2013北京中考数学第24题解法及常见问题
2013北京中考数学试题答案
2013北京中考数学试题答案一、选择题（共32分，每题4分）1-8 BDCCBABA二、填空题（共16分，每题4分）9.()22a b - 10.答案不唯一 ()210,1x a c +>= 11.20 12.31,,0123---和三、解答题（共30分，每题5分）13.证：因为ADE △≌BAC △()ASA ，所以BC AE =（全等三角形对应边相等）14.解：原式2122452=+-⨯+=15.解：不等式组的解集为115x -<<16.解：原式23129x x =-+，当241x x -=时，原式12=17.解：设每人每小时的绿化面积为x 平方米 依题有180180368x x =+ 解得52x = 经检验52x =是原方程的解 答：每人每小时的绿化面积为52平方米18.解：（1）0∆>，52k < （2）2k =四、解答题（共20分，每题5分）19.证:（1）利用CE FD ∥，CE FD =得出四边形CEDF 是平行四边形 解：（2）13DE =20. 证：（1）因为EDO APO =∠∠,APO CPO =∠∠所以EPD EDO =∠∠ 解：（2）5OE =21. 解：（1）00.3（2）第九届陆地面积3.6平方千米，水面面积1.5平方千米（3）33.710⨯22. 解：（1）a ；（2）2 ；23五、解答题（共22分，23题7分，24题7分，28题8分）23．解：（1）易得()0,2A -、()1,0B ；（2）设直线l 解析式为y kx b =+，根据对称，易得直线l 与直线AB 关于x 轴对称，∴直线l 过()0,2， 又∵()1,0B ，∴20b k b =⎧⎨+=⎩，得22k b =-⎧⎨=⎩，∴直线l 解析式为22y x =-+； （3）根据对称，抛物线在21x -<<-这一段位于直线l 的上方，相当于抛物线在34x <<这一段位于直线AB 的上方，又∵在23x <<这一段位于直线AB 的下方，∴抛物线过点()3,4，∴抛物线解析式为2242y x x =--．24．（1）302ABD α∠=︒-；（2）等边三角形；连接AD 、CD ，可得△BCD 为等边三角形，在△ABD 和△ACD 中，∵AB AC AD AD BD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACD （SSS ）∴150ADB ∠=︒，在△ABD 和△EBC 中，∵ABD EBC BD BC BDA BCA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABD ≌△EBC （ASA ）∴BA BE =，又∵60ABE ∠=︒，∴△ABE 为等边三角形．（3）由（2）得，90DCE ∠=︒，又∵45DEC ∠=︒，∴△DCE 为等腰直角三角形， ∴CD CE CB ==，∴DA DB =，∴15DAB ∠=︒，∴30α=︒．25、解：（1）①D 、E ②03m ≤≤，直线与圆相离，直线外的点如果作圆的切线，此时切点与点P 以及圆心组成的角<30︒，就不可能是关联点，相切如果正好是30︒，则意味着点到圆心的距离等于2，223243m m ⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭，03m =或，点到圆心的距离小于2的均可以是关联点 （2）1r ≥，线段的中点在圆心，此时圆的最小半径为1。
2013年北京市中考数学试卷-答案
（2）求出点A关于对称轴的对称点 ，然后设直线l的解析式为 ，利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（3）根据二次函数的对称性判断在 这一段与在 这一段关于对称轴对称，然后判断出抛物线与直线l的交点的横坐标为 ，代入直线l求出交点坐标，然后代入抛物线求出m的值即可得到抛物线解析式．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
17.【答案】2.5平方米
【解析】解：设每人每小时的绿化面积x平方米，由题意，得
，解得：
经检验， 是原方程的解，且符合题意．
答：每人每小时的绿化面积2.5平方米．
【提示】设每人每小时的绿化面积x平方米，根据增加2人后完成的时间比原来的时间少3小时为等量关系建立方程求出其解即可．
（2）找出k范围中的整数解确定出k的值，经检验即可得到满足题意k的值．
【考点】根的判别式，一元二次方程的解，解一元二次方程—公式法．
四、解答题
19.【答案】（1）见解析
（2）
【解析】证明：（1）在 中， ，且 ．
∵F是AD的中点，∴ ．
又∵ ，∴ ，且 ，
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）解：如图，过点D作 于点H．
（3）求出 ， 为等腰直角三角形，推出 ，求出 ，
得出方程 ，求出即可．
【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形，旋转的性质．
25.【答案】（1）①
②
（2）
【解析】解：（1）①如图1所示，过点E作 的切线设切点为R，
∵ 的半径为1，∴ ，∵ ，∴∠ ，
根据切线长定理得出 的左侧还有一个切点，使得组成的角等于 ，∴E点是 的关联点，
2013年北京市中考数学试卷及详细分析评论
2013年北京中考数学真题评析：难度有所下降
2013年中考报道学而思兰清2013-06-25 13:57
特点九、考察学生对于知识点的深入理解能力逐渐加大。
解答题第23题第三小问，重点考察直线与抛物线位置关系的深入理解，难度较大。
最后，笔者衷心祝愿2013年广大学子能取得优异的成绩，考入理想的高中。
同时祝愿决战2014中
考的新初三学员能倍加努力，在2014年中考中也能取得优异的成绩。
（学而思(微博)中考研究中心中考研究办公室兰清）
2013年北京中考数学试卷题型结构分布
摘要：2013年北京中考数学试卷题型结构分布
(一)试卷分数、考试时间
试卷满分为120分，考试时间为120分钟。
(二)试卷知识内容分布
数与代数约60分
空间与图形约46分
统计与概率约14分
(三)试卷试题难易程度分布
较易试题约60分
中等试题约36分
较难试题约24分
(四)试卷题型分布
选择题约32分
填空题约16分
解答题约72分。
2013年北京中考数学试卷解析：计算题
2013年北京中考数学试卷解析：计算题23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx －2 m≠0 与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B.求点A，B的坐标；设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；若该抛物线在－2 x －1这一段位于直线l的上方，并且在2 x 3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式。
【考点】一次函数、二次函数综合题。
【难度】中等。
【点评】前两问都比较简单，第三问有一定难度，考察学生对于函数图象平移的理解，以及对于直线与抛物线位置关系的运用。
此题的关键在于临界点讨论需要同学们能够表示出临界点的坐标，带入直线解析式即可得到n的取值范围该题目在初三强化提高班讲座1 专题讲座第八章总复习讲座2 综合复习部分做了专题讲解，中考原题与讲义中给出的题目十分相似，考查的知识点及解题方法完全相同。
