SI传染病模型
数学建模之传染病模型
第五章 微 分 方 程 模 型如果实际对象的某特性是随时间（或空间）变化的，那么分析它的变化规律，预测它的未来性态时，通常要建立此实际对象的动态模型，这就是微分方程模型.§1 传 染 病 模 型建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮的到来等，一直是各国有关专家和官员关注的课题.考虑某地区的传染病的传染情况，设该地区人口总数为N ，既不考虑生死，也不考虑迁移，时间以天为计量单位.一. SI 模 型假设条件：1. 人群分为易感染者(Susceptible )和已感染者(Infective )两类人，简称为健康人和病人，在时刻t 这两类人在总人数中所占比例分别记作()t s 和()t i .2. 每个病人每天有效接触的平均人数是λ(常数)，λ称为日接触率，当病人与健康人有效接触时，使健康者受感染变为病人.试建立描述()t i 变化的数学模型.解： ()()1=+t i t s ()()N N t i N t s =+∴由假设2知，每个病人每天可使()t s λ个健康者变为病人，又由于病人数为()t i N ，∴每天共有()()t i N t s λ个健康人被感染.于是i s N λ就是病人数i N 的增加率，即有i s N dt di Nλ=………………………………………………(1) i s dtdi λ=∴ 而1=+i s .又记初始时刻(0=t )病人的比例为0i ，则()()⎪⎩⎪⎨⎧=-=001i i i i dt di λ 这就是Logistic 模型，其解为 ()t e i t i λ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=1111［结果分析］作出()t t i ~和i dt di ~的图形如下：1. 当21=i 时，dt di 取到最大值m dt di ⎪⎭⎫ ⎝⎛，此时刻为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-11ln 01i t m λ2. 当∞→t 时，1→i 即所有人终将被传染，全变为病人（这是不实际的）.二. SIS 模 型在前面假设1、2之下，再考虑病人可以医治，并且有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，此模型称SIS 模型.假设1、2同SI 模型，增加假设:3. 病人每天被治愈的人数占病人总数的比例为μ，称为日治愈率.病人治愈后成为易感染者（健康人）.显然μ1是这种传染病的平均传染期.解：在假设1、2、3之下，模型（1）修正为i N i Ns dtdi N μλ-= 于是 ()()⎪⎩⎪⎨⎧=--=001i i i i i dt di μλ解得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=--- ＝ －μλλμλμλλμλλμλ,1,11010i t e i t i t ［结果分析］1. 令μλσ=. 注意到λ和μ1的含义，可知σ是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数.()⎪⎩⎪⎨⎧-=∞ 011σi 11≤>σσ1-2. 接触数1=σ是一个阈值.当1≤σ时，病人比例()t i 越来越小，最终趋于零.当1>σ时，()t i 的增减性取决于0i 的大小，其极限值()σ11-=∞i .3. SI 模型是SIS 模型中0=μ的情形. 三. SIR 模 型大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健康者,也非病人,他们已经退出传染系统，此时模型的假设为1.人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者三类，称为SIR 模型.三类人在总人数N 中占的比例分别记作()i s 、()t i 和()t r .1. 病人的日接解率为λ，日治愈率为μ（与SIS 模型相同），传染期接触数为μλσ＝.