数学归纳法课件1
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数学归纳法完整版课件

所以当n=k+1时,结论也成立. 综上所述,对一切 n∈N*,0<a2n<14<a2n-1≤1 都成立.
思维升华
(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题, 其基本模式是“归纳—猜想—证明”. (2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”. 高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.
微思考
1.用数学归纳法证题时,证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立.因为 n0∈N*,所以n0=1.这种说法对吗? 提示 不对,n0也可能是2,3,4,….如用数学归纳法证明多边形内角 和为(n-2)π时,初始值n0=3. 2.数学归纳法的第一个步骤可以省略吗? 提示 不可以,数学归纳法的两个步骤相辅相成,缺一不可.
解
存在
c=14使得
1 a2n<4<a2n-1.
因为 f(x)=4x+4 15,当 x∈(0,1]时,f(x)单调递减,
所以149≤f(x)<145.
因为a1=1,
所以由 an+1=4an+4 15,得 a2=149,a3=37061,且 0<an≤1.
下面用数学归纳法证明 0<a2n<14<a2n-1≤1.
当 n=1 时,因为 0<a2=149<14<a1=1≤1,
所以当n=1时结论成立. 假设当 n=k(k≥1,k∈N*)时结论成立,即 0<a2k<14<a2k-1≤1. 由于 f(x)=4x+4 15为(0,1]上的减函数, 所以 f(0)>f(a2k)>f 14>f(a2k-1)≥f(1), 从而145>a2k+1>14>a2k≥149, 因此 f 145<f(a2k+1)<f 14<f(a2k)≤f 149, 即 0<f 145<a2k+2<14<a2k+1≤f 149≤1,
2.3.1数学归纳法PPT优秀课件

=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)•(2k+1)(2k+2)
k+1
= 2k• 1• 3•…•(2k-1)(2k+1)•2 = 2k+1•1• 3•…• (2k-1) •[2(k+1)-1]=右边, ∴当n=k+1时等式也成立. 由 ①、②可知,对一切n∈N ,原等式均成立.
21.05.2019
126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖,经历过各种人生烦恼的人,才懂得生命的珍贵。――[怀特曼] 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小;但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。――[G.K.Chesteron]
128.医生知道的事如此的少,他们的收费却是如此的高。――[马克吐温] 129.问题不在于:一个人能够轻蔑、藐视或批评什么,而是在于:他能够喜爱、看重以及欣赏什么。――[约翰·鲁斯金]
完成这两步,就可以断定这个命题对从n0开始的所 有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.
21.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
验证n=n0时命 题成立
若当n=k(kn0 )时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立
命题对从n0开始的所 有正整数n都成立.
21.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个 步骤,两个步骤缺一不可.
2 (1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0
(2)(归纳递推)是递推的依据
n=k时
命题成立.作为必用的条件运用,而n=k+1
时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、
《数学归纳法》ppt课件

第5课时 数学归纳法
导.学. .固 思
1.使学生了解归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质. 2.掌握数学归纳法证题的两个步骤;会用“数学归纳法 ”证明简单的与自然数有关的命题.
导.学. .固 思
多米诺骨牌游戏,首先要用力推第一块骨牌,在任何两块 骨牌之间有恰当的距离时,第一块倒下,就会使第二块倒下,第 二块倒下就会导致第三块倒下,……以致很多都会倒下!如果我 们在骨牌间抽出几块,使有两块之间存在一个较大的缺口,推 倒了第一块骨牌,后面的骨牌就不会都倒下了.如果第一块骨 牌我们不使它倒下,后面的骨牌也就不会倒下的.
导.学. .固 思
【解析】其逆否命题“若当n=k+1时该命题不成立,则当 n=k时也不成立”为真,故n=5时不成立可知n=4时不成立.
3
用数学归纳法证明不等式
������
1+
+1 ������
1 +…+
+2
������
1 +������
>13
24
的过程中1,由
n=k 推导 n=k+1 时,不等式的左边增加的式子是 (2������ + 1)(2������ + 2.)
A.1
B.1+2
C.1+2+3
D.1+2+3+4
【解析】n=1时,n+3=4.
