dllAAA数学归纳法
第四讲 一 数学归纳法(优秀经典公开课比赛课件)
答案：(k＋1)2
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3．数列{an}中，已知 a1＝1，当 n≥2(n∈N＋)时，an＝an－1＋2n－1，依次计算 a2， a3，a4 后，猜想 an 的表达式是________．
[答案]
D
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[规律探究]
(1)认清待证命题的结构特征、 分清项数与 n 之间的关系是用数学归
纳法的基本条件，常见错误有：①没有认清 n0 是什么；②不会确定 n＝n0 时的具 体情形；③误认为 f(n)中就一定有 n 项；④误认为 f(n＋1)的最后一项就是由 f(n) 变到 f(n＋1)时增加的项． (2)证明 n＝k＋1 时命题成立的过程中必须用上归纳假设，即把 n＝k 时的命题作 为必备的已知条件，只有用上这个条件并推出 n＋1 时的命题成立才正确；如果 推证 n＝k＋1 时命题成立的过程中没用上归纳假设， 即使符合数学归纳法证题格 式也不是数学归纳法.
当 n＝k＋1
1 1 1 1 时，1－41－9…1－k21－k＋12
1 k＋1 k＋1 kk＋2 1－ ＝ · 2＝ k ＋ 1 2k 2 k k＋12 k＋2 k＋1＋1 ＝ ＝ . 2k＋1 2k＋1 ∴当 n＝k＋1 时，等式也成立，由(1)(2)知，对任意 n≥2，n∈N＋等式成立．
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运用数学归纳法证题的常见错误 [典例] 1 A. 3n＋2 1 1 C. ＋ 3n＋1 3n＋2 1 1 1 设 f(n)＝1＋ ＋ ＋…＋ (n∈N＋)，则 f(n＋1)－f(n)等于( 2 3 3n－1 1 1 B． ＋ 3n 3n＋1 1 1 1 D． ＋ ＋ 3n 3n＋1 3n＋2 )
数学归纳法
数学归纳法4/27数学归纳法是证明与数的无限集合（特别是正整数集合）有关的命题的一种方法．其常见的形式有：第一数学归纳法、第二数学归纳法、反向数学归纳法、二重数学归纳法等． 数学归纳法的应用．例1设数列{}n a 满足关系式：（1）112a =，（2）n n a n a a a 221=+++ )1(≥n ，试证数列通项公式为1(1)n a n n =+．说明：本例可以使用第一和第二数学归纳法证明．第二数学归纳法的证明可以概括为：“1对”；假设“k ≤对”，那么“1k +也对”． 详细地说，它分为以下三步： (1)奠基：证明1n =时命题成立； (2)归纳假设：设n k ≤时命题成立；(3)归纳递推：由归纳假设推出1n k =+时命题也成立．例2 求证：第n 个质数（将质数由小到大编上序号，2算作第一个质数）n p 小于22n． 分析：首先注意到121k p p p + 没有质因数k p p p ,,,21 ，因此它的质因数都不小于1k p +，这就是说1121k k p p p p +≤+ ．于是我们设想通过证明121212k k p p p ++< （1）来达到证明1212k k p ++<的目的，但（1）式的证明必然要用到),,2,1(22k i p ii =<．所以，我们不得不改用第二数学归纳法．因为k p p p ,,,21 都不能整除121k p p p + ，所以121k p p p + 的质因数q 不可能是k p p p ,,,21 ，而只能大于或等于1k p +．121122222211212+122kk k k k p p p p +++++-+≤+<≤<例3 已知n m ,是任意非负整数，证明：若规定1!0=，则)!(!!)!2()!2(n m n m n m +是正整数．分析：命题与两个参数n m ,有关．我们把m 看作常数，对n 进行归纳．就得到以下证法．提示： 0=n 时，原式=mm C m m m 2!!)!2(=是正整数，其中m 是非负整数． 设当k n =时命题成立，即)!(!!)!2()!2(k m k m k m +是正整数，其中m 是任意非负整数．则当1+=k n 时，(2)!(22)!(2)!2!(21)(22)(2)!(2)!(22)!(2)!4!(1)!(1)!!!()!(1)(1)!!()!(1)!!(1)!m k m k k k m k m k m k m k m k m k k m k m k m k m k m k ++++=∙=∙-+++++++++++评注：在上面的证明中，我们所用的归纳形式是：“m n ,0=任意时对”；假设“m k n ,=任意时对”，那么“m k n ,1+=任意时也对”．这里，m 被看作常数，但又是一个带有任意性的常数．我们有时把这种常数称为“活化了的常数”．这是多参数处理的一个常用方法．例4 设正数数列{}n a 满足关系式21n n n a a a +≤-，证明:对一切正整数n 有1n a n<．例5 证明：对一切正整数n ，不定方程22n x y z +=都有正整数解．例6 证明:对任何非空有限集合，都可将它的所有子集排成一列，使得每两个相邻的子集，或者是前一个仅比后一个多一个元素，或者是后一个仅比前一个多一个元素． 证：当1n =时，{}A a =，它仅有两个子集：A ∅与，怎么排都行，可见断言成立．假设n k =时断言也成立，即可按规则将},,{1k a a A =的所有子集排成一列． 下证1n k =+时断言也成立．先考虑n=2，n=3的情形： 2n =时，可将12{,}a a 的所有子集排成：1122,{},{,},{}a a a a ∅．3n =时，可将123{,,}a a a 的所有子集排成：112223123133,{},{,},{},{,},{,,},{,},{}a a a a a a a a a a a a ∅．