解：由假设1，有()()()1=++t r t i t s 0=++∴dtdr dt di dt ds 由假设2，得i N dt dr N μ= N i N i s dt di N μλ-= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==∴i i s dtdi i dt dr μλμ 又设()()()00,0,000===r i i s s 于是()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=00s 0s ,0i i i s dt ds ii s dt di λμλ (2)我们在相平面上来讨论解的性质.相轨线的定义域为(){}1s ,0,0s ,s ≤+≥≥=i i i D 由(2)式消去dt ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-==0s s 01s 1s i i d di σ 这里 μλσ= 解得()000s s ln 1s -i s σ++=i ………………………………………(3) 在定义域D 内，(3)式表示的曲线即为相轨线..。
传染病传播模型
传染病传播模型传染病一直是人类面临的严重公共卫生问题之一，了解传染病的传播规律对于控制疫情的蔓延至关重要。
在传染病学领域，研究人员提出了各种传染病传播模型，以帮助我们更好地理解疾病的传播过程。
本文将介绍几种常见的传染病传播模型。
一、SIR模型SIR模型是最经典的传染病传播模型之一，模型中将人群划分为易感者(S)，感染者(I)和康复者(R)三个群体。
在SIR模型中，易感者被感染后转为感染者，感染者经过一段潜伏期后康复并具有免疫力。
该模型适用于传染病传播速度较慢且一旦康复后不再感染的情况。
二、SEIR模型SEIR模型在SIR模型的基础上增加了潜伏者(E)这一群体，即将易感者感染后先转化为潜伏者，再由潜伏者成为感染者。
这样的模型更适用于具有潜伏期的传染病，如流感和艾滋病等。
通过引入潜伏者这一群体，SEIR模型可以更准确地反映出疾病的传播过程。
三、SI模型与SIR模型和SEIR模型不同，SI模型只考虑了易感者和感染者这两类人群，即易感者一旦被感染就无法康复并具有免疫力。
SI模型适用于那些一旦感染就无法康复的传染病，比如艾滋病和病毒性肝炎等。
四、SIS模型SIS模型在SI模型的基础上增加了康复者再次成为易感者这一过程，即感染者可以康复但并没有永久的免疫力。
SIS模型适用于那些患者可以反复感染的传染病，如流感和普通感冒等。
五、SEIRS模型在SEIR模型的基础上，SEIRS模型引入了康复者再次成为易感者这一过程，从而更为贴合实际传染病的传播过程。
SEIRS模型适用于那些感染后康复后不具备永久免疫力的疾病。
以上是一些常见的传染病传播模型，每种模型都有其适用的场景和特点。
在实际研究和预测传染病传播过程时，我们可以根据病原体的特性和传播规律选择合适的模型来进行分析和预测，从而更好地控制疫情的蔓延。
传染病模型的研究为我们提供了有效的工具，帮助我们更好地理解传染病的传播机制，为公共卫生工作提供科学依据。
希望在未来的研究中能够进一步完善传染病传播模型，为防控传染病提供更有力的支持。
传染病的传播模型与传播规律选择分析
传染病的传播模型与传播规律选择分析在传染病的研究中，了解传播模型与传播规律对于预防和控制疾病具有重要意义。
本文将分析传染病的传播模型与传播规律的选择，并讨论其在预测疫情和制定防控策略中的应用。
一、传染病的传播模型选择在建立传染病传播模型时，通常会综合考虑疾病的传播途径、潜伏期、感染力等因素。
下面列举几种常见的传染病传播模型：1. SI模型（易感者-感染者模型）SI模型适用于没有康复或死亡的传染病，该模型假设人们只能从易感者变成感染者，而感染者不会康复。
SI模型可以用来研究疾病的基本传播趋势及传播速度。
2. SIS模型（易感者-感染者-易感者模型）SIS模型适用于有恢复的传染病，该模型假设感染者在康复后可以再次成为易感者。
SIS模型可以用来研究传染病的持续传播和再感染的风险。
3. SIR模型（易感者-感染者-康复者模型）SIR模型也适用于有恢复的传染病，但与SIS模型不同的是，感染者在康复后具有免疫力，不再成为易感者。
SIR模型可以用来研究疾病的蔓延趋势、感染率以及免疫策略的影响。
4. SEIR模型（易感者-潜伏者-感染者-康复者模型）SEIR模型适用于有潜伏期的传染病，该模型引入了潜伏者（已感染但尚未表现出症状）的概念。
SEIR模型可以用来研究传染病的潜伏期长度、潜伏者的传播风险以及控制策略的有效性。
二、传染病的传播规律选择传染病的传播规律选择取决于疾病的传播途径以及其在人群中的传播方式。
