＋∞)上是增函数， 此 时函数 g(x)与 x 轴有 1 个交点．
A
B
C
D
3．函数 y＝lg|x|的图象大致是( C )
A
B
C
D
4．方程|x|＝cosx 在(－∞，＋∞)内(
C )
A．没有根
C．有且仅有两个根
B．有且仅有一个根
D．有无穷多个根
解析：构造两个函数 y＝|x|和 y＝cosx，在同一个坐标系内 画出它们的图象，如图 D4，观察知图象有两个公共点，所以已 知方程有且仅有两个根．
方法二：函数 g(x)＝f(x)－1 的零点个数问题等价于函数 y
＝f(x)－1 与 x 轴的交点的个数．
2 x －ax－1，x≥a， g(x)＝f(x)－1＝x|x－a|－1＝ 2 －x ＋ax－1，x<a， a2 a2 x－2 － 4 －1，x≥a， 即 g(x)＝ 2 a a －x－ 2＋ －1，x<a. 2 4
答案：①②
【规律方法】本题考查的是作图，作图主要应用描点法、 图象变换法以及结合函数的性质等方法.函数图象的变换主要 有三种：平移变换、伸缩变换、对称变换.要特别注意平移变换 与伸缩变换的顺序不同会带来不同的结果.
高考讲坐标系与参数方程课件理
考点三：运用坐标系解决实际问题
01
02
总结词：能够运用坐标 系解决简单的实际问题 ，提高解决实际问题的 能力。
详细描述
03
04
05
1. 能够运用坐标系解决 简单的实际问题，如位 移、速度、加速度等物 理量的表示和计算。
2. 能够运用坐标系解决 一些简单的几何问题， 如求两点之间的距离、 三角形面积等。
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考点二：参数方程的转化与求解
详细描述
2. 能够将普通方程转化为参数方 程，将参数方程转化为普通方程 ，并了解参数的物理意义。
总结词：了解和掌握参数方程的 基本概念和转化方法，能够求解 简单的参数方程。
1. 了解参数方程的基本概念和特 点，掌握参数方程与普通方程的 转化方法。
3. 掌握求解参数方程的方法，如 代入法、消元法等，能够求解简 单的参数方程。
它由一个原点和一组有序的坐标轴组成。
坐标系的分类
02 坐标系可分为直角坐标系、极坐标系和球面坐标系等
。
坐标系的表示方法
03
坐标系可以用图形、符号和公式等方式来表示。
坐标系的种类
直角坐标系
直角坐标系是二维平面上最常用的坐标系， 它由一个原点和两组互相垂直的坐标轴组成 。
极坐标系
极坐标系是用来描述在平面上的点和其到原点的距 离以及其与极轴的夹角的坐标系。
坐标系与参数方程的应用场景
坐标系广泛应用于各种科学领域，如物理学、化学、生物学、地理学等。在物理学中，坐标系可以描 述物体的位置和运动状态；在化学中，它可以描述分子的空间构型和原子间的相互作用；在地理学中 ，它可以描述地球上物体的位置和形态。
参数方程也被广泛应用于各种科学领域。例如，在物理学中，参数方程可以描述物体的运动轨迹和速 度变化；在化学中，它可以描述化学反应的进程和速率；在生物学中，它可以描述生物体的生长过程 和形态变化。
2016届广东省高考数学二轮专题复习坐标系与参数方程
坐标系与参数方程1． 直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过M ⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . 2． 圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ； (3)圆心位于M ⎝⎛⎭⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ. 3． 常见曲线的参数方程(1)圆x 2＋y 2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)．(2)圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(4)抛物线y 2＝2px 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．(5)过定点P (x 0，y 0)的倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．4． 直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直 角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x (x ≠0).考点一 极坐标与直角坐标的互化例1 在以O 为极点的极坐标系中，直线l 与曲线C 的极坐标方程分别是ρcos(θ＋π4)＝32和ρsin 2θ＝8cos θ，直线l 与曲线C 交于点A 、B ，求线段AB 的长． 解 ∵ρcos(θ＋π4)＝ρcos θcos π4－ρsin θsin π4＝22ρcos θ－22ρsin θ ＝32，∴直线l 对应的直角坐标方程为x －y ＝6. 又∵ρsin 2θ＝8cos θ， ∴ρ2sin 2θ＝8ρcos θ.∴曲线C 对应的直角坐标方程是y 2＝8x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝6y 2＝8x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18y ＝12， 所以A (2，－4)，B (18,12)，所以AB ＝(18－2)2＋[12－(－4)]2＝16 2. 即线段AB 的长为16 2.(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性． (1)求直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长． 解 直线2ρcos θ＝1可化为2x ＝1，即x ＝12；圆ρ＝2cos θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcos θ， 化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝2x .将x ＝12代入x 2＋y 2＝2x 得y 2＝34，∴y ＝±32.故弦长为2×32＝ 3. (2)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，求a 的值．解 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0， ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2. 在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22. 将⎝⎛⎭⎫22，0代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝22. 考点二 参数方程与普通方程的互化例2 (1)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．解 因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，y 2＝2x ，解得公共点的坐标为(2,2)，⎝⎛⎭⎫12，－1.(2)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝t －2(t 为参数)，P 是椭圆x 24＋y 2＝1上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．解 由于直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝t －2(t 为参数)，故直线l 的普通方程为x ＋2y ＝0. 因为P 为椭圆x 24＋y 2＝1上的任意一点，故可设P (2cos θ，sin θ)，其中θ∈R .因此点P 到直线l 的距离是d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22＝22⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π45.所以当θ＝k π＋π4，k ∈Z 时，d 取得最大值2105.(1)参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形．(2)参数方程思想的应用，不仅有利于曲线方程的表达，也成为研究曲线性质的有力工具，如在求轨迹方程、求最值的问题中有广泛的应用．