高考数学一轮总复习 6.7数学归纳法课件
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高考数学一轮复习 第六章 第七节 数学归纳法课件 理 新人教版
数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．
[基础自测自评] 1．用数学归纳法证明3n≥n3(n∈N，n≥3)，第一步应验证 ( A．n＝1 B．n＝2 )
C．n＝3
C
D．n＝4
1 1 2． (教材习题改编)已知 n 为正偶数， 用数学归纳法证明 1－ ＋ － 2 3 1 1 1 1 1 ＋…－ ＝2 ＋ ＋…＋ 时，若已假设 n＝k(k≥2 且 k 4 n n＋2 n＋4 2n 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证 ( )
＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1) ＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， ∴当 n＝k＋1 时结论仍然成立． 由(1)(2)可知：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1) ＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
[规律方法] 用数学归纳法证明等式的规则
(1)数学归纳法证明等式要充分利用定义，其中两个步骤缺一
A．n＝k＋1时等式成立
B．n＝k＋2时等式成立
C．n＝2k＋2时等式成立 D．n＝2(k＋2)时等式成立 B [因为n为偶数，故假设n＝k成立后，再证n＝k＋2时等式 成立．]
1 1 1 1 3．已知 f(n)＝ ＋ ＋ ＋…＋ 2，则 n n＋1 n＋2 n ( 1 1 A．f(n)中共有 n 项，当 n＝2 时，f(2)＝ ＋ 2 3 1 1 1 B．f(n)中共有 n＋1 项，当 n＝2 时，f(2)＝ ＋ ＋ 2 3 4 1 1 C．f(n)中共有 n －n 项，当 n＝2 时，f(2)＝ ＋ 2 3
左边＝右边，等式成立． (2)假设 n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即 f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，
那么，当 n＝k＋1 时， f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k) ＝(k＋1)f(k)－k
高考数学总复习 第6章 第7讲 数学归纳法课件 理 新人教A版
第十八页，共50页。
1＋12＋13＋…＋21k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k＋1 2k>1＋2k＋ 2k·2k1＋1＝1＋k＋2 1.
又 1＋12＋13＋…＋21k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k＋1 2k<12＋k ＋2k·21k＝12＋(k＋1)，
即 n＝k＋1 时，命题成立． 由(1)(2)可知，命题对所有 n∈N*都成立．
第三十页，共50页。
n＝k＋1 时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－(2k－ak)， ∴ak＋1＝2＋2 ak＝2＋222k－k－11＝2k＋21－k 1， ∴当 n＝k＋1 时猜想成立；② 综合①②，当 n∈N*时猜想成立．
第三十一页，共50页。
(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问 题，其基本模式是“归纳—猜想—证明(zhèngmíng)”，即先由合情推 理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性． (2)“归纳—猜想—证明(zhèngmíng)”的基本步骤是“试验—归纳—猜 想 — 证 明 (zhèngmíng)” ． 高 中 阶 段 与 数 列 结 合 的 问 题 是 最 常 见 的 问 题．
第二十九页，共50页。
[解] (1)a1＝1，a2＝32，a3＝74，a4＝185. (2)猜想 an＝22n－n－11，证明： 当 n＝1 时，a1＝1 猜想显然成立；① 假设当 n＝k(n≥1 且 n∈N*)时，猜想成立， 即 ak＝22k－k－11，Sk＝a1＋a2＋…＋ak＝2k－ak， 那么，
第十页，共50页。
1.第一个值 n0 n＝k＋1 填一填：(1)3 (2)1＋a＋a2 (3)n2－n＋1 12＋13＋14 2．n＝k＋1 时命题也成立 对一切 n∈N*，n≥n0 选一选：D
1＋12＋13＋…＋21k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k＋1 2k>1＋2k＋ 2k·2k1＋1＝1＋k＋2 1.
