传染病传播的数学模型
传染病传播的数学模型(一)
传染病传播的数学模型（一）引言概述：传染病的传播过程是一个复杂的系统，受到众多因素的影响。
为了对传染病的传播进行有效预测和控制，数学模型方法被广泛运用。
本文将探讨传染病传播的数学模型，分析其原理和应用。
正文内容：一、基本传染病传播模型1. 疾病的基本参数\t\t- 感染率\t\t- 恢复率\t\t- 接触率2. SIR模型\t\t- 模型基本假设\t\t- 方程形式\t\t- 模型解释与应用3. SEIR模型\t\t- 模型引入潜伏期因素\t\t- 方程形式\t\t- 模型优势与应用二、复杂传染病传播模型1. 非线性传染模型\t\t- 模型引入非线性因素\t\t- 方程形式\t\t- 模型解释与应用2. 空间传播模型\t\t- 模型引入空间因素\t\t- 方程形式\t\t- 模型优势与应用3. 多层次传播模型\t\t- 模型引入多层次因素\t\t- 方程形式\t\t- 模型解释与应用三、数学模型的参数估计和敏感性分析1. 参数估计方法\t\t- 极大似然估计法\t\t- 贝叶斯估计法2. 敏感性分析方法\t\t- 局部敏感性分析\t\t- 全局敏感性分析3. 参数估计与敏感性分析的应用案例四、数学模型在传染病控制中的应用1. 疫苗接种策略的优化\t\t- 预防性接种策略\t\t- 应急接种策略2. 隔离措施的决策分析\t\t- 隔离范围与强度的优化\t\t- 隔离时机的确定3. 传染病传播风险评估\t\t- 传播风险模型构建\t\t- 风险评估结果分析五、数学模型的局限性与发展方向1. 假设限制与误差影响2. 模型参数难以确定的问题3. 多个传染病因素交互作用的挑战4. 模型预测精度的提升策略总结：传染病传播的数学模型为我们提供了预测传染病传播趋势、指导防控措施的重要工具。
通过基本传染病传播模型的分析，我们可以更好地理解疾病传播的机制；复杂传染病传播模型的研究则能更准确地预测传播规律。
参数估计和敏感性分析为模型应用提供了优化手段，并在疫苗接种、隔离措施和传播风险评估等方面发挥重要作用。
离散传染病模型公式
离散传染病模型公式一、离散传染病模型简介离散传染病模型是一种描述传染病在人群中传播过程的数学模型。
它主要通过公式来描述感染率、恢复率、死亡率等关键参数，从而为防控传染病提供理论依据。
离散传染病模型主要包括SIR模型、SIRS模型和SEIR模型等。
二、离散传染病模型公式及参数解释1.感染率公式：感染率是指单位时间内感染者数量与易感者数量之比。
公式为：R0 = β·N·I/γ其中，R0为基本感染率，β为感染者与易感者接触后的感染概率，N 为总人口数，I为感染者数量，γ为恢复率。
2.恢复率公式：恢复率是指单位时间内恢复者数量与感染者数量之比。
公式为：gamma = γ·I其中，gamma为恢复率，γ为恢复概率，I为感染者数量。
3.死亡率公式：死亡率是指单位时间内死亡者数量与感染者数量之比。
公式为：gamma_d = δ·I其中，gamma_d为死亡率，δ为死亡概率，I为感染者数量。
4.传播速度公式：传播速度是指传染病在人群中的传播速度。
公式为：dI/dt = β·I·(1-I/N)其中，dI/dt为感染者数量的变化率，β为感染者与易感者接触后的感染概率，I为感染者数量，N为总人口数。
5.模型参数解释：- β：感染者与易感者接触后的感染概率，与传染病的传播能力有关。
- γ：恢复概率，表示感染者恢复为免疫者的概率。
- δ：死亡概率，表示感染者死亡的概率。
- N：总人口数，包括易感者、感染者和康复者。
三、离散传染病模型的应用案例1.SIR模型：该模型仅考虑感染、恢复和免疫三个状态，适用于研究免疫期较短的传染病。
2.SIRS模型：在SIR模型的基础上，增加了感染后再次感染的可能性，适用于研究免疫期较长的传染病。