下面列举几种常见的传播规律选择：1. 直接传播直接传播是指通过接触或近距离飞沫传播等方式进行传播。
这种传播方式适用于病毒或细菌传播。
在传染病的研究中，可以通过记录感染者与健康人之间的接触情况来研究传播速度和传染风险。
2. 空气传播空气传播是指通过空气中的飞沫或气溶胶传播疾病。
这种传播方式适用于病毒或细菌在空气中传播的情况。
研究空气传播需要考虑不同环境中的病毒或细菌浓度、传播距离等因素。
3. 食物水源传播食物和水源传播是指通过食物或水源中的病原体进行传播。
传染病动态模型的研究与应用
传染病动态模型的研究与应用随着世界人口的不断增长和交通、通信等领域的迅猛发展，传染病的流行和传播也越来越成为公共卫生的关注重点。
建立传染病动态模型成为了研究和预测传染病传播的重要工具。
本文将介绍传染病动态模型的研究与应用现状。
一、传染病动态模型的基本概念传染病动态模型是描述传染病传播过程的数学模型，通过对感染、康复、死亡等过程的建模，模拟传染病在不同时间和空间的传播过程，从而为疫情控制和预测提供科学依据。
传染病动态模型常用的包括基本再生数、传染病流行学三元组、SI 模型、SIR模型、SEIR模型等。
其中，基本再生数是指每个患者能够感染的平均人数，它是评估传染病传播速度和规模的重要指标。
传染病流行学三元组包括感染率、发病率和死亡率，是评估传染病流行特征的重要指标。
SI模型是指只有感染和易感两种状态的传染病模型，不考虑治愈和免疫。
SIR模型增加了康复者状态，模拟了免疫性传染病的传播和暴发。
SEIR模型在SIR模型的基础上增加了暴露者状态，模拟了人群免疫率较低的新兴传染病的传播过程。
二、传染病动态模型的研究传染病动态模型的研究经历了从简单模型到复杂模型的发展过程。
早期的模型主要着眼于流行病学领域，如SI模型、SIS模型和SIR模型等，这些模型假定人群均匀混合且传染病的流行仅由人群自身特征驱动，无法准确反映真实的传染病传播过程。
近年来，随着计算机技术的不断发展和数据获取的便捷，越来越多的学者开始使用复杂网络理论、代数图论、机器学习等方法对传染病动态模型进行研究。
例如，疾控中心的赵福岭院士团队提出的社会网络模型可以更加准确地模拟人群的社交行为，从而更好地反映传染病的传播过程。
此外，一些研究还通过模拟流行病学数据，利用机器学习算法构建了时间序列和空间序列预测模型，可以更加精确地描述传染病流行的时空特征。
三、传染病动态模型的应用传染病动态模型的应用包括预测、评估、干预和治疗等方面。
预测方面，传染病动态模型可以通过对基本再生数和传染病流行学三元组等指标进行分析，预测传染病的传播规模和速度，为传染病的流行和暴发提供预警。
SARS传播数学模型
SARS 的传播问题模型一 SI 模型模型假设1、在疾病传播期内，所考察地区的总人数N 不变，人群分为易感染者和已感染者两类，以下简称健康者和病人，两类人在总人数N 中占的比例分别记作()s t ，()i t ；2、每个病人每天有效接触的平均人数是常数λ，称为日常接触率。
当病人与健康者有效接触时，使健康者感染变为病人。
模型构成根据假设，每个病人每天可使()s t λ个健康人变为病人，因为病人人数为()Ni t ，所以每天共有()()Ns t i t λ个健康人被感染，于是Nsi λ就是病人人数Ni 的增加率，即有diNNsi dt λ= （1）又因为()()1s t i t += （2）再记初始时刻（t=0）病人的比例为0i，则()()01,0dii i i dt i λ=-= （3）对方程（5）的解有()01111ti t i λ-=⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭（4）由（5），（6）式可知，第一， 当12i =时，didt 达到最大值m di dt ⎛⎫ ⎪⎝⎭，这时刻： 101ln 1m t i λ-⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭ （5）这时病人增加的最快，预示着传染病高潮的到来，提前5天采取严格的隔离措施可以推迟传染病高潮的到来，为医疗卫生部门迎接高潮做好充分的准备。
推迟5天则会使感染者更多；第二， 当t →∞时1i →，所有人终将被感染，全变为病人，显然，这与实际不符，故必须对上模型做出修正。
