素数个数“区间下限”公式
判断一个数是素数
如何判断一个数是素数？
C/C++
基本思想
判断一个整数m是否为素数，只需用2~m-1之 间的每一个整数去除，如果都不能被整除，那 么m就是一个素数。 其实可以简化，m不必被2~m-1之间的每一个 整数去除，只需被2~ m 之间的每个数去除就 可以了。例如判别17是否为素数，只需使2~4 之间的每一个整数去除。为什么可以做如此简 化呢？因为如果m能被2~m-1之间任意整数整 除，如果这个数大于 m ，那这个数必定对应 的还有一个比 m 小的因子（以16为例，2、8是 它的因子，8大于4，2小于4）。
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else
{
printf("FALSE\n"); } return 0; } char isPrime(int n) { int i; char c=TRUE; if(n==2){ c=TRUE;} else if(n>2) { if(n%2==0) {c=FALSE;}
• if (t%5==0) //每输出5个素数后换行； • printf ("\n"); //字符输出函数； • } • } • printf("\n"); • • printf("1-100内共有以上%d个质数（素数）。\n", t);
素数的求法
1.素数：一个只有两个因子（1和本身）的大于1自然数，最小的素数为2；2.按定义来判断某个数n是否为素数。
1.解题思路:判断在2-sqrt（n）的范围内是否有n的因子。
如果有，则该数不为素数（即合数）；否则该数就为素数。
2.代码：#includeusing namespace std;bool isPrime(int n){bool prime= true;for(int i=2;i*i<=n;i++)if(n%i==0) //nhas another divisor except 1 and n{prime= false;break;}return prime;}int main( ){int n;cin>>n;if(isPrime(n))cout<<"yes"<<endl;elsecout<<"no"<<endl;return 0;}时间效率为：O(sqrt(n))；*但是当要联系判断多个数是否为素数时，这种方法的效率就太低了。
下面介绍另外一种效率略高的方法3.筛选法求素数：如果要连续判断大量的数是否为素数时，用筛选法是一种不错的方法，但是也有缺点（这点稍后再谈）：在介绍这种方法之前，你必须要明白任何一个素数都可以由多个合数组成。
1.解题思路：1.创建一个长度为n的数组，数组的下标就表示相应的数，其内的值表示该数是否为素数（0表示不是素数，1表示是素数）。
2.将下标为0和下标为1的数组内的内容标为0；3.从2开始，直到p(2<=p<=sqrt(n)),把所有的kp（kp<=n，k=2,3……）都标记为0（即为合数）。
4.输出数组中值为1的数的下标（即为1-n中所有的素数）2.代码：#includeusing namespace std;void isPrime(int *prime,int n){for(int i=2;i*i<=n;i++){if(prime[i]) //从素数开始{for(int j=2*i;j<=n;j+=i) //下标为素数的倍数的数为a合数 prime[j]=0;}}}int main(){int prime[101];for(int i=0;i<101;i++){prime[i]=1;}prime[0]=0;prime[1]=0;isPrime(prime,100);for(int i=0;i<101;i++)if(prime[i]==1) //1表示素数，0表示合数cout<<i<<endl;return 0;}这种算法的时间复杂度小于n*sqrt(n);这种方法有一个缺陷：1.如果判断1000个数是否为素数，但是这些数分布在（1*10^8,1*10^9）范围内时，会造成极大的空间浪费。
素数与算术基本定理
Z ( 5i) {a b 5i : a, b Z } 6 2 3 (1 5i)(1 5i)
a 的标准分解式 s 1 2 设 a 1, 则 a p1 p2 ps 其中 pi 是互不相同的素数, i 0.
a pa1
pa b , p | b , p | b,
2 1 2 2
这与 ( a, b) 1 矛盾.
例3 设 a 0, n 0, 且
s i 1 n
a 的标准分解式为
mi i
ap
是全体素数. 令 N p1 p2 pk 1,设
q是 N
的素因数, 则 q p1 , p2 ,, pk . 这是因为若
q pi , 就有 q | 1, 这与 q 是素数矛盾.
推论 设 pn是第 n 个素数, 则
pn1 p1 p2 pn 1.
厄拉多塞 (Eratosthenes)筛法 求不超过 N 的全体素数: 首先列出不超过 N 的所有素数. 设为
则
j | (n 1)! j, j 2,, n 1.
算术级数中的素数
(Dirichlet,1837) 若正整数 a, b 互素, 则 存在无穷多形如
a bn 的素数.
Green-Tao 定理
存在长度为 k 等差为 k素数列 如
56211383760397 44546738095860k , k 0,1,,22.
素数
算术基本定理
a 的正因数只有1和它本身, 则 a 称为素数, 否则 a 称为合数.