3.SEIR模型：该模型在SIR模型的基础上，考虑了潜伏期对传染病传播的影响，适用于研究具有潜伏期的传染病。
四、离散传染病模型在疫情防控中的应用离散传染病模型在疫情防控中具有重要作用。
数学建模传染病模型例题
数学建模传染病模型例题一、传染病模型简介传染病模型是数学建模的一个重要分支，主要用于描述传染病在人群中的传播规律。
通过构建合适的数学模型，可以研究传染病的传播动力学、预测疫情发展趋势以及评估防控措施的效果。
本文将重点介绍几种常见的传染病模型及其应用。
二、传染病模型的类型及应用1.SIR模型SIR模型是一种基于微分方程的传染病模型，其中S、I、R分别代表易感者（Susceptible）、感染者（Infected）和康复者（Recovered）。
该模型通过描述易感者感染、感染者康复以及康复者不再易感的动态过程，揭示了传染病在人群中的传播规律。
SIR模型在分析疫情爆发、研究防控措施等方面具有广泛应用。
2.SEIR模型SEIR模型是在SIR模型基础上发展的一种传染病模型，其中E代表潜伏者（Exposed）。
与SIR模型相比，SEIR模型增加了潜伏期这一概念，使得模型更加符合实际情况。
该模型可以用于研究传染病的传播速度、预测疫情发展趋势以及评估疫苗的效果。
3.SI模型SI模型是一种简化的传染病模型，仅包含易感者和感染者两个群体。
该模型适用于分析短期传染病，如流感等。
通过研究易感者与感染者的动态关系，可以预测疫情爆发的时间和规模。
三、传染病模型的参数估计与预测传染病模型的参数估计是数学建模的关键环节，通常采用最大似然估计、贝叶斯估计等方法。
此外，基于传染病模型的预测技术在疫情防控中也具有重要意义。
通过构建时间序列模型，如ARIMA、SVM等，可以预测未来一段时间内疫情的发展趋势。
四、数学建模在传染病防控中的实际应用数学建模在传染病防控中具有广泛应用，如疫情监测、防控措施评估、疫苗研究等。
通过对传染病模型的深入研究，可以为政府部门提供科学依据，协助制定针对性的防控策略。
五、案例分析本文将结合具体案例，如我国2003年非典疫情、2020年新冠肺炎疫情等，详细阐述传染病模型在实际应用中的重要作用。
通过分析案例，可以加深对传染病模型的理解，为今后疫情防控提供借鉴。
传染病传播的数学模型
传染病传播的数学模型传染病的传播一直是人类社会面临的重大挑战之一。
为了更好地理解和预测传染病的传播规律，数学模型发挥着至关重要的作用。
这些模型基于数学原理和统计学方法，能够帮助我们分析传染病的传播机制、评估防控措施的效果，并为公共卫生决策提供科学依据。
传染病传播的数学模型通常基于一些基本的假设和概念。
首先，需要考虑人群的划分。
一般将人群分为易感者（S）、感染者（I）和康复者（R）三类，这就是著名的 SIR 模型。
在 SIR 模型中，易感者是指那些尚未感染疾病但有可能被感染的人群；感染者是已经感染了疾病并且具有传染性的人群；康复者则是经过感染后已经恢复健康并且获得了免疫力的人群。
模型的核心在于描述这三类人群之间的转化关系。
假设在单位时间内，每个感染者平均能够感染的易感者数量为β，感染者的恢复率为γ。
那么，在某个时刻 t，易感者数量的变化率可以表示为βSI，感染者数量的变化率为βSI γI，康复者数量的变化率为γI 。
通过求解这些微分方程，可以得到传染病在人群中的传播动态。
然而，实际情况往往更加复杂。
例如，有些传染病存在潜伏期，即感染者在感染后一段时间内不具有传染性。
这时就需要引入潜伏期感染者（E），形成SEIR 模型。
还有些传染病在感染后可能会导致死亡，这就需要考虑死亡者（D）的因素。
除了人群的分类，传染病传播的数学模型还需要考虑传播途径。
常见的传播途径包括空气传播、接触传播、飞沫传播等。
对于不同的传播途径，感染的概率和传播的效率可能会有所不同。
例如，空气传播的传染病往往传播速度更快、范围更广，而接触传播的传染病则可能在特定的人群或环境中更容易传播。