又 1＋12＋13＋…＋21k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k＋1 2k<12＋k ＋2k·21k＝12＋(k＋1)，
即 n＝k＋1 时，命题成立． 由(1)(2)可知，命题对所有 n∈N*都成立．
第三十页，共50页。
n＝k＋1 时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－(2k－ak)， ∴ak＋1＝2＋2 ak＝2＋222k－k－11＝2k＋21－k 1， ∴当 n＝k＋1 时猜想成立；② 综合①②，当 n∈N*时猜想成立．
第三十一页，共50页。
(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问 题，其基本模式是“归纳—猜想—证明(zhèngmíng)”，即先由合情推 理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性． (2)“归纳—猜想—证明(zhèngmíng)”的基本步骤是“试验—归纳—猜 想 — 证 明 (zhèngmíng)” ． 高 中 阶 段 与 数 列 结 合 的 问 题 是 最 常 见 的 问 题．
第二十九页，共50页。
[解] (1)a1＝1，a2＝32，a3＝74，a4＝185. (2)猜想 an＝22n－n－11，证明： 当 n＝1 时，a1＝1 猜想显然成立；① 假设当 n＝k(n≥1 且 n∈N*)时，猜想成立， 即 ak＝22k－k－11，Sk＝a1＋a2＋…＋ak＝2k－ak， 那么，
第十页，共50页。
1.第一个值 n0 n＝k＋1 填一填：(1)3 (2)1＋a＋a2 (3)n2－n＋1 12＋13＋14 2．n＝k＋1 时命题也成立 对一切 n∈N*，n≥n0 选一选：D
人教版高中数学高考一轮复习--数学归纳法(课件)
=
+
3+1
=
4
.
13
第三环节
学科素养提升
用数学归纳法证明整除问题
典例
用数学归纳法证明当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除.
证明:(1)当n=1时,xn+yn=x+y,显然能被x+y整除,命题成立.
(2)假设当n=k(k∈N*,且k为奇数)时,命题成立,
即xk+yk能被x+y整除.
那么当n=k+2时,xk+2+yk+2=x2(xk+yk)+yk+2-x2yk=x2(xk+yk)-yk(x+y)(x-y).
时命题也成立”.
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立,
这种证明方法称为数学归纳法(mathematical induction).
温馨提示能使多米诺骨牌全部倒下需要以下两个条件:
(1)第一块骨牌倒下;
(2)任意相邻的两块骨牌,前一块倒下一定导致后一块倒下.
【知识巩固】
又根据假设,xk+yk能被x+y整除,
所以x2(xk+yk)能被x+y整除.
又yk(x+y)(x-y)能被x+y整除,
所以x2(xk+yk)-yk(x+y)(x-y)能被x+y整除,
即当n=k+2时,命题成立.
由(1)(2)可知,当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除.
解题心得用数学归纳法证明整除问题时,第一从要证的n=k+1的式子中拼
2
(1 + )
高考数学一轮复习 数学归纳法(理)课件
(nN*).
求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n·[f(n)－1](n≥2，n∈N*).
按数学归纳法的步骤进行证明即可.
【证明】 (1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1， 右边＝2[1＋ －1]＝1， 左边＝右边，等式成立. (2)假设n＝k时，结论成立，即 f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]， 那么，当n＝k＋1时，
利用假设后，要注意不等式的放大和缩小.
【证明】 (1)当n＝1时，左式＝1＋ ，右式 ＝ ＋1，
即命题成立.
(2)假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即 1k 2≤ 11 21 3...2 1 k≤ 1 2k, 则当n＝k＋1时，
又1+
1 2k2k.21k 1 2(k1), 即n＝k＋1时，命题成立. 由(1)(2)可知，命题对所有n∈N*都成立.
22＋42＋…＋(2k)2＋(2k＋2)2 ＝ k(k＋1)(2k＋1)＋4(k＋1)2 ＝ (k＋1)[k(2k＋1)＋6(k＋1)] ＝ (k＋1)(2k2＋7k＋6)＝ (k＋1) (k＋2)(2k＋3)＝
(k＋1)[(k＋1)＋1][2(k＋1)＋1]， 即n＝k＋1时，等式成立. 由(1)、(2)可知，等式对所有的n∈N*都成立.
3.设Sn是数列{ }的前n项的和. 是否存在关于正整数n的函数f(n)，使S1＋S2＋…＋Sn－1＝ f(n)(Sn－1)对于大于1的正整数n都成立？并证明你的结论；
解：假设存在f(n)，使等式成立.