可以看出，3n =时的前4个子集与2n =时12{,}a a 的全部子集的排法完全相同．再看看3n =时的后4个子集，就可以发现，如果从这4个子集中都划去3a ，则它们刚好就是前4个子集的逆序排列！设已将},,{1k a a 的所有的2k 个子集按照规则排成一列：k A A A 221,,, ．于是，我们只要将},,,{11+k k a a a 的所有子集排列如下：,},{,,,,12221 +k a A A A A k k },{},{1112++k k a A a A则不难验证这种排法确实合乎规则．所以当1n k =+时断言也成立．于是由数学归纳法原理知，断言对一切非空的有限集合都成立．例7 对怎样的正整数n ，集合{1, 2, …, n }可以分成5个互不相交的子集，每个子集的元素和相等．解 先找一个必要条件：如果{1, 2, …, n }能分成5个互不相交的子集，各个子集的元素和相等，那么)1(2121+=+++n n n 能被5整除．所以n ＝5k 或n ＝5k －1．显然，k ＝1时，上述条件不是充分的．下用数学归纳法证明k ≥2时，条件是充分的．当k ＝2，即n ＝9，10时，我们把集合{1, 2,…, 9}和{1, 2, …, 10}作如下分拆：{1, 8}，{2, 7}，{3, 6}，{4, 5}，{9}；{1, 10}，{2, 9}，{3, 8}，{4, 7}，{5, 6}；当k ＝3时，即n ＝14，15时，有{1, 2, 3, 4, 5, 6}，{7, 14}，{8, 13}，{9, 12}，{10, 11}；{1, 2, 3, 5, 6, 7}，{4, 8, 12}，{9, 15}，{10, 14}，{11, 13}．因为若集合{1, 2, …, n }能分成5个互不相交的子集，并且它们的元素和相等，那么{1, 2, …, n , n ＋1, …, n ＋10}也能分成5个元素和相等但互不相交的子集．事实上，如果{1, 2, …, n }＝54321A A A A A ⋃⋃⋃⋃，那么{1, 2, …, n , n ＋1, …, n ＋10}＝54321B B B B B ⋃⋃⋃⋃，其中⋃=11A B {n ＋1, n ＋10}，⋃=22A B {n ＋2, n ＋9}，⋃=33A B {n ＋3, n ＋8}，⋃=44A B {n ＋4, n ＋7}，⋃=55A B {n ＋5, n ＋6}。
高三数学归纳法及应用知识精讲
高三数学归纳法及应用【本讲主要内容】数学归纳法及应用数学归纳原理的科学性，数学归纳法的证明步骤，数学归纳法的应用举例．【知识掌握】【知识点精析】1. 归纳法：对特殊情况加以研究而得出一般规律的方法叫归纳法．它分为不完全归纳法和完全归纳法．由部分特殊情况而得出的一般规律的方法叫不完全归纳法，对全部（有限的）特殊情况加以研究而得出的一般规律的方法叫完全归纳法．例如：①观察下列式子：6＝3＋3，8＝3＋5，10＝3＋7＝5＋5，12＝5＋7，14＝3＋11＝7＋7，20＝3＋17＝7＋13.归纳：每个大于或等于6且小于或等于20的偶数可表示为两个奇素数的和.这里采用的是完全归纳法．结论正确.②在等差数列{a n }中，已知首项为a 1，公差为d ，那么a 1＝a l ＋0·d ，a 2＝a 1＋1·d ，a 3＝a l ＋2·d ，a 4＝a 1＋3·d ，…，a n ＝? 归纳：a n ＝ a 1＋(n －1)d.这里采用的是不完全归纳法．结论正确．（这个结论的正确性，后面我们将给出证明）③由数列的通项公式22)55(+-=n n a n 得,1,121==a a ,13=a ,14=a归纳：1=n a )(*N n ∈，但1255≠=a ，这里采用的是不完全归纳法，结论不正确．说明：完全归纳法得出的结论是正确的，而不完全归纳法得出的结论不一定正确，但通过对问题进行探索而提高数学能力十分重要．2. 数学归纳法：是证明与正整数n 有关的命题的一种方法．它的奇妙之处在于能够归纳出无穷多个特殊情况，从而得出一般结论．数学归纳法证明的步骤如下：①证明当n 取第一个0n 时结论正确；（归纳基础）②假设当k n =（0,n k N k ≥∈+）时，结论正确，证明当1+=k n 时，结论成立.（递推依据）③根据①、②可知对于任意0,n n N n ≥∈+命题正确.（下结论）例如，我们用数学归纳法证明：如果数列{a n }是一个等差数列，那么a n ＝ a 1＋(n －1)d 对一切*N n ∈都成立.证明：（1）当n ＝1时，左边＝a 1,右边＝a 1＋0·d ＝a 1,等式成立. （2）假设n ＝k 时等式成立，即a k ＝ a 1＋(k －1)d那么 a k ＋1＝a k ＋d ＝ a 1＋[(k －1)d ＋d]＝ a 1＋[(k ＋1)－1]d.这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立.由（1）和（2）可知，等式对一切*N n ∈都成立.说明：数学归纳法是专门证明与自然数集有关命题的一种方法，它是一种完全归纳法，是对不完全归纳法的完善．证明分两步，其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”；第二步解决的是延续性问题（又称传递性）．运用数学归纳法证明有关命题需注意以下几点：（1）两个步骤缺一不可；例如，若对等差数列{a n }的通项错误地归纳为a n ＝ (n －1)d ，则第二步的证明如下： 假设n ＝k 时等式成立，即a k ＝ (k －1)d ，那么 a k ＋1＝a k ＋d ＝ (k －1)d ＋d ＝ [(k ＋1)－1]d. 这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立.