另一个重要的因素是人群的流动和社交网络。
在现代社会，人们的移动和交流非常频繁，这会极大地影响传染病的传播范围和速度。
通过将人群的流动模式和社交网络结构纳入数学模型，可以更准确地预测传染病的传播趋势。
比如，在交通枢纽城市或者人口密集的大城市，传染病的传播速度可能会更快；而在相对封闭和人口稀少的地区，传播速度可能会较慢。
数学模型在传染病传播中的应用
数学模型在传染病传播中的应用传染病一直以来都是人类所关注的重要问题之一。
科学家们通过建立数学模型来研究传染病的传播规律和探索防控策略。
这些数学模型可以帮助我们更好地理解传染病的传播过程，并为疫情预测、防控决策提供科学依据。
本文将就数学模型在传染病传播中的应用进行探讨。
一、基本传染病模型在传染病传播的数学模型中，最经典的就是SIR模型。
SIR模型将人群分为易感染者(Susceptible)、感染者(Infectious)和恢复者(Recovered)，并假设人群之间的传染关系符合一定的规律。
通过建立这个动力学模型，可以研究传染病的传播速度、传播规律以及潜在的控制策略。
SIR模型的基本假设是人群之间的传染是随机发生的，并且传染速率和康复速率是常数。
这种模型虽然简单，但却能很好地描述一些常见的传染病，如流感和麻疹等。
二、改进的传染病模型尽管SIR模型在某些情况下可以很好地描述传染病的传播，但在现实中，很多传染病的传播机制并不完全符合SIR模型的假设。
因此，一些研究者提出了各种改进的传染病模型。
例如，SEIR模型将易感染者和感染者之间引入了潜伏期(Exposed)，即人群已感染但尚未具备传染性。
这种模型适用于研究一些具有较长潜伏期的传染病，如艾滋病和乙肝等。
此外，还有一些模型考虑了空间因素和人口流动的影响。
比如，扩散模型中引入了空间变量，可以研究传染病在不同地理区域的传播规律。
流行病学模型则可以通过分析人口流动的网络结构来研究传染病的传播路径和风险。
三、预测和控制利用数学模型可以对传染病的传播过程进行预测，为疾病防控提供决策依据。
研究人员通过对传染病模型的参数进行估计，结合实际疫情数据，可以预测疫情的发展趋势。
此外，数学模型还可以评估不同的防控策略的有效性。
例如，可以通过模拟研究来比较不同干预措施对传染病传播速度和规模的影响，以及个人防护和社区隔离等措施的有效性。
四、数学模型的局限性尽管数学模型在研究传染病传播中发挥了重要作用，但也存在一些局限性。
传染病数学建模
传染病数学建模
传染病数学建模是一种使用数学方法来描述和预测传染病传播过程的手段。
通过建立数学模型，研究人员可以更好地理解疾病的传播机制，预测其在未来的发展趋势，并为防控措施的制定提供科学依据。
在传染病数学建模中，常见的模型有SIR 模型、SEIR 模型、SEIRS 模型等。
这些模型通过定义不同的状态变量来描述人群中不同个体的状态，如易感者（Susceptible）、感染者（Infected）、康复者（Recovered）等。
然后，通过建立微分方程或差分方程来描述这些状态变量之间的动态关系。
在SIR 模型中，假设人群中只有易感者和感染者两种状态，感染者经过一段时间后会自行康复并获得免疫力。
在SEIR 模型中，增加了“暴露”状态，表示已经接触但尚未表现出症状的个体。
而在SEIRS 模型中，除了“暴露”状态外，还增加了“易感”状态，表示从未被感染过且没有免疫力的人群。
除了以上提到的模型外，还有许多其他的数学模型用于描述传染病传播过程，如基于agent 的模型、网络模型、元胞自动机模型等。
这些模型各有优缺点，需要根据具体的研究问题和数据来选择合适的模型。
总之，传染病数学建模是一种重要的研究手段，可以帮
助我们更好地理解疾病的传播机制和预测未来的发展趋势。
通过建立数学模型，我们可以更好地制定防控措施，减少疾病的传播和影响。
流行病学疾病传播的模型与算法