当n＝2时，S1＝f(2)(S2－1)， 即1＝f(2)(1＋ －1)，解得f(2)＝2.
当n＝3时，S1＋S2＝f(3)(S3－1)，
【解】 (1)由已知得 又∵{an}的公差大于0，∴a5＞a2.∴a2＝3，a5＝9.
高考数学一轮总复习第6章6.7数学归纳法课件理171.ppt
[双基夯实] 一、疑难辨析 判 断 下 列 结 论 的 正 误 ． ( 正 确 的 打 “√” ， 错 误 的 打 “×”) 1．用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当 n＝1 时结论成立．( × ) 2．所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法 证明．( × )
3．用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不 用．( × )
2.解题中要注意步骤的完整性和规范性，过程中要体现 数学归纳法证题的形式.
板块三 启智培优·破译高考
规范答题系列 5——怎样解决数学归纳法中的“归纳— 猜想—证明”问题
[2014·广东高考]设数列{an}的前 n 项和为 Sn，满足 Sn ＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且 S3＝15.
4．不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由 n＝k 到 n＝k＋1 时，项数都增加了一项．( × )
二、小题快练
1．[课本改编]在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角
线为12n(n－3)条时，第一步检验 n 等于(
)
A．1 B．2 C．3 D．0
解析 凸 n 边形的边最少有三条，故第一个值 n0 取 3.
核心规律
数学归纳法是一种重要的数学思想方法，只适用于与正 整数有关的命题，证明过程的表述严格而且规范，两个步骤 缺一不可．第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用， 当 n＝k＋1 时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二 步的关键是“一凑假设，二凑结论”．
满分策略
1.在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从 k 到 k ＋1 时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误．
②假设 n＝k(k∈N*)时等式成立，即有 2× 1 4＋4× 1 6＋6× 1 8＋…＋2k21k＋2＝4k＋ k 1，
【全套解析】高三数学一轮复习-6-7-数学归纳法课件-(理)-新人教A版
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人教A 版 ·数学 （理）
[例3] 已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2，a5是方程x2
－12x＋27＝0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝1－12bn.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，试比较
1 bn
与Sn＋1的大小，并说
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人教A 版 ·数学 （理）
第七节 数学归纳法
高三总复习
人教A 版 ·数学 （理）
1.了解数学归纳法的原因，掌握用数学归纳法证 明问题的基本步骤．
2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
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人教A 版 ·数学 （理）
1．归纳法 由一系列有限的特殊事例得出一般结论 的推理方法叫归纳法．根 据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为 完全 归 纳 法和不完全 归纳法． 2．数学归纳法 设{Pn}是一个与正整数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题 P1 (或 P0 )成立；(2)在假设 Pk 成立的前提下，推出 Pk＋1 也 成立，那么可以断定{Pn}对一切正整数成立．
1 2
＋
1 3
＋…＋
1 2n－1
<n(n∈N*，
n>1)”时，由n＝k(k>1)不等式成立，推理n＝k＋1时，左边应增
加的项数是________．
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人教A 版 ·数学 （理）
解析：由n＝k时，左边为1＋12＋13＋…＋2k－1 1， 当n＝k＋1时， 左边＝1＋12＋…＋2k－1 1＋21k＋…＋2k＋11－1， 因为分母是连续的自然数且 (2k＋1－1)－2k＋1＝2·2k－2k＝2k，所以增加了2k项． 答案：2k
高中数学一轮复习课件：‘数学归纳法’” (共49张PPT)
证明：(1)当 n＝1 时，左边＝
1 1 ＝3， 1×3
1 1 右边＝ ＝3，左边＝右边，所以等式成立. 2×1＋1 (2)假设当 n＝k(k∈N*)时等式成立，即有 1 1 1 k ＋ ＋„＋ ＝ ， 1×3 3×5 2k－12k＋1 2k＋1 则当 n＝k＋1 时， 1 1 1 1 ＋ ＋„＋ ＋ 1×3 3×5 2k－12k＋1 2k＋12k＋3
温馨提醒
用数学归纳法证明题的关键是两凑， 要有三个结论。
1.(2014· 荷泽调研)用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时，xn ＋yn 能被 x＋y 整除”，第二步归纳假设应写成( )
A．假设 n＝2k＋1(k∈N*)正确，再推 n＝2k＋3 正确 B．假设 n＝2k－1(k∈N*)正确，再推 n＝2k＋1 正确 C．假设 n＝k(k∈N*)正确，再推 n＝k＋1 正确 D．假设 n＝k(k≥1)正确，再推 n＝k＋2 正确
立； (2)(归纳递推)假设 n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当 ________ n=k+1 时命题也成立． ห้องสมุดไป่ตู้要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有 正整数 n 都成立．
2.框图表示
3.【具体步骤】
用数学归纳法证明： 1 1 1 n 当n N 时， + + + 1 3 3 5 (2n 1)(2 n 1) 2 n 1
解析：∵n＝k＋1 时， 等式左边＝1＋3＋5＋„＋(2k－1)＋(2k＋1) ＝k2＋(2k＋1)＝(k＋1)2.故选 B.