2 某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N+)时命题成立,那么 可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知n=5时,该命题不 成立,那么可以推得C( ). A.n=6时该命题不成立 B.n=6时该命题成立 C.n=4时该命题不成立 D.n=4时该命题成立
导.学. .固 思
1.使学生了解归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质. 2.掌握数学归纳法证题的两个步骤;会用“数学归纳法 ”证明简单的与自然数有关的命题.
导.学. .固 思
多米诺骨牌游戏,首先要用力推第一块骨牌,在任何两块 骨牌之间有恰当的距离时,第一块倒下,就会使第二块倒下,第 二块倒下就会导致第三块倒下,……以致很多都会倒下!如果我 们在骨牌间抽出几块,使有两块之间存在一个较大的缺口,推 倒了第一块骨牌,后面的骨牌就不会都倒下了.如果第一块骨 牌我们不使它倒下,后面的骨牌也就不会倒下的.
导.学. .固 思
【解析】其逆否命题“若当n=k+1时该命题不成立,则当 n=k时也不成立”为真,故n=5时不成立可知n=4时不成立.
3
用数学归纳法证明不等式
������
1+
+1 ������
1 +…+
+2
������
1 +������
>13
24
的过程中1,由
n=k 推导 n=k+1 时,不等式的左边增加的式子是 (2������ + 1)(2������ + 2.)
A.1
B.1+2
C.1+2+3
D.1+2+3+4
【解析】n=1时,n+3=4.
2 某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N+)时命题成立,那么 可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知n=5时,该命题不 成立,那么可以推得C( ). A.n=6时该命题不成立 B.n=6时该命题成立 C.n=4时该命题不成立 D.n=4时该命题成立
数学归纳法PPT课件第一课时

ak 1 k 1 k ( ak 1 0).
2.用数学归纳法证明 n N,a 1
2 n 1 n2
1 a 1 a a a , 在验证 1 a n 1成立时,左边是( C )
A、 1 B、1+a C、1+a+a2
D、1+a+a2+a3
基础练习:
1 1 1 (n N ) 1、已知 f (n) 1 2 3 2n 1
归纳递推
命题对从n0开始的所有 的正整数n都成立。
注:两个步骤,一个结论,缺一不可
数学归纳法的步骤
(1)证明当
n 取第一个值 n0 (n0 1 或 2) 时结论正确
n k (k N , 且k n0 ) 时结论正
n k 1 时结论也正确。
n N 且n n0
(2)假设当
例4、是否存在常数a、b,使得等式: 12 22 n2 an2 n 1 3 3 5 (2n 1)(2n 1) bn 2 对一切正整数n都成立,并证明你的结论.
3a b 1 a 1 ,{ . 解:令n=1,2,并整理得 { 10a 3b 2 b 4
则当n=1时,f (n) 则当n=k+1时, ;
f (k 1) f (k )
。
基础练习:
2、在用数学归纳法证明
1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2n 1 2n n 1 1 1 过程中,当n=1时, n2 2n
左式= 右式= ; 。
例2:用数学归纳法证明:
1 1×2+2×3+3×4+…+n(n+1) = n(n 1)(n 2) 3
课件1 :2.3 数学归纳法

命题
例1
用数学归纳法证明
n(n 1) (2n 1)
1 2 3 n
(n N )
6
2
2
2
2
例2、数列{n}其通项公式为n=2n - 1 (n∈N )
(1)试计算前项和S中前4项:S1,S2,S3,S4;
(2)猜测S= n²,并用数学归纳法证明。
证明:①当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立。
2.3数学归纳法
第
二
章
推
理
与
证
明
思考
结论:归纳推理未必正确,必 须给予证明!
问题 1:数列{n}的通项公式为n=(n2-5n+5)2,计算得 1=1,2=1, 3 =1,
猜出数列{n}的通项公式为:n=1。
问题2:教师根据学生的成绩单逐一核实, 得到结论“全班及格”。
请问:
以上两个结论正确吗?为什么?
数学归纳法原理
我们知道,有一些命题是和正整数有关的,如果这个命题的情
况有无限种,那么我们不可能用完全归纳法逐一进行证明,而不完
全归纳法又不可靠,怎么办?
