素数普遍公式
素数普遍公式
素数普遍公式目录[][]一、引言2000连年前在证明素数无穷多时就埋下了寻求素数普遍公式的伏笔素数普遍公式文章出处，以布劳维尔为首的直觉主义学派以为：“你没有给出第n个素数是如何构造的，就不能算是好的证明”。
2000连年来，数论学最重要的一个任务，确实是寻觅素数普遍公式，为此，一代又一代数学精英，花费了庞大的心血，始终未获成功。
曾想用他的ζ函数数的“零点”来逼近素数普遍公式，至今未获成功。
也有人反向试探，用素数普遍公式逼近“零点”来解决。
在1900年的上说：对黎曼公式进行了完全讨论以后，或许就能够够严格解决哥德巴赫问题和孪生素数问题。
实际在哲学上，只要有一个明确的概念，就应该有一个公式。
[]二， 素數普遍公式公元前250年同樣是古希臘的數學家埃拉托塞尼發明了一種篩法：（一） 要取得不大於某個自然数n 的所有素數，只要在2---n 中將不大於.n 的素數的倍數全数劃去即可。
（《自然杂志》1991年11期）（二） 由（一）能够推出定理： “ 假设n 是合数，那么它有一个因子d 知足1<d ≤.n ”。
（关于这必然理讀者能够參見《基礎數論》13页，U 杜德利著，上海科技出版社）。
（三） 由（二）那个定理的反面能够推出定理：“ 假设自然數n 不能被不大于n的任何素數整除，那么n 是素数”。
（关于那个定理能够參見《代數學辭典》259页上海教育出版社）因此定理的内容發生了等價轉換。
（四） 咱们還能够把（三）这一段漢字转换成為英語字母的等價形式：（关于那个轉換讀者能够參見《談談素數表達式》）(中等數學)1999年2期吴振奎教授） k k k a m p a m p a m p n +==+=+= 222111 。
（1） 這裡1p ，2p ，…表示順序素數2，3，5，…。
i a =1，2，…，i p －1。
也确实是i a 不等於0，若，k p n 12+<则n 是素數。
（五） 公式（1）还能够等價轉換成同余式组形式：（六） )(mod ,)(mod ),(mod 2211k k p a n ，p a n p a n ≡≡≡ 。
《关于素数公式素数定理哥德巴赫猜想的初等证明》
《关于素数公式素数定理哥德巴赫猜想的初等证明》素数公式是指对于给定的正整数n，小于等于n的素数的个数近似等于n/ln(n)，其中ln(n)表示自然对数。
素数定理是指当n趋向于无穷大时，小于等于n的素数的个数π(n)近似等于n/ln(n)。
公式中的π(n)表示小于等于n的素数的个数。
哥德巴赫猜想是指任意大于2的偶数都可以表示为两个素数之和。
首先证明素数公式。
定义函数S(n)为小于等于n的素数的个数。
我们需要证明当n趋向于无穷大时，S(n)在数学意义下近似等于n/ln(n)。
我们知道，当n越趋近于无穷大时，自然对数ln(n)也趋近于无穷大。
设m为一个足够大的正整数，使得ln(n) >= m。
我们将区间[2,n]均分为m个子区间，每个子区间的长度为(L=n-2)/m。
对于每个子区间，我们选择一个整数ni作为代表，使得ni落在这个子区间内，并且ni是最接近该子区间中点的整数。
由于n趋向于无穷大，我们可以得到ni一定存在。
我们定义T(m)为小于等于n的素数中，满足ni是素数的个数。
显然T(m) <= S(n)，因为ni只是小于等于n的素数中的一个子集。
我们对于每一个ni都检查它是否是素数，最简单的方法是对所有小于等于√ni的正整数k，检查ni是否能被k整除。
若存在整数k使得ni被k整除，则ni不是素数；若不存在这样的整数k，则ni是素数。
现在我们来估计T(m)的上界。
对于每个ni，我们需要进行√ni次的整除运算。
所以，总的运算次数为Sqrt(n1) + Sqrt(n2) + ... +Sqrt(nm)。
由于ni是区间中点附近的整数，所以我们可以将每个Sqrt(ni)近似为Sqrt(L/m) = Sqrt((n-2)/m)。
所以总的运算次数可以近似为m*Sqrt(L/m) = (n-2)*Sqrt(m/(n-2))。
当n趋向于无穷大时，这个运算次数的上界也趋于无穷大。
所以S(n)在数学意义下近似等于n/ln(n)。
素数分布五大规律
素数分布五大规律寻找素数分布的规律和秩序，一直是数学家们研究和探索的重大课题，至今并无多大进展。
国际数学界公布千禧年数学难题时曾公认：“质数在整个自然数中分布不遵循任何规则和模式。
”但是，《全素数表》的发现和证明颠覆了人们对素数认知的传统观念和方法，素数在自然数中的分布规律应该可以大白于天下了。
《全素数表》水到渠成地推出“素数分布五大规律”，改变了人类长时期以来总认为素数分布无规可循的传统观念，结束了几千年人们没有公式代替筛法计算素数的历史，实现了高斯在自然数中“把素数和合数鉴别开来”的生前愿望。
