普通物理实验误差理论讲解
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大学物理：物理实验误差理论
仪器误差（Error of Instrument）
注明 或 最小分度值的一半
单次测量 结果的误差可以取仪器误差； 多次测量 比较其误差和仪器误差，取两者
中较大的为结果的误差。
相对误差（Relative Uncertainty）
平均绝对误差、标准偏差、极限误差、仪器误差等，都是
有单位的，都是绝对误差，现在用 代x 表。
大学物理：物理实验误差理论
实验一 关于测量的基本理论
Exp.1 Basic Knowledge about Measurement
课程任务（Goal of Experiment）
➢培养实践、理论两方面的科学素养
➢培养和提高科学实验能力：准备实验， 使用仪器设备，观察分析判断，记录、 处理、报告实验过程和结果
Standard Deviation，Limited Error
标准偏差：
x
n
2
(xi x)
i 1
n 1
n
(xi )2
i 1
n 1
平均值的标准偏差：
x
n
n
2
(xi x)
i 1
n(n 1)
n
(xi )2
i 1
n(n 1)
根据例1的数据，计算标准偏差
科学计数法：形式 a 10n 1 a 10
有效数字由 a 确定，单位的变化只是引起 n 的变化。 例如：地球的半径可表示为：
r 6.371103km 6.371106m
如何确定测量结果的有效数字?
误差本身也是有效数字，记录测量数据的有效数字的 最后一位应该到误差发生的一位。
L (15.3 0.5)mm
普通物理实验误差理论讲解课件
解：测得值的最佳估计值为
L L 250.09mm
3
测量列的标准偏差为
6
(Li L)2
S i1
0.03mm
61
7.仪器误差限－仪器的最大允许误差
长度测量工具取其最小分度值的一半(游标卡 尺，螺旋测微器有另外的约定)； 取天平的最小分度为仪器误差限；
取秒表的最小分度为仪器误差限；
4
水银、酒精温度计的仪器误差限取最小分度的值一半；
应取几位有效位数。
1.有效数字的概念
有效数字由准确数字和存疑数字组成。
20
读有效数字时要注意：
（1）一般在最小分度内估计一位(除特殊例外)； （2）有效数字的位数与小数点无关；
例: 0.0123 ——三位 12.3000 ——六位
（3）常用科学记数法。 例: 332.60m=0.33260km=3.3260×102m=3.3260×104cm
读得螺旋测微计的零位x0为：0.006, 单位mm，已知 螺旋测微计的仪器误差为Δ仪=0.004mm，请给出完整 的测量结果。
解：测得值的最佳估计值为
x x x0 0.250 0.006 0.244(mm)
6
测量列的标准偏差
( xi x)2
S i1
0.002mm
61
U
U
2 A
UB2
用计算器进行计算时,中间结果可不作修约或适当多取 几位(不能任意减少),但最后一定要修约。
5.测量结果表达式中的有效位数 总不确定度U的有效位数：一般取一位.前两位
都小于5时,可取两位.