【解析】24．在△ABC中，AB＝AC，BAC＝α，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.如图1，直接写出ABD的大小；如图2，BCE＝150°，ABE＝60 °，判断△ABE的形状并加以证明；在的条件下，连接DE，若DEC＝45°，求α的值。
【考点】二次函数综合题。
【难度】中等。
【点评】本题考查了二次函数的综合运用，该题目在初三强化提高班讲座1 专题讲座第八章总复习讲座2 综合复习部分做了专题讲解，中考原题与讲义中给出的题目十分相似，考查的知识点及解题方法完全相同。
【解析】25．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得APB＝60°，则称P为⊙C的关联点。
当⊙O的半径为1时，①在点D，E，F中，⊙O的关联点是＿＿＿＿＿＿＿；②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使GFO＝30 ，若直线l上的点P是⊙O的关联点，求m的取值范围；若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围。
中考数学复习考点题型专题讲解24 新定义与数字类规律探究问题
中考数学复习考点题型专题讲解中考数学复习考点题型专题讲解）专题24 新定义与数字类规律探究问题（重难点培优重难点培优）小题））解答题（（共24小题一．解答题1．（2023秋•北京期中）对于有理数a，b，n，d，若|a﹣n|+|b﹣n|＝d，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如，|2﹣1|+|3﹣1|＝3，则2和3关于1的“相对关系值”为3．（1）﹣3和5关于1的“相对关系值”为8；（2）若a和2关于1的“相对关系值”为4，求a的值．【分析】（1）根据“相对关系值”的定义直接列式计算即可；（2）根据“相对关系值”的定义列出关于a的方程，解方程即可．【解析】（1）由题意得，|﹣3﹣1|+|5﹣1|＝8．故答案为8；（2）由题意得，|a﹣1|+|2﹣1|＝4，解得，a＝4或﹣2．2．（2023春•梁溪区校级期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果a c＝b，那么（a，b）＝c．例如因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空①（3，81）＝4，（﹣2，﹣32）＝5；②若（x，ଵ଼）＝﹣3，则x＝2．（2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，探究a，b，c之间的数量关系并说明理由．【分析】（1）①根据有理数的乘方及新定义计算；②根据新定义和负整数指数幂计算；（2）根据题意得4a＝5，4b＝6，4c＝30，根据5×6＝30列出等式即可得出答案．【解析】（1）①∵34＝81，∴（3，81）＝4，∵（﹣2）5＝﹣32，∴（﹣2，﹣32）＝5，故答案为4，5；（2）根据题意得x﹣3=18，∴ଵ௫య=ଵ଼，∴x＝2，故答案为2；（3）a+b＝c，理由如下根据题意得4a＝5，4b＝6，4c＝30，∵5×6＝30，∴4a•4b＝4c，∴4a+b＝4c，∴a+b＝c．3．（2023春•洪泽区期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）如果a c＝b，那么（a，b）＝c．例如因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空（3，9）＝2，（4，1）＝0，（2，ଵ଼）＝ ﹣3．（2）小明在研究这种运算时发现一个现象（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下的证明设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）．请你用这种方法证明下面这个等式（3，4）+（3，5）＝（3，20）．【分析】（1）根据定义直接可得（3，9）＝2，（4，1）＝0，（2，ଵ଼）＝﹣3；（2）设（3，4）＝x，（3，5）＝y，则3x＝4，3y＝5，所以3x+y＝3x•3y，＝20，从而求解．【解答】（1）解因为32＝9，所以（3，9）＝2；因为40＝1，所以（4，1）＝0；因为2﹣3=18，所以（2，ଵ଼）＝﹣3．故答案为2，0，﹣3；（2）证明设（3，4）＝x，（3，5）＝y，则3x＝4，3y＝5，所以3x+y＝3x•3y＝4×5＝20，所以（3，20）＝x+y，所以（3，4）+（3，5）＝（3，20）．4．（2023春•东台市期中）对于任意有理数a、b、c、d，我们规定符号（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc+2，例如（1，3）⊗（2，4）＝1×4﹣2×3+2＝0．（1）求（﹣2，1）⊗（3，5）的值；（2）求（2a+1，a﹣2）⊗（3a+2，a﹣3）的值，其中a2+a+5＝0．【分析】（1）根据（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc+2，可以求得所求式子的值；（2）根据（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc+2，先将所求式子化简，然后再根据a2+a+5＝0，可以得到a2+a＝﹣5，再代入化简后的式子计算即可．【解析】（1）∵（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc+2，∴（﹣2，1）⊗（3，5）＝（﹣2）×5﹣1×3+2＝（﹣10）﹣3+2＝﹣11；（2）∵（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc+2，∴（2a+1，a﹣2）⊗（3a+2，a﹣3）＝（2a+1）（a﹣3）﹣（a﹣2）（3a+2）+2＝2a2﹣5a﹣3﹣3a2+4a+4+2＝﹣a2﹣a+3，∵a2+a+5＝0，∴a2+a＝﹣5，∴原式＝﹣（a2+a）+3＝﹣（﹣5）+3＝5+3＝8．5．（2023春•罗山县期中）观察下列两个等式2−13=2×13+1，5−23=5×23+1，给出定义如下我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b）．如数对(2，13)，(5，23)都是“共生有理数对”．（1）判断数对（﹣2，1），(3，12)中，(3，12)是“共生有理数对”；（2）若（a，3）是“共生有理数对”，求a的值；（3）若（m，n）是“共生有理数对”，则（﹣n，﹣m） 是 （填写“是”或“不是”）“共生有理数对”，说明你的理由．【分析】（1）先判断，然后根据题目中的新定义，可以判断（﹣2，1），(3，12)是否为“共生有理数对“；（2）根据新定义可得关于a的一元一次方程，再解方程即可；（3）根据共生有理数对的定义对（﹣n，﹣m）变形即可判断．【解析】（1）（﹣2，1）不是“共生有理数对“，（3，ଵଶ）是“共生有理数对“，理由∵﹣2﹣1＝﹣3，﹣2×1+1＝﹣2+1＝﹣1，∴（﹣2，1）不是“共生有理数对“，∵3−12=52，3×12+1=52，∴（3，ଵଶ）是“共生有理数对”；故答案为(3，12)；（2）由题意，得a﹣3＝3a+1，解得a＝﹣2；（3）是，理由∵m﹣n＝mn+1，∴﹣n﹣（﹣m）＝﹣n+m＝mn+1＝（﹣n）（﹣m）+1，∴（﹣n，﹣m）是共生有理数对．