数学归纳法公开课课件
数学归纳法PPT教学课件
三、例题分析
例1 用数学归纳法证明 1 3 5 (2n 1) n2 .
证明： （1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立．
（2）假设当 n k 时，等式成立，就是 1 3 5 (2k 1) k 2 .
那么 1 3 5 (2k 1) [2(k 1) 1] k 2 [(2(k 1) 1] k 2 2k 1 (k 1)2
推理
大球中装的全是红
球
判
考察全部对象，断得到一般结论的方法，
叫做完全归纳法。完全归纳法得到的
结论一定正确！
不完全归纳法和完全归纳法 均称为归纳法。
二、讲授新课
思考：下列推理正确吗？
在等差数列{an } 中，已知首项为a1 ，公差为d ， a1 a1 0 d , a2 a1 1 d , a3 a1 2 d , a4 a1 3 d, an ?
归纳
点评：
an a1 (n 1)d
这个结论是由不完全归纳法得到的，证明结果
不一定可靠！
讨论： 如何运用完全归纳法证明上面的等差数列通项
公式是正确的？
你玩过多米诺骨牌游戏吗？
能使多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？ 只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就 都能倒下： （1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定 导致后一块倒下。
(1)证明：当n取第一个值n0结论正确； (2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。
递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明 莫忘掉
作业：
1.用数学归纳法证明:1 a a2 an1(a 1)在验证
数学归纳法及其应用举例4 人教课标版精品公开PPT课件
(1)1 1 1 1
23
n
2 n(n N*)
(2)1
n 2
1
1 2
1 3
1 2n
1 n(nN*) 2
同学们，再见！
有时 ,由 " 假设 n k 时命题成立 " 易于
推出 n k 2时命题成立 , 这时 , 只要
在步骤 (1)中证明归纳假设的基础
存
在时 , 分别证明Fra bibliotek,n
n1及
n
n
时
2
,命
题都成立 , 这里 n1 , n 2一个是奇数 , 一
个是偶数 , 那么 , 欲证命题则对于一
切大于或等于 数都成立 .
(1)证明n取 当第一n个 0(例值如 : n0 1或2等)时结论.正确
(2)假设n当k(kN*,且kn0) 时结论正 ,证确明n当k1时结 论也正. 确
那么,请大家考虑:这两个步骤 可不可以省略一个呢?
例如：一个数列的通项 公式是：
an (n 2 5n 5)2 , 容易验证： a1 1, a2 1, a3 1, a4 1 如果由此作出结论：对 于任何
2.1 数学归纳法及其应用举例
请大家考虑下面的问题: 1.什么叫数学归纳法?
先证明当n取第一个值n0(例如n0 1) 时命题成立,然后假设当n k(k N*, k n0)时命题成立,并证明当n k 1 时命题也成立, 那么就证明这个命题 成立.这种证明方法叫数学归纳法.
2.用数学归纳法证明的一般步骤 是什么?
n
1
,
n
中较大者的自然
2
3.从"假设 nk时命题"成 推立 导 "nk1时命题"成 的立 一般方
《数学归纳法》课件
《数学归纳法》课件一、教学内容本节课的教学内容选自人教版小学数学五年级下册第五单元《数学归纳法》。
本节课主要介绍了数学归纳法的概念、步骤以及应用。
具体内容包括：1. 数学归纳法的定义：给出一个关于自然数的命题，然后证明当n取任意一个自然数时，这个命题都成立。
2. 数学归纳法的步骤：(1) 验证当n=1时，命题是否成立；(2) 假设当n=k时，命题成立；(3) 证明当n=k+1时，命题也成立。
3. 数学归纳法的应用：通过具体例题，让学生学会如何运用数学归纳法证明命题。
二、教学目标1. 让学生理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的步骤。
2. 培养学生运用数学归纳法证明命题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和创新能力。
三、教学难点与重点重点：数学归纳法的概念、步骤及应用。
难点：如何运用数学归纳法证明命题。
四、教具与学具准备教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
学具：笔记本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：让学生举例说明生活中遇到的可以运用数学归纳法解决的问题。
2. 讲解数学归纳法的概念和步骤：通过PPT展示数学归纳法的定义和步骤，并进行解释。
