2023年高中数学基础知识梳理及基础题型归纳-立体几何模块-第七节 立体几何中的向量方法
高中立体几何知识点及经典题型
高中立体几何知识点及经典题型立体几何是高中数学中的重要部分，它研究了在三维空间内的几何形体。
本文将介绍高中立体几何的主要知识点和经典题型。
知识点以下是高中立体几何的主要知识点：1. 空间几何基础：点、线、面的概念及性质。
2. 参数方程和一般式方程：用参数或方程表示几何体的方法。
3. 立体图形的投影：点、直线、平面在投影中的表现形式。
4. 空间几何中的平行与垂直：直线、平面之间的平行关系及垂直关系。
5. 直线与面的位置关系：直线与平面之间的交点、垂线、倾斜角等概念。
6. 空间角的性质：二面角、棱锥、棱台等形体的角度关系。
7. 空间几何中的直线及曲线：空间中直线与曲线的方程及性质。
8. 空间立体角：球、球台、球扇等形体的角度关系。
9. 空间的切线：曲线在空间中的切线方程及其性质。
10. 空间的幂：圆、球及其他形体的幂的概念和性质。
经典题型以下是高中立体几何的经典题型：1. 求直线与平面的位置关系问题：例如，给定一直线和一个平面，求它们之间的交点、垂直线、倾斜角等。
2. 求空间角的问题：例如，给定两个平面的交线，求二面角的度数。
3. 求直线与曲线的位置关系问题：例如，给定一条直线和一个曲面，求它们之间的位置关系。
4. 求切线和法平面的问题：例如，给定一个曲线和一个点，求曲线在该点处的切线方程及法平面方程。
5. 求空间形体的幂问题：例如，给定一个球和一个平面，求平面关于球的幂及其性质。
以上只是一些经典的立体几何题型，通过解答这些题目，可以加深对立体几何知识的理解和运用。
希望本文对高中立体几何知识点和题型的介绍能够帮助到你。
祝你在学习立体几何时取得好成绩！。
2023年高考立体几何知识点总结详细
高考立体几何知识点总结一 、空间几何体 （一） 空间几何体旳类型1 多面体：由若干个平面多边形围成旳几何体。
围成多面体旳各个多边形叫做多面体旳面，相邻两个面旳公共边叫做多面体旳棱，棱与棱旳公共点叫做多面体旳顶点。
2 旋转体：把一种平面图形绕它所在旳平面内旳一条定直线旋转形成了封闭几何体。
其中，这条直线称为旋转体旳轴。
（二） 几种空间几何体旳构造特性 1 、棱柱旳构造特性1.1 棱柱旳定义：有两个面互相平行，其他各面都是四边形，并且每相邻两个四边形旳公共边都互相平行，由这些面所围成旳几何体叫做棱柱。
1.2 棱柱旳分类棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体性质：Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行； Ⅲ、平行于底面旳截面和底面全等；1.3 棱柱旳面积和体积公式棱长都相等底面是正方形底面是矩形侧棱垂直于底面底面是平行四边形底面是四边形ch S =直棱柱侧（c 是底周长，h 是高）S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h2 、棱锥旳构造特性2.1 棱锥旳定义（1） 棱锥：有一种面是多边形，其他各面是有一种公共顶点旳三角形，由这些面所围成旳几何体叫做棱锥。
（2）正棱锥：假如有一种棱锥旳底面是正多边形，并且顶点在底面旳投影是底面旳中心，这样旳棱锥叫做正棱锥。
2.2 正棱锥旳构造特性Ⅰ、 平行于底面旳截面是与底面相似旳正多边形，相似比等于顶点到截面旳距离与顶点究竟面旳距离之比；它们面积旳比等于截得旳棱锥旳高与原棱锥旳高旳平方比；截得旳棱锥旳体积与原棱锥旳体积旳比等于截得旳棱锥旳高与原棱锥旳高旳立方比；Ⅱ、 正棱锥旳各侧棱相等，各侧面是全等旳等腰三角形；正棱锥侧面积：1'2S ch =正棱椎（c 为底周长，'h 为斜高） 体积：13V Sh =棱椎（S 为底面积，h 为高）正四面体：对于棱长为a 正四面体旳问题可将它补成一种边长为a 22旳正方体问题。
高考数学 考前最后一轮基础知识巩固之第七章 立体几何初步汇总
立体几何初步
【知识图解】
【方法点拨】
立体几何研究的是现实空间，认识空间图形，可以培养学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力。
空间的元素是点、线、面、体，对于线线、线面、面面的位置关系着重研究它们之间的平行与垂直关系，几何体着重研究棱柱、棱锥和球。