故答案为是．6．（2023秋•成武县期中）【概念学习】现规定求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地，把ܽ÷ܽ÷ܽ⋯÷ܽ个（a≠0）写作aⓝ，读作“a的圈n次方”．︸【初步探究】（1）直接写出计算结果2③＝ଵଶ，（−12）④＝4；（2）下列关于除方说法中，错误的是C．A任何非零数的圈2次方都等于1B对于任何正整数n，1ⓝ＝1C 3④＝4③D负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（3）试一试 仿照上面的算3，（ଵହ）⑥＝54．（4）想一想 请把有理数﹣2． ．（5）算一算 12ଶൊሺെ13ሻ【分析】（1）根据规定运算（2）根据圈n 次方的意义（3）根据题例的规定，直接（4）根据圈n 次方的规定和（5）先把圈n 次方转化成幂【解析】（1）2③＝2÷2（−12）④＝（െ12）÷（故答案为 ଵଶ，4；（2）∵3④＝3÷3÷3÷3∴3④≠4③． 故选 C ．（3）（﹣3）⑤＝（﹣3）÷×（−13）＝（െ13）3，（ଵହ）⑥＝（ଵହ）÷（ଵହ）÷面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式 （﹣理数a （a ≠0）的圈n （n ≥3）次方写成幂的形式为)④×(−2ሻ⑥െሺെ13ሻ⑥ൊ3ଷൌ ﹣2．定运算，直接计算即可；意义，计算判断得结论； 直接写成幂的形式即可；规定和（3）的结果，综合可得结论；化成幂的形式，利用有理数的混合运算，计算求值即÷2＝1÷2ൌ12，െ12）÷（െ12）÷（െ12）＝1×2×2＝4； ൌ19，4③＝4÷4÷4ൌ14， ÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝1×（÷（ଵହ）÷（ଵହ）÷（ଵହ）÷（ଵହ）＝1×5×5×53）⑤＝ （െ13）式为a ⓝ＝ （ଵ）n求值即可． （−13）×（െ13）×5＝54；故答案为 （െ13）3，54；（4）（4）a ÷a ÷a ÷…÷a ＝a ×1ܽ×1ܽ×⋯×1ܽ=（ଵ）n ﹣2．故答案为 （ଵ）n ﹣2．（5）原式＝＝122÷32×（ଵଶ）4﹣34÷33＝24×32÷32×（ଵଶ）4﹣3 ＝1﹣3 ＝﹣2． 故答案为 ﹣2．7．（2018秋•长葛市期中）材料一般地，n 个相同的因数a 相乘 ܽ⋅ܽ⋯ܽ︸个记为ܽ．如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log 28（即log 28＝3）．一般地，若a n＝b （a ＞0且a ≠1，b ＞0），则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log a b ＝n ）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log 381（即log 381＝4）．问题（1）计算以下各对数的值 log 24＝2，log 216＝4，log 264＝6．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式为4×16＝64log 24、log 216、log 264之间又满足怎样的关系式 log 24+log 216＝log 264（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？log a M +log a N ＝MN （a ＞o 且a ≠1，M ＞0，N ＞0）．【分析】（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，不难找到规律 4×16＝64，log 24+log 216＝log 264； （3）由特殊到一般，得出结论 log a M +log a N ＝log a MN ． 【解析】（1）log 24＝2，log 216＝4，log 264＝6，故答案为2、4、6；（2）4×16＝64，log24+log216＝log264，故答案为4×16＝64，log24+log216＝log264；（3）log a M+log a N＝log a MN，故答案为MN．8．（2023春•邗江区校级月考）概念学习规定求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把a÷a÷a……÷a（n个a，a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．（1）直接写出计算结果2③＝ଵଶ，(−12)⑤=﹣8；（2）将下列运算结果直接写成幂的形式5⑥＝ଵହర；(−12)⑩=28；（3）想一想将一个非零有理数a的圈n（n≥3）次方写成幂的形式为ଵషమ；（4）算一算42×(−13)④．【分析】根据新定义内容列出算式，然后将除法转化为乘法，再根据乘法和乘方的运算法则进行化简计算．【解析】（1）2③＝2÷2÷2=12；(−12)③=（−12）÷（−12）÷（−12）÷（−12）÷（−12）＝﹣8；（2）5⑥＝5÷5÷5÷5÷5÷5=154；(−12)⑩=28；（3）aⓝ＝a÷a÷a……÷a=1ܽ݊−2；（4）原式＝16×9＝144．9．（2023秋•滕州市期末）如果x n＝y，那么我们记为（x，y）＝n．例如32＝9，则（3，9）＝2．（1）根据上述规定，填空（2，8）＝3，（2，ଵସ）＝ ﹣2；（2）若（4，a）＝2，（b，8）＝3，求（b，a）的值．【分析】（1）这个定义括号内第一个数为底数，第二个数为幂，结果为指数，根据有理数的乘方及负整数指数幂的计算即可；（2）根据定义先求出a，b的值，再求（b，a）的值．【解析】（1）因为23＝8，所以（2，8）＝3；因为2﹣2=14，所以（2，ଵସ）＝﹣2．故答案为3，﹣2；（2）根据题意得a＝42＝16，b3＝8，所以b＝2，所以（b，a）＝（2，16），因为24＝16，所以（2，16）＝4．答（b，a）的值为4．10．（2023秋•六合区期中）类比有理数的乘方，我们把求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．如2÷2÷2，记作2③，读作“2的圈3次方；（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．（1）直接写出计算结果2③＝ଵଶ，（−12）④＝4；（2）除方也可以转化为幂的形式，如2④＝2÷2÷2÷2＝2×12×12×12=（ଵଶ）2．试将下列运算结果直接写成幂的形式（﹣3）④＝ （ଵଷ）2；（ଵଶ）⑩＝28；a ⓝ＝ （ଵ）n ﹣2；（3）计算 22×（−13）④÷（﹣2）③﹣（﹣3）②．【分析】（1）根据除方的定义计算即可； （2）把除法转化为乘法即可得出答案； （3）根据除方的定义计算即可． 【解析】（1）2÷2÷2=12，（−12）÷（−12）÷（−12）÷（−12）＝1×（﹣2）×（﹣2）＝4， 故答案为 ଵଶ，4；（2）（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝1×（−13）×（−13）＝（ଵଷ）2，ଵଶ÷ଵଶ÷ଵଶ÷ଵଶ÷ଵଶ÷ଵଶ÷ଵଶ÷ଵଶ÷ଵଶ÷ଵଶ=1×2×2×2×2×2×2×2×2＝28，ܽ÷ܽ÷ܽ÷⋯÷ܽ︸个=1×1ܽ⋅1ܽ⋅⋯⋅1ܽ︸(ିଶ)个1ܽ=（ଵ）n ﹣2，故答案为 (13)ଶ，28，(1ܽ)ିଶ；（3）原式=2ଶ×(−3)ଶ÷(−12)−[(−3)÷(−3)] ＝4×9×（﹣2）﹣1 ＝﹣72﹣1 ＝﹣73．