3. 例题讲解：选取一道具有代表性的例题，引导学生运用数学归纳法进行证明。
4. 随堂练习：让学生尝试运用数学归纳法证明一些简单的命题。
5. 板书设计：将数学归纳法的步骤和关键点进行板书，以便学生理解和记忆。
6. 作业设计：题目1：用数学归纳法证明：1+3+5++(2n1)=n^2。
答案：略。
题目2：用数学归纳法证明：对于任意自然数n，n^2+n+41是一个质数。
答案：略。
七、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生对数学归纳法的理解和运用情况，以及教学过程中的不足之处。
2. 拓展延伸：引导学生思考如何将数学归纳法应用于解决更复杂的问题，以及数学归纳法在数学发展史上的应用。
重点和难点解析一、教学内容重点和难点解析：本节课的教学内容选自人教版小学数学五年级下册第五单元《数学归纳法》。
2024年完整版《数学归纳法》课件
2024年完整版《数学归纳法》课件一、教学内容二、教学目标1. 理解数学归纳法的原理，掌握其基本步骤。
2. 能够运用数学归纳法证明简单的数学问题。
3. 了解数学归纳法在实际问题中的应用。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法的证明步骤及运用。
教学重点：理解数学归纳法的原理，能够运用数学归纳法解决实际问题。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：教材、笔记本、文具。
五、教学过程1. 实践情景引入通过一个简单的实际问题，引导学生思考如何证明一个与自然数有关的命题对所有自然数都成立。
2. 例题讲解以教材中的一个例题为例，详细讲解数学归纳法的证明步骤。
a. 基础步骤：验证命题在第一个自然数上成立。
b. 归纳步骤：假设命题在第n个自然数上成立，证明命题在第n+1个自然数上也成立。
3. 随堂练习让学生尝试用数学归纳法证明一些简单的数学问题，巩固所学知识。
4. 知识拓展介绍数学归纳法在实际问题中的应用，如数列求和、不等式证明等。
六、板书设计1. 《数学归纳法》2. 主要内容：a. 数学归纳法的原理b. 数学归纳法的证明步骤c. 数学归纳法在实际问题中的应用七、作业设计1. 作业题目：a. 证明1+2+3++n = n(n+1)/2b. 证明2^n > n (n为自然数)2. 答案：a. 证明1+2+3++n = n(n+1)/21. 当n=1时，1=1(1+1)/2，等式成立。
2. 假设当n=k时等式成立，即1+2+3++k = k(k+1)/2。
当n=k+1时，1+2+3++k+(k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k+2)/2。
所以，等式在n=k+1时也成立。
综上，等式对所有自然数n成立。
b. 证明2^n > n (n为自然数)1. 当n=1时，2^1 > 1，不等式成立。
2. 假设当n=k时不等式成立，即2^k > k。
当n=k+1时，2^(k+1) = 2^k 2 > 2k > k+1。
数学归纳法完整PPT课件
“凑”：一是“凑”n=k时的形式（这样才好利用归纳假设），二 是“凑”目标式。
.
11
课后作业
1、阅读作业：通读教材 2、书面作业：习题2.3A组第1，2题 3、弹性作业：简析我国古代烽火传递军情的
合理性 (可以上网查阅)
问题 2：数列{an}的通项公式为an＝(n2-5n+5)2,计算得 a1＝1,a2＝1, a3 ＝1, 于是猜出数列{an}的通项公式为：an＝1。
问题3：三角形的内角和为180°，四边形的内角和为2•180°，五边形的内 角和为3•180°，于是有：凸n边形的内角和为(n-2) • 180°。
问题4：这是一盒白色粉笔，怎么证明他们是白的？一一检查 。
归纳基础；第二步是归纳假设，是推理的依据，是判断命题的正确性能
否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立”
称为归纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成立)。如果没有第一步，
第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没 有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。
.
12
.
13
则 当n=k+1时，ak+1 = ak + d
= =
a
a
1 1
+(k-1)d+d +[(k+1)-1]d凑结论
∴当n=k+1时，结论也成立。
由(1)和(2)知,等式对于任何n∈ N *都成立。
.
7
注意
由以上可知，用数学归纳法需注意：
1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为
03 教学课件_数学归纳法(3)
任何三条不过同一点，求证：交点的个数 f(n)＝ 2 .