1
正整数 素数
定义1 设 a 1, 若
2, 3, 5,
唯一的 偶素数
素数公式
素数公式素数公式，在数学领域中，表示一种能够仅产生素数的公式。
即是说，这个公式能够一个不漏地产生所有的素数，并且对每个输入的值，此公式产生的结果都是素数。
根据素数的一个定义：“若自然数n不能被不大于根号n任何素数整除，则n是一个素数”。
[1]这个公式可以一个不漏地产生所有素数，而不会混入一个合数。
例如29，29不能被不大于根号29的素数2，3，5整除，29=2×14+1=3×9+2=5×5+4。
29小于7²=49，所以29是一个素数。
目录1 多项式形式的素数公式2 丢番图方程形式的素数公式3 带高斯函数的素数公式3.1 Mills 公式3.2 威尔逊定理的利用3.3 另一个用高斯函数的例子4 递推关系5 其他公式6 参见7 参考文献多项式形式的素数公式可以证明，一个多项式P(n)，如果不是常数的话，不会是一个素数公式。
证明很简单：假设这样的一个多项式P(n)存在，那么P(1)将是一个素数p。
接下来考虑P(1+ kp)的值。
由于，我们有。
于是P(1 + kp)是p的倍数。
为了使它是素数，P(1 + kp)只能等于p。
要使得这对任意的k都成立，P(n)只能是常数。
应用代数数理论，可以证明更强的结果：不存在能够对几乎所有自然数输入，都能产生素数的非常数的多项式P(n)。
欧拉在1772年发现，对于小于40的所有自然数，多项式P(n) = n2 + n + 41的值都是素数。
对于前几个自然数n = 0, 1, 2, 3……，多项式的值是41, 43, 47, 53, 61, 71……。
当n等于40时，多项式的值是1681=41×41，是一个合数。
实际上，当n能被41整除的时候，P(n)也能被41 整除，因而是合数。
这个公式和所谓的质数螺旋（en:Ulam spiral）有关。
实际上，欧拉发现了这样一个事实：a0+0=a1,a1+2=a2,a2+4=a3,a3+6=a4,...,a（a0）.到a(a0)一项就是合数,其它都是素数。
素数个数公式及有关猜想证明
素数个数公式及有关猜想证明引理：若21=p ,32=p ，…j p …,i p ,为连续素数，1≤j ≤i,且j p | n ，1≤m ≤n ，则 m ≠0(mod j p ) 的数的个数)(n y i 可表示为∏=-⋅=ij ji p n n y 1)11()(. 证明：I.当i=1时,∵ 1p =2 , 1p |n ∴ )11()211(2)(11p n n n n n y -⋅=-⋅=-= 结论成立。
Ⅱ.假设i=k 时，结论成立，即：∏=-⋅=kj jk p n n y 1)11()( 成立。
当i=k+1时，∵ 1p |n ，2p |n ，…， k p |n ，据归纳假设 ∴ ∏=-⋅=kj jk p n n y 1)11()( 因为1+k p |n ，所以 m=o (mod 1+k p ) 的数有1+k p n个， 去了k p p p ,,,21 的倍数后，余 ∏=+-⋅kj jk p p n 11)11( 个 ∴ ∏∏=+=+-⋅--⋅=kj j k kj j k p p n p n n y 1111)11()11()()11()11(11+=-⋅-⋅=∏k kj j p p n ∏+=-⋅=11)11(k j j p n∴ i=k+1时，结论 ∏+=+-⋅=111)11()(k j jk p n n y 成立。
由I 、Ⅱ，当i 为任何正整数，结论都成立。
引理证毕。
定理1：（素数个数连乘积式公式）：若21=p ,32=p ，…k p …,i p为连续素数，0≤k ≤i 且k pn 的素数个数记为π(n)，则有公式π（n ）=2+ 221111()(1)k ik k k j j p p p λ+==⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∏+g(n)其中g(n)满足：－)(1+i p π<g(n)< )(1+i p π,λ微单减。
证明： ∵ n ＝1+(4－1)+(9－4)+(25－9)+…+)(221k k p p -++…+)(2i p n - 区间 (212,+k k p p )的整数去掉21=p ,32=p ，…k p 的倍数后，余下全为素数。
素数个数公式及有关猜想证明
素数个数公式及有关猜想证明引理：若21=p ,32=p ，…j p …,i p ,为连续素数，1≤j ≤i,且j p | n ，1≤m ≤n ，则 m ≠0(mod j p ) 的数的个数)(n y i 可表示为∏=-⋅=ij ji p n n y 1)11()(. 证明：I.当i=1时,∵ 1p =2 , 1p |n ∴ )11()211(2)(11p n n n n n y -⋅=-⋅=-= 结论成立。
Ⅱ.假设i=k 时，结论成立，即：∏=-⋅=kj jk p n n y 1)11()( 成立。