11．（2023秋•海安市月考）已知M （1）＝﹣2，M （2）＝（﹣2）×（﹣2），M （3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…，ܯ()=(−2)×(−2)×⋯×(−2)︸个(ିଶ)相乘（n 为正整数）．（1）求2M （2018）+M （2019）的值．（2）猜想2M （n ）与M （n +1）的关系并说明理由． 【分析】（1）根据已知算式即可进行计算；（2）结合（1）将算式变形即可说明2M （n ）与M （n +1）互为相反数． 【解析】（1）2M （2018）+M （2019） ＝2×（﹣2）2018+（﹣2）2019＝2×22018+（﹣2）2019＝22019+（﹣2）2019＝0；（2）2M （n ）与M （n +1）互为相反数，理由如下因为2M （n ）＝2×（﹣2）n＝﹣（﹣2）×（﹣2）n＝﹣（﹣2）n +1，M （n +1）＝（﹣2）n +1，所以2M （n ）＝﹣M （n +1），所以2M （n ）与M （n +1）互为相反数．12．（2019秋•崇川区校级期中）如果2b＝n ，那么称b 为n 的布谷数，记为b ＝g （n ），如g（8）＝g （23）＝3．（1）根据布谷数的定义填空 g （2）＝1，g （32）＝5． （2）布谷数有如下运算性质若m ，n 为正数，则g （mn ）＝g （m ）+g （n ），g （）＝g （m ）﹣g （n ）．根据运算性质填空(ర)()=4，（a 为正数）．若g （7）＝2.807，则g （14）＝3.807，g （ସ）＝0.807．（3）下表中与数x 对应的布谷数g （x ）有且仅有两个是错误的，请指出错误的布谷数，要求说明你这样找的理由，并求出正确的答案（用含a ，b 的代数式表示）x316 233 6 9 27g （x ） 1﹣4a +2b 1﹣2a +b2a ﹣b 3a ﹣2b4a ﹣2b 6a ﹣3b【分析】（1）g （32）＝g （25）＝5；g （32）＝g （25）＝5； （2）(ర)()=(⋅⋅⋅)()=ସ()()=4，g （14）＝g （2×7）＝g （2）+g （7），g （ସ）＝g （7）﹣g （4）； （3）g （ଷଵ）＝g （3）﹣4，g （ଶଷ）＝1﹣g （3），g （6）＝g （2）+g （3）＝1+g （3），g（9）＝2g （3），g （27）＝3g （3），当g （3）正确时，有且仅有两个是错误； 【解析】（1）g （2）＝g （21）＝1， g （32）＝g （25）＝5；故答案为1，5； （2）(ర)()=(⋅⋅⋅)()=ସ()()=4，g （14）＝g （2×7）＝g （2）+g （7），∵g （7）＝2.807，g （2）＝1， ∴g （14）＝3.807； g （ସ）＝g （7）﹣g （4）， g （4）＝g （22）＝2，∴g （ସ）＝g （7）﹣g （4）＝2.807﹣2＝0.807； 故答案为4，3.807，0.807； （3）g （ଷଵ）＝g （3）﹣4，g （ଶଷ）＝1﹣g （3），g （6）＝g （2）+g （3）＝1+g （3）， g （9）＝2g （3）， g （27）＝3g （3），从表中可以得到g（3）＝2a﹣b，∴g（ଷଵ）和g（6）错误，∴g（ଷଵ）＝2a﹣b﹣4，g（6）＝1+2a﹣b；13．（2023秋•凌河区校级期中）阅读计算阅读下列各式（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4…回答下列三个问题（1）验证（4×0.25）100＝1；4100×0.25100＝1．（2）通过上述验证，归纳得出（ab）n＝a n b n；（abc）n＝a n b n c n．（3）请应用上述性质计算（﹣0.125）2015×22014×42014．【分析】①先算括号内的，再算乘方；先乘方，再算乘法．②根据有理数乘方的定义求出即可；③根据同底数幂的乘法计算，再根据积的乘方计算，即可得出答案．【解析】①（4×0.25）100＝1100＝1；4100×0.25100＝1，故答案为1，1．②（a•b）n＝a n b n，（abc）n＝a n b n c n，故答案为a n b n，（abc）n＝a n b n c n．③原式＝（﹣0.125）2014×22014×42014×（﹣0.125）＝（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125）＝（﹣1）2014×（﹣0.125）＝1×（﹣0.125）＝﹣0.125．14．（2017秋•高邮市校级月考）回答下列问题（1）填空①（2×3）2＝36；22×32＝36②（−12×8）2＝16；（−12）2×82＝16③（−12×2）3＝ ﹣1；（−12）3×23＝ ﹣1（2）想一想（1）中每组中的两个算式的结果是否相等？ 是 （填“是”或“不是”）．（3）猜一猜当n为正整数时，（ab）n＝a n b n．（4）试一试（1ଵଶ）2017×（−23）2017＝ ﹣1．【分析】根据已知条件进行计算，然后归纳结论即可．【解析】（1）①（2×3）2＝62＝36；22×32＝4×9＝36．故答案为36，36；②（−12×8）2＝（﹣4）2＝16，（−12）2×82=14×64＝16．故答案为16，16；③（−12×2）3＝（﹣1）3＝﹣1，（−12）3×23=−18×8＝﹣1．故答案为﹣1，﹣1；（2）答案为是．（3）答案为a n b n；（4）（1ଵଶ）2017×（−23）2017＝[ଷଶ×（−23）]2017＝（﹣1）2017＝﹣1．故答案为﹣1．15．（2017秋•兴化市月考）定义 如果10b＝n ，那么称b 为n 的劳格数，记为b ＝d （n ）． （1）根据劳格数的定义，可知 d （10）＝1，d （102）＝2 那么 d （103）＝3．（2）劳格数有如下运算性质若m ，n 为正数，则d （mn ）＝d （m ）+d （n ）； d （）＝d （m ）﹣d （n ）．根据运算性质，填空ௗ(ଶఱ)ௗ(ଶ)=5，若d （3）＝0.48，则d （9）＝0.96，d （0.3）＝ ﹣0.52． 【分析】（1）根据劳格数的定义，可知d （10b）＝b ，即可得解；（2）根据劳格数的运算性质，d （mn ）＝d （m ）+d （n ），计算d （25）＝d （2）+d （2）+d （2）+d （2）+d （2），再求约分即可；根据劳格数的运算性质，d （9）＝d （3×3）＝d （3）+d （3），再将d （3）的值代入即可；根据劳格数的运算性质，d （0.3）＝d （ଷଵ）＝d （3）﹣d （10），再代入d （3）和d （10）的值即可． 【解析】（1）根据劳格数的定义，可知d （103）＝3， 故答案为 3；（2）根据题意，得 d （25）＝d （2）+d （2）+d （2）+d （2）+d （2）， ∴ௗ(ଶఱ)ௗ(ଶ)=ହ×ௗ(ଶ)ௗ(ଶ)=5，d （9）＝d （3×3）＝d （3）+d （3）＝0.48+0.48＝0.96； d （0.3）＝d （ଷଵ）＝d （3）﹣d （10）＝0.48﹣1＝﹣0.52．故答案为 5；0.96；﹣0.52．16．