但当n ＝1时，a 1＝0，显然，并非所有等差数列{a n }的首项都为0，推理就失去了基础，不能证明结论的正确性.（2）在第一步中，n 的初始值不一定从1取起，也不一定只取一个数，证明应视具体情况而定；（3）第二步证明1+=k n 时，必须使用归纳假设，否则就会打破数学归纳法步骤间的严密逻辑关系，造成推理无效；（4）证明1+=k n 成立时，要明确求证的目标形式，一般要凑出归纳假设里给出的形式，以便使用归纳假设，然后再去凑出当1+=k n 时的结论，这样就能有效减少论证的盲目性．我们可用数学归纳法来证明与正整数有关的等式及不等式问题，尤其是用其他方法难以下手时才用数学归纳法往往有效．【解题方法指导】例1. 用数学归纳法证明：2n1...2n 11n 112n 1...4131211+++++=-++-+-证明：（1）当n ＝1时，左边＝右边，等式成立. （2）假设n ＝k 时等式成立，即2k1...2k 11k 112k 1...4131211+++++=-++-+- 则当n ＝k ＋1时，左边＝22k 112k 12k 112k 1...4131211+-++--++-+-22k 112k 1)2k 1...2k 11k 1(+-+++++++= )22k 11k 1()12k 12k 1...2k 1(+-+++++++= 22k 112k 12k 1...2k 1+++++++=＝右边 由（1）和（2）知等式成立.例2.用数学归纳法证明：)N n (1211*12n 1n ∈+-+能被133整除.证明：（1）当n ＝1时原式＝133能被133整除. （2）假设当n ＝k 时命题成立即12k 1k 1211-++能被133整除，则n ＝k ＋1时，有12k 12k 1k 12k 21k 11)2(k 2k 12)11144()1211(11121211111211--+-+-++-++⨯=⨯+⨯=+由归纳假设，12k 1k 1211-++能被133整除，而12k 12k 1213312)11144(--⨯=-也能被133整除，所以11)2(k 2k 1211-+++能被133整除．即命题n ＝k ＋1时命题成立.由（1）（2）得命题成立.例3.在数列}{n a 中，)2)(1(1,3111+++==+n n a a a n n ，猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明．解：54143132131,43132131,32131,314321⨯+⨯+⨯+=⨯+⨯+=⨯+==a a a a 猜想：)1n (61n 51n 12131)1n 1n 1()3121(31)1n (n 132131a n +-=+-+=+-++-+=+++⨯+=证明：（1）当n ＝1时，31)11(61151=+-⨯=a ，猜想成立，（2）假设当n ＝k 时猜想成立，即)1k (61k 5a k +-=，则n ＝k ＋1时，]1)1k [(61)1k (5)2k (64k 5)2k )(1k (64k 9k 5)2k )(1k (66)2k )(1k 5()2k )(1k (1)1k (61k 5)2k )(1k (1a a 2k 1k ++-+=++=++++=++++-=++++-=+++=+这就是说，当n ＝k ＋1时猜想也正确． 由（1）（2）得猜想正确.【考点突破】【考点指要】数学归纳法是证明关于自然数n 的命题的一种方法，在高等数学中有重要的用途，因而成为高考的热点之一．历年高考中所占的分值为5~10分，多以解答题的形式出现，有时也会以选择题、填空题形式出现.高考试题，不但要求用数学归纳法去证明现成的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求善于归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，因此，初步形成“观察—归纳—猜想—证明”的思维模式，就显得特别重要．【典型例题分析】例 1. （2006某某卷19题）已知函数()sin f x x x =-，数列{}n a 满足：101a <<，1()123n n a f a n +==，，，，…．证明：（Ⅰ）101n n a a +<<<；（Ⅱ）3116n n a a +<． 证明：（I ）先用数学归纳法证明01123n a n <<=，，，，． （i ）当1n =时，由已知，结论成立． （ii ）假设当n k =时结论成立，即01k a <<. 因为01x <<时()1cos 0f x x '=->，所以()f x 在(01)，上是增函数，又()f x 在[01]，上连续， 从而(0)()(1)k f f a f <<，即101sin11k a +<<-<． 故当1n k =+时，结论成立．由（i ）、（ii ）可知，01n a <<对一切正整数都成立．又因为01n a <<时，1sin sin 0n n n n n n a a a a a a +-=--=-<， 所以1n n a a +<．综上所述101n n a a +<<<．（II ）设函数31()sin 6g x x x x =-+，01x <<． 由（I ）知，当01x <<时，sin x x <．从而22222()cos 12sin 2022222x x x x x g x x ⎛⎫'=-+=-+>-+= ⎪⎝⎭. 所以()g x 在(01)，上是增函数．又()g x 在[]01，上连续，且(0)0g =，所以当01x <<时，()0g x >成立．于是()0n g a >，即31sin 06n n n a a a -+>．故3116n n a a +< ．