人类久攻不克的三大数学猜想，长期困扰和争论不休的许多历史遗留问题，在《全素数表》理论框架下，都会转化为普通排列的客观现象，得到客观合理的解释和证明，《全素数表》才是打开素数大门的金钥匙！本文特将“素数分布五大规律”向社会发布，供读者享用。
规律1、素合分流律《n级自然数表》提升的极限是两个无限逼近100%的《全素数表》和《全合数表》的有机组合。
规律2：素数对称律（1）素数总是以△=〔m1m2…m n〕为公变周期，沿着△和△/2轴线，反复无穷地等距离对称出现。
虽然不可回避有对称性破坏，但这种对称破坏率会随着n值无限提升而无限向零靠拢，素数对称率无限逼近100%。
规律3、素数对称律（2）（或称：哥德巴赫定理）以任意自然数N（包括0和1）为原点的项标轴正、负方向两端等距离对称分布着无穷的素数对，周期性，反复无穷地合成2N。
规律4、素数极限分布律《n级素数表》提升的极限是一个横平竖直，整齐排列，有规律（呈等差数列纵队），有秩序（从m n+1起由小到大）的大于m n的原生态《全素数表》往无穷方向延伸。
（附素数极限公式分布图于后）规律5、素数普遍公式设△=〔m1m2…m n〕是n个顺序素数的最小公倍数，m n+1是第n+1个素数，任意非1自然数N若满足：（N △）=1 且N＜m2n+1则N一定是新生素数。
规律5可以说是黎曼公式最好的结果，我们不一定要知道N内有多少个素数，我们只要知道第n个自然数是不是素数就行了。
素数公式
素数公式素数公式，在数学领域中，表示一种能够仅产生素数的公式。
即是说，这个公式能够一个不漏地产生所有的素数，并且对每个输入的值，此公式产生的结果都是素数。
根据素数的一个定义：“若自然数n不能被不大于根号n任何素数整除，则n是一个素数”。
[1]这个公式可以一个不漏地产生所有素数，而不会混入一个合数。
例如29，29不能被不大于根号29的素数2，3，5整除，29=2×14+1=3×9+2=5×5+4。
29小于7²=49，所以29是一个素数。
目录1 多项式形式的素数公式2 丢番图方程形式的素数公式3 带高斯函数的素数公式3.1 Mills 公式3.2 威尔逊定理的利用3.3 另一个用高斯函数的例子4 递推关系5 其他公式6 参见7 参考文献多项式形式的素数公式可以证明，一个多项式P(n)，如果不是常数的话，不会是一个素数公式。
证明很简单：假设这样的一个多项式P(n)存在，那么P(1)将是一个素数p。
接下来考虑P(1+ kp)的值。
由于，我们有。
于是P(1 + kp)是p的倍数。
为了使它是素数，P(1 + kp)只能等于p。
要使得这对任意的k都成立，P(n)只能是常数。
应用代数数理论，可以证明更强的结果：不存在能够对几乎所有自然数输入，都能产生素数的非常数的多项式P(n)。
欧拉在1772年发现，对于小于40的所有自然数，多项式P(n) = n2 + n + 41的值都是素数。
对于前几个自然数n = 0, 1, 2, 3……，多项式的值是41, 43, 47, 53, 61, 71……。
当n等于40时，多项式的值是1681=41×41，是一个合数。
实际上，当n能被41整除的时候，P(n)也能被41 整除，因而是合数。
这个公式和所谓的质数螺旋（en:Ulam spiral）有关。
实际上，欧拉发现了这样一个事实：a0+0=a1,a1+2=a2,a2+4=a3,a3+6=a4,...,a（a0）.到a(a0)一项就是合数,其它都是素数。
素数个数公式及有关猜想证明
素数个数公式及有关猜想证明引理：若21=p ,32=p ，…j p …,i p ,为连续素数，1≤j ≤i,且j p | n ，1≤m ≤n ，则 m ≠0(mod j p ) 的数的个数)(n y i 可表示为∏=-⋅=ij ji p n n y 1)11()(. 证明：I.当i=1时,∵ 1p =2 , 1p |n ∴ )11()211(2)(11p n n n n n y -⋅=-⋅=-= 结论成立。
Ⅱ.假设i=k 时，结论成立，即：∏=-⋅=kj jk p n n y 1)11()( 成立。
当i=k+1时，∵ 1p |n ，2p |n ，…， k p |n ，据归纳假设 ∴ ∏=-⋅=kj jk p n n y 1)11()( 因为1+k p |n ，所以 m=o (mod 1+k p ) 的数有1+k p n个， 去了k p p p ,,,21 的倍数后，余 ∏=+-⋅kj jk p p n 11)11( 个 ∴ ∏∏=+=+-⋅--⋅=kj j k kj j k p p n p n n y 1111)11()11()()11()11(11+=-⋅-⋅=∏k kj j p p n ∏+=-⋅=11)11(k j j p n∴ i=k+1时，结论 ∏+=+-⋅=111)11()(k j jk p n n y 成立。
由I 、Ⅱ，当i 为任何正整数，结论都成立。
引理证毕。