（2023春•阜宁县校级月考）规定 M （1）＝﹣2，M （2）＝（﹣2）×（﹣2），M （3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…M （n ）=(−2)×(−2)×(−2)×⋯(−2)︸(ିଶ)．（1）计算M（5）+M（6）；（2）求2×M（2023）+M（2023）的值；（3）试说明2×M（n）与M（n+1）互为相反数．【分析】（1）根据新定义的法则及有理数乘法的法则进行计算即可；（2）根据新定义的法则进行计算，即可得出结果；（3）根据新定义的法则分别计算2×M（n）与M（n+1），即可得出结果．【解析】（1）M（5）+M（6）＝（﹣2）5+（﹣2）6＝﹣32+64＝32；（2）2M（2023）+M（2023）＝2×（﹣2）202l+（﹣2）2023＝2×（﹣22023）+22023＝﹣22023+22023＝0；（3）2M（n）＝2×（﹣2）n＝﹣（﹣2）×（﹣2）n＝﹣（﹣2）n+1，M（n+1）＝（﹣2）n+1，∵﹣（﹣2）n+1与（﹣2）n+1互为相反数，∴2M（n）与M（n+1）互为相反数．17．（2023秋•高邮市期中）小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小聪把5÷5÷5记作f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作f（4，﹣2）．（1）直接写出计算结果，f （4，ଵଶ）＝4，f （5，3）＝ଵଶ；（2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是②．（填序号） ①f （6，3）＝f （3，6）； ②f （2，a ）＝1（a ≠0）；③对于任何正整数n ，都有f （n ，﹣1）＝1； ④对于任何正整数n ，都有f （2n ，a ）＜0（a ＜0）．（3）小明深入思考后发现 “除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式f （n ，a ）（n 为正整数，a ≠0，n ≥2），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a ，n 的式子表示）（4）请利用（3）问的推导公式计算 f （5，3）×f （4，ଵଷ）×f （5，﹣2）×f （6，ଵଶ）． 【分析】（1）根据题意计算即可；（2）①分别计算f （6，3）和f （3，6）的结果进行比较即可； ②根据题意计算即可判断；③分为n 为偶数和奇数两种情况分别计算即可判断； ④2n 为偶数，偶数个a 相除，结果应为正；（3）推导f （n ，a ）（n 为正整数，a ≠0，n ≥2），按照题目中的做法推到即可； （4）按照上题的推导式可以将算式中的每一部分表示出来再计算． 【解析】（1）f （4，ଵଶ）=12÷12÷12÷12=4， f （5，3）＝3÷3÷3÷3÷3=127；故答案为 4；ଵଶ．（2）①f （6，3）＝3÷3÷3÷3÷3÷3=181，f （3，6）＝6÷6÷6=16， ∴f （6，3）≠f （3，6），故错误； ②f （2，a ）＝a ÷a ＝1（a ≠0），故正确；③对于任何正整数n ，当n 为奇数时，f （n ，﹣1）＝﹣1；当n 为偶数时，f （n ，﹣1）＝1．故错误；④对于任何正整数n ，2n 为偶数，所以都有f （2n ，a ）＞0，而不是f （2n ，a ）＜0（a ＜0），故错误； 故答案为 ②．（3）公式f （n ，a ）＝a ÷a ÷a ÷a ÷…÷a ÷a ＝1÷（a n ﹣2）＝（ଵ）n ﹣2（n 为正整数，a≠0，n ≥2）．（4）f （5，3）×f （4，ଵଷ）×f （5，﹣2）×f （6，ଵଶ） =127×9×（−18）×16=−23．18．（2023秋•诸暨市期中）阅读下列材料 |x |=൞ݔ，ݔ＞00，ݔ=0−ݔ，ݔ＜0，即当x ＜0时，௫|௫|=௫ି௫=−1．用这个结论可以解决下面问题（1）已知a ，b 是有理数，当ab ≠0时，求||+||的值；（2）已知a ，b ，c 是有理数，当abc ≠0时，求||+||+||的值；（3）已知a ，b ，c 是有理数，a +b +c ＝0，abc ＜0，求ା||+ା||+ା||的值．【分析】（1）对a 、b 进行讨论，即a 、b 同正，a 、b 同负，a 、b 异号，根据绝对值的意义计算||+||得到结果；（2）对a 、b 、c 进行讨论，即a 、b 、c 同正、同负、两正一负、两负一正，然后计算||+||+||得结果；（3）根据a ，b ，c 是有理数，a +b +c ＝0，把求ା||+ା||+ା||转化为求ି||+ି||+ି||的值，根据abc＜0得结果．【解析】（1）已知a，b是有理数，当ab≠0时，①a＜0，b＜0，||+||=−1﹣1＝﹣2；②a＞0，b＞0，||+||=1+1＝2；③a，b异号，||+||=0．故||+||的值为±2或0．（2）已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，①a＜0，b＜0，c＜0，||+||+||=−1﹣1﹣1＝﹣3；②a＞0，b＞0，c＞0，||+||+||=1+1+1＝3；③a，b，c两负一正，||+||+||=−1﹣1+1＝﹣1；④a，b，c两正一负，||+||+||=−1+1+1＝1．故||+||+||的值为±1，或±3．（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0．所以b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，a，b，c两正一负，所以ା||+ା||+ା||=−ܽ|ܽ|+−ܾ|ܾ|+−ܿ|ܿ|＝﹣[||+||+||]＝﹣1．19．（2023秋•泗洪县校级月考）用符号M表示一种运算，它对整数和分数的运算结果分别如下M （1）＝﹣2，M （2）＝﹣1，M （3）＝0，M （4）＝1… M （ଵଶ）=−14，M （ଵଷ）=−19，M （ଵସ）=−116，… 利用以上规律计算（1）M （28）×M （ଵହ）；（2）﹣1÷M （39）÷[﹣M （ଵ）]．【分析】（1）根据M （1）＝﹣2，M （2）＝﹣1，M （3）＝0，M （4）＝1…，可得M （n ）＝n ﹣3，根据M （ଵଶ）=−14，M （ଵଷ）=−19，M （ଵସ）=−116，…，可得M （ଵ）＝﹣（ଵ）2，再根据有理数的乘法，可得答案；（2）根据M （1）＝﹣2，M （2）＝﹣1，M （3）＝0，M （4）＝1…，可得M （n ）＝n ﹣3，根据M （ଵଶ）=−14，M （ଵଷ）=−19，M （ଵସ）=−116，…，可得M （ଵ）＝﹣（ଵ）2，再根据有理数的除法，可得答案．【解析】（1）原式＝（28﹣3）×[﹣（ଵହ）2]＝25×（−125）＝﹣1；（2）原式＝﹣1÷（39﹣3）÷{﹣[﹣（ଵ）2]} ＝﹣1×136×36 ＝﹣1．20．（2019秋•曲靖期末）阅读理解 李华是一个勤奋好学的学生，他常常通过书籍、网络等渠道主动学习各种知识．下面是他从网络搜到的两位数乘11的速算法，其口诀是 “头尾一拉，中间相加，满十进一”例如 ①24×11＝264．计算过程 24两数拉开，中间相加，即2+4＝6，最后结果264；②68×11＝748．计算过程 68两数分开，中间相加，即6+8＝14，满十进一，最后结果748．（1）计算 ①32×11＝352，②78×11＝858；（2）若某个两位数十位数字是a，个位数字是b（a+b＜10），将这个两位数乘11，得到一个三位数，则根据上述的方法可得，该三位数百位数字是a，十位数字是a+b，个位数字是b；（用含a、b的代数式表示）（3）请你结合（2）利用所学的知识解释其中原理．