(1)已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos ty ＝2sin t(t 为参数)，C 在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．解 由⎩⎨⎧x ＝2cos t y ＝2sin t(t 为参数)，得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2.则在点(1,1)处的切线l的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，故l 的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－2＝0.(2)已知动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点． ①求M 的轨迹的参数方程；②将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 解 ①依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)， 因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)． M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0<α<2π)． ②M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0<α<2π)． 当α＝π，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点． 考点三 极坐标与参数方程的综合应用例3 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)．M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，点P 的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的参数方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .解 (1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝⎛⎭⎫x 2，y 2.由于M 点在C 1上，所以⎩⎨⎧x2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α. 从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以AB ＝|ρ2－ρ1|＝2 3. (1)曲线参数方程有很多优点：①曲线上任一点坐标都可用一个参数表示，变元只有一个．特别对于圆、椭圆、双曲线有很大用处．②很多参数都有实际意义，解决问题更方便．比如：直线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(α为倾斜角，t 为参数)，其中|t |＝PM ，P (x ，y )为动点，M (x 0，y 0)为定点．(2)求两点间距离时，用极坐标也比较方便，这两点与原点共线时，距离为|ρ1－ρ2|，这两点与原点不共线时，用余弦定理求解．无论哪种情形，用数形结合的方法易得解题思路．(1)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin(θ＋π4)＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，求椭圆C 的离心率．解 椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，直线l 的标准方程为x ＋y ＝m ，圆O 的方程为x 2＋y 2＝b 2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|m |2＝ba 2－b 2＝|m |，∴a 2－b 2＝2b 2，a 2＝3b 2， ∴e ＝c 2a 2＝3b 2－b 23b 2＝23＝63. (2)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1tan φ，y ＝1tan 2φ(φ为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝1，若曲线C 1与C 2相交于A 、B 两点． ①求线段AB 的长；②求点M (－1,2)到A 、B 两点的距离之积．解 ①由曲线C 1的参数方程可得曲线C 1的普通方程为y ＝x 2(x ≠0)，由曲线C 2的极坐标方程可得曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －1＝0，则曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，将其代入曲线C 1的普通方程得t 2＋2t －2＝0，设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2， 则t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－2， 所以AB ＝|t 1－t 2| ＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝10. ②由①可得MA ·MB ＝|t 1t 2|＝2.1． 解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是化归与转化思想的应用．在涉及圆、椭圆的有关最值问题时，若能将动点的坐标用参数表示出来，借助相应的参数方程，可以有效地简化运算，从而提高解题的速度． 2． 极坐标方程与普通方程互化核心公式：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x (x ≠0). 3． 过点A (ρ0，θ0) ，倾斜角为α的直线方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．特别地，①过点A (a,0)，垂直于极轴的直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝a .②平行于极轴且过点A (b ，π2)的直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝b .4． 圆心在点A (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为r 2＝ρ2＋ρ20－2ρρ0cos(θ－θ0)．5． 重点掌握直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos θy ＝y 0＋t sin θ(t 为参数)，理解参数t 的几何意义.1． 在极坐标系中，求过圆ρ＝6cos θ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程．解 把ρ＝6cos θ两边同乘以ρ，得ρ2＝6ρcos θ， 所以圆的普通方程为x 2＋y 2－6x ＝0， 即(x －3)2＋y 2＝9，圆心为(3,0)， 故所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝3.2． 已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l 的极坐标方程为ρ＝92sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，点P (1＋cos α，sin α)，参数α∈[0,2π)．(1)求点P 轨迹的直角坐标方程； (2)求点P 到直线l 距离的最大值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α，得点P 的轨迹方程(x －1)2＋y 2＝1. (2)由ρ＝92sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，得ρ＝9sin θ＋cos θ， ∴ρsin θ＋ρcos θ＝9.∴曲线C 的直角坐标方程为x ＋y ＝9.圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心(1,0)到直线x ＋y ＝9的距离为42，所以(PQ )min ＝42－1.(推荐时间：60分钟)1． 