在复习时我们要以下几点：
1．注意提高空间想象能力。
在复习过程中要注意：将文字语言转化为图形，并明确已知元素之间的位置关系及度量关系；借助图形来反映并思考未知的空间形状与位置关系；能从复杂图形中逻辑的分析出基本图形和位置关系，并借助直观感觉展开联想与猜想，进行推理与计算。
2．归纳总结，分门别类。
从知识上可以分为：平面的基本性质、线线、线面、面面的平行与垂直、空间中角与距离的计算。
3．抓主线，攻重点。
针对一些重点内容加以训练，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心的核心，角与距离的计算已经降低要求。
4．复习中要加强数学思想方法的总结与提炼。
立体几何中蕴含着丰富的思想方法，如：将空间问题转化成平面图形来解决、线线、线面与面面关系的相互转化、空间位置关系的判断及角与距离的求解转化成空间向量的运算。
2023高中数学立体几何复习 题集附答案
2023高中数学立体几何复习题集附答案一、立体几何基础知识立体几何是数学中的一个重要分支，主要研究空间内的图形、体积和表面积等相关性质。
掌握立体几何的基础知识对于高中数学学习尤为重要。
下面是一些常见的立体几何概念及其性质：1. 空间中的点、线、面是立体几何中最基本的概念。
点是没有长度、宽度和高度的，线是由无数个点组成的，面是由无数条线组成的。
2. 立体是由许多平面相互连接而成的。
这些平面称为面，每个面都有其特定的几何形状，如三角形面、矩形面等。
3. 空间中的距离有两种：直线距离和曲线距离。
直线距离是两点之间最短的距离，而曲线距离则是沿着曲线的长度。
4. 空间中的体积是指一个物体占据的空间大小。
常见的几何体体积计算公式有：长方体的体积为底面积乘以高，球体的体积为4/3乘以π半径的立方，圆柱体的体积为底面积乘以高等。
5. 表面积是指立体图形外表面的总面积。
计算几何体表面积的公式与计算体积的公式类似，只是不同几何体的取值不同。
二、复习题1. 长方体A的长、宽、高分别为3cm、4cm和5cm，计算长方体A的表面积和体积。
解答：长方体的表面积公式为S = 2(ab + ac + bc)，其中a、b和c分别是长方体的三个边长。
代入数据后，可得长方体A的表面积为：S = 2(3*4 + 3*5 + 4*5) = 94cm²长方体的体积公式为V = lwh，其中l、w和h分别是长方体的三个边长。
代入数据后，可得长方体A的体积为：V = 3*4*5 = 60cm³因此，长方体A的表面积为94cm²，体积为60cm³。
2. 一个四棱锥的底面是一个边长为6cm的正方形，其高度为8cm。
计算该四棱锥的体积和表面积。
解答：四棱锥的体积公式为V = 1/3 * 底面积 * 高度。
底面为正方形，因此底面积为6²=36cm²。
代入数据后，可得四棱锥的体积为：V = 1/3 * 36 * 8 = 96cm³四棱锥的表面积公式为S = 底面积 + 侧面积。
高考数学立体几何知识点梳理2023
高考数学立体几何知识点梳理2023立体几何是高中数学中的重要内容之一，也是高考数学中的必考知识点。
掌握好立体几何的知识，对于考生来说是至关重要的。
本文将对2023年高考数学中立体几何的知识点进行梳理和总结，以帮助考生更好地备考。
一、立体几何的基本概念在学习立体几何之前，我们首先需要了解一些基本的概念。
比如，什么是立体几何？立体几何是研究与空间有关的各种几何对象的几何学分支。
同时，我们还需要了解几何体、面、棱和顶点的概念，这些都是立体几何中的重要基本要素。
二、平行与垂直在立体几何中，平行和垂直是非常重要的概念。
我们需要了解两平面平行的判定条件，以及两直线平行和两平面垂直的判定条件。
掌握好这些判定条件，能够帮助我们解决很多与平行和垂直有关的问题。
三、多面体的性质多面体是指由若干个平面多边形所组成的几何体。
常见的多面体有三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
在考试中，我们需要了解多面体的性质，如各种多面体的名称、特点和计算方法。
四、棱锥与棱台的性质棱锥和棱台是立体几何中比较常见的几何体。
棱锥是由一个多边形的一个顶点和该多边形上所有顶点的连线所组成的几何体，而棱台则是由一个多边形和与该多边形平行的一条线段所组成的几何体。