流行病学疾病传播的模型与算法流行病学是研究疾病在人群中传播和控制的科学领域。
在理解和应对疾病传播过程中，搭建数学模型和使用计算机算法是必不可少的工具。
本文将探讨流行病学疾病传播的模型和算法，并介绍常用的一些方法。
一、传染病的基本传播模型传染病的传播过程可以用基本的数学模型来描述。
最基本的传播模型是SIR模型，指的是将人群分为三个互相转化的类别：易感者（Susceptible）、感染者（Infectious）和康复者（Recovered）。
该模型假设人群总量不变，且人群之间的传播只发生在易感者和感染者之间。
SIR模型的基本方程如下：dS/dt = - βSIdI/dt = βSI - γIdR/dt = γI其中，S是易感者数目，I是感染者数目，R是康复者（也包括被隔离、死亡等）数目，β是感染率，γ是康复率。
该模型构建了易感者和感染者之间的传染关系，以及感染者向康复者的状态转变。
二、改进的传播模型虽然SIR模型在描述传染病传播的基本趋势方面具有一定的效果，但实际的传染病传播过程往往更为复杂。
因此，学者们对SIR模型进行了改进，引入了更多影响因素，以提高模型的准确度。
1. SEIR模型SEIR模型在SIR模型的基础上，引入了潜伏期（Exposed）的概念。
潜伏期是指感染者从被感染到出现临床症状之间的时间段，期间感染者虽然不具有传染性，但仍可能在潜伏期内传播病原体。
因此，SEIR模型通过增加一个潜伏者类别，更准确地描述了传染病的传播过程。
SEIR模型的基本方程如下：dS/dt = - βSIdE/dt = βSI - αEdI/dt = αE - γIdR/dt = γI其中，S、E、I和R分别表示易感者、潜伏者、感染者和康复者的数目，α是潜伏期的逆转换速率。
通过引入潜伏者的类别，SEIR模型能够更好地描述人群中传染病的传播过程。
2. 模型参数的估计与拟合在使用传染病传播模型之前，需要对模型的参数进行估计和拟合。
数学模型在疾病控制策略中的应用
数学模型在疾病控制策略中的应用疾病控制是世界各国共同面对的挑战。
如何有效地预测疾病传播规律、优化控制策略，成为了制定疫情防控措施的重要依据。
在这个问题上，数学模型的应用发挥了重要的作用。
本文将探讨数学模型在疾病控制策略中的应用，并分析其优点和局限性。
一、传染病传播的数学模型为了研究传染病的传播规律，数学模型被广泛应用于流行病学研究领域。
其中最常用的模型是基于传染病传播过程的SIR模型。
S表示易感者（Susceptible），I表示感染者（Infected），R表示移除者（Removed）。
这个模型以一个传染病患者为基础，将人群分为三个相互转化的类别，通过建立微分方程组描述传染病的动态传播过程。
二、数学模型在疫情预测中的应用数学模型可以帮助研究者预测疫情的发展趋势，提供决策支持。
通过收集和整理实时的流行病学数据，可以构建数学模型来预测感染者数量的增长和疫情的传播速度。
在新冠疫情爆发初期，利用数学模型对感染人数进行预测，有助于政府及时采取措施遏制病毒的传播。
数学模型还可以呈现传染病的传播路径，帮助制定定点隔离措施和疫苗接种策略。
三、数学模型在传染病控制策略中的优点数学模型具有以下优点：1. 善于提取事实和规律：数学模型可以抽象出传染病传播的本质，提取出与疾病相关的关键参数，进而揭示疫情的发展规律。
2. 高度可控性和复现性：通过数学模型，可以进行不同参数和假设的推演实验，借此研究传染病传播的各种情景，为防控策略的制定提供科学依据。
3. 高效性：相较于传统的试错法，数学模型可以快速评估不同控制策略的效果，降低试错成本，并指导决策者实现最大的防控效益。
四、数学模型在传染病控制策略中的局限性数学模型的应用也存在一些局限性：1. 基于假设：数学模型的建立依赖于一系列假设，如人口的均匀分布、病毒传播速率的稳定等。
现实中，许多假设可能不成立，影响模型的准确性。