在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)和直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)平行，求常数a 的值．解 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s 消去参数s ，得x ＝2y ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1消去参数t ，得2x ＝ay ＋a . ∵l 1∥l 2，∴2a ＝12≠1a，∴a ＝4.2． 如图，在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆 心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程． 解 在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1， 所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4， 所以圆C 的半径 PC ＝(2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.3． 在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程． 解 由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3， 从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0. 故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.4． 在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，求AB 的长． 解 将极坐标方程ρcos θ＝4化为直角坐标方程得x ＝4，将x ＝4代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3得t ＝±2，从而y ＝±8.所以A (4,8)，B (4，－8)．所以AB ＝|8－(－8)|＝16.5． 在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．解 将极坐标方程化为直角坐标方程， 得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0. 由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1， 即有|3×1＋4×0＋a |32＋42＝1，解得a ＝－8或a ＝2.故a 的值为－8或2.6． 求直线ρ＝53cos θ－2sin θ关于θ＝π4(ρ∈R )对称的直线方程．解 直线ρ＝53cos θ－2sin θ化为直角坐标方程为3x －2y ＝5，θ＝π4化为直角坐标方程为y＝x ，则3x －2y ＝5关于y ＝x 对称的直线方程为3y －2x ＝5，化为极坐标方程为3ρsin θ－2ρcos θ＝5，即ρ＝53sin θ－2cos θ.7． 在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6上的动点，试求PQ 的最大值．解 ∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ， ∴x 2＋y 2－12y ＝0， 即x 2＋(y －6)2＝36. 圆心坐标为(0,6)，半径为6. 又∵ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6， ∴ρ2＝12ρ(cos θcos π6＋sin θsin π6)，∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0， ∴(x －33)2＋(y －3)2＝36， 圆心坐标为(33，3)，半径为6.∴(PQ )max ＝6＋6＋(33)2＋(6－3)2＝18.8． 已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )，曲线C 1，C 2相交于点M ，N .(1)将曲线C 1，C 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求线段MN 的长．解 (1)由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，即曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0， 由θ＝π6(ρ∈R )得，曲线C 2的直角坐标方程为y ＝33x .(2)把y ＝33x 代入x 2＋y 2－4y ＝0， 得x 2＋13x 2－433x ＝0，即43x 2－433x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝3， ∴y 1＝0，y 2＝1. ∴MN ＝(3)2＋1＝2. 即线段MN 的长为2.9． 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值． 解 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4， 直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4， 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0， 由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1，所以⎩⎨⎧b2＝1，－ab2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.10．在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程． 解 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ. 解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3， 故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ 得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)． 故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝t －3≤t ≤ 3. ⎝ ⎛⎭⎪⎫或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝y －3≤y ≤3 方法二 将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ 得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ. 于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝tan θ⎝⎛⎭⎫－π3≤θ≤π3.。
2016年高考数学总复习 第十章 第3讲 坐标系与参数方程课件 理
为参数)． x2 y2 (3)双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的参数方程为
x＝asecφ， y＝btanφ
(φ 为参数)．
(4) 抛物线 数)．
2 x ＝ 2 pt ， 2 y ＝ 2px(p>0) 的参数方程为 y＝2pt
(t 为参
b (5) 过 点 P(x0 ， y0) ， 且 斜 率 为 的 直 线 的 参 数 方 程 为 a
答案：(1,1)
(2)(2013 年湖南)在平面直角坐标系 xOy 中，若 l：
x＝t， y＝t－a
(t 为参数)过椭圆
x＝3cosφ， C： y＝2sinφ
(φ 为参数)的右顶
点，则常数 a 的值为__________．
解析：将
x＝t， l： y＝t－a
5 x＝ t2， 4 2 4 0≤y≤1)， 表示抛物线 y ＝5x. y＝t
2 x 2 ＋ y ＝1－ 5<x≤ 5，且0≤y≤1， 5 联立方程，得 y2＝4x， 5
⇒
x2＋4x－5＝0⇒x＝1 或 x＝－5(舍去)． 又因为
2 0≤y≤1，所以它们的交点坐标为1，
5
5 .