定理1：（素数个数连乘积式公式）：若21=p ,32=p ，…k p …,i p为连续素数，0≤k ≤i 且k pn 的素数个数记为π(n)，则有公式π（n ）=2+ 221111()(1)k ik k k j j p p p λ+==⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∏+g(n)其中g(n)满足：－)(1+i p π<g(n)< )(1+i p π,λ微单减。
证明： ∵ n ＝1+(4－1)+(9－4)+(25－9)+…+)(221k k p p -++…+)(2i p n - 区间 (212,+k k p p )的整数去掉21=p ,32=p ，…k p 的倍数后，余下全为素数。
素数通项公式
素数通项公式素数通项公式是指能够表示出所有素数的通项公式。
素数是指大于1且只能被1和自身整除的自然数，如2、3、5、7等。
对于素数的研究在数学领域具有重要的意义，因为素数是构成其他整数的基本单位，也是许多数论问题的核心。
素数通项公式的提出，可以帮助数学家们更好地理解素数的特性和分布规律。
然而，目前还没有找到一种通用的素数通项公式，能够准确地表示出所有的素数。
这是因为素数的分布规律非常复杂，迄今为止仍然是数论领域的一个未解之谜。
尽管没有找到通用的素数通项公式，但是数学家们已经发现了一些特殊情况下的素数通项公式。
例如，欧拉在18世纪提出了欧拉函数，它可以计算出给定正整数n的素数个数。
欧拉函数的公式中包含了一些特定的数学函数，如幂函数、对数函数等。
数学家们还发现了一些与特定数学函数相关的素数通项公式。
例如，费马素数是指形如2^(2^n)+1的素数，其中n是非负整数。
费马素数通项公式可以表示出所有费马素数。
然而，费马素数通项公式只能得到一部分费马素数，而不能得到全部。
除了特殊情况下的素数通项公式，数学家们也通过计算机模拟和数值计算等方法，得到了大量的素数。
通过这些数值数据，他们可以研究素数的性质和规律。
例如，素数定理是指当自然数n趋向无穷大时，素数的个数近似等于n/ln(n)。
这个定理为研究素数的分布规律提供了一个重要的参考。
尽管目前还没有找到通用的素数通项公式，但是数学家们的研究工作仍在继续。
他们希望通过理论推导和数值计算等方法，找到更多的素数通项公式，揭示素数的奥秘。
同时，他们也希望通过研究素数的特性和分布规律，解决一些与素数相关的数论难题，如哥德巴赫猜想、黎曼猜想等。
素数通项公式是数学领域一个重要的课题，它可以帮助我们更好地理解素数的特性和分布规律。
虽然目前还没有找到通用的素数通项公式，但是数学家们的研究工作仍在不断进行。
他们希望通过研究素数的特性和分布规律，揭示素数的奥秘，解决一些与素数相关的数论难题。
素数与奇合数规律-运动论网站
吉林省版权局作登字：07-2005-A-271号素数与奇合数规律(素数普遍公式)The laws of prime number andodd composite number爱新觉罗·熙国维二○○四年二月七日深圳前 言欧几里得约在公元前330～275年提出表达素（质）数的数学规律，至今2200多年间，人们的努力均未能果。
《运动论》的“数的全息律”告知我们：数学中的无穷大只是相对无穷大，不是绝对无穷大，追求绝对无穷大的数是不可能的，也是错误的。
无穷的概念，实质上就是运动的概念，当然，数也就在运动中诞生，首当者是无理数，整数只是夹杂在其中的点点滴滴。
也是《运动论》在鲁卡斯（Lucas ）数中找到了“新的余数公式（M ）式”，并由它衍生出： r M r /α=——（M ）2/)15(2/1+=αr — 奇数素数与奇合数的诸多规律。
素数与奇合数的判别一、除法与筛法1．被除数b 被a 数除，得商数q ，其间的关系以分数形式表为q ab= ——(q )当a 、b 、q 都是正整数时，称b 可被a 整除。
此时形象地把除法关系比喻作“筛子”，b 可被a 除，比喻作可被a “筛掉”，得q 。
2．当b 不能被a 整除时，有关系式 c q a b +∙=——(b )a c <≤1，c 正整数即b 不能被a 整除，或说，b 无整数因子。
比喻作b 不能被a “筛掉”。
3．我们把二项式展开式的系数公式称为“二项式系数筛子”：q KK n n n n n K =∙∙∙----=4321)]1([)2)(1()(q 正整数分母为K 个递升的阶乘数；分子为K 个递降的连乘数；n 为二项式的乘方数（指数）；K 为二项式展开式的项数。
4.正整数N 的最小素数因子不大于N 。
以小于或等于N 的整数除N ，可以很快确知N 数有无整数因子。
埃拉托色奈斯(Eratosthenes)最早以这种除法建立了素数“筛子”。
二、素数与合数定义1．一个正整数，只能被1与其自身整除，则该数为素数（质数）；或者，一个正整数只有1与其自身两个因子，该数称为素数。
素数的规律公式