4．(2014· 石家庄诊断)下列代数式(其中 k∈N*)能被 9 整除的 是( ) A．6＋6· 7k C．2(2＋7k＋1) B．2＋7k－1 D．3(2＋7k)
高考数学 6.7 数学归纳法知识研习课件 理(通用版)
(a≠0)，在验证 n＝1 时，等式左端计算所得的项是( )
A．1 C．1＋a＋a2
B．1＋a D．1＋a＋a2＋a3
解析：n＝1，左边为1＋a＋a2. 答案：C
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第六章 不等式、推理与证明
3．设 f(n)＝n＋1 1＋n＋1 2＋n＋1 3＋…＋21n(n∈N*)，那么
f(n＋1)－f(n)等于( )
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第六章 不等式、推理与证明
因为an≥0恒成立，所以ak＋2＋ak＋1＋1＞0， 所以ak＋2－ak＋1＞0，即ak＋1＜ak＋2， 所以命题对n＝k＋1时也成立． 综上①②可知，原命题成立．
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第六章 不等式、推理与证明
【即时巩固 2】 数列{an}中，a1＝52，an＋1＝2aan－n2 1 (n∈N*)，用数学归纳法证明：an＞2(n∈N*)．
.
1
第六章 不等式、推理与证明
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步 骤进行：
(1)(归纳奠基) 证明当n取第一个值n0时命题成立 ； (2)(归纳递推) 假设n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立， 证明当n＝k＋1时结论也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所 有正整数n都成立．上述证明方法叫做 数学归纳法 ．
第六章 不等式、推理与证明
考点三 证明整除问题 【案例3】 用数学归纳法证明：f(n)＝3·52n＋1＋23n＋ 1(n∈N*)能被17整除． 关键提示：用数学归纳法证明整除问题，由k过渡到k＋ 1时常使用拼凑法． 证明：(1)当n＝1时， f(1)＝3×53＋24＝391＝17×23， 故f(1)能被17整除，命题成立．
第六章 不等式、推理与证明
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12
5．用数学归纳法证明：“1＋
1 2
＋
1 3
＋…＋
1 2n－1
<n(n>1)”，
由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项的项
数是________．
解析
由n＝k(k>1)到n＝k＋1时，不等式左端增加的项为
1 2k
＋
2k＋1 1＋…＋2k＋11－1，共增加(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k项．
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20
变式思考 1 用数学归纳法证明下列等式： 2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2n21n＋2＝4nn＋1.
证明 (1)当n＝1时，等式左边＝2×1 4＝18， 等式右边＝411＋1＝18，∴等式成立． (2)假设n＝k时等式成立， 即2×1 4＋4×1 6＋…＋2k21k＋2＝4k＋k 1成立，
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21
那么当n＝k＋1时，
1 2×4
＋
1 4×6
＋
1 6×8
＋…＋
1 2k2k＋2
＋
1 2k＋1[2k＋1＋2]
＝4k＋k 1＋4k＋11k＋2＝4kk＋k＋12k＋＋12
＝4k＋k＋11k＋2 2＝4[k＋k＋11＋1]，
即n＝k＋1时等式成立．
由(1)(2)可知，对任意n∈N*等式均成立．
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15
问题2 归纳假设有什么特征？ (1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证n＝k＋1时，必须用上 归纳假设． 问题3 数学归纳法中第二步的证明有什么技巧？ 在推证n＝k＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳 假设．此时既要看准目标，又要掌握n＝k与n＝k＋1之间的关 系，在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用．
)
A．1
1 B.5
C．1＋12＋13＋14＋15
D．非以上答案
解析 f(1)＝1＋12＋13＋14＋15，故选C.