当i=k+1时，∵ 1p |n ，2p |n ，…， k p |n ，据归纳假设 ∴ ∏=-⋅=kj jk p n n y 1)11()( 因为1+k p |n ，所以 m=o (mod 1+k p ) 的数有1+k p n个， 去了k p p p ,,,21 的倍数后，余 ∏=+-⋅kj jk p p n 11)11( 个 ∴ ∏∏=+=+-⋅--⋅=kj j k kj j k p p n p n n y 1111)11()11()()11()11(11+=-⋅-⋅=∏k kj j p p n ∏+=-⋅=11)11(k j j p n∴ i=k+1时，结论 ∏+=+-⋅=111)11()(k j jk p n n y 成立。
由I 、Ⅱ，当i 为任何正整数，结论都成立。
引理证毕。
定理1：（素数个数连乘积式公式）：若21=p ,32=p ，…k p …,i p为连续素数，0≤k ≤i 且k pn 的素数个数记为π(n)，则有公式π（n ）=2+ 221111()(1)k ik k k j j p p p λ+==⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∏+g(n)其中g(n)满足：－)(1+i p π<g(n)< )(1+i p π,λ微单减。
证明： ∵ n ＝1+(4－1)+(9－4)+(25－9)+…+)(221k k p p -++…+)(2i p n - 区间 (212,+k k p p )的整数去掉21=p ,32=p ，…k p 的倍数后，余下全为素数。
【数学问题】区间素数
【数学问题】区间素数区间素数是指在给定的一个闭区间[a,b]内，存在多少个素数。
素数是指只能被1和它本身整除的正整数。
要求区间素数，可以使用埃拉托斯特尼筛法，该算法的基本思想是：从2开始，将每个数的倍数标记为合数，然后在未被标记的数中找到素数。
以下是一个使用Python 实现的埃拉托斯特尼筛法的示例代码：```pythondef sieve_of_eratosthenes(n):primes = [True for i in range(n+1)]p = 2while(p * p <= n):if(primes[p]):for i in range(p * p, n+1, p):primes[i] = Falsep += 1prime_numbers = [p for p in range(2, n+1) if primes[p]]return prime_numbersa, b = 2, 100prime_numbers = sieve_of_eratosthenes(b)count = sum(1 for p in prime_numbers if a <= p <= b)print(count)```在上述代码中，我们首先定义了一个名为`sieve_of_eratosthenes`的函数，用于生成一个从2到给定范围内的所有素数的列表。
然后，我们定义了一个闭区间[a,b]，并调用`sieve_of_eratosthenes`函数生成该区间内的素数列表。
最后，我们使用`sum`函数计算该区间内素数的数量，并将结果打印出来。
当a=2，b=100时，运行上述代码将输出`26`，表示在[2,100]这个区间内有26个素数。
素数个数公式及其推论
素数个数公式及其推论素数，这玩意儿在数学的世界里就像是特立独行的“独行侠”，神秘又有趣。
今天咱们就来好好聊聊素数个数公式及其推论。
我记得有一次给学生们讲素数的课，有个小家伙瞪着大眼睛问我：“老师，素数到底有啥用啊？”我笑了笑，给他举了个例子。
我说：“假设咱们要把一堆苹果平均分，但是只能分成完整的份数，不能有切开的半个苹果。
如果苹果的总数是个素数，那就只能分成 1 份和它本身那么多份，是不是很特别？”小家伙似懂非懂地点点头。
咱们先来说说素数个数公式。
素数个数公式其实就是用来计算在某个范围内素数个数的。
就好像你要在一堆糖果里找出巧克力糖有几颗一样，这个公式就是帮咱们找出素数有多少个的工具。
它大概长这样：π(x) ≈ x / ln(x) 。
这里的π(x)表示不超过 x 的素数的个数，ln(x) 是自然对数。
可别被这看起来有点复杂的式子吓到，其实它背后的道理挺简单的。
比如说，咱们要算 100 以内有多少个素数。
把 100 代进去，就能大概估计出素数的个数。
不过这只是个近似值哦，不是完全准确的，但在很多情况下已经能给咱们提供很有用的参考了。
那素数个数公式又有啥推论呢？这可就有趣啦！其中一个推论就是，随着数字越来越大，素数会变得越来越稀少。
想象一下，就好像在一个大果园里找特别珍贵的水果，越往深处走，找到的难度就越大。
还有一个推论是关于素数之间的间隔的。
有时候两个相邻的素数之间的差距可能会很大，有时候又会比较小，没有固定的规律。
这就像是在操场上跑步，有时候你跨的步子大，有时候步子小，但总体还是在向前跑。
再回到咱们开始说的那个课堂上的小家伙。
后来做作业的时候，他居然自己用这个公式算了几个数，虽然过程有点小错误，但那股认真劲儿真让我欣慰。
总之，素数个数公式及其推论虽然看起来有点复杂，但只要咱们耐心琢磨，就会发现其中的乐趣和奥秘。
就像在一个神秘的宝藏洞穴里探险，每往前走一步，都可能有新的惊喜在等着咱们。
希望大家都能在数学的世界里，找到属于自己的那份乐趣和惊喜！。