掌握棱锥和棱台的性质，能够帮助我们解决与它们相关的计算问题。
五、球与球面的性质球和球面也是常见的几何体。
球是由一个平面上的一个圆绕其直径旋转一周所形成的几何体，而球面则是由平面上的一个圆绕其直径旋转一周所形成的曲面。
对于球和球面的性质，我们需要了解如何计算球的体积和表面积，以及球面上的一些特殊性质。
六、空间几何向量空间几何向量也是高考数学中的重点内容。
我们需要了解空间向量的定义和性质，掌握向量的加法、减法和数量积、向量积的计算方法。
此外，还要了解向量的共线性、垂直性及其判定方法。
七、空间直线和平面的位置关系在立体几何中，我们还需要了解空间直线和平面的位置关系。
比如直线与平面的交点、直线垂直于平面或平行于平面的判定条件，以及平面与平面之间的位置关系等。
2024年高考数学立体几何知识点总结
2024年高考数学立体几何知识点总结立体几何是数学中的一个重要分支，也是高考数学中的重要内容之一。
在高考中，立体几何的知识点主要包括空间几何、立体图形的面积与体积等方面。
下面是对2024年高考数学立体几何知识点的总结，供考生参考。
一、空间几何1. 空间几何中的点、线、面的概念和性质。
点是没有长度、宽度和高度的，只有位置的大小，用字母表示。
线是由一组无限多个点构成的集合，用两个点的字母表示。
面是由无限多条线构成的，这些线共面且没有相交或平行关系。
2. 空间几何中的垂直、平行等概念和性质。
两条线在同一平面内，如果相交角为90°，则称两线垂直。
两条线没有相交关系，称两线平行。
3. 点到直线的距离的计算。
点到直线的距离等于该点在直线上的正交投影点的距离。
二、立体图形的面积与体积1. 立体图形的分类和性质。
立体图形包括球体、圆柱体、圆锥体、棱柱体、棱锥体等。
各种立体图形具有不同的性质，如球体表面上每一点到球心的距离都相等。
2. 立体图形的面积计算。
（1）球体的表面积计算公式：S = 4πr²，其中r为球的半径。
（2）圆柱体的侧面积计算公式：S = 2πrh。
（3）圆柱体的全面积计算公式：S = 2πrh + 2πr²。
（4）圆锥体的侧面积计算公式：S = πrl，其中r为圆锥底面半径，l为斜高。
（5）棱柱体的侧面积计算公式：S = ph，其中p为棱柱底面周长，h为高。
3. 立体图形的体积计算。
（1）球体的体积计算公式：V = 4/3πr³，其中r为球的半径。
（2）圆柱体的体积计算公式：V = πr²h。
（3）圆锥体的体积计算公式：V = 1/3πr²h。
（4）棱柱体的体积计算公式：V = ph。
（5）棱锥体的体积计算公式：V = 1/3Bh，其中B为底面积，h为高。
三、立体几何的一般理论1. 点、线、面的位置关系。
在空间中，点、线、面可以相互相交、平行、垂直等。
高中数学——立体几何全知识点与结论梳理
向量差
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数量积
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)
垂直 夹角公
式
a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 cos〈a，b〉＝ a1b1＋a2b2＋a3b3
a21＋a22＋a23 b21＋b22＋b23
2．空间几何体的表面积与体积公式
名称 几何体
表面积
柱体(棱柱和 S 表面积＝S 侧＋2S
圆柱)
底
锥体(棱锥和 S 表面积＝S 侧＋S 底
圆锥)
体积 V＝Sh V＝31Sh
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立体几何全知识点与结论梳理
第一节 空间几何体的结构特征、三视图和直观图
[基础知识]
1.简单几何体 1多面体的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面 侧棱 侧面形状
互相平行且相等
多边形
互相平行且相似
相交于一点，但不
互相平行且相等
延长线交于一点
一定相等
平行四边形
三角形
梯形
①特殊的四棱柱
底面为 平行 侧棱垂直 直平行 底面为 四棱柱 平―行―四――边→形 六面体 ―于―底――面→ 六面体 ―矩―形→
圆锥
侧面展开
图
侧面积公 式
S 圆柱侧＝2πrl
S 圆锥侧＝πrl
圆台 S 圆台侧＝π(r＋r′)l