例 ：估算结果 U=0.548mm时，取为U=0.6mm U=1.37 时， 取为U=1.4
27
6.测量结果表达式中的有效位数
普物实验误差课件
测量误差的均匀分布
对称性和抵偿性
E(x)=0，D(x)=e2/3
D( x) e 3
e -极限误差，
( x)dx
1 3
57.7%
不确定度
基本概念
物理量三个要素：数值、单位、不确定度 Y=NN 待测物理Y, 测量值N (单次测量值或多次平均 值或间接测量值), 不确定度 N 待测物理量的真值有一定的概率（置信概率） 落在[N-N， N+N]范围内（置信区间）
不确定度
相对不确定度
N
ln f ln f ln f x y z N x y z
2 2 2
eN ln f ln f ln f ex ey ez N x y z
将 f x, y, z 在 x, y, z 点按泰勒级数展开有：
f f f f x, y , z f x, y , z x x y y z z y z x
＋
不确定度
在考虑到x，y，z是彼此独立的情况，可得标准差的 传递公式的绝对形式为：
测量误差
偶然误差
特征——随机性； 测量次数足够大时，呈现统计规律性。 来源——(1) 仪器性能， 如光源能量波动； (2) 环境条件的微小波动， 如温度、气压、电压等的波动； (3) 测量对象本身的不确定性， 如气压，衰变的粒子数； (4) 观测者， 如读数不稳定。
测量误差
规律——对单次测量的随机误差虽然无法确 定，对多次测量来讲，随机误差的 分布却是服从一定的统计分布规律 的，如正态分布和均匀分布等。
掌握物理实验中的常见误差
掌握物理实验中的常见误差物理实验中的常见误差是指在实验过程中由于各种原因导致的测量结果与真实值之间的偏差。
这些误差分为系统误差和随机误差两种类型。
了解和掌握这些误差对于从事科学研究和进行精确测量的人来说是非常重要的。
首先，我们来看一下系统误差。
系统误差是由于实验设备的不精确性、测量仪器的误差以及实验操作人员的技术水平等原因引起的。
这些误差是固定的，并且在每次实验中都会产生相同的偏差。
例如，在使用秤量物体质量时，如果秤的指针有一定的偏移，那么任何用这个秤进行的测量都会有一定的误差。
为了减小系统误差，我们需要使用更精确的仪器设备，并且进行仔细的校准和操作。
其次，我们需要了解随机误差。
随机误差是由于实验中的一些不可预测因素，如环境条件的变化、人的主观判断以及随机因素等引起的。
这些误差是无规律的，并且会在每次实验中有所不同。
例如，在进行时间测量时，由于人的反应速度以及仪器的灵敏度等因素的限制，每次测量都会有一定的误差。
为了减小随机误差，我们需要多次重复实验，并取多次实验结果的平均值。
此外，还有一些常见的错误和不确定性，如人的领悟能力、测量仪器的分辨率以及实验数据的处理方法等。
这些因素都会对实验结果产生影响。
例如，在进行长度测量时，如果测量仪器的分辨率只有0.1毫米，而我们所测量的长度是0.08毫米，那么我们就无法准确地知道这个长度到底是多少。
在这种情况下，我们需要使用更高精度的仪器进行测量，或者使用其他的测量方法。
在实际实验中，我们需要采取一系列的措施来减小误差。
首先，我们需要进行仔细的实验计划和设计，并选择合适的仪器和测量方法。
其次，我们需要进行仔细的校准和调试，以确保仪器的准确性和稳定性。
在实验过程中，我们需要严格按照实验程序进行操作，并记录实验过程中的各种条件和参数。
最后，我们需要进行数据处理和分析，以确定误差的来源和大小，并进行合理的修正。
总结一下，掌握物理实验中的常见误差对于准确测量和科学研究是非常重要的。
误差理论课件
（5）认真记录测量数据，实验记录中的每 一个数据的位数都应符合有效数字的表达规 范，如发现记录的数据有错误，可在错误的 数据上画一直线或打叉。
（6）完成实验后要将实验数据交给教师审 查签字，达到要求后，再将实验仪器整理还 原，方可离开实验室。
（7）离开实验室后不允许修改记录的数据。
3．撰写实验报告
渡到t分布（即学生分
布）。
t分布曲线与正态分布曲线类似，两者的主要区别