例2. （2006某某卷理22题）已知数列{}n a 满足：132a =，且113(2)21n n n na a n n a n *--=∈+-N ，≥． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对一切正整数n ，不等式!2...21n a a a n ⋅<⋅⋅⋅恒成立．解：（1）将条件变为：111113n n n n a a -⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，因此，1n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为一个等比数列，其首项为11113a -=，公比为13，从而113n n n a -=，据此得)1(133≥-⋅=n n a nnn ……① （2）证：据①得，122!111111333n n n a a a =⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…．为证!2...21n a a a n ⋅<⋅⋅⋅只要证n *∈N 时有211111113332n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ……②显然，左端每个因式皆为正数，先证明，对每个n *∈N ，221111111111333333n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+++⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥． ……③用数学归纳法证明③式：11n =时，显然③式成立，2设n k =时，③式成立，即221111111111333333k k⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+++⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥，则当1n k =+时，2121111111111113333333k k k +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----+++⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦≥1113k +⎛⎫- ⎪⎝⎭2112211111111113333333311111.3333k k k k k k +++⎛⎫⎛⎫=-+++-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-++++ ⎪⎝⎭≥即当1n k =+时，③式也成立．故对一切n *∈N ，③式都成立．由③得，221111111111333333n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+++⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥ 11133111311111111.232232nn n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=--⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=+>⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦故②式成立，从而结论得证．【综合测试】一、选择题：1. 某个命题与正整数有关，如果当n ＝k 时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时命题也成立，现在当n ＝5时，该命题不成立，那么可推得（ ）A. 当n ＝6时该命题不成立B. 当n ＝6时该命题成立C. 当n ＝4时该命题不成立D. 当n ＝4时该命题成立2. 设凸n 边形有f （n ）条对角线，则凸n ＋1边形的对角线的条数f （n ＋1）为（ ） A. f （n ）＋n ＋1 B. f （n ）＋n C. f （n ）＋n －1 D. f （n ）＋n －23. 设1213121)(-+++=nn f ，则)()1(k f k f -+等于（ ） A. 1211-+k B. 121212111-++++k k kC. 121211-++k kD. 121221121211-+++++++k k k k二、填空题：4. 用数学归纳法证明：)N n (22221*15n 32∈+++++- 能被31整除，从k 到k ＋1需要添加的项是________________________________________． 5. 用数学归纳法证明)1,(,12131211*>∈<-++++n N n n n ，第一步要证的不等式是_____________． 6. 证明)(21214131211*N n nn ∈>-+++++时假设n ＝k 时成立，当n ＝k ＋1时，左端增加的项有___________项．三、解答题7. 用数学归纳法证明17)13n (n-+（*N n ∈）能被9整除．8. 用数学归纳法证明：)N n (n 1)n(n 1 (3)21211*∈<+++⋅+⋅．9. （2006某某卷理22题）已知函数()32124x f x x x =-++，且存在0102x ⎛⎫⎪⎝⎭∈，，使()00f x x =．（I ）证明：()f x 是R 上的单调增函数； （II ）设10x =，()1n n x f x +=，112y =，()1n n y f y +=，其中1n =，2，证明：101n n n n x x x y y ++<<<<．