①几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和. ②圆台、圆柱、圆锥的转化 当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥， 由此可得：
2024年高考数学立体几何知识点总结
2024年高考数学立体几何知识点总结____年高考数学立体几何知识点总结（____字）一、立体几何的基本概念1. 立体几何的研究对象：立体物体。
2. 立体物体的特征：具有长度、宽度和高度三个方向的物体。
3. 立体几何的基本概念：点、线、面。
- 点：没有任何维度，没有长度、宽度和高度。
在立体几何中用大写字母表示，如A、B、C。
- 线：由一串无限多个点组成，具有长度但没有宽度和高度。
用小写字母表示，如a、b、c。
- 面：由无限多条线组成，具有长度和宽度但没有高度。
用大写字母表示，如A、B、C。
- 空间：由无限多个面组成，具有长度、宽度和高度。
用字母S表示。
二、立体几何的基本性质1. 垂直关系：- 垂直平面：两个平面的法线互相垂直。
- 垂直线：两个线互相垂直。
2. 平行关系：- 平行线：在同一个平面上没有交点的两条线。
- 平行平面：在空间中没有交线的两个平面。
3. 点、线、面的关系：- 点在线上：一个点在一条线上。
- 线在平面上：一条线在一个平面上。
- 点在平面上：一个点在一个平面上。
- 线垂直于平面：一条线与一个平面垂直。
4. 空间几何图形的投影：- 平面的投影：一个空间几何图形在一个平面上的投影。
- 线的投影：一条线在一个平面上的投影是线段。
- 点的投影：一个点在一个平面上的投影是一个点。
- 面的投影：一个面在一个平面上的投影是一个面。
三、平行于坐标轴的立体图形1. 长方体的概念和性质：- 长方体的定义：由6个矩形面围成的立体几何图形。
- 长方体的性质：相对的面是平行的，相对的边是相等的。
2. 正方体的概念和性质：- 正方体的定义：所有边长相等的长方体。
- 正方体的性质：正方体的六个面是相等的正方形。
3. 正方柱、正交柱的概念和性质：- 正方柱：底面是正方形的柱体。
- 正交柱：底面和轴垂直的柱体。
- 正方柱和正交柱的性质：底面的对边平行且相等。
四、平行四边形的性质1. 平行四边形的定义：两对对边平行的四边形。
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第七节 立体几何中的向量方法
一、空间向量与平行关系
【知识点11】直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量的定义
直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个． (2)平面的法向量的定义
直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则a 叫做平面α的法向量． 注：直线的方向向量(平面的法向量)不唯一？
【例1】如图3，已知ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝1
2
，试建立适当的坐标系．
(1)求平面ABCD 的一个法向量； (2)求平面SAB 的一个法向量； (3)求平面SCD 的一个法向量．
【反思】1.利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z)． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，. (3)列方程组：由列出方程组． (4)解方程组：
(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量． 2．求平面法向量的三个注意点
(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．
(2)取特值：在求n 的坐标时，可令x ，y ，z 中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的
一个法向量．
(3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0.