是分布的峰值低于正态分布，而且上部较窄、下 部较宽，如图所示，在有限次测量的情况下，就 要将随机误差的估算值取大一些。即在贝塞尔公
式的基础上再乘以一个tp因子，tp与测量次数有关
，也与置信概率有关。
tpSx
tp因子与测量次数、置信概率的对应关系
§1.2.2 随机误差的处理
3、算术平均值和标准偏差
多次测量，x1、 x2、…、xn，测量列的算术平均值为：
1 n
x n i1 xi 其中 xi 为第 i 次测得值。
x
1 n
n i1
xi
1 n
n i1
x0 i
1 n
n i1
i
x0
n
n , i 0 误差的对称性和抵偿性 i1
1. 测量的基本概念
测量是利用仪器设备通过一定测量方法，将待测物理 量与一个选做为标准的同类物理量进行比较，确定待测物 理量大小的过程。
测量的目的：获得测量值(数据)。
例如：用最小刻度为mm的米尺测量 物体的长度。
90.70cm
测量三个要素
（1）测量方法；（2）仪器设备；（3）测量结果
比较法
米尺
90.70cm
物理实验报告一般应包括以下几项内容： （1）实验名称。 （2）实验目的。 （3）实验仪器。
高中物理竞赛实验教程第一讲：误差分析
分类方法，根据误差的性质，可以把测量误差分为偶然误差和系统误差 两种。
第 1 页 (共 8 页)
2.1 系统误差
在相同的条件下，多次测量同一物理量时，测量值对真值的偏离（包括大小和方
向）总是相同的，这类误差成为系统误差。系统误差的来源大致有：
√
1. 理论公式的近似性。例如，单摆周期公式 T = 2π
3 测量结果的不确定度
3.1 什么是不确定度
测量结果中不可避免地含有误差，如何表达这种含有误差的实验结果是很重要的。 下面将讨论包含偶然误差的实验结果的科学表达方法：
我们把测量结果写成如下形式：
Y = N ± ∆N
(2)
其中 Y 代表待测物理量，N 为该物理量的测量值，它既可以是单次的直接测量值，也 可以是在相同实验条件下多次直接测量的算术平均值，还可以是经过公式计算得到的间 接测量值。∆N 是一个恒正的量，称为不确定度，代表测量值 N 不确定的程度，也是 对测量误差的可能取值的测度，或者说，是对待真值可能存在的范围的估计。
造成偶然误差的因素是多方面的：仪器性能和测量者感官分辨力的统计涨落，环 境条件（如温度、湿度、气压、气流、微震···）的微小波动，测量对象本身的不确 定性（如气压、放射性物质单位时间内衰变的粒子数、小球直径或金属丝直径···） 等。
偶然误差的特点是它的随机性。如果在相同的宏观条件下对某一物理量进行多次测 量，当测量次数足够多时，便可以发现这些测量值呈现出一定的规律性。
（3）有界性。在一定测量条件下，误差的绝对值不会超过一定界限。
（4）抵偿性。各误差的算术平均值随测量次数增多而趋于零，即：当测量次数
n
→
∞
时， 1 n
∑n (Ni
−
N ′)
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2.1 系统误差
在相同的条件下，多次测量同一物理量时，测量值对真值的偏离（包括大小和方
向）总是相同的，这类误差成为系统误差。系统误差的来源大致有：
√
1. 理论公式的近似性。例如，单摆周期公式 T = 2π
3 测量结果的不确定度
3.1 什么是不确定度
测量结果中不可避免地含有误差，如何表达这种含有误差的实验结果是很重要的。 下面将讨论包含偶然误差的实验结果的科学表达方法：
我们把测量结果写成如下形式：
Y = N ± ∆N
(2)
其中 Y 代表待测物理量，N 为该物理量的测量值，它既可以是单次的直接测量值，也 可以是在相同实验条件下多次直接测量的算术平均值，还可以是经过公式计算得到的间 接测量值。∆N 是一个恒正的量，称为不确定度，代表测量值 N 不确定的程度，也是 对测量误差的可能取值的测度，或者说，是对待真值可能存在的范围的估计。
造成偶然误差的因素是多方面的：仪器性能和测量者感官分辨力的统计涨落，环 境条件（如温度、湿度、气压、气流、微震···）的微小波动，测量对象本身的不确 定性（如气压、放射性物质单位时间内衰变的粒子数、小球直径或金属丝直径···） 等。