参考答案一、选择题：1. C 提示：依题意当n ＝4时该命题成立，则当n ＝5时，该命题成立．而当n ＝5时，该命题不成立却无法判断n ＝6时该命题成立不成立．2. C 提示：凸n ＋1边形的对角线的条数等于凸n 边形的对角线的条数，加上多的那个点向其它点引得对角线的条数（n －2）条，再加上原来有一边成为对角线，共有f （n ）＋n －1条对角线．3. D 提示：n ＝k 时，1213121)(-+++=kk f ， n ＝k ＋1时，121211213121)1(1-+++-++=++k k k k f二、填空题： 4. 45k 35k 25k 15k 5k22222++++++++ 5. 231211<++6. k2提示：k k k 212121=+--+三、解答题 7. 证明：（1）当n ＝1时原式＝27，能被9整除．（2）假设当n ＝k 时命题成立即17)13k (k-+能被9整除，则n ＝k ＋1时k k k 1k 72117)13k (7177]313k [17]1)33k [(⋅+-⋅+⋅=-⋅⋅++=-⋅+++k k k k k k k 727718k ]17)13k [(72176718k ]17)13k [(⋅+⋅+-⋅+=⋅+⋅+⋅+-⋅+=由归纳假设17)13k (k-+能被9整除，又因为kk 727718k ⋅+⋅能被9整除，所以kk k 727718k ]17)13k [(⋅+⋅+-⋅+能被9整除，即n ＝k ＋1时，命题成立. 由（1）（2）得命题成立. 8. 证明：（1）当n ＝1时，不等式成立. （2）假设n ＝k 时等式成立，即k 1)k(k 1 (3)21211<+++⋅+⋅则当n ＝k ＋1时两边同时加上)2k )(1k (1++得)2k )(1k (1k )2k )(1k (11)k(k 1 (3)21211+++<++++++⋅+⋅只需证1k )2k )(1k (1k +<+++即可由于⇔++>-+)2k )(1k (1k 1k ⇔++>++)2k )(1k (1k1k 1⇔++>++k 1k )2k )(1k (k 1k )1)2k ((>+-+对2n ≥成立，即当n ＝k ＋1时不等式成立. 由（1）（2）得不等式对*N n ∈都成立.9. 解：（Ⅰ）证明：∵0613132123)(22'>+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=x x x x f ∴)(x f 是R 上的单调增函数．（Ⅱ）证明：0102x <<，即101x x y <<． 又()f x 是增函数，101()()()f x f x f y ∴<<，即202x x y <<． 又2111()(0)04x f x f x ===>=，211131()282y f y f y ⎛⎫===<= ⎪⎝⎭， 综上，12021x x x y y <<<<．用数学归纳法证明如下：（1）当1n =时，上面已证明成立． （2）假设当)1(≥=k k n 时，有k k k k y y x x x <<<<++101 当1n k =+时，由()f x 是单调增函数，有)()()()()(101k k k k y f y f x f x f x f <<<<++ 12021k k k k x x x y y ++++∴<<<<．由（1）（2）得不等式101n n n n x x x y y ++<<<<对*N n ∈都成立.。
【新教材】高中数学课件之数学归纳法
【新教材】高中数学课件之数学归纳法一、教学内容本节课选自新教材高中数学必修三，主要涉及第十二章第一节“数学归纳法”。
详细内容包括数学归纳法的定义、应用步骤、以及数学归纳法在数列和不等式证明中的应用。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的应用步骤。
2. 能够运用数学归纳法证明数列的通项公式和不等式。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法证明过程中逻辑关系的理解，特别是递推关系的建立。
教学重点：数学归纳法的定义、应用步骤，以及其在数列和不等式证明中的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体课件。
2. 学具：教材、练习本、笔。
五、教学过程2. 新课导入：讲解数学归纳法的定义，阐述其基本思想。
3. 例题讲解：以数列通项公式的证明为例，详细讲解数学归纳法的应用步骤，强调递推关系的建立。
4. 随堂练习：让学生尝试运用数学归纳法证明一个简单的不等式。
5. 知识拓展：介绍数学归纳法在数学竞赛中的应用。
六、板书设计1. 数学归纳法2. 定义：数学归纳法的概念及递推关系。
3. 步骤：数学归纳法的应用步骤。
4. 例题：数列通项公式证明。
5. 练习：简单不等式证明。
七、作业设计1. 作业题目：（1）运用数学归纳法证明：1+2+3++n = n(n+1)/2。
（2）运用数学归纳法证明：对于任意正整数n，都有2^n > n。
2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对数学归纳法的掌握情况，教学中存在的问题，以及改进措施。
2. 拓展延伸：引导学生研究数学归纳法在其它数学分支中的应用，如组合数学、数论等。
鼓励学生参加数学竞赛，提高运用数学归纳法解决问题的能力。
重点和难点解析1. 教学难点与重点的识别。
2. 例题讲解中数学归纳法应用步骤的详细阐述。
3. 作业设计中作业题目的难度和答案的准确性。
4. 课后反思及拓展延伸的深度和实用性。
2024年数学归纳法一课件新课标人教A版选修2