【分析】（1）根据口诀“头尾一拉，中间相加，满十进一”即可求解；（2）由（1）两位数十位数字是a，个位数字是b，将这个两位数乘11，得到一个三位数即可得结果；（3）结合（2）可得11（10a+b）＝10（10a+b）+（10a+b）＝100a+10b+10a+b＝100a+10（a+b）+b．【解析】（1）①∵3+2＝5∴32×11＝352②∵7+8＝15∴78×11＝858故答案为352，858．（2）两位数十位数字是a，个位数字是b，这个两位数乘11，∴三位数百位数字是a，十位数字是a+b，个位数字是b．故答案为a，a+b，b．（3）两位数乘以11可以看成这个两位数乘以10再加上这个两位数，若两位数十位数为a，个位数为b，则11（10a+b）＝10（10a+b）+（10a+b）＝100a+10b+10a+b＝100a+10（a+b）+b根据上述代数式，可以总结出规律口诀为“头尾一拉，中间相加，满十进一”．21．（2023秋•魏都区校级期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示知道|2|＝|2﹣0|，它在数轴上|5﹣2|可理解为5与2两数在表示5与﹣2两数在数轴上（1）数轴上表示3和﹣（2）探索①若|x ﹣4|＝3，则x ＝1②若使x 所表示的点到表示2、1、0、﹣1．（3）进一步探究 |x +1|+|（4）能力提升 当|x +1+|【分析】（1）根据材料可得（2）①根据材料判断式子的②根据距离可直接得到（3）通过材料及前两问的解（4）通过材料及前几问的解式子有最小值时，x ＝4【解析】（1）根据材料可得|；故答案为 |3﹣（﹣1）|（2）①根据材料可知|x ∴x ＝1或7； 故答案为 1或7；②由题意可知x所表示的整揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合数轴上的意义是表示数2的点与原点（即表示0的点两数在数轴上所对应的两点之间的距离 |5+2|可以看作数轴上所对应的两点之间的距离．1的两点之间的距离的式子是|3﹣（﹣1）|． 或7．到表示4和﹣1的点的距离之和为5．所有符合条件的1|+|x ﹣6|的最小值为7．x ﹣4+|x ﹣9|的值最小时，x 的值为4．料可得结果；式子的意义，然后得出x 的值； x 的取值；问的解答可知|x +1|+|x ﹣6|的最小值就是|﹣1﹣6|；问的解答可知|x +1+|x ﹣4+|x ﹣9|中x 表示到﹣1、4．料可得 数轴上表示3和﹣1的两点之间的距离的式子；﹣4|＝3中x 表示到﹣4的距离等于3的点对应的数示的整数为4、3、2、1、0、﹣1；结合”的基础，我们的点）之间的距离，以看作|5﹣（﹣2）|，条件的整数为4、3、、9的距离之和，的式子是|3﹣（﹣1）应的数，故答案为4、3、2、1、0、﹣1；（3）根据材料可知|x+1|+|x﹣6|中x表示到﹣1和6的距离之和，∴|x+1|+|x﹣6|的最小值为7；故答案为7；（4）根据材料可知|x+1+|x﹣4+|x﹣9|中x表示到﹣1、4、9的距离之和，∴当x＝4时，式子有最小值；故答案为4．22．（2018秋•雄县期中）已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b．（1）对照数轴填写下表a 4 ﹣6 ﹣6 ﹣10 ﹣1.5b 6 0 ﹣4 2 ﹣1.5A、B两点的距离 2 6 2 12 0（2）若A，B两点间的距离记为d，试问d和a，b（a≤b）有何数量关系；（3）写出数轴上到﹣1和1的距离之和为2的所有整数；（4）若x表示一个有理数，求|x﹣1|+|x+3|的最小值．【分析】（1）由AB＝|a﹣b|即可求解；（2）由d＝|a﹣b|，又知b＞a，化简可得d＝b﹣a；（3）设数轴上一点为x，由﹣1与1的距离为2，可确定﹣1≤x≤1，求出符合条件的整数x即可；（4）由1与﹣3的距离为4，即可求|x﹣1|+|x+3|的最小值为4．【解析】（1）a＝﹣6，b＝0，则AB＝|﹣6﹣0|＝6，a＝﹣6，b＝﹣4，则AB＝|﹣6﹣（﹣4）|＝2，a＝﹣10，b＝2，则AB＝|﹣10﹣2|＝12，故答案为6，2，12；（2）∵a≤b，∴d＝|a﹣b|＝b﹣a；（3）设数轴上一点为x，∵数轴上点x到﹣1和1的距离之和为2，∴|x+1|+|x﹣1|＝2，∵﹣1与1的距离为2，∴﹣1≤x≤1，∵x是整数，∴x＝﹣1，0，1，∴数轴上到﹣1和1的距离之和为2的整数有﹣1，0，1；（4）|x﹣1|+|x+3|表示数轴上点x到1和﹣3的距离和最小，∵1与﹣3的距离为4，∴|x﹣1|+|x+3|的最小值为4．23．（2023秋•攀枝花期中）我们知道|4﹣（﹣1）|表示4与﹣1的差的绝对值，实际上也可以理解为4与﹣1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可以理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．类似地，|5+3|＝|5﹣（﹣3）|表示5、﹣3之间的距离．一般地，A，B两点在数轴上表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可以表示为|a﹣b|．试探索．（1）若|x﹣3|＝7，则x＝ ﹣4或10；（2）若A，B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣2，B点对应的数为4．折叠数轴，使得A点与B点重合，则表示﹣4的点与表示6的点重合；（3）计算|x﹣4|+|x+1|＝7．【分析】（1）根据题意给出的定义即可求出答案．（2）设表示﹣4的点与表示x的点重合，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到所求；（3）分类讨论x的范围，利用绝对值的代数意义化简，计算即可求出x的值．【解析】（1）∵|x﹣3|＝7，∴x﹣3＝7或x﹣3＝﹣7，解得x＝10或x＝﹣4；故答案为﹣4或10；（2）设表示﹣4的点与表示x的点重合，根据题意得ିଶାସଶ=1，∴ିସା௫ଶ=1，解得x＝6；故答案为6；（3）①当x＜﹣1时；（﹣x+4）+（﹣x﹣1）＝7，则x＝﹣2；②当﹣1≤x≤4时；（x﹣4）+（﹣x﹣1）＝7，则﹣5＝7，无解；③当x≥4时；（x﹣4）+（x+1）＝7，则x＝5，综上，x＝﹣2或5．24．（2023秋•玄武区校级月考）已知数轴上A、B两点表示的数分别为a、b，请回答问题（1）①若a＝3，b＝2，则A、B两点之间的距离是1；②若a＝﹣3，b＝﹣2，则A、B两点之间的距离是1；③若a＝﹣3，b＝2，则A、B两点之间的距离是5；（2）若数轴上A、B两点之间的距离为d，则d与a、b满足的关系式是d＝|a﹣b|；（3）若|3﹣2|的几何意义是数轴上表示数3的点与表示数2的点之间的距离，则|2+5|的几何意义数轴上表示数2的点与表示数﹣5的点之间的距离；（4）若|a|＜b，化简|a﹣b|+|a+b|＝2b．【分析】（1）计算出两数差的绝对值即可；（2）两点间的距离等于两数差的绝对值；（3）根据|2+5|＝|2﹣（﹣5）|，即可判断；（4）先化简每一个绝对值，然后再进行计算．【解析】（1）①|3﹣2|＝1，②|﹣3﹣（﹣2）|＝1，③|﹣3﹣2|＝5；（2）d＝|a﹣b|；（3）∵|2+5|＝|2﹣（﹣5）|，∴|2+5|的几何意义数轴上表示数2的点与表示数﹣5的点之间的距离；（4）∵|a|＜b，∴a﹣b＜0，a+b＞0，∴|a﹣b|+|a+b|＝b﹣a+a+b＝2b；故答案为（1）①1，②1，③5；（2）d＝|a﹣b|；（3）数轴上表示数2的点与表示数﹣5的点之间的距离；（4）2b．。