2 5 答案：1， 5
考点3
极坐标与参数方程的相互转化
例 3 ： (2013 年 新 课 标 Ⅰ ) 已 知 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为
x＝4＋5cost， y＝5＋5sint
(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ＝2sinθ.
代入 x2＋y2－8x－10y＋16＝0，得 ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0. ∴C1 的极坐标方程为 ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.
2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第七章-第5讲-空间直角坐标系详细版.ppt
又 AC 的中点为 O72，4，－1，设 D(x，y，z)， 则72＝x＋2 2，4＝－52＋y，－1＝1＋2 z，
..分割..
10
∴x＝5，y＝13，z＝－3.
故 D(5,13，－3)．
【规律方法】根据图形特征，利用点的对称性和中点坐标
公式是解决有关中点问题的关键.
【互动探究】
2．点 A(1，－3,2)关于点(2,2,3)的对称点的坐标为( B )
..分割..
17
【规律方法】注意空间直角坐标系与平面直角坐标系的联 系与区别，中点公式和距离公式与平面直角坐标系中的公式是 一致的，而直线与曲线的方程与平面直角坐标系中的方程是有 区别的．
..分割..
18
【互动探究】 4．在空间直角坐标系中，方程 y＝x 表示( C ) A．在坐标平面 xOy 中，第一、三象限的平分线 B．平行于 z 轴的一条直线 C．经过 z 轴的一个平面 D．平行于 z 轴的一个平面
解：(1)∵平面 ABCD⊥平面 ABEF，
平面 ABCD∩平面 ABEF＝AB，AB⊥BE，
∴BE⊥平面 ABCD，则 AB，BE，BC 两两垂直．
..分割..
12
如图 7-5-1，以 B 为坐标原点，以 BA，BE，BC 所在直线 分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，过点M 作MG ⊥CB 于 G，作 MH⊥AB 于 H.
..分割..
8
【互动探究】
1．在空间直角坐标系中，已知点 P(x，y，z)，给出下列四 条叙述：
①点 P 关于 x 轴的对称点的坐标是(x，－y，z)；
②点 P 关于 yOz 平面的对称点的坐标是(x，－y，－z)；
③点 P 关于 y 轴的对称点的坐标是(x，－y，z)；
2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第七章-第4讲-直线与圆的位置关系学习课件.ppt
..分割..
14
考点 2 圆与圆的位置关系 例 2：若圆 x2＋y2－2mx＋m2－4＝0 与圆 x2＋y2＋2x－4my ＋4m2－8＝0 相切，则实数 m 的取值集合是__________．
解析：∵圆(x－m)2＋y2＝4 的圆心为 O1(m,0)，半径 r1＝2， 圆(x＋1)2＋(y－2m)2＝9 的圆心为 O2(－1,2m)，半径 r2＝3，两 圆相切，∴|O1O2|＝r1＋r2 或|O1O2|＝r2－r1.∴ m＋12＋2m2＝
..分割..