2. 数据质量：数学模型的预测结果取决于输入的数据质量。
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传染病传播的数学模型很多医学工作者试图从医学的不同角度来解释传染病传播时的一种现象，这种现象就是在某一民族或地区，某种传染病传播时，每次所涉及的人数大体上是一常数。
结果都不能令人满意，后来由于数学工作者的参与，用建立数学模型来对这一现象进行模拟和论证，得到了较满意的解答。
一种疾病的传播过程是一种非常复杂的过程，它受很多社会因素的制约和影响，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡，还有人员的迁入和迁出，潜伏期的长短，预防疾病的宣传以及人的个体差异等。
如何建立一个与实际比较吻合的数学模型，开始显然不能将所有因素都考虑进去。
为此，必须从诸多因素中，抓住主要因素，去掉次要因素。
先把问题简化，建立相应的数学模型。
将所得结果与实际比较，找出问题，修改原有假设，再建立一个与实际比较吻合的模型。
从而使模型逐步完善。
下面是一个由简单到复杂的建模过程，很有代表性，读者应从中体会这一建模过程的方法和思路。
一.最简单的模型假设：(1) 每个病人在单位时间内传染的人数是常数k；(2) 一个人得病后经久不愈，并在传染期内不会死亡。
以i(t)表示t时刻的病人数，k表示每个病人单位时间内传染的人数，i(0)=i表示最初时有0i个传染病人，则在t 时间内增加的病人数为()()()0i t t i t k i t t +∆-=∆两边除以t ∆，并令t ∆→0得微分方程()()()000di t k i t dt i i ⎧=⎪⎨⎪=⎩………… （2.1） 其解为 ()00k t i t i e =这表明传染病的转播是按指数函数增加的。
这结果与传染病传播初期比较吻合，传染病传播初期，传播很快，被传染人数按指数函数增长。
但由(2.1)的解可知，当t →∞时，i(t)→∞，这显然不符合实际情况。
最多所有的人都传染上就是了。
那么问题在那里呢？问题是就出在于两条假设对时间较长时不合理。
特别是假设(1)，每个病人单位时间内传染的人数是常数与实际情况不符。
因为随着时间的推移，病人越来越多，而未被传染的人数却越来越少，因而不同时期的传播情况是不同的。
为了与实际情况较吻合，我们在原有的基础上修改假设建立新的模型。
二. 模型的修改将人群分成两类：一类为传染病人，另一类为未被传染的人，分别用i(t)和s(t)表示t 时刻这两类人的人数。
i (0)= 0i 。
假设：(1) 每个病人单位时间内传染的人数与这时未被传染的人数成正比。
即()0k ks t =；(2) 一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡。
由以上假设可得微分方程()()()()()()0di t ks t i t dt s t i t n i i⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎪⎩………… (2.2)这是变量分离方程，用分离变量法可求得其解为()011knt n i t n e i =⎛⎫+- ⎪⎝⎭ ………… (2.3)其图形如下图2-1所示模型 (2.2) 可以用来预报传染较快的疾病前期传染病高峰到来的时询。
医学上称di t dt-为传染病曲线，它表示传染病人的增加率与时间的关系，如图2-2所示。
由 (2.3)式可得 2020111knt knt n kn e i di dt n e i --⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ ………… （2.4) 再求二阶导数()22d i t dt ，并令()220d i t dt =，可解得极大点为 01ln 1n i t kn⎛⎫- ⎪⎝⎭= ………… (2.5)从 (2.5) 式可以看出，当传染病强度k或人口总数n增加时，t都将变小，即传染病高峰来得快。