模型二 SIS 模型模型假设1、在疾病传播期内，所考察地区的总人数N 不变，人群分为易感染者和已感染者两类，以下简称健康者和病人，两类人在总人数N 中占的比例分别记作()s t ，()i t ；2、 每个病人每天有效接触的平均人数是常数λ，称为日常接触率。
当病人与健康者有效接触时，使健康者感染变为病人；3、每天被治愈的病人人数占病人总人数的比例为常数μ，称为日治愈率。
病人治愈后成为仍可被感染的健康人，显然，1μ是该传染病的平均传染期。
流行病学研究疾病流行趋势的模型应用
流行病学研究疾病流行趋势的模型应用近年来，世界各地频繁出现的疾病暴发事件引起了人们的广泛关注。
为了更好地掌握和预测疾病的流行趋势，流行病学家们运用了各种模型来研究疾病的传播规律。
本文将介绍一些流行病学研究中常用的模型，并讨论其应用。
一、SI模型SI模型是最简单的流行病学模型之一，它假设人群中只有两种状态：易感者（Susceptible）和感染者（Infected）。
SI模型通常用来研究像流感这样的传染性疾病，其中易感者通过与感染者的接触而感染病原体。
SI模型的数学表达式如下：dS/dt = -βSIdI/dt = βSI其中，S表示易感者人数，I表示感染者人数，β表示感染率。
通过求解这些方程，可以获得疾病传播速度和感染规模等关键信息，帮助我们更好地了解和控制流行病。
二、SIR模型SIR模型是相对复杂一些的流行病学模型，它考虑了除易感者和感染者之外的康复者（Recovered）。
SIR模型适用于研究有一定康复期的传染病，如麻风病、艾滋病等。
SIR模型的方程如下：dS/dt = -βSIdI/dt = βSI - γIdR/dt = γI其中，γ表示康复率。
通过求解SIR模型的方程组，我们可以计算出感染者和康复者的数量，从而确定疾病的传播和康复情况。
SIR模型在流行病学研究中得到了广泛的应用，从而对疾病的预防和控制提供了一定的指导。
三、SEIR模型SEIR模型在SIR模型的基础上引入了潜伏期（Exposed），考虑了感染者在潜伏期内无症状但可以传播病原体的情况。
SEIR模型适用于研究有潜伏期的传染病，如天花等。
SEIR模型的方程如下：dS/dt = -βSIdE/dt = βSI - αEdI/dt = αE - γIdR/dt = γI其中，α表示潜伏期的逆转率。
通过求解SEIR模型的方程组，我们可以获得易感者、潜伏者、感染者和康复者的数量，进而推断出疾病的传播动态和流行趋势。
四、扩散模型除了上述基于传染病流行的模型，流行病学研究中还常用扩散模型来研究非传染性疾病的流行趋势。
传染病传播模型
传染病传播模型随着世界人口的不断增加和人类活动的频繁交流，传染病的传播成为了一个日益严重的问题。
为了更好地理解和应对传染病的传播，科学家们提出了各种传染病传播模型。
本文将介绍几种常见的传染病传播模型，并分析它们的特点和应用。
一、SI模型SI模型是最简单的传染病传播模型之一，其中S表示易感者(Susceptible)、I表示感染者(Infectious)。
在SI模型中，人群中的个体只有在易感者和感染者两种状态之间相互转换。
具体而言，易感者可以通过与感染者接触而被感染，一旦感染，就成为感染者，并在一段时间内具有传播传染病的能力。
然而，在SI模型中，感染者随着时间的流逝不会重新变回易感者。
由于缺乏免疫力的存在，SI模型所描述的传染病在人群中的传播速度通常很快，例如流感等。
二、SIR模型SIR模型是相对复杂一些的传染病传播模型，其中R表示康复者(Recovered)。
和SI模型一样，SIR模型中的人群也被分为易感者、感染者和康复者三个状态。
然而，SIR模型引入了康复者的概念，即感染者经过一段时间的潜伏期后可以康复并具有免疫力。
在SIR模型中，康复者不再具有传播传染病的能力，不会再感染其他人。
与SI模型相比，SIR模型所描述的传染病传播速度相对较慢，且可能经历一次大规模的传播后逐渐衰减。
三、SEIR模型SEIR模型是在SIR模型的基础上进一步扩展的，其中E表示潜伏者(Exposed)。
在SEIR模型中，人群被分类为易感者、潜伏者、感染者和康复者四个状态。
潜伏者是指已经被感染但尚未表现出症状的个体，潜伏期结束后，潜伏者会进一步转化为感染者，并开始传播传染病。
由于潜伏期的存在，SEIR模型所描述的传染病具有一定的潜伏期，并且在人群中的传播速度相对较慢。
四、SIRS模型SIRS模型是对SIR模型的改进，其中S表示易感者、I表示感染者，R表示免疫者(Susceptible-Infected-Recovered-Susceptible)。