7
3．已知圆 C 的圆心是直线 x－y＋1＝0 与 x 轴的交点，且
圆 C 与直线 x＋y＋3＝0 相切，则圆 C 的方程为
__(_x_＋__1_)2_＋__y_2_＝__2__．
4．经过圆 x2＋2x＋y2＝0 的圆心 C，且与直线 x＋y＝0 垂
直的直线方程是_x_－__y_＋__1_＝__0__．
5．(2015年广东广州一模)直线x＋ay＋1＝0与圆x2＋(y－
1)2＝4的位置关系是( A ) A．相交
B．相切
C．相离
D．不能确定
..分割..
8
考点 1 直线与圆的位置关系 例1：(2014 年广东珠海一模)已知圆 C：x2＋y2－8y＋12＝0， 直线 l：ax＋y＋2a＝0. (1)当 a 为何值时，直线 l 与圆 C 相切；
∴m－3λ＝0，即 m＝3λ. ∴圆的方程化为 x2＋y2＋x－6y＋3λ＋λx＋2λy－3λ＝0，
..分割..
22
即 x2＋(1＋λ)x＋y2＋2(λ－3)y＝0. ∴圆心 M－1＋2 λ，3－λ. 又圆心 M 在 PQ 上， ∴－1＋2 λ＋2(3－λ)－3＝0.∴λ＝1. ∴m＝3.
高中数学高考总复习坐标系与参数方程习题及详解.doc
高中数学高考总复习坐标系与参数方程习题及详解一、选择题x=一1 ~t1.极坐标方程P = g胡和参数方程（/为参数）所表示的图形分别是（）3=2 + /A.直线、直线B.直线、圆C.圆、圆D.圆、直线［答案］D［解析］由p=cosO得p2=pcos<9, Ax2 +/-x=0.此方程所表示的图形是圆.X= — 1 —I消去方程中的参数/可得，x+y-l=o,此方程所表示的图形是直线.ly=2+t2.下列参数方程（f为参数）屮，与方程/ = x表示同一曲线的是（）{x=t［x=taiFfB.v=tan/x=tan/2l=tarT7［答案］B［解析］将/=x代入y=r得，y=x29故A错，将tant=y代入x=tan2Z中得，x=y2,［点评］平方得y2=\x\. 限定了x的取VtanzeR,故B正确，C、D容易判断都是错的.值必须非负, /•K=x,但白于y=y［\x\9故它必须满足尹20,而y2=x中的yWR.注意C中消去（得y=y［\x\9x=1+2/ [y=}-2t （/为参数）被圆x=3cosaj^=3sina（a为参数）截得的眩长为（4. 直线）C. 4^/7D. 2［答案］A兀=l+2f［解析］将直线 宀 化为普通方程得x+y=2,［y=\-2tx=3cosa r 入 将圆 r • 化为普通方程得X 2+/ = 9.丿=3sina 圆心O到直线的距离宀眾， 所以弦长1=2,段一孑=2护.二、填空题7.在极坐标系中，过圆p = 6cos&的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为［答案］”cos 〃=3［解析］解法一：圆p=6cos&的圆心极坐标（3,0）, ・•・直线/方程为〃cos0=3.解法二：由 p 2 = 6pcos6> 得 #+夕2=&,圆心 C （3,0）,・•・过圆心垂直于极轴（即x 轴）的直线方程为兀=3,其极坐标方程为〃cos 〃=3. ［点评］1.在极坐标方程不熟练的情况下，化为直角坐标方程求解后，再化为极坐标形 式是基本方法，故应熟记互化公式.2.掌握常见的圆、直线、圆锥曲线的极坐标方程的形式，对提高解题速度至关重要.长度是8.x= 1 +3cos&（，为参数）被曲线J+3讪 （0为参数）所截,则截得的弦的［答案］华兀=—1 +2f［解析］直线 化为兀+2y+3=0；|x=l+3cos0圆仁l+3sin& 化为(Ll)+kl) =9,圆心C(l,l)到直线x+2y+3 = 0距离d=洋,半径r=3, 弦长为2寸/_护=弓^.x=cos611 .在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是 .zil (加是常数,0丘(一y=sm"十加兀，兀］是参数)，若曲线C 与x 轴相切，则加= ______ .［答案］±1［解析］VOC ： x 2+(y~m)2=\ 与 x 轴相切， ・・加=± 1.x=3cos012.椭圆 4 .八的离心率是 ______________ ・歹=4sin&［答案］普2 2［解析］由已知可得椭圆的普通方程为等+話=1,tz =4, b=3, c =y ［l , e=：= 4 •与C2的位置关系为 _______ •［答案］相离［解析］圆 Cl ： (x-3)2+(y-2)2=4 的圆心 0(3,2)到直线 C 2： 4x+3y-7 = 0 的距离 d =¥>2,・・・0与C2相离.14. _______________________________________________________________ 在极坐标系中，过点(2迈，目作圆p=4sin^的切线，则切线的极坐标方程为 _________________［答案］“cos 〃=2 的直角坐标x=2迈cos 扌=2,尹=2迈sin 》=2,圆〃=4sim9化为直角坐标方程为x 2+y 2=4y 9即x 2+ (y-2)2=49则过点(2,2)的圆的切线方程显然为x=2,即pcos013.