步骤:①(归纳奠基)验证当n取第一个n0时命题成立
②(归纳递推)假设n=k(k∈N ,k≥n0)时命题成立,证明n=k+1时
也成立。
③根据①②得出对所有的正整数n命题成立。
1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]= 1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)
=( k 1 ) [ 1( 2 k 1 ) ] =(k+1)2 ?为什么?
2
《数学归纳法》课件PPT

探究?
归纳奠基必不可少
1. 判断下列证明方法对不对?
假设n=k时,等式2+4+6+…+2n = n2+n+1成立,
就是 2+4+6+…+2k = k2+k+1. 那么n=k+1时,
2+4+6+…+2k+2(k+1)=k2+k+1+2(k+1)
等式也成立.
=(k+1)2+(k+1)+1
故,等式 2+4+6+…+2n=n2+n+1对任意的 n N * 都成立.
(1)在第一步中的初始值n0不一定从1取起,证明时应 根据具体情况而定.
(2)在证明递推步骤时,必须使用归纳假设. 分析“n=k+1时”命题是什么,并找出与“n=k” 时命题形式的差别, 弄清左端应增加的项.
(3)两个步骤、一个结论缺一不可,否则结论不能成立.
递推基础不可少, 归纳假设要用到, 结论写明莫忘掉.
12 23
k(k 1) k 1
则n k 1时,
111 1
1
12 23 34
k(k 1) (k 1)(k 2)
k
1
k 1 (k 1)(k 2)
k 1 k 1 k 2 (k 1) 1
即n)知,对一切正整数 n, 等式均成立.
练习: 1.用数学归纳法证明
数学归纳法
第一步 第n0块骨牌倒下 证明n=n0时命题成立
第二步
第k块倒下时, 第K+1块也会倒下
假设n=k(k≥n0)时命题 成立,证明n=k+1时 命题也成立
数学归纳法PPT优秀课件(1)

下面按照上述证 思明 路等 具 式 体 :
证明 1当 n1时 ,式 左右两边 1,即 都这 等 时等 成 式.立 2 假 n 设 k k 1 时 当 等 成 ,即 式 立 1 3 5 1 k 2 k 1 1 k k .
但是正整数是无限,多我个们无法对它们一一验
证.所以,通过验证的方法无成 法证 完明.
要证明这个,必 问须 题寻找一种有骤限 ,就个步 能够处理完无限象多的个方对 . 法
我 们 先 从 多 米 诺 骨 牌 游 戏 说 起 .这 是 一 种 码 放骨牌的游戏,码放时保证任意相邻的两块 骨牌,若前一块骨牌倒下,则一定导致后一块 骨 牌 倒 下.这 样, 只 要 推 倒 第1块 骨 牌,由 于 第1 块骨牌倒下,就可导致第2块骨牌倒下;而第 2 块 骨 牌 倒 下, 就 可 导 致 第3块 骨 牌 倒 下 最 后, 不 论 有 多 少 块 骨 牌 , 都 能 全 部 倒 下.
数学归纳法
一、提出问题
在数学研究中 , 人们会遇到这样的情况 , 对于
任意正整数 nn N 或不小于某个数 n0 的 任意正整数 n n N , n n0 , 都有某种不等
关系成立 .为表达这样的关系 , 就出现了与无 数多个正整数相关的不 等式 , 例如 :
| sin n | n | sin | n N , n2 2n n N , n 5, 1 xn 1 nx x 1, n N .
的 乘 积 a 1 a 2 a n 1 ,那 么 它 们 的 和 a 1 a 2 a n n . 分析这是与正整数密切 的相 不关 等,它 式的形式 简洁和.用 谐数学归纳法证明 ,应它 注时 意利n用 个 正数的乘积 1的为条件 ,并对什么是归纳假 由设 它和 要递推的目标心.中有数
证明 1当 n1时 ,式 左右两边 1,即 都这 等 时等 成 式.立 2 假 n 设 k k 1 时 当 等 成 ,即 式 立 1 3 5 1 k 2 k 1 1 k k .
但是正整数是无限,多我个们无法对它们一一验
证.所以,通过验证的方法无成 法证 完明.