[练习1]正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图322所示的空间直角坐标系中，求：
图322
(1)平面BDD1B1的一个法向量；
(2)平面BDEF的一个法向量．
【知识点12】空间中平行关系的向量表示
【类型一】用向量证明线线平行
【例1】如图323所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．
图323
11111111
2EB1，BF＝2F A1.求证：EF∥AC1.
【类型二】用向量证明线面平行
【例2】在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．
【练习2】在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD ＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG.
【类型三】利用向量证明面面平行
【例3】在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点，试证明平面A1BD∥平面CB1D1.
【练习3】如图329，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点．设Q是CC1上的点，则当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面P AO?
图329
二、空间向量与垂直关系
【知识点13】空间中垂直关系的向量表示
【类型一】用向量证明线面垂直
【例1】如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．
求证：AB1⊥平面A1BD．
【练习1】如图3215，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF.
图3215
【类型二】用向量法证明面面垂直
【例2】如图3212所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E 为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C．
＝2BD．
求证：平面DEA⊥平面ECA．
三、空间向量与空间角【知识点14】空间角的向量求解方法
【类型一】求两条异面直线所成的角
【例1】如图，在三棱柱OABO1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB ＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝3，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．
θ＝φθ＝π－φ
点，则AE，SD所成的角的余弦值为多少？
【类型二】求直线与平面所成的角
【例2】如图，四棱锥PABCD中，P A⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，P A＝BC ＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．
(1)证明MN∥平面P AB；
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
【练习2】如图，在四棱锥P ABCD 中，平面P AD
⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ 5.
(1)求证：PD ⊥平面P AB ．
(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．
(3)在棱P A 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AM
AP 的值；若不存在，
说明理由．
【类型三】求二面角
【例3】如图，在四棱锥P ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.
(1)证明：平面P AB ⊥平面P AD ；
(2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，求二面角A PB C 的余弦值.
旋转轴旋转120°得到的，G 是DF ︵的中点．
图3224
(1)设P 是CE ︵上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小；
(2)当AB ＝3，AD ＝2时，求二面角E AG C 的大小．
【练习4】如图，在三棱锥PABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.
(1)求证：AB∥GH；
(2)求二面角DGHE的余弦值．
四、空间向量与距离【知识点15】利用空间向量求距离(※)
【例1】已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中
点，求点A到平面EFG的距离．
【练习1】如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1
的中点，DG＝
1
3DD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，求D1A1到平面EFGH的距离．
点到平面的距离：
先确定平面的法向量，再求点与平面内一点的连线形成的斜线段在平面的法向量上的射影长．如图，
设n＝(a，b，c)是平面α的一个法向量，P0(x0，y0，z0)为α外一点，P(x，y，z)是平面α内的任意一点，则点P0到平面α的距离：
d＝
|PP0
→
·n|
|n|＝
|a(x0－x)＋b(y0－y)＋c(z0－z)|
a2＋b2＋c2
.
注：线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离.。