2024年数学归纳法一课件新课标人教A版选修2一、教学内容本节课选自《2024年数学新课标人教A版选修2》的第四章第一节“数学归纳法”。
具体内容包括数学归纳法的定义、原理和步骤，以及数学归纳法在实际问题中的应用。
重点讲解数学归纳法的基本思想和操作方法，并通过典型例题使学生掌握该方法。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的定义，掌握数学归纳法的基本步骤。
2. 能够运用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法的证明步骤和逻辑关系。
教学重点：数学归纳法的定义、原理和应用。
四、教具与学具准备1. 教具：PPT课件、黑板、粉笔。
2. 学具：教材、练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入利用PPT展示一个数学问题：如何证明1+2+3++n = n(n+1)/2？引导学生思考如何解决这个问题。
2. 数学归纳法讲解（1）讲解数学归纳法的定义和原理。
（2）介绍数学归纳法的基本步骤：基础步骤、归纳步骤。
（3）通过例题讲解，让学生理解数学归纳法的具体操作。
3. 例题讲解（1）证明1+2+3++n = n(n+1)/2。
（2）证明对于任意正整数n，2^n > n。
4. 随堂练习（1）让学生独立完成练习题：证明对于任意正整数n，n(n+1)(n+2)是3的倍数。
六、板书设计1. 数学归纳法2. 定义、原理和步骤3. 例题解答步骤4. 随堂练习题及答案七、作业设计1. 作业题目（1）证明对于任意正整数n，n^2 n 是偶数。
（2）证明对于任意正整数n，n^3 + (n+1)^3 是6的倍数。
2. 答案八、课后反思及拓展延伸2. 对学生进行课后辅导，解答他们在学习过程中遇到的问题。
3. 拓展延伸：鼓励学生运用数学归纳法解决其他数学问题，提高他们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
重点和难点解析1. 数学归纳法的基本步骤和逻辑关系。
2. 例题的选取和解题步骤。
高中数学知识点归纳数学归纳法与递归数列
高中数学知识点归纳数学归纳法与递归数列高中数学知识点归纳：数学归纳法与递归数列数学归纳法和递归数列是高中数学中非常重要的知识点，它们在解决数列、证明问题以及推理推广中发挥着重要的作用。
下面将对数学归纳法与递归数列进行归纳总结，以帮助同学们更好地掌握和应用这两个概念。
一、数学归纳法数学归纳法是一种用于证明以及构造数学问题解决方案的重要方法。
它分为三个步骤：基础步骤、归纳假设和归纳推理。
基础步骤：首先，我们需要证明当n取某个特定值时，命题成立。
这个特定值通常是一个自然数，比如n = 1 或 n = 0。
通过验证这个基础步骤，我们确保了对于第一个自然数命题成立。
归纳假设：接下来，我们假设当n = k时，命题成立，其中k是一个正整数。
这个假设被称为“归纳假设”。
归纳推理：最后，我们需要证明当n = k+1时，命题也成立。
这一步通常是通过使用归纳假设，并根据命题的规律进行推理得出的。
通过这样的步骤，我们可以推广这个命题对于所有自然数n成立的结论。
数学归纳法在证明数学命题中使用广泛，特别是在数列和等式的证明中。
二、递归数列递归数列是指一个数列的每一项都是前面一些项的函数。
通常，递归数列的第一项和第二项是已知的，而后面的项则通过递归关系得到。
常见的递归数列有斐波那契数列和阶乘数列。
1. 斐波那契数列：斐波那契数列的定义如下：F(0) = 0F(1) = 1F(n) = F(n-1) + F(n-2), n≥2斐波那契数列的特点是每一项都是前两项的和。
通过递归关系，我们可以计算出任意一项的值。
2. 阶乘数列：阶乘数列的定义如下：n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1阶乘数列的特点是每一项都是前一项与当前项的乘积。
通过递归关系，我们可以计算出任意一项的值。
递归数列在数学中具有重要的应用，例如在组合数学、概率论以及计算机科学等领域有广泛的应用。
综上所述，数学归纳法和递归数列是高中数学中重要的知识点。
高考数学一轮复习 数学归纳法(理)课件
(nN*).
求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n·[f(n)－1](n≥2，n∈N*).
按数学归纳法的步骤进行证明即可.
【证明】 (1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1， 右边＝2[1＋ －1]＝1， 左边＝右边，等式成立. (2)假设n＝k时，结论成立，即 f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]， 那么，当n＝k＋1时，
利用假设后，要注意不等式的放大和缩小.
【证明】 (1)当n＝1时，左式＝1＋ ，右式 ＝ ＋1，
即命题成立.
(2)假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即 1k 2≤ 11 21 3...2 1 k≤ 1 2k, 则当n＝k＋1时，
又1+
1 2k2k.21k 1 2(k1), 即n＝k＋1时，命题成立. 由(1)(2)可知，命题对所有n∈N*都成立.
22＋42＋…＋(2k)2＋(2k＋2)2 ＝ k(k＋1)(2k＋1)＋4(k＋1)2 ＝ (k＋1)[k(2k＋1)＋6(k＋1)] ＝ (k＋1)(2k2＋7k＋6)＝ (k＋1) (k＋2)(2k＋3)＝
(k＋1)[(k＋1)＋1][2(k＋1)＋1]， 即n＝k＋1时，等式成立. 由(1)、(2)可知，等式对所有的n∈N*都成立.