偶然误差的特点是它的随机性。如果在相同的宏观条件下对某一物理量进行多次测 量，当测量次数足够多时，便可以发现这些测量值呈现出一定的规律性。
（3）有界性。在一定测量条件下，误差的绝对值不会超过一定界限。
（4）抵偿性。各误差的算术平均值随测量次数增多而趋于零，即：当测量次数
n
→
∞
时， 1 n
∑n (Ni
−
N ′)
《物理误差理论》ppt课件
n 1
10 1
算术平均值的标准偏差为
Sx
Sx n
0.027 0.0085mm 10
不确定度为
2 B
Sx2
0.022 0.00852 0.022
2021年5月7日星期五
20
误差理论和数据处理
例2：已知金属环的外径D=3.6000.004cm，内径d=2.8000.004cm，
高h=2.5750.004cm，则金属环的体积的测量结果。
14
误差理论和数据处理
（2）间接测量
首先导出不确定度的传递公式
1）单值函数 N f (x)
dN f , dN f d x, 其中dN是微小量，即是不确定度N
dx dxx 是测量值的不确定度。
df f 是不确定度的传递函数。 dx N df x 为不确定度的传递公式。
dx
2）多元函数 N f (x1, x2 ,....xn )
2. 物理实验的任务和目的
大学物理实验是对理工科学生进行科学实验基 本训练的一门独立基础必修课，是学生进入大学后 受到系统实验方法和实验技能训练的开始。
3. 物理实验的基本程序
大学物理实验课的内容：测量某一物理量或研 究某一物理量随另一物理量变化的规律，学会正确 使用某些仪器设备。
2021年5月7日星期五
成果都是理论和实验密切结合的结晶。随着科学技术
的发展，实验也日益广泛和复杂，实验的精确程度越
来越高，实验环节在科学技术的重大突破中所起的作
用也越来越大。
物理实验是科学实验的重要组成部分之一。物理
概念的确定，物理规律的发现，物理理论的建立都有
赖于物理实验。
2021年5月7日星期五
3
误差理论和数据处理
物理实验技术的误差分析与传递方法
物理实验技术的误差分析与传递方法在物理实验中，测量值往往存在误差，这些误差对于实验结果的准确性和可靠性具有重要影响。
因此，我们需要对误差进行合理的分析和传递，以确保实验结果的可信度。
本文将讨论物理实验技术的误差分析和传递方法，并探讨如何减小误差，提高实验精度。
一、误差的来源和分类在物理实验中，误差主要来自以下几个方面：仪器本身的偏差、操作人员的误差、环境条件的变化以及随机误差等。
根据误差的性质和产生原因，可以将误差分为系统误差和随机误差。
1.系统误差：系统误差是由于测量仪器或方法的固有缺陷或不确切性所造成的误差。
系统误差可以进一步分为仪器误差和操作误差。
仪器误差主要来自于仪器的不精确度、仪器的使用不当等因素，而操作误差则是由于操作人员的技术水平、不规范的操作过程以及测量条件的改变等原因引起的。
2.随机误差：随机误差是由于测量过程中的不确定性和无法完全控制的因素所引起的误差。
随机误差的大小和方向是随机变化的，可以通过多次重复测量来减小其影响。
随机误差是无法消除的，只能通过合理的处理方法进行估计和控制。
二、误差的传递误差的传递是指误差在测量过程中的逐级传递和累积。
在物理实验中，误差往往从初始量测值开始，通过测量仪器、操作过程和数据处理等环节逐渐传递，最终影响实验结果。
因此，了解误差的传递规律对于保证实验结果的准确性至关重要。
误差的传递可以通过线性传递法和非线性传递法来进行处理。
线性传递法适用于误差随量值线性变化的情况，非线性传递法适用于误差随量值非线性变化的情况。
1.线性传递法对于线性误差传递，可以通过差值法和比值法来传递误差。
差值法是指将每个测量值的误差相加，然后得到最终的误差。
假设有两个测量量A和B，其误差分别为σA和σB，得到的结果C=A-B。
则结果C的误差σC为σC=√(σA^2+σB^2)。
比值法是指将每个测量值的误差相除，然后得到最终的误差。
假设有两个测量量A和B，其误差分别为σA和σB，得到的结果C=A/B。