素数的规律公式素数，这两个字听起来是不是有点神秘？就好像藏在数学森林深处的宝藏，等待着我们去探索和发现。
我还记得，有一次我在课堂上给学生们讲素数的知识。
当时，有个小男生瞪着大眼睛，一脸疑惑地问我：“老师，素数到底有啥规律啊？为啥要研究它？”这可把班上的同学都逗乐了。
我笑着回答他：“别急别急，这就像解开一个神秘的密码，咱们一步步来。
”那咱们先来说说啥是素数。
素数啊，就是只能被 1 和它自身整除的正整数。
比如说 2、3、5、7 这些。
可别小看这些数字，它们藏着好多有趣的规律呢！要找到素数的规律公式，这可不是一件容易的事儿。
数学家们可是费了好大的劲儿。
就拿筛选法来说吧，咱们从 2 开始，把 2 的倍数都划掉，然后再找下一个没被划掉的数，也就是 3，再把 3 的倍数划掉，以此类推。
这个过程就像是在一堆数字里挑珍珠，一颗一颗地筛选出素数。
还有一个有趣的规律，那就是素数之间的间隔似乎没有什么明显的规律。
有时候两个素数挨得很近，有时候又隔得老远。
比如说 2 和 3就紧挨着，可 7 和 11 之间就隔了一个 9 。
这就像是数字们在玩捉迷藏，你永远不知道下一个素数会藏在哪里。
再来说说著名的哥德巴赫猜想，它说的是任何一个大于 2 的偶数都可以写成两个素数之和。
这个猜想就像是一座数学的高峰，吸引着无数数学家去攀登。
虽然到现在还没有被完全证明，但大家一直在努力。
在研究素数的过程中，我们会用到很多数学方法和工具。
比如数学归纳法，通过一步步的推理来证明一些关于素数的结论。
还有解析数论，用复杂的函数和公式来探索素数的分布规律。
回到咱们最开始提到的那个小男生的问题，研究素数到底有啥用呢？其实啊，素数在密码学里可是有着至关重要的作用。
现在的网络安全、信息加密都离不开素数的规律。
想象一下，如果没有素数的这些特性，我们的网络世界可能就会变得不安全，那可就麻烦啦！总之，素数的规律公式就像是一个神秘的宝藏，虽然寻找的过程充满了挑战，但每一次的发现都能让我们对数学的世界有更深刻的理解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
素数普遍公式目录[隐藏]一、引言二、素数普遍公式三、素数的个数四、公式的用途五、素数普遍公式在认识形成中的作用和意义思考题一、引言二、素数普遍公式三、素数的个数四、公式的用途五、素数普遍公式在认识形成中的作用和意义思考题[编辑本段]一、引言2000多年前欧几里德在证明素数无穷多时就埋下了寻求素数普遍公式的伏笔素数普遍公式，以布劳维尔为首的直觉主义学派认为：“你没有给出第n个素数是如何构造的，就不能算是好的证明”。
2000多年来，数论学最重要的一个任务，就是寻找素数普遍公式，为此，一代又一代数学精英，耗费了巨大的心血，始终未获成功。
黎曼曾想用他的ζ函数数的“零点”来逼近素数普遍公式，至今未获成功。
也有人反向思考，用素数普遍公式逼近“零点”来解决黎曼猜想。
希尔伯特在1900年的国际数学家大会上说：对黎曼公式进行了彻底讨论之后，或许就能够严格解决哥德巴赫问题和孪生素数问题。
实际在哲学上，只要有一个明确的定义，就应该有一个公式。
[编辑本段]二、素数普遍公式公元前250年同样是古希腊的数学家埃拉托塞尼提出一种筛法：（一）“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N中将不大于√N的素数的倍数全部划去即可”。
（二）将上面的内容等价转换：“如果N是合数，则它有一个因子d满足1<d≤√N”。
（《基础数论》13页，U杜德利著，上海科技出版社）。
.（三）再将（二）的内容等价转换：“若自然数N不能被不大于(根号)√N的任何素数整除，则N是一个素数”。
见（代数学辞典[上海教育出版社]1985年。
屉部贞世朗编。
259页）。
（四）这句话的汉字可以等价转换成为用英文字母表达的公式：N=p1m1+a1=p2m2+a2=......=p k m k+a k 。
(1)其中p1，p2，.....，p k表示顺序素数2，3，5，,,,,。
a≠0。
即N不能是2m+0，3m+0，5m+0，...，p km+0形。
若N<P（k+1）的平方[注：后面的1，2，3，....，k，（k+1）是脚标，由于打印不出来，凡字母后面的数字或者i与k都是脚标] ，则N是一个素数。
（五）可以把（1）等价转换成为用同余式组表示：N≡a1(modp1)，N≡a2(modp2)，.....，N≡ak(modpk)。
(2)例如，29，29不能够被根号29以下的任何素数2，3，5整除，29=2x14+1=3x 9+2=5x5+4。
29≡1(mod2)，29≡2(mod3)，29≡4(mod5)。
29小于7的平方49，所以29是一个素数。
以后平方用“*”表示，即：㎡=m*。
由于（2）的模p1，p2，....，pk 两两互素，根据孙子定理(中国剩余定理）知，（2）在p1p2.....pk范围内有唯一解。