答案 C
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9
3．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－
1 2
＋
1 3
－
1 4
＋…－
1 n
＝2(n＋1 2＋n＋1 4＋…＋21n)时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时命
题为真，则还需要用归纳假设再证( )
A．n＝k＋1时等式成立
B．n＝k＋2时等式成立
C．n＝2k＋2时等式成立
D．n＝2(k＋2)时等式成立
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10
解析 k为偶数，则k＋2为偶数，故选B. 答案 B
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11
4．设f(n)＝1＋12＋13＋14＋…＋3n1－1(n∈N*)，则f(n＋1)－f(n) ＝________.
解析 ∵f(n)＝1＋12＋13＋14＋…＋3n1－1， ∴f(n＋1)＝1＋12＋13＋…＋3n1－1＋31n＋3n1＋1＋3n1＋2. ∴f(n＋1)－f(n)＝31n＋3n1＋1＋3n1＋2. 答案 31n＋3n1＋1＋3n1＋2
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＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， ∴当n＝k＋1时结论仍然成立． 由(1)(2)可知，f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1) ＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
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19
【规律方法】 用数学归纳法证明等式时，要注意第(1)步中 验证n0的值，如本题要取n0＝2，在第(2)步的证明中应在归纳假设 的基础上推证n＝k＋1等式也成立，但必须用上归纳假设．
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4
J 基础回扣·自主学习
理教材 夯基础 厚积薄发
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5
知识梳理
知识点
数学归纳法
1.数学归纳法的适用对象 数学归纳法是用来证明关于与 正整数n 有关命题的一种方
法，若n0是起始值，则n0是 使命题成立的最小正整数 ．
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6
2．数学归纳法证题的步骤 (1)证明当n取 第一个值 n0(n0∈N*)时命题成立； (2)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当 n＝k＋1 时 命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正 整数n都成立．
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22
考点二
用数学归纳法证明不等式
【例2】 (2015·潍坊模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，已 知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r 均为常数)的图象上．
(1)求r的值．
(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，证明：对任意的n ∈N*，不等式b1b＋1 1·b2b＋2 1·…·bnb＋n 1> n＋1成立．
答案 2k
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13
R 热点命题·深度剖析
研考点 知规律 通法悟道
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14
问题探究 问题1 (1)第一个值n0是否一定为1呢？ (2)数学归纳法两个步骤有何关系？ (1)不一定，要看题目中n的要求，如当n≥3时，则第一个值 n0应该为3. (2)数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，第一步是递推基 础，也叫归纳奠基，第二步是递推的依据，也叫归纳递推．两者 缺一不可．
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16
高频考点
考点一
用数学归纳法证明等式
【例1】 设f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)． 求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n·[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
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听 课 记 录 (1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1. 右边＝2[1＋12－1]＝1，左边＝右边，等式成立． (2)假设n＝k时，结论成立，即 f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]， 那么，当n＝k＋1时， f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k) ＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)[f(k＋1)－k＋1 1]－k
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7
对点自测
知识点
数学归纳法
1.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为
1 2
n(n－3)条时，
第一步检验n等于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析 三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n＝3.Fra bibliotek答案 C
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2．若f(n)＝1＋12＋13＋…＋6n1－1(n∈N*)，则f(1)为(
第六章 不等式、推理与证明
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第七节 数学归纳法
基础回扣·自主学习
热点命题·深度剖析
特色专题·感悟提高
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高考明方向
1.了解数学归纳法的原理． 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
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备考知考情 高考对数学归纳法较少单独考查，一般和合情推理、数列、 不等式、平面几何等知识结合，在知识交汇点处命题，题型以解 答题为主，难度中等偏上.