北京中考数学24题分类讲解
等腰、等边+旋转∆中，点O是边AC,BC的垂直平分线的交点，M,N分别在直线AC, BC上，且东城2-24. 已知：等边ABC∠=．MON60(1)如图1，当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN 、MN三者之间的数量关系；（2）如图2，当CM≠CN时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；(3) 如图3，当点M在边AC上，点N在BC的延长线上时，请直接写出线段AM、CN 、MN三者之间的数量关系．东城1-24. 已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ,连结QE并延长交BP于点F.2，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长（直接写出结果）；（1）如图1，若AB=3（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；2，设BP=x，以QF为边的等边三角形的面积y，求y关于x的函数关系式．（3）若AB=3燕山1-24. 已知：如图，点P 是线段AB 上的动点，分别以AP 、BP 为边向线段AB 的同侧作正△APC 和正△BPD ，AD 和BC 交于点M.（1）当△APC 和△BPD 面积之和最小时，直接写出AP : PB 的值和∠AMC 的度数；（2）将点P 在线段AB 上随意固定，再把△BPD 按顺时针方向绕点P 旋转一个角度α，当α<60°时，旋转过程中，∠AMC 的度数是否发生变化？证明你的结论.（3）在第（2）小题给出的旋转过程中，若限定60°<α<120°，∠AMC 的大小是否会发生变化？若变化，请写出∠AMC 的度数变化范围；若不变化，请写出∠AMC 的度数.顺义1-25．问题：如图1， 在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，点D 是射线CB 上任意一点，△ADE 是等边三角形，且点D 在ACB ∠的内部，连接BE ．探究线段BE 与DE 之间的数量关系． 请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.（1） 当点D 与点C 重合时（如图2），请你补全图形．由BAC ∠的度数为 ，点E 落在 ，容易得出BE 与DE 之间的数量关系为 ；（2） 当点D 在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE 与DE 之间的数量关系是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．DB CAABC (D )图3图2图1D EB CA延庆1-24.如图1，已知：已知：等边△A BC ，点D 是边BC 上一点（点D 不与点B 、点C 重合），求证：BD+DC > AD 下面的证法供你参考：把ACD ∆绕点A 瞬时间针旋转60得到ABE ∆，连接ED ， 则有ABE ACD ∆≅∆,DC=E B ∵AD=AE,60=∠DAE∴ADE ∆是等边三角形 ∴AD=DE在DBE ∆中，BD+EB > DE 即：BD+DC>AD 实践探索：（1）请你仿照上面的思路，探索解决下面的问题：如图2，点D 是等腰直角三角形△ABC 边上的点（点D 不与B 、C 重合）， 求证：BD+DC>2AD（2）若点D 运动到等腰直角三角形△ABC 外或内时，BD 、DC 和AD 之间又存在怎样的数量关系？ 直接写出结论.创新应用：（3）已知：如图3，等腰△ABC 中， AB=AC ，且∠BAC=α（α为钝角）， D 是等腰△ABC 外一点，且∠BDC+∠BAC =180º， BD 、DC 与AD 之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明. D图2C图1密云1-24．已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．（1）如图1，当M A N ∠绕点A 旋转到BM DN =时，有BM DN MN +=．当M A N ∠ 绕点A 旋转到BM DN≠时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由； （2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．石景山2-24．在△ABC 中，AC AB =,D 是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点,且∠BAC CED BED ∠=∠=2． (1) 如图1,若∠︒=90BAC ,猜想DB 与DC 的数量关系为 ； (2) 如图2,若∠︒=60BAC ，猜想DB 与DC 的数量关系，并证明你的结论； （3）若∠︒=αBAC ，请直接写出DB 与DC 的数量关系.解： ABCDEA EBCD图1 图2门头沟2-24. 有两张完全重合的矩形纸片，小亮将其中一张绕点A 顺时针旋转90°后得到矩形AMEF （如图1），连结BD 、MF ，此时他测得BD ＝8cm ，∠ADB ＝30°．（1）在图1中，请你判断直线FM 和BD 是否垂直？并证明你的结论；（2）小红同学用剪刀将△BCD 与△MEF 剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD 绕点A 顺时针旋转得△AB 1D 1，AD 1交FM 于点K （如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK 为等腰三角形时，请直接写出旋转角β的度数；（3）若将△AFM 沿AB 方向平移得到△A 2F 2M 2（如图3），F 2M 2与AD 交于点P ，A 2M 2与BD 交于点N ，当NP ∥AB时，求平移的距离是多少.延庆2-24. （1）如图1：在△ABC 中，AB=AC ，当∠ABD =∠ACD=60°时，猜想AB 与BD+CD 数量关系，请直接写出结果 ；（2）如图2：在△ABC 中，AB=AC ，当∠ABD =∠ACD=45°时，猜想AB 与BD+CD 数量关系并证明你的结论；（3）如图3：在△ABC 中，AB=AC ，当∠ABD =∠ACD=β（20°≤β≤70°）时，直接写出AB 与BD+CD数量关系(用含β的式子表示)。
2013年北京中考数学试卷解析
2013年北京中考数学试卷解析一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（2013-2015）》中，北京市提出了共计约3960亿元的投资计划，将3960用科学记数法表示应为A．39.6×102 B．3.96×103 C．3.96×104 D．0.396 ×104【考点】科学记数法与有效数字。
【难度】容易【点评】此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值是易错点，由于3960有4位，所以可以确定n＝4﹣1＝3。
