2017年全国高考文科数学试题及答案-全国卷3

2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学3一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则A B 中元素的个数为 A ．1B ．2C ．3D ．42．复平面内表示复数(2)z i i =-+的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是A ．月接待游客逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α= A ．79-B ．29-C ．29D ．795．设,x y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z x y =-的取值范围是A ．[-3，0]B ．[-3，2]C ．[0，2]D ．[0，3]6．函数1()sin()cos()536f x x x ππ=++-的最大值为 A ．65 B ．1 C ．35D ．157．函数2sin 1xy x x=++的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．8．执行右面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N的最小值为 A ．5 B ．4 C ．3 D ．29．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．πB ．34π C ．2πD ．4π10．在正方体1111ABCD A BC D -中，E 为棱CD 的中点，则 A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A ．3B ．3C ．3D ．1312．已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量(2,3),(3,)a b m =-=，且a b ⊥，则m = .14．双曲线2221(0)9x y a a -=>的一条渐近线方程为35y x =，则a = .15．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 。

已知60,3C b c === ，则A =_________。

16．设函数1,0,()2,0,x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩　则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是__________。

三、解答题：共70分。

17．（12分）设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-= .（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}21na n +的前n 项和.18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．19．（12分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD =CD ．（1）证明：AC ⊥BD ；（2）已知△ACD 是直角三角形，AB =BD ．若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．20．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.21．（12分）已知函数()2(1)ln 2x ax a x f x =+++．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a <时，证明3()24f x a≤--．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2,x t y kt=+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为2,x m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程：（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3l：(cos sin )0ρθθ+=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()||||f x x x =+1--2． （1）求不等式()f x ≥1的解集；（2）若不等式()f x x x m 2≥-+的解集非空，求m 的取值范围．2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案一、选择题1．B 2．C 3．A 4．A5．B6．A7．D 8．D9．B10．C 11．A 12．C二、填空题13．2 14．515．75°16．1(,)4-+∞ 三、解答题 17．解：（1）因为123(21)2n a a n a n +++-= ，故当2n ≥时，1213(23)2(1)n a a n a n -+++-=-两式相减得(21)2n n a -= 所以2(2)21n a n n =≥- 又由题设可得12a = 从而{}n a 的通项公式为221n a n =- （2）记{}21na n +的前n 项和为n S 由（1）知21121(21)(21)2121n a n n n n n ==-++--+则1111112 (1335212121)n nS n n n =-+-++-=-++ 18．解：（1）这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为216360.690++=，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6（2）当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则64504450900Y =⨯-⨯=；若最高气温位于区间[20,25），则63002(450300)4450300Y =⨯+--⨯=；若最高气温低于20，则62002(450200)4450100Y =⨯+--⨯=- 所以，Y 的所有可能值为900,300，-100Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为3625740.890+++=，因此Y 大于零的概率的估计值为0.819．解：（1）取AC 的中点O ，连结,DO BO ，因为AD CD =，所以AC DO ⊥ 又由于ABC ∆是正三角形，故BO AC ⊥ 从而AC ⊥平面DOB ，故AC BD ⊥ （2）连结EO由（1）及题设知90ADC ∠=，所以DO AO =在Rt AOB ∆中，222BO AO AB += 又AB BD =，所以222222BO DO BO AO AB BD +=+==，故90DOB ∠= 由题设知AEC ∆为直角三角形，所以12EO AC =又ABC ∆是正三角形，且AB BD =，所以12EO BD =故E 为BD 的中点，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1:1 20．解：（1）不能出现AC BC ⊥的情况，理由如下：设12(,0),(,0)A x B x ，则12,x x 满足220x mx +-=，所以122x x =-又C 的坐标为（0,1），故AC 的斜率与BC 的斜率之积为121112x x --⋅=-，所以不能出现AC BC ⊥的情况（2）BC 的中点坐标为21(,)22x ，可得BC 的中垂线方程为221()22x y x x -=- 由（1）可得12x x m +=-，所以AB 的中垂线方程为2mx =-ODABCE联立22,21()22m x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩又22220x mx +-=，可得,212m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 所以过A,B,C 三点的圆的圆心坐标为1(,)22m --，半径r =故圆在y轴上截得的弦长为3=，即过A,B,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值。

21．解：（1）f(x)的定义域为(0,)+∞，1(1)(21)()221x ax f x ax a x x++'=+++= 若0a ≥，则当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在(0,)+∞单调递增若0a <，则当1(0,)2x a ∈-时，()0f x '>；当1(,)2x a∈-+∞时，()0f x '< 故()f x 在1(0,)2a -单调递增，在1(,)2a-+∞单调递减。

（2）由（1）知，当0a <时，()f x 在12x a=-取得最大值，最大值为111()ln()1224f a a a -=---所以3()24f x a ≤--等价于113ln()12244a a a ---≤--，即11ln()1022a a-++≤ 设()ln 1g x x x =-+，则1()1g x x'=-当(0,1)x ∈时，()0g x '>；当(1,)x ∈+∞，()0g x '<。

所以()g x 在（0,1）单调递增，在(1,)+∞单调递减。

故当1x =时，()g x 取得最大值，最大值为(1)0g = 所以当0x >时，()0g x ≤ 从而当0a <时，11ln()1022a a -++≤，即3()24f x a≤-- 22．解：（1）消去参数t 得1l 的普通方程1:(2)l y k x =-；消去参数m t 得2l 的普通方程21:(2)l y x k=+ 设(,)P x y ，由题设得(2),1(2).y k x y x k =-⎧⎪⎨=+⎪⎩消去k 得224(0)x y y -=≠ 所以C 的普通方程为224(0)x y y -=≠（2）C 的极坐标方程为222(cos sin )4(22,)ρθθθπθπ-=<<≠联立222(cos sin )4,(cos sin )0ρθθρθθ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩得cos sin 2(cos sin )θθθθ-=+故1tan 3θ=-，从而2291cos ,sin 1010θθ== 代入222(cos sin )4ρθθ-=得25ρ=，所以交点M23．解：（1）3,1,()21,12,3,2x f x x x x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪>⎩当1x <-时，()1f x ≥无解；当12x -≤≤时，由()1f x ≥得，211x -≥，解得12x ≤≤； 当2x >时，由()1f x ≥解得2x > 所以()1f x ≥的解集为{|1}x x ≥（2）由2()f x x x m ≥-+得2|1||2|m x x x x ≤+---+，而22|1||2|||1||2||x x x x x x x x +---+≤++--+235(||)24x =--+54≤且当32x =时，25|1||2|4x x x x +---+= 故m 的取值范围为5(,]4-∞。