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2
间接测量量的不确定度计算过程
1. 先写出各直接测量量 x 的不确定度Ux
2
F ln F F ( x , y , z ,...) 2.依据关系 求出 或 x x
或
F Ux 3. 用 U x
U
求
U
或
U
lnF Ux x
8
三、随机变量的分布
正态分布：大量相对独立因素共同作用下得到的随 机变量服从正态分布。物理实验中多次独立测量得 到的数据一般可以近似看作服从正态分布。
f (x)
2 1 1 x f (x ) exp 2 2
σ小
σ大
x
表示 x 出现概率最大的值，消除系统误差后， 通常
应估读一位。
26
4.有效数字的运算
规则:存疑数与存疑数运算是存疑数；存疑数与准确数运 算是存疑数；准确数与准确数运算是准确数；结果 保留一位存疑数。 实际运算按如下方法进行. (1)加减运算.结果末位以参与运算的末位最高的数为准。 如 11.4+2.56=14.0 75-10.356=65 (2)乘除运算.以参与运算的有效位数最少的数为准.考虑 乘法可能进位,结果可多取一位。 如 4000×9=3.6×104 2.000÷0.99=2.0 27
2 2 U UA UB (t
n )2 S x 2 仪 2
2 2 Sx 仪 13
二、测量结果的评价
完整的测量结果应表示为：
x x0 U (SI)
包括： 测量结果 测量对象的量值
测量的不确定度 测量值的单位
（x= x0 U 表示被测对象的真值落在(x0 U ， x0 U )范围内的概率很大， U的取值与一定的 置信概率相联系。)
2.修约规则：小于五舍、大于五入、逢五凑偶
例: 0.023644 13.0501
三位 三位
0.0236 13.0
21.1350
四位
21.14
对误差和不确定度,只入不舍
22
3.测量结果读数举例：
(1)直接测量量（原始数据）的读数应 反映仪器的精确度 游标类器具
（游标卡尺、分 光计度盘、大气 压计等）读至游 标最小分度的整 数倍，即不需估 读。
2 8.98
3 2.48
4 1.59
5 1.24
6 1.05
7 0.93
8 0.84
9 0.77
10 0.72
15 0.55
20 ∞ 0.47 1.96 n
当 5< n ≤10时，可简化认为 UA=Sx（置信概率95%）
B 类分量UB 主要由仪器的误差特点来决定. 1.96 均匀分布，置信概率为95%时 UB 仪 仪 3 不确定度的合成：
1.有效数字的概念
有效数字由准确数字和存疑数字组成。
21
读有效数字时要注意：
（1）一般在最小分度内估计一位(除特殊例外)； （2）有效数字的位数与小数点无关； 例: 0.0123 ——三位 12.3000 ——六位 （3）常用科学记数法。 例: 332.60m=0.33260km=3.3260×102m=3.3260×104cm
4
测量列的标准偏差为
S
( L L)
i 1 i
6
2
61
0.03mm
7.仪器误差限－仪器的最大允许误差 长度测量工具取其最小分度值的一半(游标卡 尺，螺旋测微器有另外的约定)； 取天平的最小分度为仪器误差限；
取秒表的最小分度为仪器误差限；
5
水银、酒精温度计的仪器误差限取最小分度的值一半； 指针式电压表、电流表 电阻箱近似取为
6
二、测量误差的分类
1.系统误差
定义：在重复性条件下，对同一被测量进行无限次测量 过程中所得结果的平均值与被测量的真值之差。 特征：系统误差以确定性规律表现出来。 产生原因：由于测量仪器、测量方法、环境带入 分类及处理方法： ①已定系统误差：必须修正。如：电表、螺旋测微计 的零位误差； 伏安法测电阻电流表内接、外接由于忽 略表内阻引起的误差。 ②未定系统误差：要估计出分布范围。如：螺旋测微 计的螺纹公差等（大致与 B 类不确定度UB 相当）。7
实际运用中,将测量的算术平均值当作约定真值.
2. 相对误差E
3. 偏差xi
n
x i x i x
E 100%
4. 标准误差 测量列中某次测量的标准误差.
