0020高等数学第一章

1o. x R, x 0 .
2o. x R, x x x .
3o. x h (h 0) h x h .
4o. x h (h 0) x h 或 x h .
5o. x, y R , x y x y x y .
例7 设 f ( x) 为定义在(l, l) (l 0)内的任意函数,
证明 f ( x) 在(l, l)内能表成奇函数与偶函数的和.
证
令 F(x)
1[ f (x) 2
f ( x)],
偶函数
G( x) 1 [ f ( x) f ( x)] , 奇函数
2
显然 f (x) F(x) G(x) .
邻域: 点 x0 的 实 心 邻 域: U ( x0 , )
{x x x0 } ( x0 , x0 ) .
点 x0 为 邻 域的 中 心, 0, 为邻域的半径.


x0
x0
x0
x
点 x0 的 空 心 邻 域 ：U O ( x0 , )
三角函数
三角函数的定义：
p(x,y)
r
角α的终边上任意一点P（x,y），
a
它与原点的距离是r(r>0)，那么角α
的正弦、余弦、正切、余切、正割、
余割分别是
sin a
y
r
cot a x
(2)若 p ( q ) R,x D f ( x) p( f ( x) q ) ,
则称 f ( x) 在 D 上有上( 下 )界 .
定理 函数 f ( x) 在 D 上有界 函数 f ( x) 在 D 上既有上界又有下界.
(3) 若 M 0,xM D f ( xM ) M , 则称 f ( x) 在 D 上无界 .
（1）、解不等式 ax b c 相当于解不等式
c ax b c
即
ax b c, ax b c,
（2）、解不等式ax b c相当于解不等式 ax b c 或 ax b c
数列
定义，通项，前n项和S及其表示
等差数列
定义，公差d，通项，前n项和S，等差中项
第一章 函数
初等代数中的几个问题
一元二次方程
定义 判别式 ∆ 判别式与实根的关系 ∆>0， ∆=0， ∆<0
二元一次方程组
定义 唯一解、无解、无穷多解的情况
代数不等式
不等式：表示两个量之间的大小关系的记号叫做不等号， 用不等号连接的式子叫做不等式
常用的不等号有： > ，< ， ， ，
基本性质： 如果 a-b 0 ，那么 a b ；反之也成立。 如果 a-b<0 ，那么 a<b ；反之也成立。
x
而 x [a, b（ ] 不包含原点）, 即 a x b ,
1 1 1 , f ( x) 1 在 [a, b] 上有界.
bxa
x
2．函数的单调性 设 y f ( x) , x D.
如果 x1, x2 D, 当 x1 x2时,
恒有: f ( x1 ) ( > ) f ( x2 ), 则称函数f ( x)在区间D 上是单调递增（减）的.
{x 0 x x0 } ( x0 , x0 ) ( x0 , x0 ) .


x0
x0
x0
x
1.一些逻辑符号
：表示“可推出”或“ 若，则”.
：表示“当且仅当”或“充分必要” 或“等价”. 充分条件，必要条件 充分非必要条件 必要非充分条件 既不充分也不必要条件
高等数学（经济管理类公共课）
全国高等教育自学考试指导委员会 主编：扈志明
前言
本课程是全国高等教育自学考试经济管理类 专科中的一门重要的基础理论课程。是为 培养各种与经济管理有关的人才二设置的， 在当今时代，数学科学已渗透到各个学科 领域，微积分是近代科学最主要的成就， 是学习任何一门科学或经济管理专业的数 学基础。
定义 设给定两个非空实数集D 和 M .
若 x D, 按照某种对应法则 f , 对应 唯一确定
的一个实数y M , 则称 f 是定义在D 上的函数，
表示为：f : D M
( x y f (x) )
D 称为函数 f 的定义域，数 x 对应的数y 称为
x 的函数值，记作y f ( x) ;
• 高等数学是在实数范围，用极限的方法， 研究函数（主要是初等函数或少量非初等 函数）以及函数的微分学和积分学性质。 其主要内容包括导数，微分和积分的概念、 性质，微分运算法则与积分预算公式，微 分学和积分学的应用等内容。极限是研究 函数微分学与积分学性质的基本工具。
几点要求
1. 学习方法：上课前先预习，带着问题来听课， 必须记适当的笔记，但要注意以听为主。课后不要 急于完成作业，通过复习，基本掌握了课堂教学内 容后，再去做作业，在学习中，要养成多想问题的 好习惯。
作业：P26 第一题选择题：单数 第二题计算题：单数 第四题
函数的概念与图形
在日常生活中，有两种常见的量，一种量的值是固 定的，称为常量，另一种值可以取不同的值，称 之为变量，函数研究的就是变量之间的对应关系。
例如：圆的面积公式 自由落体运动 价格与单价的关系 温度与时间的关系等
函数的概念
一. 函数的定义
10小题，每小题3分，共30分 5小题，每小题4分，共20分 5小题，每小题5分，共25分 4小题，共25分
试卷内容结构
第一章，第二章 第三章，第四章 第五章 第六章
函数、极限与连续 一元函数微分学 一元函数积分学 多元函数微积分
25分左右 35分左右 25分左右 15分左右
试题难度分布
试题难度分为：易、中等偏易、中等偏难、难 分值分别为： 30分、40分、20分、10分
分段函数
一个函数也可以在其定义域的不同部分分别
用不同的解析式子表示，则称之为分段定义的函数， 简称分段函数 .
x2 , 0 x ,
例如:
f
(x)