兀=3+2cos 〃已知曲线G ：仁2 + 2畑(&为参数)'x=l+3/曲线C 2：4（/为参数），则Gb=i —4/［解析］=2.三、解答题15.以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（两种坐标系中取相同的单位长度），己知点/的直角坐标为（一2, 6）,点3的极坐标为（4,号），直线/过点力且倾斜角为务圆C以点B为圆心，4为半径，试求直线/的参数方程和圆C的极坐标方程.JT［解析］・・•直线/过点（-2,6）,倾斜角为才，r ―返X=—2+ 2 z・•・直线/的参数方程为｛厂（/为参数），1円+务又圆心3的直角坐标为（0,4）,半径为4,・・・圆C的直角坐标方程为,+e—4）2=16,将x=p・cos0, y=0sin0代入化简得圆C的极坐标方程为“ = 8・sin&.16.在极坐标系中，直线/的极坐标方程为以极点为原点，极轴为x轴的x=2cosa正半轴建立平而直角坐标系，曲线C的参数方程为_ c @为参数），求直线/与曲y= 1 十cos2a线C的交点P的直角坐标.［解析］因为直线/的极坐标方程为0=¥（pWR）所以直线/的普通方程为y=©c,又因为曲线C的参数方程为x=2cosa”—-（«为参数）y= 1 + cos2a所以曲线C的直角坐标方程为尸护（冃―2,2］）,x=0 解箒仁。
2019年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)课件：第十章 第4讲 第2课时 绝对值不等式
所以不等式 f(x)<4 的解集为x－12<x<72
.
(2)|x－a|＋|x－1|≥|a－1|，
当且仅当(x－a)(x－1)≤0 时等号成立.
由|a－1|≥2，得 a≤－1，或 a≥3.
所以 a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞).
考点 3 绝对值不等式中的恒成立问题 例 4：(2017 年广东惠州三模)已知函数 f(x)＝|x|＋|x＋1|. (1)若∀x∈R，恒有 f(x)≥λ成立，求实数λ的取值范围； (2)若∃m∈R，使得 m2＋2m＋f(t)＝0 成立，求实数 t 的取 值范围. 解：(1)由 f(x)＝|x|＋|x＋1|≥|x－(x＋1)|＝1 知，f(x)min＝1. 欲使∀x∈R，恒有 f(x)≥λ成立， 则需满足λ≤f(x)min. 所以实数λ的取值范围为(－∞，1].
|f(x)|>1，当 x≤－1 时，|x－4|>1， 解得 x>5，或 x<3.∴x≤－1. 当－1<x<32时，|3x－2|>1，解得 x>1 或 x<13. ∴－1<x<13，或 1<x<32.
当 x≥32时，|4－x|>1， 解得 x>5，或 x<3.∴32≤x<3，或 x>5. 综上所述，x<13，或 1<x<3，或 x>5. ∴|f(x)|>1 的解集为－∞，13∪(1,3)∪(5，＋∞).
【规律方法】形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主 要有三种解法：
①分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将 数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a<b)三个部分， 在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然 后取各个不等式解集的并集.
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极轴，则 l1 与 l2 的交点 A 的直角坐标是______．
π 解析：ρsinθ－4＝
2 π π 2 2 ⇒ρsinθcos4－ρcosθsin4＝ 2 ⇒ ⇒x＋y＝3.
x＝1－2t， y－x＝1. y＝2t＋2 x＋y＝3， 由 y－x＝1
x＝1， ⇒ y＝2
(t 为参数)和
x＝3cosφ， C： y＝2sinφ
转换
x2 y2 成普通方程为 y＝x－a 和 9 ＋ 4 ＝1，直线与 x 轴的交点为(a,0) 就是椭圆的右顶点(3,0)，所以 a＝3.