医学专题传染病传播模型
康者受感染变为病人。
根据假设，每个病人每天可使 s(t) 个健康
者变为病人。因为病人数为Ni(t)，所以每天共
有 Ns(t)i(t) 个健康者被感染，即病人数Ni(t) 的 增加率为 Ns(t)i(t)。于是得到人员流程图如下
期内每个病人有效接触的平均人数，即接触数。 于是，以下的求解与讨论与不考虑出生和死亡 的 SIS 模型相同。
模型 4（不考虑出生和死亡的 SIR 模型）
许多传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治 愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健 康者（易感染者），也非病人（已感染者）， 它们已经退出传染系统。
均传染期。
如果考虑到假设条件 (4)，则人员流程图如下
于是有
N di Nsi Ni
dt
记初始时刻的病人的比例 i0（i0 > 0），从而 SI 模型可以修正为
di dt
i(1
i)
i
i(0) i0
我们称之为 Bernolli（贝努里）方程的初值问题， 其解析解为
i(t)
1
1
i0
1
（ >1）
i(t) ~ t 的图形（ Biblioteka 1）di/dt ~ i 的图形
（ 1）
i(t) ~ t 的图形
（ 1）
模型 3（考虑出生和死亡的 SIS 模型）
当传染病的传播周期比较长时，若不考虑 出生和死亡因素显然不妥，接下来考虑带有出 生和死亡情况的 SIS 模型。
假设条件 (1) 人群分为易感染者（Susceptible）和已 感染者（Infective）两类，以下简称健康者和病 人。时刻t这两类人在总人数中所占的比例分别 记为 s(t) 和 i(t)。
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SI传染病模型
1.模型的建立
由题意知道：在此环境中仅存在健康者（即易感者）和已感者（即病人），且在t时刻人数分别为S(t),L(t),不考虑人口的出生与死亡，此环境中的人口数量
不变N即K，于是在单位时间内每天每个病人感染的人数βS（t）L（t），它是
病人的增加率，所以有：
dL
=β*S()t*L()t L()0=L1 (1) dt
在t时刻健康者与已感者满足关系式：S()t+L ()t=K(2) 此模型满足Logistic模型，所以它的解为：
L（t）=1/1+((1/L1)-1)*exp(-β*t)
1.求平衡点
syms r S L K y
y=r*L*(K-L);
solve(y)
ans =
SIS传染病模型
1.模型假设SIS模型的假设条件1.2与SI模型相同，增加的条件为：每天被治
愈的病人数占病人的总数为m ，此称为日治愈率。
病人治愈后仍然可以成为被感染的健康者，显然，平均传染期为1/m 。
2. 模型建立 此模型可以修整为：（a 代表β）
()
()()()***dL t a S t L t m L t dt
=- ()()L t S t K
+= ()01L L =
求平衡点：（s, l ，k 分别代表S ， L ，K ）
syms a t s l m k f
f=a*l*(k-l)-m*l; solve(f) ans = -a*(-k+l)
1.δ大于时的图像,10,0.8a a b b δ⎛⎫=
== ⎪⎝⎭
2.δ小于1时的图像)(0.2,0.8a b ==
模型假设：在SIS 模型中我们增加：人群可分为健康者，病人，病疫免疫的移出者，且三种人群的数量分别为S ()t ，L ()t ，R ()t ；病人的日接触率和日治愈率分别为β，m 所以传染期为
m
β
δ=
1. 模型建立
()
()()()***dL t a S t L t m L t dt
=- ()()L t S t K
+= ()01L L = (1) ()
()()**dS t a S t L t dt
=- ()()00S K L =- (2) 求平衡点
syms a t s l m k
[s,l]=solve('a*l*(k-l)-m*l','-(a*s*(k-s))') s = a*k-a*l a*k-a*l l = 0 k
健康者与病人数量在总人数中的比例()s t ，()i t 对时间的变化关系图为：
健康者与病人各自占总人数的比例间的相互关系：。