3.设Sn是数列{ }的前n项的和. 是否存在关于正整数n的函数f(n)，使S1＋S2＋…＋Sn－1＝ f(n)(Sn－1)对于大于1的正整数n都成立？并证明你的结论；
解：假设存在f(n)，使等式成立.
当n＝2时，S1＝f(2)(S2－1)， 即1＝f(2)(1＋ －1)，解得f(2)＝2.
当n＝3时，S1＋S2＝f(3)(S3－1)，
【解】 (1)由已知得 又∵{an}的公差大于0，∴a5＞a2.∴a2＝3，a5＝9.
2024年数学归纳法优质教学课件
2024年数学归纳法优质教学课件一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学归纳法》章节，详细内容包括数学归纳法的概念、原理和应用。
重点讲解归纳法的基本步骤，探讨归纳法在数学问题解决中的应用。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握归纳法的基本步骤。
2. 能够运用数学归纳法解决简单的数学问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法的证明过程，特别是归纳步骤的合理运用。
教学重点：归纳法的概念、原理及在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。
2. 学具：练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入通过一个简单的数学问题引入数学归纳法，如：计算1+2+3++100的结果。
2. 例题讲解（1）讲解数学归纳法的概念和原理。
（2）以等差数列求和为例，演示数学归纳法的应用。
3. 随堂练习（1）证明：1+3+5++(2n1)=n^2（2）证明：n(n+1)(n+2)=6(中心数列求和)4. 知识拓展（1）探讨数学归纳法在其他数学问题中的应用。
（2）讨论归纳法的局限性。
5. 课堂小结六、板书设计1. 数学归纳法的概念与原理2. 归纳法的基本步骤3. 例题解答过程4. 课堂练习题目七、作业设计1. 作业题目：（1）用数学归纳法证明：1+3+5++(2n1)=n^2（2）用数学归纳法证明：n(n+1)(n+2)=62. 答案：见课后附件。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对数学归纳法的掌握程度，以及在教学过程中存在的问题。
2. 拓展延伸：（1）引导学生思考数学归纳法在解决其他数学问题中的应用。
（2）推荐一些关于数学归纳法的拓展阅读材料，提高学生的数学素养。
重点和难点解析1. 教学难点与重点的区分。
2. 例题讲解的深度和广度。
3. 作业设计中的题目难度和答案的详细程度。
4. 课后反思及拓展延伸的实际操作。
详细补充和说明：一、教学难点与重点的区分教学重点在于使学生掌握数学归纳法的基本概念、原理以及在解决实际问题中的应用。
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希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！ 第七节 数学归纳法 强化训练当堂巩固
1.已知11()12fnnn…131n则f(k+1)等于( )
A.1()3(1)1fkk B.1()32fkk C.1111()3233341fkkkkk D.11()341fkkk 答案:C 解析:11()12fkkk…131k 11(1)(1)1(1)2fkkk…13(1)1k
1123kk…111313233kkk1
34k 1112kk…11111313233341kkkkk 1111()3233341fkkkkk
.
2.设n棱柱有f(n)个对角面,则n+1棱柱的对角面的个数f(n+1)等于( ) A.f(n)+n+1 B.f(n)+n C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2 答案:C 解析:当n棱柱增加一条侧棱时,该棱与其他n条棱构成n-2个对角面,但同时原先的一个侧面也变成了对角面,故共增加了n-1个对角面.
3.用数学归纳法证明等式:21aa…211(11nnaaanaN)验证n=1时,等式左边= . 答案:21aa 解析:当n=1时,左边最后一项应该是112aa故此时左边是21aa.
4.已知数列{na}满足1110(3nnnaaanaN). (1)计算234aaa的值; (2)由(1)的结果猜想{na}的通项公式,并证明你的结论.
解:(1)由11103nnnaaaa 当n=1时213a
n=2时31131212433a
n=3时411321532a. 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！ (2)由(1)猜想1(1nnannN). 证明如下: ①当n=1时10a成立.
②假设(nkkN)时11kkak成立, 那么n=k+1时,有
11111113133131kkkkakkkaakkkk
(1)12242(1)1kkkkkk
即n=k+1时11nnan也成立. 所以由①②可知11nnannN. 课后作业巩固提升 见课后作业B
题组一 证明等式问题 1.用数学归纳法证明等式(1)(2)nn…()213nnn…(21)n从k到k+1左端需增乘的代数式为( ) A.2k+1 B.2(2k+1)
C.211kk D.231kk 答案:B 解析:当n=1时,显然成立. 当n=k时,左边(1)(2)kk…()kk 当n=k+1时,左边=(k+11)(12)k…(1)(kkk+1+k+1) =(k+2)(3)k…()(kkk1+k)(k+1+k+1)
=(k+1)(2)k…(21)(22)()1kkkkk =(k+1)(2)k…()2(21)kkk. 2.某个与正整数n有关的命题,如果当(nkkNk1)时,该命题成立,则一定可推得当n=k+1时,该命题也成立,现已知n=5时,该命题不成立,则有 ( ) A.当n=4时,该命题成立 B.当n=6时,该命题成立 C.当n=4时,该命题不成立 D.当n=6时,该命题不成立 答案:C 解析:因为当(nkkN1)k时,该命题成立,则一定可推得当n=k+1时,该命题也成立,所以当n=5时,该命题不成立,则一定有n=4时,该命题不成立.