答案：3
【规律方法】常见的消参数法有：代入消元抛物线的参数 方程、加减消元直线的参数方程、平方后再加减消元圆、椭 圆的参数方程等.经常使用的公式有 sin2α＋cos2α＝1.在将曲线 的参数方程化为普通方程的过程中一定要注意参数的范围，确 保普通方程与参数方程等价.
5 x＝ t2， 4 2 4 0≤y≤1)， 表示抛物线 y ＝5x. y＝t
2 x 2 ＋ y ＝1－ 5<x≤ 5，且0≤y≤1， 5 联立方程，得 y2＝4x， 5
⇒
x2＋4x－5＝0⇒x＝1 或 x＝－5(舍去)． 又因为
2 0≤y≤1，所以它们的交点坐标为1，
⇒A(1,2)．
答案：(1,2)
●易错、易混、易漏● ⊙参数方程与普通方程互化时应注意参数的取值范围 例题：(1)(2012 年广东)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为
x＝ C1 ： y＝
5cosθ， π (θ 是参数， 0≤θ≤ ) 2 5sinθ
为参数)． x2 y2 (3)双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的参数方程为
x＝asecφ， y＝btanφ
(φ 为参数)．
(4) 抛物线 数)．
2 x ＝ 2 pt ， 2 y ＝ 2px(p>0) 的参数方程为 y＝2pt
(t 为参
b (5) 过 点 P(x0 ， y0) ， 且 斜 率 为 的 直 线 的 参 数 方 程 为 a
4．了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的 方法，并与空间直角坐标系表示点的位置的方法相比较， 了解它们的区别． 5．了解参数方程，了解参数的意义；能选择适当的参
数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．
6．了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们 的参数方程． 7．了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应 用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用．
【互动探究】
x＝ 5cosθ， 2．已知两曲线的参数方程分别为 y＝sinθ
(0≤θ<π)
52 x＝ t ， 和 4 (t∈R)，则它们的交点坐标为________． y＝t
x＝ 5cosθ， 解析： y＝sinθ
x2 2 表示椭圆 5 ＋y ＝1(－ 5<x≤ 5，且
则实数a的取值范围是________．
正解：如图
x＝sinθ， 1031，曲线 2 y ＝ sin θ
(θ 为参数)为抛物线 y
＝x2(－1≤x≤1)．若曲线与直线 y＝a 有两个公共点，则借助图 形观察易得 0<a≤1.
答案：(0,1]
图 10-3-1
【失误与防范】在将曲线的参数方程化为普通方程时，不 仅仅是把其中的参数消去，还要注意 x，y 的取值范围，同时在 消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性. 本题很容易忽略参数方程中 0≤sin2θ≤1 的限制而致错.
答案：(1,1)
(2)(2013 年湖南)在平面直角坐标系 xOy 中，若 l：
x＝t， y＝t－a
(t 为参数)过椭圆
x＝3cosφ， C： y＝2sinφ
(φ 为参数)的右顶
点，则常数 a 的值为__________．
解析：将
x＝t， l： y＝t－a
C ．x
2
12 1 ＋y－2 ＝ 4
12 2 1 D.x－2 ＋y ＝ 4
x＝1＋2t， 3．若直线的参数方程为 y＝2－3t，
(t 为参数)，则该直线
的斜率为( D ) 2 A.3 3 C.2 4． 方程
π ρsinθ＋4＝
2 B．－3 3 D．－2 2 x＋y＝1 ． 表示的曲线的普通方程是 ________ 2
代入 x2＋y2－8x－10y＋16＝0，得 ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0. ∴C1 的极坐标方程为 ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.
(2)C2 的普通方程为 x2＋y2－2y＝0，
2 2 x ＋y －8x－10y＋16＝0， 由 2 2 x ＋y －2y＝0
x＝1－ 2t， 2 和 C2 ： (t 是参数)， 则它们的交点坐标为_____． 2 y＝－ 2 t 正解：C1：x2＋y2＝5(0≤x≤ 5)，C2：y＝x－1，
解得交点坐标为(2,1)．
答案：(2,1)
(2)曲线
x＝sinθ， 2 y＝sin θ
(θ为参数)与直线y＝a有两个公共点，
5
5 .