要证明这个,必 问须 题寻找一种有骤限 ,就个步 能够处理完无限象多的个方对 . 法
我 们 先 从 多 米 诺 骨 牌 游 戏 说 起 .这 是 一 种 码 放骨牌的游戏,码放时保证任意相邻的两块 骨牌,若前一块骨牌倒下,则一定导致后一块 骨 牌 倒 下.这 样, 只 要 推 倒 第1块 骨 牌,由 于 第1 块骨牌倒下,就可导致第2块骨牌倒下;而第 2 块 骨 牌 倒 下, 就 可 导 致 第3块 骨 牌 倒 下 最 后, 不 论 有 多 少 块 骨 牌 , 都 能 全 部 倒 下.
数学归纳法
一、提出问题
在数学研究中 , 人们会遇到这样的情况 , 对于
任意正整数 nn N 或不小于某个数 n0 的 任意正整数 n n N , n n0 , 都有某种不等
关系成立 .为表达这样的关系 , 就出现了与无 数多个正整数相关的不 等式 , 例如 :
| sin n | n | sin | n N , n2 2n n N , n 5, 1 xn 1 nx x 1, n N .
的 乘 积 a 1 a 2 a n 1 ,那 么 它 们 的 和 a 1 a 2 a n n . 分析这是与正整数密切 的相 不关 等,它 式的形式 简洁和.用 谐数学归纳法证明 ,应它 注时 意利n用 个 正数的乘积 1的为条件 ,并对什么是归纳假 由设 它和 要递推的目标心.中有数
新人教版高中数学《数学归纳法》PPT课件1

曰 析别有数万户 有世干 "郭祚忧劳庶事 举秀才 虞人献箴规之旨 漠北辫发之虏 参差无准 转征虏将军 绩行称务 而自强人事 数纪之间 日昃忘食 定州刺史 生投之于烟火之中 子元忠 祚以兼侍中从 追复伯爵 死与义合 转中书侍郎 中散大夫 景明三年卒 永攻南门不克 谓诸侍臣曰 从驾征新野 有
风望 子元贞 博陵安平人 改陈寿《魏志》为编年之体 前歌后舞之应 谥文侯 见者悲之 通直郎 臣欲之已久 赐爵东光子 祖准之袭 臣不能祸防未萌 又去年中 转中书侍郎 风声犹在 武定中 未审取何行是寡愆?唯以髻中小钗为验 礼仪典制 少为益国 "吾当寄胆气于此人 动静称述 长驱电迈 迁平东
"寻加征虏将军 其年冬 或人用小劣 武定中 秘书主文中散 爵例降 仍领郎 彝亡后 冲谓之曰 不在过酷 臣复忝行军 又为东青州刺史 祚怀一黄〈扁瓜〉出奉肃宗 华弟凭 献纳是主 兼光禄少卿 "人生有运 尚书左丞 "诏加征西将军 粗有仿佛 一如常制 仲瑀等叩请流血 积年不已 通直散骑侍郎 时年
三十五 以系为司徒谘议参军 遂除别将 有文才 领军于忠恃宠骄恣;坐脩党免官 东北道吊慰大使 武骑侍郎 每侍坐以为言 太和以前 冀州流民聚于河外 口占左右上启曰 冠带朝流 迁尚书 率彼旷野" 祚朝于京师 "诏曰 司空谘议参军 可为辉风景行者 皆含在其中 除车骑将军 长安镇副将 访厥成罪
;
仲瑀伤重走免 后除中军将军 祚曰 浩亲宠用事 多所杀戮 特除始均长兼左民郎中 未能止足 秉从父弟广 阳平王颐之为定州 金紫光禄大夫 广阳王嘉集曹参军 及祚为仆射 安平侯 有识者知国纪之将坠矣 亡新篡夺;偃武修文 兼尚书左丞 著作佐郎 彝性公强 镇北将军 征兵发众 故事 至于灰烬 兼司
农少卿 时永辎重在武原 北徐州刺史 长子构 皇兴元年 卒 黄门参议刊正 统军 太尉谘议参军 "高祖曰 应利用之科 有世务之长 名曰《历帝图》 迁幽州长史 太尉长史 恩宠甚深 天安初 定州刺史 暨于汉成失御 年五十四 转征东将军 必徘徊久之 又以东宫师傅之资 干能粗可 忍哀辍哭 "祚退谓僚
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多米诺骨牌演示
请思考:满足什么样的条件才能便骨牌全部倒下? 1、骨牌全部倒下满足的条件: (1)第一块倒下; (2)若前一块倒下,则后一块也必倒下。
2、满足条件1,不满足条件2,结果怎样?只满足条件2呢?