这与实际情况吻合。
同时，如果1知道了传染率k(k由统计数据得到)，即可预报传染病高峰t到来的时1间，这对于预防传染病是有益处的。
模型 (2.2) 的缺点是：当t→∞时，由(2.3)式可知i(t)→n，即最后人人都要得病。
这显然与实袜情况不符。
造成这个结果的原因是假设 (2) 中假设一人得病后经久不愈，也不会死亡。
为了得到与实际情况更吻合的模型，必须修改假设 (2) 。
实际上不是每个人得病后都会传染别人，因为其中一部份会被隔离，还有由于医治和人的身抵抗力会痊愈，有的人会死亡从而也就不再会传染给别人了。
因此必须对模型作进一步的修改，建立新的模型。
三. 模型的进一步完善从上面的分析我们看到模型 (2.2) 的假设 (2) 是不合理的。
即不可能一人得病后会经久不愈，必有一部份人因医治或自身的免疫力，或是被隔离，或是死去而成为不会再继续传染给别人的第三类人。
因此我们把人群分成三类：第一类由能够把疾病传染给别人的那些传染者组成的。
用 I(t) 表示 t 时刻第一类人数。
第二类是由并非传染者但能够得病而成为传染者的那些人组成的，用 S(t) 表示 t 时刻第二类人数。
第三类包括患病后死去的人，病愈后具有长期免疫力的人，以及在得病后被隔离起来的人。
用R(t) 表示 t 时刻第三类人数。
假设疾病传染服从下列法则：(1) 在所考虑的时期内人口总数保持在固定水平N ，即不考虑出生及其他原因引起的死亡，以及人口的迁入迁出的情况。
(2) 易受传染者人数S(t)的变化率正比于第一类的人数I(t)与第二类人粉S(t)的乘积。
(3) 由第一类向第三类转变的速度与第一类的人数成正比。
在这三条假设情况下可得如下微分方程： dS rsIdt dI rsI I dt dR I dt λλ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩………… (2.6) 其中r 、λ为比例常数，r 为传染率，λ为排除率。
由方程(2.6)的三个方程相加得则 ()()()()S t I t R t N ++==常数人口总数故 ()()()Rt N S t I t =-- 因此只要求出 S(t)、I(t) 即可求出 R(t) 。
方程组 (2.6) 的第一个和第二个方程与 R(t) 无关。
因此，由 dS rSI dt dI rSI I dtλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ………… (2.7)得 1dI rSI I dS rSI rSλλ-==-+- ………… (2.8) 积分得 ()ln I S S S c r λ=-++由初始条件：当()()00000,,t t I t I S t S ===时 并记 r λρ=代入上式可确定常数 000ln c I S S ρ=+-最后得 ()000ln S I S I S S S ρ=+-+ ………… (2.9)下面我们讨论积分曲线 (2.9) 的性质，由(2.8)知所以当S ＜ρ时，I(S) 是S 的增函数，S ＞ρ时，I(S) 是S 的减函数。
又有I(0)=－∞，()000,I S I =＞ 由连续函数的中间值定理及单调性知，存在唯一点S ∞，00S S ∞＜＜，使得()00I S =, 而当 0S S S ∞≤＜ 时，I(S)＞0 。
由 (2.7) 知I=0时，0,0dS dI dt dt==，所以(),0S ∞为方程组 (2.7) 的平衡点。
当0t t ≥ 时，方程(2.9)的的图形如图2-3。
当t 由0t 变到 ∞ 时，点(S(t)，I(t))沿曲线 (2.9) 移动，并沿S 减少的方向移动，因为S(t) 随时间的增加而单调减少。