例如k=1时，N=2m+1，解得N=3，5，7。
求得了（3，3*）区间的全部素数。
k=2时，N=2m+1=3m+1，解得N=7，13，19；N=2m+1=3m+2，解得N=5，1 1，17，23。
求得了（5，5*）区间的全部素数。
k=3时,---------------------| 5m+1-|- 5m+2-| 5m+3,| 5m+4.|---------------------|---------|----------|--------|---------|n=2m+1=3m+1= |--31----|--7, 37-|-13,43|--19----|n=2m+1=3m+2= |-11,41-|-17,47-|--23---|---29---|------------------------------------------------------------求得了（7，7*）区间的全部素数。
由孙子定理知，（1）式和（2）式在p1p2....pk范围内有(2-1)(3-1)（5-1）....(p k-1)个解，两式的本质是从p1p2....pk中除去pm（m〉1)的合数，这一点与埃拉托塞筛法不同，埃氏筛是用p1，p2，...，pk去筛p(k+1)平方以内的合数，剩下的就是p* (k+1)以内的素数了。
例如用2，3，5，去筛49以内的合数，剩下的就是（7，7*）区间的素数了。
但是，（1）（2）式是用p1，p2，..，pk 去筛p1p2...pk以内的pi m（i≤k)形的数，连同p1，p2，...，pk也筛掉了。
切比雪夫证明了“p*(k+1)<p1p2...pk对于由4开始的所有的K 都是对的。
例如，3*>2，5*>2×3，7*>2×3×5，11*<2×3×5×7。
从11开始都是这样了。
（参见[数学欣赏]汉斯拉德海著220页“数30的一个性质”北京出版社1981.6）所以，若K≥4时，（1）（2）式的计算结果只能取p(k+1)平方以内的值才是素数。
k=4时,- -------------------------- |7m+1 |7m+2 |7m+3 | 7m+4|7m+5 | 7m+6 |-----------------------------|--------|--------|--------|-------|--------|---------|-n= 2m+1=3m+1=5m+1=|-- 1 -- |-121- |-- 31--|- 151-|--61--|-181-- |------------------------------|-------|--------|--------|-------|--------|---------|-n= 2m+1=3m=1=5m+2=|-127-|--37-- |--157--|-67--|-187-- |-- 97-- |------------------------------|- -----|--------|--------|-------|--------|---------|-n= 2m+1=3m+1=5m+3=|--43--|--163-|--73---|-193-|-103--|--13----|------------------------------|-------|--------|--------|-------|--------|---------|-n= 2m+1=3m+1=5m+4=|-169-|--79--,|-199-- |-109-|--19---|-139---|------------------------------|-------|--------|--------|-------|--------|---------|-n= 2m+1=3m+2=5m+1=|--71--|-191--|-101--|--11--|-131--|--41----|------------------------------|-------|--------|--------|-------|--------|---------|-n= 2m+1=3m+2=5m+2=|-197-|-107--|--17---|-137--|--47-- |-167-- |------------------------------|-------|--------|--------|-------|--------|----------n= 2m+1=3m+2=5m+3=|-113-|-- 23--|-143--|-- 53--|-173--|-- 83---|------------------------------|-------|--------|--------|-------|--------|---------|-n= 2m+1=3m+2=5m+4=|--29--|-149--|--59--|-179--|--89-- |--209-- |------------------------------|-------|--------|--------|-------|--------|---------|-求得了（11，11*）区间的全部素数。