有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字。
用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．3960≈3.96×103．故本题答案选B．2．的倒数是【解析】两数互为倒数，两数之积为零。
【考点】倒数。
【难度】容易【解析】两个数互为倒数，积为1.故本题答案选D.3．在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为【考点】概率公式【难度】容易【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝m/n．【解析】根据题意可得：口袋中装有5个完全相同的小球，标号大于2的数字有3个，其标号大于2的概率为故本题答案选C．4．如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝∠2，若∠3＝40°，则∠4等于A．40° B．50° C．70° D． 80°【考点】相交线夹角【难度】中等偏下【解析】∠1=∠2，∠3＝40°，可知，∠1=∠2=70°，a∥b，∴∠4=∠1=70°故本题答案选C.5．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20m，CE ＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB等于A．60m B．40m C．30m D．20m【考点】相交线夹角【难度】中等偏下【解析】根据△ABE∽△DCE，所以，，BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，可知，AB=40故本题答案选C6．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是【考点】轴对称图形【难度】中等偏下【解析】根据轴对称图形、中心对称的概念，可知A是中心对称图形，不是轴对称对称。
北京中考数学试题、答案解析版电子版本
2013北京中考数学试题、答案解析版2013年北京市高级中等学校招生考试数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。
1. 在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（2013-2015）》中，北京市提出了总计约3 960亿元的投资计划。
将3 960用科学计数法表示应为 （ ）A. 39.6×102B. 3.96×103C. 3.96×104D. 3.96×104 考点：科学记数法—表示较大的数 分析:科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 解答：将3960用科学记数法表示为3.96×103．故选B ．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．2. 43-的倒数是 （ ）A. 34B. 43C. 43-D. 34-考点：倒数分析：据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数 解答：D点评：本题主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是： 倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数． 倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数3. 在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为（ ） A. 51 B. 52 C. 53 D. 54 考点：概率公式分析：根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小． 解答：C点评：本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率n mA P =)(，难度适中。
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24．（1）302
ABD α
∠=︒-
；
解法一：（2）等边三角形；
连接AD 、CD ，可得△BCD 为等边三角形， 在△ABD 和△ACD 中， ∵AB AC AD AD BD CD =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
∴△ABD ≌△ACD （SSS ） ∴150ADB ∠=︒，
在△ABD 和△EBC 中， ∵ABD EBC BD BC BDA BCA ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
∴△ABD ≌△EBC （ASA ）
∴BA BE =，又∵60ABE ∠=︒，∴△ABE 为等边三角形．
（3）由（2）得，90DCE ∠=︒，又∵45DEC ∠=︒，∴△DCE 为等腰直角三角形， ∴CD CE CB ==，∴DA DB =，∴15DAB ∠=︒，∴30α=︒．
解法二：（2）等边三角形；
如图，连接CD ，连接AD 并延长交BC 于点F ． 可得△BCD 为等边三角形．
∴DB =DC ． ∵AB =AC ，
∴AF 垂直平分BC ．
∴∠BAD =2
α
．
∵∠ABE =∠DBC =60°， ∴∠ABD =∠EBC =302
α
︒-．
∵∠BCD =150°，
∴∠BEC =
2
α． ∴∠BAD =∠BEC ．
∴△ABD ≌△EBC （AAS ） ∴BA BE =．
又∵60ABE ∠=︒，
∴△ABE 为等边三角形．
B
B
解法三：（2）等边三角形；
如图，作AD ⊥BC 于点F ，作BG ⊥EC 延长线于点G ． ∴∠AFB =∠EBG =90°． ∵AB =AC ，
∴AF 垂直平分BC ． ∵∠BCD =150°， ∴∠BCG =30°．
∴BG = BF =
1
2
BC ． ∵∠ABE =∠DBC =60°， ∴∠ABC =∠EBG ．
∴△ABF ≌△EBG （AAS ） ∴BA BE =．
又∵60ABE ∠=︒，
∴△ABE 为等边三角形．
解法四：（2）等边三角形；
如图，以A 为圆心，AB 为半径作⊙A ， ∵AB =AC ，
∴点C 在圆上．
∵∠ABE =∠DBC =60°，
∴∠ABD =∠EBC =302
α
︒-．
∵∠BCD =150°，
∴∠BEC =
2α． ∴∠BEC =1
2
BAC ∠．
∴点E 在圆上． ∴BA AE =．
又∵60ABE ∠=︒，
∴△ABE 为等边三角形．
学生解答过程中的典型问题：
1.不能有已知条件得到△BCD为等边三角形，致使证明△ABD和△EBC全等缺少必要的条件；
2. △ABE为等边三角形，在知∠ABE =60°的前提下，试图尝试证明△ABE中除∠ABE外的另一个角等于60°；
教学建议：
1.在平时几何的教学中，重视基本图形的学习，对于复杂图形要培养学生能通过对已知未知的分析抽提出基本图形进行解题．如，本题中的等边三角形．
2.加强综合题的突破口选取的训练，如本题中应选在集中已知和未知的图形中，即包含点B
的一些图形．。