1 2
,
x0 ,
1 x , x 0 .
y
y f (x)
1
1
2
x
o
• 作业p32 1、选择题 1、3、4、5
y y f (x)
y
y f (x)
f (x2)
f (x1 )
f ( x1 )
f (x2 )
o
D
x
o
x
D
当 f (x)在D 上单调递增或单调递减时，则称 f (x)
在 D 上是单调的 ; f (x) 为D 上的单调函数.
如果 x1, x2 D, 当 x1 x2时,
恒有: f ( x1 ) ( ) f ( x2 ), 则称函数f ( x)在区间D 上是单调不减( 增 ) .
如果 a b ， c 0 ，那么 ac bc ． 性质 5 如. 果 a b 0 ，那么 a2 b2 ． 性质 6 如果 a b 0 ，那么 a b ；
反之如果 a b ，那么 a b 。
常用不等式:
绝对值 :
x R ,
x

x x
, ,
x0, x0.
解法：经过同解变形，例如去分母，去括号，移项、合并同 类项、不等式两边都除以未知系数（为负数时，改变不等号 方向）等，得到形如 ax b 或 ax b(，a 0) 然后进行求解。
形如 ax b 或 ax b(a 0) 的不等式的解
① 形如 ax b (a 0) 的解集为: x b a
三角不等式
更一般地， xi R (1 i n) , 有
x1 x2 xn x1 x2 xn .
6o. ( 平均值不等式 )
a1a2

a1 a2 2
( 几何平均值 )( 算术平均值 )
一元一次不等式及其解法
定义 只有一个未知数（一元），不等式未知数的最高次数为 1（一次）的不等式
称为函数 f 的值域. 函数传统的习惯符号： y f ( x) ， x D .
表示法分别有：表达式，图形和数表
函数图形
函数的图形是指在xOy平面上的点集 常见幂函数的图形如下：
函数的性质
1．函数的有界性 设 y f ( x) , x D .
(1) 若 M 0 , x D f ( x) M , 则称 f ( x) 在 D 上有界.
等比数列
定义，公比，通项，前n项和，等比中述方法：列表法，描述法，图表法 有限集，无限集，空集 交集，并集，余集
常见的集合：自然数集（N），整数集（Z） 有理数集（Q），实数集（R），复数集（C）
区间：由数轴上两点间的一切实数所组成的集合叫做区间.
例6 证明：f ( x) 1 在 ( ,0) 与 (0, ) ( 0) 无界，
x
在任何不包含原点的闭区间 [a, b] 上有界 .
证
M ( M 1

)0,
xM :
0
xM

1 ,
M
1 f (xM ) xM M .
f ( x) 1 在 ( ,0) 与 (0, ) ( 0) 无界;
不等式的性质
由基本性质，我们可以证明得到下面的性质
性质 1 如果 a b ，那么 b a ； 反之，如果 a b ，那么 b a （自反性）；
性质 2 如果 a b ，且 b c ，那么 a c （传递性） 性质 3 如果 a b ，那么 a c b c ． 性质 4 如果 a b ， c 0 ，那么 ac bc ；