3.已知111()12fnnnn…21n则… ( )
A.f(n)中共有n项,当n=2时11(2)23f 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！ B.f(n)中共有n+1项,当n=2时1(2)2f1314 C.f(n)中共有2nn项,当n=2时11(2)23f D.f(n)中共有21nn项,当n=2时,f(2)=121134 答案:D 解析:项数为22(1)1nnnn. 4.若222()123fn…2(2)n则f(k+1)与f(k)的递推关系式是 . 答案:f(k+1)=22()(21)(22)fkkk 解析:∵22()12fk…2(2)k ∴f22(1)12k…222(2)(21)(22)kkk ∴f(k+1)=22()(21)(22)fkkk. 题组二 证明不等式问题
5.用数学归纳法证明“11123…1(21nnnN1)n”时,由n=k(k>1)不等式成
立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是( ) A.12k B.21k C.2k D.21k 答案:C 解析:增加的项数为11(21)(21)222kkkkk. 6.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(k)满足:当“2()fkk成立时,总可推出2(1)(1)fkk成立”.那么下列命题总成立的是( )
A.若(3)9f成立,则当1k均有2()fkk成立 B.若(5)25f成立,则当k<5,均有2()fkk成立 C.若f(7)<49成立,则当8k均有2()fkk成立 D.若f(4)=25成立,则当4k均有2()fkk成立 答案:D 解析:由题意设f(x)满足:“当2()fkk成立时,总可推出2(1)(1)fkk成立.”, 因此,对于A,不一定有k=1,2时成立. 对于B、C显然错误. 对于D,∵f2(4)254因此对于任意的4k有2()fkk成立.
7.对于不等式21(nnnnN)某同学的证明过程如下: (1)当n=1时21111不等式成立. (2)假设当(nkkN)时,不等式成立, 即21kkk 则当n=k+1时22(1)(1)32kkkk 2(32)(2)kkk
2(2)(1)1kk
∴当n=k+1时,不等式成立. 则上述证法( ) A.过程全部正确 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！ B.n=1验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从n=k到n=k+1的推理不正确 答案:D 解析:用数学归纳法证题的关键在于合理运用归纳假设. 题组三 证明几何问题 8.如图,这是一个正六边形的序列:
则第n个图形的边数为 . 答案:5n+1 解析:图(1)共6条边,图(2)共11条边,图(3)共16条边,…,其边数构成等差数列, 则图(n)的边数为na6(1)551nn. 9.设平面内有n条直线(3)n其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)= ;当n>4时,f(n)= (用n表示).
答案:5 1(1)(2nn2) 解析:f(3)=2,f(4)=5,f(5)=9, 每增加一条直线,交点增加的个数等于原来直线的条数. ∴f(4)-f(3)=3, f(5)-f(4)=4, … f(n)-f(n-1)=n-1. 累加得 f(n)-f(3)=3+4+…+(n-1) 3(2)(2)2nn.
∴1()(1)(2fnnn2). 题组四 数学归纳法的综合应用 10.已知231233343…13nn3(nnab)+c对一切nN都成立,则a、b、c的值为( )
A.1124abc
B.14abc C.a104bc D.不存在这样的a、b、c 答案:A 解析:∵等式对一切nN均成立, ∴n=1,2,3时等式成立,
即 22313()1233(2)123333(3)abcabcabc 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！ 整理得 3311897812734abcabcabc 解得1124abc. 11.已知数列{na}满足:112a2na11(2)210nnnaaa.求证: (1)10na;
221(2)nnaa对一切nN都成立;
(3)数列{21na}为递增数列. 证明:已知条件可化为1()(2)10nnnaaa
即112nnnaaa. (1)①当n=1时有110a成立; ②假设当(nkkN)时结论成立,即10ka 那么当n=k+1时11(2)22kkkaaa. ∵122ka 又1ytt在(12)t内为增函数, ∴512(2)22kkaa ∴11(0)2ka则110ka ∴当n=k+1时结论成立. 由①②知,对一切nN均有10na.
(2)①当n=1时211162aa成立; ②假设当(1nkk且kN)时结论成立,即221kkaa ∴2121222kkaa
∴212212112222kkkkaaaa
∴2122121122kkkkaaaa 即221kkaa. 同上法可得2221kkaa ∴当n=k+1时结论成立. 由①②知对一切nN均有221nnaa成立.
11(3)2nnnaaa则21nnaa112na
两式相减得
12111122(2)(2)nnnnnnnnaaaaaaaa
.
若把上式中的n换成2n-1,