共有（2-1）×（3-1）×（5-1）×（7-1）= 48个解。
小于11平方的解有27个，加上被筛掉的（m=1）四个数2，3，5，7。
减掉即不是素数也不是合数的“1”，共有：************(2-1)×(3-1)×(5-1)×(7-1)[ 121×------------------------------------+4-1]=30.个解。
方括号内取整数。
******************( 2×3×5×7)素数普遍公式实际上是由两个式子共同完成，仅从（1）式看不出素数的什么规律，一旦转为同余式组，整个线路就清晰了，因为在孙子定理的照耀下，我们知道，a≠0，即是在p1p2p3...pk范围内筛去p1m+0，p2m+0，p3m+0，...，pkm+0形的数，所以在p1p2p3...pk范围内有（2-1）×（3-1）×（5-1）×...×(pk-1)个解。
或者表示成(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)...(1-1/pk).（*）个解。
并且类似意大利数学家彼德罗们伐利的调和级数的定理，在向无穷所使用的“自我复制”,大家可以联想到原子核裂变的情况，物理与数学是相通的。
素数个数的公式[编辑本段]三、素数的个数设π（p*(k+1)表示不大于p*(k+1)素数个数（可以参见右图）：------------------------------（p1-1)(p2-1)(p3-1)......(p k-1)π(p*(k+1)=[ p*(k+1)×-------------------------------------------+k-1] 。
（ 3 ）------------------------------------------( p1p2......p k)利用（3）式计算素数个数可以相当精确。
下面是利用（3）式计算的一些结果。
-------------------------------------------------------------------------p(k+1) |--------- 利用（3）式计算的数值------- |---- 实际值---3----|------------4----------------------------------|----4--------5----|------------9----------------------------------|----9-----------7----|-----------15---------------------------------|----15---------11---|-----------30----------------------------------|---30---------13---|-----------39----------------------------------|---39----------17--|-----------60----------------------------------|---61----------19--|-----------71----------------------------------|---72---------23---|-----------97----------------------------------|----99----------29--|--------145------------------------------------|-----146--------31-|----------161----------------------------------|-----162--------37-|-----------219---------------------------------|----219-------101-|----------1251---------------------------------|---1252-----------------------------------------------------------------------------------------------上面的表格是说，例如，素数101的平方内，利用（3）式计算的是1251个素数，实际值是1252个素数。