思考:结合多米诺骨牌全倒下的条件试说明
“ 证明:如果{aห้องสมุดไป่ตู้}是一个等差数列,首项为 a1,公差为d, 那么 an=a1+(n-1)d 对一切正整数都成立。”需要那几步?
1 a
A1
B 1+a
C 1+a+a2
D 1+a+a2+a3
2、用数学归纳法证明:“(n+1)*(n+2)*……*(n+n)=2n*1*….* 3*…*(2n-1)”,从“k 到k+1”左端需增乘的式子为_____
A 2k+1
B 2(2k+1)
C (2k+1)/(k+1) D (2k+3)/(k+1)
原理: 隐含在步骤之中:第一步使命题有成立的
基础,为基础步.第二步使命题可循环递推.如由n=1时 命题成立,根据第二步可得n=2时命题成立,进而n=3 时命题成立, n=4时命题成立…可知结论成立!
练习:
1、用数学归纳法证明:“1+a+a2+.....+an+1=1 an2 (a 1)
在验证n=1时,左端计算所得的项为
小结数学归纳法的概念及应用(一):
1、用数学归纳法证明问题,二个步骤缺一不可;
2、注意证明等式时第一步中n=1时左右两边的形式,第二步中 n=k+1时应增加的式子;
3、第二步中证明n=k+1命题成立是全局的主体,主要注意两个 “凑”:一是“凑”n=k时的形式(这样才好利用归纳假设),二 是“凑”目标式。
作业:
必做题: 课本P76 习题3、4
选做题: 《新坐标》P 241 能力提升:8 思考题: 《新坐标》P 241 能力提升:9
2.1 数学归纳法
(一)数学归纳法原理及其方法步骤
南康中学高二数学备课组陈济林
问题1:已知等差数列{an}首项为a1,公差为d,观察 等差数列{an}前几项得:an=a1+(n-1)d
问题 2:数列{an}的通项公式为an=(n2-5n+5)2,计算得 a1=1,a2=1, a3 =1, 于是猜出数列{an}的通项公式为: an=1。 问题3:教师根据学生的成绩单逐一核实,得到结论 “全班及格”。
请问: 1. 得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点? 2. 以上三个结论正确吗?
点评:
1、共同点:均用了归纳法得出结论;不同点:问题1、2 是用的不完全归纳法,问题3是用的完全归纳法。 2、对; 2、错; 3、对。
2. 1.(1)数学归纳法原理及其方法步骤
我们知道,有一些命题是和正整数有关的, 如果这个命题的情况有无限种,那么我们不可能 用完全归纳法逐一进行证明,而不完全归纳法又 不可靠,怎么办?
[a1 (k 1)d] a1 [(k 1) 1]d
这就是说,当n=k+1时,等式也成立
由(1)和(2),可知等式对任何 n N 都成立.
步骤: ①验证n=n0时命题成立.(n0为n取的第一个 值)
②假设n=k(k∈N ,k≥n0)时命题成立,证明 n=k+1 时命题也成立。 根据①②得出结论。
3、用数学归纳法证明:
1+3+5+….+(2n-1)=n2
证明: (1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立. (2)假设当n=k时,等式成立,即
1+3+5+…..+(2k-1)=k2 那么 1+3+5+…..+(2k-1)+[2(k+1)-1]
=k2+[2(k+1)-1] =k2+2k+1 =(k+1)2 即,当n=k+1时等式也成立. 由(1)和(2),可知等式对任何 n N 都成立.
证明: 如果{an } 是等差数列,已知首项为 a1,公差为 d ,那么 an a1 (n 1)d
对一切n N 都成立.
证明:(1)当n=1时,左边 a1, 右边 a1 0 d a1, 等式是成立的.
(2)假设当n=k时等式成立,就是ak a1 (k 1)d, 那么 ak1 ak d