因此，如果0S 小于ρ，则 I(t) 单调减少到零，S(t) 单调减少到S ∞。
所以，如果为数不多的一群传染者0I 分散在居民0S 中，且0S ρ<，则这种病会很快被消灭。
如果0S ρ>，则随着 S(t) 减少到ρ时，I(t) 增加，且当S=ρ时，I(t) 达到最大值。
当S(t)＜ρ 时 I(t) 才开始减少。
由上分析可以得出如不结论：只有当居民中的易受传染者的人数超过阈值 r λρ=时传染病才会蔓延。
用一般常识来检验上面的结论也是符合的。
当人口拥挤，密度高，缺少应有的科学文化知识，缺乏必要的医疗条件，隔离不良而排除率低时，传染病会很快蔓延；反之，人口密度低，社会条件好，有良好的医疗条件和较好的管理而排除率高时，则传染病在有限范围内出现会很快被消灭。
传染病学中的阈值定理 设0S r ρ=+，且假设r ρ同1相比是小量。
并设最初传染者人数0I 很小，则最终患病人数为2r 。
即是易受传染者的人数最初比阈值高多少，那么最终就会比阈值低多少。
这就是有名的传染病阈值定理。
生物数学家Kermack 和Mekendrick 在1927年首先证明了这个定理(证明从略)根据阈值定理就可以由起初易受传染者的人数来估计最终患病的人数。
这定理解释了研究人员长期以来难以解释的为什么对于某一民族或地区，某种传染病传播时，每次所涉及的人数大体上是一常数的现象。
在传染病发生的过程中，不可能准确地调查每一天或每一星期的得病人数。
因为只有那些来医院就医者才能被人知道他们得了病，并把他们隔离起来防止传染。
因此，统计的记录是每一天或星期新排除者的人数，而不是新得病的人数。
所以，为了把数学模型所预示的结果同疾病的实际情况进行比较，必须解出(2.6)中的第三个方程。
因为 /dS dS dR rSI r S S dR dt dt I dS dR S λλρρ==-=-=-=-所以 ()0R S R S e ρ-=从而有 0R dR N R S e dt ρλ-⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭………… (2.10) 方程 (2.10) 虽是可分离变量的方程，但是不能用显式求解，如果传染病不严重，则R/ρ是小量，取泰勒级数前三项有从而 20200011212dR R R N R S dt S S R N S R λρρλρρ⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎪⎪=---+⎢⎥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦其解 ()20011tanh 2S R t a a t S ρλφρ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦其中()1220010211tanh1S N SSaSaρρφρ-⎡⎤-⎛⎫=-+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫=-⎪⎝⎭因此2221sec22dR ah a tdt Sλρλφ⎛⎫=-⎪⎝⎭………… (2.11)方程 (2.11) 在dRtdt－平面上定义了一条对称钟形曲线，称为疾病传染曲线。
疾病传染曲线很好地说明了实际发生的传染病的情况：每天报告的新病案的数目逐渐上升到峰值，然后又减少下来。
Kermak和Mekendrick把 (2.11) 得到的值，同取自1905年下半年至1906年上半年在印度孟买发生的瘟疫资料进行比较，他们假设其中t按星期计，在图2-4中的实际数字(图中用“.”表示)同理论曲线非常一致。
这就表明模型(2.6)是在固定居民中传染病传播的准确而可靠的数学模型。
对于传染病传播的数学模型还有人用随机模型，这不是本章的内容，读者可参看有关的其他资料。