常数项级数的概念和性质

§1 常数项级数的概念和性质

【目的要求】

1、能区分无穷项相加与有限项相加的区别；

2、了解无穷级数部分和与级数收敛及发散的关系、和的定义；

3、掌握用部分和的极限、收敛级数的必要条件来判别级数的敛散性． 【重点难点】

数项级数的概念与性质． 【教学内容】

一、常数项级数的概念

定义1.1 给定一个无穷实数列{}n u ：

12,,

,,

n u u u

则由这数列构成的表达式

12n u u u ++

++

叫做常数项无穷级数, 简称常数项级数, 记为∑∞

=1

n n u , 即

1231

n

n n u

u u u u ∞

==+++++

∑,

其中第n 项n u 叫做级数的一般项(或通项). 级数∑∞

=1n n u 的前n 项和

1231

n

n i n i s u u u u u ===+++

+∑

称为级数∑∞

=1

n n u 的前n 项部分和. 部分和构成的数列

12{}:,,,

n n s s s s

称为部分和数列.

定义 1.2 如果级数∑∞

=1

n n u 的部分和数列}{n s 收敛, 即

s s n n =∞

→lim , (s 为一实数)

则称无穷级数∑∞

=1

n n u 收敛, 并称s 为级数∑∞

=1

n n u 的和, 并写成

1231

n n n s u u u u u ∞

===+++

++∑;

如果}{n s 发散, 则称无穷级数∑∞

=1

n n u 发散. 级数的收敛和发散统称为敛散性.

当级数∑∞

=1

n n u 收敛时, 其部分和n s 是级数∑∞

=1

n n u 的和s 的近似值, 它们之间的差

n n r s s =-

称为级数∑∞

=1

n n u 的余项. n s 和s 之间的误差可由||n r 去衡量, 由于s s n n =∞

→lim , 所以lim ||0n n r →∞

= 例1 讨论等比级数(几何级数)

20

n

n n aq

a aq aq aq ∞

==+++++

∑, (0a ≠)

的敛散性.

解 如果1q ≠, 则部分和

2

1

111n n n n a aq a aq s a aq aq aq

q q q

--=+++

+==----. 当||1q <时, 因为q a s n n -=∞→1lim , 所以此时级数n n aq ∑∞

=0

收敛, 其和为q a

-1. 当||1q >时, 因为lim n n s →∞

不存在, 所以此时级数n n aq ∑∞

=0

发散. 如果||1q =, 则当1q =时, 因为lim n n s →∞

不存在, 因此此时级数n n aq ∑∞

=0

发散;

当1q =-时, 级数n n aq ∑∞

=0

成为

a a a a -+-+

,

因为lim n n s →∞

不存在, 因此此时级数n n aq ∑∞

=0

发散. 综上所述, 如果||1q <, 则级数n n aq ∑∞

=0

收敛, 其和为

q a

-1;

如果||1q ≥, 则级数n n aq ∑∞

=0

发散.

例2 证明级数0

123n n n ∞

==+++

++

∑是发散的.

证 此级数的部分和为

2

)

1( 321+=

+⋅⋅⋅+++=n n n s n . 显然, ∞=∞→n n s lim , 因此该级数是发散的. 例3 判别无穷级数 0

1111

1

(1)122334(1)

n n n n n ∞

==++++

+

+⋅⋅⋅+∑ 的收敛

性.

解 部分和

11

1)1(1+-=+=

n n n n u n ,

由于

)

1(1

431321211++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=n n s n

11

1)111( )3121()211(+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=n n n

从而

1)111(lim lim =+-=∞

→∞→n s n n n ,

所以该级数收敛, 其和是1.

以上几个例题, 都是先将部分和n s 的表达式算出, 然后讨论lim n n s →∞是否存在, 从而判断级数的敛散性. 然而对绝大多数级数来说, n s 的表达式难以计算, 而且

实际问题中往往只需知道一个级数是收敛还是发散, 并不奢望对每个级数都求出其和, 因此我们有必要研究某些直接从一般项n u 的形式就可以判断∑∞

=1n n u 敛散

性的简明法则. 为此, 先对级数的基本性质展开一些讨论.

二、收敛级数的基本性质

性质 1 如果级数∑∞

=1

n n u 收敛于和s , k 为任意常数, 则级数∑∞

=1

n n ku 也收敛,

且其和为ks .

证 设∑∞

=1

n n u 与∑∞

=1

n n ku 的部分和分别为s n 与σn , 则

) (lim lim 21n n n n ku ku ku ⋅⋅⋅++=∞→∞→σks s k u u u k n n n n ==⋅⋅⋅++=∞→∞→lim ) (lim 21. 所以级数∑∞

=1

n n ku 收敛, 且和为ks .

性质2 如果级数∑∞

=1

n n u 、∑∞

=1

n n v 分别收敛于和s 、σ, 则级数)(1

n n n v u ±∑∞

=也收

敛, 且其和为s σ±.

证 设∑∞

=1

n n u 、∑∞

=1

n n v 、)(1

n n n v u ±∑∞

=的部分和分别为s n 、σn 、τn , 则

)]( )()[(lim lim 2211n n n n n v u v u v u ±+⋅⋅⋅+±+±=∞→∞→τ )] () [(lim 2121n n n

v v v u u u +⋅⋅⋅++±+⋅⋅⋅++=∞→ σσ±=±=∞

→s s n n n )(lim . 所以级数)(1n n n v u ±∑∞

=收敛, 且和为s σ±.

性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数的收敛性. 比如, 级数

1

1111122334(1)

n n u n n ∞

==

+++++⋅⋅⋅+∑是收敛的, 级数