证明：
(1)当 n＝2 时，两条直线的交点只有一个，
1
又 f (2)＝ ×2×(2－1)＝1，
2
∴当 n＝2 时，命题成立．
(2)假设当 n＝k(k∈N*，k≥2)时命题成立，
1
即平面内满足题设的任何 k 条直线的交点个数 f (k)＝ k(k－1)，
2
=1+kx+
+x+kx +
2
2
(+1) 2 (-1) 3
=1+(k+1)x+
x+
x
2
2
(-1) 3
=Qk+1+ 2 x <Qk+1,
即当n=k+1时,不等式成立.
所以当n≥3,且x∈(-1,0)时,Pn<Qn.
当堂达标
2
1.用数学归纳法证明 1+a+a +…+a
n=1成立时,左边计算所得的项是(
12
+22
+32
+ ⋯ + 2
(+1)(2+1)
=
6
证明：（1）当 = 1时，左边= 12 = 1 ，右边 =
1×(1+1)×(2×1+1)
=1,所以此时等式成立.
6
（2）假设当 = (k ≥ 1)时， 等式成立，即
12
+22
则12
+32
+22
+ ⋯ + 2
+32
(+1)(2+1)
2024年数学归纳法优质教学课件
2024年数学归纳法优质教学课件一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学归纳法》章节，详细内容包括数学归纳法的概念、原理和应用。
重点讲解归纳法的基本步骤，探讨归纳法在数学问题解决中的应用。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握归纳法的基本步骤。
2. 能够运用数学归纳法解决简单的数学问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法的证明过程，特别是归纳步骤的合理运用。
教学重点：归纳法的概念、原理及在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。
2. 学具：练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入通过一个简单的数学问题引入数学归纳法，如：计算1+2+3++100的结果。
2. 例题讲解（1）讲解数学归纳法的概念和原理。
（2）以等差数列求和为例，演示数学归纳法的应用。
3. 随堂练习（1）证明：1+3+5++(2n1)=n^2（2）证明：n(n+1)(n+2)=6(中心数列求和)4. 知识拓展（1）探讨数学归纳法在其他数学问题中的应用。
（2）讨论归纳法的局限性。
5. 课堂小结六、板书设计1. 数学归纳法的概念与原理2. 归纳法的基本步骤3. 例题解答过程4. 课堂练习题目七、作业设计1. 作业题目：（1）用数学归纳法证明：1+3+5++(2n1)=n^2（2）用数学归纳法证明：n(n+1)(n+2)=62. 答案：见课后附件。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对数学归纳法的掌握程度，以及在教学过程中存在的问题。
2. 拓展延伸：（1）引导学生思考数学归纳法在解决其他数学问题中的应用。
（2）推荐一些关于数学归纳法的拓展阅读材料，提高学生的数学素养。
重点和难点解析1. 教学难点与重点的区分。
2. 例题讲解的深度和广度。
3. 作业设计中的题目难度和答案的详细程度。
4. 课后反思及拓展延伸的实际操作。
详细补充和说明：一、教学难点与重点的区分教学重点在于使学生掌握数学归纳法的基本概念、原理以及在解决实际问题中的应用。
4-4数学归纳法 课件【共44张PPT】
检测篇·达标小练
1．一个关于自然数 n 的命题，如果证得当 n＝1 时命题成立，并在假设当 n＝ k(k≥1 且 k∈N*)时命题成立的基础上，证明了当 n＝k＋2 时命题成立，那么综合上 述，对于( B )
A．一切正整数命题成立 B．一切正奇数命题成立 C．一切正偶数命题成立 D．以上都不对
解析：本题证明了当 n＝1,3,5,7，…时，命题成立，即命题对一切正奇数成立．A， C，D 不正确．故选 B.
检测篇·达标小练
课时作业
展视野•思维升华
课前篇·自主预习
知识点 数学归纳法
一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当 n＝n0 (n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以“当 n＝k(k∈N*，k≥n0) 时命题成立”为条件，推出当 “ n＝k＋1 时命题也成立”． 只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立， 这种证明方法称为数学归纳法．
＝1 时，等式左边是 1＋a＋a2
.
解析：根据数学归纳法的步骤可知，当 n＝1 时，等式的左边应为 1＋a＋a2.
3．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)．
证明：(1)当 n＝1 时，左边＝12－22＝－3， 右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立． (2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，即 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)． 当 n＝k＋1 时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k ＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1) ＋1]，所以 n＝k＋1 时等式也成立， 根据(1)和(2)可知，等式对任何 n∈N＋都成立．