lim
n 2 ( x ) i 1 i
n
为测量次数无穷时的平均值。
2
5. 标准偏差
假定对一个量进行了n次测量，测得的值为xi ， 可以用多次测量的算术平均值作为被测量的最 佳估计值
Sx
Sx n
( x x ) i i 1 n(n 1)
n
2
例：用50分度的游标卡尺测某一圆棒长度L，6次测量结 果如下（单位mm）：250.08，250.14，250.06, 250.10, 250.06, 250.10。求该测量列的最佳估计值和标准偏差。 解：测得值的最佳估计值为
L L 250.09mm
23
数显仪表及有 十进步式标度 盘的仪表（电
阻箱、电桥、电 位差计、数字电 压表等）一般应 直接读取仪表的 示值。
24
指针式仪表及 其它带刻度器 具，读数时估 读到仪器最小 分度的1/2～ 1/10，或使估 读间隔不大于 仪器基本误差 限的1/5～1/3。
25
注意指针指 在整刻度线 上时读数的 有效位数。
2 ( x x ) i 单次测量的标准偏差为 S x n1 此式称为贝塞耳公式。 n i 1
用标准偏差 S 表示测得值的分散性 Sx大，表示测得值很分散，测量的精密度低； Sx小，表示测得值很密集，测量的精密度高；
3
6.平均值的标准偏差
多次测量的算术平均值 差
x作也是随机变量，也有误
x x x0 0.250 0.006 0.244(mm)
测量列的标准偏差
S
2 2 2 2
2 ( x x ) i Байду номын сангаас 1 6
61
2
0.002mm
2
U U A U B s 仪 0.002 0.004 0.005mm
则：测量结果为 x=0.244±0.005mm
2. 随机误差
测量结果与测量平均值之差。 在多次重复测量中绝对值和符号以不可预知方式变化。 产生原因：实验条件和环境因素无规则的起伏变化， 引起测量值围绕真值发生涨落的变化。 例如：电表轴承的摩擦力变动、螺旋测微计测力在 一定范围内随机变化；操作读数时的视差影响。
特点：
①小误差出现的概率比大误差出现的概率大； ②多次测量时分布对称，具有抵偿性——因此取 多次测量的平均值有利于消减随机误差。
2 B
（实验教学中一般用总不确定度，置信概率取95%12 ）
•由于测量次数小，数据离散度大，测量结果将不符合正
态分布，而是符合t 分布（t 分布也叫学生分布， n 小时， t 分布偏离正态分布较多。n 大时趋于正态分布）。 tp Sx UA与t 分布的关系: U A n
n
t n
•不确定度的简化处理方法
4
4
合成
求UV 结果
UV UV V 9.436 0.0081 0.08cm 3 V
V=9.44±0.08cm3
20
§3 数据处理的基本知识
一、有效数字及其运算
在实验中我们所测的被测量都是含有误差的数值， 对这些数值不能任意取舍，应反映出测量值的准确 度。所以在记录数据、计算以及书写测量结果时， 应根据测量误差或实验结果的不确定度来定出究竟 应取几位有效位数。
i
2
x 2 x 2 3 x 3
P 0.68
n
P 0.95 P 0.99
10
§2 不确定度和测量结果的表示
不确定度的权威文件是国际标准化组织(ISO)、 国际测量局(BIPM)等七个国际组织1993年联合推出的 《测量不确定度表示指南ISO1993(E)》 不确定度表示由于测量误差存在而对被测量值不 能确定的程度。不确定度是一定概率下的误差限值。 不确定度反映了可能存在的误差分布范围，即随 机误差分量和未定系统误差的联合分布范围。 由于真值的不可知，误差一般是不能计算的，它 可正、可负也可能十分接近零；而不确定度总是不为 零的正值，是可以具体评定的。
2 2 2
和差形式
乘、除、指数形式
不确定度传播公式：
x y x y 或 x y k m x y
U U
2 2 Ux Uy
U
Uy Ux x y
2
2
2
Uy Ux 18 k x m y
14
测 量的分类
•测量分为直接测量和间接测量
直接测量指无需对被测的量与其它实测的量进行函
数关系的辅助计算而可直接得到被测量值的测量；
间接测量指利用直接测量的量与被测量之间的已知
函数关系经过计算从而得到被测量值的测量。
•任何测量都可能存在误差（测量不可能无限准确)。
15
1.直接测量结果的评价
• 结果表示： 以测量列 x 的平均值 再修正掉已定系统误差项′
测量误差与数据处理的基础知识
§1 测量与误差
误差 ＝ 测量值－真值 误差特性：普遍性、误差是小量 由于真值的不可知，误差实际上很难计算 （有时可以用准确度较高的结果作为约定 真值来计算误差）
1
一、测量误差的概念 1. 绝对误差 测量结果与被测量的真值的差为测量误差，又 称绝对误差。 xi 0