2 5 答案：1， 5
考点3
极坐标与参课 标 Ⅰ ) 已 知 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为
x＝4＋5cost， y＝5＋5sint
(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ＝2sinθ.
(2)(2013
π 年北京)在极坐标系中，点2，6到直线
ρsinθ＝2
1 的距离等于________ ．
π 解析：将点2，6转化成普通坐标为(
3，1)，ρsinθ＝2 转
换成普通方程为 y＝2，所以所求点到直线的距离等于 1.
考点 2
参数方程与普通方程的相互转化
第3 讲
坐标系与参数方程
1 ．理解坐标系的作用；了解在平面直角坐标系伸缩变 换作用下平面图形的变化情况．
2 ．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极
坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极 坐标和直角坐标的互化．
3．能在极坐标系中给出简单图形 (如过极点的直线、过
极点或圆心在极点的圆 ) 的方程．通过比较这些图形在极坐 标和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时 选择适当坐标系的意义．
例 2：(1)(2012 年广东)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为
x＝ y＝ x＝t， C1 ： t y＝
(t 是参数 ) 和 C2 ：
2cosθ， (θ 是参数)，则它们的交点坐标为________． 2sinθ
解析：C1：y2＝x(y>0)，C2：x2＋y2＝2，得交点坐标为(1,1)．
【互动探究】
3．(2013 年广东)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.以极
点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，则曲线
x＝1＋cosθ， (θ为参数) y ＝ sin θ C 的参数方程为__________________________.
解析：ρ＝2cosθ的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，其参数方程
考点1
极坐标与直角坐标的相互转化
例1 ：在极坐标系中，设圆ρ ＝3 上的点到直线ρ(cosθ ＋
3 sinθ)＝2 的距离为 d，求 d 的最大值．
解：将极坐标方程转化为普通方程：x2＋y2＝9， ρ(cosθ＋ 3sinθ)＝2 可化为 x＋ 3y＝2. 在 x2＋y2＝9 上任取一点 A(3cosα，3sinα)，则点 A 到直线 的距离为 |3cosα＋3 3sinα－2| |6sinα＋30° －2| d＝ ＝ ， 2 2 它的最大值为 4.
x＝1， 解得 y＝1
x＝0， 或 y＝2.
∴C1 与
C2 交点的极坐标为
π π 2，4，2，2.
【规律方法】极坐标方程与参数方程之间不能直接互化，
必须以普通方程为桥梁，即将极坐标方程转化为普通方程再转 化为参数方程，或将参数方程转化为普通方程再转化为极坐标 方程，要注意普通方程与参数方程的等价性.
x＝1＋cosθ， 为 y＝sinθ.
4．(2014 年广东肇庆一模)已知曲线 l1 的极坐标系方程为 ρsin
π θ－ 4
2 ＝ 2 (ρ>0,0≤θ≤2π) ， 直 线 l2 的 参 数 方 程 为 (t 为参数)．若以直角坐标系的 x 轴的非负半轴为
x＝1－2t， y＝2t＋2
x＝a＋rcosθ， (θ 为参数) y＝b＋rsinθ _____________________________________ ， 参数
θ 的几何意义
是圆上的点绕圆心旋转的角度． a b
x＝acosφ， x2 y2 y＝bsinφ (2) 椭圆 2 ＋ 2 ＝ 1(a>b>0) 的参数方程为 ______________( φ
π A.2，3 2π C.2， 3 π B.2，－3 π D.2，2kπ＋3(k∈Z)
2．极坐标方程 ρ＝cosθ 化为直角坐标方程为( D )
12 2 1 A.x＋2 ＋y ＝4
B．x
2
12 1 ＋y＋2 ＝4
1．极坐标和直角坐标的互化公式 若点 M 的极坐标为(ρ，θ)，直角坐标为(x，y)，
x＝ρcosθ， 则 y＝ρsinθ，
ρ2＝x2＋y2 ① ② y tanθ＝x，x≠0.
将直角坐标化为极坐标利用公式①，将极坐标化为直角坐 标利用公式②.